2010 红对勾数学人教A版必修5参考答案1
高中数学必修5课后习题答案
高中数学必修5课后习题答案(共30页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-人教版高中数学必修5课后习题解答第一章 解三角形1．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 练习（P4）1、（1）14a ≈，19b ≈，105B =︒； （2）18a ≈cm ，15b ≈cm ，75C =︒.2、（1）65A ≈︒，85C ≈︒，22c ≈；或115A ≈︒，35C ≈︒，13c ≈； （2）41B ≈︒，24A ≈︒，24a ≈. 练习（P8）1、（1）39.6,58.2, 4.2 cm A B c ≈︒≈︒≈； （2）55.8,81.9,10.5 cm B C a ≈︒≈︒≈.2、（1）43.5,100.3,36.2A B C ≈︒≈︒≈︒； （2）24.7,44.9,110.4A B C ≈︒≈︒≈︒. 习题 A 组（P10）1、（1）38,39,80a cm b cm B ≈≈≈︒； （2）38,56,90a cm b cm C ≈≈=︒2、（1）114,43,35;20,137,13A B a cm A B a cm ≈︒≈︒≈≈︒≈︒≈ （2）35,85,17B C c cm ≈︒≈︒≈；（3）97,58,47;33,122,26A B a cm A B a cm ≈︒≈︒≈≈︒≈︒≈；3、（1）49,24,62A B c cm ≈︒≈︒≈； （2）59,55,62A C b cm ≈︒≈︒≈； （3）36,38,62B C a cm ≈︒≈︒≈；4、（1）36,40,104A B C ≈︒≈︒≈︒； （2）48,93,39A B C ≈︒≈︒≈︒；习题 A 组（P10）1、证明：如图1，设ABC ∆的外接圆的半径是R ，①当ABC ∆时直角三角形时，90C ∠=︒时，ABC ∆的外接圆的圆心O 在Rt ABC ∆的斜边AB 上.在Rt ABC ∆中，sin BC A AB =，sin ACB AB =即sin 2a A R =，sin 2b B R = 所以2sin a R A =，2sin b R B = 又22sin902sin c R R R C ==⋅︒= 所以2sin , 2sin , 2sin a R A b R B c R C ===②当ABC ∆时锐角三角形时，它的外接圆的圆心O 在三角形内（图2），作过O B 、的直径1A B ，连接1A C ，则1A BC ∆直角三角形，190ACB ∠=︒，1BAC BAC ∠=∠.在1Rt A BC ∆中，11sin BCBAC A B=∠，即1sin sin 2aBAC A R=∠=， 所以2sin a R A =，同理：2sin b R B =，2sin c R C =③当ABC ∆时钝角三角形时，不妨假设A ∠为钝角， 它的外接圆的圆心O 在ABC ∆外（图3）作过O B 、的直径1A B ，连接1A C .则1A BC ∆直角三角形，且190ACB ∠=︒，1180BAC ∠=︒-∠在1Rt A BC ∆中，12sin BC R BAC =∠，（第1题图1） （第1题图2）即2sin(180)a R BAC =︒-∠即2sin a R A =同理：2sin b R B =，2sin c R C =综上，对任意三角形ABC ∆，如果它的外接圆半径等于R ，则2sin , 2sin , 2sin a R A b R B c R C ===2、因为cos cos a A b B =，所以sin cos sin cos A A B B =，即sin2sin2A B = 因为02,22A B π<<，所以22A B =，或22A B π=-，或222A B ππ-=-. 即A B =或2A B π+=.所以，三角形是等腰三角形，或是直角三角形.在得到sin2sin2A B =后，也可以化为sin2sin20A B -= 所以cos()sin()0A B A B +-= 2A B π+=，或0A B -=即2A B π+=，或A B =，得到问题的结论.1．2应用举例 练习（P13）1、在ABS ∆中，32.20.516.1AB =⨯= n mile ，115ABS ∠=︒，根据正弦定理，sin sin(6520)AS ABABS =∠︒-︒得sin 16.1sin115sin(6520)AS AB ABS ==⨯∠⨯︒-︒∴S 到直线AB 的距离是sin 2016.1sin115sin 207.06d AS =⨯︒=⨯︒≈（cm ）. ∴这艘船可以继续沿正北方向航行. 2、顶杆约长 m. 练习（P15）1、在ABP ∆中，180ABP γβ∠=︒-+，180()180()(180)BPA ABP αβαβγβγα∠=︒---∠=︒---︒-+=-在ABP ∆中，根据正弦定理，sin sin AP ABABP APB=∠∠ sin(180)sin()AP aγβγα=︒-+-sin()sin()a AP γβγα⨯-=-所以，山高为sin sin()sin sin()a h AP αγβαγα-==-2、在ABC ∆中，65.3AC =m ，25251738747BAC αβ'''∠=-=︒-︒=︒909025256435ABC α''∠=︒-=︒-︒=︒根据正弦定理，sin sin AC BCABC BAC=∠∠ sin 65.3sin7479.8sin sin6435AC BAC BC ABC '⨯∠⨯︒==≈'∠︒m井架的高约.3、山的高度为200sin38sin 29382sin9⨯︒︒≈︒m练习（P16） 1、约63.77︒. 练习（P18）1、（1）约2168.52 cm ； （2）约2121.75 cm ； （3）约2425.39 cm .2、约24476.40 m3、右边222222cos cos 22a b c a c b b C c B b c ab ac+-+-=+=⨯+⨯22222222222a b c a c b a a a a a+-+-=+===左边 【类似可以证明另外两个等式】习题 A 组（P19）1、在ABC ∆中，350.517.5BC =⨯= n mile ，14812622ABC ∠=︒-︒=︒78(180148)110ACB ∠=︒+︒-︒=︒，1801102248BAC ∠=︒-︒-︒=︒根据正弦定理，sin sin AC BCABC BAC=∠∠ sin 17.5sin 228.82sin sin 48BC ABC AC BAC ⨯∠⨯︒==≈∠︒n mile货轮到达C 点时与灯塔的距离是约 n mile. 2、70 n mile.3、在BCD ∆中，301040BCD ∠=︒+︒=︒，1801804510125BDC ADB ∠=︒-∠=︒-︒-︒=︒130103CD =⨯= n mile根据正弦定理，sin sin CD BDCBD BCD=∠∠10sin (18040125)sin 40BD=∠︒-︒-︒︒10sin 40sin15BD ⨯︒=︒在ABD ∆中，451055ADB ∠=︒+︒=︒，1806010110BAD ∠=︒-︒-︒=︒1801105515ABD ∠=︒-︒-︒=︒根据正弦定理，sin sin sin AD BD AB ABD BAD ADB ==∠∠∠，即sin15sin110sin55AD BD AB==︒︒︒10sin 40sin15sin1510sin 40sin15 6.84sin110sin110sin 70BD AD ⨯︒⨯︒⨯︒⨯︒︒===≈︒︒︒n mile sin5510sin 40sin5521.65sin110sin15sin70BD AB ⨯︒⨯︒⨯︒==≈︒︒⨯︒n mile如果一切正常，此船从C 开始到B 所需要的时间为：6.8421.65206010306086.983030AD AB +++⨯+≈+⨯≈ min即约1小时26分59秒. 所以此船约在11时27分到达B 岛. 4、约 m5、在ABD ∆中，700 km AB =，1802135124ACB ∠=︒-︒-︒=︒根据正弦定理，700sin124sin35sin 21AC BC==︒︒︒700sin35sin124AC ⨯︒=︒，700sin 21sin124BC ⨯︒=︒700sin35700sin 21786.89 km sin124sin124AC BC ⨯︒⨯︒+=+≈︒︒所以路程比原来远了约 km.6、飞机离A 处探照灯的距离是 m ，飞机离B 处探照灯的距离是 m ，飞机的高度是约 m.7、飞机在150秒内飞行的距离是15010001000 m 3600d =⨯⨯根据正弦定理，sin(8118.5)sin18.5d x=︒-︒︒这里x 是飞机看到山顶的俯角为81︒时飞机与山顶的距离. 飞机与山顶的海拔的差是：sin18.5tan81tan8114721.64 m sin(8118.5)d x ⨯︒⨯︒=⨯︒≈︒-︒山顶的海拔是2025014721.645528 m -≈8、在ABT ∆中，21.418.6 2.8ATB ∠=︒-︒=︒，9018.6ABT ∠=︒+︒，15 m AB =根据正弦定理，sin 2.8cos18.6AB AT =︒︒，即15cos18.6sin 2.8AT ⨯︒=︒塔的高度为15cos18.6sin 21.4sin 21.4106.19 m sin 2.8AT ⨯︒⨯︒=⨯︒≈︒9、3261897.8 km 60AE ⨯== 在ACD ∆中，根据余弦定理：AC =101.235== 根据正弦定理，sin sin AD ACACD ADC=∠∠ sin 57sin66sin 0.5144101.235AD ADC ACD AC ⨯∠⨯︒∠==≈30.96ACD ∠≈︒13330.96102.04ACB ∠≈︒-︒=︒在ABC ∆中，根据余弦定理：AB =245.93=222222245.93101.235204cos 0.584722245.93101.235AB AC BC BAC AB AC +-+-∠==≈⨯⨯⨯⨯54.21BAC ∠=︒在ACE ∆中，根据余弦定理：CE =90.75=≈22222297.890.75101.235cos 0.42542297.890.75AE EC AC AEC AE EC +-+-∠=≈≈⨯⨯⨯⨯（第9题）64.82AEC ∠=︒180(18075)7564.8210.18AEC ︒-∠-︒-︒=︒-︒=︒ 所以，飞机应该以南偏西10.18︒的方向飞行，飞行距离约90.75 km . 10、如图，在ABC ∆AC =37515.44 km =222222640037515.44422000.692422640037515.44AB AC BC BAC AB AC +-+-∠=≈≈-⨯⨯⨯⨯133.82BAC ∠≈︒， 9043.82BAC ∠-︒≈︒ 所以，仰角为43.82︒11、（1）211sin 2833sin 45326.68 cm 22S ac B ==⨯⨯⨯︒≈（2）根据正弦定理：sin sin a c A C =，36sin sin66.5sin sin32.8a c C A =⨯=⨯︒︒2211sin66.5sin 36sin(32.866.5)1082.58 cm 22sin32.8S ac B ︒==⨯⨯⨯︒+︒≈︒（3）约为 2cm12、212sin 2nR nπ.13、根据余弦定理：222cos 2a c b B ac +-= 所以222()2cos 22a a a m c c B =+-⨯⨯⨯ 22222()22a a c b c a c ac +-=+-⨯⨯ 222222222211()[42()]()[2()]22a c a c b b c a =+-+-=+-所以a m =b m =，c m =14、根据余弦定理的推论，222cos 2b c a A bc +-=，222cos 2c a b B ca+-=所以，左边(cos cos )c a B b A =-222222()22c a b b c a c a b ca bc +-+-=⨯-⨯222222221()(22)222c a b b c a c a b c c +-+-=-=-=右边习题 B 组（P20）1、根据正弦定理：sin sin a b A B =，所以sin sin a Bb A=B （第13题）代入三角形面积公式得211sin 1sin sin sin sin 22sin 2sin a B B CS ab C a C a A A==⨯⨯= 2、（1）根据余弦定理的推论：222cos 2a b c C ab +-=由同角三角函数之间的关系，22222sin 1cos 1()2a b c C C ab+-=-=- 代入1sin 2S ab C =，得222211()22a b c S ab ab+-=- 222221(2)()4ab a b c =-+- 2222221(2)(2)4ab a b c ab a b c =++---+1()()()()4a b c a b c c a b c a b =+++-+--+记1()2p a b c =++，则可得到1()2b c a p a +-=-，1()2c a b p b +-=-，1()2a b c p c +-=-代入可证得公式（2）三角形的面积S 与三角形内切圆半径r 之间有关系式122S p r pr =⨯⨯=其中1()2p a b c =++，所以()()()S p a p b p c r p p ---==（3）根据三角形面积公式12a S a h =⨯⨯所以，22()()()a S h p p a p a p a a a ==---，即2()()()a h p p a p a p a a =---同理2()()()b h p p a p a p a b =---，2()()()c h p p a p a p a c=---第一章 复习参考题A 组（P24）1、（1）219,3851,8.69 cm B C c ''≈︒≈︒≈； （2）4149,10811,11.4 cm B C c ''≈︒≈︒≈；或13811,1149, 2.46 cm B C c ''≈︒≈︒≈ （3）112,3858,28.02 cm A B c ''≈︒≈︒≈； （4）2030,1430,22.92 cm B C a ''≈︒≈︒≈； （5）1620,1140,53.41 cm A C b ''≈︒≈︒≈； （6）2857,4634,10429A B C '''=︒=︒=︒； 2、解法1：设海轮在B 处望见小岛在北偏东75︒，在C 处望见小岛在北偏东60︒，从小岛A 向海轮的航线BD 作垂线，垂线段AD 的长度为x n mile ，CD 为y n mile.则 tan 30tan 308tan 30tan15tan1588tan15x x y y x x x x y y ⎧⎧=︒=⎪⎪⎪⎪︒⇒⇒=-⎨⎨︒︒⎪⎪=︒=+⎪⎪+︒⎩⎩ 8tan15tan304tan30tan15x ︒︒==︒-︒所以，这艘海轮不改变航向继续前进没有触礁的危险.（第23、根据余弦定理：2222cos AB a b abα=+- 所以 AB = 222cos 2a AB b B a AB+-=⨯⨯2222==从B ∠的余弦值可以确定它的大小.类似地，可以得到下面的值，从而确定A ∠的大小. cos A =4、如图，,C D 是两个观测点，C 到D 的距离是d ，航船在时刻1t 在A 处，以从A 到B 的航向航行，在此时测出ACD ∠和CDA ∠. 在时刻2t ，航船航行到B 处，此时，测出CDB ∠和BCD ∠. 根据正弦定理，在BCD ∆中，可以计算出BC 的长，在ACD ∆中，可以计算出AC 的长. 在ACB ∆中，AC 、BC 已经算出，ACB ACD BCD ∠=∠-∠，解ACD ∆，求出AB 的长，即航船航行的距离，算出CAB ∠，这样就可以算出航船的航向和速度.5、河流宽度是sin()sin sin h αβαβ-. 6、 m.7、如图，,A B 是已知的两个小岛，航船在时刻1t 在C 处，以从C 到D 的航向航行，测出ACD ∠和BCD ∠. 在时刻2t ，航船航行到D 处，根据时间和航船的速度，可以计算出C 到D 的距离是d ，在D 处测出CDB ∠和 CDA ∠. 根据正弦定理，在BCD ∆中，可以计算出BD 的长，在ACD ∆中，可以计算出AD 的长. 在ABD ∆中，AD 、BD 已经算出，ADB CDB CDA ∠=∠-∠，根据余弦定理，就可 以求出AB 的长，即两个海岛,A B 的距离.第一章 复习参考题B 组（P25）1、如图，,A B 是两个底部不可到达的建筑物的尖顶，在地面某点处，测出图中AEF ∠，AFE ∠的大小，以及EF 的距离. 定理，解AEF ∆，算出AE . 在BEF ∆中，测出BEF ∠和BFE ∠，利用正弦定理，算出BE . 在AEB ∆中，测出AEB ∠，利用余弦定理，算出AB 的长. 本题有其他的测量方法.2、关于三角形的面积公式，有以下的一些公式：（1）已知一边和这边上的高：111,,222a b c S ah S bh S ch ===；（2）已知两边及其夹角：111sin ,sin ,sin 222S ab C S bc A S ca B===；（3）已知三边：S =，这里2a b cp ++=；（4）已知两角及两角的共同边：222sin sin sin sin sin sin ,,2sin()2sin()2sin()b C Ac A B a B CS S S C A A B B C ===+++； （5）已知三边和外接圆半径R ：4abc S R=. 3、设三角形三边长分别是1,,1n n n -+，三个角分别是,3,2απαα-.由正弦定理，11sin sin 2n n αα-+=，所以1cos 2(1)n n α+=-. 由余弦定理，222(1)(1)2(1)cos n n n n n α-=++-⨯+⨯⨯.即2221(1)(1)2(1)2(1)n n n n n n n +-=++-⨯+⨯⨯-，化简，得250n n -=所以，0n =或5n =. 0n =不合题意，舍去. 故5n =所以，三角形的三边分别是4,5,6. 可以验证此三角形的最大角是最小角的2倍. 另解：先考虑三角形所具有的第一个性质：三边是连续的三个自然数.（1）三边的长不可能是1,2,3. 这是因为123+=，而三角形任何两边之和大于第三边. （2）如果三边分别是2,3,4a b c ===.因为 2222223427cos 22348b c a A bc +-+-===⨯⨯22717cos22cos 12()1832A A =-=⨯-=2222222341cos 22234a b c C ab +-+-===-⨯⨯在此三角形中，A 是最小角，C 是最大角，但是cos2cos A C ≠， 所以2A C ≠，边长为2,3,4的三角形不满足条件.（3）如果三边分别是3,4,5a b c ===，此三角形是直角三角形，最大角是90︒，最小角不等于45︒. 此三角形不满足条件. （4）如果三边分别是4,5,6a b c ===.此时，2222225643cos 22564b c a A bc +-+-===⨯⨯2231cos22cos 12()148A A =-=⨯-=2222224561cos 22458a b c C ab +-+-===⨯⨯此时，cos2cos A C =，而02,A C π<<，所以2A C = 所以，边长为4,5,6的三角形满足条件.（5）当4n >，三角形的三边是,1,2a n b n c n ==+=+时，三角形的最小角是A ，最大角是C . 222cos 2b c a A bc+-=222(1)(2)2(1)(2)n n n n n +++-=++2652(1)(2)n n n n ++=++52(2)n n +=+1322(2)n =++222cos 2a b c C ab +-=222(1)(2)2(1)n n n n n ++-+=+2232(1)n n n n --=+32n n -=1322n=-cos A 随n 的增大而减小，A 随之增大，cos C 随n 的增大而增大，C 随之变小. 由于4n =时有2C A =，所以，4n >，不可能2C A =. 综上可知，只有边长分别是4,5,6的三角形满足条件.第二章 数列2．1数列的概念与简单表示法 练习（P31） 1、2、前5项分别是：1,0,1,0,1--.3、例1（1）1(2,)1(21,)n n m m N na n m m N n⎧-=∈⎪⎪=⎨⎪=-∈⎪⎩**； （2）2(2,)0(21,)n n m m N a n m m N ⎧=∈⎪=⎨=-∈⎪⎩**说明：此题是通项公式不唯一的题目，鼓励学生说出各种可能的表达形式，并举出其他可能的通项公式表达形式不唯一的例子.4、（1）1()21n a n Z n +=∈-； （2）(1)()2n n a n Z n +-=∈； （3）121()2n n a n Z +-=∈ 习题 A 组（P33）1、（1）2,3,5,7,11,13,17,19；（2） （3）1,,,,…； 2,,,,…,.2、（1）11111,,,,491625； （2）2,5,10,17,26--.3、（1）（1），4-，9，（16-），25，（36-），49； 12(1)n n a n +=-；（2）12；n a =4、（1）1,3,13,53,2132； （2）141,5,,,5454--.5、对应的答案分别是：（1）16,21；54n a n =-；（2）10,13；32n a n =-；（3）24,35；22n a n n =+.6、15,21,28； 1n n a a n -=+. 习题 B 组（P34）1、前5项是1,9,73,585,4681.该数列的递推公式是：1118,1n n a a a +=+=.通项公式是：817n n a -=.2、110(10.72)10.072a =⨯+=﹪； 2210(10.72)10.144518a =⨯+=﹪； 3310(10.72)10.217559a =⨯+=﹪； 10(10.72)n n a =⨯+﹪. 3、（1）1,2,3,5,8； （2）358132,,,,2358.2．2等差数列 练习（P39）1、表格第一行依次应填：，，；表格第二行依次应填：15，11-，24-.2、152(1)213n a n n =+-=+，1033a =.3、4n c n =4、（1）是，首项是11m a a md +=+，公差不变，仍为d ；（2）是，首项是1a ，公差2d ；（3）仍然是等差数列；首项是716a a d =+；公差为7d . 5、（1）因为5375a a a a -=-，所以5372a a a =+. 同理有5192a a a =+也成立； （2）112(1)n n n a a a n -+=+>成立；2(0)n n k n k a a a n k -+=+>>也成立. 习题 A 组（P40）1、（1）29n a =； （2）10n =； （3）3d =； （4）110a =.2、略.3、60︒.4、2℃；11-℃；37-℃.5、（1）9.8s t =； （2）588 cm ，5 s. 习题 B 组（P40）1、（1）从表中的数据看，基本上是一个等差数列，公差约为2000，52010200280.2610a a d =+=⨯再加上原有的沙化面积5910⨯，答案为59.2610⨯；（2）2021年底，沙化面积开始小于52810 hm ⨯. 2、略. 2．3等差数列的前n 项和 练习（P45）1、（1）88-； （2）.2、59,11265,112n n a n n ⎧=⎪⎪=⎨+⎪>⎪⎩ 3、元素个数是30，元素和为900.习题 A 组（P46）1、（1）(1)n n +； （2）2n ； （3）180个，和为98550； （4）900个，和为494550.2、（1）将120,54,999n n a a S ===代入1()2n n n a a S +=，并解得27n =； 将120,54,27n a a n ===代入1(1)n a a n d =+-，并解得1713d =.（2）将1,37,6293n d n S ===代入1(1)n a a n d =+-，1()2n n n a a S +=，得111237()6292n n a a a a =+⎧⎪⎨+=⎪⎩；解这个方程组，得111,23n a a ==.（3）将151,,566n a d S ==-=-代入1(1)2n n n S na d -=+，并解得15n =；将151,,1566a d n ==-=代入1(1)n a a n d =+-，得32n a =-.（4）将2,15,10n d n a ===-代入1(1)n a a n d =+-，并解得138a =-；将138,10,15n a a n =-=-=代入1()2n n n a a S +=，得360n S =-. 3、44.5510⨯m. 4、4.5、这些数的通项公式：7(1)2n -+，项数是14，和为665.6、1472.习题 B 组（P46）1、每个月的维修费实际上是呈等差数列的. 代入等差数列前n 项和公式，求出5年内的总共的维修费，即再加上购买费，除以天数即可. 答案：292元.2、本题的解法有很多，可以直接代入公式化简，但是这种比较繁琐. 现提供2个证明方法供参考. （1）由 61615S a d =+，1211266S a d =+，18118153S a d =+ 可得61812126()2()S S S S S +-=-. （2）1261212126()()S S a a a a a a -=+++-+++7812a a a =+++126(6)(6)(6)a d a d a d =++++++126()36a a a d =++++636S d =+同样可得：1812672S S S d -=+，因此61812126()2()S S S S S +-=-. 3、（1）首先求出最后一辆车出发的时间4时20分；所以到下午6时，最后一辆车行驶了1小时40分.（2）先求出15辆车总共的行驶时间，第一辆车共行驶4小时，以后车辆行驶时间依次递减，最后一辆行驶1小时40分. 各辆车的行驶时间呈等差数列分布，代入前n 项和公式，这个车队所有车的行驶时间为2418531522S +=⨯= h. 乘以车速60 km/h ，得行驶总路程为2550 km.4、数列1(1)n n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的通项公式为111(1)1n a n n n n ==-++ 所以111111111()()()()1122334111n nS n n n n =-+-+-++-=-=+++ 类似地，我们可以求出通项公式为1111()()n a n n k k n n k==-++的数列的前n 项和.2．4等比数列练习（P52） 1、2、由题意可知，每一轮被感染的计算机台数构成一个首项为180a =，公比为20q =的等比数列，则第5轮被感染的计算机台数5a 为 447518020 1.2810a a q ==⨯=⨯.3、（1）将数列{}n a 中的前k 项去掉，剩余的数列为12,,k k a a ++. 令,1,2,k i b a i +==，则数列12,,k k a a ++可视为12,,b b .因为11(1)i k i i k ib a q i b a ++++==≥，所以，{}n b 是等比数列，即12,,k k a a ++是等比数列.（2）{}n a 中的所有奇数列是135,,,a a a ，则235211321(1)k k a a a q k a a a +-=====≥.所以，数列135,,,a a a 是以1a 为首项，2q 为公比的等比数列.（3）{}n a 中每隔10项取出一项组成的数列是11223,,,a a a ，则1112231111121110(1)k k a a a q k a a a +-=====≥所以，数列11223,,,a a a 是以1a 为首项，11q 为公比的等比数列.猜想：在数列{}n a 中每隔m （m 是一个正整数）取出一项，组成一个新的数列，这个数列是以1a 为首项，1m q +为公比的等比数列.4、（1）设{}n a 的公比为q ，则24228511()a a q a q ==，而262837111a a a q a q a q ⋅=⋅=所以2537a a a =⋅，同理2519a a a =⋅（2）用上面的方法不难证明211(1)n n n a a a n -+=⋅>. 由此得出，n a 是1n a -和1n a +的等比中项.同理：可证明，2(0)n n k n k a a a n k -+=⋅>>. 由此得出，n a 是n k a -和n k a +的等比中项(0)n k >>.5、（1）设n 年后这辆车的价值为n a ，则13.5(110)n n a =-﹪.（2）4413.5(110)88573a =-≈﹪（元）. 用满4年后卖掉这辆车，能得到约88573元. 习题 A 组（P53）1、（1）可由341a a q =，得11a =-，6671(1)(3)729a a q ==-⨯-=-. 也可由671a a q =，341a a q =，得337427(3)729a a q ==⨯-=-（2）由131188a q a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得12723a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，或12723a q =-⎧⎪⎨=-⎪⎩（3）由416146a q a q ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得232q =，862291173692a a q a q q a q ==⋅==⨯=还可由579,,a a a 也成等比数列，即2759a a a =，得22795694a a a ===. （4）由411311156a q a a q a q ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩①②①的两边分别除以②的两边，得2152q q +=，由此解得12q =或2q =.当12q =时，116a =-. 此时2314a a q ==-. 当2q =时，11a =. 此时2314a a q ==. 2、设n 年后，需退耕n a ，则{}n a 是一个等比数列，其中18(110),0.1a q =+=﹪. 那么2005年需退耕5551(1)8(110)13a a q =+=+≈﹪（万公顷） 3、若{}n a 是各项均为正数的等比数列，则首项1a 和公比q 都是正数. 由11n n a a q-=11(1)22)n n qq --===.那么数列{}n a为首项，12q 为公比的等比数列.4、这张报纸的厚度为 mm ，对折一次后厚度为×2 mm ，再对折后厚度为×22 mm ，再对折后厚度为×32 mm. 设00.05a =，对折n 次后报纸的厚度为n a ，则{}n a 是一个等比数列，公比2q =. 对折50次后，报纸的厚度为505050131000.052 5.6310 mm 5.6310 m a a q ==⨯≈⨯=⨯这时报纸的厚度已经超出了地球和月球的平均距离（约83.8410 m ⨯），所以能够在地球和月球之间建一座桥.5、设年平均增长率为1,105q a =，n 年后空气质量为良的天数为n a ，则{}n a 是一个等比数列. 由3240a =，得2231(1)105(1)240a a q q =+=+=，解得10.51q =≈ 6、由已知条件知，,2a bA G +==，且02a b A G +-== 所以有A G ≥，等号成立的条件是a b =. 而,a b 是互异正数，所以一定有A G >. 7、（1）2±； （2）22()ab a b ±+. 8、（1）27，81； （2）80，40，20，10. 习题 B 组（P54）1、证明：由等比数列通项公式，得11m m a a q -=，11n n a a q -=，其中1,0a q ≠所以 1111m m n m n n a a q q a a q---== 2、（1）设生物体死亡时，体内每克组织中的碳14的原子核数为1个单位，年衰变率为q ，n 年后的残留量为n a ，则{}n a 是一个等比数列. 由碳14的半衰期为5730则 57305730112n a a qq===，解得157301()0.9998792q =≈ （2）设动物约在距今n 年前死亡，由0.6n a =，得10.9998790.6n n a a q ===. 解得 4221n ≈，所以动物约在距今42213、在等差数列1，2，3，…中，有7108917a a a a +==+，1040203050a a a a +==+ 由此可以猜想，在等差数列{}n a 中若*(,,,)k s p q k s p q N +=+∈，则k s p q a a a a +=+. 从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题：由等差数列{}n a 的图象，可以看出k p a k a p =，s q a sa q=根据等式的性质，有k s p q a a k sa a p q++=++，所以k s p q a a a a +=+. （第3题）猜想对于等比数列{}n a ，类似的性质为：若*(,,,)k s p q k s p q N +=+∈，则k s p q a a a a ⋅=⋅. 2．5等比数列的前n 项和 练习（P58） 1、（1）6616(1)3(12)189112a q S q --===--. （2）1112.7()9190311451()3n n a a q S q ----===----. 2、设这个等比数列的公比为q 所以 101256710()()S a a a a a a =+++++++555S q S =+55(1)q S =+50=同理 1015105S S q S =+. 因为 510S =，所以由①得 5101051416S q q S =-=⇒= 代入②，得1015105501610210S S q S =+=+⨯=.3、该市近10年每年的国内生产总值构成一个等比数列，首项12000a =，公比 1.1q =设近10年的国内生产总值是10S ，则10102000(1 1.1)31874.81 1.1S -=≈-（亿元）习题 A 组（P61）1、（1）由34164641a q a ===--，解得4q =-，所以144164(4)5111(4)a a q S q ---⨯-===---. （2）因为2131233(1)S a a a a q q --=++=++，所以2113q q --++=，即2210q q --=解这个方程，得1q =或12q =-. 当1q =时，132a =；当12q =-时，16a =.2、这5年的产值是一个以1138 1.1151.8a =⨯=为首项， 1.1q =为公比的等比数列所以5515(1)151.8(1 1.1)926.75411 1.1a q S q -⨯-==≈--（万元）3、（1）第1个正方形的面积为42cm ，第2个正方形的面积为22cm ，…，这是一个以14a =为首项，12q =为公比的等比数列所以第10个正方形的面积为99710114()22a a q -==⨯=（2cm ）（2）这10个正方形的面积和为77110101422821112a a qS q---⨯-===---（2cm ）4、（1）当1a =时，2(1)(1)(2)()12(1)2n n na a a n n --+-++-=-----=-当1a ≠时，22(1)(2)()()(12)n n a a a n a a a n -+-++-=+++-+++(1)(1)12n a a n n a -+=-- （2）1212(235)(435)(35)2(12)3(555)n n n n -------⨯+-⨯+-⨯=+++-+++11(1)5(15)323(1)(15)2154n n n n n n ----+-⨯-⨯=+--- （3）设21123n n S x x nx -=++++……①则 212(1)n n n xS x x n x nx -=+++-+……②①－②得，21(1)1n n n x S x x x nx --=++++-……③当1x =时，(1)1232n n n S n +=++++=；当1x ≠时，由③得，21(1)1n n n x nx S x x -=--- 5、（1）第10次着地时，经过的路程为91002(50251002)-++++⨯1291911002100(222)2(12)100200299.61 (m)12------=+⨯+++-=+⨯≈- （2）设第n 次着地时，经过的路程为 m ，则1(1)12(1)12(12)1002100(222)100200293.7512n n ---------+⨯+++=+⨯=-所以130********.75n --⨯=，解得120.03125n -=，所以15n -=-，则6n =6、证明：因为396,,S S S 成等差数列，所以公比1q ≠，且9362S S S =+即，936111(1)(1)(1)2111a q a q a q q q q---⨯=+--- 于是，9362q q q =+，即6321q q =+ 上式两边同乘以1a q ，得741112a q a q a q =+ 即，8252a a a =+，故285,,a a a 成等差数列 习题 B 组（P62） 1、证明：11111()(1())1n n n n n n n n n b bb a b a a a b b a a b aa ab a+++---+++=+++==--2、证明：因为7714789141277()S S a a a q a a a q S -=+++=+++= 141421141516211277()S S a a a q a a a q S -=+++=+++=所以71472114,,S S S --成等比数列3、（1）环保部门每年对废旧物资的回收量构成一个等比数列，首项为1100a =，公比为1.2q =.所以，2010年能回收的废旧物资为89100 1.2430a =⨯≈（t ）（2）从2002年到2010年底，能回收的废旧物资为9919(1)100(1 1.2)208011 1.2a q S q --==≈--（t ）可节约的土地为165048320⨯=（2m ）4、（1）依教育储蓄的方式，应按照整存争取定期储蓄存款利率计息，免征利息税，且若每月固定存入a 元，连续存n 个月，计算利息的公式为()2a na n+⨯月利率.因为整存整取定期储蓄存款年利率为2.52﹪，月利率为0.21﹪故到期3年时一次可支取本息共(505036)360.2118001869.932+⨯⨯⨯+=﹪（元）若连续存6年，应按五年期整存整取定期储蓄存款利率计息，具体计算略. （2）略.（3）每月存50元，连续存3年按照“零存整取”的方式，年利率为1.89﹪，且需支付20﹪的利息税所以到期3年时一次可支取本息共1841.96元，比教育储蓄的方式少收益27.97元.（4）设每月应存入x 元，由教育储蓄的计算公式得36(36)0.2136100002x x x +⨯+=﹪解得267.39x ≈（元），即每月应存入267.39（元） （5）（6）（7）（8）略5、设每年应存入x 万元，则2004年初存入的钱到2010年底利和为7(12)x +﹪，2005年初存入的钱到2010年底利和为6(12)x +﹪，……，2010年初存入的钱到2010年底利和为(12)x +﹪. 根据题意，76(12)(12)(12)40x x x ++++++=﹪﹪﹪根据等比数列前n 项和公式，得7(12)(1 1.02)401 1.02x +-=-﹪，解得52498x ≈（元）故，每年大约应存入52498元第二章 复习参考题A 组（P67）1、（1）B ； （2）B ； （3）B ； （4）A .2、（1）212n n n a -=； （2）12(1)(21)1(2)n n n a n +--=+；（3）7(101)9n n a =-； （4）1(1)n n a =+-或1cos n a n π=+.3、4、如果,,a b c 成等差数列，则5b =；如果,,a b c 成等比数列，则1b =，或1-.5、n a 按顺序输出的值为：12，36，108，324，972. 86093436sum =.6、81381.9(10.13)1396.3⨯+≈﹪（万）7、从12月20日到次年的1月1日，共13天. 每天领取的奖品价值呈等差数列分布.110,100d a ==. 由1(1)2n n n S a n d -=+得：1313121001310208020002S ⨯=⨯+⨯=>.所以第二种领奖方式获奖者受益更多. 8、因为28374652a a a a a a a +=+=+=所以34567285450()2a a a a a a a +++++==+，则28180a a +=.9、容易得到101010,1012002n n na n S +==⨯=，得15n =.10、212212()()()n n n n S a a a a nd a nd a nd ++=+++=++++++2121()n a a a n nd S n d =++++⨯=+32122312(2)(2)(2)n n n n S a a a a nd a nd a nd ++=+++=++++++2121()22n a a a n nd S n d =++++⨯=+容易验证2132S S S =+. 所以，123,,S S S 也是等差数列，公差为2n d . 11、221(1)(1)4(1)221a f x x x x x =+=+-++=-- 223(1)(1)4(1)267a f x x x x x =-=---+=-+ 因为{}n a 是等差数列，所以123,,a a a 也是等差数列. 所以，2132a a a =+. 即，20286x x =-+. 解得1x =或3x =. 当1x =时，1232,0,2a a a =-==. 由此可求出24n a n =-. 当3x =时，1232,0,2a a a ===-. 由此可求出42n a n =-.第二章 复习参考题B 组（P68）1、（1）B ； （2）D .2、（1）不成等差数列. 可以从图象上解释. ,,a b c 成等差，则通项公式为y pn q =+的形式，且,,a b c 位于同一直线上，而111,,a b c 的通项公式却是1y pn q =+的形式，111,,a b c不可能在同一直线上，因此肯定不是等差数列.（2）成等比数列. 因为,,a b c 成等比，有2b ac =. 又由于,,a b c 非零，两边同时取倒数，则有21111b ac a c==⨯.所以，111,,a b c也成等比数列.3、体积分数：60.033(125)0.126⨯+≈﹪，质量分数：60.05(125)0.191⨯+≈﹪.4、设工作时间为n ，三种付费方式的前n 项和分别为,,n n n A B C . 第一种付费方式为常数列；第二种付费方式为首项是4，公差也为4的等差数列；第三种付费方式为首项是，公比为2的等比数列. 则38n A n =，2(1)44222n n n B n n n -=+⨯=+， 0.4(12)0.4(21)12n n n C -==--. 下面考察,,n n n A B C 看出10n <时，380.4(21)n n >-. 因此，当工作时间小于10天时，选用第一种付费方式. 10n ≥时，,n n n n A C B C ≤≤因此，当工作时间大于10天时，选用第三种付费方式.5、第一星期选择A 种菜的人数为n ，即1a n =，选择B 种菜的人数为500a -.所以有以下关系式：2118030a a b =⨯+⨯﹪﹪3228030a a b =⨯+⨯﹪﹪……118030n n b a a b --=⨯+⨯﹪﹪ 500n n a b +=所以111502n n a a -=+，115003502n n n b a a -=-=-如果1300a =，则2300a =，3300a =，…，10300a = 6、解：由1223n n n a a a --=+得 1123()n n n n a a a a ---+=+以及1123(3)n n n n a a a a ----=--所以221213()37n n n n a a a a ---+=+=⨯，221213(1)(3)(1)13n n n n a a a a ----=--=-⨯. 由以上两式得，11437(1)13n n n a --=⨯+-⨯所以，数列的通项公式是11137(1)134n n n a --⎡⎤=⨯+-⨯⎣⎦ 7、设这家牛奶厂每年应扣除x 万元消费基金2002年底剩余资金是1000(150)x +-﹪2003年底剩余资金是2[1000(150)](150)1000(150)(150)x x x x +-+-=+-+-﹪﹪﹪﹪ ……5年后达到资金 54321000(150)(150)(150)(150)(150)2000x x x x +-+-+-+-+=﹪﹪﹪﹪﹪ 解得 459x ≈（万元）第三章 不等式3．1不等关系与不等式 练习（P74）1、（1）0a b +≥； （2）4h ≤； （3）(10)(10)3504L W L W ++=⎧⎨>⎩.2、这给两位数是57.3、（1）>； （2）<； （3）>； （4）<；习题 A 组（P75）1、略.2、（1）24+； （2>3、证明：因为20,04x x >>，所以21104x x x ++>+>因为22(1)02x +>>，所以12x+>4、设A 型号帐篷有x 个，则B 型号帐篷有(5)x +个，050448054853(5)484(4)48x x x x x x >⎧⎪+>⎪⎪<⎪⎨<-<⎪⎪+<⎪+⎪⎩≥5、设方案的期限为n 年时，方案B 的投入不少于方案A 的投入.所以，(1)5105002n n n -+⨯≥ 即，2100n ≥.习题 B 组（P75）1、（1）因为222259(56)30x x x x x ++-++=+>，所以2225956x x x x ++>++ （2）因为222(3)(2)(4)(69)(68)10x x x x x x x ----=-+--+=>所以2(3)(2)(4)x x x ->--（3）因为322(1)(1)(1)0x x x x x --+=-+>，所以321x x x >-+（4）因为22222212(1)1222(1)(1)10x y x y x y x y x y ++-+-=++-+-=-+-+> 所以2212(1)x y x y ++>+-2、证明：因为0,0a b c d >>>>，所以0ac bd >>又因为0cd >，所以10cd >于是0a bd c>>>3、设安排甲种货箱x 节，乙种货箱y 节，总运费为z .所以 352515301535115050x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪+=⎩≥≥ 所以28x ≥，且30x ≤所以 2822x y =⎧⎨=⎩，或2921x y =⎧⎨=⎩，或3020x y =⎧⎨=⎩ 所以共有三种方案，方案一安排甲种货箱28节，乙种货箱22节；方案二安排甲种货箱29节，乙种货箱21节；方案三安排甲种货箱30节，乙种货箱20节. 当3020x y =⎧⎨=⎩时，总运费0.5300.82031z =⨯+⨯=（万元），此时运费较少. 3．2一元二次不等式及其解法 练习（P80） 1、（1）1013x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭≤≤； （2）R ； （3）{}2x x ≠； （4）12x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭； （5）31,2x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或； （6）54,43x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或； （7）503x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.2、（1）使2362y x x =-+的值等于0的x 的集合是1⎧⎪+⎨⎪⎪⎩⎭；使2362y x x =-+的值大于0的x 的集合为11x x x ⎧⎪<>⎨⎪⎪⎩⎭或；使2362y x x =-+的值小于0的x 的集合是11x x ⎧⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭. （2）使225y x =-的值等于0的x 的集合{}5,5-； 使225y x =-的值大于0的x 的集合为{}55x x -<<； 使225y x =-的值小于0的x 的集合是{}5,5x x x <->或. （3）因为抛物线2+610y x x =+的开口方向向上，且与x 轴无交点 所以使2+610y x x =+的等于0的集合为∅； 使2+610y x x =+的小于0的集合为∅； 使2+610y x x =+的大于0的集合为R. （4）使231212y x x =-+-的值等于0的x 的集合为{}2； 使231212y x x =-+-的值大于0的x 的集合为∅； 使231212y x x =-+-的值小于0的x 的集合为{}2x x ≠. 习题 A 组（P80）1、（1）35,22x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或； （2）x x ⎧⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭；（3）{}2,5x x x <->或； （4）{}09x x <<.2、（1）解2490x x -+≥，因为200∆=-<，方程2490x x -+=无实数根所以不等式的解集是R ，所以y R. （2）解2212180x x -+-≥，即2(3)0x -≤，所以3x =所以y ={}3x x =3、{33m m m <-->-+或；4、R.5、设能够在抛出点2 m 以上的位置最多停留t 秒.依题意，20122v t gt ->，即212 4.92t t ->. 这里0t >. 所以t 最大为2（精确到秒）答：能够在抛出点2 m 以上的位置最多停留2秒. 6、设每盏台灯售价x 元，则15[302(15)]400x x x ⎧⎨-->⎩≥. 即1520x <≤.所以售价{}1520x x x ∈<≤习题 B 组（P81）1、（1）x ⎧⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭； （2）{}37x x <<； （3）∅； （4）113x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 2、由22(1)40m m ∆=--<，整理，得23210m m +->，因为方程23210m m +-=有两个实数根1-和13，所以11m <-，或213m >，m 的取值范围是11,3m m m ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或.3、使函数213()324f x x x =--的值大于0的解集为33x x x ⎧⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭或.4、设风暴中心坐标为(,)a b ，则a =22450b +<，即150150b -<<151)13.72=≈（h ），3001520=. 所以，经过约小时码头将受到风暴的影响，影响时间为15小时.3．3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 练习（P86） 1、B . 2、D . 3、B .4解：设家具厂每天生产A 类桌子x 张，B 类桌子y 张.对于A 类桌子，x 张桌子需要打磨10x min ，着色6x min ，上漆6x min对于B 类桌子，y 张桌子需要打磨5y min ，着色12y min ，上漆9y min 而打磨工人每天最长工作时间是450min ，所以有105450x y +≤. 类似地，612480x y +≤，69450x y +≤ 在实际问题中，0,0x y ≥≥；所以，题目中包含的限制条件为 1054506124806945000x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩≤≤≤≥≥练习（P91）1、（1）目标函数为2z x y =+，可行域如图所示，作出直线2y x z =-+，可知z 要取最大值，即直线经过点C 时，解方程组11x y y +=⎧⎨=-⎩得(2,1)C -，所以，max 222(1)3z x y =+=⨯+-=.（2）目标函数为35z x y =+，可行域如图所示，作出直线35z x y =+可知，直线经过点B 时，Z 取得最大值. 直线经过点A 时，Z 取得最小值. 解方程组 153y x x y =+⎧⎨-=⎩，和15315y x x y =+⎧⎨+=⎩可得点(2,1)A --和点(1.5,2.5)B .所以max 3 1.55 2.517z =⨯+⨯=，min 3(2)5(1)11z =⨯-+⨯-=-（第12、设每月生产甲产品x 件，生产乙产品y 件，每月收入为z 元，目标函数为30002000z x y =+，需要满足的条件是 2400250000x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≥≥当直线经过点A 时，z 取得最大值. 解方程组 24002500x y x y +=⎧⎨+=⎩可得点(200,100)A ，z 的最大值为800000元. 习题 A 组（P93）1、画图求解二元一次不等式：（1）2x y +≤； （2）22x y ->； （3）2y -≤； （4）3x ≥2、3解：设每周播放连续剧甲x 次，播放连续剧乙y 目标函数为6020z x y =+，（第2所以，题目中包含的限制条件为8040320600x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≥≥≥可行域如图. 解方程组80403206x y x y +⎧⎨+⎩==得点M 的坐标为(2,4)，所以max 6020200z x y =+=（万）答：电视台每周应播放连续剧甲2次，播放连续剧乙4次，才能获得最高的收视率. 4、设每周生产空调器x 台，彩电y 台，则生产冰箱120x y --台，产值为z . 则，目标函数为432(120)2240z x y x y x y =++--=++ 所以，题目中包含的限制条件为111(120)402341202000x y x y x y x y ⎧++--⎪⎪⎪--⎨⎪⎪⎪⎩≤≥≥≥即，312010000x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≥≥ 可行域如图，解方程组3120100x y x y +⎧⎨+⎩==得点M 的坐标为(10,90)，所以max 2240350z x y =++=（千元）答：每周应生产空调器10台，彩电90台，冰箱20台，才能使产值最高，最高产值是350千元.习题 B 组（P93）1、画出二元一次不等式组 231223600x y x y x y +⎧⎪+>-⎪⎨⎪⎪⎩≤≥≥，所表示的区域如右图2、画出(21)(3)0x y x y +--+>表示的区域.3、设甲粮库要向A 镇运送大米x 吨、向B 镇运送大米y 吨，总运费为z . 则乙粮库要向A 镇运送大米(70)x -吨、向B 镇运送大米(110)y -吨，目标函数（总运费）为 122025101512(70)208(110)609030200z x y x y x y =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯-+⨯⨯-=++.所以，题目中包含的限制条件为 100(70)(110)800700x y x y x y +⎧⎪-+-⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≤≤≥.所以当70,30x y ==时，总运费最省 min 37100z =（元） 所以当0,100x y ==时，总运费最不合理 max 39200z =（元）使国家造成不该有的损失2100元.答：甲粮库要向A 镇运送大米70吨，向B 镇运送大米30吨，乙粮库要向A 镇运送大米0吨，向B 镇运送大米80吨，此时总运费最省，为37100元. 最不合理的调运方案是要向A 镇运送大米0吨，向B 镇运送大米100吨，乙粮库要向A 镇运送大米70吨，向B 镇运送大米10吨，此时总运费为39200元，使国家造成损失2100元.3．42a b+练习（P100）1、因为0x >，所以12x x +=≥当且仅当1x x =时，即1x =时取等号，所以当1x =时，即1x x+的值最小，最小值是2. 2、设两条直角边的长分别为,a b ，0,a >且0b >，因为直角三角形的面积等于50.即 1502ab =，所以20a b +==≥，当且仅当10a b ==时取等号.答：当两条直角边的长均为10时，两条直角边的和最小，最小值是20. 3、设矩形的长与宽分别为a cm ，b cm. 0a >，0b > 因为周长等于20，所以10a b +=所以 2210()()2522a b S ab +===≤，当且仅当5a b ==时取等号.答：当矩形的长与宽均为5时，面积最大. 4、设底面的长与宽分别为a m ，b m. 0a >，0b >因为体积等于323m ，高2m ，所以底面积为162m ，即16ab =所以用纸面积是222324()32323264S ab bc ac a b =++=+++=+=≥ 当且仅当4a b ==时取等号。
【红对勾】高中数学 第三章单元综合测试 新人教A版必修5
第三章单元综合测试时间：120分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)1．已知实数x 满足x 2＋x <0，则x 2，x ，－x 的大小关系是( ) A ．－x <x <x 2B ．x <x 2<－x C ．x 2<x <－xD ．x <－x <x 2解析：根据条件x 2＋x <0可得x 2<－x 且－1<x <0，因此x －x 2＝x (1－x )<0，故x <x 2<－x 成立．答案：B2．若a <0，－1<b <0，则有( ) A ．a >ab >ab 2B ．ab 2>ab >a C ．ab >a >ab 2D ．ab >ab 2>a解析：特殊值法，如取a ＝－1，b ＝－12，可验证D 项正确．答案：D3．设a ＝2x 2－x ＋1，b ＝x 2＋x ，则( ) A ．a >b B ．a <b C ．a ≥bD ．a ≤b解析：a －b ＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0. 答案：C4．下列不等式中，解集为R 的是( ) A ．x 2＋4x ＋4>0 B ．|x |>0 C ．x 2>－xD ．x 2－x ＋14≥0解析：A 项x ＝－2时，x 2＋4x ＋4＝0，B 项x ＝0时，不成立．C 项x ＝0时不成立．D 项，x 2－x ＋14＝(x －12)2≥0.5．关于x 的不等式mx 2＋8mx ＋28<0的解集为{x |－7<x <－1}，则实数m 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：∵不等式mx 2＋8mx ＋28<0的解集为{x |－7<x <－1}，∴－7，－1是方程mx 2＋8mx＋28＝0的两个根，且m >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－7－1＝－8m m，－－＝28m，∴m ＝4.故选D.答案：D6．图中阴影部分表示的平面区域满足的不等式是( )A ．x ＋y －1>0B ．x ＋y －1≤0C ．x －y －1<0D ．x ＋y －1≥0解析：代入(0,0)点验证，(0,0)不在区域内，且边界为虚线，故选A. 答案：A7．若a ，b ∈R ，则下列恒成立的不等式是( ) A.|a ＋b |2≥|ab | B.b a ＋a b≥2C.a 2＋b 22≥(a ＋b2)2D ．(a ＋b )(1a ＋1b)≥4解析：(a ＋b2)2＝a 2＋b 2＋2ab4≤a 2＋b 2＋a 2＋b 24＝a 2＋b 22.当且仅当a ＝b 时取等号，∴a 2＋b 22≥(a ＋b2)2.8．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8.则x ＋2y 的最小值是( ) A ．3 B ．4 C.92 D.112解析：∵2xy ≤(x ＋2y2)2，∴8＝x ＋2y ＋2xy ≤x ＋2y ＋(x ＋2y2)2令x ＋2y ＝t ，∴14t 2＋t －8≥0，∴t ≥4或t ≤－8，∵x >0，y >0，∴x ＋2y ≥4， 即x ＋2y 的最小值为4. 答案：B9．已知－1<a ＋b <3，且2<a －b <4，则2a ＋3b 的取值范围是( ) A ．(－132，172)B ．(－72，12)C ．(－72，132)D ．(－92，132)解析：令A ＝a ＋b ，B ＝a －b ，则a ＝A ＋B2，b ＝A －B2，2a ＋3b ＝5A －B2.由－1<A <3,2<B <4，得－92<5A －B 2<132.故选D.答案：D10．已知关于x 的不等式x ＋1x ＋a<2的解集为P ，若1∉P ，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1]∪[0，＋∞) B ．[－1,0]C ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)D ．(－1,0]解析：因为1∉P ，所以1＋11＋a ≥2或者a ＝－1⇔aa ＋1≤0或者a ＝－1⇔－1≤a ≤0.答案：B11．设直角三角形两直角边的长分别为a ，b ，斜边长为c ，斜边上的高为h ，则a 4＋b 4和c 4＋h 4的大小关系是( )A ．a 4＋b 4<c 4＋h 4B ．a 4＋b 4>c 4＋h 4C ．a 4＋b 4＝c 4＋h 4D ．不能确定解析：由面积公式可知ab ＝ch ，则a 4＋b 4－(c 4＋h 4)＝(a 2＋b 2)2－(c 2＋h 2)2＝(a 2＋b 2－c 2－h 2)(a 2＋b 2＋c 2＋h 2)＝－h 2(a 2＋b 2＋c 2＋h 2)<0. 答案：A12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x ，－x －x ，则不等式x ＋(x ＋1)f (x －1)≤3的解集是( )A ．{x |x ≥－3}B ．{x |x ≥1}C ．{x |－3≤x ≤1}D ．{x |x ≥1，或x ≤－3}解析：当x －1<0时，原不等式化为x ＋(x ＋1)x ≤3，解得－3≤x <1；当x －1≥0时，原不等式化为x ＋(x ＋1)[－(x －1)－1]≤3，解得x ≥1.综上可知，x ≥－3.故选A.答案：A第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．对任意实数x ，不等式(a －2)x 2－2(a －2)x －4<0恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：由已知得：当a ＝2时，－4<0成立，当a ≠2时⎩⎪⎨⎪⎧Δ<0，a －2<0，解得－2<a <2.综上所述：－2<a ≤2. 答案：(－2,2]14．已知不等式(x ＋y )(1x ＋ay)≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为________．解析：∵(x ＋y )(1x ＋a y )＝1＋ax y ＋yx＋a ≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2， ∴(a ＋1)2≥9，∴a ≥4. 答案：415．已知正项等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m＋4n的最小值是________．解析：因为a 7＝a 6＋2a 5，所以a 5q 2＝a 5q ＋2a 5，所以q ＝2，a m a n ＝a 1qm －1a 1q n －1＝a 212m ＋n －2＝16a 21，所以m ＋n ＝6，1m ＋4n ＝16(1m ＋4n )(m ＋n )＝16(5＋n m ＋4m n )≥32.答案：3216．设集合A ＝{(x ，y )|y ≥12|x －2|}，B ＝{(x ，y )|y ≤－|x |＋b }，A ∩B ≠∅.(1)b 的取值范围是________．(2)若(x ，y )∈A ∩B ，且x ＋2y 的最大值为9，则b 的值是________．解析：(1)集合A 所表示的区域为如图所示的阴影部分，已知A ∩B ≠∅，故b ≥1.(2)(x ，y )∈A ∩B 为图中重叠阴影部分，要使x ＋2y 取最大值，必在(0，b )处，所以0＋2×b ＝9，所以b ＝92.答案：(1)b ≥1 (2)92三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分) 17．(10分)已知a ，b 是不相等的两个正数，求证： (a ＋b )(a 3＋b 3) >(a 2＋b 2)2. 证明：∵(a ＋b )(a 3＋b 3)－(a 2＋b 2)2＝(a 4＋ab 3＋ba 3＋b 4)－(a 4＋2a 2b 2＋b 4) ＝ab (a －b )2.∵a ，b ∈R ＋且a ≠b ， ∴ab >0，(a －b )2>0，∴ab (a －b )2>0. ∴(a ＋b )(a 3＋b 3)>(a 2＋b 2)2.18．(12分)已知函数f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋c . (1)当c ＝19时，解关于a 的不等式f (1)>0.(2)若关于x 的不等式f (x )>0的解集是(－1,3)，求实数a ，c 的值．解：(1)由已知有：f (1)＝－3＋a (6－a )＋19>0， 即a 2－6a －16<0，解得－2<a <8. 所以不等式的解集为(－2,8)．(2)由关于x 的不等式f (x )>0的解集是(－1,3)可知： －1,3是关于x 的方程3x 2－a (6－a )x －c ＝0的两个根，则有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝a－a3，－1×3＝－c 3，解得a ＝3±3，c ＝9.19．(12分)已知函数f (x )＝x 2＋(lg a ＋2)x ＋lg b 满足f (－1)＝－2，且对于任意x ∈R ，恒有f (x )≥2x 成立．(1)求实数a ，b 的值； (2)解不等式f (x )<x ＋5.解：(1)由f (－1)＝－2知，lg b －lg a ＋1＝0，① ∴a b＝10.②又f (x )≥2x 恒成立，有x 2＋x ·lg a ＋lg b ≥0恒成立，故Δ＝(lg a )2－4lg b ≤0.将①式代入上式，得(lg b )2－2lg b ＋1≤0，即(lg b －1)2≤0，故lg b ＝1.即b ＝10，代入②，得a ＝100.(2)由(1)知f (x )＝x 2＋4x ＋1， ∵f (x )<x ＋5，∴x 2＋4x ＋1<x ＋5. ∴x 2＋3x －4<0，解得－4<x <1. ∴不等式的解集为{x |－4<x <1}．20．(12分)某投资公司计划投资A ，B 两种金融产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润y 1与投资金额x 的函数关系为y 1＝18－180x ＋10，B 产品的利润y 2与投资金额x 的函数关系为y 2＝x5，(注：利润与投资金额单位：万元)(1)该公司已有100万元资金，并全部投入A ，B 两种产品中，其中x 万元资金投入A 产品，试把A ，B 两种产品利润总和表示为x 的函数，并写出定义域；(2)试问：怎样分配这100万元资金，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？解：(1)其中x 万元资金投入A 产品，则剩余的100－x (万元)资金投入B 产品，利润总和f (x )＝18－180x ＋10＋100－x5＝38－x 5－180x ＋10(x ∈[0,100])(2)∵f (x )＝40－(x ＋105＋180x ＋10)，x ∈[0,100]， ∴由基本不等式得：f (x )≤40－236＝28，取等号当且仅当x ＋105＝180x ＋10时，即x ＝20.答：分别用20万元和80万元资金投资A ，B 两种金融产品，可以使公司获得最大利润，最大利润为28万元．21．(12分)某化工厂生产甲、乙两种肥料，生产1车皮甲种肥料能获得利润10 000元，需要的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料能获得利润5 000元，需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现库存有磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种肥料．问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？解：设生产甲种肥料x 车皮，乙种肥料y 车皮能够产生利润z 万元． 目标函数为z ＝x ＋0.5y ， 约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ≤10，18x ＋15y ≤66，x ∈N ，y ∈N .可行域如图中阴影部分的整点．当直线y ＝－2x ＋2z 经过可行域上的点M 时，截距2z 最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ＝10，18x ＋15y ＝66，得M 点坐标为(2,2)．所以z max ＝x ＋0.5y ＝3.答：生产甲种、乙种肥料各2车皮，能够产生最大利润，最大利润为3万元．22．(12分)已知函数f (x )＝ax 2＋1bx ＋c(a ，b ，c ∈R ，a >0，b >0)是奇函数，当x >0时，f (x )有最小值2，其中b ∈N *，且f (1)<52.(1)求函数f (x )的解析式；(2)函数f (x )图象上是否存在关于点(1,0)对称的两点，若存在，求出这两点的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即ax 2＋1b －x ＋c ＝－ax 2＋1bx ＋c ，∴bx ＋c ＝bx －c ，∴c ＝0.∵a >0，b >0，∴f (x )＝ax 2＋1bx ＝a b x ＋1bx≥2ab 2，当且仅当x ＝1a时，等号成立．∴2a b 2＝2，∴a ＝b 2.由f (1)<52，得a ＋1b ＋c <52，即b 2＋1b <52，∴2b 2－5b ＋2<0.解得12<b <2.又b ∈N *，∴b ＝1，a ＝1，∴f (x )＝x ＋1x.(2)设存在一点(x 0，y 0)在y ＝f (x )的图象上，则它关于(1,0)的对称点(2－x 0，－y 0)也在y ＝f (x )的图象上，则x 20＋1x 0＝y 0，且－x 02＋12－x 0＝－y 0，消去y 0，得x 20－2x 0－1＝0，解得x 0＝1± 2.∴y ＝f (x )的图象上存在两点(1＋2，22)，(1－2，－22)关于(1,0)对称．。
红对勾理科数学5-1
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第五章·第一节
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21－3 22－3 23－3 24－3 原数列化为－ 21 ， 22 ，－ 23 ， 24 ，„，
n 2 －3 n ∴an＝(－1) · 2n .
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1.解答本题3时有两个困惑：一是首项的符号，二是各项 分子规律不明显.解答时从分子与分母的关系入手，是求解 的关键. 2.归纳通项公式应从以下四个方面着手： 1观察项与项之间的关系；
4．已知数列 2 ， 5 ，2 2 ，„，根据数列的规律， 2 5应该是该数列的第________项．
解析：由于2＝3×1－1,5＝3×2－1,8＝3×3－1，„， 故可知该数列的通项公式为an＝ 3n－1，得n＝7. 3n－1 ，由2 5 ＝
答案：7
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(2)数列的分类
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(3)数列的通项公式 如果数列{an}的第n项与
序号 n 之间的关系可以用一
个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
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)
解析：令an＝3，即n2－8n＋15＝3，解得n＝2或6，故3 是数列{an}中的第2项或第6项．
答案：D
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an 3．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝ ，则a5＝ 2an＋3 ( ) A．108 C．161 1 B.108 1 D.161
【红对勾】高中数学 模块综合测试 新人教A版必修5
模块综合测试时间：120分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)1．在△ABC 中，a ＝1，b ＝3，B ＝120°，则A 等于( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．120°解析：由正弦定理可知a sin A ＝b sin B ⇒1sin A ＝3sin120°，∴sin A ＝12.又a <b ，∴A <B ，∴A ＝30°. 答案：A2．符合下列条件的三角形有且只有一个的是( ) A ．a ＝1，b ＝2，c ＝3 B ．a ＝1，b ＝2，A ＝30° C ．a ＝1，b ＝2，A ＝100° D ．b ＝c ＝1，B ＝45°解析：A 组不成三角形；对于B ，∵b sin30°＝22<1<2，∴B 有两解；C 组不成三角形，D 正确．答案：D3．在△ABC 中，sin A :sin B :sin C ＝3:2:4，那么cos C ＝( ) A.23 B.14 C ．－23D ．－14解析：由正弦定理知sin A :sin B :sin C ＝3:2:4，得到a :b :c ＝3:2:4，令a ＝3k ，b ＝2k ，c ＝4k (k >0)，由余弦定理知cos C ＝k2＋k 2－k22×3k ×2k＝－14，故选D.答案：D4．已知等差数列{a n }中，a n ＝4n －3，则首项a 1和公差d 的值分别为( ) A ．1,3 B ．－3,4 C ．1,4D ．1,2解析：∵a n ＝4n －3，∴a 1＝4－3＝1，d ＝a n －a n －1＝4. 答案：C5．已知等比数列{a n }的各项均为正数，前n 项之积为T n ，若T 5＝1，则必有( ) A ．a 1＝1 B ．a 3＝1 C ．a 4＝1D ．a 5＝1解析：∵T 5＝a 1·a 2·a 3·a 4·a 5＝(a 3)5＝1， ∴a 3＝1. 答案：B6．若△ABC 中，a ＝2b cos C ，则该三角形一定为( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形解析：∵a ＝2b cos C ， ∴sin A ＝2sin B ·cos C .∴sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ＝2sin B ·cos C . ∴sin B ·cos C －cos B ·sin C ＝sin(B －C )＝0. ∴B ＝C ，故选A. 答案：A7．等比数列{a n }的公比为13，前n 项的和为S n ，n ∈N *如S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等比数列，则其公比为( )A ．(13)2B ．(13)6C.13D.23解析：∵S 4－S 2S 2＝a 4＋a 3a 2＋a 1＝q 2a 2＋a 1a 2＋a 1＝q 2＝(13)2.答案：A8．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 2a 9＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10的值为( )A ．12B ．10C ．8D ．2＋log 35解析：由题可知log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1a 2…a 10)＝log 3(a 5a 6)5，又因为在等比数列中a 5a 6＋a 2a 9＝18，所以a 5a 6＝9，代入求解得原式的值为10，故选B.答案：B9．递减的等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 5＝S 10，则欲使S n 取最大值，n 的值为( ) A ．10 B ．7 C ．9D ．7或8解析：∵S 5＝S 10，∴a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝0，∴a 8＝0.由于数列递减，故数列前7项为正，从第9项开始为负， ∴S n 取最大值时，n ＝7或8. 答案：D10．(2012·陕西卷)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a ＜b )，其全程的平均时速为v ，则( )A ．a ＜v ＜abB ．v ＝ab C.ab ＜v ＜a ＋b2D ．v ＝a ＋b2解析：设甲、乙两地之间的距离为s . ∵a ＜b ，∴v ＝2ss a ＋sb＝2sab a ＋b s ＝2ab a ＋b ＜2ab2ab＝ab .又v －a ＝2ab a ＋b －a ＝ab －a 2a ＋b ＞a 2－a2a ＋b ＝0，∴v ＞a .答案：A11．设a >0，b >0.若3是3a 与3b的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( )A ．8B ．4C ．1D.14解析：因为3a·3b＝3. 所以a ＋b ＝1. 1a ＋1b＝(a ＋b )(1a ＋1b )＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·ab＝4. 当且仅当b a ＝a b 即a ＝b ＝12时“＝”成立，故选B.答案：B12.数列，那么x ＋y ＋z 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由题知表格中第三列成首项为4，公比为12的等比数列，故有x ＝1.根据每行成等差数列得第四列前两个数字依次为5，52，故其公比为12，所以y ＝5×(12)3＝58，同理z ＝38.∴x ＋y ＋z ＝1＋58＋38＝2.答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分) 13．不等式1x≤x 的解集是________．解析：1x ≤x 等价于x －1x ≥0⇒x 2－1x≥0，所以不等式的解集为{x |－1≤x <0，或x ≥1}．答案：{x |－1≤x <0，或x ≥1}14．如果关于x 的不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，那么k 的取值范围是________．解析：当k ＝0时满足条件；当k ≠0时满足⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝k 2－4×2k －38，解得－3<k ≤0.答案：－3<k ≤015．已知在△ABC 中，A ＝60°，最大边和最小边的长是方程3x 2－27x ＋32＝0的两实根，那么边BC 的长为________．解析：设方程3x 2－27x ＋32＝0的两根分别为b ，c 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝9bc ＝323，由余弦定理可知BC 2＝b 2＋c 2－2bc cos60° ＝(b ＋c )2－3bc ＝81－32＝49， ∴BC ＝7. 答案：716．等差数列{a n }中，S n 是它的前n 项之和，且S 6<S 7，S 7>S 8，则①此数列的公差d <0；②S 9一定小于S 6；③a 7是各项中最大的一项；④S 7一定是S n 中的最大值．其中正确的是________．(填入你认为正确的所有序号)解析：由题S 6<S 7，S 7>S 8可知a 7>0，a 8<0，等差数列为递减数列，故①正确，且④也正确，由等差数列的前n 项和为关于n 的二次式可知，其单调性为先增再减，而S 9离对称轴的距离比S 6离对称轴的距离要远，因此对应的函数值要小，故②正确．答案：①②④三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)在△ABC 中，a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1. (1)求角C 的度数；(2)求c ；(3)求△ABC 的面积． 解：(1)∵2cos(A ＋B )＝1，∴cos C ＝－12.∴角C 的度数为120°.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根， ∴a ＋b ＝23，ab ＝2.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝(a ＋b )2－2ab (cos C ＋1)＝12－2＝10，∴c ＝10. (3)S ＝12ab sin C ＝32.18．(12分)已知公差不为零的等差数列{a n }中，a 1＝1，且a 1，a 3，a 13成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)， 由a 1，a 3，a 13成等比数列，得a 23＝a 1·a 13即(1＋2d )2＝1＋12d ，得d ＝2或d ＝0(舍去)．故d ＝2， 所以a n ＝2n －1. (2)b n ＝2a n ＝22n －1，所以数列{b n }是以2为首项，4为公比的等比数列． ∴S n ＝2＋23＋25＋…＋22n －1＝－4n1－4＝23(4n－1)． 19．(12分)(2012·中山高二检测)如下图，从气球A 测得正前方的河流上的桥梁两端B ，C 的俯角α，β，如果这时气球的高度是h ，求桥梁BC 的长度．解：过A 作垂线AD 交CB 于D ，则在Rt △ADB 中，∠ABD ＝α，AB ＝hsin α.又在△ABC 中，∠C ＝β，∠BAC ＝α－β， 由正弦定理，得BCα－β＝ABsin β， ∴BC ＝ABα－βsin β＝hα－βsin α·sin β.20．(12分)已知下列不等式①x 2－4x ＋3<0；②x 2－6x ＋8<0；③2x 2－9x ＋a <0.要使①②成立的x 也满足③，请你找一个这样的a 值．解：解①x 2－4x ＋3<0， 即(x －1)(x －3)<0，∴1<x <3.解②x 2－6x ＋8<0，即(x －2)(x －4)<0， ∴2<x <4，∴①②同时成立的x 的范围是2<x <3.2x 2－9x ＋a <0对应的二次方程为2x 2－9x ＋a ＝0，对应的二次函数f (x )＝2x 2－9x ＋a 的对称轴为x ＝94∈(2,3)．∵3－94>94－2，∴f (3)>f (2)，∴只须f (3)≤0即可． 即2×32－9×3＋a ≤0，∴a ≤9.这样a 的值可取小于等于9中任一个，不妨取a ＝9. 21．(12分)等差数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n 满足条件S 2nS n＝4，n ＝1,2，…， (1)求数列{a n }的通项公式和S n ； (2)记b n ＝a n ·2n －1，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由S 2nS n＝4， 得a 1＋a 2a 1＝4，所以a 2＝3a 1＝3，且d ＝a 2－a 1＝2. 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋2(n －1)＝2n －1，S n ＝n ＋2n －2＝n 2.(2)由b n ＝a n ·2n －1，得b n ＝(2n －1)·2n －1.所以T n ＝1＋3·21＋5·22＋…＋(2n －1)·2n －1，①2T n ＝2＋3·22＋5·23＋…＋(2n －3)·2n －1＋(2n －1)·2n，②①－②得－T n ＝1＋2·2＋2·22＋…＋2·2n －1－(2n －1)·2n＝2(1＋2＋22＋…＋2n －1)－(2n －1)·2n－1＝－2n1－2－(2n －1)·2n－1.所以T n ＝(2n －1)·2n＋1－(2n ＋1－2)＝(n －1)·2n ＋1－2n＋3.22．(12分)电视台某广告公司特约播放两部片集，其中片集甲每片播放时间为20分钟，广告时间为1分钟，收视观众为60万；片集乙每片播放时间为10分钟，广告时间为1分钟，收视观众为20万，广告公司规定每周至少有6分钟广告，而电视台每周只能为该公司提供不多于86分钟的节目时间(含广告时间)．(1)问电视台每周应播放两部片集各多少集，才能使收视观众最多；(2)在获得最多收视观众的情况下，片集甲、乙每集可分别给广告公司带来a 和b (万元)的效益，若广告公司本周共获得1万元的效益，记S ＝1a ＋1b为效益调和指数，求效益调和指数的最小值．(取2＝1.41)解：(1)设片集甲、乙分别播放x ，y 集，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥6，21x ＋11y ≤86，x ，y ∈N .要使收视观众最多，则只要z ＝60x ＋20y 最大即可． 如图作出可行域，易知满足题意的最优解为(2,4)，z max ＝60×2＋20×4＝200，故电视台每周片集甲播出2集，片集乙播出4集，其收视观众最多．(2)由题意得：2a ＋4b ＝1，S ＝1a ＋1b ＝(1a ＋1b)(2a ＋4b ) ＝6＋2a b ＋4b a ≥6＋42＝11.64(万元)，当且仅当a ＝2－12，b ＝2－24时，取等号．所以效益调和指数的最小值为11.64万元．。
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第一章 立体几何初步
红对勾系列丛书
2．下列说法错误的是(
)
A．若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等
B．九棱柱有九条侧棱， 9个侧面，侧面为平行四边形 Evaluation only.
ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 C．长方体、正方体都是棱柱 Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd. D．三棱柱的底面是三角形
1．下列命题中正确的是( )
only. ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 B．直平行六面体是长方体 Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd. C．底面是矩形的四棱柱是长方体
D．六个面都是矩形的六面体是长方体
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Evaluation only. ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 第一章 立体几何初步 Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd.
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Evaluation only. 1.1 空间几何体 ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd.
第一章 立体几何初步
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拆叠即可还原)，则这个多面体的顶点数为( )
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数学红对勾必修五答案
数学红对勾必修五答案xt>时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题6分，共计36分) 1．数列{an}中，a1＝5，an＋1＝4an，则( ) a．a2＝9 b．a42＝5c．an＋1＝4an是通项公式 d．a2＝202．已知数列{an}中，an－1＝man＋1(n1)，且a2＝3，a3＝5，则实数m等于( )a．0b.25 c．2d．5解析：a5m＋1，∴m＝22＝ma3＋1，则3＝5答案：b3．数列{an}中，a1＝2，a2＝3，an＝an－1an－2(n2)，则a4等于( a．2b．3 c．6d．184．数列{an}中，a1＝1，an＋1＝a2n－1，则此数列的前4项和为( ) )a．0c．2b．1 d．－222解析：a1＝1，a2＝a21－1＝0，a3＝a2－1＝－1，a4＝a3－1＝0，∴a1＋a2＋a3＋a4＝0.答案：a5．已知数列{an}对任意的p，q∈n*满足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－6，那么a10等于( )a．－165c．－30b．－33 d．－21解析：a2＝a1＋a1＝－6，所以a1＝－3. a10＝a5＋a5＝2a5＝2(a2＋a3)＝2[a2＋(a2＋a1)] ＝4a2＋2a1＝－24－6＝－30. 答案：c6．数列{an}中，已知a61＝2 000，且an＋1＝an＋n，则a1等于( ) a．168c．170b．169 d．171解析：∵an＋1－an＝n，∴a2－a1＝1，a3－a2＝2，…，a61－a60＝60，∴a61－a1＝1＋2＋…＋60，∴a1＝170.答案：c二、填空题(每小题8分，共计24分)7．数列{an}中，an＋1＝an＋n，则a2 011－a2 010＝________. 解析：∵a2 011＝a2 010＋2 010，∴a2 011－a2 010＝2 010. 答案：2 0108．依次写出数列a1＝1，a2，a3，…，an(n∈n*)的法则如下：如果an为自然数，则写an＋1＝an－2，否则就写an＋1＝an＋3，则a6＝________(注意0是自然数)．解析：∵a1＝1是自然数，∴a2＝a1－2＝1－2＝－1. ∵a2＝－1不是自然数，∴a3＝a2＋3＝－1＋3＝2. ∵a3＝2是自然数，∴a4＝a3－2＝2－2＝0. ∵a4＝0是自然数，∴a5＝a4－2＝0－2＝－2. ∵a5＝－2不是自然数，∴a6＝a5＋3＝－2＋3＝1. 答案：1119．已知数列{an}中，a1＝2an＋1＝1－an≥2)，则a16＝________. n1111解析：a2＝1－a1，a3＝1－a2，a4＝1－a＝21231为循环数列，∴a1＝a4＝a7＝a10＝a13＝a162.1答案：2三、解答题(共计40分)10．(10分)在数列{an}中，已知a1＝2，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n≥1)，写出此数列的前6项．解：a1＝2，a2＝3，2a11．(15分)数列{an}中，a1＝a，an＋1＝1＋an4项，并根据前4项观察规律，写出该数列的一个通项公式．1＋a2an2a2a2解：∵a1＝a，an＋1＝，∴a2＝a＝＝2a1＋an1＋a31＋a21＋1＋a＝4a8a1＋?2－－1?a12．(15分)已知数列{an}的首项a1＝3，an－an－1＝4(n1)，求它的通项公式．解：由题设，可得a2－a1＝4，a3－a2＝4，a4－a3＝4，…，an －an－1＝4，将上面n－1个等式相加，得an－a1＝4(n－1)．又a1＝3，所以an＝4n－4＋3＝4n－1(n1)．又a1＝3也满足an＝4n －1，故数列{an}的通项公式为an＝4n－1(n∈n*)．【篇二：【红对勾】2015-2016学年人教版高中数学必修4课时作业5】s=txt>时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题6分，共计36分)4a.5 2c.523b.5 1d.53432答案：b15b.3 d．－2112?－3?＋114．若△abc的内角a满足sinacosa＝3sina＋cosa的值为( )15a.3 5c.315b．－3 5d．－3 b．1 5－1d.215解析：由sinacosa＝31＋2sinacosa＝35∴(sina＋cosa)＝3，又a为三角形的一内角．21则由sinacosa＝3sina0，cosa0. ∴sina＋cosa5153＝3.答案：a2b．－2d．11＋sinxcosx16．已知，则cosx( )sinx－121a.2 c．2解析：由1－sin2x＝cos2x，可得 1＋sinxcosx1cosx＝－sinx－12. 答案：b二、填空题(每小题8分，共计24分)1b．－2 d．－227．在△abc中，若tana＝3，则sina＝________. 2sina2解析：在△abc中，tana＝3cosa3 sin2a2∴cosa9 又sin2a＋cos2a＝1，②222由①、②得sina＝11，即sina11222答案：1118．已知f(tanx)＝cosxf(－3)＝________. sin2x＋cos2x1解析：f(tanx)＝cosxcosx＝tan2x＋1，∴f(x)＝x2＋1.∴f(－3)＝4. 答案：4解析：＝三、解答题(共计40分，其中10题10分，11、12题各15分) 1＋2sinxcosx1＋tanx10．证明：(1)＝.＋sin2x＋2sinxcosx证明：(1)左边＝cos2x－sin2x?cosx＋sinx?2＝?cosx－sinx??cosx＋sinx? ＝cosx＋sinxcosx－sinx1＋sinx＝cosx－【篇三：【红对勾讲与练】2014版高中数学北师大版必修五练习：2-1-1 word版含解析】abc中，下列等式总能成立的是( )a．acosc＝ccosac．absinc＝bcsinb【答案】 d【解析】由正弦定理易知，d正确．【答案】 bab2【解析】由sinasinbsinb＝2，∵ab，二、填空题【答案】 64．已知△abc的面积为3且b＝2，c＝2，则角a等于_______．。
高中数学人教版必修5课后习题答案[电子档]
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..高中数学必修5课后习题答案..下载可编辑..第二章 数列2.1 数列的概念与简单表示法练习（P31） 1、2、前5项分别是：1,0,1,0,1--.3、例1（1）1(2,)1(21,)n n m m N na n m m N n⎧-=∈⎪⎪=⎨⎪=-∈⎪⎩**； （2）2(2,)0(21,)n n m m N a n m m N ⎧=∈⎪=⎨=-∈⎪⎩**说明：此题是通项公式不唯一的题目，鼓励学生说出各种可能的表达形式，并举出其他可能的通项公式表达形式不唯一的例子.4、（1）1()21n a n Z n +=∈-； （2）(1)()2n n a n Z n +-=∈； （3）121()2n n a n Z +-=∈ 习题2.1 A 组（P33）1、（1）2,3,5,7,11,13,17,19；（2）2,6,22,3,10,23,14,15,4,32； （3）1,1.7,1.73,1.732,…1.732050； 2,1.8,1.74,1.733,…,1.732051.2、（1）11111,,,,491625； （2）2,5,10,17,26--.3、（1）（1），4-，9，（16-），25，（36-），49； 12(1)n n a n +=-； （2）1，2，（3），2，5，（6），7； n a n =.4、（1）1,3,13,53,2132； （2）141,5,,,5454--.5、对应的答案分别是：（1）16,21；54n a n =-；（2）10,13；32n a n =-；（3）24,35；22n a n n =+. 6、15,21,28； 1n n a a n -=+.习题2.1 B 组（P34）1、前5项是1,9,73,585,4681.n 1 2 … 5 … 12 … n n a 21 33 … 69 … 153 … 3(34)n +该数列的递推公式是：1118,1n n a a a +=+=.通项公式是：817n n a -=.2、110(10.72)10.072a =⨯+=﹪； 2210(10.72)10.144518a =⨯+=﹪； 3310(10.72)10.217559a =⨯+=﹪； 10(10.72)n n a =⨯+﹪. 3、（1）1,2,3,5,8； （2）358132,,,,2358.2.2 等差数列练习（P39）1、表格第一行依次应填：0.5，15.5，3.75；表格第二行依次应填：15，11-，24-.2、152(1)213n a n n =+-=+，1033a =.3、4n c n =4、（1）是，首项是11m a a md +=+，公差不变，仍为d ；（2）是，首项是1a ，公差2d ；（3）仍然是等差数列；首项是716a a d =+；公差为7d . 5、（1）因为5375a a a a -=-，所以5372a a a =+. 同理有5192a a a =+也成立； （2）112(1)n n n a a a n -+=+>成立；2(0)n n k n k a a a n k -+=+>>也成立.习题2.2 A 组（P40）1、（1）29n a =； （2）10n =； （3）3d =； （4）110a =.2、略.3、60︒.4、2℃；11-℃；37-℃.5、（1）9.8s t =； （2）588 cm ，5 s.习题2.2 B 组（P40）1、（1）从表中的数据看，基本上是一个等差数列，公差约为2000，52010200280.2610a a d =+=⨯ 再加上原有的沙化面积5910⨯，答案为59.2610⨯； （2）2021年底，沙化面积开始小于52810 hm ⨯.2、略.2.3 等差数列的前n 项和练习（P45） 1、（1）88-； （2）604.5.2、59,11265,112n n a n n ⎧=⎪⎪=⎨+⎪>⎪⎩3、元素个数是30，元素和为900.习题2.3 A 组（P46）1、（1）(1)n n +； （2）2n ； （3）180个，和为98550； （4）900个，和为494550.2、（1）将120,54,999n n a a S ===代入1()2n n n a a S +=，并解得27n =； 将120,54,27n a a n ===代入1(1)n a a n d =+-，并解得1713d =.（2）将1,37,6293n d n S ===代入1(1)n a a n d =+-，1()2n n n a a S +=，得111237()6292n n a a a a =+⎧⎪⎨+=⎪⎩；解这个方程组，得111,23n a a ==.（3）将151,,566n a d S ==-=-代入1(1)2n n n S na d -=+，并解得15n =；将151,,1566a d n ==-=代入1(1)n a a n d =+-，得32n a =-.（4）将2,15,10n d n a ===-代入1(1)n a a n d =+-，并解得138a =-；将138,10,15n a a n =-=-=代入1()2n n n a a S +=，得360n S =-. 3、44.5510⨯m. 4、4.5、这些数的通项公式：7(1)2n -+，项数是14，和为665.6、1472.习题2.3 B 组（P46）1、每个月的维修费实际上是呈等差数列的. 代入等差数列前n 项和公式，求出5年内的总共的维修费，即再加上购买费，除以天数即可. 答案：292元.2、本题的解法有很多，可以直接代入公式化简，但是这种比较繁琐. 现提供2个证明方法供参考. （1）由 61615S a d =+，1211266S a d =+，18118153S a d =+ 可得61812126()2()S S S S S +-=-.（2）1261212126()()S S a a a a a a -=+++-+++L L 7812a a a =+++L126(6)(6)(6)a d a d a d =++++++L 126()36a a a d =++++L 636S d =+同样可得：1812672S S S d -=+，因此61812126()2()S S S S S +-=-.3、（1）首先求出最后一辆车出发的时间4时20分；所以到下午6时，最后一辆车行驶了1小时40分.（2）先求出15辆车总共的行驶时间，第一辆车共行驶4小时，以后车辆行驶时间依次递减，最后一辆行驶1小时40分. 各辆车的行驶时间呈等差数列分布，代入前n 项和公式，这个车队所有车的行驶时间为2418531522S +=⨯= h. 乘以车速60 km/h ，得行驶总路程为2550 km. 4、数列1(1)n n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的通项公式为111(1)1n a n n n n ==-++ 所以111111111()()()()1122334111n nS n n n n =-+-+-++-=-=+++L 类似地，我们可以求出通项公式为1111()()n a n n k k n n k==-++的数列的前n 项和. 2.4 等比数列练习（P52） 1、2、由题意可知，每一轮被感染的计算机台数构成一个首项为180a =，公比为20q =的等比数列，则第5轮被感染的计算机台数5a 为 447518020 1.2810a a q ==⨯=⨯.3、（1）将数列{}n a 中的前k 项去掉，剩余的数列为12,,k k a a ++L . 令,1,2,k i b a i +==L ，则数列12,,k k a a ++L 可视为12,,b b L . 因为11(1)i k i i k ib a q i b a ++++==≥，所以，{}n b 是等比数列，即12,,k k a a ++L 是等比数列. （2）{}n a 中的所有奇数列是135,,,a a a L ，则235211321(1)k k a a aq k a a a +-=====L L ≥. 所以，数列135,,,a a a L 是以1a 为首项，2q 为公比的等比数列. （3）{}n a 中每隔10项取出一项组成的数列是11223,,,a a a L ，1a 3a 5a 7aq2 4 8 16 2或2-50 20.080.00320.2则1112231111121110(1)k k a a a q k a a a +-=====L L ≥ 所以，数列11223,,,a a a L 是以1a 为首项，11q 为公比的等比数列.猜想：在数列{}n a 中每隔m （m 是一个正整数）取出一项，组成一个新的数列，这个数列是以1a 为首项，1m q +为公比的等比数列.4、（1）设{}n a 的公比为q ，则24228511()a a q a q ==，而262837111a a a q a q a q ⋅=⋅= 所以2537a a a =⋅，同理2519a a a =⋅ （2）用上面的方法不难证明211(1)nn n a a a n -+=⋅>. 由此得出，n a 是1n a -和1n a +的等比中项. 同理：可证明，2(0)nn k n k a a a n k -+=⋅>>. 由此得出，n a 是n k a -和n k a +的等比中项(0)n k >>. 5、（1）设n 年后这辆车的价值为n a ，则13.5(110)n n a =-﹪. （2）4413.5(110)88573a =-≈﹪（元）. 用满4年后卖掉这辆车，能得到约88573元. 习题2.4 A 组（P53）1、（1）可由341a a q =，得11a =-，6671(1)(3)729a a q ==-⨯-=-. 也可由671a a q =，341a a q =，得337427(3)729a a q ==⨯-=-（2）由131188a q a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得12723a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，或12723a q =-⎧⎪⎨=-⎪⎩（3）由416146a q a q ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得232q =，862291173692a a q a q q a q ==⋅==⨯=还可由579,,a a a 也成等比数列，即2759a a a =，得22795694a a a ===.（4）由411311156a q a a q a q ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩L L L L ①②①的两边分别除以②的两边，得2152q q +=，由此解得12q =或2q =.当12q =时，116a =-. 此时2314a a q ==-. 当2q =时，11a =. 此时2314a a q ==. 2、设n 年后，需退耕n a ，则{}n a 是一个等比数列，其中18(110),0.1a q =+=﹪.那么2005年需退耕5551(1)8(110)13a a q =+=+≈﹪（万公顷） 3、若{}n a 是各项均为正数的等比数列，则首项1a 和公比q 都是正数. 由11n n a a q-=，得111(1)22111()n n n n a a qa qa q ---===.那么数列{}n a 是以1a 为首项，12q 为公比的等比数列.4、这张报纸的厚度为0.05 mm ，对折一次后厚度为0.05×2 mm ，再对折后厚度为0.05×22 mm ，再对折后厚度为0.05×32 mm. 设00.05a =，对折n 次后报纸的厚度为n a ，则{}n a 是一个等比数列，公比2q =. 对折50次后，报纸的厚度为505050131000.052 5.6310 mm 5.6310 m a a q ==⨯≈⨯=⨯这时报纸的厚度已经超出了地球和月球的平均距离（约83.8410 m ⨯），所以能够在地球和月球之间建一座桥.5、设年平均增长率为1,105q a =，n 年后空气质量为良的天数为n a ，则{}n a 是一个等比数列. 由3240a =，得2231(1)105(1)240a a q q =+=+=，解得24010.51105q =-≈ 6、由已知条件知，,2a bA G ab +==，且22()0222a b a b ab a b A G ab ++---=-==≥ 所以有A G ≥，等号成立的条件是a b =. 而,a b 是互异正数，所以一定有A G >.7、（1）2±； （2）22()ab a b ±+. 8、（1）27，81； （2）80，40，20，10.习题2.4 B 组（P54）1、证明：由等比数列通项公式，得11m m a a q -=，11n n a a q -=，其中1,0a q ≠所以 1111m m n m n n a a q q a a q---== 2、（1）设生物体死亡时，体内每克组织中的碳14的原子核数为1个单位，年衰变率为q ，n 年后的残留量为n a ，则{}n a 是一个等比数列. 由碳14的半衰期为5730则 57305730112n a a qq===，解得157301()0.9998792q =≈ （2）设动物约在距今n 年前死亡，由0.6n a =，得10.9998790.6n n a a q ===.解得 4221n ≈，所以动物约在距今4221年前死亡.3、在等差数列1，2，3，…中，有7108917a a a a +==+，1040203050a a a a +==+ 由此可以猜想，在等差数列{}n a 中若*(,,,)k s p q k s p q N +=+∈，则k s p q a a a a +=+. 从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题：由等差数列{}n a 的图象，可以看出k p a k a p =，s q a sa q=根据等式的性质，有k s p q a a k sa a p q++=++，所以k s p q a a a a +=+. 猜想对于等比数列{}n a ，类似的性质为：若*(,,,)k s p q k s p q N +=+∈，则k s p q a a a a ⋅=⋅.2.5 等比数列的前n 项和练习（P58） 1、（1）6616(1)3(12)189112a q S q --===--. （2）1112.7()9190311451()3n n a a q S q----===----. 2、设这个等比数列的公比为q所以 101256710()()S a a a a a a =+++++++L L 555S q S =+55(1)q S =+50= 同理 1015105S S q S =+. 因为 510S =，所以由①得 5101051416S q q S =-=⇒= 代入②，得1015105501610210S S q S =+=+⨯=.3、该市近10年每年的国内生产总值构成一个等比数列，首项12000a =，公比 1.1q =设近10年的国内生产总值是10S ，则10102000(1 1.1)31874.81 1.1S -=≈-（亿元）习题2.5 A 组（P61）1、（1）由34164641a q a ===--，解得4q =-，所以144164(4)5111(4)a a q S q ---⨯-===---. a sa q a pa ksq p kOna n （第3题）（2）因为2131233(1)S a a a a q q --=++=++，所以2113q q --++=，即2210q q --=解这个方程，得1q =或12q =-. 当1q =时，132a =；当12q =-时，16a =.2、这5年的产值是一个以1138 1.1151.8a =⨯=为首项， 1.1q =为公比的等比数列所以5515(1)151.8(1 1.1)926.75411 1.1a q S q -⨯-==≈--（万元） 3、（1）第1个正方形的面积为42cm ，第2个正方形的面积为22cm ，…，这是一个以14a =为首项，12q =为公比的等比数列所以第10个正方形的面积为99710114()22a a q -==⨯=（2cm ）（2）这10个正方形的面积和为77110101422821112a a qS q---⨯-===---（2cm ）4、（1）当1a =时，2(1)(1)(2)()12(1)2n n na a a n n --+-++-=-----=-L L 当1a ≠时，22(1)(2)()()(12)n n a a a n a a a n -+-++-=+++-+++L L L(1)(1)12n a a n n a -+=-- （2）1212(235)(435)(35)2(12)3(555)n n n n -------⨯+-⨯+-⨯=+++-+++L L11(1)5(15)323(1)(15)2154n nn n n n ----+-⨯-⨯=+---（3）设21123n n S x x nx -=++++L ……① 则 212(1)n n n xS x x n x nx -=+++-+L ……②①－②得，21(1)1n n n x S x x x nx --=++++-L ……③当1x =时，(1)1232n n n S n +=++++=L ；当1x ≠时，由③得，21(1)1n n n x nx S x x -=--- 5、（1）第10次着地时，经过的路程为91002(50251002)-++++⨯L1291911002100(222)2(12)100200299.61 (m)12------=+⨯+++-=+⨯≈-L （2）设第n 次着地时，经过的路程为293.75 m ，则1(1)12(1)12(12)1002100(222)100200293.7512n n ---------+⨯+++=+⨯=-L所以130********.75n --⨯=，解得120.03125n -=，所以15n -=-，则6n = 6、证明：因为396,,S S S 成等差数列，所以公比1q ≠，且9362S S S =+即，936111(1)(1)(1)2111a q a q a q q q q---⨯=+--- 于是，9362q q q =+，即6321q q =+ 上式两边同乘以1a q ，得741112a q a q a q =+ 即，8252a a a =+，故285,,a a a 成等差数列习题2.5 B 组（P62）1、证明：11111()(1())1n n n n n n n n n bb b a b a a a b b a a b a a a b a+++---+++=+++==--L L2、证明：因为7714789141277()S S a a a q a a a q S -=+++=+++=L L 141421141516211277()S S a a a q a a a q S -=+++=+++=L L 所以71472114,,S S S --成等比数列3、（1）环保部门每年对废旧物资的回收量构成一个等比数列，首项为1100a =，公比为 1.2q =. 所以，2010年能回收的废旧物资为89100 1.2430a =⨯≈（t ）（2）从2002年到2010年底，能回收的废旧物资为9919(1)100(1 1.2)208011 1.2a q S q --==≈--（t ） 可节约的土地为165048320⨯=（2m ）4、（1）依教育储蓄的方式，应按照整存争取定期储蓄存款利率计息，免征利息税，且若每月固定存入a 元，连续存n 个月，计算利息的公式为()2a na n+⨯月利率.因为整存整取定期储蓄存款年利率为2.52﹪，月利率为0.21﹪故到期3年时一次可支取本息共(505036)360.2118001869.932+⨯⨯⨯+=﹪（元）若连续存6年，应按五年期整存整取定期储蓄存款利率计息，具体计算略. （2）略.（3）每月存50元，连续存3年按照“零存整取”的方式，年利率为1.89﹪，且需支付20﹪的利息税所以到期3年时一次可支取本息共1841.96元，比教育储蓄的方式少收益27.97元.（4）设每月应存入x 元，由教育储蓄的计算公式得36(36)0.2136100002x x x +⨯+=﹪解得267.39x ≈（元），即每月应存入267.39（元）（5）（6）（7）（8）略5、设每年应存入x 万元，则2004年初存入的钱到2010年底利和为7(12)x +﹪，2005年初存入的钱到2010年底利和为6(12)x +﹪，……，2010年初存入的钱到2010年底利和为(12)x +﹪. 根据题意，76(12)(12)(12)40x x x ++++++=L ﹪﹪﹪ 根据等比数列前n 项和公式，得7(12)(1 1.02)401 1.02x +-=-﹪，解得52498x ≈（元）故，每年大约应存入52498元第二章 复习参考题A 组（P67）1、（1）B ； （2）B ； （3）B ； （4）A .2、（1）212n n n a -=； （2）12(1)(21)1(2)n n n a n +--=+； （3）7(101)9n n a =-； （4）1(1)n n a =+-或1cos n a n π=+.3、4、如果,,a b c 成等差数列，则5b =；如果,,a b c 成等比数列，则1b =，或1-.5、n a 按顺序输出的值为：12，36，108，324，972. 86093436sum =.6、81381.9(10.13)1396.3⨯+≈﹪（万） 7、从12月20日到次年的1月1日，共13天. 每天领取的奖品价值呈等差数列分布.110,100d a ==. 由1(1)2n n n S a n d -=+得：1313121001310208020002S ⨯=⨯+⨯=>.所以第二种领奖方式获奖者受益更多. 8、因为28374652a a a a a a a +=+=+=所以34567285450()2a a a a a a a +++++==+，则28180a a +=.9、容易得到101010,1012002n n na n S +==⨯=，得15n =.10、212212()()()n n n n S a a a a nd a nd a nd ++=+++=++++++L L 2121()n a a a n nd S n d =++++⨯=+L32122312(2)(2)(2)n n n n S a a a a nd a nd a nd ++=+++=++++++L L 2121()22n a a a n nd S n d =++++⨯=+L 容易验证2132S S S =+. 所以，123,,S S S 也是等差数列，公差为2n d . 11、221(1)(1)4(1)221a f x x x x x =+=+-++=-- 223(1)(1)4(1)267a f x x x x x =-=---+=-+ 因为{}n a 是等差数列，所以123,,a a a 也是等差数列. 所以，2132a a a =+. 即，20286x x =-+. 解得1x =或3x =. 当1x =时，1232,0,2a a a =-==. 由此可求出24n a n =-. 当3x =时，1232,0,2a a a ===-. 由此可求出42n a n =-.第二章 复习参考题B 组（P68）1、（1）B ； （2）D .2、（1）不成等差数列. 可以从图象上解释. ,,a b c 成等差，则通项公式为y pn q =+的形式，且,,a b c 位于同一直线上，而111,,a b c 的通项公式却是1y pn q =+的形式，111,,a b c不可能在同一直线上，因此肯定不是等差数列.（2）成等比数列. 因为,,a b c 成等比，有2b ac =. 又由于,,a b c 非零，两边同时取倒数，则有21111b ac a c==⨯. 所以，111,,a b c也成等比数列.3、体积分数：60.033(125)0.126⨯+≈﹪，质量分数：60.05(125)0.191⨯+≈﹪. 4、设工作时间为n ，三种付费方式的前n 项和分别为,,n n n A B C . 第一种付费方式为常数列；第二种付费方式为首项是4，公差也为4的等差数列；第三种付费方式为首项是0.4，公比为2的等比数列. 则38n A n =，2(1)44222n n n B n n n -=+⨯=+， 0.4(12)0.4(21)12n n n C -==--. 下面考察,,n n n A B C 看出10n <时，380.4(21)n n >-. 因此，当工作时间小于10天时，选用第一种付费方式. 10n ≥时，,n n n n A C B C ≤≤因此，当工作时间大于10天时，选用第三种付费方式.5、第一星期选择A 种菜的人数为n ，即1a n =，选择B 种菜的人数为500a -. 所以有以下关系式：2118030a a b =⨯+⨯﹪﹪3228030a a b =⨯+⨯﹪﹪……118030n n b a a b --=⨯+⨯﹪﹪500n n a b +=所以111502n n a a -=+，115003502n n n b a a -=-=-如果1300a =，则2300a =，3300a =，…，10300a = 6、解：由1223n n n a a a --=+得 1123()n n n n a a a a ---+=+以及1123(3)n n n n a a a a ----=--所以221213()37n n n n a a a a ---+=+=⨯，221213(1)(3)(1)13n n n n a a a a ----=--=-⨯. 由以上两式得，11437(1)13n n n a --=⨯+-⨯所以，数列的通项公式是11137(1)134n n n a --⎡⎤=⨯+-⨯⎣⎦ 7、设这家牛奶厂每年应扣除x 万元消费基金2002年底剩余资金是1000(150)x +-﹪2003年底剩余资金是2[1000(150)](150)1000(150)(150)x x x x +-+-=+-+-﹪﹪﹪﹪ ……5年后达到资金 54321000(150)(150)(150)(150)(150)2000x x x x +-+-+-+-+=﹪﹪﹪﹪﹪ 解得 459x ≈（万元）第三章 不等式3.1 不等关系与不等式练习（P74）1、（1）0a b +≥； （2）4h ≤； （3）(10)(10)3504L W L W ++=⎧⎨>⎩.2、这给两位数是57.3、（1）>； （2）<； （3）>； （4）<；习题3.1 A 组（P75）1、略.2、（1）3274+<； （2）710314+>+.3、证明：因为20,04x x >>，所以21104x x x ++>+>因为22(1)(1)02x x +>+>，所以112xx +>+4、设A 型号帐篷有x 个，则B 型号帐篷有(5)x +个，050448054853(5)484(4)48x x x x x x >⎧⎪+>⎪⎪<⎪⎨<-<⎪⎪+<⎪+⎪⎩≥5、设方案的期限为n 年时，方案B 的投入不少于方案A 的投入.所以，(1)5105002n n n -+⨯≥ 即，2100n ≥.习题3.1 B 组（P75）1、（1）因为222259(56)30x x x x x ++-++=+>，所以2225956x x x x ++>++ （2）因为222(3)(2)(4)(69)(68)10x x x x x x x ----=-+--+=>所以2(3)(2)(4)x x x ->--（3）因为322(1)(1)(1)0x x x x x --+=-+>，所以321x x x >-+（4）因为22222212(1)1222(1)(1)10x y x y x y x y x y ++-+-=++-+-=-+-+> 所以2212(1)x y x y ++>+-2、证明：因为0,0a b c d >>>>，所以0ac bd >>又因为0cd >，所以10cd>于是0a bd c>>，所以a b d c > 3、设安排甲种货箱x 节，乙种货箱y 节，总运费为z .所以 352515301535115050x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪+=⎩≥≥ 所以28x ≥，且30x ≤所以 2822x y =⎧⎨=⎩，或2921x y =⎧⎨=⎩，或3020x y =⎧⎨=⎩所以共有三种方案，方案一安排甲种货箱28节，乙种货箱22节；方案二安排甲种货箱29节，乙种货箱21节；方案三安排甲种货箱30节，乙种货箱20节. 当3020x y =⎧⎨=⎩时，总运费0.5300.82031z =⨯+⨯=（万元），此时运费较少. 3.2 一元二次不等式及其解法练习（P80） 1、（1）1013x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭≤≤； （2）R ； （3）{}2x x ≠； （4）12x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭； （5）31,2x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或； （6）54,43x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或； （7）503x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.2、（1）使2362y x x =-+的值等于0的x 的集合是331,133⎧⎫⎪⎪-+⎨⎬⎪⎪⎩⎭；使2362y x x =-+的值大于0的x 的集合为331,133x x x ⎧⎫⎪⎪<->+⎨⎬⎪⎪⎩⎭或； 使2362y x x =-+的值小于0的x 的集合是331133x x ⎧⎫⎪⎪-<<+⎨⎬⎪⎪⎩⎭. （2）使225y x =-的值等于0的x 的集合{}5,5-； 使225y x =-的值大于0的x 的集合为{}55x x -<<； 使225y x =-的值小于0的x 的集合是{}5,5x x x <->或. （3）因为抛物线2+610y x x =+的开口方向向上，且与x 轴无交点 所以使2+610y x x =+的等于0的集合为∅；使2+610y x x =+的小于0的集合为∅； 使2+610y x x =+的大于0的集合为R. （4）使231212y x x =-+-的值等于0的x 的集合为{}2； 使231212y x x =-+-的值大于0的x 的集合为∅； 使231212y x x =-+-的值小于0的x 的集合为{}2x x ≠.习题3.2 A 组（P80）1、（1）35,22x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或； （2）131322x x ⎧⎫⎪⎪-<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭； （3）{}2,5x x x <->或； （4）{}09x x <<.2、（1）解2490x x -+≥，因为200∆=-<，方程2490x x -+=无实数根所以不等式的解集是R ，所以249y x x =-+的定义域是R. （2）解2212180x x -+-≥，即2(3)0x -≤，所以3x = 所以221218y x x =-+-的定义域是{}3x x = 3、{}322,322m m m <-->-+或； 4、R.5、设能够在抛出点2 m 以上的位置最多停留t 秒.依题意，20122v t gt ->，即212 4.92t t ->. 这里0t >. 所以t 最大为2（精确到秒）答：能够在抛出点2 m 以上的位置最多停留2秒. 6、设每盏台灯售价x 元，则15[302(15)]400x x x ⎧⎨-->⎩≥. 即1520x <≤.所以售价{}1520x x x ∈<≤习题3.2 B 组（P81）1、（1）55255222x x ⎧⎫-+⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭； （2）{}37x x <<； （3）∅； （4）113x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 2、由22(1)40m m ∆=--<，整理，得23210m m +->，因为方程23210m m +-=有两个实数根1-和13，所以11m <-，或213m >，m 的取值范围是11,3m m m ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或.3、使函数213()324f x x x =--的值大于0的解集为42423,322x x x ⎧⎫⎪⎪<-<+⎨⎬⎪⎪⎩⎭或. 4、设风暴中心坐标为(,)a b ，则3002a =，所以22(3002)450b +<，即150150b -<< 而300215015(221)13.7202-=-≈（h ），3001520=. 所以，经过约13.7小时码头将受到风暴的影响，影响时间为15小时.3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题练习（P86）1、B .2、D .3、B .4、分析：把已知条件用下表表示：工序所需时间/分钟收益/元 打磨 着色 上漆桌子A 10 6 6 40桌子B 5 12 9 30 工作最长时间 450 480 450解：设家具厂每天生产A 类桌子x 张，B 类桌子y 张.对于A 类桌子，x 张桌子需要打磨10x min ，着色6x min ，上漆6x min 对于B 类桌子，y 张桌子需要打磨5y min ，着色12y min ，上漆9y min 而打磨工人每天最长工作时间是450min ，所以有105450x y +≤. 类似地，612480x y +≤，69450x y +≤ 在实际问题中，0,0x y ≥≥；所以，题目中包含的限制条件为 1054506124806945000x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩≤≤≤≥≥练习（P91）1、（1）目标函数为2z x y =+，可行域如图所示，作出直线2y x z =-+，可知z 要取最大值，即直线经过点C 时，解方程组11x y y +=⎧⎨=-⎩得(2,1)C -，所以，max 222(1)3z x y =+=⨯+-=...（2）目标函数为35z x y =+，可行域如图所示，作出直线35z x y =+可知，直线经过点B 时，Z 取得最大值. 直线经过点A 时，Z 取得最小值. 解方程组 153y x x y =+⎧⎨-=⎩，和15315y x x y =+⎧⎨+=⎩可得点(2,1)A --和点(1.5,2.5)B .所以max 3 1.55 2.517z =⨯+⨯=，min 3(2)5(1)11z =⨯-+⨯-=-2、设每月生产甲产品x 件，生产乙产品y 件，每月收入为z 元，目标函数为30002000z x y =+，需要满足的条件是 2400250000x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≥≥，作直线30002000z x y =+，当直线经过点A 时，z 取得最大值. 解方程组 24002500x y x y +=⎧⎨+=⎩可得点(200,100)A ，z 的最大值为800000元.习题3.3 A 组（P93）1、画图求解二元一次不等式：（1）2x y +≤； （2）22x y ->； （3）2y -≤； （4）3x ≥y=x x+y=1CBA -1O1yx5x +3y=15x -5y=3y=x+1yx15B3AO（1）（2）（第1题）（第2题）xyA500200400250Oy=2x -2y xO1-11yx22Oxy321Oxy -2O2、3、分析：将所给信息下表表示：每次播放时间/分 广告时间/分 收视观众/万连续剧甲 80 1 60 连续剧乙 40 1 20 播放最长时间 320 最少广告时间 6解：设每周播放连续剧甲x 次，播放连续剧乙y 次，收视率为z . 目标函数为6020z x y =+，所以，题目中包含的限制条件为8040320600x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≥≥≥可行域如图. 解方程组80403206x y x y +⎧⎨+⎩==得点M 的坐标为(2,4)，所以max 6020200z x y =+=（万）答：电视台每周应播放连续剧甲2次，播放连续剧乙4次，才能获得最高的收视率. 4、设每周生产空调器x 台，彩电y 台，则生产冰箱120x y --台，产值为z . 则，目标函数为432(120)2240z x y x y x y =++--=++ 所以，题目中包含的限制条件为111(120)402341202000x y x y x y x y ⎧++--⎪⎪⎪--⎨⎪⎪⎪⎩≤≥≥≥即，312010000x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≥≥ 可行域如图，解方程组3120100x y x y +⎧⎨+⎩==y=x 3+1y=x+2y=4-x -1-15424O 1（第2题）yx586O1（第3题）y=120-3xy=100-xxy12010010040MO得点M 的坐标为(10,90)，所以max 2240350z x y =++=（千元）答：每周应生产空调器10台，彩电90台，冰箱20台，才能使产值最高，最高产值是350千元.习题3.3 B 组（P93）1、画出二元一次不等式组 231223600x y x y x y +⎧⎪+>-⎪⎨⎪⎪⎩≤≥≥，所表示的区域如右图2、画出(21)(3)0x y x y +--+>表示的区域.3、设甲粮库要向A 镇运送大米x 吨、向B 镇运送大米y 吨，总运费为z . 则乙粮库要向A 镇运送大米(70)x -吨、向B 镇运送大米(110)y -吨，目标函数（总运费）为 122025101512(70)208(110)609030200z x y x y x y =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯-+⨯⨯-=++.所以，题目中包含的限制条件为 100(70)(110)800700x y x y x y +⎧⎪-+-⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≤≤≥.所以当70,30x y ==时，总运费最省 min 37100z =（元）y=-2-23xy=4-23xyx-3-22564O1（第1题）y=12-x 2y=x+3yx-2-33O1（第2题）所以当0,100x y ==时，总运费最不合理 max 39200z =（元）使国家造成不该有的损失2100元.答：甲粮库要向A 镇运送大米70吨，向B 镇运送大米30吨，乙粮库要向A 镇运送大米0吨，向B 镇运送大米80吨，此时总运费最省，为37100元. 最不合理的调运方案是要向A 镇运送大米0吨，向B 镇运送大米100吨，乙粮库要向A 镇运送大米70吨，向B 镇运送大米10吨，此时总运费为39200元，使国家造成损失2100元.3.4 基本不等式2a bab +≤练习（P100）1、因为0x >，所以1122x x x x+⨯=≥当且仅当1x x =时，即1x =时取等号，所以当1x =时，即1x x+的值最小，最小值是2. 2、设两条直角边的长分别为,a b ，0,a >且0b >，因为直角三角形的面积等于50.即 1502ab =，所以 2210020a b ab +==≥，当且仅当10a b ==时取等号.答：当两条直角边的长均为10时，两条直角边的和最小，最小值是20. 3、设矩形的长与宽分别为a cm ，b cm. 0a >，0b > 因为周长等于20，所以10a b +=所以 2210()()2522a b S ab +===≤，当且仅当5a b ==时取等号.答：当矩形的长与宽均为5时，面积最大. 4、设底面的长与宽分别为a m ，b m. 0a >，0b >因为体积等于323m ，高2m ，所以底面积为162m ，即16ab =所以用纸面积是 222324()3242323264S ab bc ac a b ab =++=+++=+=≥ 当且仅当4a b ==时取等号答：当底面的长与宽均为4米时，用纸最少.习题3.4 A 组（P100）1、（1）设两个正数为,a b ，则0,0a b >>，且36ab =所以 223612a b ab +==≥，当且仅当6a b ==时取等号. 答：当这两个正数均为6时，它们的和最小.（2）设两个正数为,a b ，依题意0,0a b >>，且18a b +=所以2218()()8122a b ab +==≤，当且仅当9a b ==时取等号.答：当这两个正数均为9时，它们的积最大. 2、设矩形的长为x m ，宽为y m ，菜园的面积为S 2m . 则230x y +=，S x y =⨯由基本不等式与不等式的性质，可得211219002252()222242x y S x y +=⨯⨯=⨯=≤. 当2x y =，即1515,2x y ==时，菜园的面积最大，最大面积是22522m .3、设矩形的长和宽分别为x 和y ，圆柱的侧面积为z ，因为2()36x y +=，即18x y +=. 所以222()1622x y z x y πππ+=⨯⨯⨯=≤， 当x y =时，即长和宽均为9时，圆柱的侧面积最大. 4、设房屋底面长为x m ，宽为y m ，总造价为z 元，则12xy =，12y x= 12360031200680058004800580023600124800580034600z y x x x⨯=⨯+⨯+=++⨯⨯+=≥ 当且仅当1236004800x x⨯=时，即3x =时，z 有最小值，最低总造价为34600元. 习题3.4 B 组（P101）1、设矩形的长AB 为x ，由矩形()ABCD AB AD >的周长为24，可知，宽12AB x =-. 设PC a =，则DP x a =-所以 222(12)()x x a a -+-=，可得21272x x a x -+=，1272x DP x a x-=-=.所以ADP ∆的面积 211272187272(12)66[()18]2x x x S x x x x x--+-=-=⨯=⨯-++由基本不等式与不等式的性质 6[27218]6(18122)108722S ⨯-+=⨯-=-≤当72x x=，即62x =m 时，ADP ∆的面积最大，最大面积是(108722)-2m . 2、过点C 作CD AB ⊥，交AB 延长线于点D .设BCD α∠=，ACB β∠=，CD x =.在BCD ∆中，tan b c x α-=. 在ACD ∆中，tan()a cxαβ-+= 则tan()tan tan tan[()]1tan()tan αβαβαβααβα+-=+-=++⋅()()1a c b ca b x x a c b c a c b c x x x x----==----+⋅+()()2()()2a b a ba cbc a c b c x x--=----⋅≤当且仅当()()a cbc x x--=，即()()x a c b c =--时，tan β取得最大，从而视角也最大.第三章 复习参考题A 组（P103）1、511212537+<+. 2、化简得{}23A x x =-<<，{}4,2B x x x =<->或，所以{}23A B x x =<<I3、当0k <时，一元二次不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立，即二次函数2328y kx kx =+-在x 轴下方，234(2)()08k k ∆=--<，解之得：30k -<<.当0k >时，二次函数2328y kx kx =+-开口朝上一元二次不等式23208kx kx +-<不可能对一切实数x 都成立，所以，30k -<<. 4、不等式组438000x y x y ++>⎧⎪<⎨⎪<⎩表示的平面区域的整点坐标是(1,1)--.5、设每天派出A 型车x 辆，B 型车y 辆，成本为z .所以 070494860360x y x y x y ⎧⎪⎪⎨+⎪⎪+⎩≤≤≤≤≤≥，目标函数为160252z x y =+把160252z x y =+变形为40163252y x z =-+，得到斜率为4063-，在y 轴上的截距为1252z ，随z 变化的一族平行直线. 在可行域的整点中，点(5,2)M 使得z 取得最小值. 所以每天派出A 型车5辆，B 型车2辆，成本最小，最低成本为1304元.6、设扇形的半径是x ，扇形的弧长为y ，因为 12S xy =扇形的周长为 2224Z x y xy S =+=≥当2x y =，即x S =，2y S =时，Z 可以取得最小值，最小值为4S . 7、设扇形的半径是x ，扇形的弧长为y ，因为2P x y =+扇形的面积为221112(2)()244216x y P Z xy x y +===≤ 当2x y =，即4P x =，2P y =时，Z 可以取得最大值，半径为4P 时扇形面积最大值为216P .8、设汽车的运输成本为y ， 2()s say bv a sbv v v=+⨯=+当sasbv v=时，即a v b =且a cb ≤时，y 有最小值. 22sa say sbv sbv s ab v v=+⨯=≥，最小值为2s ab . 当a cb >时，由函数sa y sbv v =+的单调性可知，vc =时y 有最小值，最小值为sa sbc c+. 第三章 复习参考题B 组（P103）1、D2、（1）32264x x x x ⎧⎫<--<<>⎨⎬⎩⎭或或 （2）231334x x x x ⎧⎫-<>⎨⎬⎩⎭或或≤≤3、1m =4、设生产裤子x 条，裙子y 条，收益为z .则目标函数为2040z x y =+，所以约束条件为 10210600x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩≤≤≤≥≥5、因为22x y +是区域内的点到原点的距离的平方 所以，当240330x y x y -+=⎧⎨--=⎩即2,3A A x y ==时，22x y +的最大值为13.当4525x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，22x y +最小，最小值是45.6、按第一种策略购物，设第一次购物时的价格为1p ，购n kg ，第二次购物时的价格为2p ，仍购n kg ，按这种策略购物时两次购物的平均价格为121222p n p n p p n ++=. 若按第二种策略购物，第一次花m 元钱，能购1m p kg 物品，第二次仍花m 元钱，能购2m p kg 物品，两次购物的平均价格为12122211m m m p p p p =++ x+y=62x+y=10x+y=10yx1010656O（第4题）xy12L 1L 3L 2AB C （第5题）比较两次购物的平均价格：221212121212121212121222()4()011222()2()p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p +++---=-==++++≥ 所以，第一种策略的平均价格高于第二种策略的平均价格，因而，用第二种策略比较经济. 一般地，如果是n 次购买同一种物品，用第二种策略购买比较经济.。
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人教A版高中数学必修1-5教材课后习题答案目录必修1第一章课后习题解答 (1)必修1第二章课后习题解答 (33)必修1第三章课后习题解答 (44)必修2第一章课后习题解答 (51)必修2第二章课后习题解答 (56)必修2第三章课后习题解答 (62)必修2第四章课后习题解答 (78)必修3第一章课后习题解答 (97)必修3第二章课后习题解答 (110)必修3第三章课后习题解答 (120)必修4第一章课后习题解答 (125)必修4第二章课后习题解答 (147)必修4第三章课后习题解答 (162)必修5第一章课后习题解答 (177)必修5第二章课后习题解答 (188)必修5第三章课后习题解答 (201)新课程标准人教A 版高中数学必修1第一章课后习题解答1.1集合【P5】1.1.1集合的含义与表示【练习】1.用符号“∈”或“∉”填空： （1）设A 为所有亚洲国家组成的集合，则中国_____A ，美国_____A ，印度____A ，英国____A ； （2）若2{|}A x x x ==，则1-_______A ； （3）若2{|60}B x x x =+-=，则3_______B ；（4）若{|110}C x N x =∈≤≤，则8_______C ，9.1_______C .解答：1.（1）中国∈A ，美国∉A ，印度∈A ，英国∉A ；中国和印度是属于亚洲的国家，美国在北美洲，英国在欧洲.（2）1-∉A 2{|}{0,1}A x x x ===. （3）3∉B 2{|60}{3,2}B x x x =+-==-. （4）8∈C ，9.1∉C 9.1N ∉. 2.试选择适当的方法表示下列集合：（1）由方程290x -=的所有实数根组成的集合； （2）由小于8的所有素数组成的集合；（3）一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合； （4）不等式453x -<的解集. 解答：2.解：（1）因为方程290x -=的实数根为123,3x x =-=，所以由方程的所有实数根组成的集合为； （2）因为小于的素数为，所以由小于的所有素数组成的集合为；（3）由，得，290x -={3,3}-82,3,5,78{2,3,5,7}326y x y x =+⎧⎨=-+⎩14x y =⎧⎨=⎩即一次函数与的图象的交点为，所以一次函数与的图象的交点组成的集合为；（4）由，得， 所以不等式的解集为．1．1．2集合间的基本关系 练习（第7页） 1．写出集合的所有子集．1．解：按子集元素个数来分类，不取任何元素，得； 取一个元素，得； 取两个元素，得；取三个元素，得，即集合的所有子集为．2．用适当的符号填空：（1）______； （2）______； （3）______； （4）______； （5）______； （6）______． 2．（1）是集合中的一个元素；（2）； （3） 方程无实数根，； （4）（或） 是自然数集合的子集，也是真子集；（5）（或） ；（6）方程两根为． 3．判断下列两个集合之间的关系： （1），；3y x =+26y x =-+(1,4)3y x =+26y x =-+{(1,4)}453x -<2x <453x -<{|2}x x <{,,}a b c ∅{},{},{}a b c {,},{,},{,}a b a c b c {,,}a b c {,,}a b c ,{},{},{},{,},{,},{,},{,,}a b c a b a c b c a b c ∅a {,,}a b c 02{|0}x x =∅2{|10}x R x ∈+={0,1}N {0}2{|}x x x ={2,1}2{|320}x x x -+={,,}a a b c ∈a {,,}a b c 20{|0}x x ∈=2{|0}{0}x x ==2{|10}x R x ∅=∈+=210x +=2{|10}x R x ∈+==∅{0,1}N {0,1}N ⊆{0,1}N {0}2{|}x x x =2{0}{|}x x x ⊆=2{|}{0,1}x x x ==2{2,1}{|320}x x x =-+=2320x x -+=121,2x x =={1,2,4}A ={|8}B x x =是的约数（2），；（3），．3．解：（1）因为，所以；（2）当时，；当时，， 即是的真子集，；（3）因为与的最小公倍数是，所以． 1．1．3集合的基本运算 练习（第11页） 1．设，求． 1．解：，．2．设，求． 2．解：方程的两根为， 方程的两根为，得， 即．3．已知，，求． 3．解：，．4．已知全集，，求． 4．解：显然，，{|3,}A x x k k N ==∈{|6,}B x x z z N ==∈{|410}A x x x N +=∈是与的公倍数,{|20,}B x x m m N +==∈{|8}{1,2,4,8}B x x ==是的约数AB 2k z =36k z =21k z =+363k z =+B A BA 41020AB ={3,5,6,8},{4,5,7,8}A B ==,A B A B {3,5,6,8}{4,5,7,8}{5,8}A B =={3,5,6,8}{4,5,7,8}{3,4,5,6,7,8}A B ==22{|450},{|1}A x x x B x x =--===,A B A B 2450x x --=121,5x x =-=210x -=121,1x x =-={1,5},{1,1}A B =-=-{1},{1,1,5}A B A B =-=-{|}A x x =是等腰三角形{|}B x x =是直角三角形,A B A B {|}A B x x =是等腰直角三角形{|}A B x x =是等腰三角形或直角三角形{1,2,3,4,5,6,7}U ={2,4,5},{1,3,5,7}A B ==(),()()U U U A B A B {2,4,6}UB ={1,3,6,7}UA =则，．1．1集合习题1．1 （第11页） A 组 1．用符号“”或“”填空：（1）_______； （2）______； （3）_______；（4_______； （5； （6）_______．1．（1） 是有理数； （2）是个自然数； （3）是个无理数，不是有理数； （4是实数；（5）是个整数；（6） 是个自然数．2．已知，用 “”或“” 符号填空：（1）_______； （2）_______； （3）_______． 2．（1）； （2）； （3）． 当时，；当时，； 3．用列举法表示下列给定的集合： （1）大于且小于的整数； （2）； （3）．3．解：（1）大于且小于的整数为，即为所求；（2）方程的两个实根为，即为所求；（3）由不等式，得，且，即为所求．4．试选择适当的方法表示下列集合：（1）二次函数的函数值组成的集合；(){2,4}U A B =()(){6}U U A B =∈∉237Q 23N πQ R Z 2N 237Q ∈23723N ∈239=Q π∉πR Z 3=2N ∈25={|31,}A x x k k Z ==-∈∈∉5A 7A 10-A 5A ∈7A ∉10A -∈2k =315k -=3k =-3110k -=-16{|(1)(2)0}A x x x =-+={|3213}B x Z x =∈-<-≤162,3,4,5{2,3,4,5}(1)(2)0x x -+=122,1x x =-={2,1}-3213x -<-≤12x -<≤x Z ∈{0,1,2}24y x =-（2）反比例函数的自变量的值组成的集合；（3）不等式的解集．4．解：（1）显然有，得，即，得二次函数的函数值组成的集合为； （2）显然有，得反比例函数的自变量的值组成的集合为；（3）由不等式，得，即不等式的解集为．5．选用适当的符号填空： （1）已知集合，则有：_______； _______；_______； _______；（2）已知集合，则有： _______； _______； _______； _______；（3）_______；_______．5．（1）； ；； ；，即；（2）；； ； =；；（3）； 菱形一定是平行四边形，是特殊的平行四边形，但是平行四边形不一定是菱形；．等边三角形一定是等腰三角形，但是等腰三角形不一定是等边三角形． 6．设集合，求．2y x =342x x ≥-20x ≥244x -≥-4y ≥-24y x =-{|4}y y ≥-0x ≠2y x ={|0}x x ≠342x x ≥-45x ≥342x x ≥-4{|}5x x ≥{|233},{|2}A x x x B x x =-<=≥4-B 3-A {2}B B A 2{|10}A x x =-=1A {1}-A ∅A {1,1}-A {|}x x 是菱形{|}x x 是平行四边形{|}x x 是等腰三角形{|}x x 是等边三角形4B -∉3A -∉{2}B BA 2333x x x -<⇒>-{|3},{|2}A x xB x x =>-=≥1A ∈{1}-A ∅A {1,1}-A 2{|10}{1,1}A x x =-==-{|}x x 是菱形{|}x x 是平行四边形{|}x x 是等边三角形{|}x x 是等腰三角形{|24},{|3782}A x x B x x x =≤<=-≥-,A B A B6．解：，即，得，则，．7．设集合，，求，，，．7．解：，则，，而，， 则，．8．学校里开运动会，设，，，学校规定，每个参加上述的同学最多只能参加两项，请你用集合的语言说明这项规定， 并解释以下集合运算的含义：（1）；（2）．8．解：用集合的语言说明这项规定：每个参加上述的同学最多只能参加两项， 即为．（1）； （2）．9．设，，，，求，，．9．解：同时满足菱形和矩形特征的是正方形，即，平行四边形按照邻边是否相等可以分为两类，而邻边相等的平行四边形就是菱形， 即，．3782x x -≥-3x ≥{|24},{|3}A x x B x x =≤<=≥{|2}A B x x =≥{|34}A B x x =≤<{|9}A x x =是小于的正整数{1,2,3},{3,4,5,6}B C ==A B AC ()A B C ()A B C {|9}{1,2,3,4,5,6,7,8}A x x ==是小于的正整数{1,2,3}A B ={3,4,5,6}A C ={1,2,3,4,5,6}B C ={3}B C =(){1,2,3,4,5,6}A B C =(){1,2,3,4,5,6,7,8}A B C ={|}A x x =是参加一百米跑的同学{|}B x x =是参加二百米跑的同学{|}C x x =是参加四百米跑的同学AB AC ()A B C =∅{|}A B x x =是参加一百米跑或参加二百米跑的同学{|}A C x x =是既参加一百米跑又参加四百米跑的同学{|}S x x =是平行四边形或梯形{|}A x x =是平行四边形{|}B x x =是菱形{|}C x x =是矩形B C A B S A {|}B C x x =是正方形{|}AB x x =是邻边不相等的平行四边形{|}SA x x =是梯形10．已知集合，求，，，．10．解：，，，，得，，，．B 组 1．已知集合，集合满足，则集合有 个．1． 集合满足，则，即集合是集合的子集，得个子集．2．在平面直角坐标系中，集合表示直线，从这个角度看，集合表示什么？集合之间有什么关系？ 2．解：集合表示两条直线的交点的集合， 即，点显然在直线上， 得．3．设集合，，求．3．解：显然有集合，当时，集合，则； 当时，集合，则； 当时，集合，则；{|37},{|210}A x x B x x =≤<=<<()R A B ()R A B ()R A B()R A B {|210}A B x x =<<{|37}A B x x =≤<{|3,7}RA x x x =<≥或{|2,10}RB x x x =≤≥或(){|2,10}RA B x x x =≤≥或(){|3,7}RA B x x x =<≥或(){|23,710}R A B x x x =<<≤<或(){|2,3710}R A B x x x x =≤≤<≥或或{1,2}A =B {1,2}A B =B 4B A B A =B A ⊆B A 4{(,)|}C x y y x ==y x =21(,)|45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧=⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭,C D 21(,)|45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧=⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭21,45x y x y -=+=21(,)|{(1,1)}45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭(1,1)D y x =DC {|(3)()0,}A x x x a a R =--=∈{|(4)(1)0}B x x x =--=,A B A B {|(4)(1)0}{1,4}B x x x =--==3a ={3}A ={1,3,4},A B A B ==∅1a ={1,3}A ={1,3,4},{1}A B A B ==4a ={3,4}A ={1,3,4},{4}A B A B ==当，且，且时，集合，则．4．已知全集，，试求集合． 4．解：显然，由，得，即，而，得，而，即．第一章 集合与函数概念 1．2函数及其表示 1．2．1函数的概念 练习（第19页）1．求下列函数的定义域：（1）； （2）．1．解：（1）要使原式有意义，则，即，得该函数的定义域为； （2）要使原式有意义，则，即，得该函数的定义域为．2．已知函数， （1）求的值；（2）求的值．2．解：（1）由，得， 同理得，1a ≠3a ≠4a ≠{3,}A a ={1,3,4,},A B a A B ==∅{|010}U A B x N x ==∈≤≤(){1,3,5,7}U A B =B {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}U =U A B =UB A⊆()U UA B B=(){1,3,5,7}U A B ={1,3,5,7}UB =()UU B B ={0,2,4,6,8.9,10}B =1()47f x x =+()1f x =470x +≠74x ≠-7{|}4x x ≠-1030x x -≥⎧⎨+≥⎩31x -≤≤{|31}x x -≤≤2()32f x x x =+(2),(2),(2)(2)f f f f -+-(),(),()()f a f a f a f a -+-2()32f x x x =+2(2)322218f =⨯+⨯=2(2)3(2)2(2)8f -=⨯-+⨯-=则，即；（2）由，得， 同理得， 则，即． 3．判断下列各组中的函数是否相等，并说明理由：（1）表示炮弹飞行高度与时间关系的函数和二次函数；（2）和．3．解：（1）不相等，因为定义域不同，时间；（2）不相等，因为定义域不同，． 1．2．2函数的表示法练习（第23页）1．如图，把截面半径为的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的一边长为，面积为，把表示为的函数．1．解：显然矩形的另一边长为，，且， 即． 2．下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个图象写出一件事．（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；（2）我骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； （3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．(2)(2)18826f f +-=+=(2)18,(2)8,(2)(2)26f f f f =-=+-=2()32f x x x =+22()3232f a a a a a =⨯+⨯=+22()3()2()32f a a a a a -=⨯-+⨯-=-222()()(32)(32)6f a f a a a a a a +-=++-=222()32,()32,()()6f a a a f a a a f a f a a =+-=-+-=h t 21305h t t =-21305y x x =-()1f x =0()g x x =0t >0()(0)g x x x =≠25cm xcm 2ycm y x 2250x cm -222502500y x x x x =-=-050x <<22500(050)y x x x =-<<2．解：图象（A ）对应事件（2），在途中遇到一次交通堵塞表示离开家的距离不发生变化； 图象（B ）对应事件（3），刚刚开始缓缓行进，后来为了赶时间开始加速； 图象（D ）对应事件（1），返回家里的时刻，离开家的距离又为零；图象（C ）我出发后，以为要迟到，赶时间开始加速，后来心情轻松，缓缓行进．3．画出函数的图象．3．解：，图象如下所示．，从到的映射4．设正弦”，与中元素相对应是“求中的元素是什么？与中的元素相对应的的中元素是什么？4．解：因为，所以与中元素相对应的中的元素是；因为，所以与中的元素相对应的中元素是． 1．2函数及其表示习题1．2（第23页）1．求下列函数的定义域：|2|y x =-2,2|2|2,2x x y x x x -≥⎧=-=⎨-+<⎩{|},{0,1}A x x B ==是锐角A B A 60B B 22A 3sin 602=A 60B 322sin 452=B 22A 45离开家的距离 时间 （A ） 离开家的距离 时间 （B ） 离开家的距离 时间 （C ） 离开家的距离时间 （D ）（1）； （2）；（3）； （4）． 1．解：（1）要使原式有意义，则，即，得该函数的定义域为；（2），即该函数的定义域为；（3）要使原式有意义，则，即且，得该函数的定义域为；（4）要使原式有意义，则，即且， 得该函数的定义域为． 2．下列哪一组中的函数与相等？（1）； （2）；（3）． 2．解：（1）的定义域为，而的定义域为， 即两函数的定义域不同，得函数与不相等；（2）的定义域为，而的定义域为， 即两函数的定义域不同，得函数与不相等； （3）对于任何实数，都有，即这两函数的定义域相同，切对应法则相同，得函数与相等．3．画出下列函数的图象，并说出函数的定义域和值域．3()4x f x x =-()f x=26()32f x x x =-+()1f x x =-40x -≠4x ≠{|4}x x ≠x R ∈()f x =R 2320x x -+≠1x ≠2x ≠{|12}x x x ≠≠且4010x x -≥⎧⎨-≠⎩4x ≤1x ≠{|41}x x x ≤≠且()f x ()g x 2()1,()1x f x x g x x =-=-24(),()f x x g x ==2(),()f x x g x ==()1f x x =-R 2()1x g x x =-{|0}x x ≠()f x ()g x 2()f x x =R 4()g x ={|0}x x ≥()f x ()g x 2x =()f x ()g x（1）； （2）； （3）； （4）．3．解：（1）定义域是，值域是； （2）定义域是，值域是；（3）3y x =8y x =45y x =-+267y x x =-+(,)-∞+∞(,)-∞+∞(,0)(0,)-∞+∞(,0)(0,)-∞+∞定义域是，值域是；（4）定义域是，值域是．4．已知函数，求，，，． 4．解：因为，所以，即；同理，， 即；， 即；， 即． 5．已知函数， （1）点在的图象上吗？（2）当时，求的值； （3）当时，求的值．(,)-∞+∞(,)-∞+∞(,)-∞+∞[2,)-+∞2()352f x x x =-+(2)f -()f a -(3)f a +()(3)f a f +2()352f x x x =-+2(2)3(2)5(2)2852f -=⨯--⨯-+=+(2)852f -=+22()3()5()2352f a a a a a -=⨯--⨯-+=++2()352f a a a -=++22(3)3(3)5(3)231314f a a a a a +=⨯+-⨯++=++2(3)31314f a a a +=++22()(3)352(3)3516f a f a a f a a +=-++=-+2()(3)3516f a f a a +=-+2()6x f x x +=-(3,14)()f x 4x =()f x ()2f x =x5．解：（1）当时，， 即点不在的图象上；（2）当时，， 即当时，求的值为；（3），得， 即．6．若，且，求的值． 6．解：由，得是方程的两个实数根，即，得，即，得， 即的值为．7．画出下列函数的图象：（1）； （2）．7．图象如下：3x =325(3)14363f +==-≠-(3,14)()f x 4x =42(4)346f +==--4x =()f x 3-2()26x f x x +==-22(6)x x +=-14x =2()f x x bx c =++(1)0,(3)0f f ==(1)f -(1)0,(3)0f f ==1,320x bx c ++=13,13b c +=-⨯=4,3b c =-=2()43f x x x =-+2(1)(1)4(1)38f -=--⨯-+=(1)f -80,0()1,0x F x x ≤⎧=⎨>⎩()31,{1,2,3}G n n n =+∈。
【红对勾】高中数学 第二章单元综合测试 新人教A版必修5
第二章单元综合测试时间：120分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)1．下列解析式中不是数列1，－1,1，－1,1，…的通项公式的是( ) A ．a n ＝(－1) nB ．a n ＝(－1)n ＋1C ．a n ＝(－1)n －1D ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， n 为奇数－1， n 为偶数解析：该数列为摆动数列，且奇数项为1，偶数项为－1，故B ，C ，D 均正确． 答案：A2．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( ) A ．15 B ．16 C ．49D ．64解析：∵a 8＝S 8－S 7＝82－72＝64－49＝15. 答案：A3．数列0,0,0，…，0，…( ) A ．是等差数列但不是等比数列 B ．是等比数列但不是等差数列 C ．既是等差数列又是等比数列 D ．既不是等差数列又不是等比数列解析：数列{0}是等差数列，但由于等比数列中a n ≠0，故A 正确． 答案：A4．等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是( ) A ．92 B ．47 C ．46D ．45解析：由题意可知a 1＝1，a n ＝－89，d ＝－1－1＝－2. ∴由a n ＝a 1＋(n －1)d ，可知n ＝46.5．已知数列{a n }，a n ≠0，若a 1＝3,2a n ＋1－a n ＝0，则a 6＝( ) A.316B.332C ．16D ．32解析：∵2a n ＋1－a n ＝0，∴a n ＋1a n ＝12，则数列{a n }是首项a 1＝3，公比q ＝12的等比数列．∴a n ＝a 1·q n －1＝3×(12)n －1，∴a 6＝3×(12)6－1＝332.答案：B6．已知等比数列{a n }中，S 2＝7，S 4＝28，则S 6＝( ) A ．49 B ．35 C ．91D ．112解析：∵{a n }为等比数列，∴S 2，S 4－S 2，S 6－S 4也为等比数列，即7, 21，S 6－28成等比数列，∴212＝7×(S 6－28)，∴S 6＝91. 答案：C7．在等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝48，a 2＋a 5＋a 8＝40，则a 3＋a 6＋a 9的值是( ) A ．30 B ．32 C ．34D ．36解析：a 1＋a 4＋a 7＝3a 4＝48，所以a 4＝16.同理可得a 5＝403.又a 5＝a 4＋d ＝403，所以d ＝－83，所以a 6＝a 4＋2d ＝323，所以a 3＋a 6＋a 9＝3a 6＝32. 答案：B8．已知－9，a 1，a 2，－1四个实数成等差数列，－9，b 1，b 2，b 3，－1五个实数成等比数列，则b 2(a 2－a 1)等于( )A ．－8B ．8C ．－98D.98解析：设d 为等差数列的公差，q 为等比数列的公比．因－1＝－9＋3d ，所以d ＝83，所以a 2－a 1＝83.又－1＝－9·q 4，所以q 2＝13，b 2＝－9q 2＝－3，故b 2·(a 2－a 1)＝－8.9．等差数列{a n }中a 1>0，S 3＝S 10，则当S n 取最大值时n 的值是( ) A ．6 B ．7 C ．6或7D ．不存在解析：由S 3＝S 10可知，a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝0.∴a 7＝0. 又a 1>0，∴a 6>0，∴S n 取最大值时n 的值为6或7. 答案：C10．已知等比数列{a n }满足a n >0，n ＝1,2，…，且a 5·a 2n －5＝22n(n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2解析：由a 5·a 2n －5＝22n(n ≥3)得a 2n ＝22n，由a n >0得a n ＝2n ，∴log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n－1＝1＋3＋…＋(2n －1)＝n＋2n －2＝n 2.答案：C 11．定义：称np 1＋p 2＋…＋p n为n 个正数p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”，若数列{a n }的前n 项的“均倒数”为12n －1，则数列{a n }的通项公式为( ) A ．2n －1 B ．4n －1 C ．4n －3D ．4n －5解析：设数列{a n }的前n 项和为S n ，则 由已知得na 1＋a 2＋…＋a n ＝n S n ＝12n －1，∴S n ＝n (2n －1)＝2n 2－n当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－n －[2(n －1)2－(n －1)]＝4n －3 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×12－1＝1适合上式， ∴a n ＝4n －3. 答案：C12．数列1,2＋12，3＋12＋14，…，n ＋12＋14＋…＋12n －1的前n 项和为( )A ．n ＋1－(12)n －1B.12n 2＋32n ＋12n －1－2 C.12n 2＋12n ＋12n －1－2 D ．n ＋12n －1－1解析：a n ＝n ＋12＋122＋…＋12n －1＝n ＋12－12n －11－12＝n ＋1－12n －1， ∴S n ＝(1＋2＋…＋n )＋n －(1＋12＋122＋…＋12n －1)＝nn ＋2＋n －1－12n1－12＝12n 2＋32n ＋12n －1－2. 答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．等比数列{a n }中，a 3＝12，a 5＝48，那么a 7＝________. 解析：由题意可知a 3，a 5，a 7成等比数列， ∴a 25＝a 3·a 7，∴a 7＝48212＝192.答案：19214．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋1，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________. 解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1. 又当n ＝1时，a 1＝S 1＝2不满足a n ＝2n －1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2 n ＝，2n －n答案：⎩⎪⎨⎪⎧2 n ＝12n －n15．已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为A n ，B n ，且满足A n B n ＝2n n ＋3，则a 1＋a 2＋a 12b 2＋b 4＋b 9＝________.解析：a 1＋a 2＋a 12b 2＋b 4＋b 9＝3a 1＋12d 13b 1＋12d 2＝a 5b 5＝a 1＋a 92b 1＋b 92＝9×a 1＋a 929×b 1＋b 92＝A 9B 9＝2×99＋3＝32. 答案：3216．在数列{a n }中，a 1＝1，(n ＋1)a n ＝(n －1)a n －1(n ≥2)，S n 是其前n 项的和，则S n 等于________．解析：∵(n ＋1)a n ＝(n －1)a n －1， ∴a n a n －1＝n －1n ＋1，∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝n －1n ＋1·n －2n ·n －3n －1·…·24·13·1＝2n n ＋＝2(1n －1n ＋1)．∴S n ＝2(1－1n ＋1)＝2n n ＋1.答案：2n n ＋1三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)公差d ≠0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4是a 3与a 7的等比中项，且S 8＝32，求S 10的大小．解：根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d 2＝a 1＋2d a 1＋6d ，8a 1＋28d ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2.所以S 10＝S 8＋a 9＋a 10＝32＋2a 1＋17d ＝60.18．(12分)已知a 1，a 2，a 3，a 4成等比数列，且a 1＝a 2＋36，a 3＝a 4＋4，求a 1，a 2，a 3，a 4.解：∵a 1＝a 2＋36，a 3＝a 4＋4， ∴a 1－a 2＝36，a 3－a 4＝4.又a 1，a 2，a 3，a 4成等比数列，设公比为q ，∴a 3－a 4a 1－a 2＝q 2a 1－a 2a 1－a 2＝436＝19， ∴q ＝±13.(1)当q ＝13时，由a 1－a 2＝a 1(1－q )＝36，得a 1＝54，∴a 2＝18，a 3＝6，a 4＝2.(2)当q ＝－13时，由a 1－a 2＝a 1(1－q )＝36，得a 1＝27，∴a 2＝－9，a 3＝3，a 4＝－1.∴a 1，a 2，a 3，a 4的值为54,18,6,2或27，－9,3，－1.19．(12分)已知数列{a n }的首项a 1＝3，通项a n ＝2np ＋nq (n ∈N *，p ，q 为常数)，且a 1，a 4，a 5成等差数列，求：(1)p ，q 的值；(2)数列{a n }的前n 项和S n 的公式．解：(1)由a 1＝3，得2p ＋q ＝3，又a 4＝24p ＋4q ，a 5＝25p ＋5q ，且a 1＋a 5＝2a 4，得3＋25p ＋5q ＝25p ＋8q ，解得p ＝1，q ＝1. (2)由(1)得a n ＝2n＋n ，S n ＝(2＋22＋…＋2n )＋(1＋2＋…＋n )＝2n ＋1－2＋n n ＋2.20．(12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S nn)(n ∈N ＋)均在函数y ＝3x －2的图象上，(1)求证：数列{a n }为等差数列； (2)设T n 是数列{3a n a n ＋1}的前n 项和，求使T n <m20对所有n ∈N ＋都成立的最小正整数m . 解：(1)依题意，S n n＝3n －2， 即S n ＝3n 2－2n ，n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n )－[3(n －1)2－2(n －1)] ＝6n －5.当n ＝1时，a 1＝S 1＝1符合上式， 所以a n ＝6n －5(n ∈N ＋)．又∵a n －a n －1＝6n －5－[6(n －1)－5]＝6， ∴{a n }是一个以1为首项，6为公差的等差数列． (2)由(1)知， 3a n a n ＋1＝3n －n ＋－5]＝12(16n －5－16n ＋1)， 故T n ＝12[(1－17)＋(17－113)＋…＋(16n －5－16n ＋1)]＝12(1－16n ＋1)，因此使得12(1－16n ＋1)<m 20(n ∈N ＋)成立的m 必须且仅需满足12≤m20，即m ≥10，故满足要求的最小正整数m 为10.21．(12分)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3，a ∈N *.(1)求数列{a n }的通项；(2)设b n ＝n a n，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13(n ≥2)，3n －1a n ＝n 3－n －13＝13(n ≥2)，a n ＝13n (n ≥2)．验证n ＝1时也满足上式，∴a n ＝13n (n ∈N *)．(2)b n ＝n ·3n，S n ＝1·3＋2·32＋3·33＋…＋n ·3n3S n ＝1·32＋2·33＋…＋(n －1)·3n ＋n ·3n ＋1上述两式相减得： －2S n ＝3＋32＋33＋3n －n ·3n ＋1＝3－3n ＋11－3－n ·3n ＋1.即S n ＝n2·3n ＋1－14·3n ＋1＋34. 22． (12分)定义：如果一个数列的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，那么称此数列为“三角形”数列．已知数列{a n }满足a n ＝nd (d >0)．(1)试判断数列{a n }是否是“三角形”数列，并说明理由； (2)在数列{b n }中，b 1＝1，前n 项和S n 满足4S n ＋1－3S n ＝4. 1°证明数列{b n }是“三角形”数列；2°设d ＝1，数列{a n ·b n }的前n 项和为T n ，若不等式T n ＋(34)n ·an －16<0对任意的n ∈N *恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)数列{a n }不是“三角形”数列．理由如下：由a n ＝nd 得a 1＝d ，a 2＝2d ，a 3＝3d ，所以a 1＋a 2＝a 3， 故a 1，a 2，a 3不能构成一个三角形的三边长， 即数列{a n }不是“三角形”数列． (2)1°由4S n ＋1－3S n ＝4，① 得4S n －3S n －1＝4(n ≥2，n ∈N *)．② 由①－②得4(S n ＋1－S n )－3(S n －S n －1)＝0， 故4b n ＋1－3b n ＝0， 即b n ＋1b n ＝34(n ≥2，n ∈N *)．由4S n ＋1－3S n ＝4得4S 2－3S 1＝4， 即4(b 2＋b 1)－3b 1＝4.又b 1＝1，则b 2＝34，故b n ＋1b n ＝34(n ∈N *)．所以b n ＝b 1×(34)n －1＝(34)n －1(n ∈N *)．故数列{b n }为单调递减数列． 所以b n >b n ＋1>b n ＋2.又b n ＋1＋b n ＋2＝(34)n ＋(34)n ＋1＝2116·(34)n －1>(34)n －1，即b n ＋1＋b n ＋2>b n .故b n ，b n ＋1，b n ＋2能构成一个三角形的边长，所以数列{b n }是“三角形”数列． 2°由于a n ＝n ，故a n ·b n ＝n ·(34)n －1，所以T n ＝1×1＋2×34＋3×(34)2＋…＋(n －1)×(34)n －2＋n ·(34)n －1，③34T n ＝1×34＋2×(34)2＋3×(34)3＋…＋(n －1)×(34)n －1＋n ·(34)n ，④ ③－④得：14T n ＝1＋34＋(34)2＋…＋(34)n －1－n ·(34)n＝1－34n1－34－n ·(34)n.整理得：T n ＝16－4(n ＋4)·(34)n.由T n ＋(34)n ·an－16<0，得不等式a <4(n 2＋4n )对任意的n ∈N *恒成立，故a <[4(n 2＋4n )]min ，而[4(n 2＋4n )]min ＝20，所以a <20.。
高中数学红对勾必修5本册综合测试题（A卷）
本册综合测试题(A卷)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题共60分) 答题表题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 题号答案答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．数列1,3,7,15，……的通项公式a n等于() ，……的通项公式A．2n B．2n＋1 C．2n－1 D．2n－1解析：取n＝1时，a1＝1，排除A、B；取n＝2时，a2＝3，排除D. 53m C ．5(3－1)m D ．5(3＋1)m 解析：设AB ＝xm ，则BC ＝xm ，在Rt △ABD 中，因为∠ADB答案：C 2．(2010·安徽)设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( ) A ．15 B ．16 C ．49 D ．64 解析：a 8＝S 8－S 7＝82－72＝15. 答案：A 3．如图所示，D ，C ，B 在地平面同一在地平面同一直线直线上，DC ＝10m ，从D ，C 两地测得A 点的仰角分别为30°和45°，则A 点离地面的高AB 等于( ) A ．10m B ．＝30°，所以tan30°＝AB BD ＝x 10＋x＝33. 解得x c ＝2，b ＝6，∠B ＝120°，则a 等于( ) A.6 B ．2 C.3 b 22ac，∴cos120°＝a 2＋2－622a ，整理得a 2＋2a ＝5(3＋1)． 答案：D 4．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若D.2 解析：考查应用正、余弦定理解斜考查应用正、余弦定理解斜三角形三角形的基础知识． 由余弦定理，得cosB ＝a 2＋c 2－－4＝0. ∵a>0，∴a ＝ 2. 答案：D 5．已知．已知等差数列等差数列{a n}的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2等于( ) A ．－4 B ．－6 2x ＋zC ．－8 D ．－10 解析：∵a 23＝a 1·a 4， ∴(a 1＋2d )2＝a 1·(a 1＋3d )．∴(a 1＋4)2＝a 1(a 1＋6)，∴a 1＝－8， ∴a 2＝a 1＋d ＝－6. 答案：B 6．已知x ，y 满足条件îïíïìx －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，则2x ＋4y 的最小值为( ) A ．6 B ．－6 C ．12 D ．－12 解析：作出作出平面平面区域如下图所示，令z ＝2x ＋4y ，欲求z 的最小值，即求y ＝－14在y 轴上轴上截距截距的最小值．可以看出当可以看出当直线直线过点(3，－3)时，纵截距最小．sinx (0<x<π)C ．y ＝e x ＋4e －xD ．y ＝x 2＋1＋2x 2＋1解析：对A 选项，x<0时无最小值；对B 选项，因为0<x<π，所∴z min ＝2×3＋4×(－3)＝－6. 答案：B 7．下列函数中，．下列函数中，最小值最小值为4的是( ) A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝si sinx nx ＋41＝5；对D 选项，函数y ＝x 2＋1＋2x 2＋1≥22，当且仅当x 2＋1＝2即x ＝±1时取“＝”号．答案：C 8．函数y ＝log 2èçæø÷öx ＋1x －1＋5＝log 2èçæø÷öx －1＋1x －1＋6 ≥log 2(2＋6)＝log 28＝3. 答案：B 9．若2x 2＋1≤ëêéø÷ö18，2 B.ëêéûúù18，2 C.è以0nx ≤1，又y ＝sinx ＋4sinx在sinx ∈(0,1]上为减上为减函数函数，所以y min＝1＋4÷öx ＋1x －1＋5(x>1)的最小值为( ) A ．－3 B ．3 C ．4 D ．－4 解析：x ＞1，x －1＞0 y ＝log 2èçæøèçæø÷ö14x －2，则函数y ＝2x 的值域为( ) A.çæø÷ö－∞，18D ．[2，＋∞) 解析：不等式化为x 2＋1≤－2(x －2)，∴1≤1＋11A.n B.2n ＝2＝÷ö1－÷öçæ÷ö1－çæ÷ö1－1÷ö－1＝2n . ÷ö＋1÷ö1D. ÷ö＋1÷ö＋1ø÷ö2x 2y ø÷ö2y 2x çæ÷öx ＋y 7“＝”号成立时，有xy ＝12且x ＝y ，∴x ＝y C.74D.178＝22. 答案：C 12．若A 为不等式组îïíïìx ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的表示的平面平面区域，区域，则当则当a 从－2连续变化到1时，动时，动直线直线x ＋y ＝a 扫过A 中的那部分区域的中的那部分区域的面积面积为( ) A ．2 B ．4 解析：根据题意根据题意作图作图如图．2·2·2·22－12·1·12＝7sinC ＝1×223图中图中阴影阴影部分为所求的区域，设其面积为S ， S ＝S △AOD －S △ABC ＝14. 答案：C 第Ⅱ卷(非选择题 共90分) 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分) 13．不等式x 2＋3x －3x －3<1的解集为________．答案：{x|x<－2或0<x<3} 14．在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝60°，c ＝1，则最短边的边长等于________．解析：最短边为b ，由，由正弦定理正弦定理得 b ＝c·c·sinB sinB2＝63. 答案：6315．等比数列{a n }的公比q>0.已知a 2＝1，a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，则{a n }q ＝12(1－24)1－2＝152. 答案：1522＝2b 2，ac ≤èçæø÷öa ＋c 22＝b 2， ∴cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ≥2b 2－b 22b 2＝12，∴0<B ≤π3. 答案：èçæûúù0，π3三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，的前4项和S 4＝________. 解析：∵{a n }是等比数列，∴a n ＋2＋a n ＋1＝6a n 可化为a 1q n ＋1＋a 1q n＝6a 1q n －1，∴q 2＋q －6＝0. ∵q>0，∴q ＝2. ∴S 4＝a 1(1－q 4)1－216．设△ABC 的三边a ，b ，c 成等差数列，则角B 的取值范围是________．解析：2b ＝a ＋c ，a 2＋c 2≥2èçæø÷öa ＋c＝1，求角π，3π，＝10. ∵b ＝c，·＝5. 3π (2)1<b<a<1A B. . ＝1，其最短边长为55＝{x|(x ＋a)(x ＋b)≤0}，M ＝{x|(x ＋1)(x －3)≤0}．(1)2，故a n ＝64×èçæø÷ö12n －1. (2)b n ＝log 2ëêéûúù64×èçæø÷ö12n －1＝7－n. ＝M ，则(x ＋a)(x ＋b)＝(x ＋1)(x －3)．所以a ＝1，b ＝－3或a ＝－3，b ＝1. (2)若－1<b<a<1，则－1<－a<－b<1，则 A ＝{x|x<－a 或x>1}，B ＝{x|x<－a 或x>－b}．故A ∩B ＝{x|x<－a 或x>1}．19．(本题满分12分)已知已知等比数列等比数列{a n }中，a 1＝64，公比q ≠1，a 2，a 3，a 4分别是某分别是某等差数列等差数列的第7项，第3项，第1项．项． (1)求a n 的表达式；(2)设b n ＝log 2a n ，求数列{|b n |}的前n 项和T n . 解析：(1)依题意有a 2－a 4＝3(a 3－a 4)， 即2a 1q 3－3a 1q 2＋a 1q ＝0⇒ 2q 2－3q ＋1＝0. ∵q ≠1，∴q ＝1∴|b n |＝îïíïì7－n (n ≤7)，n －7 (n>7)当n ≤7时，T n ＝n (13－n )2；当n>7时，T n ＝T 7＋(n －7)(n －6)2 ＝21＋(n －7)(n －6)2故T n＝îíìn (13－n )2(n ≤7)，(n －7)(n －6)＝3，且满足cosC cosB ＝2sinA －sinCcosB ＝2sinA －sinC sinB ，整理得sinBcosC ＋cosBsinC＝2sinAcosB ，即sin(B ＋C)＝2sinAcosB. ∵A ＋B ＋C ＝180°，∴sin(B ＋C)＝sinA ，∴sinA ＝2sinAcosB. 又∵sinA ≠0，∴cosB ＝12，∴∠B ＝60°60°. . ∵R 23sin60°＝3. 2＋21 (n>7)20．(本题满分12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，△ABC 的外接圆半径R sinB. (1)求角B 和边长b 的大小；的大小； (2)求△ABC 的面积的的面积的最大值最大值．解析：(1)由已知cosC ＝3，根据，根据正弦定理正弦定理，得b ＝2RsinB ＝2acsinB ≤12×9×sin60°＝934，当且仅当a ＝c ＝3时，△ABC (1)由题意，得v ＝50y ，w ＝300x， ∴∠B ＝60°，b ＝3. (2)由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2accosB ， 即9＝a 2＋c 2－2accos60°，∴9＋ac ＝a 2＋c 2≥2ac(当且仅当a ＝c 时取等号)即ac ≤9. ∴S △ABC ＝1的面积的的面积的最大值最大值为934. 21．(本题满分12分)某人在2011年国庆节那天上午7：00，乘摩托艇以匀速v n mile/h(4≤v ≤20)从A 港出发到相距50 n mile 的B 港去，然后乘汽车以w km/h(30≤w ≤100)匀速自B 港向距300 km 的C 市驶去，应在同一天16：00至21：00到达C 市，设乘汽车、摩托艇所需要的时间分别是x h 、y h. (1)作图表示满足上述条件的点(x ，y)的范围；的范围；(2)如果已知所需经费p ＝100＋3(5－x)＋2(8－y)(元)，那么v 、w 分别是多少时花费最分别是多少时花费最经济经济？此时花费多少元？？此时花费多少元？解析：∵4≤v ≤20,30≤w ≤100， ∴4≤50y ≤20,30≤300x≤100，∴îíì3≤x ≤10，52≤y ≤252.又∵汽车、摩托艇所需要的时间和x ＋y 应在9至14个小时之间，即9≤x ＋y ≤14，∴x ，y 满足的约束条件为îíì3≤x ≤10，52≤y ≤25(2)∵p ＝100＋3(5－x)＋2(8－y)，2，9≤x ＋y ≤14.因此点(x ，y)的范围如图所示的的范围如图所示的阴影阴影部分(包括包括边界边界)．x ＋k x ＋k＝－3，＝－3经过时，纵截距截距k最大，＝S n2n ，①当2＝n(n ＋1)，T n ＝n (n ＋1)2n . 由T n >T n ＋1，得n (n ＋1)2n >(n ＋1)(n ＋2)2n ＋1，故当n>2时，T n >T n ＋1. ②∵T 1＝1，T 2＝T 3＝32. 所以{a n }是首项为2，公差为2的等差数列，故a n ＝2n. (2)①S n ＝n (2＋2n )2，n>2时，T n >T n ＋1. ∴T 2、T 3是数列{T n }中的中的最大值最大值．若对一切正若对一切正整数整数n ，总有T n ≤λ，只须满足λ≥T 2即可，故λ≥3。