不定方程x4+y4+Z4=n正整数解的求法
求不定方程的整数解(含答案)-
求不定方程整数解有三对夫妻一同上商店买东西.男的分别姓孙、姓陈、姓金，女的分别姓李、•姓赵、姓尹。
他们每人只买一种商品，并且每人所买商品的件数正好等于那种商品的单价(元数).现在知道每一个丈夫都比他的妻子多花63元,并且孙先生所买的商品比赵女士多23件,金先生所买的商品比李女士多11件,问孙先生、陈先生、金先生的爱人各是谁？例1．若b a ,都是正整数，且2001500143=+b a ，求b a +的值．(2001年北京市初中数学竞赛)例２ 设m 为正整数，且方程组⎩⎨⎧-==+17001113mx y y x ()()21 有整数解，求m 的值。
（“希望杯”数学竞赛试题）例３ 已知自然数y x ,满足789=+yx ，求y x +的值．（五羊杯数学竞赛试题） 【例1】若关于x 的方程054)15117()9)(6(2=+----x k x k k 的解都是整数，则符合条件的整数k 的值有 个．思路点拨 用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定是的值才能全面而准确．注：系数含参数的方程问题，在没有指明是二次方程时，要注意有可能是一次方程，根据问题的题设条件，看是否要分类讨论．【例2】 已知a 、b 为质数且是方程0132=+-c x x 的根，那么ba ab +的值是( ) A ．22127 B ．22125 C ．22123 D ．22121 思路点拨 由韦达定理a 、b 的关系式，结合整数性质求出a 、b 、c 的值．【例4】 当m 为整数时，关于x 的方程01)12()12(2=++--x m x m 是否有有理根?如果有，求出m 的值；如果没有，请说明理由．思路点拨 整系数方程有有理根的条件是△为完全平方数．设△=22224)12(544)12(4)12(n m m m m m =+-=+-=--+(n 为整数)解不定方程，讨论m 的存在性． 注：一元二次方程02=++c bx ax (a ≠0)而言，方程的根为整数必为有理数，而△=ac b 42-为完全平方数是方程的根为有理数的充要条件．【例5】 若关于x 的方程0)13()3(22=-+--a x a ax 至少有一个整数根，求非负整数a 的值． 思路点拨 因根的表示式复杂，从韦达定理得出的a 的两个关系式中消去a 也较困难，又因a 的次数低于x 的次数，故可将原方程变形为关于a 的一次方程．1．已知关于x 的方程012)1(2=--+-a x x a 的根都是整数，那么符合条件的整数a 有 ．2．已知方程019992=+-m x x 有两个质数解，则m ＝ ．3．给出四个命题：①整系数方程02=++c bx ax (a ≠0)中，若△为一个完全平方数，则方程必有有理根；②整系数方程02=++c bx ax (a ≠0)中，若方程有有理数根，则△为完全平方数；③无理数系数方程02=++c bx ax (a ≠0)的根只能是无理数；④若a 、b 、c 均为奇数，则方程02=++c bx ax 没有有理数根，其中真命题是 ．4．已知关于x 的一元二次方程0)12(22=+-+a x a x (a 为整数)的两个实数根是1x 、2x ，则21x x -= ． 5．设rn 为整数，且4<m<40，方程08144)32(222=+-+--m m x m x 有两个整数根，求m 的值及方程的根1.已知实数x,y,z 适合x+y=6,z 2=xy -9,则z 等于( )A.±1B.0C.1D.-12.方程组44,23.ab bc ac bc +=⎧⎨+=⎩的正整数解(a,b,c)的组数是( ) A.4 B.3 C.2 D.13.方程xy=x+y 的整数解有_____组.4.设x,y 都是正整数,且使,则y=+的最大值为________.5.求满足1116x y -=的所有正整数x,y.1.( )A.不存在B.仅有1组C.有2组D.至少有4组2.设a 、b 、c 为有理数,且等式则2a+999b+1 001c 的值是( )A.1 999B.2 000C.2 001D.2 0033.满足方程11x 2+2xy+9y 2+8x -12y+6=0的实数对(x,y)的个数等于_____.4.实数x,y 满足x ≥y ≥1和2x 2-xy -5x+y+4=0,则x+y=_________.5.a 、b 、c 都是正整数,且满足ab+bc=3 984,ac+bc=1 993,则abc•的最大值是______.6.象棋比赛共有奇数个选手参加,每位选手都同其他选手比赛一盘,记分办法是胜一盘得1分,平一盘各得0.5分,输一盘得0分,已知其中两名选手共得8分,其他人的平均分为整数,求参加此次比赛共有多少人?、。
费马大定理的初等证明
费马大定理的初等证明倪晓勇（中国石化仪征化纤短纤生产中心生产管理室，江苏 仪征211900）E-mail:nxyong.yzhx.@费马大定理：不定方程n n n y x z +=当n ≥3时无正整数解。
证明：一、当n=2时，有222y x z +=，所以))((222y z y z y z x +-=-=（1）。
令22)(m y z =-，则22m y z +=，代入（1）得222222222222)(2)22(2l m m y m m y m y z x =+=+=-=，所以ml x 2=，22m l y -=，22m l z +=（x 、y 、z 、l 、m 都是自然数），显然x 、y 、z 有正整数解。
二、当n=3时，有333y x z +=，所以 ))((22333y zy z y z y z x ++-=-=（2）。
令323)(m y z =-，则323m y z +=，代入（2）得］［23223232333)3()3(3y y m y m y m y z x ++++=-= )3333(36432232m y m y m +⨯+=)33(36332233m y m y m ++=。
若方程333y x z +=有正整数解，则)33(63322m y m y ++为某自然数的三次幂，即 363322)33(l m y m y =++，所以 )33)(3(3)3(4222263332m l m l m l m l m y y ++-=-=+，所以 )33(3)3(4222322m l m l m y m l y ++=+-=和，所以l -3m 2+32m 3=l 2+3m 2l +32m 4，所以l = l 2+3m 2l ，且32m 3=3m 2+32m 4，所以1=l +3m 2，3m=1+3m 2，所以 l +3m=2。
因为l 和m 都是自然数，所以l +3m ≥4，所以l +3m=2不可能，所以当n=3时，333y x z +=无正整数解。
素数与合数、奇数与偶数
三、素数与合数、奇数与偶数定义 设P 是大于1的整数，它至少有两个正约数1, p ，如果它只有这两个正约数，则称它为素数(或质数)，否则称P 为合数.于是正整数共分为三类：1，素数，合数。
不难理解，大于1的整数一定有素约数.显然，若n 是合数，则n 必有不大于n 的素因子.定义 若整数a 被2除，余数为1，则称a 为奇数; 若余数为0，则称a 为偶数.定理1 每个大于1的整数n 都能唯一写成素数方幂的乘积：n = k k p p p ααα 2121⋅(其中αi >0, p i 都是素数，且p 1<p 2<┅<p k , i=1,2,…,k).我们称上述等式为正整数n 的素因数分解式或标准分解式.(算术基本定理)定理2 n>1, p 为任意素数，则在n!的标准分解式中，p 的次数为：+++][][][32p n p n p n 性质1 素数有无穷多个.*一般地，可以证明，若k>0,l >0,且(k, l ) =1,则形如kn+l 的素数有无穷多个.这称为狄里克雷(dirichlet)定理. 性质2 若p 为素数，且p ∣ab , 则p ∣a 或p ∣b.性质3 m+n 是偶数的充要条件是m 、n 同奇偶；m+n 是奇数的充要条件是m 、n 一奇一偶.性质4 若干个整数的乘机是奇数当且仅当每一个乘数都是奇数；整数a 与a m 的奇偶性相同. 性质5 任一正整数n 可表示为n = 2 k ⋅q 的形式，其中k 为非负整数，q 为正奇数.例1求不定方程(m+n)m = n m +1413的正整数解(m ,n).例2 求不定方程的整数解x 4+y 4+z 4 = 2x 2y 2 + 2y 2z 2+2z 2x 2+24.例3 求出不定方程x y = 2z +1的全部满足y>1正整数解(x, y, z) 。
例4 设p 是n 的最小素因数，证明，若3p n >，则n p也是素数.例5 证明：形如41k -形式的素数必有无数个；例6 由正整数组成的无穷递增的等差数列的所有项不可能都是素数。
简单不定方程的四种基本解法
简单不定方程的四种基本解法
简单不定方程的四种基本解法
简介
不定方程是指含有未知数的整数方程，其解为整数或分数。
不定方程
是数论中的一个重要分支，具有广泛的应用价值。
在实际问题中，往
往需要求解不定方程来得到问题的解答。
本文将介绍四种基本的解决
不定方程的方法。
一、贪心算法
贪心算法是一种常见且有效的算法，它通常用于求解最优化问题。
在
求解不定方程时，贪心算法可以通过枚举未知数的值来逐步逼近最优解。
二、辗转相除法
辗转相除法也称为欧几里得算法，它是一种求最大公约数的有效方法。
在求解不定方程时，我们可以使用辗转相除法来判断是否存在整数解。
三、裴蜀定理
裴蜀定理是指对于任意给定的整数a和b，它们的最大公约数d可以
表示成ax+by的形式，其中x和y为整数。
在求解不定方程时，我们可以使用裴蜀定理来判断是否存在整数解，并且可以通过扩展欧几里
得算法来求得x和y。
四、同余模运算
同余模运算是指在模n的情况下，两个整数a和b满足a≡b(mod n)。
在求解不定方程时，我们可以使用同余模运算来判断是否存在整数解，并且可以通过中国剩余定理来求得解的具体值。
结论
以上四种方法是求解不定方程的基本方法，在实际问题中，我们可以
根据具体情况选择合适的方法来求解问题。
同时，需要注意的是，在
使用这些方法时需要注意算法复杂度和精度问题，以保证算法的正确
性和效率。
四次不定方程
四次不定方程
四次不定方程是数学运算中比较常见的一类方程，它是指多项式的次数为4的一类不定方程，在一般的高等数学教科书中，是无法被求解的，因此需要有相应的解法来求解这类不定方程。
首先，对于理解四次不定方程，我们需要先了解什么是多项式，多项式就是由一个或多个不同项相加减乘除组成的一类数学表达式。
次数就是多项式中最高次项的指数，如果次数为4，便构成了四次不定方程。
由此可见，四次不定方程可以表达的数学公式范围较大，它可以表示一般四次方程也可以表示一些只有四个项数的方程。
准备了解四次不定方程的概念之后，接下来就要来分析解决四次不定方程的方法了。
不定方程的解，一般可以利用“分解因式”来解决，但是分解因式只适用于二次方程以及更低次数的方程，而对于次数较高的方程，就要采取更先进的解法，那就是称为“韦达Vandermonde矩阵”的方法。
韦达Vandermonde矩阵，也就是“Vandermonde矩阵”，是一种多项式的系数矩阵，它的解决方法是利用多项式的系数来构造一个“Vandermonde矩阵”，该矩阵的每一行代表一个多项式，每一列代表一个次数更高的多项式，这样就可以把一个四次不定方程变成一个方程组。
根据数学原理，具有4个未知数的方程组，只要消元法进行变换，便可以求出四次方程的解。
总之，从上面可以看出，四次不定方程是一类复杂但又不定的方程，它的解法需要用韦达Vandermonde矩阵的方法进行求解，它的解
法可以帮助我们求解复杂的数学问题，因此我们应该学会使用韦达Vandermonde矩阵的解法，以便有效解决四次不定方程的问题。
李明波：不定方程X4 + y4 + z4 = 2w4参数解
不定方程X4 + y4 + z4 = 2w4参数解李明波（2013年10月18日）18世纪的大数学家欧拉曾猜想不定方程X4 + y4 + z4 = w4 （1）无正整数解。
直到20世纪的1988年，人们才知道其实欧拉方程（1）有无穷多组正整数解，其最小解是：958004 + 2175194 + 4145604 = 4224814不定方程X4 + y4 + z4 = 2w4 （2）与欧拉方程（1）相比，只是右侧系数由1变成了2，情况又会是如何呢？1995年本人给出了（2）式的一种参数解：(3a2-2ab-b2)4+(3a2 +2ab-b2 )4 +(4ab)4= 2(3a2 +b2 )4 (3）当a = 1、b = 2时知（2）式有正整数解34 + 54 + 84 =2×74当a = 1、b = 4时知（2）式有正整数解54 + 164 + 214 =2×194恒等式(3)的发现过程很简单：本人从一本书中看到了(4ab)4 +(3a2 +2ab-b2 )4 +(3a2 -2ab-b2 )4 +(6a2 +2b2 )4= 2【3(3a2 +b2 )2】2 （4）稍加思考，将后两项整理合并成一项就完成了。
本人当时的确未从别处看到不定方程（2）的参数解。
曾发现过许多的代数恒等式，下面也是从未公开的在1995年发现的：(ac)2n+(bd)2n+(ad)2n+(bc)2n=[(ac)n+(bd)n]2+[(ad)n-(bc)n]2——李明波4x + 5x = 6xX ≈ 2.487939173…9x + 10x = 11xX = 4.907030727…美时装，用心藏，既养眼，又亮堂。
月光真璀嫦娥都追下凡人间帅哥一堆行云赛古贤走墨心无忧天道酬勤友成就如金秋亚杰苦耕耘走墨心无忧行云盖古贤功力赛金秋不定方程x4 + y4 = z4+ w4 有如下参数解：x = a7 + a5b2 -2a3b4 + 3a2b5 + ab6y = a6b - 3a5b2 - 2a4b3 + a2b5 + b7z = a7 + a5b2 -2a3b4 -3a2b5 + ab6w = a6b + 3a5b2 - 2a4b3 + a2b5 + b7——曹珍富，丢番图方程引论，哈尔滨工业大学出版社，1989年3月第1版，P305.。
关于“无穷递降法”及n = 4的证明
关于“无穷递降法”及x4 + y4 = z4没有正整数解的证明无穷递降法，也称无限递降法：假设方程有解必有一个最小的解，通过推证：（无限）有比最小的解存在更小的解，从而与有最小的解性质相矛盾，所以方程无解。
“费马猜想”是1637年费马提出的，至1676年数学家们根据他的少量提示用“无穷递降法”证明了n＝4时费马猜想成立。
这一证明被公认为是费马自己的证明，这一证题方法也公认为是费马的发明。
不定方程x4 + y4 = z4 (01)没有正整数解，则（x2）2 +（y2）2 =（z2）2也没有正整数解。
假如（01）式有正整数解必有一组解最小，使（x2，y2）= 1；于是x2、y2、z2不能同时或其中两个为偶数，根据等式的奇偶数关系三个数只能其中两个为奇数。
如果x2、y2同时为奇数z2为偶数，则设x2 = 2n-1、y2 = 2m-1、z2 = 2k得：（2n-1）2 +（2m-1）2 =（2k）22（n2-n+m2-m）+ 1 = 2k2等式左边是奇数，右边是偶数，等式不成立；所以x2、y2必其一为偶数一为奇数。
令x2是偶数，a、b为正整数且（a ，b）= 1，根据勾股弦数数公式得：x2 = 2ab (02)y2 = a2– b2 (03)z2 = a2 + b2 (04)证明1. （简要介绍费马的证明）（参见《整数基础知识》149-152页）。
不定方程x4 + y4 = z4没有正整数解，则x4 + y4 = u2 (11)没有正整数解。
而否则在所有的各组正整数解当中必有一组中的u是最小的，即存在一个最小的正整数u1使x4 + y4 = u12 (12)成立，于是由（04）式z2 = u1得正整数解：a2 + b2= u1 (13)由（03）式判断b为偶数a为奇数，设b = 2b1，由x2 = 2ab得：（x /2）2 = ab1因为（a ，b）= 1，所以（a ，b1）= 1，存在适当的正整数c、d，（c ，d）= 1，能使a = c2b = 2b1 = 2d2代入（03）式得：（2d2）2 + y2 =（c2）2 (14)设K、L是正整数且（K ，L）= 1，令2d2 = 2KL由（14）式求c2得：c2 = K2 + L2 (15)由d2 = KL又存在适当的正整数：K = k2L = l 2则（15）式为：k4 + l4 = c2 (16)比较（16）式与（12）式形式相同的等式，c ≤ c2 = a ≤ a2，a2＜u1，c＜u1，这与（12式）有最小的正整数解性质矛盾，从而（12）式不是正整数解，即（11）式没有正整数解，所以（01）式没有正整数解。
求不定方程整数解的常用方法
求不定方程整数解的常用方法摘要：不定方程,是指未知数的个数多于方程的个数,且未知数受到某些限制的方程或方程组.因此，要求一个不定方程的全部的解，是相当困难的，有时甚至是不可能或不现实的.本文利用变量替换、未知数之间的关系、韦达定理、整除性、求根公式、判别式、因式分解等有关理论，求得一类不定方程的正整数解.通过一些具体的例子，给出了常用的不定方程的解法，分别为分离整数法、辗转相除法、不等式估值法、逐渐减小系数法、分离常数项的方法、奇偶性分析法、换元法、构造法、配方法、韦达定理、整除性分析法、利用求根公式、判别式、因式分解法等等.关键字：不定方程;整数解;整除性1引言不定方程是数论的一个分支，有悠久的历史与丰富的内容，与其他数学领域有密切联系，是数论中的重要的、活跃的研究课题之一，我国对不定方程的研究以延续了数千年，“百钱百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理，学习不定方程，不仅可以拓宽数学知识面，而且可以培养思维能力，提高数学的解题技能.中学阶段是学生的思维能力迅猛发展的关键阶段.在此阶段要注重培养学生的思维能力，开发学生智力，因此对于初等数论的一般方法、理论有一定的了解是必不可少的.让学生做题讲究思想、方法与技巧、创造性的解决问题，就要有一定的方法与技巧的积累与总结.不定方程的重要性在中学中得到了充分的体现，无论在中高考还是在每年世界各地的数学竞赛中，不定方程都占有一席之地，而且它还是培养学生思维能力、观察能力、运算能力、解决问题能力的好材料.2不定方程的定义所谓不定方程是指未知数的个数多于方程的个数，且未知数受到某些（如要求是有理数，整数或正整数等等)限制的方程或方程组.不定方程也称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是数学上最活跃的数学领域之一，不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论都有较为密切的联系.下面对中学阶段常用的求不定方程整数解的方法做以总结：3一般常用的求不定方程整数解的方法(1)分离整数法此法主要是通过解未知数的系数中绝对值较小的未知数，将其结果中整数部分分离出来，则剩下部分仍为整数，则令其为一个新的整数变量，以此类推，直到能直接观察出特解的不定方程为止，再追根溯源，求出原方程的特解.例1 求不定方程025=-++y x x 的整数解 解 已知方程可化为 231232223225++=++++=+++=++=x x x x x x x x y 因为y 是整数，所以23+x 也是整数. 由此5,1,3,1,3,3,1,12---=--=+x x 即相应的.0,2,0,4=y所以方程的整数解为(-1,4),(-3,0),(1,2),(-5,0).(2)辗转相除法此法主要借助辗转相除式逆推求特解，具体步骤如下：第一步，化简方程，尽量化简为简洁形式(便于利用同余、奇偶分析的形式); 第二步，缩小未知数的范围，就是利用限定条件将未知数限定在某一范围内，便于下一步讨论;第三步，用辗转相除法解不定方程.例2 求不定方程2510737=+y x 的整数解.解 因为251)107,37(=,所以原方程有整数解.用辗转相除法求特解:18433,413337,33237107+⨯=+⨯=+⨯=从最后一个式子向上逆推得到19107)26(37=⨯+-⨯所以25)259(107)2526(37=⨯⨯+⨯-⨯则特解为⎩⎨⎧=⨯=-=⨯-=225259650252600y x 通解为Z t t t y t t x ∈⎩⎨⎧++=+=+--=--=,)6(37337225)6(1078107650或改写为.,3731078Z t t y t x ∈⎩⎨⎧+=--= (3)不等式估值法先通过对所考查的量的放缩得到未知数取值条件的不等式，再解这些不等式得到未知数的取值范围.例3 求方程1111=++zy x 适合z y x ≥≥的正整数解. 解 因为z y x ≥≥所以zy x 111≤≤ 所以zz z z y x z 1111111++≤++〈 即 zz 311≤〈 所以31≤〈z所以.32==z z 或当2=z 时有2111=+y x 所以y y y x y 11111+≤+〈 所以y y 2211≤〈 所以42≤〈y所以;46,43或相应地或===x y y当3=z 时有3211=+y x 所以yy y x y 11111+≤+〈 所以 y y 2321≤〈 所以.3;3,3==≤x y y 相应地所以).3,3,3(),2,4,4(),2,3,6(),,(=z y x(4)逐渐减小系数法此法主要是利用变量替换，使不定方程未知数的系数逐渐减小，直到出现一个未知量的系数为1±的不定方程为止，直接解出这样的不定方程(或可以直接能用观察法得到特解的不定方程为止，再依次反推上去）得到原方程的通解.例4 求不定方程2510737=+y x 的整数解.解 因为251)107,37(=，所以原方程有整数解.有10737〈，用y 来表示x ，得 37412313710725y y y x +-+-=-=则令 12374,37412=-∈=+-m y Z m y 即 由4<37,用m 来表示y ,得 49343712m m m y ++=+=令.4,4t m Z t m =∈=得将上述结果一一带回，得原方程的通解为 Z t t y t x ∈⎩⎨⎧=+--=,3731078 注①解一元二次不定方程通常先判定方程有无解.若有解,可先求c by ax =+的一个特解，从而写出通解.当不定方程系数不大时，有时可以通过观察法求得其解，即引入变量，逐渐减小系数，直到容易求得其特解为止.②对于二元一次不定方程c by ax =+来说有整数解的充要条件是c b a ),(.⎩⎨⎧⎩⎨⎧∈-=+=∈+=-=)(,)(,0000Z t at y y bt x x Z t at y y bt x x 或 (5)分离常数项的方法对于未知数的系数和常数项之间有某些特殊关系的不定方程，如常数项可以拆成两未知数的系数的倍数的和或差的不定方程，可采用分解常数项的方法去求解方程.例5 求不定方程14353=+y x 的整数解.解 原方程等价于0)28(5)1(331405314353=-+-⇔+=+⇔=+y x y x y x因为()15,3=所以⎩⎨⎧∈=-=-Z t t y t x ,32851 所以原方程的通解为.,32851Z t t y t x ∈⎩⎨⎧+=-= (6)奇偶性分析法从讨论未知数的奇偶性入手，一方面可缩小未知数的取值范围，另一方面又可用n 2或)(12Z n n ∈+代入方程，使方程变形为便于讨论的等价形式.例6 求方程32822=+y x 的正整数解.解 显然y x ≠,不妨设0〉〉y x因为328是偶数，所以x 、y 的奇偶性相同，从而y x ±是偶数.令112,2v y x u y x =-=+则1u 、.0,111〉〉∈v u Z v 且所以1111,v u y v u x -=+=代入原方程得1642121=+v u同理，令2211211(2,2u v v u u v u =-=+、)0,222〉〉∈v u Z v 且于是，有822222=+v u 再令3223222,2v v u u v u =-=+得412323=+v u此时，3u 、3v 必有一奇一偶，且 []641033=≤〈〈u v取,5,4,3,2,13=v 得相应的16,25,32,37,4023=u所以，只能是.4,533==v u从而2,18==y x结合方程的对称性知方程有两组解()().18,2,2,18(7)换元法利用不定方程未知数之间的关系（如常见的倍数关系），通过代换消去未知数或倍数，使方程简化，从而达到求解的目的.例7 求方程7111=+y x 的正整数解. 解 显见，.7,7〉〉y x 为此，可设,7,7n y m x +=+=其中m 、n 为正整数. 所以原方程7111=+y x 可化为717171=+++n m 整理得 ()()()().49,777777=++=+++mn n m n m 即所以49,1;7,7;1,49332211======n m n m n m相应地56,8;14,14;8,56332211======y x y x y x所以方程正整数解为()()().56,8,14,14,8,56(8)构造法构造法是一种有效的解题方法，并且构造法对学生的创造性思维的培养有很重要的意义，成功的构造是学生心智活动的一种探求过程，是综合思维能力的一种体现，也是对整个解题过程的一种洞察力、预感力的一种反映.构造体现的是一种转化策略，在处理不定方程问题时可根据题设的特点，构造出符合要求的特解或者构造一个求解的递推式等.例8 已知三整数a 、b 、c 之和为13且bc a b =，求a 的最大值和最小值，并求出此时相应的b 与c 的值.解 由题意得⎩⎨⎧==++acb c b a 213，消去b 得()ac c a =--213 整理得到关于c 的一元二次方程()().0132622=-+-+a c a c 因为()().3520,01342622≤≤≥---=∆a a a 解得因,0≠a若,916,014425,12===+-=c c c c a 或解得则有符合题意，此时;9311641⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧=-==c b a c b a 或若17=a 时，则有,01692=+-c c 无实数解，故;17≠a若16=a 时，则有,09102=+-c c 解得,91==c c 或符合题意，此时;912161416⎪⎩⎪⎨⎧=-==⎪⎩⎪⎨⎧=-==c b a c b a 或综上所述，a 的最大值和最小值分别为16和1，相应的b 与c 的值分别为.9316491214⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧=-=c b c b c b c b 或和或 (9)配方法把一个式子写成完全平方或完全平方之和的形式，这种方法叫做配方法.配方法是式子恒等变形的重要手段之一，是解决不少数学问题的一个重要方法.在初中阶段，我们已经学过用配方法解一元二次方程，用配方法推到一元二次方程的求根公式，用配方法把二次函数化为标准形式等等，是数学中很常用的方法.例9 若.,24522的值求x y y x y x y x ++=++ 解 由题意 045222=+-+-y y x x 即()021122=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-y x 所以21,1==y x 所以23211=+=+x y y x (10)韦达定理韦达定理是反映一元二次方程根与系数关系的重要定理，广泛应用于初等代数、三角函数及解析几何中，应用此法解题时，先根据已知条件或结论，再通过恒等变形或换元等方法，构造出形如b a +、b a ⋅形式的式子，最后用韦达定理.例10 已知p 、q 都是质数，且使得关于x 的二次方程()051082=+--pq x q p x 至少有一个正整数根，求所有的质数对().,q p解 设方程的两根分别为1x 、(),212x x x ≤由根与系数关系得⎩⎨⎧=⋅-=+pq x x q p x x 51082121 因为p 、q 都是质数，且方程的一根为正整数，可知方程的另一根也是正整数. 所以⎩⎨⎧==p q p q pq pq x q p q p x ,,5,5,,55,5,,,5,121 所以.5,5,5,1521q p p q pq pq x x ++++=+①当1521+=+pq x x 时，即,10815q p pq -=+因为p 、q 均是质数，所以,1081015q p p pq -〉〉+故此时无解.②当5521+=+pq x x 时，即,1085q p pq -=+所以()(),85810-=-⋅+q p 因为p 、q 都是质数，且,810-〉+q p 所以,1,5885,1710⎩⎨⎧--=-=+q p 解得符合条件的质数对为()().3,7,=q p③当p q x x +=+521时，即,1085q p p q -=+所以,157q p =满足条件的质数对. ④当q p x x +=+521时，即,1085q p q p -=+所以,113q p =于是()()()().3,11,3,7,==q p q p 或综上所述，满足条件的质数对为()()()().3,11,3,7,==q p q p 或(11)整除性分析法用整除性解决问题，要求学生对数的整除性有比较到位的把握.例11 在直角坐标系中，坐标都是整数的点称为整点，设k 为整数，当直线k kx y x y +=-=或3的交点为整数时，k 的值可以取()A.2个B.4个C.6个D.8个解 当1=k 时，直线13+=-=x y x y 与平行，所以两直线没有交点;当0=k 时，直线()轴即与x y x y 03=-=交点为整数;当1≠k 、0≠k 时，直线k kx y x y +=-=与3的交点为方程组⎩⎨⎧+=-=kkx y x y 3的解，解得 ⎪⎩⎪⎨⎧--=---=1413k k y k k x 因为x 、y 均为整数,所以1-k 只能取4,2,1±±±解得.3,5,1,3,0,2-=k综上，答案为C.(12)利用求根公式在解不定方程时，若因数分解法、约数分析均不能奏效，我们不妨将其中一个未知数看成参数，然后利用一元二次方程的求根公式去讨论.例12 已知k 为整数，若关于x 的二次方程()01322=+++x k kx 有有理根，求k 值. 解 因为0≠k ，所以()01322=+++x k kx 的根为()()(),25223229843222k k k k k k k x ++±+-=++±+-= 由原方程的根是有理根，所以()5222++k 必是完全平方式. 可设(),52222m k =++则(),52222=+-k m 即 ()(),512222⨯=--++k m k m因为m 、k 均是整数,所以⎩⎨⎧=--=++522122k m k m , ⎩⎨⎧=--=++122522k m k m ⎩⎨⎧-=---=++112522k m k m , ⎩⎨⎧-=---=++522122k m k m 解得,02或-=k 因为,0≠k 所以k 的值是-2.(13)判别式法一元二次方程根的判别式是中学阶段重要的基础知识，也是一种广泛应用的数学解题方法.该法根据一元二次方程的判别式ac b 42-=∆的值来判定方程是否有实数根，再结合根与系数的关系判定根的正负.熟练掌握该法，不仅可以巩固基础知识，还可以提高解题能力和基础知识的综合运用能力.例13 求方程431112=++xy y x 的整数解. 解 已知方程可化为()044342=-+-xy y x因为x 、y 均为整数，所以,06448162≥+-=∆x x 且为完全平方数.于是，令(),464481622n x x =+-其中n 为正整数所以()04322=-+-n x x因为x 、n 均为整数所以(),04492≥--=∆n 且为完全平方数，即有，742-n 为完全平方数.于是，再令,7422m n =-其中m 为正整数所以()()722=-+m n m n因为m n m n -+22与奇偶性相同，且m n m n -〉+22所以12,72=-=+m n m n由上.2=n相应的,032=-x x 解得()303===x x x ，所以舍去或把3=x 代入已知方程中得(),522舍去或==y y 所以2=y 所以()()2,3,=y x(14)因式分解法因式分解也是中学阶段重要的基础知识之一.它应用广泛,在多项式简化、计算、方程求根等问题中都有涉及.因式分解比较复杂，再解题时，根据所给题目的特点，灵活运用，将方程分解成若干个方程组来求解.这种方法的目的是增加方程的个数，这样就有可能消去某些未知数，或确定未知数的质因数，进而求出其解.利用因式分解法求不定方程()0≠=+abc cxy by ax 整数解的基本思路:将()0≠=+abc cxy by ax 转化为()()ab b cy a x =--后,若ab 可分解为,11Z b a b a ab i i ∈=== 则解的一般形式为,⎪⎩⎪⎨⎧+=+=c b b y c a a x ii 再取舍得其整数解. 例14 方程a b a ,4132=-、b 都是正整数，求该方程的正整数解. 解 已知方程可化为ab a b =-128所以()()9696812-=+-+b a ab即()()96128-=+-b a因为a 、b 都是正整数所以1212,0〉+〉b b这样964832241612或或或或=+b所以4=b 或12或20或36或84相应地2=a 或4或5或6或7所以方程的正整数解为:()()()()().84,7,36,6,20,5,12,4,4,24小结本文只针对不定方程整数解问题做一个初步的探索，归纳提炼出一些解这类题的常规方法和技巧，对解不定方程具有一定的指导意义;并且，还根据自己的积累，总结，发掘出一些新的方法，技巧，具有创新和学习的意义.不定方程（组）在人们的实际生活中有一定的现实意义和应用价值.正确解决这类问题的关键,是在把实际问题转化为数学问题后,依据问题中的条件，特别注意挖掘隐含的条件，使理论化与实际化相结合，灵活运用所学的数学知识，从而讨论出符合题意的解.本文对解决这类问题的方法做以总结，在解决实际问题时，应具体问题具体分析，灵活选用方法技巧，这对于学生的思维能力、分析问题、解决问题的能力的提高有很大的帮助.参考文献[1] 王云峰.判别式法[J].数学教学通讯,2011(07):14—16.[2] 濮安山.中学数学解题方法[M].黑龙江:哈尔滨师范大学出版社，2003年10月.[3] 王秀明.浅析不定方程的解法[J].数理化学习,2009(8）:22—25.[4] 黄一生.因式分解在解题中的应用[J].初中生之友，2011(Z):32—35.[5] 张东海，尹敬会.浅谈韦达定理在解题中的应用[J].中学数学教学参考，1994(5):22-23.[6] 范浙杨 .初中数学竞赛中整数解问题的求解方法[J].中学数学研究，2006(12):17-19.[7] 黄细把.求不定分式方程整数解的几种方法[J].数理化学习（初中版），2005（3）:27—31.[8] Grinelord.On a method of solving a class of Diophantineequations[M].Mathcomp.,32(1978):936-940[9] 陈志云.关于不定方程(组)的一些常用的初等解法[J].高等函数学报(自然科学版)，1997(2):14-29.[10] 敏志奇.不定方程的若干解法[J].(自然科学版)，1998(3):87-91.谢辞经过一点时间的查找资料、整理资料、写作论文，今天，我的论文已接近尾声，这也意味着我的大学生活即将拉上帷幕，此时此刻真的让我感慨万分.论文撰写过程的每一个细节都影响着整篇论文的质量，稍一疏忽变出差错，这使我联想到我们的做人处事又何尝不是如此，每一个标点符号对我的考验是千真万确的事,标点符号竟然有着如此重要的地位，我想标点符号大概与我们在日常生活中的每一个细节的决定、每一次不经意的言谈举止一样吧！虽然非常细微却同样举足轻重.当然，在这将要完结的时刻，我将送上我真诚的感谢.首先，我要感谢我的论文指导老师—高丽老师.从初稿的批阅到最后的完成自然都离不开高老师的悉心指导，大体上论文撰写过程中高老师的指导模式是这样的：学生写好—高老师逐一批改—高老师进行当面指导—学生改写一次高老师再批注、再指导，如此不厌其烦的进行指导.在这里我要感谢高老师的随和、平易近人带给我很多心灵上的启迪，我想这是我大学里最后的有意义的一课.我想多少年之后我依然会清晰地记着高老师的和蔼可亲.其次，我要感谢我的同学，你们不但给了我很多宝贵的意见，有时候会亲自帮我修改论文.尤其是在大家时间都这么紧的情况下，竟然有同学花费整天的时间帮助我，在这里，我想表达我的感谢.谢谢！非常感谢！除过这些良师益友，最后我要感谢那些学识渊博并愿意把他所拥有的知识发表于书刊、网站的编写者们，让我有机会了解那么多知识，让我在论文中有了自己的想法和研究，谢谢你们的启迪.再次送上我诚挚的感谢!。
求不定方程的整数解
不定方程的整数解是指在给定的方程中，寻找满足整数条件的解。一般来说，求解不定方 程的整数解可以使用数学方法，如贝祖定理、模运算等。以下是一些常见的不定方程及其整 数解的求解方法：
1. 一元一次方程：形如ax + by = c的一元一次方程，可以使用贝祖定理求解。贝祖定理 告诉我们，如果a和b互质，那么方程有整数解。具体的求解方法是使用扩展欧几里得算法， 找到满足ax + by = gcd(a, b)的整数解x和y。
3. 二元二次方程：形如ax^2 + bxy + cy^2 = d的二元二次方程，可以使用整数平方根 的性质求解。首先，将方程转化为完全平方形式，即将方程两边同时乘以4ac，得到(2ax + by)^2 - (4ac - b^2)y^2 = 4acd - b^2y^2。然后，使用整数平方根的性质，找到满足该等 式的整数解。
求不定方程的整数解
4. Diophantine方程：Diophantine方程是一类更一般的不定方程，形如ax + by = c的 方程，其中a、b、c为整数。求解Diophantine方程的整数解可以使用模运算和数学归纳法。 具体的求解方法可以根据方程的特点和形式进行推导和求解。
需要注意的是，不定方程的整数解可能有多个或无解，具体的解个数和形式取决于方程的 特点和系数的取值。在实际求解时，可以根据具体的方程形式选择合适的方法和工具进行求 解。
求不定方程的整数解ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2. 二元一次方程：形如ax + by = c的二元一次方程，可以使用扩展欧几里得算法求解。 首先，使用欧几里得算法找到a和b的最大公约数d，如果c是d的倍数，那么方程有整数解。 然后，使用扩展欧几里得算法找到满足ax + by = d的整数解x和y。最后，将x和y分别乘以 c/d，得到方程的整数解。
不定方程三种解法
不定方程三种解法不定方程是指方程中含有一个或多个未知量，并且在给定范围内存在多个整数解的方程。
解决不定方程的问题在数学中具有重要意义，因为它们可以应用于各种实际问题，如商业、工程和密码学等领域。
在这篇文章中，我们将讨论三种解决不定方程的常见方法。
## 1. 穷举法穷举法是最简单的解决不定方程的方法之一。
它的原理是通过穷举所有可能的解来找到符合方程要求的整数解。
首先，我们需要确定未知数的取值范围。
然后，使用循环结构，从最小值开始逐个尝试，直到找到满足方程条件的解或超出最大值。
例如，考虑求解方程x + y = 8，其中x和y是整数。
我们可以通过以下伪代码来实现穷举法：```for x in range(1, 9):for y in range(1, 9):if x + y == 8:print("x =", x, "y =", y)```通过这个方法，我们可以得到方程的所有整数解：(1, 7), (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2), (7, 1)和(8, 0)。
然而，穷举法在大规模的问题上效率较低，因为它需要遍历所有可能的解，而不是有针对性地解决问题。
## 2. 辗转相除法辗转相除法，也称为欧几里德算法，用于求解关于两个未知数的不定方程。
这种方法的关键思想是利用两个整数的最大公约数来解决方程。
例如，考虑求解方程ax + by = c，其中a、b和c是已知整数，x和y是未知数。
我们可以使用辗转相除法来求解。
首先，我们需要计算a和b的最大公约数。
然后，检查c是否可以被最大公约数整除。
如果是，则方程有解，否则方程无解。
如果方程有解，我们可以使用扩展欧几里德算法来找到x和y的值。
扩展欧几里德算法可以通过递归方式计算出未知数的值。
辗转相除法是一种较为高效的方法，因为它只需要计算最大公约数和进行有限次的递归运算。
## 3. 数论方法数论方法是解决特定类型不定方程的一种方法。
不定方程的求解技巧例题
不定方程的求解技巧例题求解不定方程是数学中的重要内容之一，在数学的应用中经常会出现各种各样的不定方程，因此掌握不定方程的求解技巧是非常必要的。
下面以一些例题来介绍不定方程的求解技巧。
例题1：求解不定方程x + y = 10，其中x和y都是正整数。
解法：首先我们可以观察到，当x = 1时，y = 10 - 1 = 9；当x = 2时，y = 10 - 2 = 8；当x = 3时，y = 10 - 3 = 7……因此我们可以得到一组解：{1, 9}，{2, 8}，{3, 7}，{4, 6}，{5, 5}。
但这并不是唯一的解，我们可以继续观察，当x = 6时，y = 10 - 6 = 4；当x = 7时，y = 10 - 7 = 3；当x = 8时，y = 10 - 8 = 2；当x = 9时，y = 10 - 9 = 1。
因此我们可以得到另一组解：{6, 4}，{7, 3}，{8, 2}，{9, 1}。
所以这个不定方程的解是：{1, 9}，{2, 8}，{3, 7}，{4, 6}，{5, 5}，{6, 4}，{7, 3}，{8, 2}，{9, 1}。
例题2：求解不定方程x^2 + y^2 = 25，其中x和y 都是正整数。
解法：对于这个问题，我们可以采用穷举法来求解。
我们可以从0开始往上穷举，看看哪些正整数满足方程。
当x = 0时，y = ±5；当x = 1时，y = ±√(25 - 1) = ±4；当x = 2时，y = ±√(25 - 4) = ±3；当x = 3时，y = ±√(25 - 9) = ±√16 = ±4；当x = 4时，y = ±√(25 - 16) = ±√9 = ±3；当x = 5时，y = ±√(25 - 25) = 0。
综上所述，满足条件的正整数解有：{(0，5)，(0，-5)，(1，4)，(1，-4)，(2，3)，(2，-3)，(3，4)，(3，-4)，(4，3)，(4，-3)，(5，0)}。
第二章不定方程
不定方程
1、什么是不定方程？
顾名思义即方程的解不定.一般地有 定义：不定方程是指未知数的个数多于方程 的个数，或未知数受到某种限制(如整数 ， 正整数等）的方程和方程组。
2、主要研究问题
a.不定方程有解的条件 b.有解的情况下，解的个数 c.有解的情况下，如何解
3、本章学习内容
(1）二元一次不定方程 （2）多元一次不定方程 （3）勾股数组 （4)费马大定理简介
(5)几类特殊的不定方程
§1 二元一次不定方程
定义：形如 ax by c
其中 ( a 0,b 0)a,b,c为整数的方程称为二元 一次不定方程。
例：2X+3Y=5
5U+6V=21
定理： ax by c 有解的充要条, y0则有 ax0 by0 c
推论：单位圆上的有理点可写成
2ab a2 b2
,
a2 a2
b2 b2
及
a2 a2
b2 b2
,
2ab a2 b2
证：由 x2 y 2 z 2 两边同除 z 2
有
(
x z
)2
(
y z
)
2
1 ，令X
x z
,Y
y z
所以有 X 2 Y 2 1 即为单位圆的方程
而有理点的坐标都是有理数，即为可约分数的形式，分数 的分子正好为x2+y2=z2的x和y分母为z，且正负都可，又可 交换即有
2ab a2 b2
,
a2 a2
b2 b2
及
a2 a2
b2 b2
,
2ab a2 b2
例1：勾股数的勾股中至少有一个是3的倍数。
证：设N=3m 1，（m为整数），则
四次不定方程
四次不定方程四次不定方程是一个非常重要的数学主题，它可以用来表达各种天然现象和科学问题。
从数学的角度来看，它提供了一种有效的方法来求解复杂的多项式方程，并对未知变量进行有效的推断。
四次不定方程是一种特殊的多项式方程，其解可能是实数，也可能是复根。
它如何判断解的类型及其复杂性，取决于多项式的阶数。
求解四次不定方程的过程也是一个重要的数学问题。
这里介绍了一种求解四次不定方程的方法常见因式分解法，首先将原方程分解为一系列的一元多项式，然后再进行解析解。
一元多项式的解法有多种，包括根式求解法、判别式求解法、结合系数求解法等，在求解过程中可以根据每个因式的不同特点而选取不同的方法。
下面给出一个关于如何求解四次不定方程的示例：例：求解方程ax4+bx3+cx2+dx+e=0。
首先将上式进行因式分解，假设x1,x2,x3,x4是方程的解，则有： (x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-x4)=0将上式移到左边，可以得到：ax4+bx3+cx2+dx+e=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-x4)设x1=b1+c1,x2=b2+c2,x3=b3+c3,x4=b4+c4，其中b1,b2,b3,b4,c1,c2,c3,c4是常数，则：a=b1b2b3b4b=b1b2b3c1+b1b2b4c2+b1b3b4c3+b2b3b4c4c=b1b2c1c2+b1b3c1c3+b1b4c1c4+b2b3c2c3+b2b4c2c4+b3b4c3c4d=b1c1c2c3+b2c1c2c4+b3c1c3c4+b4c2c3c4e=c1c2c3c4将此常数带入四次不定方程，即可求出方程的解：x1=b1+c1x2=b2+c2x3=b3+c3x4=b4+c4四次不定方程是一个重要且有趣的数学主题。
它有着广泛的应用，包括经济学、物理学和其他方面的分析和模拟，它可以为研究者和设计人员提供宝贵的思路。
此外，如果理解求解四次不定方程的基本算法，并熟悉一些经典的四次不定方程的实际应用，那么它将为你带来更大的帮助。
揭秘当年费尔马(Fermat)大定理的证明思路与绝妙方法——不定方程x^n+y^n=z^n在n为大于
＋
ｙ２ｔ ＋ １ ２ｔ ＋ １
＝
ｚ２ｔ ２ｔ
＋ ＋
１ １
的几何关系图和勾
股数组关系)
２. 结论
通过上述的分析和研究可知:费尔马大定理的不定
方程都是建立在基本直角三角形基础上的ꎬ只是对应的
直角三角形三条边表现形式不同而已ꎬ其三条边的整数解都
必须满足于勾股数组的通解条件ꎬ即有如下的关系式
ìïＸ费尔马大定理)
费尔马在仔细研究求不定方程 Ｘ２ ＋ Ｙ２ ＝ Ｚ２ 的整数解 后得出了费尔马大定理:“ 不可能把一个整 数的立方表示
成两个整数的四次幂之和ꎬ一般的说ꎬ不可能把任意一个 次数大于 ２ 的方幂表示成两个同次方幂之和. ” 这也就是 说不定方程 ｘｎ ＋ ｙｎ ＝ ｚｎ 在 ｎ 大于 ２ 的任意整数时ꎬ没有不 为零的整数解.
揭秘当年费尔马( Ｆｅｒｍａｔ) 大定理的证明思路与绝妙方法
———不定方程 ｘｎ ＋ ｙｎ ＝ ｚｎ 在 ｎ 为大于 ２ 的任意整数时没有不为零的整数解
邹继芳
( 辽宁省抚顺矿业集团有限责任公司机械制造厂 １１３００１)
摘 要:首先对费尔马大定理的内涵进行了仔细的研究和几何解析ꎬ很奇妙的证明了 ｘ４ ＋ ｙ４ ＝ ｚ４ 不定方 程没有不为零的整数解问题ꎬ并以新的视角对 ｎ > ２ 时的情形进行了推论ꎬ发现了费尔马所称的绝妙方法. 其 特点都是采用初等代数的方法而求解求证的ꎬ非常符合费尔马当时的时代背景ꎬ其意义就在于寻求当年费尔 马的解题思路ꎬ探求当年费尔马解题的轨迹ꎬ还原费尔马当年的绝妙证明方法.
不定方程的整数解公式
不定方程的整数解公式不定方程，听起来是不是有点让人摸不着头脑？其实呀，它在数学世界里可是个很有趣的存在呢！咱们先来说说啥是不定方程。
简单来讲，不定方程就是未知数的个数多于方程个数的方程。
比如说，3x + 4y = 10 ，这里有两个未知数 x 和 y ，但只有一个方程，这就是不定方程。
那不定方程的整数解公式是啥呢？这可得好好琢磨琢磨。
就拿一个例子来说吧，假设咱们有不定方程 5x + 7y = 20 ，咱们想找到它的整数解。
首先，咱们对这个方程进行变形。
5x = 20 - 7y ，然后 x = (20 - 7y) / 5 。
这时候，为了找到整数解，咱们就得想想啦。
因为 x 要是整数，20 - 7y 就得是 5 的倍数。
那怎么才能是 5 的倍数呢？咱们可以一个个去试。
假设 y = 1 ，那么 20 - 7×1 = 13 ，不是 5 的倍数；再假设 y = 2 ，20 - 7×2 = 6 ，也不是5 的倍数；当 y = 3 时，20 - 7×3 = -1 ，还不是 5 的倍数。
一直试到 y = 5 时，20 - 7×5 = -15 ，是 5 的倍数啦，这时候 x = (-15) / 5 = -3 。
但是呢，咱们通常想要的是正整数解或者零解。
那继续往下试，当y = 0 时，x = 4 ，这就是一组整数解啦。
在找不定方程整数解的过程中，有时候可不容易，得有耐心，就像我之前教学生的时候，有个小家伙怎么都弄不明白，急得直挠头。
我就耐心地跟他一点点分析，引导他去尝试不同的数值，最后他终于搞懂了，那高兴的样子，让我也觉得特别有成就感。
再比如说不定方程 2x + 3y = 12 ，咱们同样可以通过变形和尝试来找到整数解。
2x = 12 - 3y ，x = (12 - 3y) / 2 。
假设 y = 0 ，x = 6 ；y = 1 ，x = 4.5 ，不是整数；y = 2 ，x = 3 ；y = 3 ，x = 1.5 ，不是整数；y = 4 ，x = 0 。
不定方程x 4—y 4=n整数解求法探讨
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２０ ０ ２年 第 ６期
中 学 数 学
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不定方程的整数解问题及其方法简介(含答案)
专题三：不定方程的整数解问题所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些条件限制（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组。
数学竞赛中的不定方程问题，不仅要求学生对初等数论的一般理论、方法有一定的了解，而且更需要讲究思想、方法与技巧，创造性地解决问题。
在本专题中我们一起来学习不定方程整数解的一些解法技巧。
【基础知识】1．不定方程整数解的常见类型：（1）求不定方程的整数解；（2）判定不定方程是否有整数解；（3）判定不定方程整数解的个数（有限个还是无限个）。
2．解不定方程整数解问题常用的解法：（1）代数恒等变形：如因式分解法、配方法、分离整数法、换元法（参数法）等；（2）奇偶分析法：缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解；（3）构造法：如构造一元二次方程，利用根的判别式和韦达定理等性质；（4）枚举法：列举出所有可能的情况；（5）不等式分析法：通过不等式估算法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解；（6）无穷递推法。
【典型例题分析】一、代数恒等变形1、因式分解法【例1】已知,x y 都是整数，且满足22()xy x y +=+，求22x y +的最大值.分析：由22()xy x y +=+，得(2)(2)2x y --=因为(2),(2)x y --都是整数，所以2221x y -=⎧⎨-=⎩，或2122x y -=⎧⎨-=⎩，或2221x y -=-⎧⎨-=-⎩，或2122x y -=-⎧⎨-=-⎩ 解得43x y =⎧⎨=⎩，或34x y =⎧⎨=⎩，或01x y =⎧⎨=⎩，或10x y =⎧⎨=⎩ 故22x y +的最大值为25注：一般地，整系数,,,a b c d 的二次方程0axy bx cy d +++=，可变形为：20a xy abx acy ad +++=分解，得 ()()ax c ay b bc ad ++=-.求整数解时，只需把整数()bc ad -分解成两个整数的积，转化为解几个方程组#ax c ay b +=∆⎧⎨+=⎩，（这#bc ad ∆⨯=-）来解，通过取舍求出符合题意的整数解。
不定方程x4＋y4＋Z4=n正整数解的求法
不定方程x4＋y4＋Z4=n正整数解的求法
齐丽娟
【期刊名称】《《中学数学研究》》
【年(卷),期】2009(000)012
【摘要】本文给出的是高次多元不定方程x4＋y4＋Z4=n（n∈N）正整数解的初等求法．
【总页数】3页(P42-44)
【作者】齐丽娟
【作者单位】吉林省白城市教育学院 137000
【正文语种】中文
【中图分类】O156.7
【相关文献】
1.参数法解不定方程组,求其正整数解 [J], 韦深培
2.不定方程sum from i=1 to k(x_i=n)的非负整数解、正整数解的个数 [J], 罗时健
3.几道隔板法求不定方程正整数解的个数问题 [J], 黄锦涛;谢涛
4.不定方程6x(x+1)(x+2)(x+3)=13y(y+1)(y+2)(y+3)的正整数解研究 [J], 王润青
5.关于不定方程组的正整数解的上界 [J], 李杨
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