与三角形的内切圆有关的几个结论

D

O

B

C

A

E F

与三角形的内切圆有关的几个结论

郑建元 (浙江省余姚市实验学校 315400)

三角形与其内切圆是直线与圆位置关系的重要内容，运用切线、面积等知识可得到一些重要的结论，特别是当三角形是直角三角形时，结论尤为丰富．如果我们平时解题的时候，不满足于就题论题，而是向更深的层次去探究题目的内在规律．这样不仅可以培养创造思维能力，而且可以免受题海之困扰，从而大大提高学习效率．

例1 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，△ABC 的内心为O ，⊙O 与AB ，BC ，CA 分别相切于D 、E 、F ，⊙O 的半径为r. 求证：r ＝

2

a b c

+-. 证明：连接OE ，OF.

∵⊙O 与AB ，BC ，CA 分别相切于D 、E 、F ， ∴∠OFC=∠OEC=90°，AD=AF ，BD=BE ，CF=CE ． 又∵∠C=90°

∴四边形OECF 是正方形， ∴CE=OE=r ， ∴r =CE=

2AC BC AB +-＝2a b c

+-.

于是我们得到结论：“直角三角形内切圆半径等于两直角边的和与斜边差的一半.” 由于r =CE=

1

2

（a ＋b ＋c ）－c ，2r =a ＋b －c ， 于是上述结论又可叙述为：“直角三角形内切圆半径等于它的半周长与斜边的差.”或"直角三角形内切圆的直径等于两直角边的和与斜边的差.”

例２ 如图，在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，△ABC 的内心为O ，⊙O 与AB ，BC ，CA 分别相切于D 、E 、F ，⊙O 的半径为r. 求证：S △ABC ＝

1

2

( a + b +c) r ． 证明：连接OE 、OF 、OD 、OA 、OB 、OC. ∵⊙O 与AB ，BC ，CA 分别相切于D 、E 、F ， ∴OD ⊥AB ，OE ⊥BC ，OF ⊥AC ，

S △ABC ＝S △BOC + S △AOC + S △AOB ＝(12a r +12b r +12c r)＝1

2

( a + b +c) r ．

于是我们得到结论：“三角形面积等于它的半周长与内切圆半径的积.

由于r 2ABC

S a b c

∆=

++，

所以又有结论：“三角形内切圆半径等于三角形的面积与半周长的商.” 特别是当三角形是直角三角形时，r ab

a b c

=++.

例3 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，△ABC 的内心为O ，⊙O 与AB ，BC ，CA 分别相切于D 、E 、F ，⊙O 的半径为r. 求证：S △ABC ＝c r+r 2．

证明：连接OE 、OF 、OD 、OA 、OB 、OC. ∵⊙O 与AB ，BC ，CA 分别相切于D 、E 、F ，

∴OD ⊥AB ，OE ⊥BC ，OF ⊥AC ，AD=AF ，

∵∠OFC=∠OEC=∠C=90°，CF=CE ， ∴四边形OECF 是正方形， ∴CE=CF=OE=OF=r ． ∵S △ABC ＝

12( a + b +c) r =12( a + b )r+1

2

c r ， 又∵

12(a + b )r =12(AF+FC +BE+EC) r=12(AD+ r +BD+ r) r=12(c+2r ) r =1

2

c r+r 2， ∴S △ABC ＝c r+r 2．

例4 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，△ABC 的内心为O ，⊙O 与AB ，BC ，CA 分别相切于D 、E 、F. 求证：ABC S ∆＝AD ×BD ．

证明：∵⊙O 与AB ，BC ，CA 分别相切于D 、E 、F ，∴AD=AF ，BD=BE ，CF=CE. 设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ， 则AD=

2b c a +-，BD=2

a c b

+- ∴AD ×BD=2b c a +-×2

a c

b +-=22224a b

c ab

+-+.

∵∠C=90°，

∴2

2

2

a b c +=，1

2

ABC S ab ∆= ∴ABC S ∆＝AD ×BD

F

F

A

O

B

第2题

x

y

x

y

D

O

B

C

A

E F

z

例5 如图，O 为△ABC 的内心，OE ⊥BC 于E ，且AB ·AC=2BE ·EC. 求证：∠A =90°.

分析：由于O 为△ABC 的内心，不妨作出△ABC 的内切圆，则由切线长定理和勾股定理逆定理可证．

证明：设△ABC 的内切圆O 分别与AB 、BC 、CA 相切于点D 、E 、F ，BE ＝x ，CF ＝y ，AD ＝z ．

∴BD ＝BE ＝x ，CE=CF ＝y ，AF=AD ＝z ． ∵AB ·AC=2BE ·EC ， ∴(x +z)( y+ z)=2 x y ． ∴AB 2+AC 2=(x +z) 2+( y+ z) 2

=［(x +z) —（y+ z ）］2+2(x +z)( y+ z) =(x —y) 2 +4x y=(x + y) 2

=BC 2 ∴∠A =90° 练习

1.如图，△ABC 中，内切圆O 和边AB 、BC 、CA 分别相切于点D 、E 、F ，若∠DEF ＝55°，则∠A 的度数为 ．

2．如图，在直角，坐标系中A 、B 的坐标分别为(3，0)、(0，4)，则Rt △ABO 内心的坐标是 ．

3.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=5，⊙O 与Rt △ABC 的三边AB 、BC 、AC 分相切于点D 、E 、F ，若⊙O 的半径r ＝2，则Rt △ABC 的面积为 ．

4.若△ABC 的周长为18cm ，面积为18cm 2，则△ABC 的内切圆的半径为 ．

5. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，⊙O 与Rt △ABC 的三边AB 、BC 、AC 分相切于点D 、E 、F ，若AD=5，BD=3，则Rt △ABC 的面积为 ．

答案：1．70° 2．(1，1) 3．14 4. 2 5. 15

第1题 D

O

B

C

A

E

F

第3题