已知函数fx=x2-2ax-3在区间12上单调求实数a的取值范围

(2)解
由(1)可知，f(x)在[1,4]上递增，
∴当 x＝1 时，f(x)min＝f(1)＝2， 17 当 x＝4 时，f(x)max＝f(Байду номын сангаас)＝ . 4 17 综上所述，f(x)在[1,4]上的最大值是 4 ，最小值是 2.
规律方法
(1) 运用函数单调性求最值是求函数最值的常用方
法， 特别是当函数图象不易作出时， 单调性几乎成为首选方法． (2)函数的最值与单调性的关系 ①若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则 f(x)在[a，b]上的最大 值为 f(a)，最小值为 f(b)； ②若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则 f(x)在[a，b]上的最大 值为 f(b)，最小值为 f(a)．
解 作出函数 f(x)的图象(如图) 由图象可知，当 x＝± 1 时，f(x)取最大值为 f(± 1)＝1.当 x＝0 时， f(x)取最小值 f(0)＝0， 故 f(x)的最大值为 1，最小值为 0.
题型二 利用单调性求函数的最值 1 【例 2】 已知函数 f(x)＝x＋x . (1)求证：f(x)在[1，＋∞)上是增函数． (2)求 f(x)在[1,4]上的最大值及最小值． [思路探索] 利用定义证明 f(x)的单调性， 再利用单调性求最值．
[规范解答] ∵f(x)在区间[－2,2]上单调递增， ∴－2≤x1<x2≤2 时，总有 f(x1)<f(x2)成立．反之也成立，即若 f(x1)<f(x2)，则－2≤x1<x2≤2.(4 分) ∵f(1－m)<f(m)， －2≤m≤2 ∴－2≤1－m≤2， 1－m<m 1 解得2<m≤2.(10 分) ∴所求 m
(1)证明 设 1≤x1<x2， 则
1 1 f(x1)－f(x2)＝x1＋x －x2＋x 1 2
x1x2－1 ＝(x1－x2)· . x1x2 ∵1≤x1<x2，∴x1－x2<0，x1x2>1，∴x1x2－1>0， ∴f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)<f(x2)． ∴f(x)在[1，＋∞)上是增函数．
(4)并不是所有函数都具有单调性．若一个函数在定义区间上既 有增区间又有减区间，则此函数在这个区间上不存在单调性． 提醒 若函数出现两个或两个以上的单调区间时，两单调区间 不能用“∪”连接呦！而用“和”或“，”连接．
2．判断函数单调性的常用方法 (1)定义法：这是证明或判定函数单调性的常用方法．这种判断 函数单调性的最基本的方法在高考中常有考查，一定要引起重 视． (2)图象法：根据函数图象的升、降情况进行判断． (3)依据已知函数的单调性判断：如根据已学过的一次函数、二 次函数、反比例函数的单调性情况．
求函数的最值？ 解析：y= -x2-2x+3 = -(x+1)2+4 因为x[0，2]如右图 则ymax=f(0)= 0+0+3=3 ymin=f(2)= -4-4+3=-5
名师点睛 1．对函数单调性概念的理解 (1)单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的 不同的区间上可以有不同的单调性． (2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的 x1、 x2 有以下几个特征： 一是任意性， 即“任意取 x1， x2”， “任 意”二字绝不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值 替换； 二是有大小， 通常规定 x1<x2； 三是属于同一个单调区间． (3) 单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关 系正逆互推，即由 f(x)是增(减)函数且 f(x1)<f(x2)⇔x1<x2(x1>x2)．
3．判断(证明)函数的单调性 判断(证明)函数单调性的步骤
题型 函数单调性的应用 【例】 (12 分)已知函数 f(x)的定义域为[－2,2]， 且 f(x)在区间[－ 2,2]上是增函数，f(1－m)<f(m)，求实数 m 的取值范围． 审题指导 利用单调性， 将函数值的大小关系转化为自变量的大 小关系，即脱去 f 符号，转化为关于 m 的一元一次不等式，解 出 m 的范围．
素，如函数 f(x)＝－x2(x∈R)的最大值为有 f(0)＝0，注意对“存 在”一词的理解． (2)对于定义域内全部元素，都有 f(x)≤M 成立，“任意”是说 对每一个值都必须满足不等式．
题型一 利用图象求函数的最值 x2，－1≤x≤1 【例 1】 已知函数 f(x)＝1 求 f(x)的最大值、最 ，x>1. x 小值． [思路探索] 可先画出 f(x)的图象，观察图象的最高与最低点， 从而确定最大、最小值．
第2课时 函数的最大(小)值
知识探究（一）
观察下列两个函数的图象：
y
M
M
y
x
o
x0
图1
o
图2
x0
x
思考1:这两个函数图象有何共同特征？
函数图象上最高点的纵坐标叫什么名称？
思考2:设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M， 则对函数定义域内任意自变量x，f(x)与M的大小 关系如何？
特别提醒
(1)定义中 M 首先是一个函数值， 它是值域的一个元
1 的取值范围是2，2.(12
(8 分)
分)
• 已知函数f(x)＝x2－2ax－3 在区间[1,2]上单调，求实数 a的取值范围．
• 解 函数f(x)＝x2－2ax－3的图象开 口向上，对称轴为直线x＝a，画出草 图如图所示．由图象可知函数在(－∞， a]和(a，＋∞)上分别单调，因此要使 函数f(x)在区间[1,2]上单调，只需a≤1 或a≥2(其中当a≤1时，函数f(x)在区间 [1,2]上单调递增；当a≥2时，函数f(x) 在区间[1,2]上单调递减)，从而a∈(－ ∞，1]∪[2，＋∞)．
例题 已知函数y=x2+2x-3 且x [-2，2],
求函数的最值？
解析：函数配方有 y=(x+1)2-4如右图 即当x=-1时ymin =-4 ;当x=2时ymax =f(2)=5 练习1 求函数y=x2-2x-3且x [0,3]的最值？
例题已知函数y=-x2-2x+3且x [0 ，2],