辅助线添加方法

辅助线添加方法 The pony was revised in January 2021

添加辅助线的方法

（一）从图形考虑

1，在三角形中，已知一条中线，常把延长一倍构成全等三角形或平行四边形，或把一边延长一倍造中位线，或取另一边的中点作成中位线。

2，在三角形中，若已知两条或三条中线时，则常连结两个中点作成中位线或延长某一中线到它的三分之一处，使之与重心、两个顶点构成平行四边形。

3，在等腰三角形中。常引底边上的高或顶角的平分线；在直角三角形中，则常引斜边上

的中线或高。

4，在梯形中，常过顶点作高或与腰平行的线段；若已知各边中点，则作中位线。5，在圆中，常作直径所对的圆周角，垂直于弦的半径（或直径）。过切点的半径；若两圆相切，则常作它的公切线和连心线；此外，还可根据共圆条件作一些辅助圆。

（二）从要证的结论考虑

1，要证线段的和、差、倍、分或比较大小时，常用延长或截取方法进行等量代换。

2，要证线段、角相等时，常找全等形进行等量代换。

3，要证四条线段成比例时，常作平行线找相似形。

4，要证面积相等时，常平移变换找等积形。

（三）从添辅助线的作用考虑

1，作平行线有利于造成线段、角相等，有利于造成相似形、平行四边形、全等形、等图形。2，作垂线有利于造成平行线、直角三角形。3，作圆有关线段和角，有利于用圆的有关性质和有关定理。如何添加辅助线，归纳的方法是很多的，还可用如下的口诀加以记忆；辅助线如何添，找出规律凭经验。题中有角平分线，可向两边作垂线。线段垂直平分线，可与两端把线连。三角形中两中点，连结则成中位线。三角形中有中线，则把中线一

倍延。成比例，证相似，通常要作平行线。作线原则有一条，证题线段别割断圆外若有一切线，切点圆心把线连。如果两圆内外切，经过切点作切线。两圆相交于两点，一般要作公共弦。是直径、成半圆，想作直角把线连。作等角，添个圆，证明题目少困难。辅助线是虚线，画图注意莫改变。辅助线的添法灵活多变，归纳只是一种形式，要灵活掌握，灵活运用。这里只是介绍了常规的一些辅助线的作法，具体问题要具体分析，要多在实际问

题中去操练，才能形成自己的能力。

梯形添加辅助线常用方法例析

梯形作为特殊的四边形，在求解时常常需要转化为三角形或平行四边形等来解决。于是，梯形添加辅助线的方法就成为同学们学习时的一个难点。为此，笔者根据教学中的经验，归纳总结了一个梯形添加辅助线方法的口诀，这里介绍给大家并举例说明之。

梯形问题中，转化很重要，

平移对角线，平移梯形腰，

作出梯形高，延长两腰来相交，

中位线要想到，一腰中点等积变。

例1. 如图1，已知在梯形ABCD中，AD

如图2，已知梯形ABCD中，AD

如图3，在梯形ABCD中，，，AD

已知，

如图4，在梯形ABCD中，AD

如图5，已知梯形ABCD中，AD

如图6，已知在梯形ABCD中，AD//BC，M、N为腰AB、DC的中点，求证：（1）MN//BC；（2）

图6

证明：连结AN并延长，交BC的延长线于点E，因为，

所以

所以，

又

所以MN是的中位线，所以MN//BC，

因为

所以

平面几何是初中教学的重要组成部分，它的基础知识在生产实践和科学研究中有着广泛的应用，又是继续学习数学和其他学科的基础，但许多初中生对几何证实题感到困难，尤其是对需要添加辅助线的证实题，往往束手无策。

定义：为了证实的需要，在原来图形上添画的线叫做辅助线。

关于添加辅助线的问题，这是初中生学习平面几何难点之一，也是平面几何教学中的一个重点。但是由于诸多方面的因素的影响，许多学生在完成几何作业或考试答卷中经常出

现辅助线的作法和叙述上的错误。

例如：如图，已知⊙O的半径为5㎝，

弦AB∥CD，AB=6㎝，CD=8㎝。

求：AB和CD的距离。

这道题的辅助线如图，可是在作业中同学却出现了如下种种叙述方法：

1、作AB和CD的垂线段MN

2、过O点作直线MN垂直AB和CD

3、过O点作AB和CD的垂直平分线MN

4、作OM⊥AB，并延长交CD于N

5、连结AB，CD的中点MN，并使之通过O点

6、连结MN，使MN⊥AB，MN⊥CD

经过分析，几种叙述方法都是错误的。而这种种错误，归纳起来大致有以下两个原因：

1、不会使用几何作图的规范用语；

2、违反了几何作图的基本要求；

3、违反了几何作图的基本原则。

那么，如何解决同学们在作辅助线时出现的问题呢？

一、注重培养学生的几何语言的表达能力

从学生的开始学习几何时就应引入和应用规范用语，突出几何语言，非凡在学习尺规作图时，更就突出作图规范用语和练习，否则就会出现前文中出现的辅助线作法的叙述上的错误。下面介绍几种常用的辅助线的正确叙述方法：

连结：如图连结AC、BD交于O点

作平行线：如图：过D点作DG∥AE，交BC于G

作垂线：如图分别过A、D两点作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F

延长：如图延长AC交⊙O于F，连结DF

二、加强添加辅助线的教学与研究

关于添加辅助线的问题。

这是初中学生学习平面几何的难点之一，要在教学中循序渐进练习学生。可以通过精选例题，让学生开阔眼界，灵活思路，把握规律，提高能力。在添辅助线时，必须使学生明确辅助线要添得合理，必须符合基本作图要求。

如证实：“三角形内角和定理“。要证实这个定理应先以CA为一边，在△ABC外部作∠A CE=∠BAC，再延长BC，然后只要证实∠ECD=∠ABC就行了。根据这样分析，故先作BC延长边CD，并在△ABC外部以CA为一边，CE为另一边作∠ACE=∠BAC，然后即可证∠BAC＋∠ABC＋∠ACB=180°。此外还可以让学生把握多种方法添辅助线。