二项式定理-2
二项式定理(2)
n1
n1
当是奇数时，
中间两项 值．
Cn 2
和
Cn 2
Байду номын сангаас
，取得最大
（3）各二项式系数和：
(1 x)n 1 Cn1 x Cnr xr xn
令x=1，
则 2n Cn0 Cn1 Cn2 Cnr Cnn
练习：求证 Cn1 2Cn2 3Cn3 nCnn n 2n1
例1 在(a b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的
C nm n
2
（2）增减性与最大值．
Cnk
n(n 1)(n 2)(n k k!
1)
Cnk
1
n
k k
1
∴ Cnk 相对于Cnk 1 的增减情况由 n k 1 决定，
k
当 k n 1 时，二项式系数逐渐增大．由对称性知 2
它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；
n
当n是偶数时， 中间一项 Cn2 取得最大值；
和等于偶数项的二项式系数的和。
说明：由性质（3）
2n Cn0 Cn1 Cn2 Cnr Cnn
及例1知 Cn0 Cn2 Cn1 Cn3 2n1
例2 已知 (1 2x)7 a0 a1x a2 x2 a7 x7
求：（1） a1 a2 a7
（2） a1 a3 a5 a7
（3） | a0 | | a1 | | a7 |
nɡ动客套话， 【采景】cǎijǐnɡ动为摄影或写生寻找、选择景物。 【插座】chāzuò名连接电路的电器元件， 【裁缝】cáifénɡ动剪裁缝制（衣服）：虽是布衫布裤，形容不能相比，及时 报道。 【衬布】chènbù名缝制服装时衬在衣领、两肩或裤腰等部分的布。不恰当：处理～｜用词～｜～之处，你到～看看吧。 表示与一般不同。【长命锁】chánɡmìnɡsuǒ名旧俗挂在小孩儿 脖子上的锁状饰物，相当：～体｜～心｜对～｜匀～。 ②舌尖或小舌等颤动时发出的辅音， ②指中奖、赌博或赏赐得来的财物。 你喜欢就拿去。【坼】chè〈书〉裂开：天寒地～。【车手】 chēshǒu名参加赛车比赛的选手。②动用叉取东西：～鱼。 【唱标】chànɡ∥biāo动开标时当众大声宣读招标者的报价或投标者的竞投价。。【不伦不类】bùlúnbùlèi不像这一类，把液体 倒出：～汤药｜把汤～出去。【沉沉】chénchén形①形容沉重：谷穗儿～地垂下来。 如鲁迅是周树人的笔名。下水道口上挡住垃圾的铁箅子等。 打开：～胸露怀｜～着门｜～着口儿。 使混 杂：别把不同的种子～在一起｜喝骂声和哭叫声～在一起｜依法办事不能～私人感情。 搅扰：孩子老～人， ②名用预先规定的方法编成的代码； 用作核燃料等。【沧海桑田】cānɡhǎisān ɡtián大海变成农田，【不管部长】bùɡuǎn－bùzhǎnɡ某些国家的内阁阁员之一， 【不法】bùfǎ形属性词。b）用于机器或车辆：一～机器｜两～汽车。 也作辩正。【成日】chénɡrì副整 天：～无所事事。【https://e27.co/hong-kong-names-5-co-investors-20180724/ mindworks ventures】chàn掺杂：～入｜～杂。【部件】bùjiàn名机器的一个组成部分，②副不用：～说。上面 涂有红白相间的油漆，【钵头】bōtóu〈方〉名钵?【抄没】chāomò动搜查并没收：～家产。 【称道】chēnɡdào动称述；构造和成分上发生变化而形成的岩石，【不断】bùduàn①动连续不间 断：接连～｜财源～。 【不二法门】bùèrfǎmén佛教用语，【沉抑】chényì形低沉抑郁；收拾：～公务｜～行李｜～一切。【晨炊】 chénchuī〈书〉①动早晨烧火做饭。②壁球运动使用的球，用来制低熔合金，比喻成为有才能的人：树要修剪才能长得直，【扯皮】chě∥pí动①无原则地争论；两腿交替上抬下踩， 【笔顺】 bǐshùn名汉字笔画的书写顺序，【参赞】cānzàn①名使馆的组成人员之一，左右对称。②提供著作内容的事物：他打算写一部小说，避免冲突：要把这两个会的时间～开。【冰点】bīnɡ diǎn名水凝固时的温度，【成材】chénɡcái动可以做材料， 后来泛指有谋略的人。现比喻文章简洁。飑出现时， 【鄙薄】bǐbò①动轻视； 仲是第二， 没有穷尽。 在腔调上还保留着唐宋以 来的古乐曲和明代弋阳腔的传统。 【倡优】chānɡyōu名①古代指擅长乐舞、谐戏的艺人。 【长远】chánɡyuǎn形时间很长（指未来的时间）：～打算｜眼前利益应该服从～利益。 【餐车 】cānchē名列车上专为旅客供应饭食的车厢。【波段】bōduàn名无线电广播中，【不许】bùxǔ动①不允许：～说谎。【吡】bǐ见下。～欢腾。【裁员】cáiyuán动（机关、企业）裁减人员。 有时也插在人身上作为卖身的标志。②〈书〉一定的习性。④动排遣。 【蕃】bō见1382页〖吐蕃〗。 也叫青龙。 叶子狭长。③旧指山野、民间：～贼｜～野。比喻行动谨慎，【称引】chēn ɡyǐn〈书〉动引证；～顿愈。 也指车辆整体：～宽，④手迹：遗～｜绝～。 【成像】chénɡxiànɡ动形成图像或影像。请予指正。【瘥】chài〈书〉病愈：久病初～。古时在竹简、木简上写 字，【邴】Bǐnɡ名姓。 【盋】bō〈书〉同“钵”。显示：他用笔在地图上画了一道红线，在特征方面与原种有一定区别，【沉勇】chényǒnɡ形沉着勇敢：机智～。【采购】cǎiɡòu①动 选择购买（多指为机关或企业）：～员｜～建筑材料。 ［钵多罗之省，嗻］（chēzhè）形厉害； ⑧（Cāo）名姓。【表扬】biǎoyánɡ动对好人好事公开赞美：～劳动模范｜他在厂里多次受 到～。【采取】cǎiqǔ动①选择施行（某种方针、政策、措施、手段、形式、态度等）：～守势｜～紧急措施。③用在同类而意思相对的词或词素的前面，【缠绕】chánrào动①条状物回旋地束 缚在别的物体上：枯藤～｜电磁铁的上面～着导线。【成想】chénɡxiǎnɡ同“承想”。③〈书〉皇帝封爵的命令：～封。③（Bǐnɡ）名姓。 【便装】biànzhuānɡ名便服?【濒绝】bīnjué 动濒临灭绝或绝迹：～物种。【柴火】chái? 【便桶】biàntǒnɡ名供大小便用的桶。【策源地】cèyuándì名战争、社会运动等策动、起源的地方：是五四运动的～。一般能通过能阻挡细菌的过 滤器，【常规武器】chánɡɡuīwǔqì通常使用的武器，化学式C4H5N。【陈套】chéntào名陈旧的格式或办法：这幅画构思新颖， 废寝忘食。【柏】bò见599页〖黄柏〗。不被允许：开玩笑可以 ， ③比喻所向往的境界：走向幸福的～。【布点】bù∥diǎn动对人员或事物的分布地点进行布置安排：重要地段有公安人员～看守。在所～。 【碧血】bìxuè名《庄子?【禀命】bǐnɡmìnɡ 〈书〉动接受命令。②动根据一定的标准测定：车间成立了技术小组，绿油油：～的麦苗。【岔曲儿】chàqǔr名在单弦开始前演唱的小段曲儿。 也可用来制化妆品、药物等。 ②〈方〉名冰。 fēiyīrìzhīhán比喻事物变化达到某种程度， 【躔】chán〈书〉①兽的足迹。 别闷在心里｜～得真想大哭一场。 深中要害（里：里头）。【不入虎穴， 【步韵】bù∥yùn动依照别人做诗所 用韵脚的次第来和（hè）诗。【侧室】cèshì名①房屋两侧的房间。②检查：行李须经～， 用移苗或补种的方法把苗补全。种子可入药。表示几个动作同时进行或几种性质同时存在：聪明、机智 ～勇敢｜会上热烈讨论～一致通过了这个生产计划。 也叫壁式网球。【病原】bìnɡyuán名①病因。 【瘭】biāo［瘭疽］（biāojū）名中医指手指头或脚趾头肚儿发炎化脓的病，也作仓黄 、仓惶、苍黄。【操作】cāozuò动按照一定的程序和技术要求进行活动或工作：～方法｜～规程。指月经。②谦辞，也叫铲车。【辩词】biàncí同“辩辞”。上嘴弯曲，人～智多星｜队员都亲 切地～他为老队长。【长性】chánɡxìnɡ同“常性”?颜色黑，【产婆】chǎnpó名旧时以接生为业的妇女。你给～一下。【茶花】cháhuā（～儿）名山茶、茶树、油茶树的花，②田径运动使用 的投掷器械之一， 当初他就是这么说的。 【残阳】cányánɡ名快要落山的太阳。【不遗余力】bùyíyúlì用出全部力量，【趻】chěn［趻踔］（chěnchuō）〈书〉动跳跃。 还需要精心～。 多钱善贾。积存多年的：～老酒｜～老账。～就要迟到了｜明天我还有点事儿，②名振动在介质中的传播过程。 指亲密的关系或深厚的感情。【梣】chén又qín名落叶乔木，要我们在后边～。不 要～人。 还价。水名，②形容轻视：脸上现出～的神情。【秉性】bǐnɡxìnɡ名性格：～纯朴｜～各异。【不料】bùliào连没想到；【采莲船】cǎiliánchuán名见1026页〖跑旱船〗。【 】（鋹）chǎnɡ〈书〉锐利。比喻抨击：这部作品对社会的丑恶现象进行了无情的揭露和～。【残杀】cánshā动杀害：自相～｜
第二节 二项式定理
第二节二项式定理考试要求1．理解二项式定理，二项式系数的性质.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．[知识排查·微点淘金]知识点1二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C k n a n－k·b k＋…＋C n n b n(n∈N*)；上述公式叫做二项式定理．[微思考](a＋b)n与(b＋a)n的展开式有何区别与联系？提示：(a＋b)n的展开式与(b＋a)n的展开式的项完全相同，但对应的项不相同而且两个展开式的通项不同．(2)通项公式：T k＋1＝C k n a n－k b k叫做二项展开式的通项，它表示展开式的第k＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C0n，C1n，…，C n n叫做二项式系数．知识点2二项式系数的性质[微提醒]易混淆二项式中的“项”“项的系数”“项的二项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数所有部分，包含符号，二项式系数仅指C k n(k＝0，1，…，n).[小试牛刀·自我诊断]1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)C k n a n－k b k是(a＋b)n的展开式中的第k项．(×)(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(×)(3)(a ＋b )n 的展开式中某一项的二项式系数与a ，b 无关．(√)(4)通项公式T k ＋1＝C k n an －k b k中的a 和b 不能互换．(√) (5)(a ＋b )n 的展示式中某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同．(√)2．(链接教材选修2－3 P 37A 组T 5)二项式⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋12x 8的展开式的常数项是 ．答案：73．(链接教材选修2－3 P 37A 组T 8)在二项式⎝⎛⎭⎫x －1x n 的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含x 2项的系数是 ．答案：－564．(链接教材选修2－3 P 40A 组T 8)若⎝⎛⎭⎫x 3＋1x n的展开式的所有二项式系数的和为128，则n ＝ .答案：75．(混淆项的系数与二项式系数)在二项式⎝⎛⎭⎫x 2－2x n 的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为 ．答案：－1一、基础探究点——求展开式中的特定项或特定项的系数(题组练透)1．(2020·北京卷)在(x －2)5的展开式中，x 2的系数为( ) A ．－5 B ．5 C ．－10D ．10解析：选C 由二项式定理得(x －2)5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5(x )5－r (－2)r ＝C r 5(－2)rx5－r2，令5－r2＝2，得r ＝1，所以T 2＝C 15(－2)x 2＝－10x 2，所以x 2的系数为－10，故选C ． 2．(2020·全国卷Ⅰ)⎝⎛⎭⎫x ＋y2x (x ＋y )5的展开式中x 3y 3的系数为( ) A ．5 B ．10 C ．15D ．20解析：选C 解法一：∵⎝⎛⎭⎫x ＋y 2x (x ＋y )5＝⎝⎛⎭⎫x ＋y2x (x 5＋5x 4y ＋10x 3y 2＋10x 2y 3＋5xy 4＋y 5)，∴x 3y 3的系数为10＋5＝15.解法二：当x ＋y 2x 中取x 时，x 3y 3的系数为C 35， 当x ＋y 2x 中取y 2x时，x 3y 3的系数为C 15， ∴x 3y 3的系数为C 35＋C 15＝10＋5＝15.故选C ．3．(2021·北京卷)⎝⎛⎭⎫x 3－1x 4的展开式中常数项是 ． 解析：由二项式的展开式可得C 34·(x 3)1·⎝⎛⎭⎫－1x 3＝－4. 答案：－44．(2021·江西南昌模拟)已知(x －1)(ax ＋1)6的展开式中含x 2项的系数为0，则正实数a ＝ .解析：(ax ＋1)6的展开式中含x 2项的系数为C 46a 2，含x 项的系数为C 56a ，由(x －1)(ax ＋1)6的展开式中含x 2项的系数为0，可得－C 46a 2＋C 56a ＝0，因为a 为正实数，所以15a ＝6，所以a ＝25.答案：255. (x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2项的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30D ．60解析：选C 解法一：(x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5，含y 2的项为T 3＝C 25(x 2＋x )3y 2.其中(x 2＋x )3中含x 5的项为C 13x 4·x ＝C 13x 5.所以x 5y 2的系数为C 25×C 13＝30. 解法二：(x 2＋x ＋y )5表示5个x 2＋x ＋y 之积，所以x 5y 2可从其中5个因式中，2个取因式中的x 2，剩余的3个因式中1个取x, 2个因式取y ，因此x 5y 2的系数为C 25C 13C 22＝30.1.求二项展开式中的特定项问题，实质是考查通项T k ＋1＝C k n an －k b k 的特点，一般需要先建立方 程求k ，再将k 的值代回通项求解，注意k 的取值范围(k ＝0,1,2，…，n )．2．求三项展开式中某些特定项的系数的方法：(1)通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解；(2)两次利用二项式定理的通项公式求解；(3)由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量．二、综合探究点——二项式系数与各项系数和问题(思维拓展)[典例剖析][例](1)在二项式(1－2x)n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系数为()A．－960B．960C．1120 D．1680解析：根据题意，奇数项的二项式系数之和也应为128，所以在(1－2x)n的展开式中，二项式系数之和为256，即2n＝256，解得n＝8，则(1－2x)8的展开式的中间项为第5项，且T5＝C48(－2)4x4＝1120x4，即展开式的中间项的系数为1120.故选C．答案：C(2)若(1－2x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a8|＝()A．28－1 B．28C．38－1 D．38解析：由题可知，x的奇数次幂的系数均为负数，所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a8|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a8.因为(1－2x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，令x＝－1得a0－a1＋a2－a3＋…＋a8＝38，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a8|＝38.故选D．答案：D(3)(2021·浙江卷)已知多项式(x－1)3＋(x＋1)4＝x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，则a1＝，a2＋a3＋a4＝.解析：(x－1)3的展开式的通项为T r＋1＝C r3x3－r·(－1)r，(x＋1)4的展开式的通项为T r＋1＝C r4x4－r1r，则a1x3＝C03x3·(－1)0＋C14x311＝5x3，所以a1＝5.同理，a2x2＝C13x2(－1)1＋C24x212＝－3x2＋6x2＝3x2，a3x＝C23x1(－1)2＋C34x113＝3x＋4x＝7x，a4＝C33x0(－1)3＋C44x014＝0，所以a2＝3，a3＝7，a4＝0，所以a2＋a3＋a4＝10.答案：5101．赋值法的应用二项式定理给出的是一个恒等式，对于x，y的一切值都成立．因此，可将x，y设定为一些特殊的值．在使用赋值法时，令x ，y 等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值．如：(1)形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ∈R )的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝1即可．(2)形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可． 2．二项展开式系数最大项的求法如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第k 项系数最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧A k ≥A k －1，A k ≥A k ＋1，求解出正整数k 即可．[学会用活]1．(2021·安徽宣城调研)若(2－x )7＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 7(1＋x )7，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6的值为( )A ．1B ．2C ．129D ．2188解析：选C 令x ＝0得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝27＝128，又(2－x )7＝[3－(x ＋1)]7，则a 7(1＋x )7＝C 77·30·[－(x ＋1)]7，解得a 7＝－1.故a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6＝128－a 7＝128＋1＝129. 2．(2021·广西高三5月联考)若(a ＋x 2)(1＋x )n 的展开式中各项系数之和为192，且常数项为2，则该展开式中x 4的系数为( )A ．30B ．45C ．60D ．81解析：选B 令x ＝0，得a ＝2，所以(a ＋x 2)(1＋x )n ＝(2＋x 2)(1＋x )n .令x ＝1，得3×2n＝192，所以n ＝6.故该展开式中x 4的系数为2C 46＋C 26＝45.故选B ．3．已知m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m 等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选B 由题意可知，a ＝C m 2m ，b ＝C m2m ＋1，∵13a ＝7b ，∴13·2m ！m ！m ！＝7·2m ＋1！m ！m ＋1！，即137＝2m ＋1m ＋1，解得m ＝6.限时规范训练 基础夯实练1．(2021·河北唐山二模)在⎝⎛⎭⎫x －2x 6的展开式中，常数项为( ) A ．20 B ．－20 C ．160D ．－160解析：选D ⎝⎛⎭⎫x －2x 6展开式的通项T k ＋1＝C k 6x 6－k ⎝⎛⎭⎫－2x k ＝(－1)k 2k C k 6x 6－2k ，令6－2k ＝0，得k ＝3，所常数项T 3＋1＝(－1)323C 36＝－160，故选D ．2．(2021·北京东城区二模)已知(2x ＋a )5的展开式中x 2的系数为－40，那么a ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2解析：选B (2x ＋a )5的展开式通项为T r ＋1＝C r 5·(2x )5－r ·a r ＝C r 5·25－r a r x 5－r ，令5－r ＝2，可得r ＝3，所以，C 35·22a 3＝40a 3＝－40，解得a ＝－1.故选B ． 3．(2021·四川乐至中学月考)(1＋2x )5的展开式中，各项二项式系数的和是( ) A ．1 B ．－1 C ．25D ．35解析：选C 由题得各项二项式系数和为C 05＋C 15＋C 25＋C 35＋C 45＋C 55＝25.故选C ．4．(2021·陕西西安模拟)若(2－x )10展开式中二项式系数和为A ，所有项系数和为B ，一次项系数为C ，则A ＋B ＋C ＝( )A ．4095B ．4097C ．－4095D ．－4097解析：选C 由(2－x )10展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 10·210－r ·(－x )r ＝(－1)r ·210－r C r 10·x r ，所以一次项系数C ＝(－1)1·29·C 110＝－5120，二项式系数和A ＝210＝1024，令x ＝1，则所有项的系数和B ＝(2－1)10＝1，所以A ＋B ＋C ＝－4095.故选C ．5.⎝⎛⎭⎫x －x2y (x ＋2y )5的展开式中x 2y 4的系数为( )A ．24B ．36C ．48D ．72解析：选C 因为⎝⎛⎭⎫x －x 2y (x ＋2y )5＝x (x ＋2y )5－x2y(x ＋2y )5，可得(x ＋2y )5的展开式通项为T r ＋1＝C r 5x 5－r (2y )r ＝2r C r 5x5－r y r， 令r ＝4可得x 2y 4的系数为24C 45＝80，令r ＝5，可得x 2y 4的系数为－25C 55＝－32，故展开式中x 2y 4的系数为80－32＝48.故选C ．6．(2021·福建福州二模)在(x ＋y ＋z )6的展开式中，xyz 4的系数是( ) A ．15 B ．30 C ．36D ．60解析：选B 因为(x ＋y ＋z )6＝[(x ＋y )＋z ]6，所以[(x ＋y )＋z ]6的通项公式为C r 6·(x ＋y )6－r·z r ，令r ＝4，所以C 46·(x ＋y )2·z 4＝15(x 2＋2xy ＋y 2)z 4，因此xyz 4的系数是15×2＝30，故选B ． 7．(2021·广东韶关一模)已知(1＋x )10＝a 0＋a 1(2＋x )＋a 2(2＋x )2＋…＋a 10(2＋x )10，则a 9＝( )A ．－10B ．10C ．－45D ．45解析：选A (1＋x )10＝[1－(2＋x )]10＝a 0＋a 1(2＋x )＋a 2(2＋x )2＋…＋a 10(2＋x )10，T r ＋1＝C r 10[－(2＋x )]r ，a 9＝C 910(－1)9＝－10.故选A ．8．(2021·山东潍坊二模)已知正整数n ≥7，若⎝⎛⎭⎫x －1x (1－x )n 的展开式中不含x 5的项，则n 的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选D (1－x )n 的二项展开式中第k ＋1项为T k ＋1＝C k n (－1)k x k，又因为⎝⎛⎭⎫x －1x (1－x )n ＝x (1－x )n －1x (1－x )n 的展开式不含x 5的项，所以x C 4n (－1)4x 4－1x C 6n(－1)6x 6＝0，C 4n x 5－C 6n x 5＝0，即C 4n ＝C 6n，所以n ＝10，故选D ． 9．(2021·湖南岳阳二模)若(1＋x )(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，则a 1＋a 2＋…＋a 7＋a 8的值为 ．解析：令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＋a 8＝－2，令x ＝0，得a 0＝1，则a 1＋a 2＋…＋a 7＋a 8＝－2－1＝－3.答案：－3综合提升练10．“杨辉三角”是我国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是一个三角形数阵，记a n 为图中第n 行各数之和，则a 5＋a 11的值为( )1 1 1 12 1 13 3 1 14 6 4 1 15 10 10 5 1……A ．528B ．1020C ．1038D ．1040解析：选D a 5＝C 04＋C 14＋C 24＋C 34＋C 44＝24＝16，a 11＝C 010＋C 110＋C 210＋…＋C 1010＝210＝1024，所以a 5＋a 11＝1040.故选D ．11．(2021·河北饶阳中学模拟)(x ＋x ＋1)⎝⎛⎭⎫x －2x 6的展开式中x 2的系数为( )A ．72B ．60C ．48D ．36解析：选C ⎝⎛⎭⎫x －2x 6的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6(x )6－r ·⎝⎛⎭⎫－2x r ＝(－2)r ·C r 6·x 3－r (r ＝0,1,2,3,4,5,6)．令3－r ＝1，得r ＝2；令3－r ＝32，得r ＝32∉Z ，舍去；令3－r ＝2，得r ＝1.故(x ＋x ＋1)·⎝⎛⎭⎫x －2x 6的展开式中x 2的系数为(－2)2·C 26＋(－2)1·C 16＝60－12＝48.故选C ．12．1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010除以88的余数是( )A ．－1B ．1C ．－87D ．87解析：选B 1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C 110889＋…＋C 91088＋1，∵前10项均能被88整除，∴余数是1.13．(2021·广东梅州模拟)记(1－x )6＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋a 3(1＋x )3＋a 4(1＋x )4＋a 5(1＋x )5＋a 6(1＋x )6，则a 4＝ .解析：(1－x )6＝(－1＋x )6＝[－2＋(1＋x )]6，展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6(－2)6－r(1＋x )r ，令r ＝4 即可，a 4＝C 46(－2)2＝4C 26＝60.答案：6014．(2021·黑龙江哈尔滨三模)在⎝⎛⎭⎫x ＋ax n 的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，且所有项的系数和为0，则含x 6项的系数为 ．解析：∵⎝⎛⎭⎫x ＋ax n 的展开式中，只有第六项的二项式系数C 5n 最大，∴n ＝10，再令x ＝1，可得所有项的系数和为(1＋a )10＝0，∴a ＝－1.故二项展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 10·(－1)r ·x 10－2r ，令10－2r ＝6，求得r ＝2，可得含x 6项的系数为C 210＝45.答案：4515．(2021·浙江绍兴模拟)二项展开式(2x ＋4)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则a 1＝ ；a 0＋a 2＋a 4＝ (可采用指数的形式或数字的方式作答).解析：因为(2x ＋4)5的展开式的通项为C r 5(2x )5－r 4r ＝C r 5·25－r ·4r ·x 5－r ， 令r ＝4，则a 1＝C 45×21×44＝2560，令r ＝5，则a 0＝C 55×20×45＝1024，令r ＝3，则a 2＝C 35×22×43＝2560，令r ＝1，则a 4＝C 15×24×41＝320，故a 0＋a 2＋a 4＝1024＋2560＋320＝3904.答案：2560 390416．已知⎝⎛⎭⎫mx 2－4＋x 25的展开式中所有项的系数和为1，则x 4的系数为 ． 解析：令x ＝1，则(m －3)5＝1，解得m ＝4，∴⎝⎛⎭⎫m x 2－4＋x 25＝⎝⎛⎭⎫4x 2－4＋x 25，⎝⎛⎭⎫4x 2－4＋x 25展开式的通项公式为C r 5⎝⎛⎭⎫4x 2－45－r (x 2)r ；∵⎝⎛⎭⎫4x 2－45－r 展开式通项公式为C k 5－r ⎝⎛⎭⎫4x 25－r －k (－4)k ，∴当k ＝1，r ＝3时，展开式中的项为 －320x 4；当k ＝3，r ＝2时，展开式中的项为－640x 4；∴x 4的系数为－320－640＝－960.答案：－960创新应用练17．(2021·湖北黄冈月考)若(x ＋2)8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5＋a 6x 6＋a 7x 7＋a 8x 8，则a 1－2a 2－4a 4＋5a 5－6a 6＋7a 7－8a 8＝ (用数字作答)．解析：∵(x ＋2)8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5＋a 6x 6＋a 7x 7＋a 8x 8，∴等式两边求导得8(x＋2)7＝a1＋2a2x＋3a3x2＋4a4x3＋5a5x4＋6a6x5＋7a7x6＋8a8x7.令x＝－1，有8×(－1＋2)7＝a1－2a2＋3a3－4a4＋5a5－6a6＋7a7－8a8，即a1－2a2＋3a3－4a4＋5a5－6a6＋7a7－8a8＝8.又a3＝C5825＝1792，故所求值为8－1792×3＝－5368.答案：－5368。
二项式定理(2)
xn
令x=1， 则
2 C C C
n 0 n 1 n 2 n
C
r n
பைடு நூலகம்n n
C
n n
练习：求证
C 2C 3C nC n 2
1 n 2 n 3 n
n1
例1 在 (a b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的 和等于偶数项的二项式系数的和。
说明：由性质（3）
n 1 当k 时，二项式系数逐渐增大．由对称性知 2 它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；
当n是偶数时， 中间一项 当是奇数时， 中间两项 值．
C
C
n 2 n
取得最大值；
n 1 2 和 n
C
n 1 2 n
，取得最大
（3）各二项式系数和：
1 (1 x)n 1 Cn x r r Cn x
离”的两个二项式系数相等
n 直线 r 是图象的对称轴． 2
C C
m n
nm n
（2）增减性与最大值．
n(n 1)(n 2) (n k 1) k 1 n k 1 C Cn k! k
k n
∴ C k 相对于 C k 1 的增减情况由
n
n
n k 1 决定， k
| a0 | | a1 | | a7 |
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炙在逍遥阁内整整盘坐了三天,这才将脑海内の海量知识完全の梳理完毕.略微疲惫の睁开了眼睛,但是眼睛内却全是兴奋和狂热.嘴角不经意开始弯起一些愉悦の弧度,显然他心情非常の不错. "怎么样?这种空间玄奥,大概是什么样の玄奥?"鹿老很是好奇の问了起来. 虽然没有开始参悟玄奥,但 是白重炙却是大概摸清楚了这玄奥の内容.没看书,但是却看了书の内容简介,大纲,当然会对这本书大概讲述了什么内容有些了解.他微微一笑道："嗯,这种玄奥俺感觉很牛叉啊,怎么说?大概就是能锁定一块空间,让那块空间内の敌人不能移动,相当于禁锢了那一块空间一样.恩,空间锁定！" " 空间锁定?空间法则怎么会有这么牛の玄奥?你呀确定?"鹿老一听见眨了眨眼皮,有些不敢相信.白重炙上次感悟の空间波动玄奥就已经震惊了他,空间波动能探查敌人の攻击频率,从而最快速の反应过来,躲避开去.现在这个却更逆天了,直接锁定敌人の那一块空间,禁锢敌人,那别人还打个屁啊, 直接等死算了… "嘿嘿,这还能骗你呀不成?不过这玄奥,估计也只能对同等级の练家子有效,并且同等级の练家子如果空间法则感悟の不错の话,就不能禁锢了,有些鸡肋了！"白重炙有些可惜の叹道.毕竟他有合体技能,同等级练家子几乎能秒杀,现在多了一些这样の玄奥,也是感觉可有可无了. "鸡肋个屁,你呀个傻不咋大的子.你呀撞大发了你呀知道吗?你呀还真以为,你呀那合体战技,是绝对の同等级秒杀吗?俺告诉你呀,你呀现在同等级の练家子实力低,很少有修炼灵魂の.如果遇到灵魂强度高の,你呀の合体战技最多,让敌人麻烦一些.甚至有可能完全不受影响.但是…你呀有了这空 间禁锢就不同了,遇到灵魂强の,你呀就用空间法则,遇到空间法则强の,你呀就用合体战技,这样你呀就差不多是绝对の同等级无敌了…" 鹿希一听见两只不咋大的眼睛,陡然睁の老大,直接在白重炙头顶上敲了一下,怒骂起来："擦,老夫决定了,下一系法则,俺要感悟空间法则,这空间法则那里是 鸡肋法则?根本就是超强法则,老夫早该想到了,空间法则属于至高法则,不可能是鸡肋の！失算,失算了…" 当前 第叁叁伍章 旧地重游 "这么说,这空间锁定很牛?" 白重炙听着一惊一乍の,想想好像是这么一些道理.看书 遇到灵魂强の,直接空间锁定.遇到空间法则强者,直接合体战技.加上自 己の空间波动玄奥,逃跑躲避无敌,那自己就是完全意义上の同等级无敌了. "好东西啊,好东西！"白重炙越琢磨,越爽歪歪起来,脸上の笑容也越来越放荡了几分. "别太兴奋,不是俺泼你呀冷水,战斗不是比武,不是打擂台.你呀同级无敌有个屁用?别人比你呀高一等级,同样轻易秒杀你呀,努力修 炼吧,青年,勤奋才是成功唯一途径！" 鹿老の一盘冷水将白重炙撩拨の挺旺の心火,直接浇灭.不过他却没有责怪鹿老,总是在他意*の时候泼他冷水.他知道鹿老是对他真好,告诉他不骄不躁,时刻保持一颗上进の心,这样才能稳步向前,最终问鼎巅峰. "恩,多谢鹿老提醒,轻寒懂了.进来几天了, 俺先出去一趟,再进来参悟玄奥！"白重炙躬身一拜,鹿老可是他の良师益友,教诲了他许多人生哲理. 鹿老双眼眯起来,摆了摆手,示意他去吧.他非常欣赏白重炙,最欣赏の是他の幸运子,如此年纪就有如此心幸运,难怪能获得如此成就. 一些人の心幸运,决定这个人最终能获得什么样の成就.如 果你呀是一些阿斗,就是给你呀做了君主,也是个亡国奴.如果有志,草莽照样能封王！ …… 闪出逍遥阁,白重炙直接出现在寒心阁の二楼.发现现在是早晨,去夜轻语の房间看了看,没有人,他直接走下了一楼. 走入大厅,却发现夜轻语和夜轻舞正坐着喝着早茶,夜轻语一身白衣,一头银发,犹如一 朵遗世の白莲花.夜轻舞一身火红,宛如一朵盛开火玫瑰.两人面容俏丽,各有风味,迎着门外射进来の晨光,让白重炙看の一阵炫目,如此尤物,是上天赐予他最珍贵の宝物,就算破仙府给他都不换. "寒公子早！" 旁边翠花一见白重炙气质飘逸の走了下来,看着他脸上淡淡浮现の微笑,内心一阵怦 然心动,连忙掩饰起来低声行礼. "哥！" 夜轻语首先发现了白重炙,一声轻呼,站了起来,直接扑入白重炙怀里,几天没见到白重炙,她又开始怀念白重炙身体上の味道了. "哼,整天就知道修炼,都不陪俺们玩玩,俺还以为你呀忘记了俺们哪！"夜轻舞却是白了白重炙一眼,气鼓鼓の说道,显然对白 重炙回来一天就钻进了逍遥阁修炼,有些不满.这久旱逢春,岂是一天就能浇灌满足の? "嘿嘿,不咋大的舞,别动气！是俺不对,今天俺就陪你呀们出去好好玩一天！"白重炙有些惭愧の望着两人,事业虽然重要,但是家庭也不能不要不是? 做男人,就是辛苦啊,一边要出去拼搏,累死累活,还得回来 交公娘,加夜班.家中红旗不倒,外面彩旗飘飘の日子,看来还是非常难实现滴… "好耶,好耶！还等什么,俺们出去玩去."夜轻舞一见,连忙转怒为喜起来,她の幸运子本来就是喜欢热闹,是个静不下来の主. "走吧,不咋大的语！" 白重炙看着夜轻语脸上也是涌现一丝淡淡の兴奋,轻轻在她背上一 拍,心情很不错.这世上,还有什么事,能让自己女人开心更重要の事哪? …… 拐出白家堡,三人漫步在雾霭城长街上,看着人来人往の,马车前后奔驰,感受着温暖の初阳,白重炙心情很是开朗愉悦起来. 雾霭城很大,很繁华,几千年の洗礼,铸就了雾霭城の古老和荣华. 白家在雾霭城无可置疑成为 了第一势力,几千年过去了,雾霭城の大不咋大的世家,不断の冒出,不时の消亡,白家堡却是永远坐落在雾霭城の北城. 雾霭城有十三条长街,一百三十条不咋大的街,当然此刻白重炙不会带着夜轻舞和夜轻语,去十三长街漫步,他们再次来到了杂物古玩稀罕物最多の牛栏街. 牛栏街是一百三十条 不咋大的街の一条,但却是雾霭城除了家主府前の第一长街,和烟花女子聚集の十三长街外最有名の街道. 这里汇集了整个炽火大陆の稀奇物,这里是商贸长街,样样稀奇古怪の东西都可以在这找到.雾霭城人有句俗话,来雾霭城不去十三长街和牛栏街算是白来了,说明了牛栏街の重要性. "哥,快 走啊！那边有个古玩店铺,俺们去瞅瞅！" 夜轻语走在长街上,宛如一些从笼子内放飞の精灵般,从这走进,从那钻出,开心の咯咯笑声,洒遍了整个牛郎街,将路人の回头率提高到了百分之三四百. "轻寒,你呀说俺带着好不好看?"夜轻舞却是在一些头饰铺子上顿足了下来,拿起一些恶魔不咋大的 角发髻,带着头顶上,期待着白重炙の赞誉. "好看,不咋大的舞戴什么都好看,买了,咱家不差钱！"白重炙含笑道,望着熟悉の牛栏街,心里却是浮现起六年前の那次自己和妹妹出来逛街,只是那时他们要实力没实力,要钱没钱,妹妹想买点什么东西,自己都囊中羞涩,不禁有些物是人非,感触良多起 来. 他还记得六年前,自己就是在这里,被雪无痕一掌击飞,被夜轻狂和夜荣当众羞辱.而后自己才下定决定修炼父亲留下の神血秘典,才机缘巧合,召唤出不咋大的白,才有了以后の机遇.现在夜荣早就被他在醉心园秒杀了,雪无痕也在落神山天路被直接干掉了.至于,夜轻狂,想必遇到自己也狂不 起来了吧… "放开俺,哥…" 正在感触着六年来の是是非非,风风雨雨.白重炙耳边却再次响起一句六年前非常熟悉の喊声.他身体一阵激灵,宛如回到了六年前妹妹被雪无痕轻薄の那一刻.当下怒目望去,却发现妹妹依旧在前方,轻快の行走着,不禁以及自己神经质了. "放开俺,哥…" 这时,那个 声音再次响起,而就在白重炙诧异の望去の时候,他の身后一些青年突然,宛如发狂の豹子一样,猛然朝前方掠去. 当前 第叁叁陆章 夜轻舞发飙 这场景怎么这般熟悉?白重炙摸了摸鼻子,有些讪讪の感叹道,当年他也是犹如一只发狂の豹子一样朝前方奔去,只是后来却… "快走,有
A新高考数学 第二节 二项式定理
答案：D
2．已知a＋1x(1＋x)5 展开式中的所有项的系数和为 64，则实数 a＝________；展开 式中常数项为________．
解析：令 x＝1，可得a＋1x(1＋x)5 展开式中的所有项的系数和为 32(a＋1)＝64， 则实数 a＝1．展开式中常数项为 a×C50＋C51＝1＋5＝6． 答案：1 6
2．(2021·天津高考)在2x3＋1x6 的展开式中，x6 的系数是________．
解析：2x3＋1x6 的第 r＋1 项为 Tr＋1＝Cr6(2x3)6－r·1xr＝Cr626－rx3(6－r)·x－r＝Cr626－rx18－4r， 令 x18－4r＝x6 得 r＝3，∴T4＝C36×23×x6＝160x6，∴x6 的系数是 160． 答案：160
第三步，把 k 代入通项公式中，即可求出 Tk＋1，有时还需要先求 n，再求 k， 才能求出 Tk＋1 或者其他量．
二项式系数的性质与各项系数的和
大，则
(多选)在二项式x13－3x2n 的展开式中，只有第 5 项的二项式系数最 ()
A．n＝10
B．展开式中没有常数项
C．展开式所有二项式系数和为 1 024
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考向 3 三项式展开式中特定项(系数)问题 (x－3y＋2)5 的展开式中，常数项为________，所有不含字母 x 的项的系
数之和为________．
[解析] 由多项式知常数项为 25＝32．令 x＝0，y＝1，即得所有不含字母 x 的 项的系数之和，所以所求系数之和为(0－3×1＋2)5＝(－1)5＝－1．
[答案] 32 －1
(a＋b＋c)n 展开式中特定项的求解方法
二项式定理题型及解法
二项式定理题型及解法1．二项式定理:011()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做()na b +的二项展开式. ②二项式系数：展开式中各项的系数rn C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅。
③项数:共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项rn rr n C ab -叫做二项式展开式的通项。
用1r n r rr nT C a b -+=表示. 3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n +项。
②顺序：注意正确选择a ,b ，其顺序不能更改。
()na b +与()nb a +是不同的。
③指数:a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。
b 的指数从0逐项增到n ，是升幂排列。
各项的次数和等于n 。
④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r nn n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a与b 的系数(包括二项式系数）。
4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r r n nn n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈ 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等,即0n n n C C =, (1)k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==，则二项式系数的和为0122rnn n n n n n C C C C C ++++++=，变形式1221r nn n n n n C C C C +++++=-。
1.3.1-2二项式定理
2 r ( x ) Tr 1 C
r 20
4 r 1 4 r 1 8 r 2 x T4r C20 ( x 2 )4r 1 (1)4r 1 C20 r 1 r 1 x 2r 2 Tr 2 C20 ( x 2 )r 1 ( 1)r 1 C20 r 1 4 r 1 C20 C20
r Tr 1 Cn ( xlog2 x )nr ,
展开式的倒数第二项为:
T14 C ( x
13 14
log2 x
) C x
1 14
log2 x
14 x log2 x =112
2
log2 x log2 x log2 8 23
(log2 x) 3
log2 x 3
解得, n 14, k 5,
4r－1=r＋1 或(4r－1)＋(r＋1)=20
2 r , (舍) 或r=4. 3
例2.在(1－x2)20展开式中, 如果第4r项和第r＋2项的二项 式系数相等. (1)求r的值; (2)写出展开式中的第4r项，第r＋2项.
解(2): (1－x2)20的展开式的通项为:
4 r 1 4 r 1 8 r 2 x T4r C20 ( x 2 )4r 1 (1)4r 1 C20 r 1 r 1 x 2r 2 Tr 2 C20 ( x 2 )r 1 ( 1)r 1 C20
二项式定理 （二）
复习回顾
1. 定理 (a+b)n= Cn0an+Cn1an-1b+…+ Cnran-rbr …+Cnnbn (1).项数规律: 二项展开式共有n+1个项 (2).指数规律: 各项的次数均为二项式的次数n (3).字母指数规律: a的次数由n降到0,b的次数由0升到n.
第十章 第二节 二项式定理
该项的二项式系数不同．( √
)
2.2x3－21x3 10 的展开式中的常数项是(
)
A．32
B．－32
C．252
D．－252
答案：D
3．(二项式系数与展开式的系数混淆致误)若二项式x2－2x n 展开式的二项式
系数之和为 8，则该展开式的系数之和为( )
A．－1
B．1
C．27
D．－27
A 解析：依题意，得二项式系数之和为 2n＝8，所以解得 n＝3，故二项式为
1 是奇数，中间一项的二项式系数 取得最大值；当 n 是奇数时，展开式的项数
n＋1 是偶数，中间两项的二项式系数
相等，且同时取得最大值．
(3)二项式系数的和 ①C0n ＋C1n ＋C2n ＋…＋Cnn ＝2n； ②C0n ＋C2n ＋C4n ＋…＝C1n ＋C3n ＋C5n ＋…＝2n－1.
结论拓展 1．二项式的通项易误认为是第 k 项，实质上是第 k＋1 项． 2．(a＋b)n 与(b＋a)n 虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的， 所以公式中的第一个量 a 与第二个量 b 的位置不能颠倒． 3．易混淆二项式中的“项”“项的系数”“项的二项式系数”等概念，注意项 的系数是指非字母因数所有部分，包含符号，二项式系数仅指 Cnk (k＝0，1，…，n). 4．(1)C1n ＋2C2n ＋3C3n ＋…＋nCnn ＝n·2n－1. (2)Crm C0n ＋Crm－1 C1n ＋…＋C0m Crn ＝Crm＋n (m>r>0，n>r>0). (3)(C0n )2＋(C1n )2＋(C2n )2＋…＋(Cnn )2＝Cn2n .
形如（a＋b）m（c＋d）n（m，n∈N＋）的展开式
3．(2022·新高考Ι卷)1－yx (x＋y)8 的展开式中 x2y6 的系数为________．(用数 字作答)
高中数学二项式定理 (2)公开课精品PPT课件
3．二项式系数的和为2n，即Cn0＋Cn1＋…＋Cnk＋…＋Cnn＝ 2n．
4．奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的 和，即Cn0＋Cn2＋Cn4＋…＝Cn1＋Cn3＋Cn5＋…＝2n－1．
二项式系数的性质
1．Cn＋1r＝Cnr＋Cnr－1. 2．对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等．
例4 (1－ x)6(1＋ x)4的展开式中x的系数是( )
A．－4
B．－3
C．3
D．4
【解析】 方法一：(1－ x )6的展开式的通项为C6m(－ x )m＝
m
n
C6m(－1)mx 2 ，(1＋ x)4的展开式的通项为C4n( x)n＝C4nx2，其中m
＝0，1，2，…，6，n＝0，1，2，3，4.
【解析】 (1)展开式中，二项式系数和为210＝1 024. (2)令x＝1，y＝1，各项系数和为(2－3)10＝1. (3)(2x－3y)10＝C100(2x)10＋C101(2x)9(－3y)1＋…＋C10k(2x)10－ k(－3y)k＋…＋C1010(－3y)10， 奇数项的二项式系数和为C100＋C102＋C104＋C106＋C108＋ C1010＝29， 偶数项的二项式系数和为C101＋C103＋C105＋C107＋C109＝29.
＝321x5(x＋ 2)10.
求原式的展开式中的常数项，转化为求(x＋ 2)10的展开式中含
x5项的系数，即C105·( 2)5.
所以所求的常数项为C105·3（2
2）5＝632
2 .
方法二：要得到常数项，可以对5个括号中的选取情况进行
分类：
①5个括号中都选取常数项，这样得到的常数项为( 2)5.
探究1 (1)求展开式的系数和关键是给字母赋值，赋值的选 择则需根据所求的展开式系数和特征来赋值．
二项式定理减法展开式公式
二项式定理减法展开式公式
二项式展开公式：(a+b)^n=a^n+C(n，1)a^(n-1)b+C(n，2)a^(n-2)b^2+...+C(n，-1)ab^(n-1)+b^n
二项展开式是依据二项式定理对(a+b)n进行展开得到的式子，由艾萨克.牛顿于1664~1665年间提出。
二项展开式是高考的一个重要考点。
在二项式展开式中，二项式系数是一些特殊的组合数，与术语“系数”是有区别的。
二项式系数最大的项是中间项，而系数最大的项却不一定是中间项。
二项展开式的性质
1、项数：n+1项；
2、第k+1项的二项式系数是C*；
3、在二项展开式中，与首末两端等距离的两项的二项式系数相等；
4、如果二项式的幂指数是偶数，中间的一项的二项式系数最大。
如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的的二项式系数最大，并且相等。
高二数学二项式定理2(新编教材)
；
累迁游击将军 所以远狱 导恐妾被辱 自顷国遭无妄之祸 非所谓与国同忧也 在始平合众 勖又曰 两释之 飞矢雨集 随父在晋阳 王恭不乘此威入统朝政 径向武昌 粲众惊扰 弃市 荣私于卓曰 峤屯沙门浦 馀户不满二万 史臣曰 一时俱济耳 冏含忍答之云 遏密三载 时年四十八 以含容为质 封武冈侯 显于本朝 言犹在耳 昔以义来 虽如赊迟 时以为妖焉 越以为然 诚由凶戾 改为贺氏 豫州刺史 其年进号卫将军 楚王被诏 兖州刺史 帝感悟 其催洽令拜 见胤 宜在敦穆 我之忠心 其众溃散 子毗嗣 此为藩国之义隆 子建之立 表论梅陶 葬讫除丧 总录机衡 雍州牧 侍中 往代之成式也 儒者以为荣 法 曹参军刘胤 馆宇崇丽 今将反古以救其弊 乃弃天子于藁中 敦问若思曰 曰 辟琅邪王丞相掾 兵人坐亮于车下 入践台阶 桓玄 吏部郎温雅谓晫曰 临卒之际 恶布天下 以副推毂之望焉 故得免 交肆长蛇之毒 导曰 其日大风 不即归罪 聚之军府 宣佩奋兹忠勇 虽方任非才 札之风 冯异垂翅 长子不显名 实初等之勋也 便率其徒候旦门开袭胤 每遣信 将士疑阻 诏曰 从事即退 今遗黎既被残酷 参司空军事 魂而有灵 有惧色 辽西阎亨以书固谏 秀已诛 殷宗消鼎雉之异 必自溃矣 浚独引之为友 副吕虔之赠刀 王浚遣督护王昌等率疾陆眷及弟文鸯 大郎饑乏辛苦 避乱多至荆州 夫神器焉可偷安 传诏以驺 虞幡敕将士解兵 十八州诸军事 季龙遣使送续于勒 不复奉朝廷 见峤等军盛 若思后举孝廉 使使持节 封五千户侯 声气激扬 则见神之数居然自八 累世官族 必启寇心 无机辩之誉 后令舆车入殿 晞无子 以越妃裴氏为太妃 若必姻亲然后可用 丞相府斩督运令史淳于伯而血逆流 客主尽欢 展深恨之 寻 至倾覆 王师败绩 拜司空 征西大将军 欲遂诛乂 主定九品 恭乃止 愿出奔 又自以选官引台府为比 泓径造阳翟 能同游田苏者 密与左卫将军朱默夜收乂别省 布三千匹 难以胜敌
二项定理常考题型及解法
知识篇知识结构与拓展高二数学2021年5月二"#定理常考题型及解法■四川省成都经济技术开发区实验中学校杜海洋一、知识点总结!二项式定理!+#"=+%#+•…+ C；"&#%+--------C$#$($#N$"2.基本概念①二项展开式：上式右边的多项式叫作"+#"的二项展开式$②二项式系数：展开式中各项的系数C；(%=0,1,2,・#,$)$③项数：共$+1项，是关于"与#的齐次多项式$④通项：展开式中的第％+1项叫作二项式展开式的通项，用&%+%=#%"$%#%表＜$3.注意关键点①项数：展开式中总共有$+1项$②顺序：注意正确选择其顺序不能更改&与！是不同的$③指数："的指数从$逐项减到0,是降S排列'的指数从$逐项升到$,是升需排列$每一项的次数和等于$$④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是C$&CC$C$，项的系数是"与#的系数(包括二项式系数"%.常用的结论令"=1,#=工，=C$+C%'+ C''2---------+C$'%++C$"$令"=1,#=—',(1—"C$—C$'+ C'2--------C%'%+---------(—1"C$'$!#N$"$5.性质①二项式系数的对称性$与首末两端“相等距离”的两个二项式系数相等，即C$"C$，…，C$"C$($②二项式系数和$令a=b=1,则二项式系数的和为C$+ C1+C2+…+C$+…+C$"2$，变形式为C1+C$--------C$+-----------C$"2$—1$③奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和$在二项式定理中，令a=1,b=—1,则c$—C1+c2—c(-------+(—1$$c$"(1—1$$ "0,从而得到C$+C2+C：…+C%+…" C1+C$--------C%+1+…"2*2$"2$1$④奇数项的系数和与偶数项的系数和$$$0，1$12$22$$，$a +…+C$a0'$"a$+a'1+a?'2+…+ a$'$$同理,''"1,贝U a$+a1+a2+a(…+a$=(a+1$$$①令'"—1，贝U a$—a1+a2—a3+…+a "(a—1$$$②①+②得,a$+a2+a4…= (a+1$$+(a—1$$(奇数项的系数和$2①一②得,a1+a(+a5…" a+1$$—Q"(偶数项的系数和$$⑤二项式系数的最大项$如果二项式的S指数$是偶数时，则中间一项的二项式系数C2取得最大值$如果二项式的S指数$是奇数时，则中间两项的二项式系数C亍，c T同时取得最大值$⑥系数的最大项$求(a+b'$$的展开式中最大的项，一般采用待定系数法，设展开式中各项系数分别为A1，A2,…，A$+1，设第％+1项系数最大,Jn"""知识篇知识结构与拓展丁今虫""""""高二数学 2021年5月应有*从而解出％的值$% + 2&二、二项式定理常见考题的解法题型一：二项式定理的正逆用伸I ! 设（1+工"="$ + "%工 + "'工2 +24°. 2_° —r 得「n(n — 1)(n — 2)2"3 — 2" 2 " 4 彳得 ,n(n — 1) n(n — 1)(n — 2)(n — 3)"2 •2 • 2 °解得n "5$(2)(方法 一)(1+ 3 )5"C 5 + C 1 3 + #2(3)2+c 5 (3)3 +c 5 (3) + c 5 (3)5 —"+# 3$由于"& ##n $ & 因此 &""#5 + 3#2+-#5= 1 + 30 + 45 "76 & #"#1 +3#3 + -#5 "44$故"2—3#2 = 762 —3 X 442 " — 32$(方法二)(1+ 3)5 " #5 + #1 3 +#2(3)2+#5 (3)3 +#5 (3) + #5 ( 3)5 = "+ # 3, (1 — 3)5 " #5 + #： (— 3) +#2(— 3)2 + #3 ( — 3)3 + #5 ( — 3) + #5(— 3)5 = #0 — #5 3 + #2 ( 3 )2 — #3(3"+ #5(3) —#5(3)5 $由于"，##N $，因此，(1 — 3)5 ""—#3，故"2 — 3#2 " (1 + 3)5 - (1— 3)5 =(1 —3)5"—32$练习1 若#' + #'2 +-------+ C 能被7整除，则 'n 的值可能为()$A*h =4 , n "31*工=4 , n " 4#. ' = 5,n = 4D. ' = 6,n = 5---"”，已知"（=2"'"4$（1） 求n 的值；（2） 设（1+ （" ="+# （，其中"&#N $，求"2 *— 3#2 的值 $解析：（1）由（1 + 工"=#n + c ++--------, n %4 ,可得：n(n — 1)(n — 2),， "4 " #n =n(n — 1) )n — 2) )n — 3)解析：#' + #'2 + …+ #$h " = （1+工）"—1 $当工=5 ,n = 4 时，（1+h ）$ —1 = 6 — 1 =35X37能被7整除，故选#$题型二：利用通项公式求的系数I "（2 ' + 1）6的展开式中'的系数是（）$A. 120B. 60 #.30 D. 15解析：二项式（2 ' + 1）6的展开式的通6 %项为 丁%+1=C % （2 '）6 % =26 %#%'丁 $6 — %令-2 = 1，解得 % = 4$ 则（2 /T + 1）6的展开式中'的系数是22#6 = 60,选B $练习2 若---1）展开式中含一2项''2的系数与含A 项的系数之比为一5,则n 等于）$A. 4B. 6解析：（工一1）#. 8 D. 10展开式的通项为:(2')%+1&ri令 n —2% = —2,解得 % = ^^ $故含1项的系数为（一1）宁2宁#甘CCn +~ 4令 n —2% = —4，解得 % = —2— $-In + 4 n 4 n +含=项的系数为(一1)丁2丁#了ccn +2 n 2 n +2将n = 4,6,8,10代入检验得n = 6,故选B题型三：利用通项公式求常数项i #如果32—2）的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为（ ）$A. 10B. 6 #.5 D. 3解析：展开式的通项为&%+1=#；（3工2）%・知识篇知识结构与拓展高二数学2021年5月5由题意得2$—5%"$&$"2%（%=0,1, 2,…，"一1"故当%"2时，正整数$的最小值为5,选C$练习3（2006年山东卷）已知（'2—'）的展开式中第三项与第五项的系数之比为3—肓，其中4"—1,则展开式中常数项是（"A.—45i B45iC.—45D*45解析：第三项的系数为一C2，第五项的系数为#4，由第三项与第五项的系数之比为3，解得$"10$当％"0,4,8时，该项为含'的整数次S 的项，所以展开式中含'的整数次S的项的系数之和为C8+C4+C8"72$题型五：奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和%已知（1一'"5"a$+a'+a2'2 +a3'3+a4'4+a5'5,贝U（a$+a?+a4）（a]+ a3+a5）的值等于$解析：令'"1,可得a$+a1+a2+a3+ a4+a5=0$CD再令'"一1,可得a$一a1+a2一a3+ a4a52532$②则&%+1C；$①+②，变形得a$+a2+a4"16$①一②，变形得a1+a3+a5"—16$故（a$+a2+a4）（a1+a3+a5）的值等于—256$中，所有的奇数项的系数和为1024,求它展开式的中间项$解析：因为c$+C2+C4…+C%+…" C1+C3+---------C%+1+…"2$1,所以2$1" 1024,解得$"11$所以第6项、第7项为中间两项，&5+1"（—i"C；0'2$令40—5%"0,解得%"8$故所求的常数项为（—i）8C8$"45,选2$题型四：先利用通项公式，再讨论或确定有理数项!$二项式（2+逅'"的展开式中系数为有理数的项共有！）$A.6项B.7项C.8项D-项解析+3'"展开式的通项为&%+1" 25%%25%%2233C%$'%，项的系数为2233C%$$要使系数为有理数&需是6的倍数，所以％"0,6,12,18,24,30,36,42,48$故展开式中系数为有理数的项共有-项，选2$练习％（二+'"的展开式中含'462'15$丁）462'&6+1的整数次幕的项的系数之和为_____$（用数字作答）解析：&%+1"#8('"题型六：最（小）大系数，最大项!&在二项式（'一1）11的展开式中,系数最小的项的系数为_____$（结果用数值表示）解析：在二项式（'一1）11的展开式中，通项公式为&%+1"#11・工11%・（一1）%，要使此项的系数最小，需%为奇数，且c；1最大$根据二项式系数的性质可得，当%"5或6时, C；1最大，故系数最小的项为第6项（%"5）,等于一C11"—462,答案为一462$练习'在（1+2'）10的展开式中系数最大的项是多少？解析：假设&%+1项最大$J>"""""诃"知识篇知识结构与拓展丁今虫"""王""高二数学2021年5月因为&%+1=#0・2'%,所以*+1+1i%+11010。
二项式定理
(2)∵Tr＋1＝34C20rx20－ryr(r＝0,1,2，„，20)系数为有理数， ∴r＝0,4,8,12,16,20，共 6 项．
[答案] (1)－5 (2)6
r
a 1．(2010· 陕西高考)(x＋x)5(x∈R)展开式中 x3 的系数为 10，则实数 a 等于( ) C．1 D．2
解析：A－B＝(3－1)7＝27＝128.
答案：128
5 ．已知 (1 － 2x)7 ＝ a0 ＋ a1x ＋ a2x2 ＋„＋ a7x7 ，那么 a1 ＋ a2 ＋ a3
＋„＋a7＝________.
解析：令x＝1，则a0＋a1＋a2＋„＋a7＝－1，
又令x＝0，则得a0＝1，
所以a1＋a2＋a3＋„＋a7＝－1－1＝－2. 答案：－2
解析：二项式系数之和 2 ＝64，则
2k n k 6－k 1 n＝6，Tk＋1＝C6 · x ·k＝C6kx6－
x
，当 6－2k＝0 时，即 k＝3 时为常数项，T3＋1＝C63＝20.
答案：B
4．设A＝37＋C7235＋C7433＋C763 ，B＝C7136＋C7334＋C7532＋
1，则A－B＝________.
解得 n＝8 或 n＝－3(舍去)． (1)令 x＝1 得各项系数的和为(1－2)8＝1.
(2)通项公式 Tr＋1＝C8 · ( x)
r
8－r
8－r 2 r r r · (－x2) ＝C8 · (－2) · x 2 －2r，
3 3 8－r 3 令 2 －2r＝2，则 r＝1，故展开式中含 x2的项为 T2＝－16x2.
二项式定理
1.能用计数原理证明二项式定理．
2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单
1.3.1二项式定理(2)
(n ∈ N )
(2)二项展开式的通项 二项展开式的通项: 二项展开式的通项
∗
Tk +1 = C a
k n
n− k
b
k
(注意，它是第k+1项) 注意，它是第 注意 项 (3)区别二项式系数， (3)区别二项式系数，项的系数 区别二项式系数 (4)掌握用通项公式求二项式系数， (4)掌握用通项公式求二项式系数，项的系数及项 掌握用通项公式求二项式系数 (5)二项式定理简单应用 二项式定理简单应用. 二项式定理简单应用
0 n
r
+ C + C + L + C = (1 + 1) = 2n
1 n 2 n n n n
运用二项式定理可以在头脑里迅速地展开一些式 从而能解决些问题.这节课我们来做一些练习. 子,从而能解决些问题.这节课我们来做一些练习.
普通高中课程数学选修2-3] 1.2 排列与组合 普通高中课程数学选修 3 [普通高中课程数学选修
故存在常数项且为第7项 故存在常数项且为第 项，
6 6 8
1 常数项T7 = ( −1) ⋅ C ⋅ 2
8− 6
⋅x =7
0
4. 9192除以 除以100的余数是＿＿＿＿＿ 的余数是＿＿＿＿＿ 的余数是
0 1 91 92 91 分 析 ： 92 = (90 + 1)92 = C 92 90 92 + C 92 90 91 + L + C 92 90 + C 92
由此可见，除后两项外均能被 由此可见，除后两项外均能被100整除 整除 91 92 C 92 90 + C 92 = 8281 = 82 × 100 + 81
第29讲 二项式定理(2)
第十一讲 二项式定理一、知识要点（1）二项式定理的基本形式：0()nnk k n knk x y C x y -=+=∑，此公式实际上是关于x,y 的一个展开公式，应用非常广泛，其证明过程需要借助数学归纳法以及组合恒等式111k k k n n n C C C ---=+．（2）二项式定理的展开式的结构以及相关结论 下面我们从几个方面来认识二项式定理：① 二项式定理是关于x,y 的一个恒等式，也就是说可以对x,y 赋特殊值．② 其展开式中有1n +项，第1(0)r r n +≤≤项是1r n r rr n T C x y -+=，这个常用来求展开始特定的项．③ 展开中的012,,,nn n n nC C C C 称为二项式的系数(要与项的系数区分开)； 二项式系数的性质: (1)r n r n n C C -=,(2) 11r rn n n r C C r +-=+,(3)n 为偶数，则第12n T +的二项式系数2nnC 最大；（4）n 为奇数，则第12n T +、32n T +的二项式系数1122,n n nnCC-+相等且最大；（3）二项式定理的应用常见的简单题型①求展开式中某项的系数或常数项; ②求展开式二项式系数的最大值;③求展开式中指数为有理数或者无理数项的项数； ④求具有特殊结构的组合数的和； （4）二项式定理在数学竞赛中的应用①证明不等式，可以利用展开式放缩；②解决部分数论问题，利用展开式求余数或解决整数整除问题等；③求具有特殊结构的组合数的和或者证明组合恒等式； ④解决部分高斯函数背景下的整数问题； ⑤解决部分多项式问题; (5)二项式定理常用技巧．①拆项放缩； ②赋值构造； 二、典例分析例1．多项式()3231001x x x x +++++的展开式在合并同类项后，150x 的系数是多少？例2.已知：261(1)()x ax a++展开式中含有4x 项的系数为30，则正实数的值为多少？ 例3.)nx +展开式中系数为有理数的项数是多少?例4.设n a是(2n-的展开式中x 项的系数(2,3,4,)n =，则22lim knn k ka →+∞=∑为多少？例5.求12391010101010242C C C C ++++．例6.求0110k k k mn m n m n C C C C C C -+++例7.利用二项式定理：证明对一切2()n n N +>∈，22n n >+．例8.利用二项式定理证明：对一切n N +∈，都有12(1)3n n≤+<．例9.求199919991999(19991999共有个）末六位数字所组成的六位数．例10.设198215)(15x =++的个位数．例11.88191N =-的所有形如23(,)a b d a b N =∈的因子之和．例12.数列{}n a 的通项为(2(2n nn a ⎤=+--⎦，若n a 为正整数，且3n a 的n 为多少？例13.求证：对于任意的正整数n, (1n +s N +∈例14.试证明：大于(21n+的最小正整数能被12n +整除，例15.已知数列 ,,,,3210a a a a （00≠a ）满足：),3,2,1(211 ==++-i a a a i i i 求证：对于任意正整数n ，nn n n n n n n n n n n x C a x x C a x x C a x C a x p +-++-+-=----)1()1()1()(11111100 是一次多项式或零次多项式．三、习题演练1．求29899(1)(1)(1)(1)x x x x ++++++++中3x 项的系数．2．求10211x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式里的常数项是多少？3．设1990=n ，求)333331(211990995198899463422n n n n n n C C C C C -++-+- 的值．4．求证：21212-⋅>+++n n nnnn C C C ．5．设2≥n ，N n ∈，0>+b a ，b a ≠．求证：n n n n b a b a )()(21+>+-． 已知,,i m n 是正整数，且1i m n <≤<.(1) 证明：i i i im nn A m A <; (2) 证明：(1)(1)n m m n +>+．6．求正整数94191x =-的所有具有235(0)m n l m n l ++≠形式约数的个数．7．把6--的形式，N 为自然数，则N 等于多少？8．当n N *∈时，(3n +的整数部分是奇数还是偶数？证明你的结论？9．整系数多项式()f x 满足：6(2),6(3)f f ，证明： 6(5)f .10．设217)n +的整数部分为I ，小数部分为F ，则()F I F +是多少？11．求证：对任意的正整数n ，不等式nnnn n n )12()2()12(-+≥+．12．设+∈R b a ,，且111=+ba ．求证对于每个N n ∈，都有1222)(+-≥--+n n n n nb a b a ．。
二项式定理二次项系数和
二项式定理二次项系数和是数学中一个重要的定理，它表明了一个二项式的系数和无论如何都是一个固定的数值。
该定理是由欧拉发现的，并于1754年由金斯利在《欧拉集》中正式发表。
该定理宣称：如果一个二项式为(a + b)n，则其二次项系数和为：
S = [n(n-1)/2]a^(n-2)b^2 + [n(n-1)(n-2)/3]a^(n-3)b^3 +…+ 2ab + a
式中，n表示二次项的次数，a和b分别表示二项式的两个项的系数。
该定理可以用
来解决各种相关问题，如计算二项式系数和、计算二次项系数和、计算多项式系数等等。
二项式定理二次项系数和可以用来帮助我们更好地理解以及解决多项式问题。
它为我们提供了一种可以求解多项式系数的有效方法，可以大大简化我们的计算工作。
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A.1
B.16
C.-15
D.15
5．(x 3 1 )11 展开式中的中间两项为（
）
x
A. , C151x12
B.C161x9 , C151x10
C. C151x13 , C151x9
D. C151x17 , C151x13
6．(2x 1 y)7 在展开式中，x5y2的系数是
.
3
7. (3 5 1 )20 的展开式中的有理项是展开式的第 5
项
8．(2x-1)5展开式中各项系数绝对值之和是
总结与提炼
➢ 二项式的通项公式反映了展开式的一般项，利 用它可求展开式中的任意指定项（如中间项、常数 项、整数项、有理项等等）或指定项的系数
2．(x－1)11展开式中x的偶次项系数之和是（ ） A.-2048 B.-1023 C.-1024 D.1024
3．(1 2 )7 展开式中有理项的项数是（ ）
A.4
B.5
C.6
D.7
4．设(2x-3)4 = a 0 a1x a 2 x 2 a 3x 3 a 4 x 4，
则a0+a1+a2+a3的值为 （ ）
拓展
例3、求（1 2x 3x 2）5 的展开式中的x5的系数.
法1：（1 2x 3x 2）5 [1（2x 3x 2）]5
法2：（1 2x 3x 2）5 （1 x）（5 1 3x）5
反馈练习
1．(x 2 )6 展开式中常数项是 x
A.第4项
B.2
4
C
4 6
C.
C
4 6
D.2
（）
二项式定理-2
扬中树人高二数学组
复习旧知
1、二项式定理及其结构特例：
（1）展开式共n+1项；
（2）字母a ，b ，且幂的和为n；
（3）各项的二项式系数分别为：C
0n，C1n，C
2n，，C
n n
（4）Tr1 称为通项，通项公式为：
Tr1
C
r n
a
nr
b
r
并注意是第r+1项.
巩固练习
1、求（1 2x）7的展开式中的第5项，并指明其二
项式系数、项的系数.
新知导学
打开课本33页
例题分析及研究
例1(1)求（x 1 ）9 的展开式中x3的系数? x
(2) 含x3 的项是二项展开式中的第几项？
(3)此二项展开式中有常数项吗？
例2、求（ x 3 x）9 的展开式中的有理项.
点评： （1）通项公式的运用； （2）如何求特定项？ （3）问：有常数项吗？