计量经济学第6章1 自相关6.1 课件
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首先采用普通最小二乘法估计模型，以求得随机干扰
项的“近似估计量”，用 e~t 表示：
e~t Yt (Yˆt )OLS
然后，通过分析这些“近似估计量”之间的 相关性，以判断随机干扰项是否具有自相关性。
6.3.1 图示法
利用残差项e~t 的变化图形来判断随机干扰项的自
相关性。
6.3.2 杜宾-瓦森（Durbin-Watson）检验法
（4）样本容量应充分大（ T 15）。
DW检验步骤:
（1）计算DW值 （2）给定，由n和k的大小查DW分布表，得临界 值 dl 和 du （3）比较、判断
若 0<DW< dL dL<DW<du du <DW<4-du
4-du <DW<4-dL 4-dL<DW<4
存在正自相关 不能确定 无自相关 不能确定 存在负自相关
(1)所得到的参数估计量虽是无偏的，但却非有效
考虑具有一阶自回归形式的随机干扰项模型
Yt X t ut 其中，ut ut1 t用普通最小二乘
法可得
ˆ
X tYt Xt2
X
t
(Xt
Xt2
ut
)
X t ut Xt2
由于 E(ut ) 0 所以
由于自相关的存在，Cov (ut , us ) 0，所以这时
ˆ 的方差已不同于经典假设之下的 ˆ 方差。因此，
若不考虑自相关性，仍用普通最小二乘法估计 ˆ
的方差，则可能会导致不小的偏误。
(2) 参数的显著性检验失去意义
由于估计量 ˆ 的方差已不同于经源自假设之下ˆ的方差，所以由ˆ 估计量和其方差估计量所构造的
e~t e~t 1 t
e~t 1e~t1 2e~t2 t
……
如果存在某一种函数形式，使得方程显著成 立，则说明原模型存在序列相关性。
回归检验法的优点是：（1）能够确定自相 关的形式，（2）适用于任何类型自相关性问题 的检验。
§6.4 自相关性的解决方法
如果模型的随机干扰项存在自相关，首先应 分析产生自相关的原因。
E(ˆ )
X t E(ut Xt2
)
关于估计量 ˆ 的方差，有：
Var(ˆ ) Var(
Xt X
u2t )
t
(
1 X t 2 )2 t
Cov(ut , us )
s
1
1
Xt 2 Var(ut ) ( Xt 2 )2 ts Xt X sCov(ut , us )
第6章 自相关性
§ 6.1 自相关性的基本知识 § 6.2 自相关性产生的原因与后果 § 6.3 自相关性的检验 § 6.4 自相关性的解决方法 § 6.5 自相关系数的估计 § 6.6 案例分析
t检验和F检验一定就可靠吗?
研究居民储蓄存款Y与居民收入X的关系：
Yt 0 1 X t ut
正 相 关
0 dl
无自相关
负
相
关
du
2 4 du 4 dl
当DW值在2左右时，模型不存在一阶自相关。 证明：展开DW统计量：
T
e~t2
T
e~t
2 1
2
T
e~t e~t 1
DW t2
t2
t2
T e~t2
t 1
当样本容量充分大条件下有
T e~t2 T e~t12 T e~t2
e~t 0 1 X1t k X kt 1e~t1 pe~t p t
给定，查临界值2(p)，与LM值比较，做出判断，
实际检验中，可从1阶、2阶、…逐次向更高阶检验。
6.3.4 回归检验法
以 e~t 为被解释变量，以各种可能的相关量，诸如以e~t1 、 e~t2 、 e~t2 等为解释变量，建立各种方程：
它是由布劳殊（Breusch）与戈弗雷（Godfrey） 于1978年提出的，也被称为BG检验。
对于模型 Yi 0 1 X1i 2 X 2i k X ki ui
如果怀疑随机扰动项存在p阶自相关：
ut 1ut1 2ut2 put p t
t检验统计量和 F 检验统计量将不能给出有效的结 论，所用的 t 检验和F 检验一般来说是不可靠的。
(3)模型的预测失效
区间预测与参数估计量的方差有关，在方差 有偏误的情况下，使得预测估计不准确，预测精 度降低。 所以，当模型出现序列相关性时，它 的预测功能失效。
§6.3 自相关性的检验
自相关性检验方法有多种，但基本思路相同：
解释变量，会造成随机干扰项的自相关。
(3) 数据处理造成自相关 在实际研究中，有些数据是由已知数据经处
理得到的，因此，新生成的数据与原数据间有了 内在联系，表现出自相关。
例如：季度数据来自月度数据的简单平均， 这种平滑处理减弱了月度数据的波动性，而使得 生成数据表现出自相关。
6.2.2 自相关性产生的后果
DW检验是杜宾和瓦森于1951年提出的一种检
验自相关的方法，该方法的假定条件是：
（1）解释变量 X 非随机；
（2）随机干扰项ut为一阶自回归形式：
ut ut1 t
（3）回归模型中不应含有滞后应变量作为解释变 量，即不应出现下列形式：
Yt 0 1 X1t k X kt Yt1 ut
t2
t2
t 1
T
2
e~t
2 1
2
T
e~t e~t1
T e~t e~t1
DW t2
t2
T
e~t
2 1
21
t2 T
e~t 12
2(1 ˆ )
t2
t2
这里 n e~t e~t1 n e~t2 n e~t e~t1 n e~t2
(2) 模型设定的偏误
模型数学形式设定不当;模型丢失了重要的解释变量。
例如，模型为：Yt 0 1 X1t 2 X1t 2 ut，随机
干扰项无自相关，但在模型设定中作了下述回归，
Yt 0 1 X1t t ，式中 t 2 X1t 2 ut ， t 随 X1t2 系统变化，这种模型设定的偏误导致随机 干扰项 t 出现自相关。因此，模型中遗漏重要的
t2
t 1
t2
t2
为一阶自回归模型 i=i-1+i 的参数估计。
如果存在完全一阶正相关，即=1，则 DW= 0 完全一阶负相关，即= -1, 则 DW=4 完全不相关， 即=0，则 DW=2
6.3.3 拉格朗日乘数（Lagrange multiplier）检验
拉格朗日乘数检验克服了DW检验的缺陷，适 合于高阶序列相关以及模型中存在滞后被解释变量 的情形。
但此估计结果可能是虚假的，t统计量和F统计量都被虚假 地夸大，因此所得结果是不可信的。为什么?
§6.1 自相关性的基本知识
对于模型 Yi 0 1 X1i 2 X 2i k X ki ui i 1,2,, n 随机干扰项互不相关的基本假设表现为
Cov(ui , uj)=0
BG检验可用来检验如下受约束回归方程
Yt 0 1 X1t k X kt 1ut1 put p t
约束条件为：
H0：1 2 p 0
约束条件H0为真时，大样本下
LM nR 2 ~ 2 ( p)
其中，n为样本容量，R2 为如下辅助回归的可决系数：
6.2.1 自相关产生的主要原因 6.2.2 自相关性产生的后果
6.2.1 自相关产生的主要原因
(1) 经济系统的惯性
自相关现象大多出现在时间序列数据中，而经 济系统的经济行为都具有时间上的惯性。
例如，GDP、价格、就业等经济数据，都有随 经济系统的周期而波动。又如，在经济高涨时期， 较高的经济增长率会持续一段时间，而在经济衰退 期，较高的失业率也会持续一段时间，这种情况下 经济数据很可能表现为自相关。
如果自相关是由错误地设定模型的数学形式 所致，那么就应当修改模型的数学形式。
怎样查明自相关是由模型数学形式不妥造成的？
一种方法是利用回归估计的残差 et 对解释 变量的较高次幂进行回归，然后对新的残差作 DW检验，如果此时自相关消失，则说明模型的 数学形式不妥。
如果自相关由模型中省略了重要解释变量造 成的，那么解决办法就是找出略去的解释变量， 把它作为重要解释变量列入模型。
广义最小二乘法
设原回归模型是
Yt 0 1 X1t 2 X 2t k X ktut (t 1,2,,T )
（6.4.1）
其中 u t 具有一阶自回归形式：ut ut1 t
把上式代入（6.4.1）式得
Yt 0 1 X1t 2 X 2t k X kt ut1 t （6.4.2）
ij, i, j=1,2, …,n
如果对于不同的样本点，随机干扰项之间不再
是不相关的，而是存在某种相关性，则认为出现 了自相关性。
在其他假设仍成立的条件下，自相关即意味着
Cov( ui , uj ) E(uiuj ) 0
或
2
E(u1un )
Cov( u) E(uu)
（6.4.3）
令Yt* Yt Yt1 X jt* X jt X jt1 0* 0(1 )
求模型（6.4.1）的 t 1 期关系式，并在两侧同乘
Yt1 0 1 X1t1 2 X 2t1 k X kt1 ut1
Yt 0 1 X1t 2 X 2t k X kt ut1 t （6.4.2）
第6章 自相关性
• 学习目标
–知识目标：掌握自相关的基本概念，自相关 出现的原因，自相关产生的严重后果，诊断 自相关存在的方法和修正的方法。
–技能目标：通过本章的学习，运用计量软件 处理自相关的问题。
–能力目标：通过本章的学习，具备检验自相 关问题的能力，以及分析自相关产生的主要 原因和修正自相关的能力。
-1<<1
其中 被称为自协方差系数或一阶自相关系数
i 是满足以下经典假定的随机干扰项：
E(i ) 0 Var (i ) 2 Cov(i ,is ) 0 (s 0)
由于自相关性经常出现在以时间序列为样本 的模型中，因此，本节将用下标t代表i。
§6.2 自相关性产生的原因与后果
用普通最小二乘法估计其参数，结果为
Yˆt 27.9123 0.3524Xt (1.8690) (0.0055)
T (14.9343) (64.2069) R2 0.9966 F 4122.531
检验结果：回归系数的标准误差非常小，t统计量较大，说明居 民收入X对居民储蓄存款Y的影响非常显著。同时可决系数也非 常高，F统计量为4122.531，也表明模型异常的显著。
Yt1 0 1 X1t1 2 X 2t1 k X kt1 ut1
用（6.4.2）式与上式相减，得
Yt Yt1 0 (1 ) 1( X1t X1t1 ) k ( X kt X kt1) t
怎样查明自相关是由略去重要解释变量引起的？
一种方法是利用回归估计的残差 et 对那些 可能影响被解释变量但又未被列入模型的解释变 量作回归，并作显著性检验，从而确定该解释变 量的重要性。
只要当以上两种引起自相关的原因都消除后， 才能认为随机干扰项 “真ut正”存在自相关。在 这种情况下，解决办法是对回归估计方程进行变 换，然后利用普通最小二乘法回归估计参数，这 种估计方法称作广义最小二乘法。
E
(
un
u1
)
2
2 1n
2 2I
n1
2
如果仅存在
E(uiui1) 0 i 1,2,,n 1
称为一阶自相关（autocorrelation）
自相关往往可写成如下形式：
ui=ui-1+i
项的“近似估计量”，用 e~t 表示：
e~t Yt (Yˆt )OLS
然后，通过分析这些“近似估计量”之间的 相关性，以判断随机干扰项是否具有自相关性。
6.3.1 图示法
利用残差项e~t 的变化图形来判断随机干扰项的自
相关性。
6.3.2 杜宾-瓦森（Durbin-Watson）检验法
（4）样本容量应充分大（ T 15）。
DW检验步骤:
（1）计算DW值 （2）给定，由n和k的大小查DW分布表，得临界 值 dl 和 du （3）比较、判断
若 0<DW< dL dL<DW<du du <DW<4-du
4-du <DW<4-dL 4-dL<DW<4
存在正自相关 不能确定 无自相关 不能确定 存在负自相关
(1)所得到的参数估计量虽是无偏的，但却非有效
考虑具有一阶自回归形式的随机干扰项模型
Yt X t ut 其中，ut ut1 t用普通最小二乘
法可得
ˆ
X tYt Xt2
X
t
(Xt
Xt2
ut
)
X t ut Xt2
由于 E(ut ) 0 所以
由于自相关的存在，Cov (ut , us ) 0，所以这时
ˆ 的方差已不同于经典假设之下的 ˆ 方差。因此，
若不考虑自相关性，仍用普通最小二乘法估计 ˆ
的方差，则可能会导致不小的偏误。
(2) 参数的显著性检验失去意义
由于估计量 ˆ 的方差已不同于经源自假设之下ˆ的方差，所以由ˆ 估计量和其方差估计量所构造的
e~t e~t 1 t
e~t 1e~t1 2e~t2 t
……
如果存在某一种函数形式，使得方程显著成 立，则说明原模型存在序列相关性。
回归检验法的优点是：（1）能够确定自相 关的形式，（2）适用于任何类型自相关性问题 的检验。
§6.4 自相关性的解决方法
如果模型的随机干扰项存在自相关，首先应 分析产生自相关的原因。
E(ˆ )
X t E(ut Xt2
)
关于估计量 ˆ 的方差，有：
Var(ˆ ) Var(
Xt X
u2t )
t
(
1 X t 2 )2 t
Cov(ut , us )
s
1
1
Xt 2 Var(ut ) ( Xt 2 )2 ts Xt X sCov(ut , us )
第6章 自相关性
§ 6.1 自相关性的基本知识 § 6.2 自相关性产生的原因与后果 § 6.3 自相关性的检验 § 6.4 自相关性的解决方法 § 6.5 自相关系数的估计 § 6.6 案例分析
t检验和F检验一定就可靠吗?
研究居民储蓄存款Y与居民收入X的关系：
Yt 0 1 X t ut
正 相 关
0 dl
无自相关
负
相
关
du
2 4 du 4 dl
当DW值在2左右时，模型不存在一阶自相关。 证明：展开DW统计量：
T
e~t2
T
e~t
2 1
2
T
e~t e~t 1
DW t2
t2
t2
T e~t2
t 1
当样本容量充分大条件下有
T e~t2 T e~t12 T e~t2
e~t 0 1 X1t k X kt 1e~t1 pe~t p t
给定，查临界值2(p)，与LM值比较，做出判断，
实际检验中，可从1阶、2阶、…逐次向更高阶检验。
6.3.4 回归检验法
以 e~t 为被解释变量，以各种可能的相关量，诸如以e~t1 、 e~t2 、 e~t2 等为解释变量，建立各种方程：
它是由布劳殊（Breusch）与戈弗雷（Godfrey） 于1978年提出的，也被称为BG检验。
对于模型 Yi 0 1 X1i 2 X 2i k X ki ui
如果怀疑随机扰动项存在p阶自相关：
ut 1ut1 2ut2 put p t
t检验统计量和 F 检验统计量将不能给出有效的结 论，所用的 t 检验和F 检验一般来说是不可靠的。
(3)模型的预测失效
区间预测与参数估计量的方差有关，在方差 有偏误的情况下，使得预测估计不准确，预测精 度降低。 所以，当模型出现序列相关性时，它 的预测功能失效。
§6.3 自相关性的检验
自相关性检验方法有多种，但基本思路相同：
解释变量，会造成随机干扰项的自相关。
(3) 数据处理造成自相关 在实际研究中，有些数据是由已知数据经处
理得到的，因此，新生成的数据与原数据间有了 内在联系，表现出自相关。
例如：季度数据来自月度数据的简单平均， 这种平滑处理减弱了月度数据的波动性，而使得 生成数据表现出自相关。
6.2.2 自相关性产生的后果
DW检验是杜宾和瓦森于1951年提出的一种检
验自相关的方法，该方法的假定条件是：
（1）解释变量 X 非随机；
（2）随机干扰项ut为一阶自回归形式：
ut ut1 t
（3）回归模型中不应含有滞后应变量作为解释变 量，即不应出现下列形式：
Yt 0 1 X1t k X kt Yt1 ut
t2
t2
t 1
T
2
e~t
2 1
2
T
e~t e~t1
T e~t e~t1
DW t2
t2
T
e~t
2 1
21
t2 T
e~t 12
2(1 ˆ )
t2
t2
这里 n e~t e~t1 n e~t2 n e~t e~t1 n e~t2
(2) 模型设定的偏误
模型数学形式设定不当;模型丢失了重要的解释变量。
例如，模型为：Yt 0 1 X1t 2 X1t 2 ut，随机
干扰项无自相关，但在模型设定中作了下述回归，
Yt 0 1 X1t t ，式中 t 2 X1t 2 ut ， t 随 X1t2 系统变化，这种模型设定的偏误导致随机 干扰项 t 出现自相关。因此，模型中遗漏重要的
t2
t 1
t2
t2
为一阶自回归模型 i=i-1+i 的参数估计。
如果存在完全一阶正相关，即=1，则 DW= 0 完全一阶负相关，即= -1, 则 DW=4 完全不相关， 即=0，则 DW=2
6.3.3 拉格朗日乘数（Lagrange multiplier）检验
拉格朗日乘数检验克服了DW检验的缺陷，适 合于高阶序列相关以及模型中存在滞后被解释变量 的情形。
但此估计结果可能是虚假的，t统计量和F统计量都被虚假 地夸大，因此所得结果是不可信的。为什么?
§6.1 自相关性的基本知识
对于模型 Yi 0 1 X1i 2 X 2i k X ki ui i 1,2,, n 随机干扰项互不相关的基本假设表现为
Cov(ui , uj)=0
BG检验可用来检验如下受约束回归方程
Yt 0 1 X1t k X kt 1ut1 put p t
约束条件为：
H0：1 2 p 0
约束条件H0为真时，大样本下
LM nR 2 ~ 2 ( p)
其中，n为样本容量，R2 为如下辅助回归的可决系数：
6.2.1 自相关产生的主要原因 6.2.2 自相关性产生的后果
6.2.1 自相关产生的主要原因
(1) 经济系统的惯性
自相关现象大多出现在时间序列数据中，而经 济系统的经济行为都具有时间上的惯性。
例如，GDP、价格、就业等经济数据，都有随 经济系统的周期而波动。又如，在经济高涨时期， 较高的经济增长率会持续一段时间，而在经济衰退 期，较高的失业率也会持续一段时间，这种情况下 经济数据很可能表现为自相关。
如果自相关是由错误地设定模型的数学形式 所致，那么就应当修改模型的数学形式。
怎样查明自相关是由模型数学形式不妥造成的？
一种方法是利用回归估计的残差 et 对解释 变量的较高次幂进行回归，然后对新的残差作 DW检验，如果此时自相关消失，则说明模型的 数学形式不妥。
如果自相关由模型中省略了重要解释变量造 成的，那么解决办法就是找出略去的解释变量， 把它作为重要解释变量列入模型。
广义最小二乘法
设原回归模型是
Yt 0 1 X1t 2 X 2t k X ktut (t 1,2,,T )
（6.4.1）
其中 u t 具有一阶自回归形式：ut ut1 t
把上式代入（6.4.1）式得
Yt 0 1 X1t 2 X 2t k X kt ut1 t （6.4.2）
ij, i, j=1,2, …,n
如果对于不同的样本点，随机干扰项之间不再
是不相关的，而是存在某种相关性，则认为出现 了自相关性。
在其他假设仍成立的条件下，自相关即意味着
Cov( ui , uj ) E(uiuj ) 0
或
2
E(u1un )
Cov( u) E(uu)
（6.4.3）
令Yt* Yt Yt1 X jt* X jt X jt1 0* 0(1 )
求模型（6.4.1）的 t 1 期关系式，并在两侧同乘
Yt1 0 1 X1t1 2 X 2t1 k X kt1 ut1
Yt 0 1 X1t 2 X 2t k X kt ut1 t （6.4.2）
第6章 自相关性
• 学习目标
–知识目标：掌握自相关的基本概念，自相关 出现的原因，自相关产生的严重后果，诊断 自相关存在的方法和修正的方法。
–技能目标：通过本章的学习，运用计量软件 处理自相关的问题。
–能力目标：通过本章的学习，具备检验自相 关问题的能力，以及分析自相关产生的主要 原因和修正自相关的能力。
-1<<1
其中 被称为自协方差系数或一阶自相关系数
i 是满足以下经典假定的随机干扰项：
E(i ) 0 Var (i ) 2 Cov(i ,is ) 0 (s 0)
由于自相关性经常出现在以时间序列为样本 的模型中，因此，本节将用下标t代表i。
§6.2 自相关性产生的原因与后果
用普通最小二乘法估计其参数，结果为
Yˆt 27.9123 0.3524Xt (1.8690) (0.0055)
T (14.9343) (64.2069) R2 0.9966 F 4122.531
检验结果：回归系数的标准误差非常小，t统计量较大，说明居 民收入X对居民储蓄存款Y的影响非常显著。同时可决系数也非 常高，F统计量为4122.531，也表明模型异常的显著。
Yt1 0 1 X1t1 2 X 2t1 k X kt1 ut1
用（6.4.2）式与上式相减，得
Yt Yt1 0 (1 ) 1( X1t X1t1 ) k ( X kt X kt1) t
怎样查明自相关是由略去重要解释变量引起的？
一种方法是利用回归估计的残差 et 对那些 可能影响被解释变量但又未被列入模型的解释变 量作回归，并作显著性检验，从而确定该解释变 量的重要性。
只要当以上两种引起自相关的原因都消除后， 才能认为随机干扰项 “真ut正”存在自相关。在 这种情况下，解决办法是对回归估计方程进行变 换，然后利用普通最小二乘法回归估计参数，这 种估计方法称作广义最小二乘法。
E
(
un
u1
)
2
2 1n
2 2I
n1
2
如果仅存在
E(uiui1) 0 i 1,2,,n 1
称为一阶自相关（autocorrelation）
自相关往往可写成如下形式：
ui=ui-1+i