讲义一

2013-8-10
应用随机过程讲义 第一讲
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下列命题等价： A, B, C独立; A, B, C独立; A, B, C独立; A, B, C独立; A, B, C独立; A, B, C独立; A, B, C独立; A, B, C独立. 记 ( A, B), 2 (C ), 任取A1 , A2 2 , 1 1 则A1 , A2 独立. 例如，AB, A \ B和A B均与C独立.
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应用随机过程讲义 第一讲
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解：A A1 A1 A2 A1 A2 A3 （互不相容） P( A) P( A1 ) P( A1 ) P( A2 | A1 ) 1 A2 ) 3 | A P( A1 A2 ) P( A 0.2 0.98 0.9984 6 0.4 0.8 0.4 0. P( B) 0.6 0.4 0.05 0 0.62
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离散型随机变量的示性函数表示法
d .r.v. X , 若其分布律为： ( X xk ), k N , P 设事件Bk ( : X xk ), 则X可以表示为 X ( ) xk I Bk ( ),
k 1
这说明对于任一d.v.r.，总可以分解为互不交的事件 的示性函数的迭加。
20
7.
Ak ,1 k n, n 2, P( Ak ) P( Ak )
k 1 k 1 n n 1i j n
P( A A ) P( A A A )
i j 1i j n i j k
... (1) n 1 P( A1 A2 ...An )
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全概率公式
P( A) P( Bk ) P( A | Bk ) {Bk ,1 k} Bk Bl Φ , l A Bk k ， P( A | C ) P( Bk | C ) P( A | Bk C )
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第一讲
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随机事件与概率
随机试验
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要点： • 在相同条件下，试验可重复进行； • 试验的一切结果是预先可以明确的，但每 次试验前无法预先断言究竟会出现哪个结 果。
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• Buffon试验：最早用随机试验的方法求 某个未知的数。 • 测度：满足非负性、可列可加性的集函 数。
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设集类 {[ a, b], a, b R, a b} 则由 生成的代数 ( ) 称为 一维Borel代数. ，称为一维Borel可测集.
400
0.9997 .
一次成功的概率只有2％，是典型的小概率事件； 但重复次数足够多，如n=400， 至少一次成功就是大概率事件！
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只要功夫深，铁杵磨成针！
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随机变量
定义解释
X ( ) : (, ) ( R, )是可测映射； a R, { : X ( ) a} 保证了概率定义的 可测性要求。
事件的关系与运算
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事 件 序 列 A, n 1} { 若An An 1 , 称之为单调不减序列。
n 1
An lim An
n

若An 1 An , 称之为单调不增序列。
n 1
An lim An
n
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k
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k
k
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事件的独立性
A, B独立 P ( AB) P ( A) P ( B ) P ( A | B ) P ( A | B ) P ( A) A, B独立
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几个事件的独立性
三个事件A, B, C相互独立，要满足四个 等式, P( AB) P( A) P( B) P( AC) P( A) P(C ) P( BC) P( B) P(C ) P( ABC) P( A) P( B) P(C )
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若A1 , A2 ,...An 独立， 设1 i1 i2 ... ik n, 则 P( Ai1 Ai2 ...Aik ) P( Ai1 ) P( Ai2 )...P( Aik ) B1 ( A1 , A2 ,...Am ), B1 ( Am 1 ,...An ), B1和B2 独立。
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n 1 k n
( Ak ) lim An lim sup An
n n


n 1 k n
( Ak ) lim An lim inf An
n n n n
如果 lim An lim An， 则定义 lim An lim An lim An .
8. 可列次可加性
P( Ak ) P( Ak )
k 1 k 1


9. 概率连续性
若{ An , n 1}为单调事件序列，则 P(lim An ) lim P( An )
n n
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这部分的详细讨论可以参见
《随机数学引论》
林元烈，清华大学出版社
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P：完全可加的集函数， 概率
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1. 古典概型 A
( A) A中的样本点数目 P( A) () 中的样本点数目
隐含了等可能条件 2. 几何概型 A点集的面积 P( A) 点集的面积 隐含了等可能条件
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应用随机过程讲义 第一讲
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用示性函数的关系及运算来 表示相关事件的关系及运算
min(a, b) a b, 取下端 max(a, b) a b, 取上端 I A B ( ) I A ( ) I B ( ) I A B ( ) I A ( ) I B ( ) 若A B, 则I A－B ( ) I A ( )－I B ( ) A B I A ( ) I B ( ) A B I A ( ) I B ( ) ，
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4.
A, B P( A \ B) P( A) P( AB) 若B A P( A B) P( A) P( B)
5. 6.
P( A B) P( A) P( B) P( AB)
若A B, 则P( A) P( B)
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应用随机过程讲义 第一讲
应用随机过程
清华大学数学科学系
林元烈 主讲
教材：《应用随机过程》（第三次印刷）
林元烈，清华大学出版社
学习要求
• 不仅是掌握知识，更重要的是掌握思想
• 学会把抽象的概率和实际模型结合起来
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应用随机过程讲义 第一讲
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学习重点
1. 用随机变量表示事件及其分解——基本理 论 2. 全概率公式——基本技巧 3. 数学期望和条件数学期望——基本概念
比较甲乙两人的结果，从以上结果可以得到什么结论
？
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机遇偏爱有心人！
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例2：进行n次独立重复试验，设每 次成功 概率为0.02 ，若n 400 ，求至少有一次成 功的概率。
P( A) 1 (0.98)
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条件概率 A, B P ( AB) P( A | B) ) P ( A | ) P ( A P( B) 条件概率的性质与无条 件概率相同。 P ( AB) P ( B ) P ( A | B ) P ( A) P ( B | A)
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公理化定义
集类
粗略地说，由的子集作为元素构成的 的集合 称为集类。 {, }是最简单的集类。
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概率
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概 率 空 间 (, , P) ：集合，样本空间 ：集类， 代数 A：的元素，事件 P( A)：事件的概率
n n n
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示性函数
1, A I A ( ) 0, A 事件{ : I A ( ) 1} A 事件{ : I A ( ) 0} A
是最简单的随机变量
用随机变量来表示事件
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例1 ：甲乙两人各做三次试 验，记Ak，Bk 为 甲乙两人第k次试验成功， k 3)。已知 (1 P( A1 ) 0.6, P( A2 | A1 ) 0.8, P( A3 | A1 A2 ) 0.98, P( B1 ) 0.6, P( B2 | B1 ) 0.05, P( B3 | B1 B2 ) 0 令A A1 A2 A3 , B B1 B2 B3， 求：P( A)和P( B).
以上集类和生成相同的σ-代数,都是上面提到Hale Waihona Puke Baidu一 维Borelσ-代数，即 ( ) ( k ), (1 k 5)
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• 直观地说， ( ) 中包含一切开区间，闭区间， 半开半闭区间，半闭半开区间，单个实数，以及 由它们经可列次并交运算而得出的集类。
k 1

由概率非负性即得
P() 0
P( A) 1 P( A)
有限可加性
由P() 0及完全（可列）可加性 即得
若A1 , A2 ,...An , 且AA (i j ), 则 ＝ P( Ak ) P( Ak )
k 1 k 1
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n
n
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样本点 对于随机试验E，以ω表示它的一个可能 出现的试验结果，称ω为E的一个样本点。
样本空间 样本点的全体称为样本空间，用Ω表示。 Ω ＝{ω}
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随机事件 粗略地说，样本空间Ω的子集就是随机事件， 用大写英文字母A、B、C等来表示。
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实际上，设集类
1＝ a, b), a, b R, a b}, 2＝ a, b], a, b R, a b}, {[ {( 3＝ a, b), a, b R, a b}, {( r1 , r2 ), r1 , r2为有理数}, {( ＝ 5＝ G : G为R中开集} {
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概率是满足 1) 非负性； 2) 归一性； 3) 可列可加性； 的集函数。 可测集 粗略地说，可以定义长度（面积、体积）的 点集即为可测集；反之称为不可测集。
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概率的性质
1. 2. 3.
显然有＝ ... P() P(), ，