数字信号处理 全通滤波器与最小相位系统
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一阶全通数字滤波器的相位响应是单调递减的。
一阶全通滤波器的相位响应分析
r sin( ) 1 () () 2arctan 1 r cos( ) r sin( ) 1 () 2arctan 1 r cos( )
-1 0
´ a
1
Re( z )
a*
´
1a
两个零点（极点）为共轭对称 零点与极点以单位圆为镜像对称
一阶复系数全通数字滤波器
z d A1 ( z ) 1 dz 1
A1 ( e j )
1
d 1 d re j
(a) 一阶全通数字滤波器的幅度响应
e j d 1 de j e j 1 d e j 1 de j
最小相位系统
任一实系数因果稳定系统的H(z)都可表示为
H ( z ) H min ( z ) Am ( z )
证明：设系统H(z)只有一个零点在z = 1/a*在单位圆外，
|a|<1，那么H(z)就能表示成 H(z)=H1(z) (z1 a*)
按定义H1(z)是一个最小相位系统。 H(z)也可等效的表示为
j p d r e 极点为： 1
零点为： z1 (1/ r ) e j 一阶全通系统的零点与极点 存在共轭倒数的关系
1 * p1 ( ) z1
m阶实系数全通数字滤波器
d m d m1 z 1 d1 z ( m1) z m z m Dm ( z 1 ) Am ( z ) 1 ( m 1) m 1 d1 z d m1 z dm z Dm ( z )
-1
0
´
Re( z )
1 1a
a
Im( z )
1 a*
´ a
0 1
Re( z )
零极点以单位圆为镜像对称
• 二阶全通系统
z 1 a* z 1 a A2 ( z ) 1 1 az 1 a * z 1
极点： z a，a
*
*
a 1
Im( z )
1 a*
零点： z 1/ a ，1/a
如果 zk 为系统函数的一个极点，则有
*
zk* 也是系统函数的一个极点, 1zk和1zk*必为系统函数的零点。
m阶实系数全通系统可分解为m个一阶全通系统的积 由于 : Am (e j0 ) 1 所以： (0) 0 由于一阶全通系统相位是递减的，所以 m阶实系数全通系统的相位非正递减的。
1
全通系统
• 对所有 ，满足:
H ap (e j ) 1
称该系统为全通系统
H ( e j )
全通
0
2
• 一阶全通系统：
z a A1 ( z ) 1 az 1
1
a为实数 0 a 1
-1
Im( z )
极点： z a 零点： z 1/ a z 1 a* A1 ( z ) a为复数 1 1 az 0 a 1 极点： z a 零点：z 1/ a *
当=0时
当 0时
1 () 2arctan
r sin() 1 r cos()
0 2
1 0 1 0
() 0 () 2
r sin 0 1 (0) 2 arctan 1 1 r cos
2 1 (2 ) 1
() 1 () 2 1
d () 0 d
一阶复系数全通数字滤波器
z d A1 ( z ) 1 dz 1
1
d 1 d re j
(c) 一阶全通滤波器的极点和零点 z 1 re j A1 ( z ) 1 re j z 1
m阶实系数全通数字滤波器
二阶实系数全通滤波器的相位响应
0
相位响应的主值
2
-
0
0
-2
Hale Waihona Puke Baidu
解卷绕后的相位响应
0 2
-4
最小相位系统
定义：
零极点都在 z 平面单位圆内的因果系统称为
最小相位系统。记为Hmin(z)。 在具有相同幅频特性的同阶系统中，最小相
位系统具有最大的相位，最小的延时。
全通滤波器与最小相位系统
全通滤波器的定义*
一阶复系数全通滤波器
m阶实系数全通系统
最小相位系统*
全通数字滤波器的定义
定义： 如果利用Am(z)表示m 阶实系数全通滤波器 的系统函数，则有
Am ( z) Am ( z ) 1
Am ( e
j
1
) Am ( z ) Am ( z )
1
2
z e j
A1 (e j ) 1
一阶复系数全通数字滤波器
z d A1 ( z ) 1 dz 1
1
d 1 d re j
(b) 一阶全通数字滤波器的相位响应 j j j 1 r e e 1 d e j j j A1 ( e ) e e j 1 re j e j 1 de r sin( ) ( ) 2 arctan 1 r cos( ) d ( ) 1 r 2 0 2 2 2 d (1 r cos( )) r sin ( )
(a) m阶全通滤波器的幅度响应
由于：Am ( z ) Am ( z 1 )
Am ( e
j 2
z m Dm ( z 1 ) z m Dm ( z ) Dm ( z ) Dm ( z )
z e j
1
1
) Am ( z ) Am ( z 1 )
1
m阶实系数全通数字滤波器
d m d m1 z 1 d1 z ( m1) z m z m Dm ( z 1 ) Am ( z ) 1 ( m 1) m 1 d1 z d m1 z dm z Dm ( z )
(b) m阶实系数全通滤波器的极点和零点
一阶全通滤波器的相位响应分析
r sin( ) 1 () () 2arctan 1 r cos( ) r sin( ) 1 () 2arctan 1 r cos( )
-1 0
´ a
1
Re( z )
a*
´
1a
两个零点（极点）为共轭对称 零点与极点以单位圆为镜像对称
一阶复系数全通数字滤波器
z d A1 ( z ) 1 dz 1
A1 ( e j )
1
d 1 d re j
(a) 一阶全通数字滤波器的幅度响应
e j d 1 de j e j 1 d e j 1 de j
最小相位系统
任一实系数因果稳定系统的H(z)都可表示为
H ( z ) H min ( z ) Am ( z )
证明：设系统H(z)只有一个零点在z = 1/a*在单位圆外，
|a|<1，那么H(z)就能表示成 H(z)=H1(z) (z1 a*)
按定义H1(z)是一个最小相位系统。 H(z)也可等效的表示为
j p d r e 极点为： 1
零点为： z1 (1/ r ) e j 一阶全通系统的零点与极点 存在共轭倒数的关系
1 * p1 ( ) z1
m阶实系数全通数字滤波器
d m d m1 z 1 d1 z ( m1) z m z m Dm ( z 1 ) Am ( z ) 1 ( m 1) m 1 d1 z d m1 z dm z Dm ( z )
-1
0
´
Re( z )
1 1a
a
Im( z )
1 a*
´ a
0 1
Re( z )
零极点以单位圆为镜像对称
• 二阶全通系统
z 1 a* z 1 a A2 ( z ) 1 1 az 1 a * z 1
极点： z a，a
*
*
a 1
Im( z )
1 a*
零点： z 1/ a ，1/a
如果 zk 为系统函数的一个极点，则有
*
zk* 也是系统函数的一个极点, 1zk和1zk*必为系统函数的零点。
m阶实系数全通系统可分解为m个一阶全通系统的积 由于 : Am (e j0 ) 1 所以： (0) 0 由于一阶全通系统相位是递减的，所以 m阶实系数全通系统的相位非正递减的。
1
全通系统
• 对所有 ，满足:
H ap (e j ) 1
称该系统为全通系统
H ( e j )
全通
0
2
• 一阶全通系统：
z a A1 ( z ) 1 az 1
1
a为实数 0 a 1
-1
Im( z )
极点： z a 零点： z 1/ a z 1 a* A1 ( z ) a为复数 1 1 az 0 a 1 极点： z a 零点：z 1/ a *
当=0时
当 0时
1 () 2arctan
r sin() 1 r cos()
0 2
1 0 1 0
() 0 () 2
r sin 0 1 (0) 2 arctan 1 1 r cos
2 1 (2 ) 1
() 1 () 2 1
d () 0 d
一阶复系数全通数字滤波器
z d A1 ( z ) 1 dz 1
1
d 1 d re j
(c) 一阶全通滤波器的极点和零点 z 1 re j A1 ( z ) 1 re j z 1
m阶实系数全通数字滤波器
二阶实系数全通滤波器的相位响应
0
相位响应的主值
2
-
0
0
-2
Hale Waihona Puke Baidu
解卷绕后的相位响应
0 2
-4
最小相位系统
定义：
零极点都在 z 平面单位圆内的因果系统称为
最小相位系统。记为Hmin(z)。 在具有相同幅频特性的同阶系统中，最小相
位系统具有最大的相位，最小的延时。
全通滤波器与最小相位系统
全通滤波器的定义*
一阶复系数全通滤波器
m阶实系数全通系统
最小相位系统*
全通数字滤波器的定义
定义： 如果利用Am(z)表示m 阶实系数全通滤波器 的系统函数，则有
Am ( z) Am ( z ) 1
Am ( e
j
1
) Am ( z ) Am ( z )
1
2
z e j
A1 (e j ) 1
一阶复系数全通数字滤波器
z d A1 ( z ) 1 dz 1
1
d 1 d re j
(b) 一阶全通数字滤波器的相位响应 j j j 1 r e e 1 d e j j j A1 ( e ) e e j 1 re j e j 1 de r sin( ) ( ) 2 arctan 1 r cos( ) d ( ) 1 r 2 0 2 2 2 d (1 r cos( )) r sin ( )
(a) m阶全通滤波器的幅度响应
由于：Am ( z ) Am ( z 1 )
Am ( e
j 2
z m Dm ( z 1 ) z m Dm ( z ) Dm ( z ) Dm ( z )
z e j
1
1
) Am ( z ) Am ( z 1 )
1
m阶实系数全通数字滤波器
d m d m1 z 1 d1 z ( m1) z m z m Dm ( z 1 ) Am ( z ) 1 ( m 1) m 1 d1 z d m1 z dm z Dm ( z )
(b) m阶实系数全通滤波器的极点和零点