探究线段数量关系与位置关系

截长补短法：上面问题中， ◆截长补短法：上面问题中，通过延长或截取的
方法， 方法 ， 将三条线段的数量关系转化为两条线段的数 量关系，而解题关键就是要证明两个三角形全等。 量关系，而解题关键就是要证明两个三角形全等。
回顾反思
1．本堂课中复习到了哪些数学知识？ 本堂课中复习到了哪些数学知识？ 你学习到哪些新的题型，处理这类问题你有什么方法？ 2．你学习到哪些新的题型，处理这类问题你有什么方法？ 在解题的过程中你学习了哪些数学方法和数学思想？ 3．在解题的过程中你学习了哪些数学方法和数学思想？
D F C
B1 B
转化思想 如图1， 已知正方形 如图1，已知正方形ABCD中， 如图 ，已知正方形 ， 已知正方形ABCD中 ， 中 中 F1 转化思想能够 BE=CF， 探究线段 与 使复杂的问题 AE⊥BF， 则线段BE 与CF 相 等 AE=BF ， 探究线段AE与 BF的 ⊥ ， 则线段BE与 CF相等 则线段 与 相等 的 数量关系和位置关系？ 简单化 ， 相等吗？ 垂直吗？ 吗？AE与BF相等吗？ 数量关系和位置关系？ 简单化， 陌生 与BF垂直吗 相等吗 垂直吗
深化提高
反思：你获得哪些证明方法？ 反思：你获得哪些证明方法？
问题1 如图① 将等腰直角三角尺 AMN 的非直角顶点A ，AM与 AMN的非直角顶点 问题 1 ： 如图 ① , ②，若三角尺AMN绕点A的非直角顶点 A 与正方形 问题2 如图② 若三角尺AMN绕点A继续逆时针旋转， AMN绕点 问题2：如图 将等腰直角三角尺AMN 继续逆时针旋转 AM与 ABCD的顶点 A 重合, 斜边 AN 与正方形的对角线 AC重合 F ， 连 接 的顶点A AN与正方形的对角线 交 于 点 ABCD 的顶点长重合 ,于 点 E ， AN 与 CD 的 延 长 线 AC 重合 . 若正方形 BC 的 延 线 交 斜边AN 与正方形的对角线AC 重合. ABCD保持不动 将三角尺AMN绕点A按逆时针方向旋转,当AM与BC交 保持不动, AMN绕点 ABCD保持不动,将三角尺AMN、 DF 、 EF 又有怎样的数量关系 ？ 请 EF．此时，猜想线段BE DF、EF又有怎样的数量关系 BE、 又有怎样的数量关系？ EF ． 此时 ， 猜想线段 BE 绕点A按逆时针方向旋转, AM与BC交 于点E,AN CD交于点 E,AN与 交于点F 连接EF BE＋ 于点E,AN与CD交于点F 时, 连接EF.猜想 BE＋DF与EF满足的数量关 写出你的猜想，并证明． 写出你的猜想，并证明． EF.猜想BE DF与EF满足的数量关 N 并证明． 系,并证明． A 1 D F F 32 D BE=0 N A 12 F / 4 DF=DCF B (E) C (F) E 3 EF=BC N / C E E B F M M M N 图② 图① 猜想： ＋ 猜想：BE＋DF=EF 猜想： M － 猜想：BE－DF=EF
河北中考《操作与探究问题》专题复习 河北中考《操作与探究问题》
张北县第三中学
刘伟
A
D
A
D (A)
观察思考
A
B A
图1
D
B
图2
C(B) A B
E
E C
C
A
O
C D B
B
F B B
F A
D(C)
图4
E B O
B
图3
E D
C
F
C
A
F
基本图形
图6
F
D 图5 C E
E
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C
典例精析
A O E 2 图1
反思：你获得哪些知识与方法？ 猜想：AE=BF，AE⊥BF ， 如何证明呢？ 反思：你获得哪些知识与方法？ 猜想：BE=CF，AE=BF AE=B1F，如何证明呢？ ， ⊥
O C E M B
D N F O/
B
M
E Q C N 图3 G 如图3，O为正方形 分别平移到 如图 ， 为正方形ABCD内任意一点 内任意一点， 为正方形 内任意一点 如图4，若将MN、PQ分别平移到 ， 如图 ，若将 、 MN⊥PQ于 则它们还相等吗？ ⊥ 于 ，求证： ． 图4 正方形外部，则它们还相等吗？ 正方形外部，O，求证：MN=PQ．
未知 复杂 ●截长补短法 ●转化思想 一般 变中找不变， ●变中找不变，即在平移与 运动
已知 简单 特殊 静止
旋转过程中， 旋转过程中，抓住不变的边 和角。 和角。
结束寄语
下课了!
观察、操作、思考、 观察、操作、思考、感悟 是能否进入数学大门， 是能否进入数学大门，领略数 学奥妙的关键. 学奥妙的关键.
的问题熟悉化， 的问题熟悉化 ， 抽象的问题具 体化。 体化 。 例如将 图2中的问题 转化为我们相 对熟悉的图1， 进而获得解决 问题的转机。 问题的转机。
D P A 如图 2 ， 若将 BF 平移到 B F P A 如图2 若将BF 平移到B1 BF平移到 O Q
位置， 位置 ， 即 AE⊥B1F ， 则线段 O F AE与 / 还相等吗？ AE与B1F还相等吗？
河北中考《操作与探究问题》 河北中考《操作与探究问题》专题复习
中考中的操作与探究问题， 中考中的操作与探究问题 ， 绝大部分是研究几何图形变化过程 中性质的变化规律， 中性质的变化规律，尤其是相关图 形的不变性，常常体现在探究线段 形的不变性，常常体现在探究线段 的数量关系与位置关系， 的数量关系与位置关系，成为近年 中考的热点。 中考的热点。