高三复习考点强化：平衡中的临界、极值问题

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素养提升
科学思维系列——整体法、隔离法在平衡问题中的应用
1．整体法与隔离法
整体法
隔离法
wk.baidu.com概念
将加速度相同的几个物体作为一个 整体来分析的方法
将研究对象与周围物体分隔开的 方法
选用 研究系统外的物体对系统整体的作 研究系统内物体之间的相互作用
原则 用力或系统整体的加速度
力
2.整体法
整体法是研究力学问题的又一重要方法，它是将几个相互关联的物体看成一个整体
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多维训练
解析 对小球进行受力分析如图甲所示，连接 O2B 和 O1O2，由几何关系可知 θ＝α，小球受力平衡，有 FN1
＝m2gsin θ，FT＝m2gcos θ，对小球和半圆柱体整体进行受力分析，整体受地面的支持力 FN、墙壁的弹力 F、细
线的拉力 FT、重力(m1＋m2)g，如图乙所示，整体受力平衡，则在竖直方向上有 FN＋FTcos θ＝(m1＋m2)g，水平
解析 对 A 球受力分析可知，因 O、A 间绳竖直，则 A、B 间绳上的 拉力为 0。对 B 球受力分析如图所示，则可知当 F 与 O、B 间绳垂直时
F 最小，Fmin＝Gsin θ，其中 sin θ＝2ll＝21，则 Fmin＝21G，故选项 A 正确。
答案 A
多维训练
1．如图17，倾角为45°的斜面体A放在水平地面上，A与地面间的动 摩擦因数为0.75，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，光滑半球体B静止在 竖直墙和斜面体之间，已知A、B所受重力都为G，若在B的球心处施加 一竖直向下的力F，要保持斜面体静止不动，F的最大值是( )
多维训练
2．(多选)(2019·安徽安庆二中质检)如图所示，质量为M的木楔倾角为θ，在水平面上 保持静止。当将一质量为m的木块放在斜面上时正好匀速下滑，如果用与斜面成α角的 力F拉着木块沿斜面匀速上滑。重力加速度为g，下列说法中正确的是( )
A．当α＝2θ时，F有最小值 B．F的最小值为mgsin 2θ C．在木块匀速上滑过程中，地面对M的静摩擦力方向水平向右 D．在木块匀速上滑过程中，地面对M的静摩擦力方向水平向左
解析 用整体法分析，把两个小球看做一个整体，此整体受到的外力为竖直向下的重 力2mg、水平向左的力F(甲受到的)、水平向右的力F(乙受到的)和细线1的拉力，两水 平力相互平衡，故细线1的拉力一定与重力2mg等大反向，即细线1一定竖直；再用隔 离法，分析乙球受力的情况，乙球受到向下的重力mg，水平向右的拉力F，细线2的 拉力F2。要使得乙球受力平衡，细线2必须向右倾斜。选项A正确。答案 A
考点强化：平衡中的临界、极值问题
01
课堂互动
02 多维训练
03 素养提升
04 备选训练
课堂互动
1．临界问题 当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰 好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言 叙述。 2．极值问题 平衡物体的极值，一般是指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。
跟着发生改变。已知重力加速度为 g，不计各接触面间的摩擦，则下列说法
正确的是( ) A．当 θ＝60°时，半圆柱体对地面的压力大小为 m1g＋43m2g
B．当 θ＝60°时，小球对半圆柱体的压力大小为 3m2g C．换用不同的半圆柱体时，半圆柱体对竖直墙壁的最大压力大小为21m2g
D．换用半径更大的半圆柱体时，半圆柱体对地面的压力保持不变
方向上有 F＝FTsin θ。当 θ＝60°时，FN1＝ 23m2g，由牛顿第三定律得小
球对半圆柱体的压力大小为 23m2g，B 错误；F＝FTsin θ＝12m2gsin 2θ， 当 θ＝45°时，Fmax＝21m2g，C 正确；FN＝(m1＋m2)g－m2gcos2θ，当 θ＝
60°时，FN＝m1g＋34m2g，当换用半径更大的半圆柱体时，θ 改变，FN 改 变，由牛顿第三定律可知 A 正确，D 错误。答案 AC
课堂互动
3.解题思路
课堂互动
【例4】如图所示，重力都为G的两个小球A和B用三段轻绳连接后悬挂 在O点上，O、B间的绳子长度是A、B间的绳子长度的2倍，将一个拉力 F作用到小球B上，使三段轻绳都伸直且O、A间和A、B间的两段绳子分 别处于竖直和水平方向上，则拉力F的最小值为（ ）
1
3
23
A.2G B. 3 G C.G D. 3 G
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多维训练
涉及极值的临界问题的三种解答方法 (1)图解法 根据平衡条件作出力的矢量图，如只受三个力，则这三个力构成封闭矢量三角形，然 后根据矢量图进行动态分析，确定最大值和最小值。(如例4的求解方法) (2)假设推理法 先假设某种临界情况成立，然后根据平衡条件及有关知识进行论证、求解。 (3)数学方法 根据物体的平衡条件列方程，在解方程时采用数学知识求极值。通常用到的数学知识 有二次函数求极值、讨论公式求极值、三角函数求极值以及几何法求极值等。(如T2的 求解方法)
多维训练
2．(多选)(2019·黑龙江齐齐哈尔 3 月模拟)如图所示，竖直墙壁与光滑水平地面交于 B 点，质量
为 m1 的光滑半圆柱体紧靠竖直墙壁置于水平地面上，O1 为半圆柱体截面所在圆的圆心，质量为 m2 且可视为质点的均匀小球 O2 用长度等于 A、B 两点间距离的细线悬挂于竖直墙壁上的 A 点，小球静 置于半圆柱体上，当换用质量不变，而半径不同的光滑半圆柱体时，细线与竖直墙壁的夹角 θ 就会
(系统)，把这一整体作为研究对象。这种研究方法与隔离法各有长处，如果不求系统
的内力，则用整体法更简便。
素养提升
【典例】(2018·杭州七校联考)如图所示，甲、乙两个小球的质量均为m，两 球间用细线连接，甲球用细线悬挂在天花板上。现分别用大小相等的力F水平向 左、向右拉两球，平衡时细线都被拉紧。则平衡时两球的可能位置是下面的( )
A．G B．1.5G C．2G D．2.5G
解析 对斜面体和半球体整体受力分析如图甲所示，施加 力F之后，可知斜面体对地面的正压力为2G＋F，最大静 摩擦力为fm＝μ(2G＋F)；对半球体受力分析如图乙所示， 未施加力F时有，竖直墙壁的弹力大小F1＝Gtan 45°，施加 力F之后，竖直墙壁弹力大小变为F1′＝(G＋F)tan 45°，要 使斜面体静止不动，水平方向上受力平衡，即(G＋F)tan 45°≤μ(2G＋F)，解得F≤2G，选项C正确。 答案 C