数学分析(华东师大)第十一章反常积分

r mg R ∫

∫

第 十 一 章 反 常 积 分

§1 反常积分概念

一 问题提出

在讨论定积分时有两个最基本的限 制 : 积分 区间 的有穷 性和 被积函 数的 有

界性 .但在很多实际问题中往往需要突 破这 些限制 , 考虑无 穷区 间上的“ 积分”, 或是无界函数的“积分”, 这便是本章的主题 .

例 1 ( 第二宇宙速度问题 ) 在地球表面垂直发射火箭 ( 图 11 - 1 ) , 要使火 箭克服地球引力无限远离地球 , 试问初速度 v 0 至少要多大 ?

设地球半径为 R, 火箭质量为 m, 地面上的重力加速度为 g .按万有引力定律 , 在距地心 x( ≥ R) 处火箭所受的引力为

mg R 2

F = .

x 2

于是火箭从地面上升到距离地心为 r ( > R) 处需作的功为

2

∫

d x = mg R 2 1 - 1 .

R x

2 R r 当 r → + ∞ 时 , 其 极限 mg R 就是 火箭 无限 远 离地 球 需作 的 功 .我们很自然地会把这极限写作上限为 + ∞的“ 积分”:

图 11 - 1

+ ∞

mg R 2

d x = lim r mgR 2 R

x 2 r → + ∞ R d x = mg R . x

2

最后 , 由机械能守恒定律可求得初速度 v 0 至少应使

1

2

2

mv 0 = mg R .

用 g = 9 .81 ( m 6s /2

) , R = 6 .371× 106

( m ) 代入 , 便得

v 0 =

2 g R ≈ 11 .2( k m 6s /) .

例 2 圆 柱形桶 的内壁高 为 h , 内半 径为 R , 桶底有 一半径为 r 的小孔 ( 图 11 - 2) .试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水 , 共需多少时间 ?

2

∫

· R u ∫ ∫ ∫ R

2

§1 反常积分概念

265

从物理学知道 , 在 不计 摩 擦力 的情 形下 , 当桶 内水 位 高度为 ( h - x ) 时 , 水从孔中流出的流速 ( 单位 时间内 流过 单位截面积的流量 ) 为

v =

2 g( h - x) ,

其中 g 为重力加速度 .

设在很小一段时 间 d t 内 , 桶 中液 面降 低 的微 小量 为 d x , 它们之间应满足

πR 2 d x = v πr 2 d t ,

图 11 - 2

由此则有

d t =

R d x , x ∈ [0 , h] . r

2

2 g( h - x )

所以流完一桶水所需时间在形式上亦可写成“积分”:

h t f = 0 R 2

d x . r 2

2 g( h - x)

但是在这里因为被积函数是 [0 , h) 上的无界函数 , 所以它的确切含义应该是

u 2

t f = lim

∫ 2

d x

u → h

-

r

2 g( h - x)

= lim -

2 2

g r 2

h - h - u

u → h

=

2 h R .

g r 相对于以前所讲的定积分 ( 不妨 称之 为正常 积分 ) 而 言 , 例 1 和例 2 分别 提 出了两类反常积分 .

二 两类反常积分的定义

定义 1 设函数 f 定义在无穷区间 [ a, + ∞ ) 上 , 且在任 何有 限区间 [ a , u] 上可积 .如果存在极限

lim

∫

f ( x ) d x = J, ( 1)

u → + ∞ a

则称此极限 J 为函数 f 在 [ a, + ∞ ) 上的无穷限反常积分 ( 简称无穷积分 ) , 记作

+ ∞ J =

f ( x ) d x ,

( 1′)

a

+ ∞ + ∞ 并称

f ( x) d x 收 敛 . 如 果 极 限 ( 1) 不 存 在 , 为 方 便 起 见 , 亦 称 f ( x) d x a

a

发散 .

类似地 , 可定义 f 在 ( - ∞ , b] 上的无穷积分 :

b

b

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ u

∫

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第十一章 反 常 积 分

∫ f ( x )d x = lim ∫f ( x ) d x .

( 2)

- ∞ u → - ∞ u

对于 f 在 ( - ∞ , + ∞ ) 上的无穷积分 , 它用前面两种无穷积分来定义 :

+ ∞

a

f ( x ) d x =

- ∞

- ∞

+ ∞ f ( x) d x + a

f ( x) d x , ( 3)

其中 a 为任一实数 , 当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的 .

注 1 无穷积分 ( 3) 的收敛性与收敛时的值 , 都和实数 a 的选取无关 .

注 2 由于无穷积分 ( 3) 是由 (1 ) 、( 2) 两类无 穷积分来 定义 的 , 因此 , f 在 任 何有限区间 [ v , u] Ì ( - ∞ , + ∞ ) 上 , 首先必须是可积的 .

+ ∞

注 3

a

f ( x ) d x 收 敛

的 几 何 意 义 是 : 若 f 在

[ a , + ∞ ) 上为非负连续函数 , 则图 11 - 3 中介于曲线

y = f ( x) , 直线 x = a 以及 x 轴之间那一块向右无限

延伸的阴影区域有面积 J . 例 3 讨论无穷积分

+ ∞

图 11 - 3

的收敛性 .

解 由于

d x 1

x

p

( 4)

u

d x

1

x

p

=

1 1 - p ( u

1 - p - 1 ) ,

p ≠ 1 , ln u ,

p = 1 ,

1

lim ∫

d x

= u → + ∞ 1 x p

p - 1 , p > 1

+ ∞ p ≤ 1 ,

因此无穷积分 (4 ) 当 p > 1 时收敛 , 其值为 1

; 而当 p ≤1 时发散于 + ∞ .

p - 1

从图 11 - 4 看到 , 例 3 的结论是 很直观 的 : p

的值越大 , 曲线 y = 1

当 x > 1 时越靠近 x 轴 , 从

x

p

而曲线下方的阴影区域存在有限面积的可能性也 就越大 .

例 4 讨论下列无穷积分的收敛性 :

1∫

) + ∞ d x 2 x( ln x) p ; 2) + ∞

d x

- ∞ 1 + x 2 .

解 1 ) 由 于无 穷 积分 是 通 过变 限 定积 分 的 极限来 定义 的 , 因此 有关定 积分 的换元 积分 法和

图

11 - 4