数学中图形变换的知识点
四下数学图形变换知识点
四下数学图形变换知识点数学中的图形变换是研究图形在平面或者空间中进行移动、旋转、翻转等操作的数学分支。
图形变换在几何学中有着广泛的应用，对于理解和解决几何问题有着重要的意义。
本文将重点介绍四下数学中的图形变换知识点，包括平移、旋转、翻转和对称等。
1.平移变换平移是指将图形在平面或者空间中沿着指定的方向和距离移动的操作。
平移变换不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。
在平面坐标系中进行平移变换时，可以通过平移向量来描述平移的方向和距离。
平移变换的数学表示为：T(P) = P’ = P + v其中，P是原始图形上的点，P’是平移后的点，v是平移向量。
平移向量的坐标表示为(vx, vy)。
2.旋转变换旋转是指将图形按照指定的旋转中心和旋转角度进行旋转的操作。
旋转变换会改变图形的位置、形状和方向。
在平面坐标系中进行旋转变换时，旋转中心可以是坐标原点或者其他点。
旋转变换的数学表示为：R(P) = P’ = (x’, y’) = (x * cosθ - y * sinθ, x * sinθ + y * cosθ)其中，P是原始图形上的点，P’是旋转后的点，θ是旋转角度。
3.翻转变换翻转是指将图形按照指定的翻转线进行翻转的操作。
翻转变换会改变图形的位置、形状和方向。
在平面坐标系中进行翻转变换时，翻转线可以是x轴、y轴或者其他直线。
翻转变换的数学表示为：F(P) = P’ = (x’, y’) = (x, -y) （以x轴翻转）F(P) = P’ = (x’, y’) = (-x, y) （以y轴翻转）其中，P是原始图形上的点，P’是翻转后的点。
4.对称变换对称是指将图形按照指定的对称中心或者对称轴进行对称的操作。
对称变换会改变图形的位置、形状和方向。
在平面坐标系中进行对称变换时，对称中心可以是坐标原点或者其他点，对称轴可以是x轴、y轴或者其他直线。
对称变换的数学表示为：S(P) = P’ = (x’, y’) = (2 * a - x, y) （以点(a, 0)为对称中心对x轴对称）S(P) = P’ = (x’, y’) = (x, 2 * b - y) （以点(0, b)为对称中心对y轴对称）其中，P是原始图形上的点，P’是对称后的点。
初中数学图形变换知识点整理
初中数学图形变换知识点整理初中数学中，图形变换是一个重要的知识点，它包括了平移、旋转、对称和放缩四个部分。
这些变换不仅在初中数学中有着广泛的应用，也是进一步学习几何知识和应用问题的基础。
下面将对这些知识点进行整理和阐述。
一、平移平移是指将一个图形沿着一定的方向和距离移动，平移后的图形与原图形相似，只是位置发生了改变。
在平移中，有以下几个关键概念需要注意：1. 平移的向量：平移是向量的运算，表示为→AB，表示从点A到点B的位移，也可以表示成矢量形式(AB)。
2. 平移的性质：平移具有保持图形大小、形状和方向不变的性质。
即平移后的图形与原图形全等。
3. 平移的规律：平移的规律可以总结为“横坐标加上有向线段的横坐标，纵坐标加上有向线段的纵坐标”。
即新图形的坐标为(x+a，y+b)，其中a和b为向量→AB的横纵坐标。
二、旋转旋转是指将一个图形围绕一个中心点旋转一定的角度，旋转后的图形与原图形形状相似，但方向可能有所改变。
在旋转中，要注意以下几个关键概念：1. 旋转中心：旋转中心是图形旋转的轴心点，围绕该点进行旋转。
旋转中心可以是图像的一个顶点、中点或者其他位置。
2. 旋转角度：旋转角度是指图形旋转的角度，可以是正数也可以是负数。
顺时针旋转角度为负，逆时针旋转角度为正。
3. 旋转规律：旋转后的图形的顶点坐标可以通过坐标公式得出。
对于顺时针旋转，坐标公式为：新坐标点的横坐标为原坐标点的纵坐标，新坐标点的纵坐标为原坐标点的横坐标的相反数。
对于逆时针旋转，公式则相反。
三、对称对称是指图形通过某一条直线、点或平面变换后重合，这条直线、点或平面称为对称轴。
对称中需要注意以下几个关键概念：1. 对称轴：对称轴是图形对称的参考线。
对称轴可以是一条直线、一个点或平面。
2. 对称性质：对称是指图形经过对称变换后，与原图形完全重合，即图形左右对称、上下对称或中心对称。
3. 对称变换规律：对称变换后的图形的坐标可以通过规律得出。
数学中的形变换
数学中的形变换数学中的形变换是指通过各种数学方法和公式对图形进行变换和转换的过程。
形变换在数学领域中具有广泛的应用，不仅在几何学中有很多应用，还在其他数学分支和实际问题中发挥着重要的作用。
一、平移变换平移变换是指将图形沿着平行方向移动一定的距离而不改变其形状和大小。
平移变换可以通过以下公式来表示：(x', y') = (x + a, y + b)其中，(x, y)是原始图形上的点，(x', y')是平移后图形上的点，a和b 分别表示平移的水平和垂直距离。
平移变换可以用来描述物体在平面上的移动、相机的位移和平移对称等。
二、旋转变换旋转变换是指将图形围绕某一点或某一轴线旋转一定的角度而不改变其形状和大小。
旋转变换可以通过以下公式来表示：(x', y') = (x*cosθ - y*sinθ, x*sinθ + y*cosθ)其中，(x, y)是原始图形上的点，(x', y')是旋转后图形上的点，θ表示旋转的角度。
旋转变换可以用来描述刚体在平面上的转动、地球的自转和旋转对称等。
缩放变换是指通过改变图形的大小而不改变其形状。
缩放变换可以通过以下公式来表示：(x', y') = (kx, ky)其中，(x, y)是原始图形上的点，(x', y')是缩放后图形上的点，k为缩放因子。
缩放变换可以用来描述物体的放大和缩小、地图的缩放和散射对称等。
四、错切变换错切变换是指将图形沿着某一个方向拉伸或压缩。
错切变换可以分为水平错切和垂直错切两种。
水平错切可以通过以下公式来表示：(x', y') = (x + ay, y)垂直错切可以通过以下公式来表示：(x', y') = (x, y + bx)其中，(x, y)是原始图形上的点，(x', y')是变换后图形上的点，a和b 分别表示水平和垂直方向的错切系数。
新初三数学：图形的变换复习
图形的变换与计算【第一部分平移】【知识点】1、平移的概念．2、理解“对应点的连线平行且相等”等平移变换的基本特征；能够按照要求画出简单平面图形平移后的图形；能利用平移进行简单的图案设计．3、平移变换的确定：给定了平移方向和平移的距离，就确定了平移．4、图形在平移下的不变性和不变量．平移把任一线段变成与它平行且相等的线段，即在平移下，任一线段保持方向和长度不变；平移把任一个角变成与它相等的角，即在平移下，任一个角保持大小不变．【基础训练】一、选择题1．下列几种运动属于平移的有（）①水平运输带上的砖在运动；②升降机上下做机械运动；③足球场上足球的运动；④超市里电梯上的乘客；⑤平直公路上行驶的汽车A.2种B.3种C.4种D.5种2．点A(1,2)向右平移2个单位得到对应点A’,则点A’的坐标是( )A.(1．4)B.(1．0) C．(-l，2) D.(3，2)二、填空题1．如图5-1-1所示，每个小正方形的边长都是1个单位长度，△ABC移到了△A′B′C′的位置，则平移的方向是，平移的距离是个单位长度．2．如图5-1-2所示，△ABC平移到△A′B′C′的位置，则与AA′平行的线段有，与AA′相等的线段是．【提高训练】一、选择题1．如图所示5-1-3，在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定距离，这样的图形变换为平移，如图，将网格中的三条线段沿网格线的方向（水平或垂直）平移后组成一个首尾依次相接的三角形，至少需要移动（）A.12格B.11格C.9格D.8格2．如图5-1-4所示：边长分别为和的两个正方形，其一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为，大正方形内除去小正方形部分的面积为（阴影部分），那么与的大致图象应为（）二、解答题A．B．C．D．图5-1-3图5-1-4图2FD EA BC图1图5-1-5 图5-1-1 图5-1-21．已知如图5-1-5所示，图1和图2中的每个小正方形的边长都是1个单位.（1）将图1中的格点△ABC ，先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到△A 1B 1C 1，请你在图1中画出△A 1B 1C 1.（2）在图2中画出一个与格点△DEF 相似但相似比不等于1的格点三角形.2．在平面直角坐标系中，直线l 过点M(3,0)，且平行于轴.(1)如果△ABC 三个顶点的坐标分别是A(-2,0),B(-l,O),C(-1,2)，△ABC 关于轴的对称图形是△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1关于直线的对称图形是△A 2B 2C 2，写出△A 2B 2C 2的三个顶点的坐标； (2)如果点的坐标是(,0)，其中，点P 关于轴的对称点是，点关于直线的对称点是，求的长.3．如图5-1-7（单位：m ），等腰三角形ABC 以2米/秒的速度沿直线L 向正方形移动，直到AB 与CD 重合。
小学五年级数学全部知识点
小学五年级数学全部知识点五年级作为小学阶段中的高年级，数学的学习相对知识点较多，难度也较大。
下面是作者为大家整理的关于小学五年级数学全部知识点，期望对您有所帮助!五年级数学知识点一、图形的变换1、轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线对折，两边能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
2、成轴对称图形的特点和性质：①对称点到对称轴的距离相等;②对称点的连线与对称轴垂直;③对称轴两边的图形大小形状完全相同。
3、物体旋转时应抓住三点：①旋转中心;②旋转方向;③旋转角度。
旋转只改变物体的位置，不改变物体的形状、大小。
二、因数与倍数1、因数和倍数：如果整数a能被b整除，那么a就是b的倍数，b就是a 的因数。
2、一个数的因数的求法：一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身，方法是成对地按顺序找。
3、一个数的倍数的求法：一个数的倍数的个数是无穷的，最小的是它本身，没有最大的，方法时顺次乘以自然数。
4、2、5、3的倍数的特点：个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数。
个位上是0或5的数，是5的倍数。
一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
5、偶数与奇数：是2倍数的数叫做偶数(0也是偶数)，不是2的倍数的数叫做奇数。
6、质数和和合数：一个数，如果只有1和它本身两个因数的数叫做质数(或素数)，最小的质数是2。
一个数，如果除了1和它本身还有别的因数的数叫做合数，最小的合数是4。
三、长方体和正方体1、长方体和正方体的特点：长方体有6个面，每个面都是长方形(特别的有一组对面是正方形)，相对的面完全相同;有12条棱，相对的棱平行且相等;有8个顶点。
正方形有6个面，每个面都是正方形，所有的面都完全相同;有12条棱，所有的棱都相等;有8个顶点。
2、长、宽、高：相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。
3、长方体的棱长总和=(长+宽+高)×4正方体的棱长总和=棱长×124、表面积：长方体或正方体6个面的总面积叫做它的表面积。
专题16 图形变换之平移与对称(解析版)
专题16图形变换之平移与对称考纲要求:1．理解轴对称、轴对称图形、中心对称、中心对称图形、平移的概念. 2．运用图形的轴对称、平移进行图案设计.3．利用平移、对称的图形变换性质解决有关问题.基础知识回顾:知识点一：图形变换1.图形的轴对称（1）定义：①轴对称：把一个图形沿某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么就称这两个图形关于这条直线对称．②轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴. （2）性质：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；反过来，成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分.2.图形的平移（1）定义：在平面内，将某个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．（2）性质：①平移后，对应线段相等且平行，对应点所连的线段相等且平行；②平移后，对应角相等且对应角的两边分别平行、方向相同；③平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置，平移后新旧两个图形全等．3.图形的中心对称（1）把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这个点对称或中心对称，该点叫做对称中心．（2）①关于中心对称的两个图形全等；②关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分；③关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等.知识点二：网格作图坐标与图形的位置及运动图形的平移变换在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．图形关于坐标轴成对称变换在平面直角坐标系内，如果两个图形关于x轴对称，那么这两个图形上的对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；在平面直角坐标系内，如果两个图形关于y轴对称，那么这两个图形上的对应点的横坐标互为相反数，纵坐标相等．图形关于原点成中心对称在平面直角坐标系内，如果两个图形关于原点成中心对称，那么这两个图形上的对应点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．应用举例:招数一、变换图形的形状问题【例1】下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是A． B． C． D．【答案】C【解析】将一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合；这样的图形叫轴对称图形.故选C.招数二、平面坐标系中的图形变换问题【例2】如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（2，-1），B（1，-2），C（3，-3）（1）将△ABC向上平移4个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（2）请画出与△ABC关于y轴对称的△A2B2C2；（3）请写出A1.A2的坐标．【答案】（1）△A1B1C1即为所求；（2）△A2B2C2即为所求；（3）A1（2，3），A2（-2，-1）．【解析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用轴对称的性质得出对应点位置进而得出答案；（3）利用所画图象得出对应点坐标．招数三、函数中的图形变换问题【例3】已知抛物线G：y＝mx2﹣2mx﹣3有最低点．（1）求二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值（用含m的式子表示）；（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1．经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，结合图象，求点P的纵坐标的取值范围．＜﹣3．【答案】（1）﹣m﹣3;（2）y＝﹣x﹣2（x＞1）;（3）﹣4＜yP【解析】（1）∵y＝mx2﹣2mx﹣3＝m（x﹣1）2﹣m﹣3，抛物线有最低点，∴二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值为﹣m﹣3.（2）∵抛物线G：y＝m（x﹣1）2﹣m﹣3，∴平移后的抛物线G1：y＝m（x﹣1﹣m）2﹣m﹣3，顶点坐标为（m+1，﹣m﹣3），∴抛物线G1∴x＝m+1，y＝﹣m﹣3，∴x+y＝m+1﹣m﹣3＝﹣2.即x+y＝﹣2，变形得y＝﹣x﹣2，∵m＞0，m＝x﹣1，∴x﹣1＞0，∴x＞1，∴y与x的函数关系式为y＝﹣x﹣2（x＞1）.（3）如图，函数H：y＝﹣x﹣2（x＞1）图象为射线x＝1时，y＝﹣1﹣2＝﹣3；x＝2时，y＝﹣2﹣2＝﹣4，∴函数H的图象恒过点B（2，﹣4），∵抛物线G：y＝m（x﹣1）2﹣m﹣3，x＝1时，y＝﹣m﹣3；x＝2时，y＝m﹣m﹣3＝﹣3，∴抛物线G恒过点A（2，﹣3），由图象可知，若抛物线与函数H的图象有交点P，则yB ＜yP＜yA，∴点P纵坐标的取值范围为﹣4＜yP＜﹣3，招数四、三角形、四边形中图形变换问题【例4】将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中FM，GN是折痕．若正方形EFGH与五边形MCNGF的面积相等，则的值是（）A．B．﹣1 C．D．【答案】A【解析】连接HF，设直线MH与AD边的交点为P，如图：由折叠可知点P、H、F、M四点共线，且PH＝MF，设正方形ABCD的边长为2a，则正方形ABCD的面积为4a2，∵若正方形EFGH与五边形MCNGF的面积相等∴由折叠可知正方形EFGH的面积＝×正方形ABCD的面积＝，∴正方形EFGH的边长GF＝＝[∴HF＝GF＝∴MF＝PH＝＝a∴＝a÷＝故选：A．【例5】如图，在中，，，，点M为边AC的中点，点N为边BC 上任意一点，若点C关于直线MN的对称点恰好落在的中位线上，则CN的长为______．【答案】或【解析】取BC、AB的中点H、G，连接MH、HG、MG．如图1中，当点落在MH上时，设，由题意可知：，，，，在中，，，解得；如图2中，当点落在GH上时，设，在中，，，，∽，∴，，；综上所述，满足条件的线段CN的长为或．故答案为为或．招数五、图案设计方案问题【例6】在数学活动课上，王老师要求学生将图1所示的3×3正方形方格纸，剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图2的四幅图就视为同一种设计方案（阴影部分为要剪掉部分）请在图中画出4种不同的设计方案，将每种方案中要剪掉的两个方格涂黑（每个3×3的正方形方格画一种，例图除外）【答案】见解析．【解析】如图所示方法、规律归纳:1．识别某图形是轴对称图形还是中心对称图形的关键在于对定义的准确把握，抓住轴对称图形、中心对称图形的特征，看能否找出其对称轴或对称中心，再作出判断.2．在平面直角坐标系中，将点P(x，y)向右(或左)平移a个单位长度后，其对应点的坐标变为(x＋a，y)〔或(x－a，y)〕；将点P(x，y)向上(或下)平移b个单位长度后，其对应点的坐标变为(x，y＋b)〔或(x，y－b)〕．3．要画出一个图形的平移、对称后的图形，关键是先确定一些关键点，根据相应顶点的平移方向、平移距离、对称不变的性质作出关键点的对应点，这种以“局部代整体”的作图方法是平移、对称中最常用的方法．4．利用平移、对称的性质解题时，要抓住平移规律及对称中不变的特点来解决问题.实战演练:1.如图，在小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑n个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则n的最小值为（）A．10 B．6 C．3 D．2【答案】C【解答】如图所示，n的最小值为3，2. 如图，抛物线y1=﹣x2+2向右平移1个单位得到抛物线y2，则图中阴影部分的面积是（）A．2 B．3 C．4 D．无法计算【答案】A【解析】如下图所示，∵抛物线y1=-x2+2向右平移1个单位得到抛物线y2，∴两个顶点的连线平行x轴，∴图中阴影部分和图中红色部分是等底等高的，∴图中阴影部分等于红色部分的面积，而红色部分的是一个矩形，长、宽分别为2，1，∴图中阴影部分的面积S=2．故选A．3. 将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（）A．y＝(x－4)2－6 B．y＝(x－1)2－3 C．y＝(x－2)2－2 D．y＝(x－4)2－2 【答案】D【解析】y＝x2－6x＋5＝ (x－3) 2－4，把向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得y＝ (x－3－1) 2－4＋2，即y＝(x－4)2－2．4.将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，BE，EG，FG为折痕，若顶点A，C，D都落在点O处，且点B，O，G在同一条直线上，同时点E，O，F在另一条直线上，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：由折叠可得，AE＝OE＝DE，CG＝OG＝DG，∴E，G分别为AD，CD的中点，设CD＝2a，AD＝2b，则AB＝2a＝OB，DG＝OG＝CG＝a，BG＝3a，BC＝AD＝2b，∵∠C＝90°，∴Rt△BCG中，CG2+BC2＝BG2，即a2+（2b）2＝（3a）2，∴b2＝2a2，即b＝a，∴，∴的值为，故选：B．5. 如图，在等边△ABC中，AB=4，点P是BC边上的动点，点P关于直线AB，AC的对称点分别为M，N，则线段MN长的取值范围是 .【答案】.【解析】试题解析：如图１，当点P为BC的中点时，MN最短．此时E、F分别为AB、AC的中点，∴PE=AC，PF=AB，EF=BC，∴MN=ME+EF+FN=PE+EF+PF=6；如图2，当点P和点B（或点C）重合时，此时BN（或CM）最长．此时G（H）为AB（AC）的中点，∴CG=2（BH=2），CM=4（BN=4）．故线段MN长的取值范围是6≤MN≤4．6. 如图，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线AB平移至△FEG，DE、FG相交于点H．判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由．【解析】DE⊥FG．理由：由题知：Rt△ABC≌Rt△BDE≌Rt△FEG∴∠A=∠BDE=∠GFE∵∠BDE＋∠BED=90°∴∠GFE＋∠BED=90°，即DE⊥FG．7.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+2x+6的图象交x轴于点A，B（点A在点B 的左侧）（1）求点A，B的坐标，并根据该函数图象写出y≥0时x的取值范围．（2）把点B向上平移m个单位得点B1．若点B1向左平移n个单位，将与该二次函数图象上的点B2重合；若点B1向左平移（n+6）个单位，将与该二次函数图象上的点B3重合．已知m＞0，n ＞0，求m ，n 的值．【答案】（1）26x -；（2）72，1．【解析】（1）令0y =，则212602x x -++=，解得，12x =-，26x =，(2,0)A ∴-，(6,0)B ， 由函数图象得，当0y 时，26x -；（2）由题意得，1(6,)B n m -，2(,)B n m -， 函数图象的对称轴为直线2622x -+==， 点1B ，2B 在二次函数图象上且纵坐标相同， ∴6()22n n -+-=，1n ∴=， ∴217(1)2(1)622m =-⨯-+⨯-+=， m ∴，n 的值分别为72，1． 8.如图，在平面直角坐标系xOy 中，对正方形ABCD 及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一种实数a ，将得到的点先向右平移m 个单位，再向上平移n 个单位（m ＞0，n ＞0）．得到正方形A′B′C′D′及其内部的点，其中点A 、B 的对应点分别为A′，B′．已知正方形ABCD 内部的一个点F 经过上述操作后得到的对应点F′与点F 重合，求点F 的坐标．由B 到B ′，可得方程组：⎩⎨⎧=+⨯=+2023n a m a ，解得：a =12，m =12，n =2． 设F 点的坐标为（x ，y ），点F ′点F 重合得到方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+y y x x 2212121 ，解得：⎩⎨⎧==41y x ，即F（1，4）．9. 如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC 的顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上．点B 的坐标为（8，4），将该长方形沿OB 翻折，点A 的对应点为点D ，OD 与BC 交于点E ． （I ）证明：EO=EB ；（Ⅱ）点P 是直线OB 上的任意一点，且△OPC 是等腰三角形，求满足条件的点P 的坐标； （Ⅲ）点M 是OB 上任意一点，点N 是OA 上任意一点，若存在这样的点M 、N ，使得AM+MN 最小，请直接写出这个最小值．【答案】（I ）证明见解析；（Ⅱ）P 的坐标为（4，2）或（，）或P （﹣，﹣）或（，）；（Ⅲ）．【解析】（Ⅰ）∵将该长方形沿OB翻折，点A的对应点为点D，OD与BC交于点E，∴∠DOB=∠AOB，∵BC∥OA，∴∠OBC=∠AOB，∴∠OBC=∠DOB，∴EO=EB；（Ⅱ）∵点B的坐标为（8，4），∴直线OB解析式为y=x，∵点P是直线OB上的任意一点，∴设P（a，a）．∵O（0，0），C（0，4），∴OC=4，PO2=a2+（a）2=a2，PC2=a2+（4-a）2．当△OPC是等腰三角形时，可分三种情况进行讨论：①如果PO=PC，那么PO2=PC2，则a2=a2+（4-a）2，解得a=4，即P（4，2）；②如果PO=OC，那么PO2=OC2，则a2=16，解得a=±，即P（，）或P（-，-）；③如果PC=OC时，那么PC2=OC2，则a2+（4-a）2=16，解得a=0（舍），或a=，即P（，）；故满足条件的点P的坐标为（4，2）或（，）或P（-，-）或（，）；（Ⅲ）如图，过点D作OA的垂线交OB于M，交OA于N，此时的M，N是AM+MN的最小值的位置，求出DN就是AM+MN的最小值．由（1）有，EO=EB，∵长方形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为（8，4），设OE=x，则DE=8-x，在Rt△BDE中，BD=4，根据勾股定理得，DB2+DE2=BE2，∴16+（8-x）2=x2，∴x=5，∴BE=5，∴CE=3，∴DE=3，BE=5，BD=4，∵S△BDE=DE×BD=BE×DG，∴DG=，由题意有，GN=OC=4，∴DN=DG+GN=+4=．即：AM+MN的最小值为．10. 如图，在平面直角坐标系中，点F的坐标为（0，10）．点E的坐标为（20，0），直线l1经过点F和点E，直线l1与直线l2、y=x相交于点P．（1）求直线l1的表达式和点P的坐标；（2）矩形ABCD的边AB在y轴的正半轴上，点A与点F重合，点B在线段OF上，边AD平行于x 轴，且AB=6，AD=9，将矩形ABCD沿射线FE的方向平移，边AD始终与x 轴平行．已知矩形ABCD以每秒个单位的速度匀速移动（点A移动到点E时止移动），设移动时间为t秒（t ＞0）．①矩形ABCD在移动过程中，B、C、D三点中有且只有一个顶点落在直线l1或l2上，请直接写出此时t的值；②若矩形ABCD在移动的过程中，直线CD交直线l1于点N，交直线l2于点M．当△PMN的面积等于18时，请直接写出此时t的值．【答案】（1）直线l1的表达式为y=﹣x+10，点P坐标为（8，6）；（2）①t值为或；②当t=时，△PMN的面积等于18.【解析】（1）设直线l1的表达式为y=kx+b，∵直线l1过点F（0，10），E（20，0），∴，解得：，直线l1的表达式为y=﹣x+10，解方程组得，∴点P坐标为（8，6）；（2）①如图，当点D在直线上l2时，∵AD=9∴点D与点A的横坐标之差为9，∴将直线l1与直线l2的解析式变形为x=20﹣2y，x=y，∴y﹣（20﹣2y）=9，解得：y=，∴x=20﹣2y=，则点A的坐标为：（，），则AF=，∵点A速度为每秒个单位，∴t=；如图，当点B在l2直线上时，∵AB=6，∴点A的纵坐标比点B的纵坐标高6个单位，∴直线l1的解析式减去直线l2的解析式得，﹣x+10﹣x=6，解得x=，y=﹣x+10=，则点A坐标为（，）则AF=，∵点A速度为每秒个单位，∴t=，故t值为或；②如图，设直线AB交l2于点H，设点A横坐标为a，则点D横坐标为a+9，由①中方法可知：MN=，此时点P到MN距离为：a+9﹣8=a+1，∵△PMN的面积等于18，∴=18，解得a1=-1，a2=﹣-1（舍去），∴AF=6﹣，则此时t为，当t=时，△PMN的面积等于18.。
初中数学图形与变换的定理与公式
初中数学图形与变换的定理与公式
图形与变换
图形的轴对称
轴对称的基本性质：对应点所连的线段被对称轴平分；
等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆是轴对称图形；
图形的平移
图形平移的基本性质：对应点的连线平行且相等；
图形的旋转
图形旋转的基本性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等；平行四边形、矩形、菱形、正多边形〔边数是偶数〕、圆是中心对称图形；
图形的相似
比例的基本性质：如果，那么，如果，那么
相似三角形的设别方法：①两组角对应相等；②两边对应成比例且夹角对应相等；③三边对应成比例
相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等；②相似三角形的对应边成比例；③相似三角形的周长之比等于相似比；④相似三角形的面积比等于相似比的平方；
相似多边形的性质：
①相似多边形的对应角相等；②相似多边形的对应边成比例；
③相似多边形的面积之比等于相似比的平方；
图形的位似与图形相似的关系：两个图形相似不一定是位似图形，两个位似图形一定是相似图形；
Rt△ABC中，∠C=，SinA=，cosA=, tanA=,
CotA=
特殊角的三角函数值：
SinαCosαtanα1Cotα1。
初中数学图形变换知识点汇总
初中数学图形变换知识点汇总图形变换指的是在平面上对图形进行平移、旋转、翻转和放缩等操作，从而改变图形的位置、形状和大小。
这些操作对于初中数学学习来说非常重要，能够帮助学生更好地理解几何图形的特性和性质。
下面将对初中数学图形变换的知识点进行详细的汇总。
一、平移变换平移变换是指将一个图形在平面上沿着某个方向移动一定的距离，而保持图形的大小和形状不变。
平移变换的关键是确定平移的方向和距离。
1. 平移的基本概念平移是平移向量的长度和方向决定的，平移向量可以表示为 (a, b) 或向量→v(a,b)。
其中，a 表示横向平移的距离，b 表示纵向平移的距离。
2. 平移的性质（1）平移不改变图形的大小和形状。
（2）平移保持图形的对称性。
（3）平移不改变图形的内角和。
3. 平移的判断方法判断两个图形是否为平移关系，可以通过判断两个图形的对应点是否平移得到。
如果两个图形的对应点都平移相等的距离，则它们之间存在平移关系。
二、旋转变换旋转变换是指将一个图形绕一个固定点旋转一定的角度，从而改变图形的方向和位置。
旋转变换也是基础的图形变换方式之一。
1. 旋转的基本概念旋转是以旋转中心、旋转角度和旋转方向来描述的。
旋转中心是图形旋转的中心点，旋转角度是指图形绕旋转中心旋转的角度，旋转方向决定了图形是否顺时针或逆时针旋转。
2. 旋转的性质（1）旋转不改变图形的大小和形状。
（2）旋转保持图形的对称性。
（3）旋转不改变图形的内角和。
3. 旋转的判断方法判断两个图形是否为旋转关系，可以通过判断两个图形的对应边是否按照一定的角度旋转得到。
如果两个图形的对应边旋转相同的角度，则它们之间存在旋转关系。
三、翻转变换翻转变换是指将一个图形关于一条直线翻转，使得图形在翻转后对称于该直线。
翻转变换常见的有关于 x 轴、y 轴和原点的翻转。
1. 翻转的基本概念关于 x 轴的翻转是指将图形的每个点的 x 坐标不变，y 坐标取其相反数。
关于y 轴的翻转是指将图形的每个点的 y 坐标不变，x 坐标取其相反数。
小学五年级数学下册图形的变换小结、因数和倍数基础
小学五年级数学下册第一、二单元图形的变换小结、因数和倍数基础一、图形的变换小结：对称图形犹如照镜子，每个点到对称轴的距离相等平移图形犹如走路，每个点移动的距离相等旋转图形犹如打跟斗，每条线旋转的方向和角度相等二、因数和倍数1、判断1）一个数的最小因数是1，最大的因数是它本身。
（）2）一个数的因数是无限的，倍数是有限的。
（）3）3是因数，15是倍数。
（）4）个位上是2的整数都能够被2整除。
（）5）个位上是5的整数都能够被5整除。
（）6）能够被4整除的数一定能被2整除。
（）7）能够被2整除的数一定能被4整除。
（）8）自然数是由奇数和偶数组成。
（）2、写出下列数的因数18（） 72（） 120（）3、用圆圈出下列数字中2的倍数，用三角形圈出5的倍数，并总结规律22，26，72，52，25，35，19，27，32，41，45，55，60，70，80，11，12，17，10，55，20，56，57，100，12354，57895，50，80规律：三、判断1、自然数是由质数和合数组成（）2、自然数是由奇数和偶数组成（）3、最小的质数是1（）4、0是最小的偶数（）5、2既是质数又是偶数（）6、奇数都是质数。
（）7、质数中的偶数只有2. （）四、将下列数字分类1、12，36，50，55，897，52，60，75，33，45，78，63，22，54，20，702、14，57，97，87，47，17，67，27，37，13，23，33，43，53，63，93，83，73质数：合数：3、有一堆糖果，平均分给几位小朋友，每人3颗则余4颗，每人5颗则少8颗，请问有几位小朋友，有多少颗糖果？。
中考数学复习专项知识总结—图形的变换(中考必备)
中考数学复习专项知识总结—图形的变换（中考必备）1、平移(1)定义：把一个图形沿着某一直线方向移动，这种图形的平行移动，简称为平移。
(2)平移的性质：平移后的图形与原图形全等；对应角相等；对应点所连的线段平行(或在同一条直线上)且相等。
(3)坐标的平移：点（x，y）向右平移a个单位长度后的坐标变为（x+a，y）；点（x，y）向左平移a个单位长度后的坐标变为（x-a，y）；点（x，y）向上平移a个单位长度后的坐标变为（x，y+a）；点（x，y）向下平移a个单位长度后的坐标变为（x，y-a）。
2、轴对称(1)轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称。
这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。
(2)轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形。
这条直线叫做它的对称轴。
(3)轴对称的性质：关于某条直线对称的图形是全等形。
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
(4)线段垂直平分线的性质线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上。
(5)坐标与轴对称：点（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，-y）；点（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（-x，y）；3、旋转(1)旋转定义：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转。
点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。
如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。
旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；①对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；①旋转前后的图形全等。
(2)中心对称定义：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。
图形与变换(六年级数学总复习)(谷风校园)
2、 可能改变图形形状的变换是（ D ）
A 轴对称变换
B 平移变换
C 相似变换或旋转变换
D以上都不是
3、在下列各图形中，轴对称图形有（ 6 ）个，
对称轴不止一条的有（ 3 ）个
线段，射线，角，三角形，等腰三角形，
等边三角形，平行四边形，圆，陀螺，正六边形。
4、写出在26个英文字母中，是轴对称图形的有
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（1）画出图A的另一半，使它成为一个轴对称图形。 （2）把图B向右平移5格，再向上平移2格。 （3）把图C绕O点逆时针旋转900。 （4）把图D按3：1的比放大。
。 90
1 2 3 45
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从下面的四种瓷砖中选择两种，可以拼成 不同的图案。
下面的图案选择了哪两种瓷砖？
沐风课教1Fra bibliotek图形与变换知识整理
轴对称变换 沿着一条直线对折，两边能完全重合的
图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴。
变换图形位置的方法有哪些？（平移、旋转 ）
1、决定平移后图形位置的关键是什么？ （平移的方向和平移距离 ）
2、决定旋转后图形位置的关键是什么？
（旋转的方向和旋转的角度）
怎样能不改变图形的形状而只改变它的大小？
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观察方格纸中图形的变换，并与同学进行交流。
A
B
向右平移8格
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观察方格纸中图形的变换，并与同学进行交流。
A
BC
顺时针旋转900
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三角形AOB 经过怎样的变换得到三角形0A’B’的？
A
B
O
A`
B`
高中数学必修一12.图形变换
函数的图像(1)平移变换①水平平移：y ＝f (x )的图象向左平移a (a ＞0)个单位长度，得到________的图象；y ＝f (x －a )(a ＞0)的图象可由y ＝f (x )的图象向________平移a 个单位长度而得到．②竖直平移：y ＝f (x )的图象向上平移b (b ＞0)个单位长度，得到________的图象；y ＝f (x )－b (b ＞0)的图象可由y ＝f (x )的图象向________平移b 个单位长度而得到．总之，对于平移变换，记忆口诀为“左加右减，上加下减”． (2)对称变换①y ＝f (－x )，y ＝－f (x )，y ＝－f (－x )三个函数的图象与y ＝f (x )的图象分别关于 、 、 对称；②若对定义域内的一切x 均有f (m ＋x )＝f (m －x )，则y ＝f (x )的图象关于直线 对称． (3)伸缩变换①要得到y ＝Af (x )(A >0)的图象，可将y ＝f (x )的图象上每点的纵坐标伸(A >1时)或缩(A <1时)到原来的__________；②要得到y ＝f (ax )(a >0)的图象，可将y ＝f (x )的图象上每点的横坐标伸(a <1时)或缩(a >1时)到原来的__________．(4)翻折变换①y ＝|f (x )|的图象作法：作出y ＝f (x )的图象，将图象位于x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到x 轴上方，上方的部分不变；②y ＝f (|x |)的图象作法：作出y ＝f (x )在y 轴右边的图象，以y 轴为对称轴将其翻折到左边得y ＝f (|x |)在y 轴左边的图象，右边的部分不变．（5）有关对称①类奇函数 ②类偶函数 y=f(x)关于（a,0）对称 y=f(x)关于x=a 对称⟺y=f(x+a)为奇函数 ⟺y=f(x+a)为偶函数 ⟺f(a+x)= -f(a-x) ⟺f(a+x)= f(a-x) ⟺f(x)=-f(2a-x) ⟺f(x)= f(2a-x)③对于函数)(x f y =(R x ∈),()()f a+x f b -x =恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2b a x +=;两个函数()f a+x 与)(x b f y -= 的图象关于直线x=2b a- 对称. ④对于函数)(x f y =(R x ∈), ()()f a+x f b -x =-恒成立,则函数)(x f 的对称中心是（2a b +，0），两个函数()f a+x 与()y f b -x =-的图象关于直线（2b a -，0）对称.练习题1.函数y ＝1－1x －1的图象是( )2.为了得到函数y ＝lg x ＋310的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点( )A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度3.若函数f (x )＝ax －2x －1的图象关于点(1，1)对称，则实数a ＝________4．(2013·北京)函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )＝( )A ．e x ＋1 B ．e x －1 C ．e－x ＋1D ．e－x －15.若将函数y ＝f (x )的图象向左平移2个单位，再沿y 轴对折，得到y ＝lg(x ＋1)的图象，则f (x )＝________.6.下列函数的图像中，经过平移或翻折后不能与函数y ＝log 2x 的图像重合的函数是( )A.y ＝2xB.y ＝log 12x C.y ＝4x2D.y ＝log 21x＋17．把函数y ＝log 2(x －1)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向右平移12个单位长度所得图象的函数式为( )A ．y ＝log 2(2x ＋1)B ．y ＝log 2(2x ＋2)C ．y ＝log 2(2x －1)D ．y ＝log 2(2x －2)8.（1）已知函数)(x f 是R 上的增函数，A(0 ，-1) ，B （3，1）是其图象上的两点，那么|)1( x f |<1的解集的补集是（ ）A ．（-1 ，2）B ．（1 ，4）C ．（-∞，-1）∪[4 ，+∞)D ．（-∞，-1] ∪[2 ，+∞)（2）. 若直线y=2a 与函数y=|a x -1|（a ＞0且a≠1）的图象有两个公共点，则a 的取值范围是______．9．已知f (x )＝|2x －1|，当a ＜b ＜c 时，有f (a )＞f (c )＞f (b )，则必有( )A ．a ＜0，b ＜0，c ＜0B ．a ＜0，b ＞0，c ＞0C ．2－a ＜2c D ．1＜2a ＋2c ＜210.已知图①中的图象对应的函数为y ＝f (x )，则图②中的图象对应的函数可能为( )A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝|f (x )|C ．y ＝f (－|x |)D ．y ＝－f (|x |)11..已知a ＞0且a ≠1，函数f (x )＝log a (x ＋x 2＋b )在区间(－∞，＋∞)上既是奇函数又是增函数，则函数g (x )＝log a ||x |－b |的图象是( )12. 若函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域R ，如方程)(,)(R k k x f ∈=最多只有两个根，则实数a 、b 、c 满足（ ）A ．,042≥-ac b B ．042≤-ac b C ．,02b c R a∈-≥ D ．,2bc R a ∈-≤0 13．(2016·全国甲卷)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1mx i ＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m14．设函数y ＝f (x ＋1)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数，且图象过点(1，0)，则不等式(x －1)f (x )≤0的解集为________．15.已知定义域为R 的奇函数()f x 满足()()13f x f x +=-，当(]0,2x ∈时，()24f x x =-+，则函数()()y f x a a R =-∈在区间[]4,8-上的零点个数最多时，所有零点之和为 ．16、已知函数满足，关于轴对称，当时，，则下列结论中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ． 17.(2015·安徽)函数f (x )＝ax ＋b（x ＋c ）2的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >0，b >0，c <0B ．a <0，b >0，c >0C ．a <0，b >0，c ＜0D ．a ＜0，b ＜0，c ＜018.已知函数f (x )＝x |x －2|，则不等式f (2－x )≤f (1)的解集为________．19．已知y ＝f(x)与y ＝g(x)的图象如右图：则F(x)＝f(x)·g(x)的图象可能是下图中的( )20．(2013·四川)函数y ＝x 33x －1的图象大致是( )()f x )2()2(-=+x f x f (2)y f x =-y )2,0(∈x 22()log f x x =(4.5)(7)(6.5)f f f <<(7)(4.5)(6.5)f f f <<(7)(6.5)(4.5)f f f <<(4.5)(6.5)(7)f f f <<21.已知函数f(x)的定义域为[a，b]，函数y＝f(x)的图像如下图所示，则函数f(|x|)的图像大致是()log x(ab≠0，|a|≠|b|)在同一直角坐标系中的图像22.(湖南高考题)函数y＝ax2＋bx与y＝ba可能是()答案 D23．(2016·全国乙卷)函数y＝2x2－e|x|在[－2,2]的图象大致为()24.已知函数21(0)2x f(x)x e x =+-< 与2()ln()g x x x+a =+的图象上存在关于y 轴对称的点 ，则a 的取值范围（ ）A ． 1(,)e -∞ B ．(,)e -∞ C ．1(,)e e- D ．1(,)e e - 25.关于x 的方程x ＋lgx ＝3，x ＋10x ＝3的根分别为α，β，则α＋β是( ) A.3 B.4 C.5D.626.（1）若不等式2x －log a x<0在x ∈(0，12)时恒成立，则实数a 的取值范围是（2） 当时，不等式（其中且）恒成立，则的取值范围为A. B. C. D.（3）当1(0,)2x ∈时，不等式4log xa x <恒成立，则实数a 的取值范围是27.(海南高考题)用min{a ，b ，c}表示a ，b ，c 三个数中的最小值.设f(x)＝min{2x ，x ＋2，10－x}(x ≥0)，则f(x)的最大值为( )A.4B.5C.6D.728. 设表示三者中较小的一个，若函数，则当时，的值域是（ ） A. B.C.D.。
2023中考复习专用数学一轮知识点梳理七 图形与变换课件
知识点 尺规作图
尺规作图的工具为 和 .
尺规作图的定义:用不带刻度的直尺和圆规完成的几何作图叫尺规作图.
直尺
圆规
五种常规的尺规作图:作一条线段等于已知线段.步骤如图①:作射线OP;在OP上截取 ,OA即为所求线段.
七 图形与变换
第28课时 尺规作图
1
的平分线及线段的垂直平分线.
1.会用尺规作一条线段等于已知线段、一个角等于已知角、一个角
尺过已知直线外一点作这条直线的平行线.
2.会用三角尺或量角器过一点作一条直线的垂线,会用三角尺和直
夹边作三角形;已知底边及底边上的高线作等腰三角形;已知一直角边和斜边作直角三角形.
(1) ∵ BF=CE,∴ BF+FC=CE+FC,即BC=EF.∵ AB∥DE,∴ ∠ABC=∠DEF.在△ABC和△DEF中,∴ △ABC≌△DEF (2) ① 如图,△A'BC即为所求作
第3题
A'D∥l
4. (2022·淮安二模)如图①②,在5×5的网格中,△ABC的三个顶点都在格点上.(1) 在图①中画出一个以AB为边的▱ABDE,使顶点D,E在格点上.(2) 在图②中画出一条恰好平分△ABC周长的直线l(至少经过两个格点).(3) 如图③,在▱ABCD中,CM⊥BD于点M.若AN⊥BD于点N,请仅用无刻度的直尺在图③中作出符合题意的点N(不要求写作法,但要保留作图痕迹).
1. (2022·安顺)如图,在△ABC中,∠ABC<90°,AB≠BC,BE是边AC上的中 线,按下列步骤作图:① 分别以点B和点C为圆心,大于BC的长为半径 作弧,两弧相交于点M,N;② 作直线MN,分别交BC,BE于点D,O;③ 连接 CO,DE.下列结论错误的是 ( ) A. OB=OC B. ∠BOD=∠COD C. DE∥AB D. △BOC≌△BDE2. (2022·连云港)如图,在▱ABCD中,∠ABC=150°.利用尺规在BC,BA上分 别截取BE,BF,使BE=BF;分别以点E,F为圆心、大于EF的长为半径作弧, 两弧在∠CBA内交于点G;作射线BG交DC于点H.若AD=+1,则BH的长为 .
函数图像变换知识点总结
函数图像变换知识点总结一、基本概念1. 函数图像的平移函数图像的平移是指将原函数图像沿横轴或纵轴方向平移一定的距离。
平移的方向和距离可以是正数也可以是负数。
- 沿横轴方向平移：对于函数y=f(x)，如果在横轴方向上平移了a个单位，新函数表示为y=f(x-a)。
- 沿纵轴方向平移：对于函数y=f(x)，如果在纵轴方向上平移了b个单位，新函数表示为y=f(x)+b。
2. 函数图像的伸缩函数图像的伸缩是指将原函数图像沿横轴或纵轴方向进行拉伸或压缩。
伸缩的方向和比例可以是正数也可以是负数。
- 沿横轴方向伸缩：对于函数y=f(x)，如果在横轴方向上进行了伸缩，新函数表示为y=f(kx)。
- 沿纵轴方向伸缩：对于函数y=f(x)，如果在纵轴方向上进行了伸缩，新函数表示为y=kf(x)。
3. 函数图像的翻转函数图像的翻转是指对原函数图像进行镜像操作，可以分为关于横轴翻转和关于纵轴翻转两种情况。
- 关于横轴翻转：对于函数y=f(x)，进行横轴翻转后，新函数表示为y=-f(x)。
- 关于纵轴翻转：对于函数y=f(x)，进行纵轴翻转后，新函数表示为y=f(-x)。
二、函数图像变换的特点1. 平移：平移不改变函数的基本形状，只是改变了函数的位置；2. 伸缩：伸缩可以改变函数的斜率和幅度，但不改变函数的形状；3. 翻转：翻转改变了函数的整体形状，使得原函数变为其镜像；4. 组合变换：可以将多种变换进行组合，得到更复杂的函数图像变换。
三、函数图像变换的应用函数图像变换不仅仅是数学中的一种抽象概念，还可以应用到具体的问题中，如物理、经济等领域。
1. 物理问题：在物理学中，函数图像变换可以用来描述物体的运动、变形等。
例如，对于速度-时间图像，进行平移可表示物体的起始位置不同；进行伸缩则可以描述加速度的变化；进行翻转可以描述反向运动等情况。
2. 经济问题：在经济学中，函数图像变换可以用来描述经济模型的变化。
例如，对于需求-价格图像，进行平移可以表示需求量或价格的变化；进行伸缩可以描述需求的弹性；进行翻转可以描述替代品或补充品的关系等情况。
初中数学中的图形变换
图形变换是初中数学中的重要内容之一，它是指通过平移、旋转、翻转等操作，改变原有图形的位置、方向和形状。
图形变换不仅在数学中有着广泛的应用，而且在生活中也随处可见。
本文将详细介绍图形变换的基本概念、常见操作及其应用。
一、图形变换的基本概念图形变换是指将一个图形通过一系列操作，变成另一个新的图形。
常见的图形变换包括平移、旋转、翻转等。
其中，平移是指保持图形大小和形状不变，只改变其位置；旋转是指围绕一个中心点旋转图形；翻转则是将图形沿着某个轴对称翻转。
通过这些基本的变换操作，我们可以创建出各种各样的图形，并且可以通过组合这些变换操作，得到更复杂的图形。
二、平移的操作及应用平移是最基本也是最简单的图形变换操作之一。
它是指将一个图形沿着直线路径移动一个固定的距离，而不改变图形的形状和大小。
常见的平移操作包括沿横向或纵向平移、沿斜线平移等。
平移在生活中有着广泛的应用。
例如，在建筑设计中，我们常常需要将建筑物的平面图进行平移操作，以确定不同功能区域的位置；在地图制作中，我们也需要通过平移操作将地图上的各个地理要素放置到正确的位置上。
此外，平移还在计算机图形学中扮演着重要的角色，用于实现图像的移动和动画效果。
三、旋转的操作及应用旋转是指围绕一个中心点将图形旋转一定角度的操作。
在旋转过程中，图形的形状和大小保持不变，只是方向发生改变。
旋转可以按顺时针或逆时针方向进行，旋转角度通常以度为单位。
旋转在日常生活中也有着广泛的应用。
例如，在舞台设计中，演员常常需要绕着舞台中心点旋转，以展示出更加生动的表演效果；在游乐园中，旋转木马等游乐设施也是通过旋转操作带给游客欢乐和刺激。
此外，旋转还被广泛应用于计算机图形学、工程设计等领域。
四、翻转的操作及应用翻转是指将图形沿着某个轴对称翻转的操作。
在翻转过程中，图形的形状和大小保持不变，只是左右或上下方向发生改变。
常见的翻转操作包括水平翻转和垂直翻转。
翻转在日常生活中也有着丰富的应用。
第20讲 图形的变换—小升初复习讲义(通用版 含详解)18页
2021-2022学年小升初数学精讲精练专题汇编讲义第20讲图形的变换知识点一：轴对称图形1.将图形沿着一条直线对折,如果直线两侧部分能够完全重合,这样的图形叫轴对称图形,折痕所在的这条直线叫作对称轴画对称轴的方法:用对折的方法寻找对称轴,对称轴要画成虚线,两端要画出图形外面2.画轴对称图形的方法:(1)找出所给图形的关键点(2)数出或量出图形关键点到对称轴的距离(3)在对称轴的另一侧找出关键点的对称点(4)对照所给图形顺次连接各点知识点二：平移与旋转1.图形的平移2.图形的旋转知识点三：放大与缩小1.图形的放大或缩小(各边按相同的比放大或缩小)所得到的图形与原图形相比, 形状相同, 大小不同。
2.在方格纸上画出按一定的比将图形放大或缩小后的图形的方法:一看:看原图形每边各占几格;二算:按给定的比计算图形放大或缩小后得到的图形的边各占几格;三画,按计算出的边长画出原图形放大或缩小的图形。
一、精挑细选(共5题；每题1分，共5分)1．（1分）（2021六上·澄江期末）下列轴对称图形中，（）的对称轴条数最少。
A．圆B．正方形C．长方形2．（1分）下面这些图形中，（）是轴对称图形。
A．B．C．D．3．（1分）下图中，图形A通过（）得到图形B。
A．向下平移3格，再向右平移5格B．向右平移3格，再向下平移3格C．向左平移3格，再向上平移3格D．向右平移5格，再向下平移6格4．（1分）（2021六上·南郑期末）以下叙述正确的是（）。
A．人离路灯越近他的影子就越长。
B．圆直径所在的直线是圆的对称轴。
C．观察一个正方体魔方，一次最多能看到5个面。
D．圆越大圆周率越大。
5．（1分）（2021·建邺）再画一个小正方形，使下图成为轴对称图形，共有（）种不同的画法。
A．2 B．3 C．4 D．5二、判断正误(共5题；每题1分，共5分)6．（1分）在中，对称轴最多的是长方形。
7．（1分）（2021·临西）长方形、等边三角形、平行四边形、等腰三角形都是轴对称图形。
高二数学《简单的图形变换》知识点梳理
高二数学《简单的图形变换》知识点梳理图形变换是数学中的一个重要概念，它涉及到对平面图形的移动、旋转、翻转等操作。
在高二数学中，《简单的图形变换》是一个重要的知识点，本文将对该知识点进行详细的梳理。
1. 平移变换平移变换是指将图形按照某个方向和距离进行移动，移动后的图形与原图形形状完全相同。
平移变换可以用符号表示，例如T(a, b)表示将图形沿着x轴正方向平移a个单位长度，y轴正方向平移b个单位长度。
平移变换的性质：- 平移变换不改变图形的形状和大小。
- 平移变换保持图形的平行性质，即平行线之间的距离在平移前后保持不变。
- 平移变换保持图形的相对位置关系不变。
2. 旋转变换旋转变换是指将图形围绕某个中心点按照一定的角度进行旋转。
旋转变换可以用符号表示，例如R(α)表示图形绕原点逆时针旋转α度，R(α, O)表示图形绕点O逆时针旋转α度。
旋转变换的性质：- 旋转变换不改变图形的形状和大小。
- 旋转变换保持图形的对称性质，即旋转前后图形的对称中心和对称轴保持不变。
- 旋转变换改变图形的方向，逆时针旋转使得图形左侧的点在旋转后仍然在左侧。
3. 翻转变换翻转变换是指将图形按照某个轴线进行对称翻转。
翻转变换可以分为水平翻转和垂直翻转两种情况。
水平翻转变换可以用符号表示，例如Fhx表示图形按照x轴进行水平翻转，Fhx(P)表示点P在水平翻转后的位置。
垂直翻转变换可以用符号表示，例如Fvy表示图形按照y轴进行垂直翻转，Fvy(P)表示点P在垂直翻转后的位置。
翻转变换的性质：- 翻转变换改变图形的方向，水平翻转使得图形上方的点在翻转后移动到下方，垂直翻转使得图形右侧的点在翻转后移动到左侧。
- 翻转变换不改变图形的形状和大小。
- 翻转变换保持图形的对称性质，即翻转前后图形的对称中心和对称轴保持不变。
4. 组合图形变换在实际问题中，我们常常需要综合运用多种图形变换来完成特定的操作。
组合图形变换指的是将平移、旋转、翻转等操作按照一定的顺序组合起来进行。
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数学中图形变换的知识点
数学中图形变换的知识点
图形变换的基本方式是平移、对称和旋转。
1、轴对称:如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
（1）学过的轴对称平面图形：长（正）方形、圆形、等腰三角形、等边三角形、等腰梯形……
等腰三角形有1条对称轴，
等边三角形有3条对称轴，
长方形有2条对称轴，
正方形有4条对称轴，
等腰梯形有1条对称轴，
任意梯形和平行四边形不是轴对称图形。
（2）圆有无数条对称轴。
（3）对称点到对称轴的距离相等。
（4）轴对称图形的特征和性质：
①对应点到对称轴的距离相等；
②对应点的连线与对称轴垂直；
③对称轴两边的图形大小、形状完全相同。
（5）对称图形包括轴对称图形和中心对称图形。
平行四边形（除棱形）属于中心对称图形。
2、旋转：在平面内，一个图形绕着一个顶点旋转一定的角度得到另一个图形的'变化较做旋转，定点O叫做旋转中心，旋转的角度叫做旋转角，原图形上的一点旋转后成为的另一点成为对应点。
（2）旋转要明确绕点，角度和方向。
（3）长方形绕中点旋转180度与原来重合，正方形绕中点旋转90度与原来重合。
等边三角形绕中点旋转120度与原来重合。
旋转的性质：
（1）图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动；
（2）其中对应点到旋转中心的距离相等；
（3）旋转前后图形的大小和形状没有改变；
（4）两组对应点非别与旋转中心的连线所成的角相等，都等于旋转角；
（5）旋转中心是唯一不动的点。
3、对称和旋转的画法：旋转要注意：顺时针、逆时针、度数。