人教版线段的数量关系
第2课时数量关系
学习目标：1.能借助情境图正确分析、完整表达题意。
知道两个相关信息和一个相关问题可以组成完整的数学问题。
2.经历解决问题的思考过程，能够用有层次的三句话体会解决一个数学问题所要经历的基本步骤。
3.感受数学与生活的密切联系，体验学数学与用数学的乐趣。
学习重点：理解加法模型和减法的含义，能借助情境图正确分析、正确列式解决问题。
学习难点：能够完整表达图意，正确列式解决问题。
教学流程示意一、情境引入二、整理加法模型三、整理减法模型四、对比练习五、总结提升教学过程一、情境引入（一）出示主题图请你仔细观察，你能从图中找到哪些数学信息？生：我发现左边有5只小鸡，又来了2只小鸡，一共有7只小鸡。
（二）提数学问题并解决师：根据这些信息，你能提一个数学问题吗？预设1：我用左边有5只小鸡，右边有2只小鸡这两个信息，可以求一共有几只小鸡。
师：这个问题怎么解决？生：求一共有几只小鸡，就是把左边的5只小鸡和右边的2只小鸡这两部分合起来，列式是5+2=7（只）。
预设2：我想通过一共有7只小鸡和左边有5只小鸡这两个信息，求又跑来几只小鸡？生：从一共有7只小鸡这个整体里去掉左边的这5只，就是又跑来几只，列式是75=2（只）。
预设3：知道一共有7只小鸡和又跑来2只小鸡这两个信息，可以求出左边有几只小鸡？生：从一共有7只小鸡这个整体里，去掉右边的2只，就是左边有几只。
列式是72=5（只）。
小结：你们真会思考！同样一幅图，因为观察的角度不同，所以可以选择不同的信息，提出了这么多不一样的问题。
二、整理加法模型（一）完整说图意看，图中多了什么？没错，是大括号和问号，大括号表示什么意思？问号呢？追问：要解决“一共有几只小鸡？”这个问题我们需要知道什么信息？预设：需要“左边有5只小鸡”和“右边有2只小鸡”这两个数学信息。
师：请你试着把这2个信息和这个问题连起来说一说。
刚刚你们说的就是这幅图的图意。
左边有5只小鸡，右边有2只小鸡，是这幅图的2个数学信息；一共有几只小鸡，是问题。
人教版七年级数学上册几何图形初步《直线、射线、线段(第2课时)》示范教学设计
直线、射线、线段（第2课时）教学目标1．知道比较线段长短的方法，并会比较线段的长短．2．会用尺规画一条线段等于已知线段，会用尺规画出线段的和与差．3．知道线段中点、三等分点、四等分点的定义，会用数学符号语言表示．4．能够用线段中点的性质和数量关系解决问题．教学重点探究比较线段长短的方法，尺规作图的操作，线段中点及其分成的各线段间的数量关系．教学难点运用线段的和与差、线段的中点解决问题．教学准备直尺、圆规、透明纸．教学过程知识回顾1．线段、射线和直线的区别2．直线的性质（1）基本事实：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．①它包含两层含义：一是“肯定有”，二是“只有一条”，不会有两条、三条……；②它可简单地说成“两点确定一条直线”．（2）直线的其他性质：①经过一点的直线有无数条；②不同的两条直线最多有一个公共点．3．直线、射线、线段的表示线段：（1）线段AB（或线段BA）；（2）线段a．射线：（1）射线AB；（2）射线m．直线：（1）直线AB（或直线BA）；（2）直线l．4．线段和射线都是直线的一部分．5．一个点在一条直线上，也可以说这条直线经过这个点；一个点在直线外，也可以说直线不经过这个点．6．当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点．7．一条直线上有n个点，则这条直线上共有2n条射线，有112n n()条线段．新知探究一、探究学习【问题】我们是如何比较物体的高度或者长度的？【师生活动】小组探讨后给出结论，教师给出正确答案．【答案】1．目测（直接比较法）2．测量（数据比较法）【设计意图】通过生活中比较高度或长度的实例引入线段长短比较的知识．【问题】已知线段AB与线段CD，如何比较这两条线段的长短？【师生活动】教师引导，学生作答，然后教师讲解新知．【新知】第一种：度量法结论：AB＜CD．第二种：叠合法把其中的一条线段移到另一条线段上去，将其中的一个端点重合在一起加以比较．注意：起点对齐，看终点．点A与点C重合，点D与点B重合结论：AB＝CD点A与点C重合，点D落在B，C之间结论：AB＞CD点A与点C重合，点B落在C，D之间结论：AB＜CD【设计意图】让学生在探究学习中掌握两种比较线段长短的方法．二、新知精讲【问题】怎么画一条线段使它等于已知线段呢？如图，已知线段AB，用尺规作一条线段等于已知线段AB．【师生活动】教师提出问题，学生思考并用自己的语言描述自己的想法．然后教师组织学生讨论，并引导学生尝试用圆规作图．最后教师做适当的总结归纳，并用课件展示尺规作法．【答案】解：作图步骤如下：（1）作射线A'C'；（2）用圆规在射线A'C'上截取A'B'＝AB．线段A'B'就是所求线段．【新知】画一条线段等于已知线段a，可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段．在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图．【设计意图】作一条线段等于已知线段是几何的基本作图，也是本课后续知识学习的基础，要让学生准确掌握；向学生渗透几何研究中有“数”与“形”两种不同的方法．【问题】你知道如何画线段的和与差吗？如图，已知线段m，n，用尺规作一条线段AC，使AC＝m＋n．【师生活动】学生先作图，教师点评纠正，然后用课件展示正确作法．【答案】解：作图步骤如下：（1）作射线AM；（2）在射线AM上截取AB＝m；（3）在射线BM上截取BC＝n．线段AC就是所求线段．【设计意图】让学生掌握线段和的作图方法，将用图形表示线段和与用符号表示线段和结合起来．【问题】如图，已知线段m，n，用尺规作一条线段AC，使AC＝m－n．【师生活动】学生先作图，教师点评纠正，然后用课件展示正确作法．【答案】解：作图步骤如下：（1）作射线AM；（2）在射线AM上截取AB＝m；（3）在线段AB上截取BC＝n．线段AC就是所求线段．【设计意图】让学生掌握线段差的作图方法，将用图形表示线段差与用符号表示线段差结合起来．【问题】如图，已知线段a，求作线段AB＝2a．【师生活动】学生先作图，教师点评纠正，然后用课件展示正确作法．【答案】解：作图如下：AB＝2a，即为所求作的线段．【新知】点M把线段AB分成相等的两条线段AM与MB，点M叫做线段AB的中点．数学符号语言：AM＝MB＝12AB（或AB＝2AM＝2BM）类似地，还有线段的三等分点、四等分点等．AM＝MN＝NB＝13 ABAM＝MN＝NP＝PB＝14 AB【设计意图】层层递进地对等分点进行学习，既让学生掌握等分点的概念，更让学生理解等分点是怎样产生的，掌握由等分点产生的数量关系．【问题】在一张透明的纸上画一条线段，折叠纸片，使线段的端点重合，折痕与线段的交点就是线段的中点．动手试一试．【师生活动】学生先作图，然后教师用课件展示动画效果．【答案】【设计意图】通过动手操作，让学生更加形象地理解和掌握线段的中点的性质．三、典例精讲【例】如图，若线段AB＝20 cm，点C是线段AB上一点，M，N分别是线段AC，BC 的中点．（1）求线段MN的长；（2）根据（1）中的计算过程和结果，设AB＝a，其他条件不变，你能猜出MN的长度吗？请用简洁的语言表达你发现的规律．【师生活动】学生作答，然后教师给出分析和正确答案．【分析】（1）先根据M，N分别是线段AC，BC的中点得出MC＝12AC，CN＝12BC，再由线段AB＝20 cm即可求出结果．（2）由（1）即可得到结论．【答案】解：（1）因为M，N分别是线段AC，BC的中点，所以MC＝12AC，CN＝12BC．因为线段AB＝20 cm，所以MN＝MC＋CN＝12(AC＋BC)＝12AB＝10（cm）．（2）由（1）得，MN＝MC＋CN＝12(AC＋BC)＝12AB＝12a．即MN始终等于AB的一半．【设计意图】检验学生对线段的中点的性质的掌握程度，同时使学生能够进行线段的相关运算．课堂小结板书设计一、比较线段的长短二、尺规作图三、中点、三等分点、四等分点四、线段的运算课后任务完成教材第128页练习第1～3题．。
2024年人教版数学四年级上册常见的数量关系说课稿推荐3篇
人教版数学四年级上册常见的数量关系说课稿推荐３篇〖人教版数学四年级上册常见的数量关系说课稿第【1】篇〗常见的数量关系说教学目标：1.理解并掌握“单价×数量=总价、速度×时间=路程”这两种数量关系，并能运用数量关系解决实际问题。
2.初步培养学生运用数学术语的能力，发展学生分析、比较、归纳、抽象、概括的能力。
3.感受数学知识与生活的密切联系，在解决问题的过程中感受三位数乘两位数笔算方法的应用价值。
说教学重点：理解并掌握单价、数量和总价及速度、时间和路程之间的关系。
说教学难点：运用数学术语概括、表达数量关系，并能在解决问题的过程中加以应用。
课前准备：课件。
说教学过程：一、谈话引入1.回顾生活中的常见问题。
（课件出示题目）（1）每个书包50元，4个书包多少钱？（2）一列动车每小时行200千米，4小时行多少千米？（3）李师傅每天生产15个零件，他6天可以生产多少个零件？指名学生口头列式，师生交流反馈。
2.导入新课。
在日常生活中，存在着许许多多的数量关系，弄清楚这些常见的数量关系，对于我们分析问题和解决问题都有很大帮助。
这节课我们就一起来学习生活中常见的数量关系。
（板书课题）二、交流共享（一）教学单价、数量和总价的关系。
1.课件出示教材例题2情境图。
学生观察情境图，收集情境中的信息：钢笔每支12元，练习本每本3元；要买4支钢笔和5本练习本。
2.理解“单价”“数量”和“总价”。
（1）提问：什么是单价？什么是数量？什么是总价？（2）追问：每种商品的单价各是多少？购买的数量呢？（3）介绍单价的读法和写法。
（4）认识总价。
引导思考：根据题目中购买钢笔的情况，我们可以求什么呢？指出：“4支钢笔一共多少钱”指的就是4支钢笔的总价。
3.理解单价、数量和总价的数量关系。
（1）课件出示下表：单价数量总价钢笔（）元/支（）支（）元练习本（）元/本（）本（）元让学生先填写商品的单价和购买的数量，再分别求出总价。
四年级下册数学线段表示数量关系
在四年级下册的数学学习中，线段可以用来表示数量关系。
以下是一些常见的数量关系问题和线段的应用：
长度比较：通过比较线段的长度，学生可以理解不同数量之间的大小关系。
例如，给出两个线段，让学生比较它们的长度，并判断哪一个更长或更短。
分割线段：学生可以将一个线段按照特定的比例或数量关系进行分割。
例如，给出一个线段AB，要求学生将它分成三等分或五等分，学生可以使用刻度线段来表示分割的位置。
连线和图形构建：学生可以使用线段构建各种图形，如三角形、正方形、长方形等。
通过线段的组合和排列，学生可以了解不同形状和图形的数量关系。
比例关系：线段可以用来表示比例关系。
例如，给出一个线段AB，要求学生用另一个线段CD表示AB的2倍或3倍长度。
学生可以利用线段的比例关系进行测量和构建。
通过以上的学习活动和问题，学生可以通过线段的表示来探索和理解数量关系。
这种视觉化的表示方式可以帮助学生更好地理解数学概念，并培养他们的空间思维能力和逻辑推理能力。
初中两条线段数量关系教案
初中两条线段数量关系教案教学目标：1. 理解并掌握线段的和、差、倍、分等基本数量关系；2. 能够运用线段的数量关系解决实际问题；3. 培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
教学内容：1. 线段的和差关系；2. 线段的倍分关系；3. 实际问题的解决。
教学步骤：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾小学学过的线段的知识，如线段的定义、特点等；2. 提问：线段有哪些基本的数量关系呢？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解线段的和差关系，如：线段AB和线段BC的和等于线段AC，即AB + BC = AC；2. 讲解线段的倍分关系，如：线段AB是线段BC的2倍，即AB = 2BC；3. 通过示例和练习，让学生理解和掌握线段的和差、倍分关系；4. 引导学生发现线段的数量关系与图形的性质之间的关系。
三、课堂练习（15分钟）1. 给出几组线段的长度，让学生计算它们的和、差、倍、分；2. 让学生尝试解决一些实际问题，如：在平面直角坐标系中，两点A(2,3)和B(6,7)之间的线段长度是多少？四、总结与拓展（5分钟）1. 让学生总结本节课所学的内容，线段的和差、倍分关系及其应用；2. 提问：你们还能想到其他的线段数量关系吗？它们有什么应用呢？教学评价：1. 通过课堂练习和课后作业的完成情况，评价学生对线段数量关系的掌握程度；2. 通过学生的实际问题解决能力，评价学生对线段数量关系的应用能力；3. 通过学生的课堂表现，评价学生的学习兴趣和积极性。
教学反思：本节课通过讲解线段的和差、倍分关系，让学生掌握了线段的基本数量关系，并通过实际问题解决，培养了学生的应用能力。
在教学过程中，要注意引导学生发现线段的数量关系与图形的性质之间的关系，提高学生的逻辑思维能力。
同时，也要关注学生的学习兴趣和积极性，通过生动有趣的示例和练习，激发学生的学习兴趣。
九年级数学人教版(上册)小专题8 二次函数与几何图形的小综合
解：在 y＝－x2－2x＋3 中，令 y＝0，得 －x2－2x＋3＝0， 解得 x＝1 或 x＝－3， ∴A(－3，0)，B(1，0)． 在 y＝－x2－2x＋3 中，当 x＝0 时，y＝3， ∴C(0，3)．
①当 AC 为平行四边形的边时，PQ∥AC，且 PQ＝AC，
如图 1，过点 P 作对称轴的垂线，垂足为 G，设 AC 交对称轴于
入，得 － n＝3k3＋，n＝0，解得kn＝＝13，. ∴直线 BC 的解析式为 y＝x＋3. 设 P(t，－t2－2t＋3)(－3<t<0)，则 K(t，t＋3)， ∴PK＝－t2－2t＋3－(t＋3)＝－t2－3t. ∴S△PBC＝S△PBK＋S△PCK＝12PK·(t＋3)＋12PK·(0－t)＝32PK＝32(－t2
－3t)．
∵S△ABC＝12AB·OC＝12×4×3＝6， ∴S 四边形 PBAC＝S△PBC＋S△ABC＝32(－t2－3t)＋6＝－32(t＋32)2＋785. ∵－32＜0， ∴当 t＝－32时，四边形 PBAC 的面积最
大，此时点 P 的坐标为(－32，145)．
类型 2 线段和、周长最值问题 3．(2021·通辽节选)如图，抛物线 y＝－x2＋2x＋3 与 x 轴交于 A， B 两点，与 y 轴交于点 C，动点 P 在抛物线的对称轴上，当以 P，B， C 为顶点的三角形周长最小时，求点 P 的坐标及△PBC 的周长． 解：在 y＝－x2＋2x＋3 中，令 y＝0，得－x2＋2x＋3＝0， 解得 x＝－1 或 x＝3， ∴A(3，0)，B(－1，0)． 在 y＝－x2＋2x＋3 中，令 x＝0，得 y＝3， ∴C(0，3)．
②当 AC 为平行四边形的对角线时，
如图 2，设 AC 的中点为 M， ∵A(－3，0)，C(0，3)，
在教学中如何运用线段图分析数量关系
在教学中如何运用线段图分析数量关系马街小学陈国慧解决问题是小学数学中非常重要的内容，它需要我们要用学过的数学知识来解决生产、生活中的一些实际问题。
学好应用题的重点在认真分析题意，掌握数量关系，找到问题的突破口。
在分析应用题的数量关系时，我们要从条件出发，逐渐推出所求的问题；或者从问题出发，找到必需的两个条件；或者借助线段图来分析应用题的数量关系，解答就容易多了。
在教学中如何运用线段图来分析数量关系，我认为应从以下几方面入手：一．从中低年级培养，从简单题入手，是培养学生画图能力的基础。
有人认为用线段图帮助解题是高年级的事，是比较难的题才使用的方法，中低年级和比较简单的应用题不需要画画线段图。
这种认识是不适当的。
有的学生也错误的认为，这么容易的题，我不画图就能理解题意，把题做对，何苦去自找麻烦。
教师要讲清，如果从小基础打不牢固，到高年级遇到比较难的应用题，需要画线段图辅助解题的时候，就会画不出来或画不正确，解题的能力就会的大大降低，就会影响思维的发展。
所以，线段图的培养一定要从中低年级培养，从简单题入手，从小养成画图解题的意识和良好的画图技能技巧，打下坚实的基础，到高年级才能如鱼得水，应用自如。
二．教师的指导、示范、点拨是培养学生画图能力的关键。
学生刚学习画线段图，不知道从哪下手，如何去画。
教师的指导、示范就尤为重要。
(1)教师可以指导学生跟教师一步一步来画，找数量关系。
也可以教师示范画出以后，让学生仿照重画一遍，即使是把老师画的图照抄一边，也是有收获的。
(2)学生可边画边讲，或互相讲解。
教师对有困难的学生一定要给以耐心的指导。
(3)学生掌握了一定的技能后，教师可以放手让学生自己去画，教师给以适时的点拨，要注意让学生讲清这样画图的道理，可自己讲，也可分组合作讲。
教师一定要让学生体会用图解题的直观，形象，体会简洁、方便、易理解的特点，提高应用的自觉性、主动性。
三．理解题意，找准对应上的数量关系是培养学生用图解题的重点。
人教版六年级上册数学精品教学基本方法复习 画线段图法
画线段图法
画线段图法是指根据数学问题，画出线段图，表示数量关系，从而正确的审题、分析和检验，进而使数学问题得以顺利解决的方法。
【典型例题】
李叔叔每天晨跑40分钟，张叔叔每天晨跑的时间是李叔叔的43，赵叔叔每天晨跑的时间是张叔叔的3
2。
赵叔叔每天晨跑多长时间？
【方法指导】
本题的数量关系可以用下面的线段图来表示。
李叔叔每天的晨跑时间是×4
3=张叔叔每天晨跑的时间，张叔叔每天的晨跑时间是×3
2=赵叔叔每天晨跑的时间，即赵叔叔每天晨跑的时间=李叔叔每天晨跑的时间×43×3
2。
【正确解答】
答：赵叔叔每天晨跑20分钟。
【同步练习】
李叔叔准备从甲地去乙地，乘坐高铁列车需要4小时，
3，乘坐特快列车需乘坐飞机需要的时间是乘坐高速列车的
8
要的时间是乘坐飞机的6.4倍。
李叔叔乘坐特快列车从甲地去乙地需要多长时间？。
三条线段的数量关系解题方法
三条线段的数量关系解题方法
三条线段的数量关系解题方法通常涉及以下几个方面：
1.比较法：
直接比较三条线段的长度，确定它们之间的大小关系。
例如，有三条线段a, b, c，如果a > b且b > c，则a > b > c。
2.代数法：
当线段长度与某些变量或表达式有关时，可以通过代数运算来找出它们之间的关系。
例如，如果线段a的长度是x + 2，线段b的长度是2x，线段c的长度是x - 1，我们可以通过比较这些表达式来确定线段的大小关系。
3.利用几何性质：
在几何图形中，某些线段的长度可能受到特定几何性质的约束。
例如，在三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
这些性质可以用来判断线段的可能长度。
4.方程法：
如果知道线段之间的某种数量关系，可以设立方程来求解。
例如，如果知道两条线段a和b的和等于第三条线段c的长度，可以设立方程a + b = c来求解。
5.比例法：
当线段之间成比例关系时，可以利用比例的性质来解题。
例如，如果线段a与线段b成比例，即a/b = k（k为常数），那么可以通过这个比例关系来找出其他线段的长度或它们之间的关系。
6.图形结合法：
在解决复杂问题时，画出图形可以帮助直观地理解线段之间的关系。
例如，在解决与三角形、四边形等几何图形相关的问题时，画出图形并标注线段的长度和角度等信息，有助于找到解题的线索。
请注意，具体使用哪种方法取决于问题的具体条件和要求。
在实际解题过程中，可能需要结合多种方法来找出线段之间的数量关系。
人教版小学三年级下册线段图专项训练-小学数学三年级下册-日常专题训练-人教版---
人教版小学三年级下册线段图专项训练小学数学三年级下册日常专题训练人教版第一讲用线段图表示数量关系（一）小学数学应用题既是教学中的重点,也是教学中的难点,。
有不少的应用题,文字叙述比较抽象,数量关系比较复杂,小学生的思维又处于具体形象思维向抽象逻辑思维的过渡阶段,对于一些抽象问题理解起来困难较大。
如果教师一味的从字面去分析题意,用语言来表述数量关系,虽然老师讲的口干舌燥,学生却难以理解掌握,事倍功半。
即使是学生理解了,也只是局限于会做某个题了。
一个教师不仅要教给学生知识,更重要的是交给学生学习知识的方法。
线段图在小学数学应用题教学中起到了奇妙的作用,它能使复杂的数量关系简单明了，它可以帮助学生轻松、愉快的学会复杂关系的应用题,既培养了学生的能力,又促进了学生了思维的发展,是教学中行之有效的教学方法。
教学建议：1.继续进行认真审题训练，学会紧扣关键句进行思考，学会从总体上把握住数量关系。
2.学习用线段图将倍数问题和比多比少问题的条件与问题清晰地表达出来，能够读懂线段图，并在此基础上学会用两种不同的方法进行解答3.强化数量关系的表述训练，能根据数量关系有序地进行解题演练。
4.学会较精确规范地绘制线段图；能用不同的方法解决问题。
5.遵循由易到难的原则，循序前进。
小试身手：1、画图训练：（画出下列各题的数量关系，口述解题过程）（1）、甲数是56，乙数比甲数大36，求乙数。
（2）、甲数是563，乙数比甲数少30，求乙数。
（3）、甲数是43，比乙数多7，乙数是多少？（4）、甲数是997，比乙数少45，乙数是多少？（5）、A为78，比B大45，求A、B的和。
（6）、A是最大的两位数，比B少7，求A、B的和。
（7）、甲数比乙数大36，乙数是58，求甲、乙的和。
（8）、甲数比乙数少34，乙数是45，求甲、乙两数的和。
（9）、比150多167的数是多少？比280少70的数是多少？拓展延伸:一、看线段图，编应用题。
23、4、举一反三：1、早上，妈妈买了30个鸡蛋，姑姑又送来比妈妈买的还多10个，小明家现在一共有多少个鸡蛋？2、小明买了一支钢笔和一个笔记本，钢笔用去13元，比笔记本多11元，小明买钢笔和笔记本一共花了多少元？3、学校共买来600本图书，其中故事书480本，其余是连环画。
用线段图表示数量关系(一)
1、工人叔叔修一条900米长的公路，第一周修了337米，第二周比第一周多修118米。
第二周修了多少米？两周共修了多少米？还剩多少米没有修？
2、三年级有126人，四年级比三年级多16人，三、四年级一共有多少人？
3、一筐梨连筐带梨共重66千克，吃去一半后，连筐共重36千克，你知道原来梨重多少？筐重多少吗？
4、学校图书馆买来文艺书和科技书共32本，买来的科技书是文艺书的3倍，学校图书馆买来的科技书和文艺书各多少本？
5、学校田径队的男生、女生一共有40人，其中男生的人数是女生人数的4倍，求男生、女生各多少人？
6、将4800本图书分别捐献给甲、乙两所希望小学，已知甲小学所得的图书是乙小学的四倍，问甲、乙两小学各得多少本图书？
7、菜店运来3吨大白菜，上午卖出2000千克，下午全部卖完。
下午卖出的大白菜比上午少多少千克？
8、小明家离学校620米，一天早上上学，小明走了195米后发现文具盒忘带了，于是返回家拿文具盒又去上学，小明这天早上上学一共走了多少米？
9、用一个杯子向空瓶子里倒水，如果倒进了3杯水，连瓶重440克，如果倒进了5杯水，连瓶重600克。
问一杯水和一个空瓶各重多少克？
10、三、四年级同学一共植树128棵，四年级比三年级多植树20棵，求三、四年级各植树多少棵？
11、今年小明和小强两人的年龄和是21，一年前，小明比小强小三岁，问今年小明和小强各多少岁？
12、君山茶场有红茶树和绿茶树共980棵，如果红茶树增加300棵，绿茶树减少200棵，则两种茶树一样多，两种茶树原来各有多少棵？。
2024年新人教版七年级数学上册 6.2.2 线段的比较与运算(课件)
3．线段的长短比较： (1)线段长短比较的实质是线段的长度的比较． (2)线段长短的比较方法：
①度量法(数)：用刻度尺量出线段的长度，根据长度大小来比较， 长度大的线段较长，长度相等时两线段相等． ②叠合法(形)：比较两条线段AB与CD的长短，可以把线段AB移 到线段CD上，使点A与点C重合，点B与点D在重合点的同一侧．
3．(1)两点的所有连线中，__线__段_最__短______．简单说成： __两__点__之_间__，__线__段__最_短____________．
(2)连接两点的线段的长度，叫作这两点间的___距__离____．
例1.如图，已知线段a、b，尺规作图：
(1)画一条线段AC＝a＋b；(根据下列作法画出图形)
知识点4：线段的中点及等分点(难点)
1．线段的中点：如图，点M在线段AB上，AM＝BM，点M叫作线 段AB的中点.
应用：因为点M是线段AB的中点，所以AM＝BM＝
1 2
AB，
AB＝2AM＝2BM.
2．线段的等分点：
如图①所示，B，C是线段AD上的两点，
且AB＝BC＝CD＝
1 3
AD或AD＝3AB＝3BC＝3CD，
活动导入
同学们，请你在草稿纸上画一条线段AB. 你能在草稿纸上作出一条同样大小的线段吗？ 你是怎么做的？
情境导入 同学们，请你们观察这三组图形，你能比较出每组图形中线段a和b 的长短吗？
a b
事实上，这三组图形中，线段a和b的长度是相等的. 很多时候，眼见未必为实，准确比较线段的长短还 需要更加严谨的办法.
小组展示
越展越优秀
提疑惑：你有什么疑惑？
知识点1：线段的画法及长短比较(重点)
1．尺规作图：在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图， 这就是尺规作图．
证明线段数量关系方法
证明线段数量关系方法嘿，咱来聊聊证明线段数量关系这事儿吧！这可是数学里超有趣的一块呢。
你想想看，线段就像一个个小士兵，它们之间的数量关系有时候就像一场神秘的游戏。
要证明它们的关系，那可得有点小妙招。
全等三角形知道不？这可是个厉害的武器。
如果能找到两个三角形全等，那对应边不就相等了嘛。
就好比两个双胞胎，啥都一样。
要是能巧妙地构造出全等三角形，那证明线段数量关系就容易多啦。
比如说，有两条线段，看着没啥关系，但是通过添加辅助线，构造出全等三角形，一下子就把它们联系起来了。
这感觉就像在玩拼图游戏，找到关键的那一块，整个画面就完整了。
相似三角形也不赖呀！它们就像一对表兄弟，虽然不完全一样，但有很多相似之处。
如果能证明两个三角形相似，那对应边的比例就相等了。
这就像在做比例游戏，通过找到相似三角形，就能算出线段之间的比例关系。
还有啊，中垂线也很有用呢。
中垂线就像是一个公平的裁判，它把线段分成相等的两部分。
如果一条线段是另一条线段的中垂线，那它们之间的关系可就明确了。
这就像有个天平，两边平衡得很。
等腰三角形也不能忽视。
等腰三角形的两腰相等，这是个很重要的性质。
如果能发现一个图形中有等腰三角形，那就能利用这个性质来证明线段的关系。
比如说，两个底角相等，顶角的平分线又是底边上的中线和高。
这就像一个魔法盒子，打开就有惊喜。
直角三角形也有它的妙处。
勾股定理大家都知道吧？那可是个强大的工具。
在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
这就像一个神秘的密码，解开了就能找到线段之间的关系。
你可能会问，怎么才能找到这些关键的图形呢？这就需要我们有一双敏锐的眼睛啦。
仔细观察图形的特点，看看有没有特殊的角度、相等的线段、平行的线等等。
这些都是线索，就像侦探在找破案的证据一样。
有时候，还可以用面积法来证明线段关系。
把图形的面积分成几个部分，通过面积之间的关系来推出线段之间的关系。
这就像在玩积木游戏，把不同的积木组合起来，就能搭出不同的形状。
易错15 线段的有关计算(解析版)-七年级数学上册期末突破易错挑战满分(人教版)
【突破易错·冲刺满分】2021-2022学年七年级数学上册期末突破易错挑战满分（人教版）易错15 线段的有关计算【易错1例题】线段的有关计算1．（2021·河北滦州·七年级期中）如图，C 为线段AD 上一点，点B 为CD 的中点，且9AD =cm ，2BC =cm ．（1）图中共有______条线段？（2）求AC 的长；（3）若点E 在直线AD 上，且3EA =cm ，求BE 的长．【答案】（1）6；（2）5cm ；（3）4cm 或10cm ．【分析】（1）固定A 为端点，数线段，依次类推，最后求和即可；（2）根据AC =AD -CD =AC -2BC ，计算即可；（3）分点E 在点A 左边和右边两种情形求解．【详解】（1）以A 为端点的线段为：AC ，AB ，AD ；以C 为端点的线段为：CB ，CD ；以B 为端点的线段为：BD ；共有3+2+1=6（条）；故答案为：6．（2）解：∵B 为CD 中点，2BC =cm∵24CD BC ==cm∵9AD =cm∵945AC AD CD =-=-=cm（3）7AB AC BC =+=cm ，3AE =cm第一种情况：点E 在线段AD 上（点E 在点A 右侧）．734BE AB AE =-=-=cm第二种情况：点E 在线段DA 延长线上（点E 在点A 左侧）．7310BE AB AE =+=+=cm ．【点睛】本题考查了数线段，线段的中点，线段的和（差），熟练掌握线段的中点，灵活运用线段的和，差是解题的关键．【专题训练】一、选择题1．（2021·全国·七年级课时练习）下列说法正确的是（ ）A ．若AC BC =，则点C 为线段AB 中点B ．用两个钉子把木条固定在墙上，数学原理是“两点之间，线段最短”C ．已知A ，B ，C 三点在一条直线上，若5AB =，3BC =，则8AC =D ．已知C ，D 为线段AB 上两点，若AC BD =，则AD BC =【答案】D【分析】根据线段中点的定义，两点确定一条直线，线段之间的数量关系求解即可．【详解】解：A 、当点A ，B ，C 不在一条直线上时，点C 不是线段AB 中点，∵选项错误，不符合题意；B 、用两个钉子把木条固定在墙上，数学原理是“两点确定一条直线”，∵选项错误，不符合题意；C 、当点C 在AB 之间时，AC =AB -BC =5-3=2，∵选项错误，不符合题意；D 、已知C ，D 为线段AB 上两点，若AC BD =，则AD BC =，∵选项正确，符合题意．故选：D ．【点睛】此题考查了线段中点的概念，两点确定一条直线，线段之间的数量关系等知识，解题的关键是熟练掌握线段中点的概念，两点确定一条直线，线段之间的数量关系．2．（2021·全国·七年级课时练习）如图，点C 是线段AB 的中点，CD ＝13AC ，若AD ＝1cm ，则AB ＝（ ）A ．3cmB ．2.5cmC ．4cmD ．6cm 【答案】A【分析】根据线段中点的性质及线段间的比例关系，可得AC 的长，从而得到AB 的长．【详解】解：∵点C 是线段AB 的中点， ∵12AC BC AB ==， ∵13CD AC =，1AD ＝cm ， ∵2213AD AC CD ===cm ， ∵12CD =cm ， ∵32AC =cm ， ∵23AB AC ==（cm ），故选：A ．【点睛】题目主要考查线段中点的性质及通过线段的比例求线段长度，找准线段间的关系是解题关键．3．（2021·安徽·合肥38中七年级月考）数轴上表示整数的点称为整点．某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2021厘米的线段AB ，则线段AB 盖住的整点的个数是（ ）A ．2021B ．2022C ．2021或2022D ．2020或2019【答案】C【分析】分线段AB 的端点与整点重合和线段AB 的端点与整点不重合两种情况考虑，重合时盖住的整点是线段的长度+1，不重合时盖住的整点是线段的长度，由此即可得出结论．【详解】解：依题意得：①当线段AB起点在整点时，则1厘米长的线段盖住2个整点，2021厘米长的线段盖住2022个整点，②当线段AB起点不在整点时，则1厘米长的线段盖住1个整点，2021厘米长的线段盖住2021个整点．故选C．【点睛】本题考查了数轴，分类讨论和数形结合的思想方法，注意分类讨论不要遗漏是关键．4．（2021·山东·青岛市崂山区第三中学七年级开学考试）已知线段AB＝5cm，BC＝3cm，且A，B，C在同一直线上，则AC的长为（）A．2cm B．8cm C．2cm或8cm D．以上答案都不对【答案】C【分析】分C在B的左侧和右侧进行求解即可得到答案.【详解】解：如图：当C在B的左侧时：∵AB=5cm，BC=3cm，∵AC=AB-BC=2cm，如图：当C在B的右侧时：∵AB=5cm，BC=3cm，∵AC=AB+BC=8cm，∵AC=2cm或8cm，故选C.【点睛】本题主要考查了线段的和差，解题的关键在于能够弄清C点的位置.二、填空题5．（2021·全国·七年级专题练习）如图，线段AB＝6，AC＝2BC，则BC＝__．【答案】2【分析】根据线段的性质计算，即可得到答案．【详解】∵AB＝6，AC＝2BC∵BC＝AB-AC＝AB-2BC∵BC＝13AB＝13×6＝2故答案为：2．【点睛】本题考查了线段的性质；解题的关键是熟练掌握线段和与差、代数式的性质，从而完成求解．6．（2021·福建省福州延安中学七年级期末）线段AB＝3，延长AB到C，使BC＝AB，再延长BA到D，使AD＝2AB，则线段CD的长等于____【答案】12【分析】根据已知作图、分别得出BC，AD的长，即可得出线段CD的长．【详解】解：∵线段AB=3，延长AB到C，使BC=AB，再延长BA至D，使AD=2AB，如图：∵BC=3，AD=6，∵CD=6+3+3=12．故答案为：12．【点睛】此题主要考查了两点之间距离的求法，根据已知得出BC与AD的长是解题关键．7．（2021·重庆实验外国语学校七年级月考）如图，已知点C为AB上一点，AC＝12cm，CB＝23AC，D、E分别为AC、AB的中点；则DE的长为_____cm．【答案】4【分析】根据AC ＝12cm ，CB ＝23AC ，求出CB 的长度，从而得到AB 的长度，根据D 、E 分别为AC 、AB 的中点，分别求出AD ，AE ，最后根据DE ＝AE −AD 即可求出DE 的长．【详解】解：∵AC ＝12cm ，CB ＝23AC ， ∵CB ＝12×23＝8（cm ）， ∵AB ＝AC ＋CB ＝12＋8＝20（cm ），∵D 、E 分别为AC 、AB 的中点，∵AD ＝12AC ＝12×12＝6（cm ），AE ＝12AB ＝12×20＝10（cm ），∵DE ＝AE −AD ＝10−6＝4（cm ），故答案为：4．【点睛】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，解题的关键是：根据D 、E 分别为AC 、AB 的中点，求出AD ，AE 的长．8．（2021·黑龙江·哈尔滨市第四十九中学校期中）如图，线段AB 和线段CD 的公共部分是线段BD ，且1134BD AB CD ==，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，若20EF =，则BD 的长为______【答案】8【分析】设BD x =，由线段中点的性质得到131,2222AE EB AB x DF FC CD x ======，再根据线段的和差得到AC AB CD BD =+-=AE EF FC ++，转化为解一元一次方程即可．【详解】解：设BD x =，3,4AB x CD x ∴==点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，131,2222AE EB AB x DF FC CD x ∴====== 346AC AB CD BD x x x x =+-=+-=6AE EF FC AC x ∴++==320262x x x ∴++= 解得5202x = 8x ∴=8BD ∴=，故答案为：8．【点睛】本题考查线段的和差，涉及线段的中点、一元一次方程的解法等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．三、解答题9．（2020·福建·三明市第三中学七年级月考）已知：线段AB ＝20cm ，点C 为线段AB 上一点，BC ＝4cm ，点D 、点E 分别为AC 和AB 的中点，求线段DE 的长．【答案】2cm【分析】先根据线段的和差，可得AC 的长，再根据线段中点的性质，可得AD 、AE 的长，最后根据线段的和差，可得DE 的长．【详解】解：由线段的和差，得AC ＝AB ﹣BC ＝20﹣4＝16cm ，由点D 是AC 的中点， 所以1116822AD AC ==⨯=cm ； 由点E 是AB 的中点，得11201022AE AB ==⨯=cm ，由线段的和差，得DE＝AE﹣AD＝10﹣8＝2cm．【点睛】本题考查了两点间的距离，利用了线段的和差，线段中点的性质．10．（2021·浙江衢州·七年级期末）如图，已知线段AB．（1）利用刻度尺画图：延长线段AB至C，使BC＝12AB，取线段AC的中点D．（2）若CD＝6，求线段BD的长．【答案】（1）见解析；（2）2【分析】（1）根据要求作出图形即可．（2）利用线段的中点的定义求出AC，再求出BC，可得结论．【详解】解：（1）如图，线段BC，中点D即为所求作．（2）∵D是AC的中点，∵AD=CD=6，∵AC=12，∵BC=12AB，∵BC=13AC=4，∵BD=CD-CB=6-4=2．【点睛】本题考查了线段的和差定义和线段的中点等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．11．（2021·广东海珠·七年级期末）如图，已知线段AB，点C在AB的延长线上，AC＝53BC，D在AB的反向延长线上，BD＝35 DC．（1）设线段AB长为x，用含x的代数式表示BC和AD的长度．（2）若AB＝12cm，求线段CD的长．【答案】（1）35,24BC x AD x ==；（2）45CD =cm ． 【分析】（1）由已知条件可知线段之间的关系，用x 表示即可；（2）根据CD AD AB BC =++，求得CD 与AB 即x 的关系式，将AB 的值代入即可求得．【详解】（1）如图，设线段AB 长为x ，53AC AB BC BC =+=， 23AB BC ∴=， 即3322BC AB x ==. BD DA AB =+，BD ＝35DC ， 3()5DA AB DA AB BC ∴+=++， 5()3()AD AB AD AB BC ∴+=++，232AD BC AB ∴=-，33352224AD BC AB x x x ∴=-=⨯-=， 35,24BC x AD x ∴== （2）5315424CD AD AB BC x x x x =++=++=， 当AB ＝12cm 时，1512454CD =⨯=cm ． 【点睛】 本题考查了线段的和差，两点之间的距离，列代数式，正确的作出图形是解题的关键．12．（2021·湖南·明德华兴中学七年级期末）如图，点A 、B 、C 、D 在同一条直线上，且AB :BC :CD =2:3:5，线段BC =6．(1)求线段AB 、CD 的长；(2)若在直线上存在一点M 使得AM =2，求线段DM 的长．【答案】（1）AB =4, CD =10；（2）若点M 在点A 左侧，则DM =22；若点M 在点A 右，则DM =18 .【分析】（1）根据线段的和差倍分关系即可得到结论；（2）分两种情况：若点M 在点A 左侧，若点M 在点A 左侧，根据线段的和差即可得到结论．【详解】解：（1）∵AB ：BC ：CD =2:3:5，且BC =6；∵AB =4，CD =10（2）AD =AB +BC +CD =20若点M 在点A 左侧，则DM =AM +AD =22；若点M 在点A 右侧，则DM =AD -AM =18 ；综上所述，线段DM 的长为22或18．【点睛】本题考查了两点间的距离，利用了线段的和差倍分，正确的理解题意是解题的关键．13．（2021·全国·七年级课时练习）（1）如图，已知点C 在线段AB 上，且10AB =cm ，4BC =cm ，点M 、N 分别是AB 、BC 的中点，求线段MN 的长度；（2）若点C 是线段AB 上任意一点，且AB a ，BC b =，点M ，N 分别是AB ，BC 的中点，则MN =________；（3）在（2）中，把点C 是线段AB 上任意一点改为：点C 是直线AB 上任意一点，其他条件不变，（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，直接写出MN 的长度的表达式．【答案】（1）3cm ；（2）2a b -；（3）不成立，MN 的长度为2a b -或2a b +或2b a - 【分析】（1）根据点M 、N 分别是AB 、BC 的中点分别求出BM 和BN 的长度，最后用BM 减去BN 即可求出MN 的长度；（2）根据点M ，N 分别是AB ，BC 的中点，分别表示出BM 和BN 的长度，最后BM -BN 即可表示出MN 的长度；（3）根据题意分3种情况讨论，即当点C 在线段AB 上时，当点C 在AB 的延长线上时和当点C 在BA 的延长线上时，分别求出BM 和BN 的长度，然后根据BM ，BN 和MN 之间的关系即可表示出MN 的长度．【详解】解：（1）因为点M 是AB 的中点，点N 是BC 的中点， 所以1110522BM AB ==⨯=（cm ），114222BN BC ==⨯=（cm ），523MN BM BN =-=-=（cm ）， ∵线段MN 的长度为3cm ；（2）2a b - 解析：因为点M 是AB 的中点，点N 是BC 的中点， 所以122BM AB a ==，1122BN BC b ==， 2a b MN BM BN -=-=； （3）不成立，MN 的长度为2a b -或2a b +或2b a -． 理由：当点C 在线段AB 上时，同（2）可得2a b MN -=； 当点C 在AB 的延长线上时，如图1所示，因为点M 是AB 的中点，点N 是BC 的中点，所以1122BM AB a ==，1122BN BC b ==，MN BM BN =+2a b +=， 即线段MN 的长度为2a b +； 当点C 在BA 的延长线上时，如图2所示，因为点M 是AB 的中点，点N 是BC 的中点，所以1122BM AB a ==，1122BN BC b ==，2b a MN BN BM -=-=，即线段MN 的长度为2b a -． 综上所述，MN 的长度为2a b -或2a b +或2b a -． 【点睛】 此题考查了线段的中点和线段长度的表示方法，解题的关键是熟练掌握线段的中点的概念和线段长度的表示方法．14．（2021·河北滦南·七年级期中）如图，已知B 、C 在线段AD 上．（1）图中共有________条线段；（2）若AB CD =．①比较线段的大小：AC ________BD （填：“>”、“=”或“<”）；②若20AD =，12BC =，M 是AB 的中点， N 是CD 的中点，求MN 的长度．【答案】（1）6；（2）①＝；②16【分析】（1）分别以A 、B 、C 为线段的端点，数出线段的条数即可；（2）①根据AC =AB +BC 及BD =BC +CD ，即可得AC 与BD 的大小关系；②由题意可求得AB +CD 的长，由中点的含义及MN BM CN BC =++即可求得MN 的长度．【详解】（1）以A 为端点的线段有AB 、AC 、AD 共3条；以B 为端点的线段有BC 、BD 共2条；以C 为端点的线段为CD ，有1条，故共有线段的条数为：3+2+1=6故答案为：6．（2）①∵AC =AB +BC ，BD =BC +CD ，且AB =CD∵AC =BD故答案为：＝．②∵20AD =，12BC =∵8AB CD AD BC +=-=．∵M 是AB 的中点，N 是CD 的中点 ∵12BM AB =， 12CN CD = ∵11()8422BM CN AB CD +=+=⨯=． ∵41216MN BM CN BC =++=+=．【点睛】本题考查了线段的数量，线段的和差运算，线段的中点含义，线段大小的比较等知识，把线段表示成和差的形式是解决本题的关键．15．（2021·云南盘龙·七年级期末）如图，点C 在线段AB 上，点M 、N 分别是线段AC 、BC 的中点．（1）若CN ＝15AB ＝2cm ，求线段MN 的长度； （2）若AC +BC ＝acm ，其他条件不变，请猜想线段MN 的长度，并说明理由；（3）若点C在线段AB的延长线上，AC＝p，BC＝q，其它条件不变，则线段MN的长度会有变化吗？若有变化，请直接写出结果，不说明理由．【答案】（1）MN＝5cm；（2）MN＝12acm，见解析；（3）有变化，MN＝12（p﹣q）【分析】（1）由中点的性质得MC＝12AC、CN＝12BC，根据MN＝MC+CN＝12AC+12BC＝12（AC+BC）可得答案；（2）由中点性质得MC＝12AC、CN＝12BC，根据MN＝MC+CN＝12（AC+CB）可得答案；（3）根据中点的性质得MC＝12AC、CN＝12BC，结合图形依据MN＝MC﹣CN＝12AC﹣12BC＝12（AC﹣BC）可得答案．【详解】解：（1）∵CN＝15AB＝2cm，∵AB＝10（cm），∵点M、N分别是AC、BC的中点，∵MC＝12AC、CN＝12BC，∵MN＝MC+CN＝12AC+12BC＝12（AC+BC）＝12AB＝5（cm）；（2）∵M、N分别是AC、BC的中点，∵MC＝12AC、CN＝12BC，∵AC+CB＝acm，∵MN＝MC+CN＝12（AC+CB）＝12a（cm）；（3）有变化，如图，∵M、N分别是AC、BC的中点，∵MC＝12AC、CN＝12BC，∵AC＝p，BC＝q，∵MN＝MC﹣CN＝12AC﹣12BC＝12（AC﹣BC）＝12（p﹣q）．【点睛】本题主要考查两点间的距离，掌握线段的中点的性质、线段的和差运算是解题的关键．16．（2020·福建·南安市南光中学七年级月考）如图，已知线段AB＝12cm，点C为线段AB上的一动点，点D，E分别是AC和BC中点．（1）若点C恰好是AB的中点，则DE＝cm；（2）若AC＝4cm，求DE的长；（3）试说明无论AC取何值（不超过12cm），DE的长不变．【答案】（1）6；（2）6cm；（3）见解析．【分析】（1）由AB＝12cm，点D，E分别是AC和BC的中点，得出DE＝DC+CE＝12（AC+CB），即可求解；（2）由AC＝4cm，推出CD＝2cm，根据AB＝12cm，AC＝4cm，得出BC＝8cm，由DE＝DC+CE即可求DE的长；（3）根据点D，E分别是AC和BC的中点，得出DC＝12AC，CE＝12CB，由DC+CE＝12（AC+CB），即可得证．【详解】解：（1）∵点D，E分别是AC和BC的中点，∵DC＝12AC，CE＝12CB，∵DE＝DC+CE＝12（AC+CB）＝6cm；故答案为：6．（2）∵AC＝4cm，∵CD＝2cm，∵AB＝12cm，AC＝4cm，∵BC＝8cm，∵CE＝4cm，DE＝DC+CE＝6cm；（3）∵点D，E分别是AC和BC的中点，∵DC＝12AC，CE＝12CB，∵DC+CE＝12（AC+CB），即DE＝12AB＝6cm，故无论AC取何值（不超过12cm），DE的长不变．【点睛】本题考查了线段的和差倍分，解题的关键是正确的识别图形．。
数学人教版九年级下册与线段数量关系有关的探究问题
课后补练
已知四边形ABCD是正方形，F、E分别是DC和CB延 长线上的点，且DF=BE，连接AE、AF、EF，连接AC交 EF于点N，边AB交EF于点M，猜想线段EN、MF、FE的 数量关，说明理由。
A D
F
N
MC中，∠C=90°，AB边的垂直 平分线交AB于E，交AC于点D，则线段AD、CD、 BC 的数 量关系是：AD2=CD2+BC2
3、如图3，在△ABC中，点D是AB边上一点， 且满足∠ACD=∠B，则AC、AD与AB之间的
数量关系是：
AC2=AD · AB
图3
4、如图4：已知∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，试问 第3题中的结论还成立吗？你还可以得到类似的线段关 系吗？
转化的思想综合分析课后补练已知四边形abcd是正方形fe分别是dc和cb延长线上的点且dfbe连接aeafef连接ac交ef于点n边ab交ef于点m猜想线段enmffe的数量关说明理由
与线段数量关系有关的探究问题
——九年级数学几何综合专题复习
讲课人：
李兴忠
1、如图1，在△ABC中，BG平分∠ABC ，CG平∠ACB， 过点G作EF∥BC交边AB于点E，交AC于点F，则线段 EF、CF、BE之间的数量关系是：EF=CF+BE
变式一：若EF交DC于点G，试探究线段DG、DC、EF 之间的数量关系，并证明。
变式二：若AB=6，在∠EDF旋转的过程中，请问 线段CG是否有最大值？若有，求出最大值。若没 有，请说明理由。
归纳反思：
1、三条线段数量关系的常见类型： 和差关系 全等、等腰三角形等性质 “勾股”关系 直角三角形 乘积关系 相似 2、解题思想及方法：转化的思想，综合分析 法。
是
点和线段的数量关系公式
点和线段的数量关系公式
点与线段之间的关系公式线段数=点数×（点数-1）/2。
扩展资料：
线段是指两端都有端点，不可延伸，有别于直线、射线。
线段，技术制图中的一般规定术语，是指一个或一个以上不同线素组成一段连续的或不连续的图线，如实线的线段或由“长划、短间隔、点、短间隔、点、短间隔”组成的双点长划线的线段。
用直尺把两点连接起来，就得到一条线段。
线段长就是这两点间的距离。
连接两点间线段的长度叫做这两点间的距离。
通常来说，也是课本上通用的一种说法，是线段是由无数个点组成的。
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┃命题回顾┃
命题点 线段数量关 系的存在与
探究
年份 2015 2014 2013
题型，题号
重点设问
柳州26， 贵港25等
钦州26
1、求线段最值；2、根据线段间的关 系求点的坐标；3、求线段的关系式； 4、判断线段的数量关系，并利用线
南宁26， 段的数量解决其他数学问题。 贺州26
问题特点
┃知识运用┃
如图，抛物线 y ax2 bx c 与x轴交于点A,
B(1,0),与y轴交于点C，直线
y 1 x 2 经过点 2
A,C，抛物线的顶线解析式；
(2) 求顶点D与对称轴l
思路：先求A,C两点的坐标； 然后再由A,B,C三点求抛物线 的解析式
两点间的距离AB= x1 x2
点评：若点A(x1, y1),B(x2, y2)在与y轴平行的直线上，
则两点间的距离AB= y1 y2
4.平面上有两点A(0,4),B(-3,0)则两点间的距离 AB=__5__
5.平面上有两点A(3,6),B(6,2)则两点间的距离 AB=__5__
点评：当线段与x轴，y轴不平行时，计 算线段AB的长度时，需构建直角三角形， 利用勾股定理来计算
提高训练
★在上一题的条件下
（1）点P在x轴上移动，是否存在 PBC与 OBC 相似？如果存在，求点P的坐标，如果不存在，请 说明理由；
与三角形有关的知识，一般可 能用到全等，勾股定理，相似， 这道题用到哪些知识呢？认真 想一想！
点的坐标为 P10,0 P2 4,0
（2）若点P在对称轴上移动，当PAC是以
P2 1 5,0
P4 1.5,0
课后作业
试题研究：P130 1,2,3
P点坐标 a, 1 a2 5 a 2
2 2
Q点坐标 a, 1 a 2
2
PQ为PQ= 1 a2 2a
2
=
1 a 22 2
2
二次项系数小于0
所以当a为2时PQ有最大值为2，
这时P的坐标为（2,1）
回扣目标
本节课你有哪些收获？
l
(1)二次函数为
y 1 x2 5 x 2 22
(2)
顶点为D
5 2
,
9 8
对称轴为 x 5
2
(3) 设点E为x轴上一点，且AE=CE，求点E的坐标;
思路：设点E的坐标为（a,0),分 别利用含a的式子表示出AE,CE 再根据AE=CE即可
点E坐标为
3 ,0 2
2.领会转化、数形结合、分类讨论的数学思想在函 数问题中的应用。
┃基础练习┃
1.数轴上两点A(2,0),B(-3,0)之间的距离AB=__5__ 2.平面上两点A(3,5),B(-3,5)之间的距离AB=__6___ 3.数轴上两点 A(3, 5),B(3, -2)之间的距离AB=__7__
点评：若点A(x1, y1),B(x2, y2)在与x轴平行的直线上，则
1、属于各地市必考题，且多数属于压轴题 2、设问数多，在2—4问，其中三问居多 3、分值高，在10—12分 4、问题背景：函数与几何图形综合题，且
多数涉及动点 5、数学方法：此类题目多涉及数形结合和
分类讨论
┃复习目标┃
1.学会用代数法表示与函数图像相关线段的数量关 系，并对线段的最值等一系列问题进行研究；
（5）若P点为AC上方抛物线上一动 点，过点P作y轴的平行线，交AC于 点Q，设点P的横坐标为a，
① 求线段PQ关于a的函数关系式；
② 求PQ的最大值及此时点P的坐标。
思路：用含a的式子表示点P,点Q的 坐标，从而得出线段PQ的解析式； 发现解析式是一个二次函数，由顶 点坐标得到PQ的最大值及点P的坐 标
注意：在平面直角坐标系中的 存在性问题，经常要用到数学 中的分类思想，本题也就是要 想到：上，下，左右的问题。
AP=AC P1 1 5,0 P2 1 5,0
CP=CA P31,0
PA=PC P4 1.5,0
综上点P的坐标为：P11 5,0
P3 1,0
(4) 若点F是直线l上的动点，是否存在点F，使得 △BCF的周长最小，若存在，请求出点F的坐标及 △BCF的周长最小值，若不存在，请说明理由；
思路：因为BC长为定值，要使 三角形BCF周长最小，即 CF+BF最小，可利用对称性来 实现
点F的坐标为
5 , 3 2 4
BCF 的周长为 3 5
AC为直角边的直角三角形时，求点P的坐标
表面上这道题是求证直 角三角形的，其实认真 的想一想，看一看，发 现有好多对相似的三角 形，能不能利用相似， 使计算更简单些？
点的坐标为
P1
5 2
,7
P2
5 2
,5
（3）是否存在x轴上一点E，使 ACE 为等腰三角形？若存在，求出点E的坐 标，若不存在，请说明理由。