离散数学作业 (2)

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离散数学第2次作业参考答案

离散数学第2次作业参考答案
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(3-2)主析取范式:
(4)由真值表和主析取范式分别可以验证该推理正确。
6、(每题12分,共24分)
(1)如果今天是星期六,我们就要到颐和园或圆明园去玩。如果颐和园游人太多,我们就不去颐和园。今天是星期六。颐和园游人太多。所以我们去圆明园玩。
解:
(1)令p:今天是星期六; q:我们要到颐和园玩; r:我们要到圆明园玩; s:颐和园游人太多.
5、(20分)用2种方法(真值表法、主析取范式法)判断下面推理是否正确。
若 是奇数,则 不能被2整除。若 是偶数,则 能被2整除。因此,如果 是偶数,则 不是奇数。
解:(1)简单命题符号化:
p: 是奇数,q: 能被2整除,r: 是偶数。
(2)前提和结论分别符号化为:
若 是奇数,则 不能被2整除: p→ q。
2018级离散数学第二次作业参考答案
学号:姓名:班级:总分:
1、(每空5分,共30分)
(1)已知公式A含有3个命题变项p,q,r,并且它的成真赋值为000,011,110,那么命题公式A的成假赋值为001,010,100,101,111,主析取范式为 ,主合取范式为M1∧M2∧M4∧M5∧M7。
(2)已知公式A含有3个命题变项,并且公式A的主合取范式为 ,那么公式A的成真赋值为000, 010,101,110,111,成假赋值为001, 011, 100,公式A的主析取范式为 。
解:
令p:小王是理科生, q:小王是文科生, r:小王的数学成绩很好.
前提: p→r, ¬q→p, ¬r

2022年国开离散数学作业2及答案

2022年国开离散数学作业2及答案

2022年国开离散数学作业2及答案★形成性考核作业★姓名:学号:得分:教师签名:离散数学集合论部分形成性考核书面作业本课程形成性考核书面作业共3次,内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习,基本上是按照考试的题型(除单项选择题外)安排练习题目,目的是通过综合性书面作业,使同学自己检验学习成果,找出掌握的薄弱知识点,重点复习,争取尽快掌握。

本次形考书面作业是第一次作业,大家要认真及时地完成集合论部分的综合练习作业。

要求:将此作业用A4纸打印出来,手工书写答题,字迹工整,解答题要有解答过程,要求2022年11月7日前完成并上交任课教师(不收电子稿)。

并在03任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮,完成并上交任课教师。

一、填空题1.设集合A{1,2,3},B{1,2},则P(A)-P(B)={{1,2},{2,3},{1,3},{1,2,3}},AB={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,1>,<3,2>}.2.设集合A有10个元素,那么A的幂集合P(A)的元素个数为1024.3.设集合A={0,1,2,3},B={2,3,4,5},R是A到B的二元关系,R{某,y某A且yB且某,yAB}则R的有序对集合为{<2,2>,<2,3>,<3,2>,<3,3>}.4.设集合A={1,2,3,4},B={6,8,12},A到B的二元关系R={某,yy2某,某A,yB}那么R-1={<6,3>,<8,4>}5.设集合A={a,b,c,d},A上的二元关系R={,,,},则R具有的性质是反自反性.6.设集合A={a,b,c,d},A上的二元关系R={,,,},若在R中再增加两个元素,,则新得到的关系就具有对称性.7.如果R1和R2是A上的自反关系,则R1∪R2,R1∩R2,R1-R2中自反关系有2个.8.设A={1,2}上的二元关系为R={|某A,yA,某+y=10},则R的自反闭包为{<1,1>,<2,2>}.9.设R是集合A上的等价关系,且1,2,3是A中的元素,则R中至少包含<1,1>,<2,2>,<3,3>等元素.10.设集合A={1,2},B={a,b},那么集合A到B的双射函数是★形成性考核作业★{<1,a>,<2,b>}或{<1,b>,<2,a>}.二、判断说明题(判断下列各题,并说明理由.)1.若集合A={1,2,3}上的二元关系R={<1,1>,<2,2>,<1,2>},则(1)R是自反的关系;(2)R是对称的关系.解:(1)结论不成立.因为关系R要成为自反的,其中缺少元素<3,3>.(2)结论不成立.因为关系R中缺少元素<2,1>.2.如果R1和R2是A上的自反关系,判断结论:“R-11、R1∪R2、R1∩R2是自反的”是否成立?并说明理由.解:结论成立.因为R1和R2是A上的自反关系,即IAR1,IAR2.由逆关系定义和IAR1,得IAR1-1;由IAR1,IAR2,得IAR1∪R2,IAR1R2.所以,R1-1、R1∪R2、R1R2是自反的.3.若偏序集的哈斯图如图一所示,acgh则集合A的最大元为a,最小元不存在.b错误,按照定义,图中不存在最大元和最小元。

国家开放大学电大本科《离散数学》网络课形考任务2作业及答案

国家开放大学电大本科《离散数学》网络课形考任务2作业及答案

国家开放大学电大本科《离散数学》网络课形考任务2作业及答案此任务2 g选择题题目1 无向完全图K4是()、选择一项:A、树 B、欧拉图 C、汉密尔顿图 D、非平面图题目2 已知一棵无向树T中有8个顶点,4度、3度、2度的分支点各一个,T 的树叶数为()、选择一项: A、4 B、8 C、3 D、5 题目3 设无向图G的邻接矩阵为 011111 0 0111 0 0 0 011 0 011 01 0 则G 的边数为( 选择一项: A、7 B、14 C、6 D、1 题目4 如图一所示,以下说法正确的是()、选择一项: A、 ((a, e), (b, c)}是边割集 B、{(a, e)}是边割集 C、{(d, e)}是边割集 D、((a, e)}是割边题目5 以下结论正确的是()、选择一项: A、有n个结点n-l条边的无向图都是树B、无向完全图都是平面图 C、树的每条边都是割边 D、无向完全图都是欧拉图题目6 若G是一个欧拉图,则G一定是()、选择一项: A、汉密尔顿图 B、连通图 C、平面图 D、对偶图题目7 设图G=, vGV,则下列结论成立的是()、选择一项:A、云 d做、)=2|% B、2>“ = |司 w C、 deg(v)=2|S| D、deg(v)=|E| 题目8 图G如图三所示,以下说法正确的是()、选择一项: A、(b, d}是点割集 B、{c}是点割集 C、{b, c}是点割集 D、 a是割点题目9 设有向图(a)、(b)、(c)与(d)如图五所示,则下列结论成立的是()、选择一项: (a)是费连通的 B、 (d)是强连通的 C、 (c)是强连通的D、 (b)是强连通的题目10 设有向图(a)、(b)、(c)与(d)如图六所示,则下列结论成立的是()、选择一项: A、 (b)只是弱连通的 B、 (c)只是弱连通的 C、 (a)只是弱连通的 D、 (d)只是弱连通的判断逝题目11 设图G是有6个结点的连通图,结点的总度数为18,则可从G中删去4条边后使之变成树、()选择一项:对错题目12 汉密尔顿图一定是欧拉图、()选择一项:对错题目13 设连通平面图G的结点数为5,边数为6,则面数为4、()选择一项:对错题目14 设G是一个有7个结点16条边的连通图,则G为平面图、()选择一项:对错题目15 如图八所示的图G存在一条欧拉回路、()选择一项:对错题目16 设图G如图七所示,则图G的点割集是{f}、()选择一项:对错题目172>瞒)=2圜设G是一个图,结点集合为V,边集合为E,则代衫()选择一项:对错题目18 设图G是有5个结点的连通图,结点度数总和为10,则可从G中删去6条边后使之变成树、()选择一项:对错题目19 如图九所示的图G不是欧拉图而是汉密尔顿图、()选择一项:对错题目20 若图 G=,其中 V=( a, b, c, d }, E={ (a, b), (a, d), (b, c), (b, d)},则该图中的割边为(b, c)、()选择一项:对。

国家开放大学电大本科《离散数学》网络课形考任务2作业及答案

国家开放大学电大本科《离散数学》网络课形考任务2作业及答案
选择一项:
A. 有n个结点n-1条边的无向图都是树
B. 无向完全图都是平面图
C. 树的每条边都是割边
D. 无向完全图都是欧拉图
题目6
若G是一个欧拉图,则G一定是( ).
选择一项:
A. 汉密尔顿图
B. 连通图
C. 平面图
D. 对偶图
题目7
设图G=<V, E>,v∈V,则下列结论成立的是 ( ) .
选择一项:
选择一项:


题目17
设G是一个图,结点集合为V,边集合为E,则 ( )
选择一项:


题目18
设图G是有5个结点的连通图,结点度数总和为10,则可从G中删去6条边后使之变成树.( )
选择一项:


题目19
如图九所示的图G不是欧拉图而是汉密尔顿图.( )
选择一项:


题目20
若图G=<V, E>,其中V={ a, b, c, d },E={ (a, b), (a, d),(b, c), (b, d)},则该图中的割边为(b, c).( )
题目8
图G如图三所示,以下说法正确的是 ( ).
选择一项:
A. {b, d}是点割集
B. {c}是点割集
C. {b, c}是点割集
D. a是割点
题目9
设有向图(a)、(b)、(c)与(d)如图五所示,则下列结论成立的是( ).
选择一项:
A. (a)是强连通的
B. (d)是强连通的
C. (c)是强连通的
选择一项:


题目12
汉密尔顿图一定是欧拉图.( )
选择一项:

离散数学第2次作业参考答案

离散数学第2次作业参考答案

离散数学第二次作业参考答案学号: 姓名: 班级: 总分:1、 (每空5分,共30分)(1) 已知公式A 含有3个命题变项p , q , r ,并且它的成真赋值为000,011,110,那么命题公式A 的成假赋值为 001,010,100,101,111 ,主析取范式为 , 主合取范式为 M 1∧M 2∧M 4∧M 5∧M 7 。

(2) 已知公式A 含有3个命题变项,并且公式A 的主合取范式为134M M M ∧∧,那么公式A 的成真赋值为 000, 010,101,110,111 ,成假赋值为 001, 011, 100 ,公式A 的主析取范式为 。

2、(12分)用真值表法计算公式()p q r ⌝∨∧的主析取范式和主合取范式解:真值表为p q r p q ⌝∨ ()p q r ⌝∨∧0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 111主析取范式:137m m m ∨∨主合取范式:02456M M M M M ∧∧∧∧3、(14分)甲、乙、丙、丁4人中有且仅有2个人参加围棋比赛。

关于谁参加了比赛,下列判断都是正确的:(1) 甲和乙只有一人参加。

(2) 若丙参加,则丁必参加。

(3) 乙或者丁至多参加一人。

(4) 丁不参加,则甲也不会参加。

问:哪两个人参加了比赛。

解:其它解题方法,只要解释清楚,答案正确就给分① 设p : 甲参加,q :乙参加,r :丙参加,s :丁参加。

② 4个条件分别符号化为()()p q p q ⌝∧∨∧⌝,()r s →,()q s ⌝∨⌝,()s p ⌝→⌝ 根据题意可得公式[()()]()()()p q p q r s q s s p ⌝∧∨∧⌝∧→∧⌝∨⌝∧⌝→⌝ 该公式的成真赋值为可能可行的方案。

③经过演算可得[()()]()()()()()()()()p q p q r s q s s p p q p q r s q s p s ⌝∧∨∧⌝∧→∧⌝∨⌝∧⌝→⌝⇔⌝∨⌝∧∨∧⌝∨∧⌝∨⌝∧⌝∨④由于p 和q 有且仅有一个为1,因此公式的成真赋值只能是10XX 或者01XX 。

离散数学(专升本)阶段性作业2

离散数学(专升本)阶段性作业2

离散数学(专升本)阶段性作业2总分: 100分考试时间:分钟单选题1. 永假式的否定是_____。

(6分)(A) 永真式(B) 永假式(C) 可满足式(D) (1)--(3)均有可能参考答案:C2. 设谓词P(x):x是奇数,Q(x):x是偶数,谓词公式$x(P(x)ÚQ(x))在个体域中___ __为真。

(6分)(A) 自然数(B) 实数(C) 复数(D) (1)--(3)均成立参考答案:A3. 合式公式是_____。

(称作P与Q的“与非” 当且仅当P与Q的真值都是真时,的真值为假,否则的真值为真。

)(6分)(A) 重言式(B) 可满足式(C) 矛盾式(D) 等价式参考答案:B4. 下列命题公式不是重言式的是_____。

(6分)(A) Q→(P∨Q)(B) (P∧Q)→P(C) (P∧Q)(D) (P∧0)参考答案:C5. 下列命题公式中为永真式的是_____。

(5分)(A) Q∨1(B) Q→P(C) Q∧P(D) Q∨P.参考答案:A6. 下面命题公式中不等价的是_____。

(6分)(A)(B)(C)(D)参考答案:C多选题7. 令p:今天下雪了,q:路滑,则命题“虽然今天下雪了,但是路不滑”可符号化为____ _(5分)(A) p→┐q(B) p∨┐q(C) ┐(┐p∨q)(D) p∧┐q参考答案:C,D8. 下列不是两个命题变元p,q的小项是_____(5分)(A) p∧┐p∧q(B) ┐p∨q(C) ┐p∧q(D) ┐p∨p∨q参考答案:A,B,D9. 设命题公式G=Ø(P®Q),H=P®(Q®ØP),则G与H的关系是_____。

(5分)(A) GÞH(B) HÞG(C) G=H(D) 以上都不是.参考答案:A,B10. 下列公式中是永真式为_______。

(5分)(A) (┐P Q)→(Q→R)(B) P→(Q→Q)(C) (P Q)→P(D) P→(P Q)判断题11. 设P:我生病,Q:我去学校,则下列命题“只有在生病时,我才不去学校”可符号化为。

苏XI友离散数学作业(1-3章)

苏XI友离散数学作业(1-3章)

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由真值表知,公式A为矛盾式(永假式).
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作业1
P33-1.7 (8)设B=(pq)→¬ (p∨q),公式B的真值 表为:
p q pq p∨q ¬ (p∨q)
B
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∃x(M(X)∧∀y(F(y)→L(x,y))).
北京林业大学信息学院 苏喜友
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作业5
(3)没有不犯错误的人.
设M(x):x是人, C(x):x犯错误. 符号化为:
¬ ∃x(M(X)∧¬ C(x)),
or
∀x(M(x)→C(x)).
(4)在北京工作的人未必都是北京人.
设W(x):x是在北京工作的人, B(x):x是北京 人. 符号化为:
¬ ∀x(W(x)→B(x)),
or
∃x(W(X)∧¬ B(x)).
北京林业大学信息学院 苏喜友
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作业5
(5)任何金属都可以溶解在某种液体中. 设M(x):x是金属, L(x):x是液体, R(x,y):x 溶解在y中. 符号化为: ∀x(M(x)→∃y(L(y)∧R(x,y))).
(6)凡对顶角都相等. 设D(x,y):x与y是对顶角, E(x,y):x=y. 符号 化为: ∀x∀y(D(x,y)→E(x,y)).
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作业1
(6)只有天下大雨,他才乘公共汽车上班. 设p:天下大雨,q:他乘公共汽车上班. 符号化为:q→p,或¬ p→¬ q. (7)除非天下大雨,否则他不乘公共汽车上班. 设p:天下大雨,q:他乘公共汽车上班. 符号化为:q→p,或¬ ¬ q→p,¬ p→¬ q. (8)不经一事,不长一智. 设p:经一事,q:长一智. 符号化为:¬ p→¬ q,或q→p.

计算机科学专业离散数学平时作业二

计算机科学专业离散数学平时作业二

一、判断(共计50分,每题2.5分)1、“5是2的倍数。

”不是命题。

A. 正确B. 错误正确:【B】2、两图同构,则每个顶点的度相同。

A. 正确B. 错误正确:【A】3、若关系R是自反的,则其关系图的每个结点都没有环。

A. 正确B. 错误正确:【B】4、如果a是集合A中的元素,则称a属于A,记作a∉A。

A. 正确B. 错误正确:【B】5、设,,则A. 正确B. 错误正确:【A】6、一个从A到B的二元关系是有序偶的集合R,在每一个有序偶中,第一个元素取自A,第二个元素取自B。

A. 正确B. 错误正确:【A】7、“如果1+1≠3,则2+2≠4”是真命题。

A. 正确B. 错误正确:【B】8、自然数集合N上的加法、乘法是N上的二元运算,但减法、除法不是。

A. 正确B. 错误正确:【A】9、在有补分配格〈L,∨,∧〉中,任一元素a∈L的补元素是唯一的。

A. 正确B. 错误正确:【A】10、对于任何(n,m)—图。

A. 正确B. 错误正确:【A】11、大于100的整数集合可以表示为{101,102,103,…}。

A. 正确B. 错误正确:【A】12、设n阶无向连通图G有m条边,则m<n-1。

A. 正确B. 错误正确:【B】13、只由一个孤立结点构成的图称为平凡图。

A. 正确B. 错误正确:【A】14、简单图不含平行边。

A. 正确B. 错误正确:【A】15、一个代数系统的单位元、零元、逆元如存在,则必唯一。

A. 正确B. 错误正确:【A】16、半群满足交换律。

A. 正确B. 错误正确:【B】17、具有条边的连通图最多具有个结点。

A. 正确B. 错误正确:【A】18、设R是集合A上的关系,若对于任意a,b∈A,当(a,b)∈R时,必有(b,a)∈R,则称R为对称的。

A. 正确B. 错误正确:【A】19、连通且不含圈的图称为树。

A. 正确B. 错误正确:【A】20、无向图G为欧拉图,则G是连通的。

A. 正确B. 错误正确:【A】二、单选(共计50分,每题2.5分)21、下列不一定是树的是()A. 无回路的连通图B. 有n个结点,n-1条边的连通图C. 每对结点之间都有通路的图D. 连通但删去一条边则不连通的图正确:【C】22、设论域为整数集,下列真值为真的公式是()A.B.C.D.正确:【A】23、在公式中变元y是()A. 自由变元B. 约束变元C. 既是自由变元,又是约束变元D. 既不是自由变元,又不是约束变元正确:【B】24、欧拉回路是()A. 路径B. 迹C. 既是初级回路也是迹D. 既非初级回路也非迹正确:【B】25、设A=,B=P(P(A)),以下不正确的式子是()A. 包含于BB. 包含于BC. 包括于BD. 包含于B正确:【D】26、设个体域是整数集,则下列命题的真值为真的是()A. yx(x·y=1)B. xy (x·y≠0)C.D.正确:【C】27、设有代数系统G=〈A,*〉,其中A是所有命题公式的集合,*为命题公式的合取运算,则G的幺元是()A. 矛盾式B. 重言式C. 可满足D. 公式p∧q正确:【B】28、下列命题联结词集合中,是最小联结词组的是()A. {┐,}B. {┐,∨,∧}C. {┐,∧}D. {∧,→}正确:【C】29、下列命题公式中不是重言式的是()A. p→(q→r)B. p→(q→p)C. p→(p→p)D. (p→(q→r))(q→(p→r))正确:【A】30、设A是正整数集,R={(x,y)|x,y∈A∧x+3y=12},则R∩({2,3,4,6}×{2,3,4,6})=()A.B. {<3,3>}C. {<3,3>,<6,2>}D. {<3,3>,<6,2>,<9,1>}正确:【C】31、下列各图是无向完全图的是()A.B.C.D.正确:【C】32、下列集合对所给的二元运算封闭的是()A. 正整数集上的减法运算B. 在正实数的集R+上规定为ab=ab-a-b a,b∈R+C. 正整数集Z+上的二元运算为xy=min(x,y) x,y∈Z+D. 全体n×n实可逆矩阵集合Rn×n上的矩阵加法正确:【C】33、下列语句中不是命题的只有()A. 鸡毛也能飞上天?B. 或重于泰山,或轻于鸿毛。

《离散数学》《集合论》作业2:等价关系部分题解

《离散数学》《集合论》作业2:等价关系部分题解

1.{1,2,3,4}上的等价关系有多少?解:∵4=1+3=1+1+2=2+2=1+1+1+1∴集合{1,2,3,4}的划分有:1+C41+C42+C42/2+1=1+4+6+6/2+1=15(种)∵集合的划分与集合上的等价关系一一对应∴集合{1,2,3,4}上的等价关系有15种2.X={1,2,3,4},X的划分Π={{1,2,3},{4}}:①求由Π诱导的等价关系②计算Π的全部加细解:①由Π诱导的等价关系R={1,2,3}×{1,2,3}∪{4}×{4}={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<2,3>,<3,1>,<3,2>,<3,3>,<4,4>}②Π的加细有:{{1,2,3},{4}}{{1,2},{3},{4}}{{1,3},{2},{4}}{{2,3},{1},{4}}{{1},{2},{3},{4}}3.A是非空集合,R1、R2是A上的等价关系,下列关系是否等价关系?为什么?①(A×A)-R1②R1-R2③ r(R1-R2)④R1oR2⑤R1oR1解:①(A×A)-R1不是等价关系:不自反②R1-R2不是等价关系:不自反③ r(R1-R2)不是等价关系:有可能不传递例:A={1,2,3}R1=IA∪{<1,2>,<2,1>,<1,3>,<3,1>,<2,3>,<3,2>}R2=IA∪{<2,3>,<3,2>}④R1oR2不是等价关系:有可能不对称例:A={1,2,3}R1=IA∪{<1,2>,<2,1>}R2=IA∪{<2,3>,<3,2>}⑤R1oR1是等价关系:(1)∵R1是等价关系∴R1自反,对称,传递∀x∈A ∵R1自反∴<x,x>∈R1 ∴<x,x>∈R1oR1 ∴R1oR1自反(2)∀<x,y>∈R1oR1 存在z∈A使<x,z>∈R1且<z,y>∈R1∵R1对称∴有<z,x>∈R1且<y,z>∈R1∴<y,x>∈R1oR1 ∴R1oR1对称(3)∀<x,y>,<y,z>∈R1oR1存在u∈A使<x,u>∈R1且<u,y>∈R1 存在v∈A使<y,v>∈R1且<v,z>∈R1∵R1传递∴有<x,y>∈R1且<y,z>∈R1∴<x,z>∈R1oR1 ∴R1oR1传递10.2 A={<1,2>,<2,4>,<3,3}, B={<1,3>,<2,4>,<4,2},求: ①A∪B ②A∩B ③dom(A) ④dom(B) ⑤ran(A) ⑥ran(B) ⑦dom(A∪B) ⑧ran(A∩B) 解:①A∪B = {<1,2>,<1,3>,<2,4>,<3,3>,<4,2>}②A∩B = {<2,4>}③dom(A) = {1,2,3}④dom(B) = {1,2,4}⑤ran(A) = {2,3,4}⑥ran(B) = {2,3,4}⑦dom(A∪B) = {1,2,3,4}⑧ran(A∩B) = {4}10.3 求证:①dom(R∪S) = dom(R)∪dom(S)②dom(R∩S) ≤ dom(R)∩dom(S)证明:设R和S是从A到B的关系①∵∀x∈A, 有x∈dom(R∪S)<=> (∃y)( y∈B ∧ <x,y>∈R∪S )<=> (∃y)( y∈B ∧ (<x,y>∈R ∨ <x,y>∈S) )<=> (∃y)( (y∈B ∧ <x,y>∈R) ∨ (y∈B ∧ <x,y>∈S) )<=> (∃y)(y∈B ∧ <x,y>∈R) ∨ (∃y)(y∈B ∧ <x,y>∈S)<=> x∈dom(R) ∨ x∈dom(S)<=> x∈(dom(R)∪dom(S))∴dom(R∪S) = dom(R)∪dom(S)②∵∀x∈A, 有x∈dom(R∩S)<=> (∃y)( y∈B ∧ <x,y>∈R∩S )<=> (∃y)( y∈B ∧ (<x,y>∈R ∧ <x,y>∈S) )<=> (∃y)( (y∈B ∧ <x,y>∈R) ∧ (y∈B ∧ <x,y>∈S) )=> (∃u)(u∈B ∧ <x,u>∈R) ∧ (∃v)(v∈B ∧ <x,v>∈S)<=> x∈dom(R) ∧ x∈dom(S)<=> x∈(dom(R)∩dom(S))∴dom(R∩S) ≤ dom(R)∩dom(S)10.5 列出所有从A={a,b,c}到B={d}的关系解: 应该有23×1 = 8种关系即A×B={<a,d>,<b,d>,<c,d>} 的所有子集:Φ{<a,d>}{<b,d>}{<c,d>}{<a,d>,<b,d>}{<a,d>,<c,d>}{<b,d>,<c,d>}{<a,d>,<b,d>,<c,d>}10.8 R={<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,2>,<1,3>,<2,3>}求: ①RoR ②R↑{1} ③R-1↑{1} ④R[{1}] ⑤R-1[{1}]解: ①RoR = {<0,2>,<0,3>,<1,3>}②R↑{1} = {<1,2>,<1,3>}③R-1↑{1} = {<1,0>}④R[{1}] = {2,3}⑤R-1[{1}] = {0}10.9 A = { <Φ,{Φ,{Φ}}> , <{Φ},Φ> }求: ①AoA ②A-1③A↑Φ④A↑{Φ} ⑤A↑{Φ,{Φ}} ⑥A[Φ] ⑦A[{Φ}] ⑧A[{Φ,{Φ}}] 解: ① AoA = { <{Φ} , {Φ,{Φ}}> }② A-1 = { < {Φ,{Φ}},Φ> , <Φ,{Φ} > }③ A↑Φ = Φ④ A↑{Φ} = { <Φ,{Φ,{Φ}}> }⑤ A↑{Φ,{Φ}} = { <Φ,{Φ,{Φ}}> , <{Φ},Φ> }⑥ A[Φ] = Φ⑦ A[{Φ}] = { {Φ,{Φ}} }⑧ A[{Φ,{Φ}}] = { {Φ,{Φ}} , Φ }10.10 R,S,T是A上的关系, 求证Ro(S∪T) = (RoS)∪(RoT)10.11 S是从X到Y的关系, T是从Y到Z的关系, A和B是集合求证: ① S[A] ≤Y② (ToS)[A] = R[S[A]]③ S[A∪B] = S[A]∪S[B]④ S[A∩B]≤S[A] ∩S[B]10.12 对A上的关系R, 以及集合A1和A2 ,求证: ① A1≤A2 => R[A1]≤R[A2]② R↑(A1∪A2) = R↑A1 ∪ R↑A210.18 对A上的关系R, 以下结论为真则证明,为假则举一反例:①若R1和R2自反,则R1oR2也自反②若R1和R2反自反,则R1oR2也反自反③若R1和R2对称,则R1oR2也对称④若R1和R2传递,则R1oR2也传递解: ①为真。

2022学堂在线网课《离散数学》课后作业单元考核答案 (2)

2022学堂在线网课《离散数学》课后作业单元考核答案 (2)

2022学堂在线网课《离散数学》课后作业单元考核答案第一单元:命题逻辑1.1 命题与命题公式1. 命题的定义命题是陈述一个能真假判断的陈述句,它要么是真的,要么是假的,不能既真且假。

2. 命题公式的定义命题公式是由命题变元和逻辑连接词组成的公式。

3. 简述命题公式中的逻辑连接词命题公式中的逻辑连接词包括合取(∧)、析取(∨)、条件(→)和双条件(↔)等。

1.2 命题的逻辑运算1. 合取运算合取运算表示为∧,表示两个命题的并集。

2. 析取运算析取运算表示为∨,表示两个命题的交集。

3. 条件运算条件运算表示为→,表示若前件成立,则推导出后件成立。

4. 双条件运算双条件运算表示为↔,表示前件成立当且仅当后件成立。

1.3 命题公式的真值表1. 真值表的定义真值表是用来表示命题公式在不同命题变元取值情况下的真假值。

2. 举例说明真值表的用途例如,对于命题公式 P ∧ Q,可以通过真值表确定当 P 和 Q 取不同的真假值时,P ∧ Q 的真假值。

第二单元:谓词逻辑2.1 命题与谓词1. 谓词的定义谓词是带有一个或多个变元的陈述句,它的真假值依赖于变元的取值。

2. 简述谓词中的变元和量词谓词中的变元是谓词的参数,它们可以是常量、变量或者表达式。

量词用于表示对谓词中的变元的范围。

2.2 谓词公式的定义与举例1. 谓词公式的定义谓词公式是由谓词和量词组成的公式。

2. 举例说明谓词公式的用途例如,对于谓词公式∃x.(P(x) ∧ Q(x)),可以表示存在一个变元 x,使得 P(x) 和 Q(x) 同时成立。

2.3 谓词公式的真值表1. 真值表的定义谓词公式的真值表用于表示谓词公式在不同变元取值情况下的真假值。

2. 举例说明谓词公式的真值表例如,对于谓词公式∀x.(P(x) → Q(x)),可以通过真值表确定当 P(x) 和 Q(x) 取不同的真假值时,谓词公式的真假值。

第三单元:集合论3.1 集合与运算1. 集合的定义集合是指具有共同特征的对象的总体。

离散数学形成性考核作业2答案

离散数学形成性考核作业2答案

1. 若集合A={ a,{a},{1,2}},则下列表述正确的是( ).A. {a,{a}}AB. {1,2}AC. {a}AD. A2. 设A、B是两个任意集合,侧A-B = Ø⇔( ).A. A=BB. A⊆BC. A⊇BD. B=Ø3. 集合A={1, 2, 3, 4}上的关系R={<x,y>|x<y且x, y A},则R的性质为().A. 不是自反的B. 不是对称的C. 传递的D. 反自反的4. 设集合A={1,2,3,4},R是A上的二元关系,其关系矩阵为则R的关系表达式是( ).A. {<1, 1>,<1, 4>,<2, 1>,<3, 4>,<4,1>}B. {<1, 1>,<1, 2>,<1, 4>,<4, 1>,<4, 3>}C. {<1, 1>,<2, 1>,<4, 1>,<4, 3>,<1, 4>}D. {<1, 1>,<1, 2>,<2, 4>,<4, 1>,<4, 3>}5. 设集合A={1 , 2 , 3 , 4}上的二元关系R={<1, 1>,<2, 2>,<2, 3>,<4, 4>},S={<1, 1>,<2, 2>,<2, 3>,<3, 2>,<4, 4>},则S是R的()闭包.A. 自反B. 传递C. 对称D. 自反和传递6. 设A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8},R是A上的整除关系,B ={2, 4, 6},则集合B的最大元、最小元、上界、下界依次为 ( ).A. 8、2、8、2B. 8、1、6、1C. 6、2、6、2D. 无、2、无、27. 若集合A={ a,{a}},则下列表述正确的是( ).A. {a}AB. {{{a}}}AC. {a,{a}}AD. A8. 若集合A的元素个数为10,则其幂集的元素个数为().A. 1024B. 10C. 100D. 19. 集合A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}上的关系R={<x,y>|x+y<10且x, y A},则R的性质为().A. 自反的B. 对称的C. 传递且对称的D. 反自反且传递的10. 设集合A={a},则A的幂集为( ).A. {{a}}B. {a,{a}}C. {,{a}}D. {,a}11. 设A={a, b},B={1, 2},R1,R2,R3是A到B的二元关系,且R1={<a,2>, <b,2>},R2={<a,1>, <a,2>, <b,1>},R3={<a,1>, <b,2>},则()不是从A到B的函数.A. R1B. R2C. R3D. R1和R312. 如果R1和R2是A上的自反关系,则R1∪R2,R1∩R2,R1-R2中自反关系有()个.A. 0B. 2C. 1D. 313. 若集合A={1,2},B={1,2,{1,2}},则下列表述正确的是( ).A. A B,且A BB. B A,且A BC. A B,且A BD. A B,且A B14. 设集合A = {1, a },则P(A) = ( ).A. {{1}, {a}}B. {,{1}, {a}}C. {{1}, {a}, {1, a }}D. {,{1}, {a}, {1, a }}15. 设A ={a,b,c},B ={1,2},作f:A→B,则不同的函数个数为.A. 2B. 3C. 6D. 816. 若集合A={2,a,{ a },4},则下列表述正确的是( ).A. {a,{ a }}∈AB. Ø∈AC. {2}∈AD. { a }⊆A17. 设集合A = {1, 2, 3, 4, 5}上的偏序关系的哈斯图如右图所示,若A的子集B = {3, 4, 5},则元素3为B的().A. 下界B. 最小上界C. 最大下界D. 最小元18. 若集合A={ a,{a},{1,2}},则下列表述正确的是( ).A. {a,{a}}AB. {1,2}AC. {a}AD. A19. 设函数f:N→N,f(n)=n+1,下列表述正确的是().A. f存在反函数B. f是双射的C. f是满射的D. f是单射函数20. 设集合A ={1 , 2, 3}上的函数分别为:f = {<1, 2>,<2, 1>,<3, 3>},g = {<1, 3>,<2, 2>,<3, 2>},h = {<1, 3>,<2, 1>,<3, 1>},则h=().A. f◦gB. g◦fC. f◦fD. g◦g21. 设集合A ={1,2,3,4,5},偏序关系≤是A上的整除关系,则偏序集<A,≤>上的元素5是集合A的().A. 最大元B. 最小元C. 极大元D. 极小元。

离散数学课程作业(2)

离散数学课程作业(2)

《离散数学》课程作业(2)-------数理逻辑部分一、 填空题1. 将几个命题联结起来,形成一个复合命题的逻辑联结词主要有否定、 、 、 和等值。

2、命题公式G=(P ∧Q )→R ,则G 共有 个不同的解释;把G 在其所有解释下所取真值列成一个表,称为G 的 ;解释(⌝P ,Q ,⌝R )或(0,1,0)使G 的真值为 。

3、 已知命题公式R Q P G →∧⌝=)(,则G 的析取范式是 。

4、 求公式)()(R P Q P ∧⌝∨∧的主析取范式 。

5、 设命题公式)(R Q P G →⌝→=,则使公式G 为假的解释是 、 和 。

6、在谓次词逻辑中将下面命题符号化:在北京工作的人未必都是北京人(提示:设F (x ):x 在北京工作。

G (x ):x 是北京人。

) 。

7、将公式化成等价的前束范式,=→∃→⌝∃∃)))()((),((x R z zQ y x yP x 。

8、设谓词的定义域为},,{c b a ,将表达式)()(x xS x xR ∃∧∀中的量词消除,写成与之等价的命题公式是 。

二、 单项选择题1、下列语句中,( )是命题。

A .下午有会吗?B .这朵花多好看呀!C .2是常数。

D .请把门关上。

2、一个公式在等价意义下,下面哪个写法是唯一的( )。

A .析取范式B .合取范式C .主析取范式D .以上答案都不对3、设命题公式P Q P G →∧=)(,则G 是( )。

A. 恒假的B. 恒真的C. 可满足的D. 析取范式4、设命题公式)(),(P Q P H Q P G ⌝→→=→⌝=,则G 与H 的关系是( )。

以上都不是。

.;.;.;.D H G C G H B H G A =⇒⇒ 5、已知命题))((R Q P G ∧→⌝=,则所有使G 取真值1的解释是( )。

A (0,0,0),(0,0,1),(1,0,0)B (1,0,0),(1,0,1),(1,1,0)C (0,1,0),(1,0,1),(0,0,1)D (0,0,1),(1,0,1),(1,1,1)6、设I 是如下一个解释,0101),(),(),(),(},,{b b P a b P b a P a a P b a D =, 则在解释I 下取真值为1的公式是( )。

离散数学作业 (2)

离散数学作业 (2)

离散数学作业布置第1次作业(P15)1.16 设p、q的真值为0;r、s的真值为1,求下列各命题公式的真值。

解:(1)p∨(q∧r)=0∨(0∧1)=0(2)(p↔r)∧(﹁q∨s)=(0↔1)∧(1∨1)=0∧1 =0(3)(﹁p∧﹁q∧r)↔(p∧q∧﹁r)=(1∧1∧1)↔ (0∧0∧0)=0(4)(r∧s)→(p∧q)=(0∧1)→(1∧0)=0→0=11.17 判断下面一段论述是否为真:“π是无理数。

并且,如果3是无理数,则2也是无理数。

另外只有6能被2整除,6才能被4整除。

”解:p: π是无理数 1q: 3是无理数0r: 2是无理数 1s:6能被2整除 1t: 6能被4整除0命题符号化为:p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1,所以这一段的论述为真。

1.19 用真值表判断下列公式的类型:(4)(p→q) →(﹁q→﹁p)(5)(p∧r) ↔ (﹁p∧﹁q)(6)((p→q) ∧(q→r)) →(p→r)解:(4)p q p→q q p q→p (p→q)→( q→p)0 0 1 1 1 1 10 1 1 0 1 1 11 0 0 1 0 0 11 1 1 0 0 1 1所以公式类型为永真式,最后一列全为1(5)公式类型为可满足式(方法如上例),最后一列至少有一个1(6)公式类型为永真式(方法如上例,最后一列全为1)。

第2次作业(P38)2.3 用等值演算法判断下列公式的类型,对不是重言式的可满足式,再用真值表法求出成真赋值.(1) ﹁(p∧q→q)(2)(p→(p∨q))∨(p→r)(3)(p∨q)→(p∧r)解:(1) ﹁(p∧q→q) ⇔﹁(﹁(p∧q) ∨q) ⇔(p∧q) ∧﹁q⇔p∧(q ∧﹁q) ⇔ p∧0 ⇔0所以公式类型为矛盾式(2)(p→(p∨q))∨(p→r) ⇔ (﹁p∨(p∨q))∨(﹁p∨r) ⇔﹁p∨p∨q∨r⇔1所以公式类型为永真式(3) (p∨q) → (p∧r) ⇔¬(p∨q) ∨ (p∧r) ⇔ (¬p∧¬q) ∨(p∧r)易见, 是可满足式, 但不是重言式. 成真赋值为: 000,001, 101, 111P q r ¬p∧¬q p∧r (¬p∧¬q) ∨(p∧r)0 0 0 1 0 10 0 1 1 0 10 1 0 0 0 00 1 1 0 0 01 0 0 0 0 01 0 1 0 1 11 1 0 0 0 01 1 1 0 1 1所以公式类型为可满足式2.4 用等值演算法证明下面等值式:(2) ( (p→q)∧(p→r) ) ⇔ (p→(q∧r))(4)(p∧﹁q)∨(﹁p∧q) ⇔ (p∨q)∧﹁(p∧q)证明(2)(p→q)∧(p→r)⇔( ﹁p∨q)∧(﹁p∨r)⇔﹁p∨(q∧r))⇔p→(q∧r)(4)(p∧﹁q)∨(﹁p∧q) ⇔(p∨(﹁p∧q)) ∧(﹁q∨(﹁p∧q) )⇔ (p∨﹁p)∧(p∨q)∧(﹁q∨﹁p) ∧(﹁q∨q)⇔1∧(p∨q)∧(﹁p∨﹁q)∧1⇔ (p∨q)∧﹁(p∧q)第3次作业(P38)2.5 求下列公式的主析取范式, 并求成真赋值:(1)( ¬p→q) →(¬q∨p)(2) (¬p→q) ∧q∧r(3)(p∨(q∧r)) →(p∨q∨r)(4) ¬(p→q) ∧q∧r解:(1)(¬p→q) →(¬q∨p)⇔¬(p∨q) ∨(¬q∨p)⇔¬p∧¬q ∨¬q ∨p⇔¬q ∨p (吸收律)⇔ (¬p∨p)∧¬q ∨p∧(¬q∨q)⇔¬p∧¬q∨p∧¬q ∨p∧¬q ∨p∧q⇔m0∨m2∨m2∨m3⇔m0∨m2∨m3成真赋值为00, 10, 11.(2) (¬p→q) ∧q∧r⇔ (p∨q) ∧q∧r⇔ (p∧q∧r) ∨q∧r⇔ (p∧q∧r) ∨(¬p ∨p) ∧q∧r⇔p∧q∧r∨¬p ∧q∧r∨p∧q∧r⇔m3∨m7成真赋值为011,111.(3) (p∨(q∧r)) →(p∨q∨r)⇔¬(p∨(q∧r)) ∨(p∨q∨r)⇔¬p∧¬(q∧r) ∨(p∨q∨r)⇔¬p∧(¬q∨¬r)∨(p∨q∨r)⇔¬p∧¬q∨¬p∧¬r∨p∨q∨r⇔¬p∧¬q∧(r∨¬r)∨¬p∧(q∨¬q)∧¬r∨p∧(q∨¬q) ∧(r∨¬r) ∨ (p∨¬p) ∧q∧(r∨¬r)∨(p∨¬p) ∧(q∨¬q) ∧r⇔m0∨m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m6∨m7, 为重言式.(4) ¬(p→q) ∧q∧r⇔¬(¬p∨q) ∧q∧r⇔ (p∧¬q) ∧q∧r⇔ p∧(¬q ∧q)∧r⇔0主析取范式为0, 无成真赋值, 为矛盾式.第4次作业(P38)2.6 求下列公式的主合取范式, 并求成假赋值:(1) ¬(q→¬p) ∧¬p(2)(p∧q) ∨ (¬p∨r)(3)(p→(p∨q)) ∨r解:(1) ¬(q→¬p) ∧¬p⇔¬(¬q∨¬p) ∧¬p⇔q∧p ∧¬p⇔q∧0⇔0⇔M0∧M1∧M2∧M3这是矛盾式. 成假赋值为00, 01, 10, 11.(2)(p∧q) ∨ (¬p∨r)⇔(p∧q) ∨¬p∨r⇔(p∨¬p)∧(¬p ∨q)∨r⇔ (¬p ∨q)∨r⇔¬p ∨q∨r⇔M4, 成假赋值为100.(3)(p→(p∨q)) ∨r⇔(¬p∨(p∨q)) ∨r⇔(¬p∨p)∨q ∨r⇔1主合取范式为1, 为重言式.2.32 用消解原理证明下述公式是矛盾式:(1) (¬p∨q) ∧ (¬p∨r) ∧ (¬q∨¬r) ∧ (p∨¬r) ∧r(2) ¬((p∨q) ∧¬p→q)解:(1) (¬p∨q) ∧ (¬p∨r) ∧ (¬q∨¬r) ∧ (p∨¬r) ∧r第一次循环S0=Φ, S1={¬p∨q,¬p∨r,¬q∨¬r,p∨¬r,r}, S2=Φ由¬p∨r, p∨¬r消解得到λ输出“no”,计算结束(2) ¬((p∨q) ∧¬p→q)⇔¬(¬((p∨q) ∧¬p) ∨q)⇔((p∨q) ∧¬p) ∧¬q⇔ (p∨q) ∧¬p ∧¬q第一次循环S0=Φ, S1={p∨q,¬p, ¬q}, S2=Φ由p∨q,¬p消解得到q,由q, ¬q消解得到λ,输出“no”,计算结束2.33 用消解法判断下述公式是否可满足的:(1) p∧ (¬p∨¬q) ∧q(2) (p∨q) ∧(p∨¬q) ∧(¬p∨ r)解:(1) p∧ (¬p∨¬q) ∧q第一次循环S0=Φ, S1={p, ¬p∨¬q, q}, S2=Φ由p, ¬p∨¬q消解得到¬q,由q, ¬q消解得到λ,输出“no”,计算结束(2) (p∨q) ∧(p∨¬q) ∧(¬p∨ r)第一次循环S0=Φ, S1={p∨q, p∨¬q, ¬p∨ r}, S2=Φ由p∨q, p∨¬q消解得到p,由p∨q, ¬p∨ r消解得到q ∨r,由p∨¬q, ¬p∨ r消解得到¬q ∨r,由p, ¬p∨ r消解得到r,S2={p, q ∨r, ¬q ∨r, r}第二次循环S0={p∨q, p∨¬q, ¬p∨ r}, S1={p, q ∨r, ¬q ∨r, r}, S2=Φ由p∨q, ¬q ∨r消解得到p∨r,由p∨¬q, q ∨r消解得到p∨r,由p∨¬q, q ∨r消解得到p∨r,由¬p∨ r, p 消解得到r,S2={p∨r}第三次循环S0={p, q ∨r, ¬q ∨r, r}, S1={p∨r}, S2=ΦS2=Φ输出“yes”,计算结束3.6 判断下面推理是否正确. 先将简单命题符号化, 再写出前提, 结论, 推理的形式结构(以蕴涵式的形式给出)和判断过程(至少给出两种判断方法):(1)若今天是星期一, 则明天是星期三;今天是星期一. 所以明天是星期三.(2)若今天是星期一, 则明天是星期二;明天是星期二. 所以今天是星期一.(3)若今天是星期一, 则明天是星期三;明天不是星期三. 所以今天不是星期一.(4)若今天是星期一, 则明天是星期二;今天不是星期一. 所以明天不是星期二.(5)若今天是星期一, 则明天是星期二或星期三. 今天是星期一. 所以明天是星期二.(6)今天是星期一当且仅当明天是星期三;今天不是星期一. 所以明天不是星期三.设p: 今天是星期一, q: 明天是星期二, r: 明天是星期三.(1)推理的形式结构为(p→r) ∧p→r此形式结构为重言式, 即(p→r) ∧p⇒r所以推理正确.(2)推理的形式结构为(p→q) ∧q→p此形式结构不是重言式, 故推理不正确.(3)推理形式结构为(p→r) ∧¬r→¬p此形式结构为重言式, 即(p→r) ∧¬r⇒¬p故推理正确.(4)推理形式结构为(p→q) ∧¬p→¬q此形式结构不是重言式, 故推理不正确.(5)推理形式结构为(p→(q∨r) )∧p →q它不是重言式, 故推理不正确.(6)推理形式结构为(p↔r) ∧¬p→¬r此形式结构为重言式, 即(p↔r) ∧¬p⇒¬r故推理正确.推理是否正确, 可用多种方法证明. 证明的方法有真值表法, 等值演算法. 证明推理正确还可用构造证明法.下面用等值演算法和构造证明法证明(6)推理正确.1. 等值演算法(p↔r) ∧¬p→¬r⇔(p→r) ∧(r→p)∧¬p→¬r⇔¬((¬p∨r) ∧(¬r∨p)∧¬p) ∨¬r⇔¬(¬p∨r) ∨¬(¬r∨p) ∨p ∨¬r⇔(p∧¬r)∨(r∧¬p)∨p ∨¬r⇔ (r∧¬p)∨p ∨¬r 吸收律⇔ (r∧¬p)∨¬(¬p ∨r)德摩根律⇔1即(p↔r) ∧¬p⇒¬r故推理正确2.构造证明法前提: (p↔r), ¬p结论: ¬r证明:①p↔r 前提引入②(p→r) ∧(r→p) ①置换③r→p ②化简律④¬p 前提引入⑤¬r ③④拒取式所以, 推理正确.第7次作业(P53-54)3.15 在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理: (1)前提: p→(q→r), s→p, q结论: s→r(2)前提: (p∨q) →(r∧s), (s∨t) →u结论: p→u(1)证明:①s 附加前提引入②s→p 前提引入③p ①②假言推理④p→(q→r) 前提引入⑤q→r ③④假言推理⑥q 前提引入⑦r ⑤⑥假言推理(2)证明:①P 附加前提引入②p∨q ①附加③(p∨q) →(r∧s) 前提引入④r∧s ②③假言推理⑤S ④化简⑥s∨t ⑤附加⑦(s∨t) →u 前提引入⑧u ⑥⑦假言推理3.16 在自然推理系统P中用归谬法证明下面推理:(1)前提: p→¬q, ¬r∨q, r∧¬s结论: ¬p(2)前提: p∨q, p→r, q→s结论: r∨s(1)证明:①P 结论否定引入②p→¬q 前提引入③¬q ①②假言推理④¬r∨q 前提引入⑤¬r ③④析取三段论⑥r∧¬s 前提引入⑦r ⑥化简规则⑧¬r∧r ⑤⑦合取引入规则⑧为矛盾式, 由归谬法可知, 推理正确.(2)证明:①¬(r∨s) 结论否定引入②p∨q 前提引入③p→r 前提引入④q→s 前提引入⑤(p→r) ∧(q→s) ∧(p∨q) ②③④合取引入规则⑥r∨s ⑤构造性二难⑦(r∨s) ∧¬(r∨s) ④⑤合取引入规则⑦为矛盾式, 所以推理正确.第8次作业(P65-66)4.5 在一阶逻辑中将下列命题符号化:(1)火车都比轮船快.(2)有的火车比有的汽车快.(3)不存在比所有火车都快的汽车.(4)“凡是汽车就比火车慢”是不对的.解:因为没指明个体域, 因而使用全总个体域(1) ∀x∀y(F(x) ∧G(y) →H(x,y))其中, F(x): x 是火车, G(y): y 是轮船, H(x,y):x 比y 快.(2) ∃x∃y(F(x) ∧G(y) ∧H(x,y))其中, F(x): x 是火车, G(y): y 是汽车, H(x,y):x 比y 快.(3) ¬∃x(F(x) ∧∀y(G(y) →H(x,y)))或∀x(F(x) →∃y(G(y) ∧¬H(x,y)))其中, F(x): x 是汽车, G(y): y 是火车, H(x,y):x 比y 快.(4) ¬∀x∀y(F(x) ∧G(y) →H(x,y))或∃x∃y(F(x) ∧G(y) ∧¬H(x,y) )其中, F(x): x 是汽车, G(y): y 是火车, H(x,y):x 比y 慢.4.9 给定解释I 如下:(a)个体域为实数集合R.(b)特定元素a=0.(c)特定函数-f(x,y)=x-y, x,y∈R.(d)谓词-F(x,y): x=y,-G(x,y): x<y, x,y∈R.给出下列公式在I 下的解释, 并指出它们的真值:(1) ∀x∀y(G(x,y) →¬F(x,y))(2) ∀x∀y(F(f(x,y),a) →G(x,y))(3) ∀x∀y(G(x,y) →¬F(f(x,y),a))(4) ∀x∀y(G(f(x,y),a) →F(x,y))解:(1) ∀x∀y(x<y→x≠y), 真值为1.(2) ∀x∀y((x-y=0) →(x<y)), 真值为0.(3) ∀x∀y((x<y) → (x-y≠0)), 真值为1.(4) ∀x∀y((x-y<0) → (x=y)), 真值为0.第9次作业(P79-80)5.5 给定解释I如下:(a) 个体域D={3,4};(b)-f(x):-f(3)=4,-f(4)=3;(c)-F(x,y):-F(3,3)=-F(4,4)=0,-F(3,4)=-F(4,3)=1.试求下列公式在I下的真值:(1) ∀x∃yF(x,y)(2) ∃x∀yF(x,y)(3)∀x∀y(F(x,y)→F(f(x),f(y)))解:(1)∀x∃yF(x,y)⇔ (F(3,3)∨F(3,4))∧(F(4,3)∨F(4,4))⇔ (0∨1)∧(1∨0) ⇔ 1(2)∃x∀yF(x,y)⇔ (F(3,3)∧F(3,4))∨(F(4,3)∧F(4,4))⇔ (0∧1)∨(1∧0) ⇔ 0(3)∀x∀y(F(x,y)→F(f(x),f(y)))⇔ (F(3,3)→F(f(3),f(3)))∧(F(4,3)→F(f(4),f(3)))∧(F(3,4)→F(f(3),f(4)))∧(F(4,4)→F(f(4),f(4)))⇔ (0→0)∧(1→1)∧(1→1)∧(0→0) ⇔15.12 求下列各式的前束范式.(1)∀xF(x)→∀yG(x, y)(3)∀xF(x, y) ↔∃xG(x, y)(5) ∃x1F(x1, x2)→(F(x1)→¬∃x2G(x1, x2)).解:前束范式不是唯一的.(1) ∀xF(x)→∀yG(x, y)⇔∃x (F(x)→∀yG(t, y))⇔∃x∀y(F(x)→G(t, y)).(3) ∀xF(x, y) ↔∃xG(x, y)⇔ (∀xF(x, y)→∃xG(x, y))∧(∃xG(x, y)→∀xF(x, y))⇔ (∀xF(x, y)→∃uG(u, y))∧(∃xG(x, y)→∀vF(v, y)) ⇔∃x∃u(F(x, y)→G(u, y))∧∀x∀v(G(x, y)→F(v, y))⇔∃x∃u(F(x, y)→G(u, y))∧∀w∀v(G(w, y)→F(v, y)) ⇔∃x∃u∀w∀v ((F(x, y)→G(u, y))∧(G(w, y)→F(v, y))) (5)∃x1F(x1, x2)→(F(x1)→¬∃x2G(x1, x2))⇔∃x1F(x1, x2)→(F(x1)→∀x2¬G(x1, x2))⇔∃x1F(x1, x2)→∀x2(F(x1)→¬G(x1, x2))⇔∃x1F(x1, x3)→∀x2(F(x4)→¬G(x4, x2))⇔∀x1(F(x1, x3)→∀x2(F(x4)→¬G(x4, x2)))⇔∀x1∀x2 (F(x1, x3)→(F(x4)→¬G(x4, x2)))第10次作业(P79-80)5.15 在自然推理系统F L中,构造下面推理的证明:(1) 前提: ∃xF(x) →∀y((F(y)∨G(y))→R(y)),∃xF(x) 结论:∃xR(x).(2) 前提:∀x(F(x)→(G(a)∧R(x))),∃xF(x)结论:∃x(F(x)∧R(x))(3) 前提:∀x(F(x)∨G(x)),¬∃xG(x)结论:∃xF(x)(4) 前提:∀x(F(x)∨G(x)),∀x(¬G(x)∨¬R(x)),∀xR(x)结论: ∃xF(x)(1)证明:①∃xF(x) →∀y((F(y)∨G(y))→R(y)) 前提引入②∃xF(x) 前提引入③∀y((F(y)∨G(y))→R(y)) ①②假言推理④(F(c)∨G(c))→R(c) ③全称量词消去规则⑤F(c) ①存在量词消去规则⑥F(c) ∨G(c) ⑤附加⑦R(c) ④⑥假言推理⑧∃xR(x) ⑦存在量词引入规则(2) 证明:①∃xF(x) 前提引入②F(c) ①存在量词消去规则③∀x(F(x)→(G(a)∧R(x))) 前提引入④F(c)→(G(a)∧R(c)) ④全称量词消去规则⑤G(a)∧R(c) ②④假言推理⑥R(c) ⑤化简⑦F(c)∧R(c) ②⑥合取引入⑧∃x(F(x)∧R(x)) ⑦存在量词引入规则(3) 证明:①¬∃xG(x) 前提引入②∀x¬G(x) ①置换③¬G(c) ②全称量词消去规则④∀x(F(x)∨G(x)) 前提引入⑤F(c)∨G(c) ④全称量词消去规则⑥F(c) ③⑤析取三段论⑦∃xF(x) ⑥存在量词引入规则(4) 证明:①∀x(F(x)∨G(x)) 前提引入②F(y)∨G(y) ①全称量词消去规则③∀x(¬G(x)∨¬R(x)) 前提引入④¬G(y) ∨¬R(y) ③全称量词消去规则⑤∀xR(x) 前提引入⑥R(y) ⑤全称量词消去规则⑦¬G(y) ④⑥析取三段论⑧F(y) ②⑦析取三段论⑥∃xF(x) ⑧存在量词引入规则第11次作业(P96)6.4. 设F 表示一年级大学生的集合, S 表示二年级大学生的集合, M表示数学专业学生的集合, R 表示计算机专业学生的集合, T表示听离散数学课学生的集合, G 表示星期一晚上参加音乐会的学生的集合, H 表示星期一晚上很迟才睡觉的学生的集合. 问下列各句子所对应的集合表达式分别是什么? 请从备选的答案中挑出来.(1)所有计算机专业二年级的学生在学离散数学课.(2)这些且只有这些学离散数学课的学生或者星期一晚上去听音乐会的学生在星期一晚上很迟才睡觉.(3)听离散数学课的学生都没参加星期一晚上的音乐会.(4)这个音乐会只有大学一, 二年级的学生参加.(5)除去数学专业和计算机专业以外的二年级学生都去参加了音乐会.备选答案:①T⊆G∪H ②G∪H⊆T ③S∩R⊆T④H=G∪T ⑤T∩G=∅⑥F∪S⊆G⑦G⊆F∪S ⑧S-(R∪M) ⊆G ⑥G⊆S-(R∩M)解:(1) ③S∩R⊆T(2) ④H=G∪T(3) ⑤T∩G=∅(4) ⑦G⊆F∪S(5) ⑧S-(R∪M)⊆G6.5. 确定下列命题是否为真:(1) ∅⊆∅(2) ∅∈∅(3) ∅⊆{∅}(4)∅∈{∅}(5){a, b}⊆{a, b, c, {a, b, c}}(6){a, b}∈{a, b, c, {a, b }}(7){a, b}⊆{a, b, {{a, b}}}(8){a, b}∈{a, b, {{a, b}}}解:(1) 真(2)假(3) 真(4) 真(5) 真(6) 真(7) 真(8) 假第12次作业(P130-131)7.1. 已知A={∅,{∅}},求A×P(A).解:A×P(A)= {∅,{∅}}×{∅,{∅},{{∅}},{∅,{∅}}}={<∅, ∅>,<∅,{∅}>,<∅,{{∅}}>,<∅,{∅,{∅}}>,<{∅},∅>,<{∅},{∅}>,<{∅},{{∅}}>, <{∅},{∅,{∅}}>}7.7. 列出集合A={2, 3, 4}上的恒等关系I A, 全域关系E A, 小于或等于关系L A, 整除关系D A.解:I A={<2,2>,<3,3>,<4,4>}E A=A×A={<2,2>,<2,3>,<2,4>,<3,2>,<3,3>,<3,4>,<4,2>,<4,3>,<4,4>}L A={<2,2>,<2,3>,<2,4>,<3,3>,<3,4>,<4,4>}D A={<2,2>,<2,4>,<3,3>,<4,4>}7.12.设A={0, 1, 2, 3}, R 是A 上的关系, 且R={〈0, 0〉, 〈0, 3〉, 〈2, 0〉, 〈2, 1〉, 〈2, 3〉, 〈3, 2〉}给出R 的关系矩阵和关系图.解:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0010110100001001第13次作业(P131)7.13.设A = {〈1, 2〉, 〈2, 4〉, 〈3, 3〉}B = {〈1, 3〉, 〈2, 4〉, 〈4, 2〉}求A ∪B , A ∩B , dom A , dom(A ∪B ), ran A , ran B , ran(A ∩B ), fld(A −B ).解:A ∪B={〈1,2〉, 〈1,3〉, 〈2,4〉, 〈3,3〉, 〈4,2〉} A∩B={〈2,4〉} domA={1,2,3}dom(A ∪B)={1,2,3,4} ranA={2,3,4} ranB={3,4,2}ran(A∩B)={4}fld(A−B)={1,2,3}7.15.设A={〈∅,{∅,{∅}}〉,〈{∅},∅〉}求A −1,A 2,A 3,A ↾{∅},A[∅],A↾∅,A ↾{{∅}},A[{{∅}}].解:A −1={〈{∅,{∅}},∅〉,〈∅,{∅}〉},A 2={〈{∅},{∅,{∅}}〉},A 3=∅,A ↾{∅}={〈∅,{∅,{∅}}〉},A[∅]={∅,{∅}},A ↾∅=∅,A ↾{{∅}}={〈{∅},∅〉},A[{{∅}}]=∅7.16.设A={a,b,c,d}, R1,R2 为A 上的关系, 其中R 1={〈a,a〉,〈a,b〉,〈b,d〉}R 2={〈a,d〉,〈b,c〉,〈b,d〉,〈c,b〉}求R 1○R 2, R 2○R 1,R 12,R 23.解:R 1○R 2={〈a,a〉,〈a,c〉,〈a,d〉},R 2○R 1={〈c,d〉},R 12={〈a,a〉,〈a,b〉,〈a,d〉},R 23={〈b,c〉,〈b,d〉,〈c,b〉} 0 1 237.17.设A={a,b,c}, 试给出A 上两个不同的关系R 1和R 2,使得 R 12=R 1, R 23=R 2.解:R 1={〈a,a〉,〈b,b〉},R 2={〈b,c〉,〈c,b〉}第14次作业(P131-133)7.21. 设A={1,2,…,10},定义A 上的关系R={<x,y>|x,y ∈A ∧x+y=10}说明R 具有哪些性质并说明理由。

中国石油大学(华东)《离散数学》新在线作业(二)

中国石油大学(华东)《离散数学》新在线作业(二)

《离散数学》在线作业(二)设G为v个结点e条边的连通平面图,则面r等于()A:e-v+2B:v-e+2C:v+e+2D:v+e-2参考选项:A利用二元关系R的关系图求其对称闭包时,()A:每两个结点之间都加上两条方向相反的边B:若两个结点间有一条单向边,则添加一条与其方向相反的边C:每个结点上加上一个自环D:若两个结点间没有边相连,则加上两条方向相反的边参考选项:B图G和G1的结点和相应的边分别存在一一对应关系是图G和G1同构的()A:必要条件B:充分必要条件C:充分条件D:即不充分也不必要条件参考选项:BA:AB:BC:CD:D参考选项:C汉密尔顿回路是()A:闭迹B:路径C:既是闭迹又是圈D:既不是闭迹也不是圈参考选项:CA:AB:BC:CD:D参考选项:C只含有有限个元素的格称为有限格,有限格必是()A:有界格B:有补格C:分配格D:布尔格参考选项:A无向图中的边e是割边的充分必要条件是()A:边e不是重边B:边e是重边C:边e不包含在图的某个回路中D:边e不包含在图的任一闭迹中参考选项:DA:AB:BC:CD:D参考选项:A下列语句中是命题的是()A:今天是晴天。

B:你身体好吗?C:我真高兴。

D:请勿吵闹。

参考选项:A在代数系统中整环和域的关系是()A:整环一定是域B:域一定是整环C:域不一定是整环D:域一定不是整环参考选项:B设集合A={1,2,3,6,12},其中£为A上的整除关系。

则子集B={2,3}的极大元有()A:1B:3C:2D:6参考选项:B,C。

19春天津大学《离散数学(2)》在线作业二100分答案

19春天津大学《离散数学(2)》在线作业二100分答案

《离散数学(2)-2》在线作业二-0001试卷总分:100 得分:100一、单选题 (共 20 道试题,共 100 分)1.设D=<V,E>为有向图,V={a,b,c,d,e,f},E={<a,b>,<b,c>,<a,d>,<d,e>,<f,e>}是 ( )。

A.强连通图B.单向连通图C.弱连通图D.不连通图[试题分析]本题选择:C2.设集合{1 2 3 4 },A上的关系R={(1 2)(2 3)(2 4)(1 4)(3 4)}则R具有()A.反自反性B.传递性C.对称性D.以上答案都不对[试题分析]本题选择:A3.下面哪一种图不一定是树? ( )。

A.无回路的连通图B.有n个结点n-1条边的连通图C.每对结点间都有通路的图D.连通但删去一条边则不连通的图[试题分析]本题选择:C4.题面见图片:A.AB.BC.CD.D[试题分析]本题选择:A5.设R1,R2是集合A={a,b,c,d}上的两个关系,其中R1={(a,a),(b,b),(b,c),(d,d)},R2={(a,a),(b,b),(b,c),(c,b),(d,d)},则R2是R1的()闭包。

A.自反B.对称C.传递D.以上都不是[试题分析]本题选择:B6.具有6个结点的非同构的无向树的数目为()A.4B.5C.7D.8[试题分析]本题选择:C7.设G是n个顶点的无向简单图,则下列说法不正确的是 ( )A.若G是树,则其边数等于n-1B.若G是欧拉图,则G中必有割边C.若G中有欧拉路,则G是连通图,且有零个或两个奇度数顶点D.若G中任意一对顶点的度数之和大于等于n-1,则G中有汉密尔顿路[试题分析]本题选择:D8.下面命题正确的是()A.自反性对合成运算封闭B.反自反性对合成运算封闭C.对称性对合成运算封闭D.反对称性对合成运算封闭[试题分析]本题选择:A9.设G=(n,m)且G中每个结点的度数不是k就是k+1,则G中度数为k的结点的个数是 ( )。

离散数学第二次作业

离散数学第二次作业

第二次作业1、使用包含排斥原理求在1~10000之间(包括1和10000在内)不能被4、5、6整除的整数有多少个?(见书P107 24)解:|A|=[10000/4]=2500|B|=[10000/5]=2000|C|=[10000/6]=1666|A∩ B|=[1000/lcm(4,5)]=[10000/20]=500|A∩ C|=[1000/lcm(4,6)]=[10000/12]=833|B∩ C|=[1000/lcm(5,6)]=[10000/30]=333|A∩ B ∩ C|=[1000/lcm(4,5,6)]=[10000/60]=166|¯A ∩¯B ∩¯C|=|S|-(|A|+|B|+|C|)+(|A∩ B|+|A∩ C|+|B∩ C|)-|A∩ B ∩ C|=10000-(2500+2000+1666) +(500+833+333) -166=53342、证明下列集合恒等式:(见书P108 33)(1)A∩(B∪~A)= B∩A证对任意的X ,有X ∈A ∩(B ∪~A) ⇔x ∈A ∧X ∈(B ∪~A)⇔X ∈A ∧(X ∈B ∨X ∈~A)⇔X ∈A ∧(X ∈B ∨X ∉ A )⇔X ∈A ∧(X ∈B ∨⌝X ∈A )⇔X ∈A ∧X ∈B⇔A ∩B⇔B ∩A所以 A ∩(B ∪~A) = B∩(2)~((~A∪~B)∩~A)=A证~((~A∪~B)∩~A) =(~A∪~B)∩~A双重否定律= ~A吸收律=A双重否定律3、设A={<1,2>,<2,4>,<3,3>}B={<1,3>,<2,4>,<4,2>}求A∪B,A∩B,domA,domB,dom(A∪B),ranA,ranB, ran(A∩B), fld(A-B) A ∪B={<1,2>,<2,4>,<3,3>, <1,3>,<4,2>}A ∩B={<2,4>}A-B={<1,2>, <3,3>, <1,3>, <4,2>}domA={1,2,3}domB={1,2,4}dom (A ∪B ) ={1,2,3,4}ranA={2,4,3}ranB={3,4,2}ran(A∩B)={4}fld(A-B)={1,2,3,4}4、设A={a,b,c,d}, R1, R2为A上的关系,其中R1={<a,a>,<a,b>,<b,d>}R2={<a,d>,<b,c>,<b,d>,<c,b>}求R1︒ R2,R2︒ R1,R12,R23 (见书P140 16)解: R1︒ R2={<a,d>,<a,c>,<a,d>}R2︒ R1={<c,d>}R12= R1︒R1{<a,a>,<a,b>,<a,d>}R22= R2︒ R2={<b,b>,<c,c>,<c,d>}R23= R2︒ R22={<b,c>,<c,b>,<b,d>}【本文档内容可以自由复制内容或自由编辑修改内容期待你的好评和关注,我们将会做得更好】。

《离散数学》2017年秋学期在线作业(二)满分答案

《离散数学》2017年秋学期在线作业(二)满分答案

《离散数学》2017年秋学期在线作业(二)试卷总分:100 得分:100一、单选题1.在代数系统中整环和域的关系是()A. 整环一定是域B. 域一定是整环C. 域不一定是整环D. 域一定不是整环正确答案:B2. 仅由孤立结点组成的图称为()A. 平凡图B. 多重图C. 零图D. 完全图正确答案:C3. 无向图中的边e是割边的充分必要条件是()A. 边e不是重边B. 边e是重边C. 边e不包含在图的某个回路中D. 边e不包含在图的任一闭迹中正确答案:D4. 6阶群的任何子群一定不是()A. 3阶的B. 6阶的C. 4阶的D. 2阶的满分:2 分正确答案:C5. 只含有有限个元素的格称为有限格,有限格必是()A. 有界格B. 有补格C. 分配格D. 布尔格满分:2 分正确答案:A6. 图G和G1的结点和相应的边分别存在一一对应关系是图G和G1同构的()A. 必要条件B. 充分必要条件C. 充分条件D. 即不充分也不必要条件满分:2 分正确答案:B7. 设G为v个结点e条边的连通平面图,则面r等于()A. e-v+2B. v-e+2C. v+e+2D. v+e-2满分:2 分正确答案:A8. 设G=<V,E>有n个结点,m条边,则要确定G的一棵生成树必须删去G中边数为()A. m-n+1B. n-m-1C. m-n-1D. n-m+1满分:2 分正确答案:A9.A.B.C.D.满分:2 分正确答案:C10. Q为有理数集,Q上定义运算*为a*b=a+b-ab,则<Q,*>的幺元为()A. aB. bC. 1D. 0满分:2 分正确答案:D11. 汉密尔顿回路是()A. 闭迹B. 路径C. 既是闭迹又是圈D. 既不是闭迹也不是圈满分:2 分正确答案:C二、多选题 (共 4 道试题,共 28 分)1.A.B.C.D.满分:7 分正确答案:BCD2. 下列哪一种图不是树()A. 无回路的连通图B. 连通图的每条边均为割边C. 每对结点之间有且仅有一条路D. 有n条边,n-1个结点的连通图满分:7 分正确答案:ABC3. 在自然数集N上,下列运算中不可结合的是()A. a*b=a-bB. a*b=max(a,b)C. a*b=a+2bD. a*b=|a-b|满分:7 分正确答案:ACD4.A.B.C.D.满分:7 分正确答案:BD三、判断题 (共 10 道试题,共 50 分)1. 任意平面图至少是四色的。

离散数学大作业2

离散数学大作业2

一、单项选择题1、三个结点最多可以构成__________个非同构的无向简单图。

A .1B .2C .3D .42. 下列四组数据中,不能成为任何4阶无向简单图的度数序列的为( )A. 1,1,1,3,B.3,2,2,3C. 2,2,2,2,D. 1,2,3,43.无向图的关联矩阵中,每行的元素之和为( )。

A .边数的2倍B .2C .顶点数D .顶点的度数4、二部图(偶图)K 2,3是( )。

A .欧拉图B .哈密顿图C .非平面图D .平面图5.3阶无向完全图(K 3)不是以下哪种图?( )A .欧拉图B .平面图C .二部图D .哈密顿图二、填空题1. 一个无向图有4个结点,4条边,其中的3个顶点度数分别为1,2,3,则第4个结点度数一定是_______。

2、无向完全图K 4要成为欧拉图至少要添加_____________条边。

3.完全二部图K 2,3是平面图,它的平面嵌入共有______________个面。

4. 一棵无向树T 有4度、3度、2度的分枝点各1个,其余顶点均为树叶,则T 中有_____________片树叶。

三、设无向图G 有12条边,2个4度顶点,其余顶点度数均为3或2。

(1)计算该图最少有多少个顶点?(2)画出一棵具有最少顶点的无向图。

四、以下是具有结点V 1,V 2,V 3,V 4的有向图的邻接矩阵:⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1001200010100110 (1)画出该图; (2)求长度为2的通路总数和回路总数;(3)该图是否为欧拉图?五、右图是具有四个结点的有向图:(1)写出该图的邻接矩阵、可达矩阵;(2)求长度为2的通路总数。

(3)判断该图为单向连通还是强连通?六、右下图为无向图:(1)它是否为平面图?若是,请画出它的一个平面嵌入图;否则,说明理由。

(2)判断该图是否为哈密尔顿图?请说明理由。

(3)判断该图是否为二部图?请说明理由。

七. 图G是一个简单的连通的平面图,顶点数为8为四边形(次数为4),计算平面图G的边数和面数。

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离散数学作业布置第1次作业(P15)1.16 设p、q的真值为0;r、s的真值为1,求下列各命题公式的真值。

解:(1)p∨(q∧r)=0∨(0∧1)=0(2)(p↔r)∧(﹁q∨s)=(0↔1)∧(1∨1)=0∧1 =0(3)(﹁p∧﹁q∧r)↔(p∧q∧﹁r)=(1∧1∧1)↔ (0∧0∧0)=0(4)(r∧s)→(p∧q)=(0∧1)→(1∧0)=0→0=11.17 判断下面一段论述是否为真:“π是无理数。

并且,如果3是无理数,则2也是无理数。

另外只有6能被2整除,6才能被4整除。

”解:p: π是无理数 1q: 3是无理数0r: 2是无理数 1s:6能被2整除 1t: 6能被4整除0命题符号化为:p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1,所以这一段的论述为真。

1.19 用真值表判断下列公式的类型:(4)(p→q) →(﹁q→﹁p)(5)(p∧r) ↔ (﹁p∧﹁q)(6)((p→q) ∧(q→r)) →(p→r)解:(4)p q p→q q p q→p (p→q)→( q→p)0 0 1 1 1 1 10 1 1 0 1 1 11 0 0 1 0 0 11 1 1 0 0 1 1所以公式类型为永真式,最后一列全为1(5)公式类型为可满足式(方法如上例),最后一列至少有一个1(6)公式类型为永真式(方法如上例,最后一列全为1)。

第2次作业(P38)2.3 用等值演算法判断下列公式的类型,对不是重言式的可满足式,再用真值表法求出成真赋值.(1) ﹁(p∧q→q)(2)(p→(p∨q))∨(p→r)(3)(p∨q)→(p∧r)解:(1) ﹁(p∧q→q) ⇔﹁(﹁(p∧q) ∨q) ⇔(p∧q) ∧﹁q⇔p∧(q ∧﹁q) ⇔ p∧0 ⇔0所以公式类型为矛盾式(2)(p→(p∨q))∨(p→r) ⇔ (﹁p∨(p∨q))∨(﹁p∨r) ⇔﹁p∨p∨q∨r⇔1所以公式类型为永真式(3) (p∨q) → (p∧r) ⇔¬(p∨q) ∨ (p∧r) ⇔ (¬p∧¬q) ∨(p∧r)易见, 是可满足式, 但不是重言式. 成真赋值为: 000,001, 101, 111P q r ¬p∧¬q p∧r (¬p∧¬q) ∨(p∧r)0 0 0 1 0 10 0 1 1 0 10 1 0 0 0 00 1 1 0 0 01 0 0 0 0 01 0 1 0 1 11 1 0 0 0 01 1 1 0 1 1所以公式类型为可满足式2.4 用等值演算法证明下面等值式:(2) ( (p→q)∧(p→r) ) ⇔ (p→(q∧r))(4)(p∧﹁q)∨(﹁p∧q) ⇔ (p∨q)∧﹁(p∧q)证明(2)(p→q)∧(p→r)⇔( ﹁p∨q)∧(﹁p∨r)⇔﹁p∨(q∧r))⇔p→(q∧r)(4)(p∧﹁q)∨(﹁p∧q) ⇔(p∨(﹁p∧q)) ∧(﹁q∨(﹁p∧q) )⇔ (p∨﹁p)∧(p∨q)∧(﹁q∨﹁p) ∧(﹁q∨q)⇔1∧(p∨q)∧(﹁p∨﹁q)∧1⇔ (p∨q)∧﹁(p∧q)第3次作业(P38)2.5 求下列公式的主析取范式, 并求成真赋值:(1)( ¬p→q) →(¬q∨p)(2) (¬p→q) ∧q∧r(3)(p∨(q∧r)) →(p∨q∨r)(4) ¬(p→q) ∧q∧r解:(1)(¬p→q) →(¬q∨p)⇔¬(p∨q) ∨(¬q∨p)⇔¬p∧¬q ∨¬q ∨p⇔¬q ∨p (吸收律)⇔ (¬p∨p)∧¬q ∨p∧(¬q∨q)⇔¬p∧¬q∨p∧¬q ∨p∧¬q ∨p∧q⇔m0∨m2∨m2∨m3⇔m0∨m2∨m3成真赋值为00, 10, 11.(2) (¬p→q) ∧q∧r⇔ (p∨q) ∧q∧r⇔ (p∧q∧r) ∨q∧r⇔ (p∧q∧r) ∨(¬p ∨p) ∧q∧r⇔p∧q∧r∨¬p ∧q∧r∨p∧q∧r⇔m3∨m7成真赋值为011,111.(3) (p∨(q∧r)) →(p∨q∨r)⇔¬(p∨(q∧r)) ∨(p∨q∨r)⇔¬p∧¬(q∧r) ∨(p∨q∨r)⇔¬p∧(¬q∨¬r)∨(p∨q∨r)⇔¬p∧¬q∨¬p∧¬r∨p∨q∨r⇔¬p∧¬q∧(r∨¬r)∨¬p∧(q∨¬q)∧¬r∨p∧(q∨¬q) ∧(r∨¬r) ∨ (p∨¬p) ∧q∧(r∨¬r)∨(p∨¬p) ∧(q∨¬q) ∧r⇔m0∨m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m6∨m7, 为重言式.(4) ¬(p→q) ∧q∧r⇔¬(¬p∨q) ∧q∧r⇔ (p∧¬q) ∧q∧r⇔ p∧(¬q ∧q)∧r⇔0主析取范式为0, 无成真赋值, 为矛盾式.第4次作业(P38)2.6 求下列公式的主合取范式, 并求成假赋值:(1) ¬(q→¬p) ∧¬p(2)(p∧q) ∨ (¬p∨r)(3)(p→(p∨q)) ∨r解:(1) ¬(q→¬p) ∧¬p⇔¬(¬q∨¬p) ∧¬p⇔q∧p ∧¬p⇔q∧0⇔0⇔M0∧M1∧M2∧M3这是矛盾式. 成假赋值为00, 01, 10, 11.(2)(p∧q) ∨ (¬p∨r)⇔(p∧q) ∨¬p∨r⇔(p∨¬p)∧(¬p ∨q)∨r⇔ (¬p ∨q)∨r⇔¬p ∨q∨r⇔M4, 成假赋值为100.(3)(p→(p∨q)) ∨r⇔(¬p∨(p∨q)) ∨r⇔(¬p∨p)∨q ∨r⇔1主合取范式为1, 为重言式.2.32 用消解原理证明下述公式是矛盾式:(1) (¬p∨q) ∧ (¬p∨r) ∧ (¬q∨¬r) ∧ (p∨¬r) ∧r(2) ¬((p∨q) ∧¬p→q)解:(1) (¬p∨q) ∧ (¬p∨r) ∧ (¬q∨¬r) ∧ (p∨¬r) ∧r第一次循环S0=Φ, S1={¬p∨q,¬p∨r,¬q∨¬r,p∨¬r,r}, S2=Φ由¬p∨r, p∨¬r消解得到λ输出“no”,计算结束(2) ¬((p∨q) ∧¬p→q)⇔¬(¬((p∨q) ∧¬p) ∨q)⇔((p∨q) ∧¬p) ∧¬q⇔ (p∨q) ∧¬p ∧¬q第一次循环S0=Φ, S1={p∨q,¬p, ¬q}, S2=Φ由p∨q,¬p消解得到q,由q, ¬q消解得到λ,输出“no”,计算结束2.33 用消解法判断下述公式是否可满足的:(1) p∧ (¬p∨¬q) ∧q(2) (p∨q) ∧(p∨¬q) ∧(¬p∨ r)解:(1) p∧ (¬p∨¬q) ∧q第一次循环S0=Φ, S1={p, ¬p∨¬q, q}, S2=Φ由p, ¬p∨¬q消解得到¬q,由q, ¬q消解得到λ,输出“no”,计算结束(2) (p∨q) ∧(p∨¬q) ∧(¬p∨ r)第一次循环S0=Φ, S1={p∨q, p∨¬q, ¬p∨ r}, S2=Φ由p∨q, p∨¬q消解得到p,由p∨q, ¬p∨ r消解得到q ∨r,由p∨¬q, ¬p∨ r消解得到¬q ∨r,由p, ¬p∨ r消解得到r,S2={p, q ∨r, ¬q ∨r, r}第二次循环S0={p∨q, p∨¬q, ¬p∨ r}, S1={p, q ∨r, ¬q ∨r, r}, S2=Φ由p∨q, ¬q ∨r消解得到p∨r,由p∨¬q, q ∨r消解得到p∨r,由p∨¬q, q ∨r消解得到p∨r,由¬p∨ r, p 消解得到r,S2={p∨r}第三次循环S0={p, q ∨r, ¬q ∨r, r}, S1={p∨r}, S2=ΦS2=Φ输出“yes”,计算结束3.6 判断下面推理是否正确. 先将简单命题符号化, 再写出前提, 结论, 推理的形式结构(以蕴涵式的形式给出)和判断过程(至少给出两种判断方法):(1)若今天是星期一, 则明天是星期三;今天是星期一. 所以明天是星期三.(2)若今天是星期一, 则明天是星期二;明天是星期二. 所以今天是星期一.(3)若今天是星期一, 则明天是星期三;明天不是星期三. 所以今天不是星期一.(4)若今天是星期一, 则明天是星期二;今天不是星期一. 所以明天不是星期二.(5)若今天是星期一, 则明天是星期二或星期三. 今天是星期一. 所以明天是星期二.(6)今天是星期一当且仅当明天是星期三;今天不是星期一. 所以明天不是星期三.设p: 今天是星期一, q: 明天是星期二, r: 明天是星期三.(1)推理的形式结构为(p→r) ∧p→r此形式结构为重言式, 即(p→r) ∧p⇒r所以推理正确.(2)推理的形式结构为(p→q) ∧q→p此形式结构不是重言式, 故推理不正确.(3)推理形式结构为(p→r) ∧¬r→¬p此形式结构为重言式, 即(p→r) ∧¬r⇒¬p故推理正确.(4)推理形式结构为(p→q) ∧¬p→¬q此形式结构不是重言式, 故推理不正确.(5)推理形式结构为(p→(q∨r) )∧p →q它不是重言式, 故推理不正确.(6)推理形式结构为(p↔r) ∧¬p→¬r此形式结构为重言式, 即(p↔r) ∧¬p⇒¬r故推理正确.推理是否正确, 可用多种方法证明. 证明的方法有真值表法, 等值演算法. 证明推理正确还可用构造证明法.下面用等值演算法和构造证明法证明(6)推理正确.1. 等值演算法(p↔r) ∧¬p→¬r⇔(p→r) ∧(r→p)∧¬p→¬r⇔¬((¬p∨r) ∧(¬r∨p)∧¬p) ∨¬r⇔¬(¬p∨r) ∨¬(¬r∨p) ∨p ∨¬r⇔(p∧¬r)∨(r∧¬p)∨p ∨¬r⇔ (r∧¬p)∨p ∨¬r 吸收律⇔ (r∧¬p)∨¬(¬p ∨r)德摩根律⇔1即(p↔r) ∧¬p⇒¬r故推理正确2.构造证明法前提: (p↔r), ¬p结论: ¬r证明:①p↔r 前提引入②(p→r) ∧(r→p) ①置换③r→p ②化简律④¬p 前提引入⑤¬r ③④拒取式所以, 推理正确.第7次作业(P53-54)3.15 在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理: (1)前提: p→(q→r), s→p, q结论: s→r(2)前提: (p∨q) →(r∧s), (s∨t) →u结论: p→u(1)证明:①s 附加前提引入②s→p 前提引入③p ①②假言推理④p→(q→r) 前提引入⑤q→r ③④假言推理⑥q 前提引入⑦r ⑤⑥假言推理(2)证明:①P 附加前提引入②p∨q ①附加③(p∨q) →(r∧s) 前提引入④r∧s ②③假言推理⑤S ④化简⑥s∨t ⑤附加⑦(s∨t) →u 前提引入⑧u ⑥⑦假言推理3.16 在自然推理系统P中用归谬法证明下面推理:(1)前提: p→¬q, ¬r∨q, r∧¬s结论: ¬p(2)前提: p∨q, p→r, q→s结论: r∨s(1)证明:①P 结论否定引入②p→¬q 前提引入③¬q ①②假言推理④¬r∨q 前提引入⑤¬r ③④析取三段论⑥r∧¬s 前提引入⑦r ⑥化简规则⑧¬r∧r ⑤⑦合取引入规则⑧为矛盾式, 由归谬法可知, 推理正确.(2)证明:①¬(r∨s) 结论否定引入②p∨q 前提引入③p→r 前提引入④q→s 前提引入⑤(p→r) ∧(q→s) ∧(p∨q) ②③④合取引入规则⑥r∨s ⑤构造性二难⑦(r∨s) ∧¬(r∨s) ④⑤合取引入规则⑦为矛盾式, 所以推理正确.第8次作业(P65-66)4.5 在一阶逻辑中将下列命题符号化:(1)火车都比轮船快.(2)有的火车比有的汽车快.(3)不存在比所有火车都快的汽车.(4)“凡是汽车就比火车慢”是不对的.解:因为没指明个体域, 因而使用全总个体域(1) ∀x∀y(F(x) ∧G(y) →H(x,y))其中, F(x): x 是火车, G(y): y 是轮船, H(x,y):x 比y 快. (2) ∃x∃y(F(x) ∧G(y) ∧H(x,y))其中, F(x): x 是火车, G(y): y 是汽车, H(x,y):x 比y 快. (3) ¬∃x(F(x) ∧∀y(G(y) →H(x,y)))或∀x(F(x) →∃y(G(y) ∧¬H(x,y)))其中, F(x): x 是汽车, G(y): y 是火车, H(x,y):x 比y 快.(4) ¬∀x∀y(F(x) ∧G(y) →H(x,y))或∃x∃y(F(x) ∧G(y) ∧¬H(x,y) )其中, F(x): x 是汽车, G(y): y 是火车, H(x,y):x 比y 慢.4.9 给定解释I 如下:(a)个体域为实数集合R.(b)特定元素a=0.(c)特定函数-f(x,y)=x-y, x,y∈R.(d)谓词-F(x,y): x=y,-G(x,y): x<y, x,y∈R.给出下列公式在I 下的解释, 并指出它们的真值:(1) ∀x∀y(G(x,y) →¬F(x,y))(2) ∀x∀y(F(f(x,y),a) →G(x,y))(3) ∀x∀y(G(x,y) →¬F(f(x,y),a))(4) ∀x∀y(G(f(x,y),a) →F(x,y))解:(1) ∀x∀y(x<y→x≠y), 真值为1.(2) ∀x∀y((x-y=0) →(x<y)), 真值为0.(3) ∀x∀y((x<y) → (x-y≠0)), 真值为1.(4) ∀x∀y((x-y<0) → (x=y)), 真值为0.第9次作业(P79-80)5.5 给定解释I如下:(a) 个体域D={3,4};(b)-f(x):-f(3)=4,-f(4)=3;(c)-F(x,y):-F(3,3)=-F(4,4)=0,-F(3,4)=-F(4,3)=1.试求下列公式在I下的真值:(1) ∀x∃yF(x,y)(2) ∃x∀yF(x,y)(3)∀x∀y(F(x,y)→F(f(x),f(y)))解:(1)∀x∃yF(x,y)⇔ (F(3,3)∨F(3,4))∧(F(4,3)∨F(4,4))⇔ (0∨1)∧(1∨0) ⇔ 1(2)∃x∀yF(x,y)⇔ (F(3,3)∧F(3,4))∨(F(4,3)∧F(4,4))⇔ (0∧1)∨(1∧0) ⇔ 0(3)∀x∀y(F(x,y)→F(f(x),f(y)))⇔ (F(3,3)→F(f(3),f(3)))∧(F(4,3)→F(f(4),f(3)))∧(F(3,4)→F(f(3),f(4)))∧(F(4,4)→F(f(4),f(4)))⇔ (0→0)∧(1→1)∧(1→1)∧(0→0) ⇔1 5.12 求下列各式的前束范式.(1)∀xF(x)→∀yG(x, y)(3)∀xF(x, y) ↔∃xG(x, y)(5) ∃x1F(x1, x2)→(F(x1)→¬∃x2G(x1, x2)). 解:前束范式不是唯一的.(1) ∀xF(x)→∀yG(x, y)⇔∃x (F(x)→∀yG(t, y))⇔∃x∀y(F(x)→G(t, y)).(3) ∀xF(x, y) ↔∃xG(x, y)⇔ (∀xF(x, y)→∃xG(x, y))∧(∃xG(x, y)→∀xF(x, y))⇔ (∀xF(x, y)→∃uG(u, y))∧(∃xG(x, y)→∀vF(v, y))⇔∃x∃u(F(x, y)→G(u, y))∧∀x∀v(G(x, y)→F(v, y))⇔∃x∃u(F(x, y)→G(u, y))∧∀w∀v(G(w, y)→F(v, y))⇔∃x∃u∀w∀v ((F(x, y)→G(u, y))∧(G(w, y)→F(v, y)))(5)∃x1F(x1, x2)→(F(x1)→¬∃x2G(x1, x2))⇔∃x1F(x1, x2)→(F(x1)→∀x2¬G(x1, x2))⇔∃x1F(x1, x2)→∀x2(F(x1)→¬G(x1, x2))⇔∃x1F(x1, x3)→∀x2(F(x4)→¬G(x4, x2))⇔∀x1(F(x1, x3)→∀x2(F(x4)→¬G(x4, x2)))⇔∀x1∀x2 (F(x1, x3)→(F(x4)→¬G(x4, x2)))第10次作业(P79-80)5.15 在自然推理系统F L中,构造下面推理的证明:(1) 前提: ∃xF(x) →∀y((F(y)∨G(y))→R(y)),∃xF(x)结论:∃xR(x).(2) 前提:∀x(F(x)→(G(a)∧R(x))),∃xF(x)结论:∃x(F(x)∧R(x))(3) 前提:∀x(F(x)∨G(x)),¬∃xG(x)结论:∃xF(x)(4) 前提:∀x(F(x)∨G(x)),∀x(¬G(x)∨¬R(x)),∀xR(x)结论: ∃xF(x)(1)证明:①∃xF(x) →∀y((F(y)∨G(y))→R(y)) 前提引入②∃xF(x) 前提引入③∀y((F(y)∨G(y))→R(y)) ①②假言推理④(F(c)∨G(c))→R(c) ③全称量词消去规则⑤F(c) ①存在量词消去规则⑥F(c) ∨G(c) ⑤附加⑦R(c) ④⑥假言推理⑧∃xR(x) ⑦存在量词引入规则(2) 证明:①∃xF(x) 前提引入②F(c) ①存在量词消去规则③∀x(F(x)→(G(a)∧R(x))) 前提引入④F(c)→(G(a)∧R(c)) ④全称量词消去规则⑤G(a)∧R(c) ②④假言推理⑥R(c) ⑤化简⑦F(c)∧R(c) ②⑥合取引入⑧∃x(F(x)∧R(x)) ⑦存在量词引入规则(3) 证明:①¬∃xG(x) 前提引入②∀x¬G(x) ①置换③¬G(c) ②全称量词消去规则④∀x(F(x)∨G(x)) 前提引入⑤F(c)∨G(c) ④全称量词消去规则⑥F(c) ③⑤析取三段论⑦∃xF(x) ⑥存在量词引入规则(4) 证明:①∀x(F(x)∨G(x)) 前提引入②F(y)∨G(y) ①全称量词消去规则③∀x(¬G(x)∨¬R(x)) 前提引入④¬G(y) ∨¬R(y) ③全称量词消去规则⑤∀xR(x) 前提引入⑥R(y) ⑤全称量词消去规则⑦¬G(y) ④⑥析取三段论⑧F(y) ②⑦析取三段论⑥∃xF(x) ⑧存在量词引入规则第11次作业(P96)6.4. 设F 表示一年级大学生的集合, S 表示二年级大学生的集合, M表示数学专业学生的集合, R 表示计算机专业学生的集合, T表示听离散数学课学生的集合, G 表示星期一晚上参加音乐会的学生的集合, H 表示星期一晚上很迟才睡觉的学生的集合. 问下列各句子所对应的集合表达式分别是什么? 请从备选的答案中挑出来.(1)所有计算机专业二年级的学生在学离散数学课.(2)这些且只有这些学离散数学课的学生或者星期一晚上去听音乐会的学生在星期一晚上很迟才睡觉.(3)听离散数学课的学生都没参加星期一晚上的音乐会.(4)这个音乐会只有大学一, 二年级的学生参加.(5)除去数学专业和计算机专业以外的二年级学生都去参加了音乐会.备选答案:①T⊆G∪H ②G∪H⊆T ③S∩R⊆T④H=G∪T ⑤T∩G=∅⑥F∪S⊆G⑦G⊆F∪S ⑧S-(R∪M) ⊆G ⑥G⊆S-(R∩M)解:(1) ③S∩R⊆T(2) ④H=G∪T(3) ⑤T∩G=∅(4) ⑦G⊆F∪S(5) ⑧S-(R∪M)⊆G6.5. 确定下列命题是否为真:(1) ∅⊆∅ (2) ∅∈∅ (3) ∅⊆{∅} (4) ∅∈{∅}(5){a, b}⊆{a, b, c, {a, b, c}} (6){a, b}∈{a, b, c, {a, b }} (7){a, b}⊆{a, b, {{a, b}}} (8){a, b}∈{a, b, {{a, b}}} 解:(1) 真(2)假(3) 真(4) 真(5) 真(6) 真(7) 真(8) 假第12次作业(P130-131)7.1. 已知 A={∅,{∅}},求A×P(A). 解: A×P(A)= {∅,{∅}}×{∅,{∅},{{∅}},{∅,{∅}}}={<∅, ∅>,<∅,{∅}>,<∅,{{∅}}>,<∅,{∅,{∅}}>,<{∅},∅>,<{∅},{∅}>,<{∅},{{∅}}>, <{∅},{∅,{∅}}>}7.7. 列出集合 A={2, 3, 4}上的恒等关系I A , 全域关系E A , 小于或等于关系L A , 整除关系D A . 解:I A ={<2,2>,<3,3>,<4,4>} E A =A ×A ={<2,2>,<2,3>,<2,4>,<3,2>,<3,3>,<3,4>,<4,2>,<4,3>,<4,4>} L A ={<2,2>,<2,3>,<2,4>,<3,3>,<3,4>,<4,4>} D A ={<2,2>,<2,4>,<3,3>,<4,4>}7.12.设A={0, 1, 2, 3}, R 是A 上的关系, 且R={〈0, 0〉, 〈0, 3〉, 〈2, 0〉, 〈2, 1〉, 〈2, 3〉, 〈3, 2〉}给出R 的关系矩阵和关系图.解:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0010110100001001第13次作业(P131)7.13.设A = {〈1, 2〉, 〈2, 4〉, 〈3, 3〉}B = {〈1, 3〉, 〈2, 4〉, 〈4, 2〉}求A ∪B , A ∩B , dom A , dom(A ∪B ), ran A , ran B , ran(A ∩B ), fld(A −B ).解:A ∪B={〈1,2〉, 〈1,3〉, 〈2,4〉, 〈3,3〉, 〈4,2〉} A∩B={〈2,4〉}domA={1,2,3} dom(A ∪B)={1,2,3,4} ranA={2,3,4} ranB={3,4,2} ran(A∩B)={4} fld(A−B)={1,2,3}0 1 237.15.设A={〈∅,{∅,{∅}}〉,〈{∅},∅〉}求A−1,A2,A3,A↾{∅},A[∅],A↾∅,A↾{{∅}},A[{{∅}}].解:A−1={〈{∅,{∅}},∅〉,〈∅,{∅}〉},A2={〈{∅},{∅,{∅}}〉},A3=∅,A↾{∅}={〈∅,{∅,{∅}}〉},A[∅]={∅,{∅}},A↾∅=∅,A↾{{∅}}={〈{∅},∅〉},A[{{∅}}]=∅7.16.设A={a,b,c,d}, R1,R2 为A上的关系, 其中R1={〈a,a〉,〈a,b〉,〈b,d〉}R2={〈a,d〉,〈b,c〉,〈b,d〉,〈c,b〉}求R1○R2, R2○R1,R12,R23.解:R1○R2={〈a,a〉,〈a,c〉,〈a,d〉},R2○R1={〈c,d〉},R12={〈a,a〉,〈a,b〉,〈a,d〉},R23={〈b,c〉,〈b,d〉,〈c,b〉}7.17.设A={a,b,c}, 试给出A 上两个不同的关系R1和R2,使得R12=R1, R23=R2.解:R1={〈a,a〉,〈b,b〉},R2={〈b,c〉,〈c,b〉}第14次作业(P131-133)7.21.设A={1,2,…,10},定义A上的关系R={<x,y>|x,y∈A∧x+y=10}说明R具有哪些性质并说明理由。

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