掌门人一对一全套资料高一数学1-6对数与对数函数

2019/12/24
三、反函数的概念与性质 1．若函数 y＝f(x)的定义域为 A，值域为 B，对于 B 中的每一个元素 y0，在 A 中都有唯一的元素 x0 与之对应， 则函数 y＝f(x)存在反函数，记为 y＝f－1(x)，且 y＝f－1(x) 的定义域、值域分别为 y＝f(x)的值域、定义域． 指 数 函 数 y ＝ ax(a>0 且 a≠1) 与 对 数 函 数 y ＝ logax(a>0 且 a≠1)互为反函数．
分析：(1)由11－ ＋aa与11＋ －aa的倒数关系及对数运算法则 logaNn＝nlogaN 求解．
(2)注意到 lg2＋lg5＝1，可通过提取公因式产生 lg2 ＋lg5 求解．
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解析：(1)f(－a)＝lg11＋ －aa＝lg11－＋aa－1＝－lg11－ ＋aa＝－ f(a)＝－b.故选 B.
知识归纳
一、对数 1．由定义知：ab＝N⇔b＝ logaN (a>0，a≠1，N>0)． 2．性质：(1)负数和零没有对数；(2)1 的对数为 0 ； (3)底的对数为 1 .
3．恒等式：
(1)
＝ N ，(a>0，a≠1，N>0)
(2)logaab＝ b .
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4．运算法则： (1)loga(MN)＝ logaM＋logaN ；
(2)(lg2)2＋ lg2lg5＋ lg5＝ lg2(lg2＋ lg5)＋lg5＝ lg2＋ lg5＝1.
答案：(1)B (2)1
2019/12/24
(文)(2010·四川高考)2log510＋log50.25＝( )
A．0
B．1
C．2
D．4
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解析：2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log525 ＝2，故选 C.
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A．0<a－1<b<1 C．0<b－1<a<1
B．0<b<a－1<1 D．0<a－1<b－1<1
解析：∵t＝2x＋b－1 单调增，f(x)单调增，∴a>1.
由图知－1<f(0)<0，∴－1<logab<0， ∴a－1<b<1，故选 A.
答案：A
2019/12/24
对数函数的单调性
2019/12/24
2019/12/24
对数的运算与性质
[例 1] (1)已知函数 f(x)＝lg11－＋xx，若 f(a)＝b，则 f(－
a)＝( )
A．b
B．－b
1 C.b
D．－1b
2019/12/24
(2)(2011·苏 北 四 市 二 模 )(lg2)2 ＋ lg2lg5 ＋ lg5 ＝ ________.
[例 3] 若 0<x<y<1，则( )
A．3y<3x
B．logx3<logy3
C．log4x<log4y
D.14x<14y
2019/12/24
解析：∵0<x<y<1， ∴①由 y＝3u 为增函数知 3x<3y，排除 A； ②∵log3u 在(0,1)内单调递增， ∴log3x<log3y<0，∴logx3>logy3，∴B 错． ③由 y＝log4u 为增函数知 log4x<log4y，∴C 正确． ④由 y＝14u 为减函数知14x>14y，排除 D.
为 f－1(x)，那么 f－1(54)＝(
)
5 A.4
B．4
1 C.4
D．－2
分析：利用函数 f(x)及其反函数 f－1(x)的关系求解．
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解析：设 f－1(54)＝a，则 f(a)＝54， ∴2a＋1＝54，∴a＝－2.
答案：D
2019/12/24
点评：如果点(a，b)在反函数 y＝f－1(x)的图象上，则 点(b，a)在原来函数的图象上；互为反函数的两个函数的 图象关于直线 y＝x 对称．
答案：B
2019/12/24
(文)已知函数 y＝loga(x＋b)的图象如图所示，则 ab ＝________.
2019/12/24
解析：由图象知llooggaabb＝－12，＝0， 得 a＝b＝3， 所以 ab＝33＝27.
答案：27
2019/12/24
(理)已知函数 f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0 且 a≠1)的图 象如图所示，则 a，b 满足的关系是( )
2019/12/24
(文)已知函数 y＝f(x)的图象与函数 y＝2－x－1 的图
象关于直线 y＝x 对称，则 f(3)的值为( )
A．1
B．－1
C．2
D．－2
2019/12/24
解析：由反函数对称性知，y＝f(x)的反函数为 y＝2－ x－1，则设 f(3)＝x，
则 f－1(x)＝3，即 2－x－1＝3，得 x＝－2.故选 D.
第六节
对数与对数函数
2019/12/24
2019/12/24
重点难点 重点：①对数的概念、性质、运算法则、换底公式． ②对数函数的概念、图象与性质． 难点：①对数的换底公式． ②对数函数在 a>1 与 0<a<1 时图象、性质的区别． ③对数函数图象与性质的应用及简单对数方程、不 等式的求解．
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2019/12/24
分析：观察图象知应从其对称性入手，由于 ab＝1， a>0，∴b>0，可据此进行讨论．
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解析：∵a>0 且 a≠1，ab＝1，∴b>0. 又 y＝loga|x＋b|的图象关于 x＝－b 对称，故排除 A、 C. 由 B、D 知－b<－1，∴b>1，∵ab＝1，∴0<a<1. 故选 B.
当 a>1 时，∴f(x)＝logax 在[a,2a]上为增函数， ∴loga2a－logaa＝12，解得 a＝4，故选 D.
答案：D
2019/12/24
比较大小
[例 4] 对于 0<a<1，给出下列四个不等式
①loga(1＋a)<loga(1＋1a)；
②loga(1＋a)>loga(1＋1a)；
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二、数形结合的思想
[例] 不等式 x2－logax<0 在 x∈(0，12)时恒成立，则 a 的取值范围是( )
A．0<a<1
B.116≤a<1
C．a>1
D．0<a≤116
2019/12/24
解析：我们没有学过如何解答这类不等式，但我们 熟知函数 y＝x2 与 y＝logax 的图象与性质，因此可在同一 坐标系中，画出此二函数的图象借助图象进行讨论，在 同一坐标系中画出 y＝x2，x∈(0，12)与 y＝logax 的图象，
2
(－∞，1)；函数 y＝loga(ax－1)(a>0 且 a≠1)的定义域在 a>1 时为(0，＋∞)；在 0<a<1 时为(－∞，0)．
2019/12/24
2019/12/24
一、转化的思想 指数式 ab＝N 与对数式 logaN＝b(a>0 且 a≠1，N>0) 可以互化，在解决与指数式、对数式有关的问题时，利 用指对互化(或等式两端取同底的对数)结合换底公式常 能起到事半功倍的效果．
答案：D
2019/12/24
(理)(2010·重庆南开中学)函数 y＝lg(x＋1)的反函数 的图象为( )
(2)logaMN＝ logaM－logaN ；
(3)logaNn＝ nlogaN ；
n (4)loga
N＝
1 nlogaN
.
(其中 M>0，N>0，a>0 且 a≠1，n∈N*)
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5．换底公式：logab＝llooggccba(c，a>0 且 c，a≠1，b>0)
由换底公式得：logab＝log1ba，loganbm＝
m n
logab.
另外：log10N＝lgN，logeN＝lnN(e＝2.71828…)分别
叫做常用对数和自然对数．
2019/12/24
二、对数函数的图象与性质
定义
y＝logax(a>0，a≠1) (x>0)
图象
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定义
y＝logax(a>0，a≠1) (x>0)
(1)定义域：(0，＋∞)
2019/12/24
2．互为反函数的图象之间的关系 (1)y＝f－1(x)与 y＝f(x)的图象关于直线 y＝x 对称． (2)若点 P(a，b)在 y＝f－1(x)的图象上，则 P′(b，a) 在 y＝f(x)的图象上．
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误区警示 1．忽视底数 a>1 与 0<a<1 时性质的区别及函数的定 义域致误．如函数 y＝log1 (x2－3x＋2)的单调增区间为
(2)值域：R
(3)过点(1,0)，即当 x＝1 时，y＝0.
性质 (4)当 a>1 时，在(0，＋∞)上是增函数； 当 0<a<1 时，在(0，＋∞)上是减函数．
x>1
0<x<1
a>1
y>0
y<0
0<a<1
y<0
y>0
2019/12/24
同底的指数函数与对数函数互为反函数，图象关于 直线 y＝x 对称，单调性相同．
答案：D
2019/12/24
(理)设 a>0 且 a≠1，函数 f(x)＝logax 在区间[a,2a]上
的最大值与最小值之差为12，则 a 等于(
)
A. 2
B．2 或12
C．2 2
D．4 或14
2019/12/24
解析：当 0<a<1 时，f(x)在[a,2a]上单调递减，由题 意得，logaa－loga2a＝12，∴loga2＝－12，∴a＝14.
(2)原式＝llgg23＋llgg29·llgg34＋llgg38 ＝llgg23＋2llgg23·2llgg32＋3llgg32＝32llgg23·56llgg32＝54. 答案：(1)2 (2)54
2019/12/24
对数函数的图象
[例 2] 函数 y＝loga|x＋b|(a>0，且 a≠1，ab＝1)的图 象只可能是( )
答案：C
2019/12/24
(理)(1)lg25＋lg2·lg50＋(lg2)2； (2)(log32＋log92)·(log43＋log83)．
2019/12/24
解析：(1)原式＝(lg2)2＋(1＋lg5)lg2＋lg52＝(lg2＋lg5 ＋1)lg2＋2lg5＝(1＋1)lg2＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＝2.
2019/12/24
0<a<1， 由图象易得loga12≥122，
即 0<a≤116.故选 D.
答案：D
2019/12/24
三、解题技巧 1．注意对数恒等式、换底公式及对数运算法则的灵 活运用及指对互化的应用． 2．同底数的对数比较大小用单调性．同真数的对数 比较大小用图象或换底或转化为指数式．要注意与中间 量 0、1 的比较．对数函数图象在第一象限内底数越小， 图象越靠近 y 轴(逆时针底数依次变小)，在直线 x＝1 右 侧，底大图低(区分 x 轴上方与下方)．
＝loga(2a)，则 m，n，p 的大小关系为( )
A．n>m>p
B．m>p>n
C．m>n>p
D．p>m>n
2019/12/24
解析：由 a>1 得 a2＋1>2a>a－1>0， ∴loga(a2＋1)>loga(2a)>loga(a－1)．
答案：B
2019/12/24
(理)已知 log2 x1＝logax2＝loga＋1x3>0,0<a<1，则 x1、
答案：C
2019/12/24
(文)设 a>1，函数 f(x)＝logax 在区间[a,2a]上的最大
值与最小值之差为12，则 a＝(
)
A. 2
B．2
C．2 2
D．4
2019/12/24
解析：因为 a>1，所以 f(x)＝logax 在区间[a,2a]上为 增函数，最大值为 loga2a，最小值为 logaa.因此 loga2a－ logaa＝12，即 loga2＝12，解得 a＝4.
a
x2、x3 的大小关系是( )
A．x3<x2<x1
B．x2<x1<x3
C．x1<x3<x2
D．x2<x3<x1
2019/12/24
解析：取 a＝12满足条件，则
log4x1＝log1 x2＝log3 x3>0，画出图象后知选 D.
2
2
答案：D
2019/12/24
反函数的概念
[例 5] 已知函数 f(x)＝2x＋1(x≥0)，记 f(x)的反函数
③a <a 1＋a
1＋1 a
；④a1＋a>a1＋1a
.其中成立的是(
)
A．①与③
B．①与④
C．②与③
D．②与④
2019/12/24
解析：由于 0<a<1⇒a<1a⇒1＋a<1＋1a，
∴loga(1＋
a)>loga(1＋1a)，
a1＋
>a a
1＋1a
Байду номын сангаас
.∴选
D.
答案：D
2019/12/24
(文)设 a>1，且 m＝loga(a2＋1)，n＝loga(a－1)，p