离散数学网上作业2
中农大网络教育离散数学(第2版)_在线作业
离散数学(第2版)_在线作业_1交卷时间2019-09-26 14:15:30一、单选题（每题5分，共20道小题，总分值100分）1.命题变元P和Q的极大项M1表示()。
（5分）┐P∨Q┐P∧QP∧┐QP∨┐Q正确答案您的答案是D回答正确展开2.设，下面集合等于A的是()。
（5分）ABCD正确答案您的答案是B回答正确展开3.下面既是哈密顿图又是欧拉图的是()。
（5分）ABCD正确答案您的答案是C回答正确展开4.下列语句中为命题的是()。
（5分）AB水开了吗？C再过5000年，地球上就没有水了D请不要抽烟!正确答案您的答案是C回答正确展开5.n个结点、m条边的无向连通图是树当且仅当m=()。
（5分）A2n-1B nC n-1D n+1正确答案您的答案是C回答正确展开6.命题变元P和Q的极小项m1表示()。
（5分）P∧┐Q┐P∧Q┐P∨QP∨┐Q正确答案您的答案是B回答正确展开7.公式的前束范式为()。
（5分）ABCD正确答案您的答案是D回答正确展开8.无向完全图有()条边。
（5分）A nB n2C n(n-1)D n(n-1)/2正确答案您的答案是D回答正确展开9.设无向图G的所有结点的度数之和为12，则G一定有()。
（5分）6条边5条边3条边4条边正确答案您的答案是A回答正确展开10.下列语句中不是命题的是()。
（5分）AB我是大学生C3是奇数D请勿吸烟!正确答案您的答案是D回答正确展开11.下列不一定是树的是()。
（5分）A每对结点之间都有通路的图B连通但删去一条边则不连通的图C有n个结点，n-1条边的连通图D无回路的连通图正确答案您的答案是A回答正确展开12.在有3个结点的图中,奇度数结点的个数为()。
（5分）A0或2B0C1D1或3正确答案您的答案是A回答正确展开13.集合的对称差运算不满足()。
（5分）A消去律B结合律C交换律D幂等律正确答案您的答案是D回答正确展开14.下列图中()是平面图。
2020年春季学期课程作业离散数学第2次13979-重庆大学网络教育学院-参考资料
重庆大学网络教育学院-2020年春季学期课程作业离散数学第2次-参考资料请认真阅读一下说明然后下载：题库有可能会换，不保证全部都有！请仔细核对是不是您需要的题目再下载！！！！本文档的说明：如果题目顺序和你的试卷不一样，按CTRL+F在题库中逐一搜索每一道题的答案，预祝您取得好成绩百！一、单项选择题 (共 30 题、0 / 90 分 )1、一棵有向树，如果恰有一个节点的入度为０，其余所有节点的入度都为１，则称为（）。
A、根树B、普通树C、树根D、树节点参考答案是：A2、设有向图（a）、（b）、（c）、（d）如下图所示，则下列结论成的是（）A、（a）是强连通的B、（b）是强连通的C、（c）是强连通的D、（d）是强连通的参考答案是：A3、P：今天下雨。
Q：明天下雨。
上述命题的合取为（）。
（符号表示）A、┐P∧┐QB、┐P∨QC、┐P∨┐QD、P∧Q参考答案是：D4、设有向图D为欧拉图，则图D中每个结点的入度（）出度。
A、等于B、大于C、小于D、不能确定参考答案是：A5、下列关系中哪些能构成函数？（）A、{〈x,y〉|x,y∈ N,x+y<10}B、{〈x,y〉|x,y∈ N,x+y=10}C、{〈x,y〉|x,y∈ R,|x|=y}D、{〈x,y〉|x,y∈ R,x=|y|}参考答案是：C6、设〈G , *〉是一个独异点, 并且对于G中的每一个元素a都有( )，则〈G , * 〉是一个阿贝尔群。
A、a * a= aB、a * a= eC、a * e= eD、e* a= e参考答案是：B7、张三或李四都可以做这件事。
设P：张三可以做这件事。
Q：李四可以做这件事。
则命题符号化为（）。
A、┐P∧┐QB、┐P∨QC、┐P∨┐QD、参考答案是：D8、在一个具有n个节点的图中，则任何简单路的长度均不大于（）。
A、nB、n-1C、n+1D、2n参考答案是：B9、欧拉公式的原型为（）。
A、v+e+r＝2B、v-e+r＝2C、v-e-r＝2D、v+e-r＝2参考答案是：B10、下面关于广群，半群，独异点，群的关系正确的是（）。
电大离散数学作业2
离散数学集合论部分形成性考核书面作业本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握．本次形考书面作业是第一次作业，大家要认真及时地完成集合论部分的综合练习作业．要求：学生提交作业有以下三种方式可供选择：1. 可将此次作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，完成作业后交给辅导教师批阅．2. 在线提交word文档3. 自备答题纸张，将答题过程手工书写，并拍照上传．一、填空题1．设集合{1,2,3},{1,2}A B==，则P(A)-P(B )= {{3}, {1,2,3}, {1, 3 }, {2,3}} ，A⨯B= {<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,1>,<3,2>} ．2．设集合A有10个元素，那么A的幂集合P(A)的元素个数为1024 ．3．设集合A={0, 1, 2, 3}，B={2, 3, 4, 5}，R是A到B的二元关系，R⋂∈y∈x<且=且>∈x{B,,AAyyBx}则R的有序对集合为{<2, 2>，<2, 3>，<3, 2>}，<3, 3> ．4．设集合A={1, 2, 3, 4 }，B={6, 8, 12}，A到B的二元关系R＝}x∈y∈><y=2,,,{ByxAx那么R－1＝{<6，3>，<8，4>} ．5．设集合A=｛a, b, c, d｝，A上的二元关系R={<a, b>, <b, a>, <b, c>, <c, d>}，则R具有的性质是反自反性，反对称性．6．设集合A=｛a, b, c, d｝，A上的二元关系R={<a, a >, <b, b>, <b, c>, <c, d>}，若在R中再增加两个元素<c, b>, <d, c>，则新得到的关系就具有对称性．7．如果R1和R2是A上的自反关系，则R1∪R2，R1∩R2，R1-R2中自反关系有 2 个．8．设A={1, 2}上的二元关系为R={<x, y>|x∈A，y∈A, x+y =10}，则R的自反闭包为{<1, 1>, <2, 2>} ．9．设R是集合A上的等价关系，且1 , 2 , 3是A中的元素，则R中至少包含<1, 1>, <2, 2>, <3, 3> 等元素．10．设A={1，2}，B={a，b}，C={3，4，5}，从A到B的函数f ={<1, a>, <2, b>}，从B到C的函数g={< a，4>, < b，3>}，则Ran(g︒ f)= {3，4} ．二、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）1．若集合A = {1，2，3}上的二元关系R={<1, 1>，<2, 2>，<1, 2>}，则(1) R是自反的关系；(2) R是对称的关系．解：（1）错误，R不是自反关系，因为没有有序对<3,3>.（2）错误，R不是对称关系，因为没有有序对<2,1>2．设A={1，2，3}，R={<1，1>, <2，2>, <1，2> ，<2，1>}，则R是等价关系．解：错误, 即R不是等价关系.因为等价关系要求有自反性x R x, 但<3, 3>不在R中.3．若偏序集<A，R>的哈斯图如图一所示，则集合A的最大元为a，最小元不存在．οοοοab cd图一οοοg e fh ο解：错误．集合A的最大元不存在，a是极大元．4．设集合A={1, 2, 3, 4}，B={2, 4, 6, 8}，，判断下列关系f是否构成函数f：A→，并说明理由．B(1) f={<1, 4>, <2, 2,>, <4, 6>, <1, 8>}；(2) f={<1, 6>, <3, 4>, <2, 2>}；(3) f={<1, 8>, <2, 6>, <3, 4>, <4, 2,>}．解：(1) f不能构成函数．因为A中的元素3在f中没有出现．(2) f不能构成函数．因为A中的元素4在f中没有出现．(3) f可以构成函数．因为f的定义域就是A，且A中的每一个元素都有B中的唯一一个元素与其对应，满足函数定义的条件．三、计算题1．设}4,2{=CB==E，求：A},5,4,3,2,1{=},5,2,1{4,1{},(1) (A⋂B)⋃~C；(2) (A⋃B)-(B⋂A) (3) P(A)－P(C)；(4) A⊕B．解：(1)因为A∩B=｛1,4｝∩｛1,2,5｝=｛1｝,~C=｛1,2,3,4,5｝-｛2,4｝=｛1,3,5｝所以(A∩B ) ⋃~C=｛1｝⋃｛1,3,5｝=｛1,3,5｝（2）(A⋃B)-(B⋂A)= {1,2,4,5}-{1}={2,4,5}(3)因为P(A)=｛φ,｛1｝, ｛4｝, ｛1,4｝｝P(C)=｛φ,｛2｝,｛4｝,｛2,4｝｝所以P(A)-P(C)={ φ,{ 1},{ 4},{ 1,4}}-{φ,{ 2},{ 4},{2,4 }}(4) 因为A⋃B={ 1,2,4,5}, A⋂B={ 1}所以A⊕B=A⋃B-A⋂B={1,2,4,5}-{1}={2,4,5}2．设A={{1},{2},1,2}，B={1,2,{1,2}}，试计算（1）（A-B）；（2）（A∩B）；（3）A×B．解：（1）A-B ={{1},{2}}（2）A∩B ={1,2}（3）A×B={<{1},1>，<{1},2>，<{1},{1,2}>，<{2},1>，<{2},2>，<{2},{1,2}>，<1,1>，<1,2>，<1, {1,2}>，<2,1>，<2,2>,<2, {1,2}>}3．设A={1，2，3，4，5}，R={<x，y>|x∈A，y∈A且x+y≤4}，S={<x，y>|x∈A，y∈A且x+y<0}，试求R，S，R•S，S•R，R-1，S-1，r(S)，s(R)．解：R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<3,1>}, \R-1={<1,1>,<2,1>,<3,1>,<1,2 >,<2,2>,<1, 3>}S=φ, S-1 =φr(S)={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>}s(R)= {<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<3,1>}R •S=φS •R=φ4．设A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，R 是A 上的整除关系，B ={2, 4, 6}．(1) 写出关系R 的表示式； (2 )画出关系R 的哈斯图；(3) 求出集合B 的最大元、最小元．解：R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4,<1,5>,<1,6>,<1,7>,<1,8>,<2,2>,<2,4>,<2,6>,<2,8>,<3,3>,<3,6>,<4,4>,<4,8>,<5,5>,<6,6>,<7,7>,<8,8>}（2）关系R 的哈斯图如图（3）集合B 没有最大元，最小元是：2四、证明题1．试证明集合等式：A ⋃ (B ⋂C )=(A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C )．证明：设，若x ∈A ⋃ (B ⋂C )，则x ∈A 或x ∈B ⋂C ， 即 x ∈A 或x ∈B 且 x ∈A 或x ∈C ．即x ∈A ⋃B 且 x ∈A ⋃C ，即 x ∈T =(A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C )，所以A ⋃ (B ⋂C )⊆ (A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C )．反之，若x ∈(A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C )，则x ∈A ⋃B 且 x ∈A ⋃C ，即x ∈A 或x ∈B 且 x ∈A 或x ∈C ，即x ∈A 或x ∈B ⋂C ，7即x∈A⋃ (B⋂C)，所以(A⋃B) ⋂ (A⋃C)⊆ A⋃ (B⋂C)．因此．A⋃ (B⋂C)=(A⋃B) ⋂ (A⋃C)．2．试证明集合等式A⋂ (B⋃C)=(A⋂B) ⋃ (A⋂C)．证明：设S=A∩(B∪C)，T=(A∩B)∪(A∩C)，若x∈S，则x∈A且x∈B∪C，即x∈A且x∈B或x∈A且x∈C，也即x∈A∩B或x∈A∩C，即x∈T，所以S⊆T．反之，若x∈T，则x∈A∩B或x∈A∩C，即x∈A且x∈B 或x∈A且x∈C也即x∈A且x∈B∪C，即x∈S，所以T⊆S．因此T=S．3．对任意三个集合A, B和C，试证明：若A B = A C，且A，则B = C．证明：设x∈A，y∈B，则<x，y>∈A⨯B，因为A⨯B = A⨯C，故<x，y>∈ A⨯C，则有y∈C，所以B⊆ C．设x∈A，z∈C，则<x，z>∈ A⨯C，因为A⨯B = A⨯C，故<x，z>∈A⨯B，则有z∈B，所以C⊆B．故得B=C．4．试证明：若R与S是集合A上的自反关系，则R∩S也是集合A上的自反关系．证明：R1和R2是自反的，∀x∈A，<x, x> ∈R1，<x, x> ∈R2，则<x, x> ∈R1∩R2，所以R1∩R2是自反的．。
《离散数学》第二次在线作业
《离散数学》第⼆次在线作业第⼆次第1题代数系统是指由集合及其上的⼀元或⼆元运算符组成的系统您的答案：正确题⽬分数：0.5此题得分：0.5批注：本题考查代数系统的基本概念第2题设< L,*1,*2> 是代数系统，其中是*1,*2⼆元运算符，如果*1,*2都满⾜交换律、结合律，并且*1和*2满⾜吸收律，则称< L,*1,*2> 是格您的答案：正确题⽬分数：0.5此题得分：0.5批注：本题考查格的基本概念第3题对实数的普通加法和乘法，0是加法的幂等元，1是乘法的幂等元您的答案：正确题⽬分数：0.5此题得分：0.5批注：本题考查幂等元的基本概念第4题零元是不可逆的您的答案：正确题⽬分数：0.5此题得分：0.5批注：本题考查零元的不可逆性第5题群中每个元素的逆元都是惟⼀的您的答案：正确批注：本题考查逆元的惟⼀性第6题设a,b,c是阿贝尔群< G,+> 的元素，则-(a+b+c)=(-a)+( -b)+( -c)您的答案：正确题⽬分数：0.5此题得分：0.5批注：本题考查阿贝尔群的基本概念第7题< {0,1,2,3,4},MAX,MIN> 是格您的答案：正确题⽬分数：0.5此题得分：0.5批注：本题考查格的基本概念第8题⼀个图的哈密尔顿路是⼀条通过图中所有结点⼀次且恰好⼀次的路您的答案：正确题⽬分数：0.5此题得分：0.5批注：本题考查哈密尔顿路的基本概念第9题在有向图中，结点v的出度deg+(v)表⽰以v为起点的边的条数，⼊度deg-(v)表⽰以v为终点的边的条数您的答案：正确题⽬分数：0.5此题得分：0.5批注：本题考查结点的出⼊度的基本概念第10题⼀个图的欧拉回路是⼀条通过图中所有边⼀次且恰好⼀次的回路您的答案：正确题⽬分数：0.5此题得分：0.5批注：本题考查欧拉回路的基本概念第11题不含回路的连通图是树题⽬分数：0.5此题得分：0.5批注：本题考查树的基本概念第12题简单图邻接矩阵主对⾓线上的元素全为0您的答案：正确题⽬分数：0.5此题得分：0.5批注：本题考查简单图邻接矩阵的基本概念第13题树⼀定是连通图您的答案：正确题⽬分数：0.5此题得分：0.5批注：本题考查树和连通图的基本概念第14题⽆向图的邻接矩阵是对称阵您的答案：正确题⽬分数：0.5此题得分：0.5批注：本题考查⽆向图的邻接矩阵的基本性质第15题不与任何结点相邻接的结点称为孤⽴结点您的答案：正确题⽬分数：0.5此题得分：0.5批注：本题考查孤⽴结点的基本概念第16题⼀个⽆向图是⼀个有序的⼆元组< V，E> ,记作G，其中（1）V不为空集，称为顶点集，其元素称为顶点或结点。
离散数学网上作业2
离散数学作业2离散数学集合论部分形成性考核书面作业本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。
．本次形考书面作业是第一次作业，大家要认真及时地完成集合论部分的综合练习作业。
．要求：将此作业用A4纸打印出来，并在03任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，以便教师评分．作业应手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，要求2009年4月5日前完成并后上交任课教师（不收电子稿）。
．并在03任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，以便教师评分。
一、单项选择题1．若集合A ＝{2，a ，{ a }，4}，则下列表述正确的是( B )．A ．{a ，{a }}∈AB ．{ a }⊆AC ．{2}∈AD ．∅∈A2．设B = { {2}, 3, 4, 2}，那么下列命题中错误的是（ B ）．A ．{2}∈B B ．{2, {2}, 3, 4}⊂BC ．{2}⊂BD ．{2, {2}}⊂B3．若集合A ={a ，b ，{ 1，2 }}，B ={ 1，2}，则（ D ）．A ．B ⊂ A B ．A ⊂ BC ．B ∉ AD ．B ∈ A4．设集合A = {1, a }，则P (A ) = ( C )．A ．{{1}, {a }}B ．{∅,{1}, {a }}C ．{∅,{1}, {a }, {1, a }}D ．{{1}, {a }, {1, a }}5．设集合A = {1，2，3}，R 是A 上的二元关系，R ={<a , b >⎢a ∈A ，b ∈ A 且1=-b a }则R 具有的性质为（ B ）．A ．自反的B ．对称的C ．传递的D ．反对称的6．设集合A = {1，2，3，4，5，6 }上的二元关系R ={<a , b >⎢a , b ∈A ，且a =b }，则R 具有的性质为（ D ）．A ．不是自反的B ．不是对称的C ．反自反的D ．传递的7．设集合A ={1 , 2 , 3 , 4}上的二元关系R = {<1 , 1>，<2 , 2>，<2 , 3>，<4 , 4>}，S = {<1 , 1>，<2 , 2>，<2 , 3>，<3 , 2>，<4 , 4>}，则S 是R 的（ C ）闭包．A ．自反B ．传递C ．对称D ．以上都不对8．设集合A ={a , b }，则A 上的二元关系R={<a , a >，<b , b >}是A 上的( D )关系．A ．是等价关系但不是偏序关系B ．是偏序关系但不是等价关系C ．既是等价关系又是偏序关系D ．不是等价关系也不是偏序关系9．设集合A = {1 , 2 , 3 , 4 , 5}上的偏序关系 的哈斯图如右图所示,若A 的子集B = {3 , 4 , 5}，则元素3为B 的（ C ）．A ．下界B ．最大下界C ．最小上界D ．以上答案都不对10．设集合A ={1 , 2, 3}上的函数分别为：f = {<1 , 2>，<2 , 1>，<3 , 3>}，g = {<1 , 3>，<2 , 2>，<3 , 2>}，h = {<1 , 3>，<2 , 1>，<3 , 1>}，则 h =（ A ）．（A ）f ◦g （B ）g ◦f （C ）f ◦f （D ）g ◦g二一、填空题1．设集合{1,2,3},{1,2}A B ==，则A B = A ，A B = B ．21．设集合{1,2,3},{1,2}A B ==，则P (A )-P (B )= {{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}} ，A ⨯B = {<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,1>,<3,2>} ．32．设集合A 有10个元素，那么A 的幂集合P (A )的元素个数为210 ．43．设集合A ={0, 1, 2, 3}，B ={2, 3, 4, 5}，R 是A 到B 的二元关系，},,{B A y x B y A x y x R ⋂∈∈∈><=且且则R 的有序对集合为:{<2,2>,<2,3>,<3,2>,<3,3>}设集合A = {1，2，3，4，5 }，B = {1，2，3}，R 从A 到B 的二元关系，R ={<a , b >⎢a ∈A ，b ∈B 且2≤a + b则R 的有序对集合为:A ⨯B 。
国家开放大学电大本科《离散数学》网络课形考任务2作业及答案
国家开放大学电大本科《离散数学》网络课形考任务2作业及答案此任务2 g选择题题目1 无向完全图K4是()、选择一项：A、树 B、欧拉图 C、汉密尔顿图 D、非平面图题目2 已知一棵无向树T中有8个顶点，4度、3度、2度的分支点各一个，T 的树叶数为()、选择一项： A、4 B、8 C、3 D、5 题目3 设无向图G的邻接矩阵为 011111 0 0111 0 0 0 011 0 011 01 0 则G 的边数为( 选择一项： A、7 B、14 C、6 D、1 题目4 如图一所示，以下说法正确的是()、选择一项： A、 ((a, e), (b, c)｝是边割集 B、｛(a, e)｝是边割集 C、｛（d, e）｝是边割集 D、（（a, e）｝是割边题目5 以下结论正确的是（）、选择一项： A、有n个结点n-l条边的无向图都是树B、无向完全图都是平面图 C、树的每条边都是割边 D、无向完全图都是欧拉图题目6 若G是一个欧拉图，则G一定是（）、选择一项： A、汉密尔顿图 B、连通图 C、平面图 D、对偶图题目7 设图G=, vGV,则下列结论成立的是（）、选择一项：A、云 d做、）=2|% B、2>“ = |司 w C、 deg（v）=2|S| D、deg（v）=|E| 题目8 图G如图三所示，以下说法正确的是（）、选择一项： A、（b, d｝是点割集 B、｛c｝是点割集 C、｛b, c｝是点割集 D、 a是割点题目9 设有向图（a）、（b）、（c）与（d）如图五所示，则下列结论成立的是（）、选择一项： (a)是费连通的 B、 (d)是强连通的 C、 (c)是强连通的D、 (b)是强连通的题目10 设有向图(a)、(b)、(c)与(d)如图六所示，则下列结论成立的是()、选择一项： A、 (b)只是弱连通的 B、 (c)只是弱连通的 C、 (a)只是弱连通的 D、 (d)只是弱连通的判断逝题目11 设图G是有6个结点的连通图，结点的总度数为18,则可从G中删去4条边后使之变成树、()选择一项：对错题目12 汉密尔顿图一定是欧拉图、()选择一项：对错题目13 设连通平面图G的结点数为5,边数为6,则面数为4、()选择一项：对错题目14 设G是一个有7个结点16条边的连通图，则G为平面图、()选择一项：对错题目15 如图八所示的图G存在一条欧拉回路、()选择一项：对错题目16 设图G如图七所示，则图G的点割集是{f}、()选择一项：对错题目172>瞒)=2圜设G是一个图，结点集合为V,边集合为E,则代衫()选择一项：对错题目18 设图G是有5个结点的连通图，结点度数总和为10,则可从G中删去6条边后使之变成树、()选择一项：对错题目19 如图九所示的图G不是欧拉图而是汉密尔顿图、()选择一项：对错题目20 若图 G=,其中 V=( a, b, c, d }, E={ (a, b), (a, d), (b, c), (b, d)},则该图中的割边为(b, c)、()选择一项：对。
国家开放大学电大本科《离散数学》网络课形考任务2作业及答案
A. 有n个结点n－1条边的无向图都是树
B. 无向完全图都是平面图
C. 树的每条边都是割边
D. 无向完全图都是欧拉图
题目6
若G是一个欧拉图，则G一定是( )．
选择一项：
A. 汉密尔顿图
B. 连通图
C. 平面图
D. 对偶图
题目7
设图G＝<V, E>，v∈V，则下列结论成立的是 ( ) ．
选择一项：
选择一项：
对
错
题目17
设G是一个图，结点集合为V，边集合为E，则 ( )
选择一项：
对
错
题目18
设图G是有5个结点的连通图，结点度数总和为10，则可从G中删去6条边后使之变成树．( )
选择一项：
对
错
题目19
如图九所示的图G不是欧拉图而是汉密尔顿图．( )
选择一项：
对
错
题目20
若图G=<V, E>，其中V={ a, b, c, d }，E={ (a, b), (a, d),(b, c), (b, d)}，则该图中的割边为(b, c)．( )
题目8
图G如图三所示，以下说法正确的是 ( )．
选择一项：
A. {b, d}是点割集
B. {c}是点割集
C. {b, c}是点割集
D. a是割点
题目9
设有向图（a）、（b）、（c）与（d）如图五所示，则下列结论成立的是( )．
选择一项：
A. （a）是强连通的
B. （d）是强连通的
C. （c）是强连通的
选择一项：
对
错
题目12
汉密尔顿图一定是欧拉图．( )
选择一项：
对
农大在线业_离散数学(第2版)_在线作业_2
离散数学(第2版)_在线作业_2一、单选题（每题5分，共20道小题，总分值100分）1.设R是实数集合，R上的运算*定义为，则为()。
（5分）A半群B代数系统C非代数系统D群正确答案您的答案是B回答正确展开2.无向图G具有一条欧拉回路，则G中所有点的度数都是()。
（5分）A偶数B1C奇数D素数正确答案您的答案是A回答正确展开3.下列语句中不是命题的是()。
（5分）明天是个阴天请不要生气！3是素数昨天是星期四正确答案您的答案是B回答正确展开4.谓词公式中变元()。
（5分）A不是自由出现，是约束出现B既不是自由出现又不是约束出现C是自由出现，不是约束出现D既是自由出现又是约束出现正确答案您的答案是D回答正确展开5.设上的关系，则R的定义域等于()。
（5分）ABCD正确答案您的答案是A回答正确展开6.集合的交运算不满足()。
（5分）A交换律B幂等律C结合律D消去律正确答案您的答案是D回答正确展开7.集合的并运算不满足()。
（5分）A幂等律B交换律C消去律D结合律正确答案您的答案是C回答正确展开8.设，下面命题为假的是()。
（5分）ABCD正确答案您的答案是B回答正确展开9.前提，，的逻辑结论不会是()。
（5分）ABCD正确答案您的答案是C回答正确展开10.下列是谓词公式的是()。
（5分）ABCD正确答案您的答案是B回答正确展开11.下列语句中是命题的是()。
（5分）A请不要随地吐痰B我真快乐！C今天是阴天D你身体好吗？正确答案您的答案是C回答正确展开12.下列公式是前束范式的是()。
（5分）ABCD正确答案您的答案是B回答正确展开13.设和都是A上的双射函数，则为()。
（5分）ABCD正确答案您的答案是D回答错误展开( 应该选B )14.设R是实数集合，函数，和,则复合函数是()。
（5分）ABCD正确答案您的答案是D回答正确展开15.下列公式是非永真式的可满足式的是()。
（5分）ABCD正确答案您的答案是B回答正确展开16.设上的关系，则R具有性质()。
离散数学形成性考核作业2答案
1. 若集合A＝{ a，{a}，{1，2}}，则下列表述正确的是( )．A. {a，{a}}AB. {1，2}AC. {a}AD. A2. 设A、B是两个任意集合，侧A-B = Ø⇔( )．A. A=BB. A⊆BC. A⊇BD. B=Ø3. 集合A={1, 2, 3, 4}上的关系R={<x，y>|x<y且x, y A}，则R的性质为（）．A. 不是自反的B. 不是对称的C. 传递的D. 反自反的4. 设集合A={1,2,3,4},R是A上的二元关系，其关系矩阵为则R的关系表达式是( )．A. {<1, 1>，<1, 4>，<2, 1>，<3, 4>，<4,1>}B. {<1, 1>，<1, 2>，<1, 4>，<4, 1>，<4, 3>}C. {<1, 1>，<2, 1>，<4, 1>，<4, 3>，<1, 4>}D. {<1, 1>，<1, 2>，<2, 4>，<4, 1>，<4, 3>}5. 设集合A={1 , 2 , 3 , 4}上的二元关系R={<1, 1>，<2, 2>，<2, 3>，<4, 4>}，S={<1, 1>，<2, 2>，<2, 3>，<3, 2>，<4, 4>}，则S是R的（）闭包．A. 自反B. 传递C. 对称D. 自反和传递6. 设A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，R是A上的整除关系，B ={2, 4, 6}，则集合B的最大元、最小元、上界、下界依次为 ( )．A. 8、2、8、2B. 8、1、6、1C. 6、2、6、2D. 无、2、无、27. 若集合A＝{ a，{a}}，则下列表述正确的是( )．A. {a}AB. {{{a}}}AC. {a，{a}}AD. A8. 若集合A的元素个数为10，则其幂集的元素个数为（）．A. 1024B. 10C. 100D. 19. 集合A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}上的关系R={<x，y>|x+y<10且x, y A}，则R的性质为（）．A. 自反的B. 对称的C. 传递且对称的D. 反自反且传递的10. 设集合A={a}，则A的幂集为( )．A. {{a}}B. {a，{a}}C. {，{a}}D. {，a}11. 设A={a, b}，B={1, 2}，R1，R2，R3是A到B的二元关系，且R1={<a，2>, <b，2>}，R2={<a，1>, <a，2>, <b，1>}，R3={<a，1>, <b，2>}，则（）不是从A到B的函数．A. R1B. R2C. R3D. R1和R312. 如果R1和R2是A上的自反关系，则R1∪R2，R1∩R2，R1-R2中自反关系有（）个．A. 0B. 2C. 1D. 313. 若集合A={1，2}，B={1，2，{1，2}}，则下列表述正确的是( )．A. A B，且A BB. B A，且A BC. A B，且A BD. A B，且A B14. 设集合A = {1, a }，则P(A) = ( )．A. {{1}, {a}}B. {,{1}, {a}}C. {{1}, {a}, {1, a }}D. {,{1}, {a}, {1, a }}15. 设A ={a，b，c}，B ={1，2}，作f：A→B，则不同的函数个数为．A. 2B. 3C. 6D. 816. 若集合A＝{2，a，{ a }，4}，则下列表述正确的是( )．A. {a，{ a }}∈AB. Ø∈AC. {2}∈AD. { a }⊆A17. 设集合A = {1, 2, 3, 4, 5}上的偏序关系的哈斯图如右图所示，若A的子集B = {3, 4, 5}，则元素3为B的（）．A. 下界B. 最小上界C. 最大下界D. 最小元18. 若集合A＝{ a，{a}，{1，2}}，则下列表述正确的是( )．A. {a，{a}}AB. {1，2}AC. {a}AD. A19. 设函数f：N→N，f(n)=n+1，下列表述正确的是（）．A. f存在反函数B. f是双射的C. f是满射的D. f是单射函数20. 设集合A ={1 , 2, 3}上的函数分别为：f = {<1, 2>，<2, 1>，<3, 3>}，g = {<1, 3>，<2, 2>，<3, 2>}，h = {<1, 3>，<2, 1>，<3, 1>}，则h=（）．A. f◦gB. g◦fC. f◦fD. g◦g21. 设集合A ={1，2，3，4，5}，偏序关系≤是A上的整除关系，则偏序集<A，≤>上的元素5是集合A的（）．A. 最大元B. 最小元C. 极大元D. 极小元。
国家开发大学(电大)离散数学形考任务二部分答案
不正确
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题干
已知一棵无向树T中有8个顶点，4度、3度、2度的分支点各一个，T的树叶数为()．
选择一项：
A.8
B.3
C.4
D.5
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你的回答不正确
正确答案是：5
题目
未回答
满分5.00
标记题目
题干
图G如图四所示，以下说法正确的是( )．
C.{(a, d)}是割边
D.{(a, d ) ,( b, d)}是边割集反馈
选择一项：
A.( P∧Q)∨(P∨Q)
B.( P∨Q)
C.( P∧Q)
D.┐(┐P∧┐Q)
反馈
你的回答不正确
正确答案是：(P∨Q)
前提条件 的有效结论是()．
选择一项：
A.┐P
B.Q
C.┐Q
D.P
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你的回答不正确
正确答案是：┐Q
设命题公式G：，则使公式G取真值为1的P，Q，R赋值分
别是( )．
选择一项：
对
错
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正确的答案是“错”
设A(x)：x是人，B(x)：x是教师，则命题“有人是教师 ”可符号化为( ) 选择一项：
A.
B.
C.
D.
反馈
你的回答正确
正确答案是： 命题公式(P∨Q)→R的析取范式是()． 选择一项：
A.(┐P∧┐Q)∨R
B.┐(P∨Q)∨R
C.( P∨Q)∨R
D. ( P正确
获得5.00分中的0.00分 标记题目
题干 如图二所示，以下说法正确的是()．
图二
选择一项：
A.{d}是点割集
B.e是割点
离散数学作业 (2)
离散数学作业布置第1次作业（P15）1.16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。
解：（1）p∨(q∧r)=0∨(0∧1)=0（2）（p↔r）∧(﹁q∨s)=（0↔1）∧(1∨1)=0∧1 =0（3）（﹁p∧﹁q∧r）↔(p∧q∧﹁r)=（1∧1∧1）↔ (0∧0∧0)=0(4)（r∧s）→(p∧q)=（0∧1）→(1∧0)=0→0=11.17 判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。
并且，如果3是无理数，则2也是无理数。
另外只有6能被2整除，6才能被4整除。
”解：p: π是无理数 1q: 3是无理数0r: 2是无理数 1s:6能被2整除 1t: 6能被4整除0命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。
1.19 用真值表判断下列公式的类型：（4）(p→q) →(﹁q→﹁p)（5）(p∧r) ↔ (﹁p∧﹁q)（6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r)解：（4）p q p→q q p q→p (p→q)→( q→p)0 0 1 1 1 1 10 1 1 0 1 1 11 0 0 1 0 0 11 1 1 0 0 1 1所以公式类型为永真式，最后一列全为1（5）公式类型为可满足式（方法如上例），最后一列至少有一个1（6）公式类型为永真式（方法如上例，最后一列全为1）。
第2次作业（P38）2.3 用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.(1) ﹁(p∧q→q)(2)(p→(p∨q))∨(p→r)(3)(p∨q)→(p∧r)解：(1) ﹁(p∧q→q) ⇔﹁(﹁(p∧q) ∨q) ⇔(p∧q) ∧﹁q⇔p∧(q ∧﹁q) ⇔ p∧0 ⇔0所以公式类型为矛盾式(2)（p→(p∨q)）∨(p→r) ⇔ (﹁p∨(p∨q))∨(﹁p∨r) ⇔﹁p∨p∨q∨r⇔1所以公式类型为永真式(3) (p∨q) → (p∧r) ⇔￢(p∨q) ∨ (p∧r) ⇔ (￢p∧￢q) ∨(p∧r)易见, 是可满足式, 但不是重言式. 成真赋值为: 000,001, 101, 111P q r ￢p∧￢q p∧r (￢p∧￢q) ∨(p∧r)0 0 0 1 0 10 0 1 1 0 10 1 0 0 0 00 1 1 0 0 01 0 0 0 0 01 0 1 0 1 11 1 0 0 0 01 1 1 0 1 1所以公式类型为可满足式2.4 用等值演算法证明下面等值式：(2) ( (p→q)∧(p→r) ) ⇔ (p→(q∧r))(4)(p∧﹁q)∨(﹁p∧q) ⇔ (p∨q)∧﹁(p∧q)证明（2）(p→q)∧(p→r)⇔( ﹁p∨q)∧(﹁p∨r)⇔﹁p∨(q∧r))⇔p→(q∧r)（4）(p∧﹁q)∨(﹁p∧q) ⇔(p∨(﹁p∧q)) ∧(﹁q∨(﹁p∧q) )⇔ (p∨﹁p)∧(p∨q)∧(﹁q∨﹁p) ∧(﹁q∨q)⇔1∧(p∨q)∧(﹁p∨﹁q)∧1⇔ (p∨q)∧﹁(p∧q)第3次作业（P38）2.5 求下列公式的主析取范式, 并求成真赋值:(1)( ￢p→q) →(￢q∨p)(2) (￢p→q) ∧q∧r(3)(p∨(q∧r)) →(p∨q∨r)(4) ￢(p→q) ∧q∧r解：(1)(￢p→q) →(￢q∨p)⇔￢(p∨q) ∨(￢q∨p)⇔￢p∧￢q ∨￢q ∨p⇔￢q ∨p (吸收律)⇔ (￢p∨p)∧￢q ∨p∧(￢q∨q)⇔￢p∧￢q∨p∧￢q ∨p∧￢q ∨p∧q⇔m0∨m2∨m2∨m3⇔m0∨m2∨m3成真赋值为00, 10, 11.(2) (￢p→q) ∧q∧r⇔ (p∨q) ∧q∧r⇔ (p∧q∧r) ∨q∧r⇔ (p∧q∧r) ∨(￢p ∨p) ∧q∧r⇔p∧q∧r∨￢p ∧q∧r∨p∧q∧r⇔m3∨m7成真赋值为011，111.(3) (p∨(q∧r)) →(p∨q∨r)⇔￢(p∨(q∧r)) ∨(p∨q∨r)⇔￢p∧￢(q∧r) ∨(p∨q∨r)⇔￢p∧(￢q∨￢r)∨(p∨q∨r)⇔￢p∧￢q∨￢p∧￢r∨p∨q∨r⇔￢p∧￢q∧(r∨￢r)∨￢p∧(q∨￢q)∧￢r∨p∧(q∨￢q) ∧(r∨￢r) ∨ (p∨￢p) ∧q∧(r∨￢r)∨(p∨￢p) ∧(q∨￢q) ∧r⇔m0∨m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m6∨m7, 为重言式.(4) ￢(p→q) ∧q∧r⇔￢(￢p∨q) ∧q∧r⇔ (p∧￢q) ∧q∧r⇔ p∧(￢q ∧q)∧r⇔0主析取范式为0, 无成真赋值, 为矛盾式.第4次作业（P38）2.6 求下列公式的主合取范式, 并求成假赋值:(1) ￢(q→￢p) ∧￢p(2)(p∧q) ∨ (￢p∨r)(3)(p→(p∨q)) ∨r解：(1) ￢(q→￢p) ∧￢p⇔￢(￢q∨￢p) ∧￢p⇔q∧p ∧￢p⇔q∧0⇔0⇔M0∧M1∧M2∧M3这是矛盾式. 成假赋值为00, 01, 10, 11.(2)(p∧q) ∨ (￢p∨r)⇔(p∧q) ∨￢p∨r⇔(p∨￢p)∧(￢p ∨q)∨r⇔ (￢p ∨q)∨r⇔￢p ∨q∨r⇔M4, 成假赋值为100.(3)(p→(p∨q)) ∨r⇔(￢p∨(p∨q)) ∨r⇔(￢p∨p)∨q ∨r⇔1主合取范式为1, 为重言式.2.32 用消解原理证明下述公式是矛盾式:(1) (￢p∨q) ∧ (￢p∨r) ∧ (￢q∨￢r) ∧ (p∨￢r) ∧r(2) ￢((p∨q) ∧￢p→q)解：(1) (￢p∨q) ∧ (￢p∨r) ∧ (￢q∨￢r) ∧ (p∨￢r) ∧r第一次循环S0=Φ, S1=｛￢p∨q,￢p∨r,￢q∨￢r,p∨￢r,r｝, S2=Φ由￢p∨r, p∨￢r消解得到λ输出“no”，计算结束(2) ￢((p∨q) ∧￢p→q)⇔￢(￢((p∨q) ∧￢p) ∨q)⇔((p∨q) ∧￢p) ∧￢q⇔ (p∨q) ∧￢p ∧￢q第一次循环S0=Φ, S1=｛p∨q,￢p, ￢q｝, S2=Φ由p∨q,￢p消解得到q,由q, ￢q消解得到λ,输出“no”，计算结束2.33 用消解法判断下述公式是否可满足的:(1) p∧ (￢p∨￢q) ∧q(2) (p∨q) ∧(p∨￢q) ∧(￢p∨ r)解：(1) p∧ (￢p∨￢q) ∧q第一次循环S0=Φ, S1=｛p, ￢p∨￢q, q｝, S2=Φ由p, ￢p∨￢q消解得到￢q,由q, ￢q消解得到λ,输出“no”，计算结束(2) (p∨q) ∧(p∨￢q) ∧(￢p∨ r)第一次循环S0=Φ, S1=｛p∨q, p∨￢q, ￢p∨ r｝, S2=Φ由p∨q, p∨￢q消解得到p,由p∨q, ￢p∨ r消解得到q ∨r,由p∨￢q, ￢p∨ r消解得到￢q ∨r,由p, ￢p∨ r消解得到r,S2=｛p, q ∨r, ￢q ∨r, r｝第二次循环S0=｛p∨q, p∨￢q, ￢p∨ r｝, S1=｛p, q ∨r, ￢q ∨r, r｝, S2=Φ由p∨q, ￢q ∨r消解得到p∨r,由p∨￢q, q ∨r消解得到p∨r,由p∨￢q, q ∨r消解得到p∨r,由￢p∨ r, p 消解得到r,S2=｛p∨r｝第三次循环S0=｛p, q ∨r, ￢q ∨r, r｝, S1=｛p∨r｝, S2=ΦS2=Φ输出“yes”，计算结束3.6 判断下面推理是否正确. 先将简单命题符号化, 再写出前提, 结论, 推理的形式结构(以蕴涵式的形式给出)和判断过程(至少给出两种判断方法):(1)若今天是星期一, 则明天是星期三；今天是星期一. 所以明天是星期三.(2)若今天是星期一, 则明天是星期二；明天是星期二. 所以今天是星期一.(3)若今天是星期一, 则明天是星期三；明天不是星期三. 所以今天不是星期一.(4)若今天是星期一, 则明天是星期二；今天不是星期一. 所以明天不是星期二.(5)若今天是星期一, 则明天是星期二或星期三. 今天是星期一. 所以明天是星期二.(6)今天是星期一当且仅当明天是星期三；今天不是星期一. 所以明天不是星期三.设p: 今天是星期一, q: 明天是星期二, r: 明天是星期三.(1)推理的形式结构为(p→r) ∧p→r此形式结构为重言式, 即(p→r) ∧p⇒r所以推理正确.(2)推理的形式结构为(p→q) ∧q→p此形式结构不是重言式, 故推理不正确.(3)推理形式结构为(p→r) ∧￢r→￢p此形式结构为重言式, 即(p→r) ∧￢r⇒￢p故推理正确.(4)推理形式结构为(p→q) ∧￢p→￢q此形式结构不是重言式, 故推理不正确.(5)推理形式结构为(p→(q∨r) )∧p →q它不是重言式, 故推理不正确.(6)推理形式结构为(p↔r) ∧￢p→￢r此形式结构为重言式, 即(p↔r) ∧￢p⇒￢r故推理正确.推理是否正确, 可用多种方法证明. 证明的方法有真值表法, 等值演算法. 证明推理正确还可用构造证明法.下面用等值演算法和构造证明法证明(6)推理正确.1. 等值演算法(p↔r) ∧￢p→￢r⇔(p→r) ∧(r→p)∧￢p→￢r⇔￢((￢p∨r) ∧(￢r∨p)∧￢p) ∨￢r⇔￢(￢p∨r) ∨￢(￢r∨p) ∨p ∨￢r⇔(p∧￢r)∨(r∧￢p)∨p ∨￢r⇔ (r∧￢p)∨p ∨￢r 吸收律⇔ (r∧￢p)∨￢（￢p ∨r）德摩根律⇔1即(p↔r) ∧￢p⇒￢r故推理正确2.构造证明法前提: (p↔r), ￢p结论: ￢r证明:①p↔r 前提引入②(p→r) ∧(r→p) ①置换③r→p ②化简律④￢p 前提引入⑤￢r ③④拒取式所以, 推理正确.第7次作业（P53-54）3.15 在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理: (1)前提: p→(q→r), s→p, q结论: s→r(2)前提: (p∨q) →(r∧s), (s∨t) →u结论: p→u(1)证明:①s 附加前提引入②s→p 前提引入③p ①②假言推理④p→(q→r) 前提引入⑤q→r ③④假言推理⑥q 前提引入⑦r ⑤⑥假言推理(2)证明:①P 附加前提引入②p∨q ①附加③(p∨q) →(r∧s) 前提引入④r∧s ②③假言推理⑤S ④化简⑥s∨t ⑤附加⑦(s∨t) →u 前提引入⑧u ⑥⑦假言推理3.16 在自然推理系统P中用归谬法证明下面推理:(1)前提: p→￢q, ￢r∨q, r∧￢s结论: ￢p(2)前提: p∨q, p→r, q→s结论: r∨s(1)证明:①P 结论否定引入②p→￢q 前提引入③￢q ①②假言推理④￢r∨q 前提引入⑤￢r ③④析取三段论⑥r∧￢s 前提引入⑦r ⑥化简规则⑧￢r∧r ⑤⑦合取引入规则⑧为矛盾式, 由归谬法可知, 推理正确.(2)证明:①￢(r∨s) 结论否定引入②p∨q 前提引入③p→r 前提引入④q→s 前提引入⑤(p→r) ∧(q→s) ∧(p∨q) ②③④合取引入规则⑥r∨s ⑤构造性二难⑦(r∨s) ∧￢(r∨s) ④⑤合取引入规则⑦为矛盾式, 所以推理正确.第8次作业（P65-66）4.5 在一阶逻辑中将下列命题符号化:(1)火车都比轮船快.(2)有的火车比有的汽车快.(3)不存在比所有火车都快的汽车.(4)“凡是汽车就比火车慢”是不对的.解：因为没指明个体域, 因而使用全总个体域(1) ∀x∀y(F(x) ∧G(y) →H(x,y))其中, F(x): x 是火车, G(y): y 是轮船, H(x,y):x 比y 快.(2) ∃x∃y(F(x) ∧G(y) ∧H(x,y))其中, F(x): x 是火车, G(y): y 是汽车, H(x,y):x 比y 快.(3) ￢∃x(F(x) ∧∀y(G(y) →H(x,y)))或∀x(F(x) →∃y(G(y) ∧￢H(x,y)))其中, F(x): x 是汽车, G(y): y 是火车, H(x,y):x 比y 快.(4) ￢∀x∀y(F(x) ∧G(y) →H(x,y))或∃x∃y(F(x) ∧G(y) ∧￢H(x,y) )其中, F(x): x 是汽车, G(y): y 是火车, H(x,y):x 比y 慢.4.9 给定解释I 如下:(a)个体域为实数集合R.(b)特定元素a=0.(c)特定函数-f(x,y)=x-y, x,y∈R.(d)谓词-F(x,y): x=y,-G(x,y): x<y, x,y∈R.给出下列公式在I 下的解释, 并指出它们的真值:(1) ∀x∀y(G(x,y) →￢F(x,y))(2) ∀x∀y(F(f(x,y),a) →G(x,y))(3) ∀x∀y(G(x,y) →￢F(f(x,y),a))(4) ∀x∀y(G(f(x,y),a) →F(x,y))解：(1) ∀x∀y(x<y→x≠y), 真值为1.(2) ∀x∀y((x-y=0) →(x<y)), 真值为0.(3) ∀x∀y((x<y) → (x-y≠0)), 真值为1.(4) ∀x∀y((x-y<0) → (x=y)), 真值为0.第9次作业（P79-80）5.5 给定解释I如下:(a) 个体域D={3,4}；(b)-f(x)：-f(3)=4,-f(4)=3；(c)-F(x,y)：-F(3,3)=-F(4,4)=0,-F(3,4)=-F(4,3)=1.试求下列公式在I下的真值:(1) ∀x∃yF(x,y)(2) ∃x∀yF(x,y)(3)∀x∀y(F(x,y)→F(f(x),f(y)))解：(1)∀x∃yF(x,y)⇔ (F(3,3)∨F(3,4))∧(F(4,3)∨F(4,4))⇔ (0∨1)∧(1∨0) ⇔ 1(2)∃x∀yF(x,y)⇔ (F(3,3)∧F(3,4))∨(F(4,3)∧F(4,4))⇔ (0∧1)∨(1∧0) ⇔ 0(3)∀x∀y(F(x,y)→F(f(x),f(y)))⇔ (F(3,3)→F(f(3),f(3)))∧(F(4,3)→F(f(4),f(3)))∧(F(3,4)→F(f(3),f(4)))∧(F(4,4)→F(f(4),f(4)))⇔ (0→0)∧(1→1)∧(1→1)∧(0→0) ⇔15.12 求下列各式的前束范式.(1)∀xF(x)→∀yG(x, y)(3)∀xF(x, y) ↔∃xG(x, y)(5) ∃x1F(x1, x2)→(F(x1)→￢∃x2G(x1, x2)).解：前束范式不是唯一的.(1) ∀xF(x)→∀yG(x, y)⇔∃x (F(x)→∀yG(t, y))⇔∃x∀y(F(x)→G(t, y)).(3) ∀xF(x, y) ↔∃xG(x, y)⇔ (∀xF(x, y)→∃xG(x, y))∧(∃xG(x, y)→∀xF(x, y))⇔ (∀xF(x, y)→∃uG(u, y))∧(∃xG(x, y)→∀vF(v, y)) ⇔∃x∃u(F(x, y)→G(u, y))∧∀x∀v(G(x, y)→F(v, y))⇔∃x∃u(F(x, y)→G(u, y))∧∀w∀v(G(w, y)→F(v, y)) ⇔∃x∃u∀w∀v ((F(x, y)→G(u, y))∧(G(w, y)→F(v, y))) (5)∃x1F(x1, x2)→(F(x1)→￢∃x2G(x1, x2))⇔∃x1F(x1, x2)→(F(x1)→∀x2￢G(x1, x2))⇔∃x1F(x1, x2)→∀x2(F(x1)→￢G(x1, x2))⇔∃x1F(x1, x3)→∀x2(F(x4)→￢G(x4, x2))⇔∀x1(F(x1, x3)→∀x2(F(x4)→￢G(x4, x2)))⇔∀x1∀x2 (F(x1, x3)→(F(x4)→￢G(x4, x2)))第10次作业（P79-80）5.15 在自然推理系统F L中,构造下面推理的证明:(1) 前提: ∃xF(x) →∀y((F(y)∨G(y))→R(y)),∃xF(x) 结论:∃xR(x).(2) 前提:∀x(F(x)→(G(a)∧R(x))),∃xF(x)结论:∃x(F(x)∧R(x))(3) 前提:∀x(F(x)∨G(x)),￢∃xG(x)结论:∃xF(x)(4) 前提:∀x(F(x)∨G(x)),∀x(￢G(x)∨￢R(x)),∀xR(x)结论: ∃xF(x)(1)证明:①∃xF(x) →∀y((F(y)∨G(y))→R(y)) 前提引入②∃xF(x) 前提引入③∀y((F(y)∨G(y))→R(y)) ①②假言推理④(F(c)∨G(c))→R(c) ③全称量词消去规则⑤F(c) ①存在量词消去规则⑥F(c) ∨G(c) ⑤附加⑦R(c) ④⑥假言推理⑧∃xR(x) ⑦存在量词引入规则(2) 证明:①∃xF(x) 前提引入②F(c) ①存在量词消去规则③∀x(F(x)→(G(a)∧R(x))) 前提引入④F(c)→(G(a)∧R(c)) ④全称量词消去规则⑤G(a)∧R(c) ②④假言推理⑥R(c) ⑤化简⑦F(c)∧R(c) ②⑥合取引入⑧∃x(F(x)∧R(x)) ⑦存在量词引入规则(3) 证明:①￢∃xG(x) 前提引入②∀x￢G(x) ①置换③￢G(c) ②全称量词消去规则④∀x(F(x)∨G(x)) 前提引入⑤F(c)∨G(c) ④全称量词消去规则⑥F(c) ③⑤析取三段论⑦∃xF(x) ⑥存在量词引入规则(4) 证明:①∀x(F(x)∨G(x)) 前提引入②F(y)∨G(y) ①全称量词消去规则③∀x(￢G(x)∨￢R(x)) 前提引入④￢G(y) ∨￢R(y) ③全称量词消去规则⑤∀xR(x) 前提引入⑥R(y) ⑤全称量词消去规则⑦￢G(y) ④⑥析取三段论⑧F(y) ②⑦析取三段论⑥∃xF(x) ⑧存在量词引入规则第11次作业（P96）6.4. 设F 表示一年级大学生的集合, S 表示二年级大学生的集合, M表示数学专业学生的集合, R 表示计算机专业学生的集合, T表示听离散数学课学生的集合, G 表示星期一晚上参加音乐会的学生的集合, H 表示星期一晚上很迟才睡觉的学生的集合. 问下列各句子所对应的集合表达式分别是什么? 请从备选的答案中挑出来.(1)所有计算机专业二年级的学生在学离散数学课.(2)这些且只有这些学离散数学课的学生或者星期一晚上去听音乐会的学生在星期一晚上很迟才睡觉.(3)听离散数学课的学生都没参加星期一晚上的音乐会.(4)这个音乐会只有大学一, 二年级的学生参加.(5)除去数学专业和计算机专业以外的二年级学生都去参加了音乐会.备选答案:①T⊆G∪H ②G∪H⊆T ③S∩R⊆T④H＝G∪T ⑤T∩G＝∅⑥F∪S⊆G⑦G⊆F∪S ⑧S-(R∪M) ⊆G ⑥G⊆S-(R∩M)解:(1) ③S∩R⊆T(2) ④H=G∪T(3) ⑤T∩G=∅(4) ⑦G⊆F∪S(5) ⑧S-(R∪M)⊆G6.5. 确定下列命题是否为真:(1) ∅⊆∅(2) ∅∈∅(3) ∅⊆{∅}(4)∅∈{∅}(5){a, b}⊆{a, b, c, {a, b, c}}(6){a, b}∈{a, b, c, {a, b }}(7){a, b}⊆{a, b, {{a, b}}}(8){a, b}∈{a, b, {{a, b}}}解:(1) 真(2)假(3) 真(4) 真(5) 真(6) 真(7) 真(8) 假第12次作业（P130-131）7.1. 已知A={∅,{∅}},求A×P(A).解:A×P(A)= {∅,{∅}}×{∅,{∅},{{∅}},{∅,{∅}}}={<∅, ∅>,<∅,{∅}>,<∅,{{∅}}>,<∅,{∅,{∅}}>,<{∅},∅>,<{∅},{∅}>,<{∅},{{∅}}>, <{∅},{∅,{∅}}>}7.7. 列出集合A={2, 3, 4}上的恒等关系I A, 全域关系E A, 小于或等于关系L A, 整除关系D A.解:I A={<2,2>,<3,3>,<4,4>}E A=A×A={<2,2>,<2,3>,<2,4>,<3,2>,<3,3>,<3,4>,<4,2>,<4,3>,<4,4>}L A={<2,2>,<2,3>,<2,4>,<3,3>,<3,4>,<4,4>}D A={<2,2>,<2,4>,<3,3>,<4,4>}7.12.设A={0, 1, 2, 3}, R 是A 上的关系, 且R={〈0, 0〉, 〈0, 3〉, 〈2, 0〉, 〈2, 1〉, 〈2, 3〉, 〈3, 2〉}给出R 的关系矩阵和关系图.解:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0010110100001001第13次作业（P131）7.13.设A = {〈1, 2〉, 〈2, 4〉, 〈3, 3〉}B = {〈1, 3〉, 〈2, 4〉, 〈4, 2〉}求A ∪B , A ∩B , dom A , dom(A ∪B ), ran A , ran B , ran(A ∩B ), fld(A −B ).解:A ∪B={〈1,2〉, 〈1,3〉, 〈2,4〉, 〈3,3〉, 〈4,2〉} A∩B={〈2,4〉} domA={1,2,3}dom(A ∪B)={1,2,3,4} ranA={2,3,4} ranB={3,4,2}ran(A∩B)={4}fld(A−B)={1,2,3}7.15.设A={〈∅,{∅,{∅}}〉,〈{∅},∅〉}求A −1,A 2,A 3,A ↾{∅},A[∅],A↾∅,A ↾{{∅}},A[{{∅}}].解:A −1={〈{∅,{∅}},∅〉,〈∅,{∅}〉},A 2={〈{∅},{∅,{∅}}〉},A 3=∅,A ↾{∅}={〈∅,{∅,{∅}}〉},A[∅]={∅,{∅}},A ↾∅=∅,A ↾{{∅}}={〈{∅},∅〉},A[{{∅}}]=∅7.16.设A={a,b,c,d}, R1,R2 为A 上的关系, 其中R 1={〈a,a〉,〈a,b〉,〈b,d〉}R 2={〈a,d〉,〈b,c〉,〈b,d〉,〈c,b〉}求R 1○R 2, R 2○R 1,R 12,R 23.解:R 1○R 2={〈a,a〉,〈a,c〉,〈a,d〉},R 2○R 1={〈c,d〉},R 12={〈a,a〉,〈a,b〉,〈a,d〉},R 23={〈b,c〉,〈b,d〉,〈c,b〉} 0 1 237.17.设A={a,b,c}, 试给出A 上两个不同的关系R 1和R 2,使得 R 12=R 1, R 23=R 2.解:R 1={〈a,a〉,〈b,b〉},R 2={〈b,c〉,〈c,b〉}第14次作业（P131-133）7.21. 设A={1，2，…,10},定义A 上的关系R={<x,y>|x,y ∈A ∧x+y=10}说明R 具有哪些性质并说明理由。
国家开放大学电大本科《离散数学》网络课形考任务2作业及答案
国家开放大学电大本科《离散数学》网络课形考任务2作业及答案此任务2 g选择题题目1 无向完全图K4是()、选择一项：A、树 B、欧拉图 C、汉密尔顿图 D、非平面图题目2 已知一棵无向树T中有8个顶点，4度、3度、2度的分支点各一个，T 的树叶数为()、选择一项： A、4 B、8 C、3 D、5 题目3 设无向图G的邻接矩阵为 011111 0 0111 0 0 0 011 0 011 01 0 则G 的边数为( 选择一项： A、7 B、14 C、6 D、1 题目4 如图一所示，以下说法正确的是()、选择一项： A、 ((a, e), (b, c)｝是边割集 B、｛(a, e)｝是边割集 C、｛（d, e）｝是边割集 D、（（a, e）｝是割边题目5 以下结论正确的是（）、选择一项： A、有n个结点n-l条边的无向图都是树B、无向完全图都是平面图 C、树的每条边都是割边 D、无向完全图都是欧拉图题目6 若G是一个欧拉图，则G一定是（）、选择一项： A、汉密尔顿图 B、连通图 C、平面图 D、对偶图题目7 设图G=, vGV,则下列结论成立的是（）、选择一项：A、云 d做、）=2|% B、2>“ = |司 w C、 deg（v）=2|S| D、deg（v）=|E| 题目8 图G如图三所示，以下说法正确的是（）、选择一项： A、（b, d｝是点割集 B、｛c｝是点割集 C、｛b, c｝是点割集 D、 a是割点题目9 设有向图（a）、（b）、（c）与（d）如图五所示，则下列结论成立的是（）、选择一项： (a)是费连通的 B、 (d)是强连通的 C、 (c)是强连通的D、 (b)是强连通的题目10 设有向图(a)、(b)、(c)与(d)如图六所示，则下列结论成立的是()、选择一项： A、 (b)只是弱连通的 B、 (c)只是弱连通的 C、 (a)只是弱连通的 D、 (d)只是弱连通的判断逝题目11 设图G是有6个结点的连通图，结点的总度数为18,则可从G中删去4条边后使之变成树、()选择一项：对错题目12 汉密尔顿图一定是欧拉图、()选择一项：对错题目13 设连通平面图G的结点数为5,边数为6,则面数为4、()选择一项：对错题目14 设G是一个有7个结点16条边的连通图，则G为平面图、()选择一项：对错题目15 如图八所示的图G存在一条欧拉回路、()选择一项：对错题目16 设图G如图七所示，则图G的点割集是{f}、()选择一项：对错题目172>瞒)=2圜设G是一个图，结点集合为V,边集合为E,则代衫()选择一项：对错题目18 设图G是有5个结点的连通图，结点度数总和为10,则可从G中删去6条边后使之变成树、()选择一项：对错题目19 如图九所示的图G不是欧拉图而是汉密尔顿图、()选择一项：对错题目20 若图 G=,其中 V=( a, b, c, d }, E={ (a, b), (a, d), (b, c), (b, d)},则该图中的割边为(b, c)、()选择一项：对。
离散数学课后习题答案二
离散数学课后习题答案二习题3.71. 列出关系}6|{=∈><+d c b a d c b a d c b a 且，，，，，，Z 中所有有序4元组。
解}6|{=∈><+d c b a d c b a d c b a 且，，，，，，Z,2,1,3,1,3,1,2,1,2,3,1,1,3,2,1,1,1,1,1,6,1,1,6,1,1,6,1,1,6,1,1,1{><><><><><><><><=><><><><><><><><2,1,1,3,3,1,1,2,1,2,1,3,1,3,1,2,1,1,2,3, 1,1,3,2,1,2,3,1,1,3,2,12. 列出二维表3.18所表示的多元关系中所有5元组。
假设不增加新的5元组，找出二维表3.18所有的主键码。
表3.18 航班信息航空公司航班登机口目的地起飞时间Nadir 112 34 底特律08:10 Acme 221 22 丹佛 08:17 Acme 122 33 安克雷奇 08:22 Acme 323 34 檀香山 08:30 Nadir 199 13 底特律 08:47 Acme 222 22 丹佛09:10 Nadir 32234底特律09:44解略3. 当施用投影运算5,3,2π到有序5元组><="">解略4. 哪个投影运算用于除去一个6元组的第一、第二和第四个分量？解略5. 给出分别施用投影运算4,2,1π和选择运算Nadir 航空公司＝σ到二维表3.18以后得到的表。
解对航班信息二维表进行投影运算5,3,2π后得到的二维表航班登机口起飞时间 112 34 08:10 221 22 08:17 122 33 08:22 323 34 08:30 199 13 08:47 222 22 09:10 3223409:44对航班信息二维表进行选择运算Nadir 航空公司＝后得到的二维表航空公司航班登机口目的地起飞时间Nadir 112 34 底特律08:10 Nadir 199 13 底特律 08:47 Nadir 32234底特律09:446. 把连接运算3J 用到5元组二维表和8元组二维表后所得二维表中有序多元组有多少个分量？解略7. 构造把连接运算2J 用到二维表3.19和二维表3.20所得到的二维表。
离散数学大作业2
一、单项选择题1、三个结点最多可以构成__________个非同构的无向简单图。
A ．1B ．2C ．3D ．42. 下列四组数据中，不能成为任何4阶无向简单图的度数序列的为（ ）A. 1,1,1,3，B.3,2,2,3C. 2,2,2,2，D. 1,2,3,43．无向图的关联矩阵中，每行的元素之和为（ ）。
A ．边数的2倍B ．2C ．顶点数D ．顶点的度数4、二部图（偶图）K 2,3是（ ）。
A ．欧拉图B ．哈密顿图C ．非平面图D ．平面图5．3阶无向完全图（K 3）不是以下哪种图？（ ）A ．欧拉图B ．平面图C ．二部图D ．哈密顿图二、填空题1． 一个无向图有4个结点，4条边，其中的3个顶点度数分别为1，2，3，则第4个结点度数一定是_______。
2、无向完全图K 4要成为欧拉图至少要添加_____________条边。
3．完全二部图K 2,3是平面图，它的平面嵌入共有______________个面。
4. 一棵无向树T 有4度、3度、2度的分枝点各1个，其余顶点均为树叶，则T 中有_____________片树叶。
三、设无向图G 有12条边，2个4度顶点，其余顶点度数均为3或2。
（1）计算该图最少有多少个顶点？（2）画出一棵具有最少顶点的无向图。
四、以下是具有结点V 1，V 2，V 3，V 4的有向图的邻接矩阵：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1001200010100110 （1）画出该图； （2）求长度为2的通路总数和回路总数；（3）该图是否为欧拉图?五、右图是具有四个结点的有向图：（1）写出该图的邻接矩阵、可达矩阵；（2）求长度为2的通路总数。
（3）判断该图为单向连通还是强连通？六、右下图为无向图：（1）它是否为平面图？若是，请画出它的一个平面嵌入图；否则，说明理由。
（2）判断该图是否为哈密尔顿图？请说明理由。
（3）判断该图是否为二部图？请说明理由。
七. 图G是一个简单的连通的平面图，顶点数为8为四边形（次数为4），计算平面图G的边数和面数。
西南大学《离散数学》网上作业题及答案
[0004]《离散数学》网上作业题答案第1次作业[论述题]第1次作业一、填空题1. 设|A | = 5, |B | = 2, 则可定义A 到B 的函数( )个，其中有( )单射，( )个满射.2. 令G (x ): x 是金子，F (x ): x 是闪光的，则命题“金子都是闪光的，但闪光的未必是金子”符号化为( ).3. 设X 是非空集合，则X 的幂集P (X )关于集合的⋃运算的单位元是( )，零元是( )，P (X )关于集合的⋂运算的单位元是( ).4. 6阶非Abel 群的2阶子群共有( )个，3阶子群共有( )个，4阶子群共有( )个.5. 对于n 阶完全无向图K n , 当n 为( )时是Euler 图，当n ≥ ( )时是Hamilton 图，当n ( )时是平面图.二、单选题1. 幂集P (P (P (∅))) 为( )(A){{∅}, {∅, {∅}}}. (B){∅, {∅, {∅}}, {∅}}. (C){ ∅, {∅, {∅}}, {{∅}}, {∅}} (D){ ∅, {∅, {∅}}}. 2. 设R 是集合A 上的偏序关系，则1-⋃R R 是( ).(A)偏序关系 (B)等价关系 (C)相容关系 (D)以上答案都不对 3. 下列( )组命题公式是不等值的.(A))(B A →⌝与B A ⌝∧. (B) )(B A ↔⌝与)()(B A B A ∧⌝∨⌝∧. (C))(C B A ∨→与C B A →⌝∧)(. (D))(C B A ∨→与)(C B A ∨∧⌝. 4.下列代数结构(G , *)中，( )是群.(A)G = {0, 1, 3, 5}, “*”是模7加法. (B) G = Q , “*”是数的乘法.(C)G = Z , “*”是数的减法. (D) G = {1, 3, 4, 5, 9}, “*”是模11乘法. 5.4阶完全无向图4K 中含3条边的不同构的生成子图有 (A)3 (B)4 (C)5 (D)2三、设A 和B 是集合，使B B A =-成立的充要条件是什么，并给出理由. 四、设R 和S 是集合A 上的对称关系，证明S R 对称的充要条件是R S S R =. 五、分别利用(1)等值演算法和(2)真值表求命题公式))(())((r q p p q r A ∨→→→∨⌝=的主析取范式和主合取范式.六、设G 是(n , m )无向图，若n m ≥，证明G 中必存在圈.参考答案：第1次作业答案一、1. 32，0，30.2.))()(())()((x G x F x x F x G x ⌝∧∃∧→∀.3.∅，X ，X .4. 3，1，0.5.n 为奇数，3，4≤n .二、1(C); 2(B); 3(D); 4(D); 5(A). 三、证 ==⇔=-B A B B A ∅. (⇐)显然.(⇒)因为B A B A ⋂=-，根据B B A =-得B B B B A ⋂=⋂⋂)(，于是B = ∅，进而A = ∅.四、解 由于R 和S 是对称的，所以S S R R==--11,.(⇐)因为R S S R =，两边取逆得11)()(--=R S S R ，而S R S R R S ==---111)(.所以S R S R =-1)(，因此S R 是对称关系.(⇒)由于S R 对称，所以S R S R =-1)(. 而R S R S S R ==---111)(，因而R S S R =.五、解 (1)等值演算法 A 的主合取范式:))(())((r q p p q r A ∨→→→∨⌝== ))(())((r q p p q r ∨∨⌝→∨⌝∨⌝ = )())((r q p p q r ∨∨⌝∨∨⌝∨⌝⌝= )()(r q p p q r ∨∨⌝∨⌝∧∧ = r q p ∨∨⌝(由吸收律得到). 于是，A 的主析取范式为))(())((r q p p q r A ∨→→→∨⌝== ∨⌝∧⌝∧∨⌝∧∧⌝∨∧⌝∧⌝∨⌝∧⌝∧⌝)()()()(r q p r q p r q p r q p)()()(r q p r q p r q p ∧∧∨⌝∧∧∨∧⌝∧.(2)真值表法命题公式))(())((r q p p q r A ∨→→→∨⌝=的真值表如下:由表可知，))(())((r q p p q r A ∨→→→∨⌝=的主合取范式为r q p A ∨∨⌝=.A 的主析取范式为A = ∨⌝∧⌝∧∨⌝∧∧⌝∨∧⌝∧⌝∨⌝∧⌝∧⌝)()()()(r q p r q p r q p r q p)()()(r q p r q p r q p ∧∧∨⌝∧∧∨∧⌝∧.七、证(反证)假设G 中不含圈. 设G 有k (k ≥ 1)个连通分支k G G G ,...,,21，其节点个数分别为k n n n ,...,,21，其边数分别为k m m m ,...,,21. 这时，i G 为树，根据树的基本性质有1-=i i n m )1(k i i ≤≤. 进而n k n n m m ki i k i i <-=-==∑∑==)1(11，与已知n m ≥矛盾. 证毕.第2次作业[论述题]第2次作业一、填空题1.设A = {2, {3}, 4, a }, B = {1, 3, 4, {a }}, 则{3}( )A ，{a }( )B ，{{a }}( )B .2. 设A = {1, 2, 3, 4, 5}上的关系R = {(1, 2), (3, 4), (2, 2)}, S = {(4, 2), (2, 5), (3, 1), (1, 3)}, 则=S R { }, =R S { },=R R { }.3. 在同构意义下，3阶群有( )个，4阶群有( )个，5阶群有( )个.4.任意有限布尔代数)1,0,,,,(⋅+B 均与集合代数( )同构，其元素个数为( ), 其中( )是B 的所有原子组成的集合.5. 不同构的5阶无向树有( )棵，不同构的5阶根树有( )棵.二、单选题1. 在有理数集合Q 上定义运算“*”如下：对于任意x , y ∈ Q ，y x * = x + y – xy ，则Q 关于*的单位元是( ).(A)x . (B)y . (C)1. (D)0.2. 设A = {1, 2, 3}, 下图分别给出了A 上的两个关系R 和S ，则S R 是( )关系.(A)自反. (B)对称. (C)传递. (D)等价.3.令T (x ): x 是火车，B (x ): x 是汽车，F (x , y ): x 比y 快，则“某些汽车比所有的火车慢”符号化为( ).(A)()()),()()(y x H x T x y B y →∀∧∃. (B)()()),()()(y x H x T x y B y ∧∀→∃. (C)()()),()()(y x H x T y B y x ∧→∃∀.G SG R(D)()()),()()(y x H x T x y B y →∀→∃.4. 整数集合Z 关于数的加法“+”和数的乘法“⋅”构成的代数结构(Z, +, ⋅)是( ). (A)域 (B)域和整环 (C)整环 (D) 有零因子环5.设G 是简单图，G 是G 的补图，若G G ≅，则称G 为自补图. 5阶不同构的自补图个数为( ).(A)0. (B)1. (C)2. (D)3.三、设C B g B A f →→:,:, 若g f 是单射，证明f 是单射，并举例说明g 不一定是单射.四、设A = {a , b , c , d }上的关系R = {(a , b ), (b , d ), (c , c ), (a , c )}, 画出R 的关系图，并求出R的自反闭包r (R )、对称闭包s (R )和传递闭包t (R ).五、设G 是(6，12) 的简单连通平面图，则G 的面由多少条边围成，为什么？ 六、任意6个人中，一定有3个人彼此认识或有3个人彼此不认识.参考答案：第2次作业答案一、1. ∈，∈，⊆.2.{(1,5), (3, 2), (2, 5)}, {(4, 2), (3, 2), (1, 4)}, {(1, 2), (2, 2)}.3. 1, 2, 1.4. ,,,),((⋂⋃X P ∅, X ), 2n , n .5. 3, 9.二、1(D); 2(B); 3(A); 4(C); 5(C).三、证 对于任意A x x ∈21,，若)()(21x f x f =，则))(())((21x f g x f g =，于是))(())((21x f g x g f =. 由于g f 是单射，所以21x x =，因此f 是单射.例如，A = {a , b }, B = {1, 2, 3}, C = {α, β, γ}, f = {(a , 1), (b , 2)}, g = {(a , α), (b , β), (c , β)}, 这时)},2(),,1{(βα=g f ，它是A 到C 的单射，但g 不是单射. 四、解 R 的关系图如下：}),(),,(),,(),,(),,(),,(),,{()(d d b b a a c a c c d b b a R r =, }),(),,(),,(),,(),,(),,(),,{()(a c b d a b c a c c d b b a R s =. }),(),,(),,(),,(),,{()(d a c a c c d b b a R t =.五、证 根据Euler 公式，G 的面数为r = 12 – 6 +2 = 8. 由握手定理知，∑=⋅=vv 24122)deg(，而简单连通平面图的每个面至少由3条边围成，所以G 的每个面恰由3条边围成.六、证 用6个节点分别表示这6个人，可得6阶完全无向图6K . 若两个人认识，则在相应的两个节点所在的边上涂上红色，若两个人不认识，则在相应的两个节点所在的边上涂上蓝色.对于任意的6K 的节点v ，因为5)deg(=v ，与v 邻接的边有5条，当用红、蓝颜色去涂时，至少3条边涂的是同一种颜色，不妨设321,,vv vv vv 是红色. 若3条边21v v ，32v v ，31v v 是红色，则存在红色3K ，这意味着有3个人相互认识; 若21v v ，32v v ，31v v 都是蓝色，则存在蓝色3K ，这意味着有3个人相互不认识. 结论成立.第3次作业[论述题]第3次作业 参考答案：第3次作业一、1.{1, 3, {1, 2}, {3}}；{{2, 3}, {1}}；{1, 3, {1, 2}, {3}, {2, 3}, {1}}.2.0，1，0.3. ))()((x O x Z x →⌝∀.4. p n , p 为素数，n 为正整数.abd5. 是，3，10.二、1(B); 2(C); 3(D); 4(C); 5(A).三、证 对于任意C z ∈，由于g f 是满射，必存在A x ∈，使得z x f g x g f ==))(())(( . 令B x f y ∈=)(，有z y g =)(，因此，g 是满射.设},,{c b a A =，}3,2,1{=B ，},{βα=C ，令B A f →:，,:C B g →3)(,3)(,2)(===c f b f a f ,βαβ===)3(,)2(,)1(g g g .这时，α==))(())((a f g a g f ，β==))(())((b f g b g f ，显然有},{)(ran βα=g f ，g f 是满射. 而ran f = {2, 3}，f 不是满射.四、证 (1)对于任意x ∈ Z , 由于x x x x +=+22, 所以(x , x ) ∈ R , 即R 是自反的. (2)因为(0, 0) ∈ R , 因此R 不是反自反的.(3)对于任意x , y ∈ Z , 若(x , y ) ∈ R , 则y y x x +=+22, 于是x x y y +=+22, 进而(y , x ) ∈ R , 即R 是对称的.(4)因为(2, -3) ∈ R 且(-3, 2) ∈ R ，因此R 不是反对称的.(5)对于任意x , y , z ∈ Z , 若(x , y ) ∈ R 且(y , z ) ∈ R , 则y y x x +=+22且z z y y +=+22，于是z z x x +=+22，所以(x , z ) ∈ R , 即R 是传递的. 综上所述，知R 是自反的、对称的和传递的.五、解 命题公式)())(q p q p A ⌝→↔→⌝=的真值表如下：A 的主析取范式为：)()(q p q p A ⌝∧∨∧=.A 的主合取范式为：)()(q p q p A ∨∧⌝∨=.六、证 对于任意的6K 的节点v ，因为5)deg(=v ，与v 邻接的边有5条，当用红、蓝颜色去涂时，至少3条边涂的是同一种颜色，不妨设321,,vv vv vv 是红色. 若3条边21v v ，32v v ，31v v 是红色，则存在红色3K ; 若21v v ，32v v ，31v v 都是蓝色，则存在蓝色.第4次作业[论述题]第4次作业 参考答案：第4次作业答案一、1.自反性、对称性和传递性.2. Abel.3. 6.4. 封闭性和结合性.5. 不含圈的连通.二、1(A); 2(C); 3(B); 4(D); 5(C).三、证 对于任意A b a ∈,，假定)()(b f a f =. 由于≤是偏序，于是a a ≤，所以)(a f a ∈，进而)(b f a ∈，根据定义知b a ≤. 同理可证，a b ≤. 根据偏序的反对称性有b a =，因此f 是单射.当b a ≤时，对于任意)(a f x ∈，于是a x ≤. 根据偏序的传递性有b x ≤，即)(b f x ∈，故)()(b f a f ⊆.四、证 (1) 与非联结词“↑”的运算表如下：(2)p p p p p ↑=∧⌝=⌝)(.)()()())((q p q p q p q p q p ↑↑↑=↑⌝=∧⌝⌝=∧. )()()()()(q q p p q p q p q p ↑↑↑=⌝↑⌝=⌝∧⌝⌝=∨.五、解 ))),(),((),,((v y vQ u x uQ z y x zP y x ∃→∃∧∃∀∀=))),(),((),,((v y vQ u x uQ z y x zP y x ∃∨⌝∃∧∃∀∀ =))),(),((),,((v y vQ u x Q u z y x zP y x ∃∨⌝∀∧∃∀∀=))),(),((),,((v y Q u x Q v u z y x zP y x ∨⌝∃∀∧∃∀∀ =))),(),((),,((v y Q u x Q z y x P v u z y x ∨⌝∧∃∀∃∀∀ 六、证 (1)根据Euler 公式，有2+-=n m r . (2)31052)2(5-≤⇒≤+-n m m n m . (3) 若Petersen 图是平面图，由于其每个面至少5条边围成，于是由(2)知3105-≤n m . 因为在Petersen 图中，m = 15, n = 10, 于是31010515-⋅≤，矛盾.第5次作业[论述题]第5次作业 参考答案：第5次作业答案一、1. 2n .2. 反自反、反对称、传递.3. 是.4. 独异点.5. 上确界和下确界. 二、1(C); 2(A); 3(B); 4 (D); 5(B).三、(1)证 对于任意∈),(),,(2211y x y x R ⨯ R ，若)),(()),((2211y x f y x f =，于是),(),(22221111y x y x y x y x -+=-+，进而2211y x y x +=+且2211y x y x -=-. 由此可得，2121,y y x x ==，因而),(),(2211y x y x =，故f 是单射.对于任意∈),(q p R ⨯ R ，取2,2qp y q p x -=+=，容易得知),(),()),((q p y x y x y x f =-+=.由上可知，f 是双射. (2)解 由上的证明过程知，⎪⎭⎫⎝⎛-+=-2,2)),((1y x y x y x f.(3)解 很显然If f =- 1R ⨯R ，即),()),)(((1y x y x f f=- .)2,2())()(),()(()),(()),)(((y x y x y x y x y x y x y x f y x f f =--+-++=-+= .四、解 }),(),,(),,(),,(),,{()(c c b b c b b a a a I R R r A =⋃=. }),(),,(),,(),,(),,{()(1b c a b c b b a a a RR R s =⋃=-.}),(),,(),,(),,{()(c a c b b a a a R t =. 五、证(1))(x xP ∀ P (2)P (c ) US(1) (3))))()(()((x R y Q x P x ∧→∀ P (4)))()(()(c R y Q c P ∧→ US(3) (5))()(c R y Q ∧ T(2)(4)I (6)Q (y ) T(5)I (7)R (c ) T(5)I (8))()(c R c P ∧ T(2)(7)I (9)))()((x R x P x ∧∀ UG(8) (10)))()(()(x R x P x y Q ∧∀∧ T(6)(9)I六、证 设G 是一棵阶数2≥的无向树，k k v v v v L 121...:-是G 中的最长路径. `若1v 和k v 至少有一个不是树叶，不妨设k v 不是树叶，即2)deg(≥k v ，则k v 除与1-k v 邻接外，还存在1+k v 与k v 邻接.若1+k v 在L 上，则G 中存在圈，不可能. 若1+k v 不在L 上，则G 中存在一条比L 长1的路径1121...+-k k k v v v v v ，与L 是G 中最长路径矛盾.第6次作业[论述题]第6次作业 参考答案：第6次作业答案一、1. 1,3,5,7,11,13,17,19.2. 平行.3. 010, 100, 101, 110, 111.4. 2.5. 3.二、1(B); 2(A); 3(D); 4(C); 5(A).三、(1)证 任意∈),(),,(2211y x y x R ×R , 若),(),(2211y x f y x f =，则),(),(22221111y x y x y x y x -+=-+，进而2211y x y x +=+且2211y x y x -=-，于是21x x =且21y y =，从而f 是单射.任意∈),(q p R ×R , 取⎪⎩⎪⎨⎧-=+=22q p y q p x , 通过计算易知),(),(q p y x f =，因此f 是满射. 故f 是双射.(2) 解 由上面的证明知，f 存在逆函数且⎪⎭⎫⎝⎛-+=-2,2),(1y x y x y x f.又()()),(2,2,1y x y x y x f y x f f=⎪⎭⎫⎝⎛-+=- ，即I f f=- 1R ×R ,而()()())2,2())()(),()((,,y x y x y x y x y x y x y x f y x f f =--+-++=++= .四、解 R 的传递闭包t (R )的关系图如下：于是，有t (R ) = {(1, 3), (3, 1), (2, 3), (4, 3), (4, 5), (6, 5), (1, 1), (3, 3)，(2,1)，(4,1)}. 五、解 首先写出命题公式()())()(p q r r q p A →→↔→→=的真值表如下：从真值表可得命题公式A 的主析取范式为：∨⌝∧⌝∧∨∧⌝∧∨∧∧=)()()(r q p r q p r q p A)()()(r q p r q p r q p ⌝∧⌝∧⌝∨∧⌝∧⌝∨⌝∧∧⌝.命题公式A 的主合取范式为：)()(r q p r q p A ∨⌝∨⌝∧⌝∨⌝∨=.七、解 对于2, 3, 5, 7, 8，先组合两个最小的权2+3 = 5, 得5, 5, 7, 8；在所得到的序列中再组合5+5 = 10, 重新排列后为7, 8, 10；再组合7+8 =15, 得10, 15；最后组合10+15 = 25.2515108710875587532 所求的最优2叉树树如下：。
离散数学网络课程形成性考核2形考任务
离散数学集合论部分形成性考核书面作业本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握．本次形考书面作业是第一次作业，大家要认真及时地完成集合论部分的综合练习作业．要求：学生提交作业有以下三种方式可供选择：1. 可将此次作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，完成作业后交给辅导教师批阅．2. 在线提交word文档3. 自备答题纸张，将答题过程手工书写，并拍照上传．一、填空题1．设集合{1,2,3},{1,2}A B==，则P(A)-P(B )= {{3}, {1,2,3}, {1, 3 }, {2,3}} ，A⨯B= {<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,1>,<3,2>} ．2．设集合A有10个元素，那么A的幂集合P(A)的元素个数为1024 ．3．设集合A={0, 1, 2, 3}，B={2, 3, 4, 5}，R是A到B的二元关系，∈xyR⋂<且=且>∈∈{B,,xAyAyBx}则R的有序对集合为{<2, 2>，<2, 3>，<3, 2>}，<3, 3>．4．设集合A={1, 2, 3, 4 }，B={6, 8, 12}，A到B的二元关系R＝}yyx∈=<>∈A2,x,,xy{B那么R－1＝{<6，3>，<8，4>}5．设集合A=｛a, b, c, d｝，A上的二元关系R={<a, b>, <b, a>, <b, c>, <c, d>}，则R具有的性质是反自反性，反对称性．6．设集合A=｛a, b, c, d｝，A上的二元关系R={<a, a >, <b, b>, <b, c>, <c, d>}，若在R中再增加两个元素<c, b>, <d, c>，则新得到的关系就具有对称性．7．如果R1和R2是A上的自反关系，则R1∪R2，R1∩R2，R1-R2中自反关系有 2 个．8．设A={1, 2}上的二元关系为R={<x, y>|x∈A，y∈A, x+y =10}，则R的自反闭包为{<1, 1>, <2, 2>} ．9．设R是集合A上的等价关系，且1 , 2 , 3是A中的元素，则R中至少包含<1, 1>, <2, 2>, <3, 3> 等元素．10．设集合A={1, 2}，B={a, b}，那么集合A到B的双射函数是{<1, a >, <2, b >}，或{<1, b >, <2, a >}二、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）1．若集合A = {1，2，3}上的二元关系R={<1, 1>，<2, 2>，<1, 2>}，则(1) R是自反的关系；(2) R是对称的关系．(1)R不是自反关系，因为没有有序对<3,3>.(2)R不是对称关系，因为没有有序对<2,1>2．如果R1和R2是A上的自反关系，判断结论：“R-11、R1∪R2、R1∩R2是自反的”是否成立？并说明理由．解：成立．因为R1和R2是A上的自反关系，即I A⊆R1，I A⊆R2。
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离散数学作业2离散数学集合论部分形成性考核书面作业本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。
．本次形考书面作业是第一次作业，大家要认真及时地完成集合论部分的综合练习作业。
．要求：将此作业用A4纸打印出来，并在03任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，以便教师评分．作业应手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，要求2009年4月5日前完成并后上交任课教师（不收电子稿）。
．并在03任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，以便教师评分。
一、单项选择题1．若集合A ＝{2，a ，{ a }，4}，则下列表述正确的是( B )．A ．{a ，{a }}∈AB ．{ a }⊆AC ．{2}∈AD ．∅∈A2．设B = { {2}, 3, 4, 2}，那么下列命题中错误的是（ B ）．A ．{2}∈B B ．{2, {2}, 3, 4}⊂BC ．{2}⊂BD ．{2, {2}}⊂B3．若集合A ={a ，b ，{ 1，2 }}，B ={ 1，2}，则（ D ）．A ．B ⊂ A B ．A ⊂ BC ．B ∉ AD ．B ∈ A4．设集合A = {1, a }，则P (A ) = ( C )．A ．{{1}, {a }}B ．{∅,{1}, {a }}C ．{∅,{1}, {a }, {1, a }}D ．{{1}, {a }, {1, a }}5．设集合A = {1，2，3}，R 是A 上的二元关系，R ={<a , b >⎢a ∈A ，b ∈ A 且1=-b a }则R 具有的性质为（ B ）．A ．自反的B ．对称的C ．传递的D ．反对称的6．设集合A = {1，2，3，4，5，6 }上的二元关系R ={<a , b >⎢a , b ∈A ，且a =b }，则R 具有的性质为（ D ）．A ．不是自反的B ．不是对称的C ．反自反的D ．传递的7．设集合A ={1 , 2 , 3 , 4}上的二元关系R = {<1 , 1>，<2 , 2>，<2 , 3>，<4 , 4>}，S = {<1 , 1>，<2 , 2>，<2 , 3>，<3 , 2>，<4 , 4>}，则S 是R 的（ C ）闭包．A ．自反B ．传递C ．对称D ．以上都不对8．设集合A ={a , b }，则A 上的二元关系R={<a , a >，<b , b >}是A 上的( D )关系．A ．是等价关系但不是偏序关系B ．是偏序关系但不是等价关系C ．既是等价关系又是偏序关系D ．不是等价关系也不是偏序关系9．设集合A = {1 , 2 , 3 , 4 , 5}上的偏序关系 的哈斯图如右图所示,若A 的子集B = {3 , 4 , 5}，则元素3为B 的（ C ）．A ．下界B ．最大下界C ．最小上界D ．以上答案都不对10．设集合A ={1 , 2, 3}上的函数分别为：f = {<1 , 2>，<2 , 1>，<3 , 3>}，g = {<1 , 3>，<2 , 2>，<3 , 2>}，h = {<1 , 3>，<2 , 1>，<3 , 1>}，则 h =（ A ）．（A ）f ◦g （B ）g ◦f （C ）f ◦f （D ）g ◦g二一、填空题1．设集合{1,2,3},{1,2}A B ==，则A B = A ，A B = B ．21．设集合{1,2,3},{1,2}A B ==，则P (A )-P (B )= {{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}} ，A ⨯B = {<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,1>,<3,2>} ．32．设集合A 有10个元素，那么A 的幂集合P (A )的元素个数为210 ．43．设集合A ={0, 1, 2, 3}，B ={2, 3, 4, 5}，R 是A 到B 的二元关系，},,{B A y x B y A x y x R ⋂∈∈∈><=且且则R 的有序对集合为:{<2,2>,<2,3>,<3,2>,<3,3>}设集合A = {1，2，3，4，5 }，B = {1，2，3}，R 从A 到B 的二元关系，R ={<a , b >⎢a ∈A ，b ∈B 且2≤a + b则R 的有序对集合为:A ⨯B 。
54．设集合A ={1, 2, 3, 4 }，B ={6, 8, 12}， A 到B 的二元关系R ＝},,2,{B y A x x y y x ∈∈=><那么R －1＝ {<6,3>,<8,4>} ．65．设集合A =｛a , b , c , d ｝，A 上的二元关系R ={<a , b >, <b , a >, <b , c >, <c , d >}，则R 具有的性质是 反自反 ．76．设集合A =｛a , b , c , d ｝，A 上的二元关系R ={<a , a >, <b , b >, <b , c >, <c , d >}，若在R 中再增加两个元素 <c,b>,<d,c> ，则新得到的关系就具有对称性．7．如果R 1和R 2是A 上的自反关系，则R 1∪R 2，R 1∩R 2，R 1-R 2中自反关系有 2 个．58．设A ={1, 2}上的二元关系为R ={<x , y >|x ∈A ，y ∈A , x +y =10}，则R 的自反闭包为 I A ． 或({<1,1>,<2,2>}9A 上的等价关系，且1 , 2 , 3是A 中的元素，则R 中至少包含 <1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>,<2,1>,<1,3>,<3,1>,<2,3>,<3,2> 等元素．10．设A ={1，2}，B ={a ，b }，C ={3，4，5}，从A 到B 的函数f ={<1, a >, <2,b >}，从B 到C 的函数g ={< a ，4>, < b ，3>}，则Ran(g ︒ f )= {4,3} ．设集合A ={1, 2}，B ={a , b }，那么集合A 到B 的双射函数是f ={<1,a>,<2,b>} ．三二、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）1．若集合A = {1，2，3}上的二元关系R ={<1, 1>，<2, 2>，<1, 2>}，则(1) R 是自反的关系； (2) R 是对称的关系．答：（1）错。
因R 中少<3,3>元素；（2）错。
因R 中少<2,1>元素。
2．设A ={1，2，3}，R ={<1，1>, <2，2>, <1，2> ，<2，1>}，则R 是等价关系．如果R 1和R 2是A 上的自反关系，判断结论：“R -11、R 1∪R 2、R 1∩R 2是自反的” 是否成立？并说明理由．答：因R 中没有自反性，所以不是等价关系；如果R 1和R 2是A 上的自反关系，判断结论：“R -11、R 1∪R 2、R 1∩R 2是自反的” 答：对，因为任取A 的元素a ，若<a,a>是R 1和R 2的元素，则<a,a>也一定是R -11、R 1∪R 2、R 1∩R 2的元素。
3．设R ，S 是集合A 上的对称关系，判断R ∩S 是否具有对称性，并说明理由．答：若R ，S 是集合A 上的对称关系，则R ∩S 是具有对称性。
因任取A 的元素a,b ，若<a,b>和<b,a>都是R 和S 的元素， 则<a,b>和<b,a>也是R ∩S 。
若偏序集<A ，R>的哈斯图如图一所示， 则集合A 的最大元为a ，最小元不存在．图一 ο ο ο ο a b c d 图一ο ο ο g e f h ο答：集合A 的极大元为a4．设集合A ={1, 2, 3, 4}，B ={2, 4, 6, 8}，，判断下列关系f 是否构成函数f ：B A →，并说明理由．(1) f ={<1, 4>, <2, 2,>, <4, 6>, <1, 8>}； (2) f ={<1, 6>, <3, 4>, <2, 2>}；(3) f ={<1, 8>, <2, 6>, <3, 4>, <4, 2,>}．答：（2）和（3）构成函数。
（1）中有<1,4>和<1,8>，不是函数对应关系。
四三、计算题1．设}4,2{},5,2,1{},4,1{},5,4,3,2,1{====C B A E ，求：(1) (A ⋂B )⋃~C ； (2) (A ⋃B )- (B ⋂A ) (3) P (A )－P (C )； (4) A ⊕B ． 解：}5,4,2{}5,2{}4{)4(}}4,1{},1{{}}4,2{},4{},2{,{]}4,1{},4{},1{,{)3(}5,4,2{}1{}5,4,2,1{)2(};5,3,1{}5,3,1{}1{)1(=⋃==∅-∅==-==⋃=2．设集合A ＝{{a , b }, c , d }，B ={a , b , {c , d }}，求(1) B ⋂A ； (2) A ⋃B ； (3) A －B ； (4)B ⨯A ．解：}},,{,},,{,},{},,{,,,,,},{,,,,,,},{,){4()3(}},{},,{,,,,){2(;)1(><><><><><><><><><=-∅d d c c d c b a d c d b c b b a b d a c a b a a A B A d c b a d c b a设A ={{1},{2},1,2}，B ={1,2,{1,2}}，试计算（1）（A -B ）； （2）（A ∩B ）； （3）A ×B ．解：}}2,1{,2,2,2,1,2,}2,1{,1,2,1,1,1,}2,1{},2{,2},2{,1},2{,}2,1{},1{,2},1{,1},1{{)3(}2,1{)2(}}2{},1{{)1(><><><><><><><><><><><><===3．设A ={1，2，3，4，5}，R ={<x ，y >|x ∈A ，y ∈A 且x +y ≤4}，S ={<x ，y >|x ∈A ，y ∈A 且x +y <0}，试求R ，S ，R ∙S ，S ∙R ，R -1，S -1，r (S )，s (R )．解：}1,3{)()(}2,2,2,1,1,3,1,2,1,1{}2,2,1,2,3,1,2,1,1,1{11><==∅=><><><><><=∅=∙∅=∙∅=><><><><><=--R s I S r S R R S S R S R A4．设A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，R 是A 上的整除关系，B ={2, 4, 6}．(1) 写出关系R 的表示式； (2 )画出关系R 的哈斯图；(3) 求出集合B 的最大元、最小元．解：（1）R ＝{<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,5>,<1,6>,<1,7>,<1,8>,<2,4>,<2,6>,<2,8>,<3,6>,<4,8>}（2）（3）B 没有最大元，最小元为2。