初一-第13讲-一元一次方程的认识和解法

一元一次方程的概念和解法

1.掌握方程的概念，理解等式的基本性质。

2.掌握一元一次方程的概念，能够识别一元一次方程，利用一元一次方程求字母的值。

3.掌握一元一次方程的解法。

教学建议：回顾小学的时候学过的等式的性质和解方程的方法。

一、重难点知识归纳及讲解

1、有关方程的概念

用等号“ =”来表示相等关系的式子，叫做等式.

含有未知数的等式叫做方程.

只含有一个未知数，并且未知数的指数是1的方程，叫做一元一次方程.

使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. 只含有一个未知数的方程的解，也叫做方程的根.

求得方程的解的过程，叫做解方程.

2、等式的基本性质

性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个数或同一个代数式，所得结果仍是等式，即：

若a=b，则a＋m=b＋m，a－m=b－m.

性质2：等式两边同时乘以同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式，即：

若a=b，则am=bm，.

此外等式还有两条性质.

性质3：若a=b，则b=a（等式的对称性）.

性质4：若a=b，b=c，则a=c（等式的传递性）.

3、移项法则

方程中的任何一项都可以在改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项，这个法则叫做移项法则。

所移动的是方程中的项，并且是从方程的一边移到另一边，而不是在这方程的一边变换两项的位置。移项时要变号，不变号不能移项。

4、解一元一次方程的一般步骤

解一元一次方程的基本思路是通过对方程变形，把含有未知数的项移到方程的一边，把常数项移到方程的另一边，最终把方程转化到x=a的形式。

解一元一次方程的一般步骤是：

（1）去分母：根据等式基本性质2，在方程两边都乘以各分母的最小公倍数；

（2）去括号：利用去括号法则、分配律，先去小括号，再去中括号，最后去大括号；

（3）移项：根据等式基本性质1，利用移项法则，把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边；

（4）合并同类项：利用合并同类项法则，把方程化成ax=b的形式；

（5）系数化为1：根据等式基本性质2，在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解(a≠0).

在解方程时，根据具体情况，有些步骤可能用不上，有些步骤可以前后顺序颠倒，有些步骤可以省略，有些步骤可以合并简化.

5、方程的检验

检验某数是不是原方程的解，应将该数分别代入原方程的左边和右边，看两边的值是否相等.如果相等，说明该数是原方程的解，否则就不是.检验时应代入原方程的左边和右边，而不是变形后的方程的左边和右边.

6、列简易方程解应用题

解应用题时，关键是列出简易方程，解应用题时列方程的一般步骤是：

（1）设未知数，一般是求什么就设什么为x；

（2）分析已知量和未知量的关系，找出相等关系；

（3）把相等关系的左、右两边的量用含x的代数式表示出来，即得方程.

二、典型例题剖析

例1、判断下列各式哪些是方程，哪些是一元一次方程.

（1）x－1=1－x （2）x3=2x（3）xy－x=0 （4）6x－x－1（5）5－2=3（6）=3（7）2x=1（8）x2＋1>2x

分析：判断一个式子是不是方程，只需看两点：①是等式；②含有未知数，二者缺一不可；判断一个方

程是不是一元一次方程，也有两个条件：①只含一个未知数；②未知数的次数是1，两个条件缺一不可。

解：（1）、（2）、（3）、（6）、（7）是方程.其中（1）、（7）是一元一次方程.

例2、解方程，并检验.

分析：按照解一元一次方程的基本步骤来解，注意去分母时不能漏乘常数项，检验时要分别代入原方程的左边和右边。

解：去分母，得：6(x－2)－3(x＋3)=10(2x－5)－3×30

去括号，得：6x－12－3x－9=20x－50－90

移项，得：6x－3x－20x=－50－90＋12＋9

合并同类项，得：－17x=－119.

系数化为1，得：x=7

检验：把x=7分别代入原方程的左、右两边，得：

∵左边=右边

∴ x=7是原方程的解

例3、解方程.

分析：原方程的分母是小数，可以先用分数基本性质把它们都化成整数，先后按解一元一次方程的基本

步骤求解，注意分母化整与去分母有区别，不能相混淆.

解：原方程可化成

去分母，得：30x－7(17－20x)=21

去括号，得：30x－119＋140x=21

移项，得：30x＋140x=21＋119

合并同类项，得：170x=140

系数化为1，得：x= .

例4、解方程.

分析：解某些方程时可不按照解方程的一般步骤来解，应根据方程的特点灵活进行，较为简便 .

解：去中括号，得：

去小括号，得：

去分母，得：3x＋12＋36=44＋8x

移项，得：3x－8x=44－12－36.

合并同类项，得：－5x=－4

系数化为1，得：x=.

例5、已知x=－7是方程4x＋6=ax－1的解，求代数式的值.

分析：将x=－7代入方程中去，可得到a为未知数的一个方程，解这个方程，求出a的值，从而求出a－的值.

解：把x=－7代入方程，得：4×(－7)＋6=a×(－7)－1.

解这个方程，得：a=3.

把a=3代入，得：.

例6、某商品标价为165元，若降价以9折出售，仍可获利10%，则该商品的进货价是多少？

分析：列方程解应用题的关键是列方程，列方程的关键是找相等关系，注意本题相等关系是：利润=售价－进货价.

解：设该商品的进货价是x元，依题意，得：10%x=165×90%－x