全国初中数学竞赛模拟试题附答案
初中数学竞赛模拟题50题含答案
初中数学竞赛模拟题50题含答案一、单选题1．下列说法正确的是（ ） A ．正有理数和负有理数统称有理数 B ．正整数和负整数统称整数 C ．整数和分数统称有理数D ．一个有理数不是正数就是负数2．在一年的某月里，周五、周六出现的天数比周日多，周一、周二、周三、周四出现的天数不超过周日，则该月份一定不是（ ） A ．三月B ．四月C ．六月D ．十一月3．当m 为自然数时，2(45)9m +-一定能被下列哪个数整除（ ） A ．5B ．6C ．7D ．84．定义运算()()()()()()12211221a a a a b a b a b b b b --⨯⋅⋅⋅⨯-+-+*=--⨯⋅⋅⋅⨯⨯，则107*=（ ）A ．720B ．120C ．240D ．805．已知()123123,,x x x x x x <<为关于x 的方程323(2)0x x a x a -++-=的三个实数根，则22211234x x x x -++=（ ）A ．5B ．6C ．7D ．86．一个盒子中有红球m 个、白球10个，黑球n 个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得是白球的概率与不是白球的概率相同，那么,m n 的关系是（ ）． A ．10m n +=B ．5m n +=C ．10m n ==D ．2,3m n ==7．已知x ，y 为整数，且满足224411112113x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=-- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则x y +的可能的值有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．若223894613M x xy y x y =-+-++（,x y 是实数），则M 的值一定是（ ）． A ．正数 B ．负数C ．零D ．整数9．若34567201520162017201820195N++++++++=，则N =（ ）A ．2015B ．2016C ．2017D ．201810．如图，在ABC 中，过点C 作CD AB ⊥，垂足为点D ，过点D 分别作DE AC ⊥，DF BC ⊥，垂足分别为E ，F ．连接EF 交线段CD 于点O ，若CO =CD =EO FO ⋅的值为（ ）．A ．B ．4C ．D ．611．锐角ABC 中，BC 边的中垂线和ABC ∠的角平分线相交于点P ．若72A ∠=︒，24ACP ，则ABP ∠=（ ）A ．24︒B ．28︒C ．30︒D ．36︒12．如果21x x --是31ax bx ++的一个因式，则b 的值是（ ）． A ．2-B ．1-C ．0D ．213．满足等式22(2)1m m m ---=的所有实数m 的和为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．614．点D 、E 、F 分别在ABC 的三边BC 、AB 、AC 上，且AD 、BF 、CE 相交于一点M ，若5AB AC BE CF+=，则AMMD =（ ） A ．72B ．3C ．52D ．215．矩形ABCD 中，5AD =，10AB =，E 、F 分别为矩形外的两点，4BE DF ==，3AF CE ==，则EF =（ ）A ．B ．15CD ．16．已知实数a ，b 满足()()330a b --≥2 ） A ．0B ．1C ．2D ．317．某种产品由甲、乙、丙三种元件构成，如图为生产效率最高，在表示工人分配的扇形图中，生产甲、乙、丙元件的工人数量所对应的扇形圆心角的大小依次是（ ）．A ．120,180,60︒︒︒B ．108,144,108︒︒︒C ．90,180,90︒︒︒D ．72,216,720︒︒︒18．从正整数里取出k 个不同的数，使得这k 个数中任意两个数之差的绝对值是质数，则k 的最大值是（ ）． A ．3B ．4C ．5D ．619．若直角三角形的一条直角边长为12，另两条边长均为整数，则符合这样条件的直角三角形共有（ ）个． A ．1B ．6C ．4D ．无数多二、填空题20．把7串葡萄放在6个盘子里，总有一个盘子里至少要放( )串葡萄． 21．如图，已知直角三角形ABC ，90A ∠=，4AB ＝cm ，5BC ＝cm ．将ABC 沿AC 方向平移1.5cm 得到A B C '''，求四边形BCC B ''的面积为________2cm ．22．若正整数n 有6个正约数（包括1和本身），称其为“好数”，则不超过50的好数有______个．23．已知ABC 的最大边BC 上的高线AD 和中线AM 恰好把BAC ∠三等分，AD =AM =__________．24．若a ，b ，c ，d 均为素数，且满足2a b d +=，32b c d -=，则d 的最小值是________．25．在一张冬景照片上，人们分别戴着帽子、系着围巾和戴着手套．只戴帽子的人数等于只系围巾和只戴手套的人数之和；只有4人没有戴帽子；戴着帽子和系着围巾，但没有戴手套的有5人；只戴帽子的人数两倍于只系围巾者；未戴手套有8人，未系围巾有7人；三样东西都用的人数比只戴帽子的人数多一个．那么： （1）有______人同时用上了帽子、围巾和手套； （2）有______人只戴了手套； （3）有______人只系了围巾；（4）有______人既戴了帽子，又戴了手套，但没有系围巾； （5）有______人戴着手套．26．若n n =______． 27．设x =a 是x 的小数部分，b 是x -的小数部分，则333a b ab ++=__________ ．28．军训基地购买苹果慰问学员．已知苹果总数用八进位制表示为abc ，七进位制表示为cba ．那么，苹果的总数用十进位制表示为________． 29．方程1433x y+=有_________组正整数解． 30．已知函数(1)1kx k y ++=（k 为正整数）的图象与两坐标轴围成的图形面积为(1,2,,2000)k S k =⋅⋅⋅，则122000S S S ++⋅⋅⋅+=_______．31．如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB ＝AC ＝5，点D 在AC 上，且2AD =，点E 是AB 上的动点，连结DE ，点F ，G 分别是BC ，DE 的中点，连接AG ，FG ，当AG ＝FG 时，线段DE 长为______32．从1到2001连续的2001个自然数按某种顺序排列，然后每连续三项计算和数，得到1999个和，则这些和数中为奇数的个数最多是_________． 33．计算：239912232421002+⨯+⨯+⨯++⨯=________．（结果可用2的幂表示）34．如图所示，点A C 、都在函数0)y x =>的图象上，点B D 、都在x 轴上，且使得OAB ,BCD △都是等边三角形，则点D 的坐标是_______．35．已知正整数n 大于30，且使得41n -整除2002n ，则n 等于_______． 36．射线AB 绕点A 逆时针旋转a ︒，射线BA 绕点B 顺时针旋转b ︒，090a ︒︒＜＜，090b ︒︒＜＜，旋转后的两条射线交点为C ，如果将逆时针方向旋转记为“+”，顺时针方向旋转记为“-”，则称()a b -，为点C 关于线段AB 的“双角坐标”，如图1，已知ABC ∆，点C 关于线段AB 的“双角坐标”为(5060)-，，点C 关于线段BA 的“双角坐标”为(6050)-，．如图2，直线:AB y =x 轴、y 轴于点A 、B ，若点D 关于线段AB 的“双角坐标”为()m n -，，y 轴上一点E 关于线段AB 的“双角坐标”为()n m -，，AE 与BD 交点为F ，若ADE ∆与ADF ∆相似，则点F 在该平面直角坐标系内的坐标是________．37．如图，在四边形ABCD 中，90BCD ∠=︒，BC =，60BAC ∠=︒，若=5AB ，=2AD ，则线段AC 的长为______．38．某演艺公司将观赏厅分为上、中、下三大区位，同一区位包含若干个座位数相同的桌位（不同区位的单个桌位所含座位数不一定相同）．演艺公司对近三天的的上座情况进行统计发现，三天中每个区位坐有观众的桌位均刚好坐满．第一天上、中、下区的坐有观众的桌位数之比为3:2:1，中区的观众数占入场观众数的14，上座率为35；第二天上、中、下区的坐有观众的桌位数之比为1:1:2，上区的观众数占入场观众数的25，上座率为34；第三天上区的观众数与第二天上区的观众数相同，中区的观众数是第一天的中区的观众数的13，下区的观众数是当天上区和中区观众数的总和．则第三天的上座率为______．（上座率=入场观众数全场总座位数）三、解答题39．如图，在菱形ABCD 中，3AB =，60DBA ∠=︒，E 为线段BD 延长线的动点，连接AE 、CE ，AE 交CD 延长线于点F ．(1)求证：AE CE =； (2)若1DF =．①求点E 到CD 的距离； ①求EFED的值． 40．设,a b 是实数且422223a b a b =+，求22222010a b a b -+的值． 41．几何计算中，常利用面积法（等积法）构造方程来求线段的长，请利用这种面积法（等积法）解决下列两个问题：(1)如图①，ABC 中，13AB =，5AC =，=12BC ，求AB 边上的高；(2)在一张正方形纸张的四个角剪去四个相同的小正方形，得到如图①所示的图形，再将它分割成三块拼成如图①所示的长方形，已知m n 、满足：22818970m m n n -+-+=，求拼成新长方形的长m 、宽n 的值及被剪去的小正方形的边长．42．求证：若3|(4)x y -，则229472|()x xy y +-． 43．两位数ab 能整除十位数字为零的三位数0a b ，求ab ．44．如图，点E 在四边形ABCD 的边AB 上，ABC 和CDE 都是等腰直角三角形，AB AC =，DE DC =．（1）证明：//AD BC ；（2）设AC 与DE 交于点P ，如果30ACE ∠=︒，求DPPE． 45．从1，2，3，…，50这50个正整数中任取n 个数，在这n 个数中总能找到3个数，它们两两互质．求n 的最小值．46．已知m ，n 都是正整数，若130m n ≤≤≤，且mn 能被21整除，求满足条件的数对(,)m n 的个数．47．证明数列49，4489，444889，4448889，…的每一项都是一个完全平方数. 48．在元旦晚会上，学校组织了一次关于语文、数学、外语、奥运及日常生活常识的知识竞赛，设定每科满分为40分，以下依次为30分、20分、10分和0分，共5个评分等级，每个小组分别回答这五个方面的问题．现将A 、B 、C 、D 、E 五个小组的部分得分列表1如下： 表1表1中，（1）每一竖行的得分均不相同（包括单科和总分）；（2）C组有4个单科得分相同．求B、C、D、E组的总分并填表进行检验．参考答案：1．C【分析】根据有理数的含义和分类方法，逐一判断即可． 【详解】解：A 、正有理数、负有理数和0统称有理数， ∴选项A 不正确，不符合题意；B 、正整数与负整数、0统称为整数， ∴选项B 不正确，不符合题意；C 、整数和分数统称有理数 ∴选项C 正确，符合题意；D 、一个有理数不是正数，可能是负数或0， ∴选项D 不正确，不符合题意．故选：C ．【点睛】本题主要考查了有理数的含义和分类方法，解题的关键是要熟练掌握有理数的分类：①有理数可以分为正有理数，0，负有理数；正有理数可以分为正整数和正分数，负有理数分为负整数和负分数；①有理数可以分为整数和分数；整数分为正整数，0负整数；分数分为正分数和负分数；按两种分类一一判断即可． 2．A【详解】每个月的后28天，周一至周日出现的天数相同，因此在这28天之外只能出现周五和周六，故这个月有30天 3．D【分析】多项式利用平方差公式分解因式，变形后即可作出判断． 【详解】解：2(45)9m +-[][](45)3(45)3m m =+-++ (42)(48)m m =++ 8(21)(2)m m =++①无论m 为任何自然数，2(45)9m +-始终能被8整除， 故选：D ．【点睛】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解答本题的关键． 4．B【解析】略 5．A【详解】方程即()2(1)20x x x a --+=，它的一个实数根为1，另外两个实数根之和为2，其中必有一根小于1，另一根大于1，于是21x =，132x x +=，故()()222112331311441x x x x x x x x x -++=+-++()()31131241215x x x x x =-++=++=．6．A【详解】盒中共有10m n ++个球，取得的是白球的概率是10m np m n +=++，取得的不是白球的概率为10m n p m n '+=++．依题意有101010m nm n m n +=++++，所以10m n +=．故应选A ．7．C【详解】由已知等式得2244224423x y x y x y xy x y x y++-⋅=-⋅，显然x ，y 均不为0，所以0x y +=或()32xy x y =-．若()32xy x y =-，则()()32324x y +-=-．又x ，y 为整数，可求得12x y =-⎧⎨=⎩或2,1x y =-⎧⎨=⎩．所以1x y +=或1x y +=- 因此，x y +的可能的值有3个．【点睛】本题考查了等式的性质，分式的化简，解决此题的关键是熟练运用x 、y 是整数这个条件． 8．A 【详解】因为22222222(44)(44)(69)2(2)(2)(3)0M x xy y x x y y x y x y =-++-++++=--++≥+，并且2,2,3x y x y --+不能同时等于零，所以0M >．故选A ．9．C 【解析】略 10．B【分析】由题意易得出90DEC DFC ∠=∠=︒，即说明点C ，E ，D ，F 四点共圆，得出DEO FCO ∠=∠，从而易证DOE FOC ∽，得出EO DOCO FO=．由题意可求出DO CD CO =-4EO FO CO DO ⋅=⋅=．【详解】解：①DE AC ⊥，DF BC ⊥， ①90DEC DFC ∠=∠=︒， ①点C ，E ，D ，F 四点共圆，①DEF FCD ∠=∠，即DEO FCO ∠=∠． 又①DOE FOC ∠=∠， ①DOE FOC ∽， ①EO DOCO FO=， ①EO FO CO DO ⋅=⋅．①CO =CD = ①DO CD CO =-=①4EO FO CO DO ⋅=⋅==． 故选B ．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，四点共圆的知识，圆周角定理．确定点C ，E ，D ，F 四点共圆，从而可得出证明DOE FOC ∽的条件是解题关键． 11．B【详解】①直线BP 为ABC ∠的角平分线，①ABP CBP ∠=∠．①直线PM 为BC 的中垂线，①BP CP =，①CBP BCP ∠=∠，①ABP CBP BCP ∠=∠=∠． 在ABC 中，三内角之和为180︒，①3180ABP A ACP ∠+∠+∠=︒， 即37224180ABP ∠++=°°°，解得28ABP ∠=°． 12．D【详解】（解法一）依题意可设32321(1)()()()ax bx x x ax c ax c a x a c x c ++=--+=+--+-，比较系数得(),0,1,b a c c a c =-+⎧⎪-=⎨⎪-=⎩所以1,2c a b ==-=．故选D ．（解法二）依题意21x x --是3221(1)()1ax bx ax x x ax b a x ++---=+++的因式， 所以1111a b a +==--， 解得1,2a b =-=．故选D ．（解法三）用长除法可得321(1)()(2)(1)ax bx x x ax a a b x a ++=--+++++，所以20,10,a b a +=⎧⎨+=⎩得1,2a b =-=．故选D ．13．A【详解】当21m -=即1m =时，满足所给等式；当21m -=-即3m =时，224(2)(1)1m m m ---=-=，满足所给等式；当21m -≠±即1m ≠且3m ≠时，由已知等式可得：220m m --=且20m -≠，解得1m =-． 因此，满足等式22(2)1m m m ---=的所有实数m 的和为()1313++-=．14．B【详解】设AM t MD =，由题设可得AMC DMC BMC BMC S tS AE EB S S ==△△△△，AMB BMD BMC BMC S tS AF FC S S ==△△△△，所以22DMC BMD BMC BMCtS tS AB AC AE AFBE CF EB FC S S ∆∆+=++=++△△ ()222DMC BMD BMC BMC BMCt S S tSt S S +=+=+=+△△△△△，又已知5AB AC BE CF +=，所以25t +=，所以3t =，即3AM MD=． 15．C【详解】易知90AFD BEC ∠=∠=︒，BEC DFA ≅△△，①DAF BCE ∠=∠. 延长FA ，EB 交于点G .①90GAB DAF ADF ∠=︒-∠=∠，90GBA CBE BCE DAF ∠=︒-∠=∠=∠， ①BGA AFD △△，且90AGB ∠=︒，①8AG =，6BG =， ①11GF =，10GE =，①EF ==16．B【详解】因为40b -≥，30b ->，所以3a ≥1，所以令3a =，8b =，得到最小值为1． 17．B【详解】解 设分配生产甲、乙、丙3种元件的人数分别为x 人，y 人，z 人，于是每小时生产甲、乙、丙三种元件的个数分别为50,30,20x y z ．为了提高效率应使生产出来的元件全部组成成品而没有剩余．设共可组成k 件成品，则503020504020x y zk ===，即4,,3x k y k z k ===，从而4::1::13:4:33x y z ==．设在扇形图中生产甲、乙、丙三种元件的圆心角分别为,,αβγ，则3336036036010834310x x y z α=⨯︒=⨯︒=⨯︒=︒++++，4436036036014434310y x y z β=⨯︒=⨯︒=⨯︒=︒++++，3336036036010834310z x y z γ=⨯︒=⨯︒=⨯︒=︒++++．故应选B ． 18．B【详解】解法一 首先4个数1，3，6，8满足题目要求，故所求k 的最大值4≥． 若5k ≥，记第n 个数为(1,2,,)n a n k =，且12 k a a a <<<，则分下列几种情形：（1）1a 为奇，2a 为奇，于是21a a -为偶数． 又21a a -为质数，故212a a -=，即212a a =+．若3a 为奇数，又32a a ≠，故31a a -为不等于2的偶数，即31a a -为不小于4的偶数，即31a a -为合数，矛盾．故3 a 为偶数，4a 也只能为偶数．那么，若5a 为奇，则51312a a a a ->-≥为偶数，即51a a -为不小于4的偶数，从而51a a -为合数，矛盾．若5a 为偶数，则53432a a a a ->-≥为偶数，从而53a a -为合数，矛盾． （2）1a 为奇，2a 为偶，于是21a a -为奇数，即213a a -≥． 若3a 为奇数，则31213a a a a ->-≥为偶数，故31a a -为合数，矛盾． 所以3a 为偶数，且322a a -=．若4a 为奇数，则41313a a a a ->-≥为不小于4的偶数，即41a a -为合数，矛盾． 若4a 为偶数，则42322a a a a -->=为不小于4的偶数，即42a a -为合数，矛盾． （3）1a 为偶，2a 为奇或偶，都类似于（1），（2）可导致矛盾． 综上得所求k 的最大值是4，故选B ．解法二 同解法一得4k ≥．若5k ≥，则将全体正整数分为4个不相交的子集1M ，2M ，3M ，4M ，其中i M 由全体被4除余i 的正整数组成(0,1,2,3)i =于是任取5k ≥个数，其中必有2个数a ，b （a b >）属于同一个子集i M ，于是a b -被4整除，a b -不是质数，矛盾．故所求k 的最大值等于4． 19．C【详解】选C ．理由：设12a =，c 为斜边，则有222144c b a -==． 因为4214423=⨯，所以， ()()722c b c b +-=⨯； ()()364c b c b +-=⨯； ()()188c b c b +-=⨯； ()()169c b c b +-=⨯； ()()483c b c b +-=⨯； ()()246c b c b +-=⨯．又因为c b +与c b -同奇偶，故符合题意条件的直角三角形有以下四个： 12.5.13;a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩12.9.15;a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩12,16,20;a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩12.35.37.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩20．2【分析】把6个盘子看作6个抽屉，7串葡萄看作7个元素，从最不利的情况考虑，每个抽屉先放一个，共需要6个，余下这一个无论放在哪个抽屉里，总有一个至少有1+1=2（个），据此解答． 【详解】解：761÷=（串）1（串）， 1+1=2（串），①总有一个盘子里至少要放2串葡萄． 故答案为：2．【点睛】本题考查了抽屉原理，解决本题的关键是掌握抽屉原理：如果有n 个抽屉，而每一个苹果代表一个元素，假如有n +1个元素放到n 个抽屉中去，其中必定有一个抽屉里至少有两个元素． 21．6【分析】根据题意，再结合平移的性质，可得AB A B =''， 1.5AA BB CC ===′′′cm ，BB CC ∥′′，ABC A B C S S '''=△△，然后再根据等量代换，得出=AA OB OCC B S S 四边形四边形′′′，然后再根据等量代换，得出BCC B AA B B S S =四边形四边形′′′′，然后再根据长方形的特征，得出四边形AA B B ''是长方形，然后再根据长方形的面积公式，算出长方形AA B B ''的面积，即可得出四边形BCC B ''的面积．【详解】解：如图，①ABC 沿AC 方向平移1.5cm 得到A B C '''，①A 的对应点为点A '，点B 的对应点为点B '，点C 的对应点为点C '，①由平移的性质，可得：4AB A B =''=cm ， 1.5AA BB CC ===′′′cm ，BB CC ∥′′， 又①ABC 沿AC 方向平移1.5cm 得到A B C '''， ①ABC A B C S S '''=△△，又①ABC A OC AA OB S S S =+△△四边形′′， A B C A OC OCC B S S S =+△四边形′′′′′′，①=AA OB OCC B S S 四边形四边形′′′， ①=BOB BCC B OCC B S S S +△四边形四边形′′′′′， BOB AA B B AA OB S S S =+△四边形四边形′′′′，①BCC B AA B B S S =四边形四边形′′′′，①AB A B =''，AA BB '='，90A ∠=，①根据长方形的特征，可得：四边形AA B B ''是长方形， ①4 1.56AA B B S AB AA =⋅=⨯=长方形′′′2cm ， ①6BCC B AA B B S S ==四边形四边形′′′′2cm故答案为：6【点睛】本题考查了平移的性质，等量代换，根据长方形的特征判定长方形，长方形的面积公式，解本题的关键在熟练掌握平移的性质．平移的性质：1、形状大小不变；2、对应点的连线平行（或在同一直线上）且相等；3、对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等． 22．8． 【详解】n 有6个正约数故n 的标准质因数分解式为5n P =或2n pq =（p 、q 为素数，(,)1p q =） 若5n p =，由50n ≤知52 若2n p q =⋅，则223n =⋅，225⋅ 232⋅，252⋅，253⋅，272⋅，2112⋅①“好数”共有8个． 23．2【详解】依题意得BAD DAM MAC ∠=∠=∠，90ADB ADC ∠=∠=︒，故ABC ACB ∠≠∠． （1）若ABC ACB ∠>∠时，如答案图1所示，ADM ADB ≅△△，①12BD DM CM ==，又AM 平分DAC ∠，①12AD DM AC CM ==，在Rt DAC 中，即1cos 2DAC ∠=，①60DAC ∠=︒，从而90BAC ∠=︒，30ACD ∠=︒．在Rt ADC 中，tan tan 603CD AD DAC ⋅∠︒==，1DM =．在Rt ADM △中，2AM =． （2）若ABCACB 时，如答案图2所示．同理可得2AM =．综上所述，2AM =．24．17【分析】根据题意，求得的最小值，可将等式变形得到4a b c =-，则b c -是合数，且为4的倍数，以此为突破，求得a b c d ,,, 【详解】2a b d +=①,32b c d -=①①×2-①得：40a b c -+=， 即4a b c =-，求d 的最小值，则,a b 尽量小 当2a =时，8b c -=，根据20以内的素数可知，11,3b c ==，或者13,5b c == 此时241115d a b =+=+=，此时d 为合数，故不符合题意， 当13,5b c ==时，此时241317d a b =+=+=，经检验，a b c d ,,,皆为素数，满足题意， 故答案为：17．【点睛】本题考查了素数的定义，二元一次方程组的加减消元法，掌握20以内的素数是解题的关键．25． 3 1 1 4 10【详解】如图，按题目中条件顺序依次可列方程：（1）A C F =+；（2）4C E F ++=；（3）5B =；（4）2A C =；（5）8A B C ++=；（6）7A G F ++=；（7）1D A =+．可求出2,5,1,3,2,1,4A B C D E F G =======．于是，题目中各空白区应填入的数依次是①3，①1，①1，①4，①10．26．14-或7-或2-或5p =（p 为非负整数），则2222229304361204(29)394n n p n n p n p ++=⇒++=⇒++= 39(229)(229)p n p n ⇒=++--，2291102293914p n p p n n ++==⎧⎧⇒⎨⎨--==-⎩⎩ 或229391022915p n p p n n ++==⎧⎧⇒⎨⎨--==⎩⎩ 或22934229137p n p p n n ++==⎧⎧⇒⎨⎨--==-⎩⎩ 或22913422932p n p p n n ++==⎧⎧⇒⎨⎨--==-⎩⎩ ①14n =-或7-或2-或5 27．1【详解】解 ①1x ==，而213<<， ①21a x =-=．又①1x -=，而312-<<-，①()33223()3++=+-++a b ab a b a ab b ab2223()1a ab b ab a b =-++=+=．28．220【详解】填220.理由：因1a ≤，b ，6c ≤，288a b c ⨯+⨯+=277c b a ⨯+⨯+，即63480a b c +-=，即3(1621)b c a =-，所以，0b =，3，6.经检验，3b =符合题意．故3b =，4c =，3a =．则238384220⨯+⨯+=． 29．5【详解】理由：因为133x ≥， 所以141833333x y =-≤-=，则1432184y ⨯≥=， 即6y ≥．原方程可化为429xy y +=， 则42(9)x y =-． 所以42能被y 整除．所以y 可取6，7，14，21，42．相应地得到五组解：112,6,x y =⎧⎨=⎩223,7,x y =⎧⎨=⎩336,14,x y =⎧⎨=⎩447,21,x y =⎧⎨=⎩558,42.x y =⎧⎨=⎩ 30．10002001【详解】解原函数关系化为111k y x k k -=+++．令0x =得11y k =+，令0y =得1x k，即直线111k y x k k -=+++与y 轴、x 轴的交点分别为10,1k A k ⎛⎫ ⎪+⎝⎭和1,0k B k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以 11111(1,2,,2000)22(1)21k kk OA B k k S SOA OB k k k k k ⎛⎫==⨯⨯==-= ⎪++⎝⎭，于是122000111111111212223220002001S S S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1110001220012001⎛⎫=-=⎪⎝⎭． 故填10002001． 注：本题中用到第一章§3-3中介绍的裂项抵消求和方法． 31【分析】连接DF ，EF ，过点F 作FN AC ⊥，FM AB ⊥，结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半求得点A 、D 、F 、E 四点共圆，=90DFE ∠︒，然后根据勾股定理及正方形的判定和性质求得AE 的长度，从而求解．【详解】解：如图，连接DF ，EF ，过点F 作FN AC ⊥，FM AB ⊥． ①在ABC 中，90BAC ∠=︒，点G 是DE 中点， ①AG DG EG ==． ①AG =FG ，①A 、D 、F 、E 四点共圆，G 点为圆心，DE 为直径， ①90DFE ∠=︒．①在Rt ABC 中，5AB AC ==，①BC == 又①点F 是BC 中点，①12CF BF BC ===1522FN FM AB ===． ①四边形AMFN 是正方形， ①52AN AM FN FM =====． ①90NFD DFM ∠+∠=︒，90MFE DFM ∠+∠=︒， ①NFD MFE ∠=∠．①在NFD △和MFE 中90DNF EMF NF MF NFD MFE ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，①()NFD MFE ASA ≅， ①51222ME DN AN AD ==-=-=， ①51322AE AM MD =+=+=， ①在Rt DAE中，DE【点睛】本题考查直角三角形的性质，圆周角定理，四点共圆，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理，综合性强，较难．正确的作出辅助线是解答本题的关键． 32．1998【详解】用0表示偶数，1表示奇数，则按如下方法排列时：5011500100100100100111A B C个个，仅有一个数为偶数：A B C ++，故所求和数个数的最大值不小于199911998-=．其次，我们证明对任意排列，都至少有一个和为偶数，分4种情形．情形①：第一项为奇数，第二项为偶数．为了使和不出现偶数，第3项只能是奇数，接下去只能是1001000…这样出现了500个100后，所有1000个偶数全都排出，余下只有501个奇数，这时只能是上述排列，其中有一个和：A B C ++为偶数．情形①：第一项是奇数，第2项也是奇数．为了使和不出现偶数，以后各项只能都是奇数，排完1001个奇数后，剩下1000个偶数，再排下去必出现偶数：奇+奇+偶=偶． 情形①和①：第一项是偶数，第二项是奇数或偶数，同样必会出现和为偶数的情形． 综上可知，所求和数个数的最大值是1998． 33．1009921⨯+【详解】解：设239912232421002S =+⨯+⨯+⨯++⨯，则23991002222329921002S =+⨯+⨯++⨯+⨯，于是，由公式①得 ()299100212221002S S S =-=-+++++⨯10010021100221-=-+⨯+1009921=⨯+．故答案为：1009921=⨯+．34．【详解】解 如图所示，分别过A C 、作x 轴垂线，垂足分别为E F 、．设,OE a BF b ==，则,AE CF ==，所以A C 、的坐标分别是(),(2)A a C a b +，代入xy =得2)a b b =+=解得a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩因此，(22,0)D a b +的坐标为．35．36【详解】解 因为对正整数n ，41n -整除2002n ， 所以200241nn -是整数． 而20022(250)5004141n n n n +=+--， 又因为41n -是奇数，所以25041n n +-是整数． 则4(250)100114141n n n +=+--，可知1001能被41n -整除．因为30n >，100171113=⨯⨯，所以可得41n -只能是143．所以36n =． 故应填36．36．，-1）##（11）【分析】由y =x 轴、y 轴于点A 、B ，得到点B 的坐标是（0，OB ＝A 的坐标是（﹣1，0），OA ＝1，①ABO ＝30°，①OAB ＝60°，分别求得直线BF 的解析式为=-+y x AF 的解析式为2)2y x =，联立解方程组即可得到点F 在该平面直角坐标系内的坐标．【详解】解：①直线AB ：y =x 轴、y 轴于点A 、B 当x ＝0时，y①点B 的坐标是（0，OB当y ＝0时，0x ＝﹣1， ①点A 的坐标是（﹣1，0），OA ＝1①tan ①ABO ＝AO BO =①①ABO ＝30°，①OAB ＝90°－①ABO ＝60°如图所示，由题意得①EAB ＝①ABD ，①ABE ＝①BAD ， ①①ABE ①①BAD ①①AEB ＝①ADB①A 、E 、D 、B 四点共圆，如图所示， ①①ADE ＝①ABE ＝30°，①EAD ＝①EBD ①①F AB ＝①FBA ①①ADE ①①AFD①①F ＝①ADE ＝30°，①F AB ＝①FBA ＝75°①①F AO ＝①F AB －①BA 0＝15°，①FBE ＝①F AB －①ABO ＝45°， ①①OGB ＝90°－①FBE ＝45° ①①OGB ＝①OBG ①OG ＝OB①点G0），设直线BF 的解析式为y ＝kx ＋b ，代入G 0），B （0b b +==⎪⎩ 解得1k b =-⎧⎪⎨=⎪⎩①直线BF 的解析式为=-+y x在线段AO 上取点H ，使得AH ＝EH ，则①HAE ＝①HEA ＝15°， ① ①OHE ＝①HAE ＋①HEA ＝30° 设OE ＝t ， 则OH＝tan 30OE=︒，22HE OE t AH ===①21OA AH OH t =+==①2t ==①点E 的坐标为（02）设直线AF 的解析式为y ＝k 1x ＋b 1，代入A （﹣1，0），E （02）得11102k b b -+=⎧⎪⎨⎪⎩解得1122k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ①直线AF的解析式为2)2y x =， 联立直线BF 和AF 的解析式得2)2y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩解得11x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩①点F，-1） 故答案为：，-1）【点睛】本题考查了一次函数的图像和性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、 解二元一次方程组、四点共圆等知识，综合性非常强，难度较大，利用待定系数法求解析式是关键． 37．2.5+【分析】连接BD ，过B 作BH ①AC 于H 点，根据①BCD 是直角三角形，可证明①BAC =①BDC ，则有A 、B 、C 、D 四点共圆，进而有BD 是该圆的直径，可得①BAD =90°，利用勾股定理可得BD =12CD BD ==BC ==，根据BH ①AC ，可得①ABH 、①BCH 是直角三角形，则有①ABH =30°，即1522AH AB ==，利用勾股定理可得BH =，再在①BCH 是直角三角形，可得CH 可得解．【详解】连接BD ，过B 作BH ①AC 于H 点，如图，①①BCD =90°，①①BCD 是直角三角形， ①222BD CD BC =+，①BC =，①2BD CD =， ①在Rt ①BCD 中，①DBC =30°， 即①BDC =60°， ①①BAC =60°， ①①BAC =①BDC ， ①A 、B 、C 、D 四点共圆， ①①BCD =90°， ①BD 是该圆的直径， ①①BAD =90°， ①AB =5，AD =2，①BD①12CD BD =BC ==， ①BH ①AC ，①①ABH 、①BCH 是直角三角形，①①BAC =60°， ①①ABH =30°， ①1522AH AB ==，即BH ===， ①①BCH 是直角三角形，①CH ==①52AC AH CH =+=故答案为：52+【点睛】本题考查了勾股定理、四点共圆、圆周角定理以及含30°角的直角三角形的性质等知识，利用四点共圆是解答本题的关键． 38．710【分析】设上区的桌位数为x ，单个桌位座位数为a ，中区的桌位数为y ，单个桌位座位数为b ，下区的桌位数为z ，单个桌位座位数为c ，第一天下区的坐有观众的桌位数为m ，根据中区的观众数占入场观众数的14，上座率为35，可得3ma +2mb +mc ＝35（xa +yb +zc ），6b＝3a +c ①，设第二天上区的坐有观众的桌位数为n ，根据上区的观众数占入场观众数的25，上座率为34，可得na +nb +2nc ＝34（xa +yb +zc ），3a ＝2b +4c ①，联立①①可得b ＝54c ，a ＝136c ，进一步得到mc ＝350（xa +yb +zc ），nc ＝965（xa +yb +zc ），根据第三天上区的观众数与第二天上区的观众数相同，中区的观众数是第一天的中区的观众数的13，下区的观众数是当天上区和中区观众数的总和，可得第三天上区的观众数为na ＝136nc ，中区的观众数为13×2mb ＝23 mb ＝56mc ，下区的观众数为136nc +56mc ，依此可求第三天的上座率．【详解】解：设上区的桌位数为x ，单个桌位座位数为a ，中区的桌位数为y ，单个桌位座位数为b ，下区的桌位数为z ，单个桌位座位数为c ，第一天下区的坐有观众的桌位数为m ，∵中区的观众数占入场观众数的14，上座率为35，∴3ma+2mb+mc＝35（xa+yb+zc），2mb＝14（3ma+2mb+mc），∴6b＝3a+c①，设第二天上区的坐有观众的桌位数为n，∵上区的观众数占入场观众数的25，上座率为34，∴na+nb+2nc＝34（xa+yb+zc），na＝25（na+nb+2nc），∴3a＝2b+4c①，把①代入①得6b＝2b+4c+c，即b＝54 c，把b＝54c代入①得3a＝52c+4c，即a＝136c，∴3m×136c+2m×54c+mc＝35（xa+yb+zc），整理得mc＝350（xa+yb+zc），∴n×136c+n×54c+2nc＝34（xa+yb+zc），整理得nc＝965（xa+yb+zc），∵第三天上区的观众数与第二天上区的观众数相同，中区的观众数是第一天的中区的众数的13，下区的观众数是当天上区和中区观众数的总和，∴第三天上区的观众数为na＝136nc，中区的观众数为13×2mb＝23mb＝56mc，下区观众数为136nc+56mc，∴第三天的上座率为135266nc mcxa yb zc⎛⎫+⎪⎝⎭++()()135276610xa yb zc xa yb zcxa yb zc⎡⎤+++++⎢⎥⎣⎦==++．故答案为：710．【点睛】本题考查了应用类问题，不定方程的应用，解题的关键是正确读懂题意列出方程和代数式．39．(1)证明见解析【分析】（1）根据题意和菱形的性质，利用SAS 证明ADE CDE ≌△△，即可得出结论． （2）①首先根据题意，得到ABD △为等边三角形，然后过点D 作DH AB ⊥于H ，在Rt ADH 中，依据30ADH ∠=︒，得到32AH =，然后利用勾股定理，得到DH 的长，然后再过点E 作EG DF ⊥于G ，依据1DF =，3CD =，得到3CDE FDE S S =△△，再由（1）得ADE CDE ≌△△，得到3ADE FDE S S =△△，进而得到2ADF FDE S S =△△，然后利用三角形的面积，算出EG 的长．即得到点E 到CD 的距离；①在Rt EDG 中，依据60EDG ∠=︒，得到30DEG ∠=︒，EG =DG x =，利用30︒所对的直角边等于斜边的一半，得到2DE x =，再利用勾股定理，解出x 的值，即可得到DE 的长，然后在Rt EFG 中，31144EF =-=，EG =EF 的长，即可得出EF ED 的值． （1）证明：①在菱形ABCD 中，60DBA ∠=︒， ①AD DC =，120ADE CDE ∠=∠=︒， 在ADE 和CDE 中， AD DCADE CDE DE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ①ADE CDE ≌△△（SAS ）， ①AE CE =． （2）解：①依题意ABD △为等边三角形，过点D 作DH AB ⊥于H ， 在Rt ADH 中，60DAH ∠=︒，30ADH ∠=︒，3AD =，则32AH =，①DH ==过点E 作EG DF ⊥于G ， ①1DF =，3CD =，①3CDE FDE S S =△△，由（1）得，ADE CDE ≌△△， ①3ADE FDE S S =△△， ①2ADF FDE S S =△△， 由12ADF S DF DH =⋅△，12FDE S DF EG =⋅△，①12EG DH ==；①在Rt EDG 中，60EDG ∠=︒，则30DEG ∠=︒，EG = 设DG x =，则2DE x =，222(2)x x +=⎝⎭， 解得：34x =±（负值舍去）①34x =， ①32=DE ， 在Rt EFG 中，31144EF =-=，EG =①EF =①232EF ED == 【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质、勾股定理、面积与等量代换、30︒所对的直角边等于斜边的一半等知识点，解本题的关键在熟练掌握相关性质与定理． 40．135【详解】由422223a b a b =+得4224230a ab b --=，即2222(3)()0a b a b -+=． 但220a b +≠（否则22230a b +=，与已知条件矛盾）， 所以2230a b -=，即223a b ，22222222312010601035a b b b a b b b --==++． 41．(1)AB 边上的高为6013(2)4m =，9n =，被剪去的小正方形的边长为54【分析】（1）先利用勾股定理的逆定理证明ABC 是直角三角形，然后再利用等面积法进行计算即可解答；（2）利用拆项配成两个完全平方式，然后求出m ，n 的值，再利用等面积法进行计算即可解答．【详解】（1）解：①2222512169AC BC +=+=，2213169AB ==， ①222AC BC AB +=， ①ABC 是直角三角形，过点C 作CD AB ⊥于点D ，如图①，①1122ABC S BC AC AB CD =⋅=⋅△， ①560121313AC CD BC AB =⋅=⨯=； （2）解：①22818970m m n n -+-+=， ①2281618810m m n n -++-+=， ①()()22490m n +-=-，①()240m -≥，()290n -≥，①40m -=，90n -=， ①4m =，9n =，设剪去的小正方形的边长x ， ①()2224m x x mn +-=， ①()2242449x x +-=⨯， 解得：54x =， 答：剪去的小正方形的边长为54．【点睛】本题考查了配方法的应用，勾股定理的逆定理，偶次方的非负性，剪纸问题，熟练掌握等面积法是解题的关键． 42．见解析【详解】因2(4)3()x y x y x y +=---，而3|(4)x y -，3|3()x y -，则3|(2)x y +． 又22472x xy y +-(2)(4)x y x y =+-，则()229|472x xy y +-．43．符合条件的两位数一共有12个：10，15，18，20，30，40，45，50，60，70，80，90 【详解】设0a b n ab =⨯（n 为自然数），则 10010a b na nb +=+，所以10(10)(1)n a n b -=-．由于19,09a b ≤≤≤≤，因此可得110n ≤≤．分析n 取值从1到10，符合条件的两位数一共有12个：10，15，18，20，30，40，45，50，60，70，80，90．44．（1）见解析；（2【详解】解 （1）由题意知45ACB DCE ∠=∠=︒，BC ，EC =， 所以DCA ECB ∠=∠，AC DCBC EC=，所以ADC BEC △△，故45DAC EBC ∠=∠=︒， 所以DAC ACB ∠=∠，所以//AD BC ．（2）设AE x =，因为30ACE ∠=︒，可得AC =，2CE x =，DE DC =．因为90EAP CDP ∠=∠=︒，EPA CPD ∠=∠，所以APE DPC △△， 故可得12APE DPC S S =△△．又2EPC APE ACE S S S +=△△△，2EPC DPC CDE S S S x +==△△△，于是可得2(2DPC S x =△，21)EPC S x =△．所以DPC EPC S DP PE S ==△△ 45．n 的最小值等于34． 【详解】记{1,2,3,,50}S =，i A 是S 中能被i 整除的正整数组成的集合(1,2, 3)i =，2A ，3A 分别2A ，3A 中数的个数，由容斥原理有23A A ⋃=2323A A A A +-⋂5050502323⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⨯⎣⎦⎣⎦⎣⎦2516833=+-=． 从23A A ⋃中任取3个数，其中至少有2个数属于2A 或3A 中同一个集合，它们不互质． 故所求n 的最小值34≥．其次，设1{1,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47}B =，22222{2,3,5,7}B =，3{223,317,59}B =⨯⨯⨯，则1B ，2B ，3B 中共有164323++=个数，于是从S 内任取34个数，其中至少有34(5023)7--=个数属于123B B B ⋃⋃．由抽屉原理知，这7个数中至少有71133-⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦个数属于1B ，2B ，3B 中同一个子集，它们两两互质． 综上所述，所求n 的最小值等于34． 46．57个【详解】因为正整数m ，n 满足mn 能被21整除，且130m n ≤≤≤，所以， （1）若21m =，则21n =，22，…，30．故满足条件的数对(,)m n 有10个． （2）若21m ≠，（①）当21n =时，1m =，2，…，20．满足条件的数对(,)m n 有20个． （①）当21n ≠时，因为2137=⨯，所以，1）如果3m a =,7n b =（a ，b +∈N ，且7≠a ，3b ≠），得13730a b ≤≤≤．1b =时，1a =，2； 2b =时，1a =，2，3，4；4b =时，1a =，2，3，4，5，6，8，9．故满足条件的数对(,)m n 有24814++=（个）．2）如果7m a =，3n b =（a ，b +∈N ，且3a ≠，7b ≠），得17330a b ≤≤≤． 3b =，4时，a 的值均为1；5b =，6，8，9时，a 的值均为1，2；10b =时，a 的值为1，2，4．故满足条件的数对(,)m n 有2142313⨯+⨯+=（个）． 综上，满足条件的数对(,)m n 共有1020141357+++=（个）． 47．见解析．【详解】利用开平方运算检验前几项均符合（必要时可多算几项）． 2222497,448967,444889667,444488896667====．由此我们猜想2144448889(66661)n nn+⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+．事实上，可设2144448889(1){1,2,,},9n nnxx xx x +⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+∈⋅⋅⋅， 即24111110811111(1111)n nnnx ⨯⋅⋅⋅⨯+⨯⋅⋅⋅+=⨯⋅⋅⋅+．令1111nm⋅⋅⋅=，则1091111191n nm =⨯⋅⋅⋅+=+， 代入上式，得()()2491811m m m mx +++=+， 整理成关于x 的方程，得22(3612)0mx x m +-+=， 解此方程，得6x =（负根舍去了）．所以，2144448889(66661)n nn +⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+．另证1 21111444488894108109n nkkk n k n n+=+=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++∑∑()()221141101010411010n n +=+++++++++()()1221114101410199n n ++=+⋅-+⋅- ()221141041019n n ++=⋅+⋅+221121012110333n n ++⎛⎫⋅+⎛⎫==⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()21621101010933n +⎡⎤=-+⋅+⎢⎥⎣⎦()221610101076667n nn+⎡⎤=++++=⋅⋅⋅⎣⎦． 另证2144448889444488881n nnn+⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅+1144400088881n n n++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+1141111081111n n n ++=⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+1114111(91111)81111n n n +++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+21136(111)121111n n ++=⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+21(61111)n +=⋅⋅⋅⋅+．48．本题有两种可能答案：情形1：B 组110分，C 组80分，D 组70分，E 组60分；情形2：B 组100分，C 组90分，D 组70分，E 组60分．填表进行检验见解析． 【详解】根据条件（1），每一竖行中，五组得分各不相同．对于一门单科，全部可能的不同得分是0，10，20，30和40，只有5种． 五门单科各组的分数总和是()5010203040500⨯++++=． 从500分中减去第1名A 组180分，其余四组总分之和是320分． 为了叙述简洁，约定B 组总分记为B ，C 组总分记为C ，其余类推． 那么，402060,E B C D E ≥+=>>>． 由此得60708090300E D C B +++≥+++=．这四组实际总分之和是320，只比最低可能限度多出20分．多出的20分，只有两种可能分配方案：或者都加给第2名B ，或者B 与第3名C 各加10分．因而，本题有两种可能答案：情形1：B 组110分，C 组80分，D 组70分，E 组60分； 情形2：B 组100分，C 组90分，D 组70分，E 组60分．为了满足条件（2），在情形1中，C 组应该有四门20分，一门0分；在情形2中，C 组有。
全国初中数学竞赛试题及答案(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】中国教育学会中学数学教学专业委员会全国初中数学竞赛试题一、选择题(共5小题，每小题6分，共30分.)1 (甲).如果实数纠b, C在数轴上的位置如图所示，那么代数式>∕7-∖a + b I +√(c-6∕p + ∖b + c∖可以化简为( ).h a QC(A) 2c-a(B) 2a-2b(C) -" (D) n1(乙).如果t∕=-2 + √2 ,那么1 + —的值为( )•2+——3+ “(A) -√2(B) √2(C) 2 (D) 2√2 2(甲).如果正比例函数V- axα ≠ 0)与反比例函数y-~ (b ≠())X 的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为(一3, -2),那么另一个交点的坐标为( )•(A) (2, 3) (B) (3, -2) (C) (-2, 3) (D) (3,2)2(乙).在平面直角坐标系XOy中，满足不等式Λ-+y≤2x+27的整数点坐标(％y)的个数为( ).(A) 1() (B) 9 (C) 7 (D) 5 3(甲).如果α, b为给定的实数,且l<a<b ,那么1, 4 + 1, 2a+b t a+b+ ∖这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是( )•（A ） 1 （D ）；43 （乙）.如图，四边形ABCD 中，AC 9角线,二 5,则仞的长为（）.4 （甲）.小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币. 玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的“倍”；小玲对小倩说: “你若给我G 元，我的钱数将是你的2倍”，其中“为正整数，则 G 的可能值的个数是（）.4（乙）.如果关于X 的方程χh∣ = Xp, q 是正整数）的正根小于3,那么这样的方程的个数是（）.5 （甲）.一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1, 2, 3,4, 5, 6.掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数宇之和除以4的 余数分别是0,1, 2, 3的概率为Po, Pi ，P v P 3,则Po' Pl ，P V P3中最 大的是（）.'AEC 是等边三角形.ZADC = 30。
2022年全国初中数学竞赛模拟试卷及答案解析
2022年全国初中数学竞赛模拟试卷一、填空题（共7小题，每空2分，满分20分）1．（2分）已知m﹣n＝﹣5，m2+n2＝13，那么m4+n4＝．2．（2分）如图，以AB为直径画一个大半圆，BC＝2AC，分别以AC，CB为直径在大半圆内部画两个小半圆，那么阴影部分的面积与大半圆面积的比等于．3．（2分）加油站A和商店B在马路MN的同一侧（如图），A到MN的距离大于B到MN 的距离，AB＝7米，一个行人P在马路MN上行走，问：当P到A的距离与P到B的距离之差最大时，这个差等于米．4．（4分）如图，有个正方形，有个三角形．5．（2分）在平面直角坐标系中，点P[m（m+1），m﹣1]（m为实数）不可能在第象限．6．（4分）某校组织师生春游，如果单独租用45座客车若干辆，刚好坐满；如果单独租用60座客车，可以少租一辆，且余30个座位．则该校去参加春游的人数为；若已知45座客车的租金为每辆250元，60座客车租金为每辆300元，这次春游同时租用这两种客车，其中60座客车比45座客车多租1辆，所以租金比单独一种客车要节省，按这种方案需要租金元．7．（2分）如图，P是平行四边形ABCD内一点，且S△P AB＝5，S△P AD＝2，则阴影部分的面积为．二、选择题（共1小题，每小题4分，满分2分）8．（2分）如果a，b，c均为正数，且a（b+c）＝152，b（c+a）＝162，c（a+b）＝170，那么abc的值是（）A．672B．688C．720D．750三、解答题（共9小题，满分100分）9．（8分）已知a，b，c都是整数，当代数式7a+2b+3c的值能被13整除时，那么代数式5a+7b ﹣22c的值是否一定能被13整除，为什么？10．（8分）如图所示，在四边形ABCD中，AM＝MN＝ND，BE＝EF＝FC，四边形ABEM，MEFN，NFCD的面积分别记为S1，S2和S3，求S2S1+S3=？（提示：连接AE、EN、NC和AC）11．（9分）已知n是正整数，且2n+1与3n+1都是完全平方数．是否存在n，使得5n+3是质数？如果存在，请求出所有n的值；如果不存在，请说明理由．12．（10分）某市电话号码原为六位数，第一次升位是在首位数和第二位数之间加上3成为一个七位数；第二次升位是在首位数前加上2成为一个八位数，某人发现他家中的电话号码升位后的八位数恰好是原六位数的电话号码33倍．问这家原来的电话号码是多少？13．（10分）如图，一个9×9的方格图，由粗线隔为9个横竖各有3个格的“小九宫”格，其中，有一些方格填有1至9的数字，小鸣在第九行的空格中各填入了一个不大于9的正整数，使每行、每列和每个“小九宫”格内的数字都不重复，然后小鸣将第九行的数字从左向右写成一个9位数．请写出这个9位数，简单说明理由．14．（10分）平面上有6个点，其中任何3个点都不在同一条直线上，以这6个点为顶点可以构造多少个不同的三角形？从这些三角形中选出一些，如果要求其中任何两个三角形没有公共顶点，最多可以选出多少个三角形？如果要求其中任何两个三角形没有公共边，最多可以选出多少个三角形？（前两问不要求说明理由）15．（15分）壮壮、菲菲、路路出生时，他们的妈妈都是27岁，某天三位妈妈王雪、刘芳和李薇闲谈时，王雪说：“菲菲比刘芳小岁”；李薇说：“路路和刘芳的年龄的和是36岁”，刘芳说：“路路和王雪的年龄的和是35岁”．已知壮壮、菲菲、路路和他们的妈妈6个人年龄的总和是105岁．请回答：是路路的妈妈？壮壮、菲菲和路路的年龄各是岁，岁，岁？16．（15分）请回答：18能否表示为3个互异的正整数的倒数的和？18能否表示为3个互异的完全平方数的倒数的和？如果能，请给出一个例子；如果不能，请说明理由．17．（15分）甲、乙二人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地点出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲速度的23，甲跑第二圈时速度比第一圈提高了13，乙跑第二圈时速度提高了15．已知甲、乙二人第二次相遇点距第一次相遇点190米，问：这条椭圆形跑道长多少米？2022年全国初中数学竞赛模拟试卷参考答案与试题解析一、填空题（共7小题，每空2分，满分20分）1．（2分）已知m ﹣n ＝﹣5，m 2+n 2＝13，那么m 4+n 4＝ 97 ．解：∵m ﹣n ＝﹣5，m 2+n 2＝13，∴（m ﹣n ）2＝m 2+n 2﹣2mn ，∴mn ＝﹣6，又∵（m 2+n 2）2＝m 4+n 4+2m 2n 2，故m 4+n 4＝132﹣2×36＝97．故答案为：97．2．（2分）如图，以AB 为直径画一个大半圆，BC ＝2AC ，分别以AC ，CB 为直径在大半圆内部画两个小半圆，那么阴影部分的面积与大半圆面积的比等于 49 ．解：设AC ＝2x ，∵BC ＝2AC ，∴BC ＝4x ，AB ＝6x ，∴S 阴影部分=12π（3x ）2−12π（2x ）2−12πx 2＝2πx 2∴阴影部分的面积与大半圆面积的比为：2πx 2：12π（3x ）2＝4：9， 故答案为：49． 3．（2分）加油站A 和商店B 在马路MN 的同一侧（如图），A 到MN 的距离大于B 到MN的距离，AB ＝7米，一个行人P 在马路MN 上行走，问：当P 到A 的距离与P 到B 的距离之差最大时，这个差等于 7 米．解：当A、B、P三点不在同一直线上时，此时三点构成三角形．∵两边AP与BP的差小于第三边AB．∴A、B、P在同一直线上，∴P到A的距离与P到B的距离之差最大，∴这个差就是AB的长，故答案为：7．4．（4分）如图，有95个正方形，有155个三角形．解：（1）一类是有一组对边为水平方向的正方形个数，这类正方形的个数为6×6+5×5+4×4+3×3+2×2+1×1＝91．另外还有4个正方形．所以正方形的个数为91+4＝95；（2）①直角边长为1的三角形的个数为6×6×2＝72个．②直角边长为2的三角形8+6+2+8+6＝30个．③直角边长为3的直角三角形4+2+4＝10个④直角边长为4的直角三角形有2个．⑤斜边长为2的三角形12+3+1+4＝20个．⑥斜边长为4的三角形1+2+1＝4个．⑦1～6列依次还有3+3+3+2+3+3＝17个．所以三角形的个数为72+30+10+2+20+4+17＝155个．故答案为：95；155．5．（2分）在平面直角坐标系中，点P[m（m+1），m﹣1]（m为实数）不可能在第二象限．解：（1）当m（m+1）＞0时，有{m＞0m+1＞0或{m＜0m+1＜0，所以m＞0或m＜﹣1，因此m﹣1＞﹣1或m﹣1＜﹣2，即P[m（m+1），m﹣1]可能经过第一或四象限．（2）当m（m+1）＜0时，有{m＞0m+1＜0或{m＜0m+1＞0，所以﹣1＜m＜0，因此﹣2＜m﹣1＜﹣1，即P[m（m+1），m﹣1]经过第三象限．综合得，P[m（m+1），m﹣1]不经过第二象限．6．（4分）某校组织师生春游，如果单独租用45座客车若干辆，刚好坐满；如果单独租用60座客车，可以少租一辆，且余30个座位．则该校去参加春游的人数为270；若已知45座客车的租金为每辆250元，60座客车租金为每辆300元，这次春游同时租用这两种客车，其中60座客车比45座客车多租1辆，所以租金比单独一种客车要节省，按这种方案需要租金1400元．解：设该校去参加春游的人数为a人，则有a45=a+3060+1，解得：a＝270设租用45座客车x辆，则租用60座客车（x+1）辆，由题意若单独租45座客车需要270÷45＝6辆，租金250×6＝1500元，若单独租60座客车需要（270+30）÷60＝5辆，租金300×5＝1500元，则有：{250x+300(x+1)＜150045x+60(x+1)≥270，解得：2≤x＜2411∵x为正整数∴x＝2即租45座客车2辆，60座客车3辆，此时租金为：250×2+300×3＝1400（元）．故答案为270，1400．7．（2分）如图，P是平行四边形ABCD内一点，且S△P AB＝5，S△P AD＝2，则阴影部分的面积为3．解：∵S△P AB+S△PCD=12S▱ABCD＝S△ACD，∴S△ACD﹣S△PCD＝S△P AB，则S△P AC＝S△ACD﹣S△PCD﹣S△P AD，＝S△P AB﹣S△P AD，＝5﹣2，＝3．故答案为：3．二、选择题（共1小题，每小题4分，满分2分）8．（2分）如果a，b，c均为正数，且a（b+c）＝152，b（c+a）＝162，c（a+b）＝170，那么abc的值是（）A．672B．688C．720D．750解：∵a（b+c）＝152，b（c+a）＝162，c（a+b）＝170，∴ab+ac＝152 ①，bc+ba＝162 ②，ca+cb＝170 ③，∴①+②+③，并化简，得：ab+bc+ca＝242 ④，④﹣①得：bc＝90，④﹣②得：ca＝80，④﹣③得：ab＝72，∴bc•ca•ab＝90×80×72，即（abc）2＝7202，∵a，b，c均为正数，∴abc＝720．故选：C．三、解答题（共9小题，满分100分）9．（8分）已知a，b，c都是整数，当代数式7a+2b+3c的值能被13整除时，那么代数式5a+7b ﹣22c的值是否一定能被13整除，为什么？解：设x，y，z，t是整数，并且假设5a+7b﹣22c＝x（7a+2b+3c）+13（ya+zb+tc）（1）比较上式a，b，c的系数，应当有7x+13y＝52x+13z＝7（2）3x+13t＝﹣22，取x＝﹣3，可以得到y＝2，z＝1，t＝﹣1，则有13（2a+b﹣c）﹣3（7a+2b+3c）＝5a+7b﹣22c（3）既然3（7a+2b+3c）和13（2a+b﹣c）都能被13整除，5a+7b﹣22c就能被13整除．10．（8分）如图所示，在四边形ABCD中，AM＝MN＝ND，BE＝EF＝FC，四边形ABEM，MEFN，NFCD的面积分别记为S1，S2和S3，求S2S1+S3=？（提示：连接AE、EN、NC和AC）解：如图a所示：连接AE、EN和NC，设四边形AECN的面积为S，∵AM＝MN＝ND，BE＝EF＝FC，∴S△AEM＝S△MEN，S△CNF＝S△EFN，上面两个式子相加得S△AEM+S△CNF＝S2并且四边形AECN的面积S＝2S2，即：S2=12S，S△AEM+S△CNF=12S．连接AC，如图b所示：∵AM＝MN＝ND，BE＝EF＝FC，∴CE＝2BE，NA＝2DN，∴S△ABE=12S△AEC，S△CDN=12S△CNA，上面两个式子相加得S△ABE+S△CDN=12×四边形AECN的面积=12S，所以，S△AEM+S△CNF+S△ABE+S△CDN=12S+12S＝S，因此S1+S3＝S，S2S1+S3=12SS=12．答：S2S1+S3=12．11．（9分）已知n是正整数，且2n+1与3n+1都是完全平方数．是否存在n，使得5n+3是质数？如果存在，请求出所有n的值；如果不存在，请说明理由．解：如果2n+1＝k2，3n+1＝m2，则5n+3＝4（2n+1）﹣（3n+1）＝4k2﹣m2＝（2k+m）（2k﹣m）．因为5n+3＞（3n+1）+2＝m2+2＞2m+1，所以2k﹣m≠1（否则5n+3＝2k+m＝2m+1）．从而5n+3＝（2k+m）（2k﹣m）是合数．12．（10分）某市电话号码原为六位数，第一次升位是在首位数和第二位数之间加上3成为一个七位数；第二次升位是在首位数前加上2成为一个八位数，某人发现他家中的电话号码升位后的八位数恰好是原六位数的电话号码33倍．问这家原来的电话号码是多少？解：设原电话号码为abcdef，则升位后为2a3bcdef，令bcdef＝x由题意得33ax＝2a3x，即33（100000a+x）＝20300000+1000000a+x，化简得32x＝20300000﹣2300000a（1≤a≤9，0≤x＜100000的整数），故0≤x＝3125（203﹣23a）＜100000，解得171＜23a≤203，所以a＝8．于是x＝3125（203﹣23×8）＝59375．故所求的电话号码为859375．13．（10分）如图，一个9×9的方格图，由粗线隔为9个横竖各有3个格的“小九宫”格，其中，有一些方格填有1至9的数字，小鸣在第九行的空格中各填入了一个不大于9的正整数，使每行、每列和每个“小九宫”格内的数字都不重复，然后小鸣将第九行的数字从左向右写成一个9位数．请写出这个9位数，简单说明理由．解：填数的方法是排除法，用（m，n）表示位于第m行和第n列的方格．第七行、第八行和第3列有9，所以，原题图6左下角的“小九宫”格中的9应当填在（9，2）格子中；第1列、第2列和第七行有数字5，所以，在图右下角的“小九宫”格中的数字5只能填在（9，3）中；第七行、第八行有数字6，图6中下部的“小九宫”格的数字6应当填在（9，6）；此时，在第九行尚缺数字7和3，由于第9列有数字7，所以，7应当填在（9，8）；3自然就填在（9，9）了，填法见图．九位数是：495186273．14．（10分）平面上有6个点，其中任何3个点都不在同一条直线上，以这6个点为顶点可以构造多少个不同的三角形？从这些三角形中选出一些，如果要求其中任何两个三角形没有公共顶点，最多可以选出多少个三角形？如果要求其中任何两个三角形没有公共边，最多可以选出多少个三角形？（前两问不要求说明理由）解：（1）先从6个点中选取1个做三角形的一个顶点，有6种取法；再从余下的5个点中选取1个做三角形的第二个顶点，有5种取法；再从余下的4个点中选取1个做三角形的第三个顶点， 有4种取法．因为任何3个点不在同一条直线上， 所以，这样选出的三个点可以作出1个三角形．但是，如果选出的三个点相同的话，则作出的三角形相同， 三个点相同的取法有3×2×1＝6种， 所以，以这6个点为顶点可以构造6×5×43×2×1=20个不同的三角形；（2）每个三角形有3个顶点，所以，6个点最多只能构造2个没有公共顶点的三角形； （3）用英文大写字母A 、B 、C 、D 、E 、F 记这6个点， 假设可以选出两两没有公共边的5个三角形， 它们共有15个顶点，需要15个英文大写字母． 这里不同的英文大写字母仅有6形两两没有公共边， 即除去公共顶点A 之外，其余6个顶点互不相同， 即表示这6个顶点的字母不相同．但是，除A 之外，我们仅有5个不同的字母． 所以不可能存在5个三角形，它们两两没有公共边．又显然△ABC ，△ADE ，△BDF 和△CEF 这4个三角形两两没有公共边． 所以，最多可以选出4个三角形，其中任何两个三角形都没有公共边．15．（15分）壮壮、菲菲、路路出生时，他们的妈妈都是27岁，某天三位妈妈王雪、刘芳和李薇闲谈时，王雪说：“菲菲比刘芳小岁”；李薇说：“路路和刘芳的年龄的和是36岁”，刘芳说：“路路和王雪的年龄的和是35岁”．已知壮壮、菲菲、路路和他们的妈妈6个人年龄的总和是105岁．请回答： 王雪 是路路的妈妈？壮壮、菲菲和路路的年龄各是 5 岁， 3 岁， 4 岁？ 解：设刘芳的年龄为x 岁． ①刘芳和路路的年龄和是36岁， 是个偶数，他们的年龄差也是一个偶数， 而路路和妈妈的年龄的差是奇数， 因此路路的妈妈不是刘芳． 注意到菲菲比刘芳小29岁，菲菲的妈妈不是刘芳， 所以，壮壮的妈妈是刘芳．②壮壮和妈妈刘芳的年龄的和为（2x ﹣27）路路（36﹣x ）岁，他的妈妈应当是（36﹣x +27）岁，和为（99﹣2x ） 菲菲（x ﹣29）岁，她的妈妈应当是（x ﹣29+27）岁，和为（2x ﹣31） 由于6个人共105岁，所以，（2x ﹣27）+（99﹣2x ）+（2x ﹣31）＝105． ③解出x ＝32，菲菲比刘芳小29岁，所以菲菲3岁； 路路和刘芳的年龄的和是36，路路4岁； 路路和王雪的年龄的和是35岁，所以王雪31岁． 答：王雪是路路的妈妈；壮壮5岁、菲菲3岁和路路4岁． 故填：王雪，5，3，4．16．（15分）请回答：18能否表示为3个互异的正整数的倒数的和？18能否表示为3个互异的完全平方数的倒数的和？如果能，请给出一个例子；如果不能，请说明理由． 解：（1）由于12+13+16=1，故有18=18×(12+13+16)=116+124+148．所以，18能表示为3个互异的正整数的倒数的和（表示法不唯一）． （2）不妨设a ＜b ＜c ，现在的问题就是寻找整数a ，b ，c ， 满足18=1a 2+1b 2+1c 2由a ＜b ＜c ，则有， 从而18=1a 2+1b 2+1c2＜3a 2，所以a 2＜24．又有18＞1a 2，所以a 2＞8，故a 2＝9或16． 若a 2＝9，则有1b 2+1c 2=18−19=172， 由于172＞1b2，并且2b2＞1b 2+1c 2=172，所以b 2＞72，72＜b 2＜144．故b 2＝81，100或121．将b 2＝81、100和121分别代入c 2=72b2b 2−72，没有一个是完全平方数，说明当a 2＝9时，18=1a 2+1b 2+1c 2无解．若a 2＝16，则1b 2+1c 2=18−116=116．类似地，可得：16＜b 2＜32，即b 2＝25， 此时，c 2=16b2b 2−16=16×259不是整数． 综上所述，18不能表示为3个互异的完全平方数的倒数之和．评分参考：①正确回答第一问给（5分）（答案不唯一）； ②能得到a 2＝9或16，给（6分）；③能分别对a 2＝9和16讨论18能否表示为3个互异的完全平方数的倒数之和，各给（2分），共（4分）；④对代数式合理和正确的推导适当给分．特别说明：因为各题的解答未必唯一，上述解答和评分仅供参考．17．（15分）甲、乙二人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地点出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲速度的23，甲跑第二圈时速度比第一圈提高了13，乙跑第二圈时速度提高了15．已知甲、乙二人第二次相遇点距第一次相遇点190米，问：这条椭圆形跑道长多少米？ 解：设一开始时甲的速度是a ，于是乙的速度便是23a ．再设跑道长是L ，则甲、乙第一次相遇点，按甲前进方向距出发点为35L ．甲跑完第一圈，乙跑了23L ，乙再跑余下的13L ，甲已折返，且以a （1+13）=43a 的速度跑，所以在乙跑完第一圈时，甲已折返跑了23L ，这时，乙折返并以23a （1十15）=45a 的速度跑着．从这时起，甲、乙速度之比是43a ÷45a =53，即5：3．所以在二人第二次相遇时，甲跑了余下的L3的58，而乙跑了它的38，即第二次相遇时距出发点38×L 3=L8．可见两次相遇点间的距离是(35−18)L ＝190（米），即1940L ＝190（米），L ＝400（米）答：跑道长为400米．。
数学竞赛试题及答案初中
数学竞赛试题及答案初中试题一：代数问题题目：如果\( a \)和\( b \)是两个连续的自然数，且\( a^2 + b^2= 45 \)，求\( a \)和\( b \)的值。
解答：设\( a \)为较小的自然数，那么\( b = a + 1 \)。
根据题意，我们有：\[ a^2 + (a + 1)^2 = 45 \]\[ a^2 + a^2 + 2a + 1 = 45 \]\[ 2a^2 + 2a - 44 = 0 \]\[ a^2 + a - 22 = 0 \]分解因式得：\[ (a + 11)(a - 2) = 0 \]因此，\( a = -11 \)或\( a = 2 \)。
由于\( a \)是自然数，所以\( a = 2 \)，\( b = 3 \)。
试题二：几何问题题目：在一个直角三角形中，直角边的长度分别为3厘米和4厘米，求斜边的长度。
解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边\( c \)可以通过以下公式计算：\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \]其中\( a \)和\( b \)是直角边的长度。
代入数值：\[ c = \sqrt{3^2 + 4^2} \]\[ c = \sqrt{9 + 16} \]\[ c = \sqrt{25} \]\[ c = 5 \]所以斜边的长度是5厘米。
试题三：数列问题题目：一个等差数列的前三项分别是2，5，8，求这个数列的第10项。
解答：等差数列的通项公式是：\[ a_n = a_1 + (n - 1)d \]其中\( a_n \)是第\( n \)项，\( a_1 \)是首项，\( d \)是公差。
已知首项\( a_1 = 2 \)，公差\( d = 5 - 2 = 3 \)。
代入公式求第10项：\[ a_{10} = 2 + (10 - 1) \times 3 \]\[ a_{10} = 2 + 9 \times 3 \]\[ a_{10} = 2 + 27 \]\[ a_{10} = 29 \]所以这个数列的第10项是29。
2024全国初中数学竞赛试题
1、已知直角三角形的两条直角边长度分别为3和4，则斜边上的高为：A. 2.4B. 1.2C. 5D. 不能确定（答案）A2、若a、b、c为三角形的三边长，且满足a² + b² + c² + 50 = 10a + 6b + 8c，则此三角形为：A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 不能确定（答案）A3、解方程组 { x + 2y = 5, 3x - 4y = -2 } 时，若先消去y，则得到的方程是：A. 5x = 14B. 5x = 10C. 7x = 16D. 7x = 22（答案）B4、在平行四边形ABCD中，若∠A : ∠B = 2 : 3，则∠C的度数为：A. 60°B. 90°C. 120°D. 不能确定（答案）C5、已知 |x| = 5，y = 3，则x - y等于：A. 8或-2B. 2或-8C. -2或8D. -8或2（答案）D6、若关于x的一元二次方程x² - (k - 1)x - k = 0有两个相等的实数根，则k的值为：A. -3B. 3C. -1D. 1（答案）D7、在圆O中，弦AB的长度等于半径OA，则∠AOB的度数为：A. 30°B. 60°C. 120°D. 30°或150°（答案）B8、若a > b > 0，c < d < 0，则一定有：A. a² > b²B. c² > d²C. a/d > b/cD. a/d < b/c（答案）A9、已知一次函数y = kx + b的图像经过点(2, 3)和(-1, -3)，则它的图像不经过：A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限（答案）C10、在△ABC中，若∠A = 60°，∠B = 45°，则∠C的度数为：A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°（答案）C。
初中数学竞赛模拟题50题-含参考答案
初中数学竞赛模拟题50题含答案一、单选题1．已知2πx <，x 是整数，则符合条件的x 的值有（ ）A ．5个B ．6个C ．11个D ．13个 2．已知a ，b 为正整数，满足2240ab b a ---=，则a b +的最大值为（ ） A ．7 B ．18 C ．29 D ．30 3．若x a =，代数式22x x +的值为1-，则当x a =-时，代数式22x x +的值为（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．3 4．在实数范围内，方程x 4﹣16＝0的实数根的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 5．若a ，b ，c ，d 为整数，且a ＜2b ，b ＜3c ，c ＜4d ，d ＜100，则a 可能取的最大值是（ ）A ．2367B ．2375C ．2391D ．2399 6．关于x的方程1x x -=的根的个数为（ ）． A ．0个 B ．1个C ．3个D ．4个 7．若方程22320x px p +--=的两个不相等的实数根1x ，2x 满足()232311224x x x x +=-+，则实数p 的所有可能的值之和为（ ）A ．0B ．34-C ．-1D ．54- 8．已知22211148()34441004A =⨯+++---，则3A 的整数部分[]3A 是（ ） A ．72 B ．73 C ．74D ．75 9．已知a ，b 满足（a +1）2﹣（b ﹣2c ﹣3|＝0，则a +b +c 的值等于（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 10．若2(3)(5)15x x x mx -+=+-，则m 的值为（ ）A ．-8B ．2C ．-2D ．-511x 的取值范围是（ ）A ．>4xB ．x ≥5x ≠C ．>4x 且5x ≠D ．45x << 12．已知a ，b 满足|a ﹣3|+（b +2）2＝0，则单项式﹣5axa ﹣by 的系数和次数分别是（ ）A ．﹣15，6B ．﹣15，5C ．﹣5，6D ．﹣5，5 13．已知333411112212221A =++++++-，则A 与1的大小关系是（ ）． A ．1A >B ．1A =C ．1A <D ．无法确定 14．111100011000100011000n n n n ---⋅⋅⋅⨯⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=个个个个（ ） A ．10n B ．210n + C ．210n D ．2210n +15．在11,,0.2020,722πn 是大于3的整数）这5个数中，分数的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．516．点D 、E 、F 分别在ABC 的三边BC 、AB 、AC 上，且AD 、BF 、CE 相交于一点M ，若5AB AC BE CF+=，则AM MD =（ ） A ．72 B ．3 C ．52 D ．217．计算=（ ）A 1B ．1CD ．218．有2014个数排成一行，其中任意相邻三个数中，中间的数等于它前后两数的和，若第一个数和第二个数都是1，则这2014个数的和等于（ ）A ．2014B ．1C ．0D ．-119．若p 为质数，33p +仍为质数，则3333p +的末位数字是（ ）．A ．5B ．7C ．9D ．不能确定 20．若1059，1417，2312分别被自然数x 除时，所得余数都是y ，则x y -=（ ）． A ．15 B ．1 C ．164 D ．179二、填空题21．能使2256n +是完全平方数的正整数n 的值为__________．22．在一张冬景照片上，人们分别戴着帽子、系着围巾和戴着手套．只戴帽子的人数等于只系围巾和只戴手套的人数之和；只有4人没有戴帽子；戴着帽子和系着围巾，但没有戴手套的有5人；只戴帽子的人数两倍于只系围巾者；未戴手套有8人，未系围巾有7人；三样东西都用的人数比只戴帽子的人数多一个．那么：（1）有______人同时用上了帽子、围巾和手套；（2）有______人只戴了手套；（3）有______人只系了围巾；（4）有______人既戴了帽子，又戴了手套，但没有系围巾；（5）有______人戴着手套．23．如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，D 、E 分别在AC 、BC 边上，BE AD =，AE 、BD 相交于点F ，且4tan 3AFD ∠=，若13AE =，15BD =，则AD 的长为______．24．如图所示，正方形ABCD 的边长为10cm ，点E 在边CB 的延长线上且10cm EB =，点P 在边CD 上运动，EP 与AB 的交点为F ．设cm DP x =，EFB △与四边形AFPD 的面积和为2cm y ，那么y 与x 之间的函数关系式是________．25．若方程219990x x a -+=有两个质数根，则=a ______．26．若实数,x y 满足333333331,134365456x y x y +=+=++++，则x y +=_____． 27．一组同学被分派去给1775棵小树苗浇水，每位同学每小时浇完30棵小树苗．1小时后，一些同学被分派去做其它工作；2小时后，相同数量的同学被分派去做其它工作；3小时后，又有相同数量的同学被分派去做其它工作；浇完这些小树苗共用3小时10分钟．则在开始的1.5小时内浇完的小树苗数为______．28．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球．按这种要求摆放，最多可以摆放____个球．29．如果某数可以表示成91的某个倍数的数字和，就把这个数叫做“和谐数”那么，在1，2，…，2008中，和谐数的个数是_________．30．边长为整数，周长为12的三角形的面积的最大值是_________．31．如图，正方形ABCD 中，点E 在AB 边上且2AE BE =．连接CE ，取CE 边上中点G ，作GH CG ⊥且CG GH =，连接.CH 将CGH 绕着点C 逆时针旋转得到''.CG H当'H 恰好落在AH 的延长线上时，连接'.'HG CG 与'HH 交于F ，若AH =FH =______．32．有8个整数，它们都不是5的倍数，那么它们的4次方的和被5除，得到的余数是__________．33．4444412319901991+++++的个位数字是_________．34．已知k 为不超过50的正整数，使得对任意正整数n ，6312321n n k +⨯+⨯-都能被7整除．则这样的正整数k 有______个．35．如图，在△ABC 中，△B ＝△CAD ，32BD AC =，则ABD CADS S ∆∆=______36．1998年某人的年龄恰等于他出生的公元年数的数字之和，那么他的年龄是__________岁．37．若a ，b ，c ，d 为非负整数，且()()22221993a b c d ++=，则a b c d +++=_________．38．已知19921991199031555522A =+⋅+⋅+为自然数，则A 被3除的余数为______． 39．已知整数13456ab （a ，b 各表示一个数字）能被198整除，那么=a ______，b =_____．三、解答题40．分解因式：222222()()x x a a x a x a ++++．41．某项工程，甲工程队先做20天后，由于另有任务不做，由乙工程队接替，结果乙队再做50天就恰好完成任务．已知乙队单独完成任务的时间是甲队的2.5倍．请问：(1)甲队单独做需要多少天才能完成任务？(2)若甲工程队先做x 天后，由乙工程队接替，结果乙队再做y 天就恰好完成任务．其中x ，y 都是正整数，且甲队做的时间不到15天，乙队做的时间不到70天，那么两队实际各做了多少天？42．如图（1），大正方形的面积可以表示为()2a b +，同时大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即222a ab b ++．同一图形（大正方形）的面积，用两种不同的方法求得的结果应该相等，从而验证了完全平方公式：()2222a b a ab b +=++．把这种“同一图形的面积，用两种不同的方法求出的结果相等，从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”．(1)用上述“面积法”，通过如图（2）中图形的面积关系，直接写出一个等式：______；(2)如图（3），Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，3CA =，4CB =，5AB =，CH 是斜边AB 边上的高．用上述“面积法”求CH 的长；(3)如图（4），等腰ABC 中，AB AC =，点O 为底边BC 上任意一点，OM AB ⊥，ON AC ⊥，CH AB ⊥，垂足分别为点M ，N ，H ，连接AO ，用上述“面积法”求证：OM ON CH +=．43．设,,,a b x y 满足2233443,7,16,42ax by ax by ax by ax by +=+=+=+=，求55ax by +的值．44．试比较1111(1)13521x n n =+++++-与1111()242y n n =+++的大小． 45．已知()1n n >个整数（可以相同）12,,,n x x x ，满足12129111n n x x x x x x +++==．求当n 取最小值时，12,,,n x x x 中的最大值． 46．计算：（1）2222123n +++⋯+；（2）3333123n +++⋯+．47．将8个数14，30，33，75，143，169，4445，4953分成两组，每组4个数，使一组中4个数的乘积与另一组中4个数的乘积相等，应该怎样分组？48．任给20个互不相等的正整数，每一个数都不大于100．证明：把这20个正整数两两相减（大减小）所得的差中至少有三个相等．49．如图．已知ABC 为等腰直角三角形，90A ∠=︒，D 、E 分别为AC BC 、上的两点，CD ，连接DE ，将DE 绕点E 逆时针旋转90︒得EF ，连接DF 与AB 交于点M ．(1)如图1，当30DEC ∠=︒时，若2BC =AD 的长；(2)如图2，连接CF ，N 为CF 的中点，连接MN ，求证：MN =； (3)如图3，连接AF ，将AF 绕点A 顺时针旋转60︒得AG ，连接FG 、BG 、CG ，若4AC =，当ACG 周长取得最小值时，直接写出BCG 的面积．参考答案：1．D【分析】利用去绝对值符号，得出关于x 的解集范围，再根据整数的定义，求出符合条件的值的个数．【详解】解：||2x π<，22x ππ∴-<<，3.14π≈，6.28 6.28x ∴-<<， x 是整数，x ∴可取6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6------有13个，故选：D ．【点睛】本题考查了去绝对值符号及无理数，解题的关键是：会去绝对值符号求解不等式的解集．2．D【详解】由2240ab b a ---=得2426122a b a a +==+--． a ，b 为正整数，226a ∴-∣． △3a =，27b = △4a =，14b = △15a =，3b = △28a =，2b =a b ∴+最大为30．3．D【分析】将等式变形可得()210a +，然后利用非负数性质得出12a n =-=，，然后将当1x =时，代入代数式求值即可．【详解】解：△x a =，代数式22x x +的值为1-，△221a a +=-，△()210a +=，△()210a +≥，△1020a n +=-=，，解得12a n =-=，， 当1x =时，代数式22123x x +=+=．故选择D ．【点睛】本题考查完全平非负数性质，算术平方根非负性质，完全平方公式，代数式求值，掌握完全平非负数性质，算术平方根非负性质，完全平方公式，代数式求值是解题关键．4．B【分析】先移项得出x 4=16，再根据四次方根的定义求出方程的解即可．【详解】解：x 4-16=0，x 4=16，x =±2，即方程x 4-16=0的实数根的个数是2，故选：B ．【点睛】本题考查了解高次方程，能求出x5．A【分析】需要根据题意确定d 的取值，然后依次可得出c 、b 、a 的最大值，继而可得出答案．【详解】解：△d ＜100，d 为整数，△d 的最大值为99，△4499396c d <=⨯=，c 为整数，△c 的最大整数为395，△333951185b c <=⨯=，b 为整数，△b 的最大整数为1184，△2211842368a b <=⨯=，a 为整数，△a 的最大整数为2367．故选：A【点睛】本题考查了整数问题，解答本题的关键是根据题意确定d 的值．6．B【详解】依题意0x ≥且2x ≥，故2x ≥，原方程化为1x x -1，所以3x =．故选B ．7．B【详解】解：由一元二次方程的根与系数的关系可得122x x p +=-，1232x x p ⋅=--．△()22221212122464x x x x x x p p +=+-⋅=++， ()()()23321212121232496x x x x x x x x p p p ⎡⎤+=++-⋅=-++⎣⎦． △()232311224x x x x +=-+得()223312124x x x x +=-+，△()2246442496p p p p p ++=+++， △(43)(1)0p p p ++=，△10p =，234p =-，31=-p ． 代入检验可知：以10p =，234p =-均满足题意，31=-p 不满足题意． 因此，实数p 的所有可能的值之和为1233044p p ⎛⎫+=+-=- ⎪⎝⎭． 故选B ．8．B 【详解】因211111()4(2)(2)422n n n n n ==---+-+， 所以11111111148()()()()415263798102A ⎡⎤=⨯-+-+-++-⎢⎥⎣⎦ 1111111112()123499*********=⨯+++----11125121001011021()99=-⨯+++． 若设111112()99100101102B =⨯+++，则4163312 1.59911B <⨯⨯=<，且4243312 1.410217B >⨯⨯=>，故375373.5A B =->，且375373.6A B =-<，所以[]373A =．故选B9．C【分析】根据完全平方和算术平方根以及绝对值都是非负数，列出方程求解即可．【详解】解：根据题意，得，2(1)|3|0a c +-=，△a +1＝0，2﹣b ＝0，c ﹣3＝0，解得a ＝﹣1，b ＝2，c ＝3，所以a +b +c ＝﹣1+2+3＝4．故选：C ．【点睛】本题考查了完全平方和算术平方根以及绝对值都是非负数，非负数的性质：几个非负数的和为0，那么这几个数都为0，掌握非负数的性质是解题的关键．10．B【分析】利用多项式乘以多项式法则展开，再根据对应项的系数相等列式求解即可．【详解】解：△22(3)(5)21515x x x x x mx -+=+-=-+，△2m =．故选：B ．【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，恒等原理等，熟练掌握多项式乘以多项式的法则，恒等的两个代数式对应项系数相等，是求解的关键．11．C【详解】依题意得270321544x x x x x x x x ⎧⎧-≥≤≥⎪⎪-≠⇒≠≠⎨⎨⎪⎪>>⎩⎩且，4x ⇒>且5x ≠．故选C ． 12．A【分析】先根据绝对值和偶次方的非负数的性质得出a ﹣3=0，b +2＝0，解方程求出a 与b ，然后代入单项式得出单项式，根据单项式的系数与次数定义求解即可．【详解】解：△|a ﹣3|+（b +2）2＝0，|a ﹣3|≥0，（b +2）2≥0，△根据绝对值与偶次方非负数性质可得a ﹣3=0，b +2＝0，解得a =3，b =-2，△单项式﹣15x5y 的系数为-15，次数为5+1=6次．故选择A ．【点睛】本题考查绝对值与偶次方非负数性质，单项式的次数与系数，解一元一次方程，掌握非负数性质，和单项式相关定义是解题关键．13．C【详解】解 因11111818910158A =++++<⨯=．故选C 14．C 【详解】原式()()221011011010n n n n =+-+-= 15．B【分析】先把12【详解】解：1111222==-，当(3)n n >n 与2n -不可能同时取到完全平方数，设2n s =，22n t -=，有222s t -=，()()21s t s t +-=⨯， △2s t +=，1s t -=， △32s =，12t =不是整数解，不是分数． 2π是无理数，不是分数， 故分数有三个：17，0.2020，12． 故选：B ．【点睛】本题考查的是实数的分类，把12进行化简是解答此题的关键．16．B 【详解】设AM t MD =，由题设可得AMC DMC BMC BMC S tS AE EB S S ==△△△△，AMB BMD BMCBMC S tS AF FC S S ==△△△△， 所以22DMC BMD BMC BMC tS tS AB AC AE AF BE CF EB FC S S ∆∆+=++=++△△ ()222DMC BMD BMC BMC BMCt S S tS t S S +=+=+=+△△△△△， 又已知5AB AC BE CF +=，所以25t +=，所以3t =，即3AM MD=． 17．B【详解】1)(31=-+=．18．B【详解】由已知可知，前n 个数的排列顺序为1，1，0，-1，-1，0，1，1，0，…由此可见，从第7个数开始循环，即每隔6个数循环，这6个数的和等于0．又因为201463354=⨯+，所以这2014个数的和等于1，故选B ．19．A【详解】由33p +为质数可知p 为偶数，又p 为质数，则2p =．故()833334332332233p +=+=⨯+． 因为()842的末位数字为6，故()8422⨯的末位数字为2.因此，3333p +的末位数字为5． 20．A【详解】设三数除以x 的商分别为a ，b ，c ，则可得1059,1417,2312.ax y bx y cx y +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩①②③ △-△得()3582179b a x -==⨯，△-△得()8955179c b x -==⨯，△-△得()12537179c a x -==⨯．即179,164x y ==．故15x y -=．21．11【详解】当8n <时，()82256212n n n -+=+，若它是完全平方数，则n 必为偶数．若2n =，则22256265n +=⨯；若4n =，则42256217n +=⨯；若6n =，则6225625n +=⨯；若8n =，则8225622n +=⨯．所以，当8n ≤时，2256n +都不是完全平方数．当8n >时，()882256221n n -+=+，若它是完全平方数，则821n -+为一奇数的平方．设8221(21)n k -+=+（k 为自然数），则102(1)n k k -=+．由于k 和1k +一奇一偶，所以1k =，于是1022n -=，故11n =．22． 3 1 1 4 10【详解】如图，按题目中条件顺序依次可列方程：（1）A C F =+；（2）4C E F ++=；（3）5B =；（4）2A C =；（5）8A B C ++=；（6）7A G F ++=；（7）1D A =+．可求出2,5,1,3,2,1,4A B C D E F G =======．于是，题目中各空白区应填入的数依次是△3，△1，△1，△4，△10．23．【分析】作出辅助线，由AAS 证明△ADM ≅△BEH ，再由4tan tan 3DM BH AFD BFH FM FH ∠∠====，设DM =4x ，FM =3x ，BH =4y ，FH =3y ，利用勾股定理列式计算即可求解．【详解】解：过B 作BH △AE 交AE 的延长线于H ，过D 作DM △AE 于M ，△△ACB =△AHB =90︒，△A 、C 、H 、B 四点共圆，△△CAH =△CBH ，即△DAM =△EBH ，△BE =AD ，△DMA =△EHB =90︒，△△ADM ≅△BEH (AAS )，△DM =EH ，AM =BH ， △4tan tan 3DM BH AFD BFH FM FH ∠∠====， 设DM =4x ，FM =3x ，BH =4y ，FH =3y ，△DM =EH =4x ，AM =BH =4y ，EF =FH -EH =3y -4x ，AE =AM +MF +FE =4y +3x +(3y -4x )=7y -x =13，△BD =DF +BF 5515x y +=，△由△△解得：1x =，2y =，△DM =4，AM =8，△AD=故答案为：【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，24．550(010)y x x =+<<【详解】解 由DP x =得10PC x =-． 又12BF BE PC EC ==，即11(10),10(10)22BF x AF BF x =-=-=+， 所以EFB AFPD y S S =+四边形11()22BE BF AF DP AD =⨯⨯++⨯ 111110(10)(10)102222x x x ⎡⎤=⨯⨯-+++⨯⎢⎥⎣⎦550(010)x x =+<<．故应填550(010)y x x =+<<．25．3994【详解】设219990x x a -+=的两根为12,x x ，则12121999,x x x x a +==．因1999必是一个偶数与一个奇数之和，且偶数中只有2为质数，故12,x x 中必有一个为2，另一个为199921997-=，所以219973994a =⨯=．故填3994．26．432【详解】解 因题目中条件去分母整理后可写为：()()()223323333346364460x y x y -+--⋅-+-⋅=， （()()()223323333546564460x y x y -+--⋅-+-⋅=，故依题目条件知33t =或35t =是关于t 的方程()()23333334664460t x y t x y -+---+-⋅=的两根．由韦达定理，得33333546x y +=+--，所以33333456432x y +=+++=．27．945【详解】设开始有n 位同学，每次有k 位同学被分派去做其它工作．因为每位同学浇完一棵小树苗需要2分钟，所以10分钟内每位同学浇完5棵小树苗．因此，3030()30(2)5(3)1775n n k n k n k +-+-+-=即21355.19k n +=． 因为n 和k 都是正整数，所以21355k +必须是19的倍数．并且使得n ，n k -，2n k -和3n k -也是正整数的k 值仅有一个，即3k =，从而22n =．故在开始的1.5小时内浇完的小树苗数为30221519945.⨯+⨯=28．15个球【详解】解：先画一个“初始图”：○ A B C D E ○ A B C D E ○按照题目要求，逐一确定各个字母的颇色，得到：○ ○ ○ ○ D ○ ○ ○ ○ ○ D ○显然，D 应为黑色．即：○ ○ ○ ○ ● ○ ○ ○ ○ ○ ● ○再按要求尝试增加小球，确定最后结果如下：○ ○ ○ ○ ● ○ ○ ○ ○ ○ ● ○ ○ ○ ○29．2007【详解】理由：注意到91713=⨯．数字和为1的数不是91的倍数．1001，10101，10011001，101011001，100110011001，1010110011001，…都是91的倍数，而它们的数字和依次是2，3，4，5，6，7，…因此，在1，2，…，2008中，能够表示成91的某个倍数的数字和的数的个数是2007．故答案为：2007．30．【详解】设三角形的三边长分别为a ，b ，c ，且a b c ≤≤，则12a b c ++=．可得312c ≥，即4c ≥．又因为a b c +>，所以212c <，即6c <．故46c ≤<，c 可取4或5．当4c =时，4,8a b a b ≤≤+=，所以4a b ==．此时三角形面积为214S == 当5c =时，7a b +=．当1a =时，6b =．此时a c b +=，不合题意．当2a =时，5b =．此时三角形面积为2122S =⋅ 当3a =时，4b =． 此时三角形为直角三角形，三角形面积为313462S =⋅⋅=．显然132S S S >>，所以所求最大面积为31【分析】连接BH ，EH ，设CG 、BH 交于点O ，证明B 、C 、H 、E 四点共圆，CBH △ABH ，求得BC 、AE 的长，过点E 作EM AH ⊥于点M ，作G 关于CH 的对称点J ，连接CJ 交AH 于点T ，过点T 作TN CH ⊥于点N ，则四边形CGHJ 是正方形，设AM a =，则HM AH a ==，由勾股定理及全等三角形的判定与性质即可得到答案．【详解】连接BH ，EH ，设CG 、BH 交于点O ，四边形ABCD 是正方形，90ABC ∴∠=︒，BA BC =，GH CG ⊥且CG GH =，CGH ∴是等腰直角三角形， G 是CE 边上的中点，CG GE ∴=，HC HE ∴=，CHE ∴是等腰直角三角形，B ∴、C 、H 、E 四点共圆，△CH CH =，45CBH CEH ∴∠=∠=︒，45HBA HBC ∴∠=∠=︒，在CBH 和ABH 中，CB AB CBH ABH BH BH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，CBH ∴≌()ABH SAS ，CH AH ∴=，正方形ABCD 中，点E 在AB 边上且2AE BE =，3BC BE ∴=，CE ∴，CHE △是等腰直角三角形，CH ∴==，CH AH ==，2BE ∴=，36BC BE ∴==，4AE =，过点E 作EM AH ⊥于点M ，作G 关于CH 的对称点J ，连接CJ 交AH 于点T ，过点T 作TN CH ⊥于点N ，则四边形CGHJ 是正方形，设AM a =，则HM AH a ==，在Rt AME 中，222EA AM EM -=，在Rt HME 中，222HE HM EM -=，2222EA AM HE HM ∴-=-，即22224)a a -=-，MA ∴=HM∴==EM∴==3tan4HMHEMEM∴∠==，3sin5HMHEMHE∠==，90CHE∠=︒，90CHJ EHM∴∠+∠=︒，90EHM HEM∠+∠=︒，CHJ HEM∴∠=∠，CJ AH⊥，EM AH⊥，90EMH HJC∴∠=∠=︒，在CJH和HME中，EMH HJCCHJ HEMCH HE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，CJH∴≌()HME AAS，JH EM∴=，THN THC HEM∴∠=∠=∠，3tan4THN∴∠=，3sin5THN∠=，3tan4TNTHNNH∴=∠=，3sin5TNTHNTH=∠=，设3TN b=，则4NH b=，353sin5TN bTH bTHN===∠，45HCG∠=︒，四边形CGHJ是正方形，45TCN∴∠=︒，3CN TN b==，7CH b∴=，b∴=，JT JH TJ ∴=-== 将CGH 绕着点C 逆时针旋转得到''CG H ，'CH CH ∴=，'45HCG HCG ∠=∠=︒，45FCH TCH ∴∠=∠=︒，'CH CH =，'FH C THC ∴∠=∠，在THC 和'FH C 中，''FH C THC CH CH FCH TCH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， THC ∴≌()'FH C ASA ，'H F HT ∴=，'CH CH =，'CJ HH ⊥，'JH JH ∴=，''JH TH JH FH ∴-=-，即FJ TJ JH =+==【点睛】此题考查了直径所对的圆周角是直角，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，添加辅助线并求得正方形的边长是解题的关键．32．3【详解】一个整数不是5的倍数，它的个位数字可能是1，2，3，4，6，7，8，9，把它们4次方后，研究它们的个位数字，分别是：444411;216;381;4256====；444461296;72401;84096;96561====．即它们的个位数字不是1就是6，并且6被5除也是余1．所以一个不是5的倍数的整数，它的4次方被5除一定余1．这8个整数，它们的4次方的和被5除所得余数为3．33．8【详解】理由：4444123101616561613(mod10)++++≡++++++++≡， 4441112203(mod10)+++≡，……4441981198219903(mod10)+++≡，从而4444123199031997(mod10)++++≡⨯≡，则4444412319901991718(mod10)+++++≡+≡． 所以4444412319901991+++++的个位数字是8．34．7 【详解】填7.理由：6312321n n k +⨯+⨯-2227281n n k =⨯+⨯-22(1)21n k ≡⨯-+-21(mod7)k ≡+．但63123210(mod 7)n n k +⨯+⨯-≡，则210(mod7)k +≡，即217k m +=（m 为奇数）．因为150k ≤≤，所以，37101m ≤≤． 故1,3,,13m =，相应的3,10,,45k =，共7个．35．3【分析】由题中条件可得△ACD △△BCA ，得出AC 2=CD •BC ，利用等式的性质进行恒等变式，可得221=0DC BD DC AC AC AC+⋅-，设DC x AC =，建立方程，解方程可求得1=2DC AC ，再根据相似三角形的性质，可求得1=4ADC ABC S S △△，可得3=4ABD ABC S S △△，据此即可求得． 【详解】解：△△B =△CAD ，△C =△C ， △△ACD △△BCA ， △=AC DC BC AC，即AC 2=DC •BC ，得()22==AC BD DC DC BD DC DC +⋅⋅+， 可得222=1BD DC DC AC AC⋅+， 得221=0DC BD DC AC AC AC+⋅-， 设DC x AC=， 32BD AC =， 23102x x ∴+-=， 解得112x =，22x =-(舍去)， 1=2DC AC ∴， 2==4ABC ADC S AC S DC ⎛⎫ ⎪⎝⎭△△， 1=4ADC ABC S S ∴△△， 3==4ABD ABC ADC ABC S S S S ∴-△△△△， 34314ABC ABDCAD ABC S S S S ∆∆==△△， 故答案为：3．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等式的恒等变式，利用方程求解，解题的关键是利用等式的性质进行恒等变式．36．18【详解】设某人出生于19xy 年，则他的年龄应为1910x y x y +++=++（岁）．所以19981910xy x y -=++，即981010x y x y --=++，得11288x y +=，则88112x y -=． 又易知x 只能取偶数取0,2,4,6,8x =，相应地，44,33,22,11,0y =．只有8,0x y ==满足条件．所以所求年龄为18岁．37．56【详解】因为1993是质数，22a b +与22c d +都是正整数，所以22a b +与22c d +分别取值1与1993．若22221,1993a b c d +=+=．（1）221a b +=．可知0,1a b ==或1,0a b ==．因此1a b +=．（2）221993c d +=．若31,31c d ≤≤，则22223119921993c d +≤⨯=<．所以c ，d 中至少有一个大于31．又由于24520251993=>．因此，若设c 为c ，d 中较大的一个，则3244c ≤≤．依次取32,33,,43,44c =，可得只有2199343-是完全平方数．所以43,12c d ==或12,43c d ==，则55c d +=．因此，15556a b c d +++=+=．当22221993,1a b c d +=+=，同样可得所求和为56．38．2【详解】填2.理由：199219901990199219903155555585522A =+⋅⋅+⋅+=+⋅+． 因为45被3除余数为1，所以199219905252A ≡+⋅+()()49849744252522≡+⋅⋅+498349712112≡+⋅⋅+5≡2(mod3)≡．所以A 被3除的余数为2.39． 8 0【详解】解 设13456n ab =．因为1982911=⨯⨯，所以n 被9整除，即1345619a b a b ++++++=++能被9整除，所以8a b +=或17a b +=．因为n 能被11整除，所以(146)(35)3a b a b +++-++=-+能被11整除．所以8a b -=或3a b -=-．联立方程组8,8a b a b +=⎧⎨-=⎩；8,3;a b a b +=⎧⎨-=-⎩17,8;a b a b +=⎧⎨-=⎩17,3.a b a b +=⎧⎨-=-⎩ 可得只有第1个和第4个方程组有整数解8,0,a b =⎧⎨=⎩和7,10.a b =⎧⎨=⎩ 而10b =不合题意，所以8,0a b ==．40．222()x ax a ++【详解】解法一 原式222222[()()]x x a a x a a x =++++22222()()x a x a a x ++=+222222()(2)x a x ax a a x =++++222222()2()()x a ax x a ax =++++222()x a ax =++222()x ax a =++．解法二 原式22222[()]()x x a a a x a =++++22222(22)()x x ax a a x a =++++2222()2()[()]x x a x a a x a =++++⋅22[()]x a x a =++222()x ax a =++．41．(1)甲队单独做需要40天才能完成任务；(2)甲队实际做了14天，乙队做了65天．【分析】（1）甲队单独做需要x 天才能完成任务，则乙队单独做需要2.5x 天才能完成任务，总任务量为1，根据题意列分式方程，求解即可得到答案；（2）根据题意列分式方程，整理得到51002y x =-，再根据x 、y 的取值范围得不等式，求整数解即可得到答案．【详解】（1）解：甲队单独做需要x 天才能完成任务，则乙队单独做需要2.5x 天才能完成任务，由题意得：11205012.5x x⨯+⨯=， 解得：40x =，2.5100x =， 经检验，40x =是原方程的解，答：甲队单独做需要40天才能完成任务；（2）解：由题意得：11140100x y +=， 整理得：51002y x =-，70y <，5100702x ∴-<， 12x ∴>，15x <且为整数，13x ∴=或14，当13x =时，51100136722y =-⨯=，不是整数，不符合题意，舍去，当14x =时，510014652y =-⨯=，答：甲队实际做了14天，乙队做了65天．【点睛】本题考查了分式方程的应用，不定方程求特殊解。
全国初中数学竞赛试题及答案
全国初中数学竞赛试题及答案全国初中数学竞赛试题及答案一、选择题1、在一张纸上，我们画了一个圆和一条直径，直径与圆相交于A、B 两点。
如果我们在这张纸上连续地画了8个点，使得这些点都在圆上，那么这8个点的最密集分布是（）。
A. 像一个“十”字形，两边各4个点 B. 像一个“十”字形，两边各3个点 C. 像一个“米”字形，上面各4个点 D. 像一个“米”字形，上面各3个点答案：C 解析：根据圆的对称性，我们可以得知，直径两侧的点到圆心的距离相等，因此在一个“十”字形中，中间的交点是最密集的。
而在“米”字形中，上面的4个点距离交点的距离相等且最短，因此是最密集的。
2、在一个等边三角形ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点。
现在以D为圆心，DE为半径画圆弧，交AB于G。
则△DFE的面积是阴影部分面积的（）。
A. 2倍 B. 3倍 C. 4倍 D. 6倍答案：C 解析：由题意可知，DE是△ABC的中位线，因此DE=1/2AB。
而△DFE是直角三角形，斜边DE是直径，因此∠DFE=90°。
所以，△DFE的高是DE的一半，即1/4AB。
因此，△DFE的面积是1/2×1/2AB×1/4AB=1/8AB²。
而阴影部分的面积是△ABC面积的一半，即1/2×1/2AB×√3/2AB=√3/4AB²。
所以，△DFE的面积是阴影部分面积的4倍。
3、在一个等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=1。
现在以这个三角形的顶点为圆心，1为半径画圆弧，则这三个圆弧的长度之和为（）。
A. 3π/2 B. π C. 2π D. 5π/2 答案：C 解析：根据题意，我们可以得到三个圆弧的半径都是1。
其中第一个圆弧的长度为1/4×2π×1=π/2，第二个圆弧的长度也为π/2，第三个圆弧的长度为1/4×2π×√2=π√2/2。
全国初中数学竞赛模拟试题及答案
全国初中数学竞赛模拟试题班级__________学号__________姓名______________得分______________一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分．以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填都得0分）1．已知实数x ，y 满足：4x 4－2x 2＝3，y 4＋y 2＝3，则4x4＋y 4的值为（ ）（A ）7 （B ）1＋132 （C ）7＋132（D ）52．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（ ）（A ）512（B ）49（C ）1736（D ）123．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可确定的不同直线最少有 （ ）（A ）6条（B ）8条（C ）10条（D ）124．已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且AB ＝a ＜1．以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的一点，且DB ＝AB ＝a ，DC 的延长线交圆O 于点E ，则AE 的长为 （ ）（A ）52a （B ）1（C ）32（D ）a5．将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有 （ ）（A ）2种（B ）3种（C ）4种（D ）5种二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．对于实数u ，v ，定义一种运算“*”为：u *v ＝uv ＋v ．若关于x 的方程x *（a *x ）＝－14有两个不同的实数根，则满足条件的实数a 的取值范围是_______． 7．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是_____分钟． 8．如图，在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝11，点M 是BC 的中点，AD 是∠BAC 的平分线，MF ∥AD ，则FC 的长为______． 9．△ABC 中，AB ＝7，BC ＝8，CA ＝9，过△ABC 的内切圆圆心I 作DE ∥BC ，分别与AB ，AC 相交于点D ，E ，则DE 的长为______．10．关于x ，y 的方程x 2＋y 2＝208(x －y )的所有正整数解为________．三、解答题（共4题，每题15分，满分60分）FMDBA11．在直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，且使得△OAB的面积值等于｜OA｜＋｜OB｜＋3．（1）用b表示k；（2）求△OAB面积的最小值．12．是否存在质数p，q，使得关于x的一元二次方程px2－qx＋p＝0有有理数根？13．是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角2倍的△ABC？证明你的结论．14．从1，2，…，9中任取n个数，其中一定可以找到若干个数（至少一个，也可以是全部），它们的和能被10整除，求n的最小值．简答：一．选择题 ACBBD ；二．填空题 6. a ＞ 0 或 a ＜－1； 7. 4； 8. 9； 9.163； 10. x ＝48， x ＝160， ＝32； y ＝32． 三．解答题：11. （1）k ＝2b －b 22(b ＋3)，b ＞ 2； （2）当 b ＝2＋10， k ＝－1时，△OAB 面积的最小值为7＋210； 12. 存在满足题设条件的质数p ，q . 当p ＝2，q ＝5时，方程2x 2－5x ＋ 2＝0 的两根为 x 1＝12， x 2＝2. 它们都是有理数； 13. 存在满足条件的三角形. △ABC 的边 a ＝6，b ＝4，c ＝5，且∠A ＝2∠B ，证明略. 14. n 的最小值是5，证明略．。
数学竞赛初中试题及答案
数学竞赛初中试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B2. 计算下列表达式的值：(3x^2 - 2x + 1) + (x^2 + 4x - 3) = ?A. 4x^2 + 2x - 2B. 4x^2 + 2x + 2C. 5x^2 + 2x - 2D. 5x^2 + 2x + 2答案：D3. 一个圆的半径是5厘米，那么它的周长是多少？A. 10π厘米B. 20π厘米C. 25π厘米D. 30π厘米答案：C4. 如果一个数的平方是36，那么这个数是？A. 6B. ±6C. 36D. ±36答案：B5. 以下哪个分数是最简分数？A. 6/8B. 9/12C. 5/10D. 7/14答案：B6. 一个等差数列的第一项是2，公差是3，那么第5项是多少？A. 17B. 14C. 11D. 8答案：A7. 下列哪个图形的面积是最大的？A. 边长为4的正方形B. 半径为2的圆C. 长为5，宽为3的矩形D. 底为6，高为2的三角形答案：B8. 一个正方体的体积是27立方厘米，那么它的表面积是多少？A. 54平方厘米B. 63平方厘米C. 81平方厘米D. 108平方厘米答案：A9. 一个数的立方根是2，那么这个数是？A. 6B. 8C. 2D. 4答案：D10. 下列哪个方程的解是x=2？A. x^2 - 4x + 4 = 0B. x^2 - 3x + 2 = 0C. x^2 - 5x + 6 = 0D. x^2 - 6x + 9 = 0答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 一个数的相反数是-5，那么这个数是________。
答案：512. 一个等腰三角形的底边长是6厘米，两腰长分别是8厘米，那么这个三角形的周长是________厘米。
答案：2213. 如果一个数除以3余1，除以5余2，那么这个数最小是________。
初中数学竞赛模拟题50题-含答案
初中数学竞赛模拟题50题含答案一、单选题10,0)a b>>，分别作了如下变形：甲：()a b-====（ ）A ．甲、乙都正确B ．甲、乙都不正确C ．只有甲正确D ．只有乙正确2．若实数a ，b ，c 满足等式36b =，96b c =，则c 可能取的最大值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．33．设a ，b ，c 的平均数是M ，a ，b 的平均数是N ，N 与c 的平均数是P ．若a b c >>，则M 与P 的大小关系是（ ）． A ．M P =B ．M P >C ．M P <D ．不能确定4．1234x x x x -+-+-+-的最小值为（ ） A ．4B ．5C ．6D ．105．A ，B ，C ，D ，E 五人参加“五羊杯”初中数学竞赛得分都超过91分，其中E 排第三，得96分．又已知A ，B ，C 平均95分，B ，C ，D 平均94分，若A 排第一，则D 得（ ）分． A ．98B ．97C ．93D ．926．如果21x x --是31ax bx ++的一个因式，则b 的值是（ ）． A ．2-B ．1-C ．0D ．27．如图，在ABC 中，过点C 作CD AB ⊥，垂足为点D ，过点D 分别作DE AC ⊥，DF BC ⊥，垂足分别为E ，F ．连接EF 交线段CD 于点O ，若CO =CD =EO FO ⋅的值为（ ）．A ．B ．4C ．D ．68．已知3a b -=，则339a b ab --的值是（ ）． A ．3B ．9C ．27D ．819．把三个连续的正整数a ，b ，c 按任意次序（次序不同视为不同组）填入20x x ++=□□□的三个方框中，作为一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项．使所得方程至少有一个整数根的a ，b ，c （ ）． A ．不存在B ．有一组C ．有两组D ．多于两组10．已知a ，b 长，则这个三角形的面积是（ ） A ．32abB ．abC ．12abD ．2ab11．定义：平面直角坐标系中，点(),P x y 的横坐标x 的绝对值表示为||x ，纵坐标y 的绝对值表示为||y ，我们把点(),P x y 的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点(),P x y 的折线距离，记为||||||M x y =+（其中的“＋”是四则运算中的加法），若抛物线21y ax bx =++与直线y x =只有一个交点M ，已知点M 在第一象限，且2||4M ≤≤，令2242022t b a =-+，则t 的取值范围为（ ） A ．20182019t ≤≤ B ．20192020t ≤≤ C ．20202021t ≤≤D ．20212022t ≤≤12．1991331991+的值用十进制表示时，末位数字是（ ）． A ．8B ．4C ．2D ．013．从正整数里取出k 个不同的数，使得这k 个数中任意两个数之差的绝对值是质数，则k 的最大值是（ ）． A ．3B ．4C ．5D ．614．满足等式2003的正整数对(),x y 的个数是（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．415．1898年6月9日英国强迫清政府签约，将香港975.1平方公里土地租借给英国99年．1997年7月1日香港回归祖国，中国人民终于洗刷了百年耻辱，已知1997年7月1日是星期二，那么，1898年6月9日是星期（ ）．（注：公历纪年，凡年份为4的倍数但不是100的倍数的那年为闰年，年份为400的倍数的那年也为年，年的2月有29天，平年的2月有28天．） A ．二B ．三C ．四D ．五16．在实数范围内，设198851111a x a a ⎤⎥+=⎥-⎢⎥+-⎣⎦，则x 的个位数字是（ ）． A ．1B ．2C ．4D ．617．已知a b c d ,,,都是实数，则下列命题中，错误的是（ ）． A ．若222a b c ab bc ca ++=++，则a b c == B ．若3333a b c abc ++=，则a b c ==C ．若442242242()a b c d a b c d +++=+，则a b c d ===D ．若44444a b c d abcd +++=，则a b c d ===18．从1分、2分、5分3种硬币中取出100枚，总计3元，其中2分硬币枚数的可能情况有（ ）种． A ．13B ．16C ．17D ．1919．使424m m -+为完全平方数的自然数m 有（ ）个． A ．2B ．3C ．4D ．无数20．已知a ，b ，c 三个数中有两个奇数､一个偶数，n 是整数，如果()()()12233S a n b n c n =++++++，那么（ ）．A ．S 是偶数B ．S 是奇数C ．S 的奇偶性与n 的奇偶性相同D ．S 的奇偶性不能确定二、填空题21．若243k x -<是关于x 的一元一次不等式，则 k 的值为______． 22．已知（x -3）2＋1m +=0，则mx =_______．23．已知：122334!99100a =⨯+⨯+⨯++⨯，243546!100102b =⨯+⨯+⨯++⨯，则a b -=______．24．设a ，b 是一元二次方程210x x --=的两根，则32234a b a ++的值为__________. 25．设n 是小于100的正整数且使2232n n --是6的倍数，则符合条件的所有正整数n 的和是______．26．如图，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，分别以AB 、BC 、AC 为边向上作正方形，已知Rt ABC 的面积为5，则图中阴影部分面积之和为______．27．今天是星期日，从今天算起，200011111个天是星期________．28．一本书共有61页，顺次编号为1，2，…，61，某人将这些数相加时，有两个两位数的页码都错把个位数和十位数弄反了（形如ab 的两位数被当成了两位数ba ），结果得到总和是2008，那么书上这两个两位数页码之和的最大值是_________． 29．若实数,x y 满足333333331,134365456x y x y+=+=++++，则x y +=_____．30．若化简2x -25x -，则满足条件是x 的取值围是_________．31．使得521m ⨯+是完全平方数的整数m 的个数为__________．32．如图，以△ABC 的边AC 、BC 为边向外作正方形ACDE 和正方形BCGF ，连接AG 、BD 相交于点O ，连接CO 、DG ，取AB 中点M ，连接MC 并延长交DG 于点N ．下列结论：①AG ＝BD ；①MN ①DG ；①CO 平分①DCG ；①S △ABC ＝S △CDG ；①①AOC ＝45°．其中正确的结论有______________（填写编号）．33．从1，2，…，2008中，至少取________个偶数才能保证其中必定存在两个偶数之和为201234．某个两位自然数，它能被其各位数字之和整除，且除得的商恰好是7的倍数，写出符合条件的所有两位数是_________．35．关于,x y 的方程332232x y x y xy -+-=的正整数解的个数_____个． 36．方程13217219211211215217292x x x xx x x x----+=+----的解是______．37．方程22320060x xy x y --++=的正整数解(,)x y 共有__________对． 38．已知由小到大的10个正整数1210,,,a a a 的和是2000，那么5a 的最大值是_________，这时10a 的值应是_________．39．已知在正方形ABCD 中，5AB =，点N 在DC 的延长线上，过D 作BN 的垂线分别交BC 、BN 于点P 和点M ，点Q 在CD 边上且满足1010DQ BP BQBN --=，连接AE 、CE ，则)1CE AE +的最小值等于 __．40．如图所示，已知边长为2的正三角形ABC 中，P 0是BC 边的中点，一束光线自P 0发出射到AC 上的P 1后，依次反射到AB 、BC 上的点P 2和P 3，且1＜BP 3＜32（反射角等于入射角），则P 1C 的取值范围是_____．三、解答题41．戴高乐是二战期间领导法国人民赶走德国法西斯的英雄，也是法兰西第五共和国的总统．他去世后，根据他生前的意愿，他的墓前只立有一块小小的碑牌，一面刻着“查尔斯·戴高乐1890—1970”，另一面则刻着一个洛林十字架．洛林十字架由13块相同的小正方形组成，如图1所示．(1)你能否只用一把无刻度直尺画一条直线，使其等分洛林十字架．（面积等分，在图1中画出1种情形即可）(2)戴高乐还是第一个提出并且解决了下面一个非常有趣的有关洛林十字架的数学问题的人．问题如下：如图2，在洛林十字架的A 点处作一条直线，把洛林十字架严格地划分成面积相等的两部分．戴高乐利用圆规，直尺和铅笔解决了该问题，他的作法如下：如图3所示，①标记点D ，B ，M ，连接BM ，与AD 交于点F ；①以点F 为圆心，FD 长为半径作弧，与BF 交于点G ；①以点B 为圆心，BG 长为半径作弧，与BD 交于点C ；①连接CA 并延长，与洛林十字架边界交于点N ，则直线CN 即为所求．请根据戴高乐的作图步骤，证明直线CN 等分洛林十字架．小林同学的部分证明过程如下：标记点H ，P ，Q ，如图3所示．设洛林十字架中每个小正方形的边长为1． 易证BDF MAF ≌， ①FD FA =．由作图，可知1122FG FD FA AD ====．①BF ．①12BG BC BF FG ==-=．①1CD BD BC =-==请补全小林同学的证明过程．42．如图1，ABC 中，AC ＝BC ＝4，①ACB ＝90°，过点C 任作一条直线CD ，将线段BC 沿直线CD 翻折得线段CE ，直线AE 交直线CD 于点F ．直线BE 交直线CD 于G 点．(1)小智同学通过思考推得当点E 在AB 上方时，①AEB 的角度是不变的，请按小智的思路帮助小智完成以下推理过程： ①AC ＝BC ＝EC ，①A 、B 、E 三点在以C 为圆心以AC 为半径的圆上， ①①AEB ＝ ①ACB ，（填写数量关系） ①①AEB ＝ °．(2)如图2，连接BF ，求证A 、B 、F 、C 四点共圆；(3)线段AE 最大值为 ，若取BC 的中点M ，则线段MF 的最小值为 ．43．岳池县体育馆今夏外围绿化施工，有一块三角形空地，要在上面栽种四种不同的花草，需将该空地分成面积相等的四块，请你设计出三种不同的划分方案．44．将平面直角坐标系中点集{}(,)1,2,3,4,5,1,2,3,4M x y x y ===内的11个点染成红色，其余点不染色．证明：存在一个矩形，它的边与坐标轴平行，顶点都在M 中，并且都是红色．45．求证：若()8216157|78+，则()8316357|78+．46．10个学生参加n 个课外活动小组，每一小组至多5个人；每两个学生至少参加一个小组；任意两个课外小组至少可找到两个学生，他们都不在这两个课外活动小组中．试求n 的最小值．47．在元旦晚会上，学校组织了一次关于语文、数学、外语、奥运及日常生活常识的知识竞赛，设定每科满分为40分，以下依次为30分、20分、10分和0分，共5个评分等级，每个小组分别回答这五个方面的问题．现将A 、B 、C 、D 、E 五个小组的部分得分列表1如下： 表1表1中，（1）每一竖行的得分均不相同（包括单科和总分）；（2）C 组有4个单科得分相同．求B 、C 、D 、E 组的总分并填表进行检验． 48．a ，b 和c 都是两位数的自然数，a ，b 的个位分别是7与5，c 的十位是1．如果它们满足等式2005ab c +=，求a b c ++的值． 49．在正2004边形122004A A A 的各个顶点上随意填上1,2,3,,501中一个数，证明：一定存在四个顶点满足如下条件： （1）这四个顶点构成的四边形是矩形； （2）此四边形相对两顶点所填数之和相等．50．对非负整数n ，满足方程2x y z n ++=的非负整数(),,x y z 的组数记为n a ． （1）求3a 的值； （2）求2001a 的值．参考答案：1．D【分析】甲利用分母有理化的知识，可求得；乙先将分子因式分解，然后约分，即可求得．【详解】解：甲：当a b 时，()a b-==当a =b 时，无意义，==①甲错误，乙正确，选项说法错误，不符合题意； 选项说法错误，不符合题意； 选项说法错误，不符合题意； 选项说法正确，符合题意; 故选D ．【点睛】本题考查了分母有理化，因式分解，解题的关键是要全面考虑a 与b 之间的数量关系． 2．C【详解】解：由已知，()69315121512c b b b b ==-=-≤，①2≤c ． 3．B【详解】解 依题意2,,3224a b c a b N c a b cM N P ++++++====，2()()1212a b c a c b c M P +--+--==． 因a b c >>，故0M P ->，即M P >．故应选B 4．A【详解】()()14143x x x x -+-≥---=，当14x ≤≤时取得等号；()()21233x x x x +-≥---=-，当23x ≤≤时取得等号；因此，1234314x x x x -+-+-+-≥+=，当23x ≤≤时取得等号．所以，1234x x x x -+-+-+-的最小值为4． 5．B【详解】设A ，B ，C ，D ，E 分别得a ，b ，c ，d ，e 分，则a ，b ，c ，d ，e 都是在92与100之间的正整数，其中a 最大，96e =排第三，且395285,394282a b c b c d ++=⨯=++=⨯=．两式相减得3a d -=．若b 排在第二，则197,97,2859192b e a b c a b ≥+=≥≥=--=<，矛盾． 若c 排第二，则97,97,2859192c a b a c ≥≥=--≤<，矛盾．若d 排第二，则97,3973100d a d ≥=+≥+=，故只可能100,97a d ==．所以选B ． 6．D【详解】（解法一）依题意可设32321(1)()()()ax bx x x ax c ax c a x a c x c ++=--+=+--+-，比较系数得(),0,1,b a c c a c =-+⎧⎪-=⎨⎪-=⎩所以1,2c a b ==-=．故选D ．（解法二）依题意21x x --是3221(1)()1ax bx ax x x ax b a x ++---=+++的因式， 所以1111a b a +==--， 解得1,2a b =-=．故选D ．（解法三）用长除法可得321(1)()(2)(1)ax bx x x ax a a b x a ++=--+++++，所以20,10,a b a +=⎧⎨+=⎩得1,2a b =-=．故选D ．7．B【分析】由题意易得出90DEC DFC ∠=∠=︒，即说明点C ，E ，D ，F 四点共圆，得出DEO FCO ∠=∠，从而易证DOE FOC ∽，得出EO DOCO FO=．由题意可求出DO CD CO =-4EO FO CO DO ⋅=⋅=．【详解】解：①DE AC ⊥，DF BC ⊥， ①90DEC DFC ∠=∠=︒， ①点C ，E ，D ，F 四点共圆，①DEF FCD ∠=∠，即DEO FCO ∠=∠．又①DOE FOC ∠=∠， ①DOE FOC ∽， ①EO DOCO FO=， ①EO FO CO DO ⋅=⋅． ①CO =CD = ①DO CD CO =-=①4EO FO CO DO ⋅=⋅==． 故选B ．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，四点共圆的知识，圆周角定理．确定点C ，E ，D ，F 四点共圆，从而可得出证明DOE FOC ∽的条件是解题关键． 8．C【详解】3322229()()93()9a b ab a b a ab b ab a ab b ab --=-++-=++-22223(2)3()3327a ab b a b =-⨯+=-==．故选C ．9．C【详解】设三个连续的正整数分别为n 1-，n ，1n +（n 为大于1的整数）．当一次项系数是n 1-或n 时，∆均小于零，方程无实数根；当一次项系数是1n +1时，22(1)4(1)3(1)4n n n n ∆=+--=--+．因为n 为大于1的整数，所以，要使0∆≥，n 只能取2．当2n =时，方程22320,2310x x x x ++=++=均有整数根，故满足要求的（a ，b ，c ）只有两组：(1,3,2)、(2,3,1)． 10．A【分析】构造矩形ABCD ， E 、F 分别为AD 、AB 的中点，设2AD b =， 2AB a =，将所求三角形面积转化为△△△△矩形=---CEF AEF BCF CDE ABCD S S S S S 即可求解． 【详解】解：如图，在矩形ABCD 中， E 、F 分别为AD 、AB 的中点， 设2AD b =， 2AB a =， ①AF BF a ==，==AE DE b ，①在Rt AEF △、Rt BCF 、Rt CDE △中，依次可得到：EFCF==CE①△△△△矩形=---CEF AEF BCF CDE ABCD S S S S S 1112222222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯a b a b a b a b142=---ab ab ab ab32ab =． 故选：A【点睛】本题考查二次根式的应用．能够通过构造矩形及直角三角形，利用等积变换将所求三角形的面积转化为矩形和几个直角三角形的面积之差．利用数形结合是解答本题的关键． 11．C【分析】联立方程组求得M 点坐标，并由只有一个交点条件求得a 、b 的关系式， 再由新定义和2||4M ≤≤列出b 的不等式，，求得b 的取值范围，由2242022t b a =-+，得出t 关于b 的二次函数解析式，再根据函数的性质求得t 的取值范围．【详解】解：①抛物线21y ax bx =++与直线y x =只有一个交点M ，①方程组21y x y ax bx =⎧⎨=++⎩只有一组实数解， ①()2110ax b x +-+=，①()2140b a =--=△， ①()21b =-4a ，即()2114b =-a ， ①方程()2110ax b x +-+=可以化为()()22111104b x b x -+-+=， 即()()2214140b x b x -+-+=， ①1221x x b ==-， ①1221y y b==- ①22,11M b b ⎛⎫ ⎪--⎝⎭， ①点M 在第一象限， ①10b ->， ①2||4M ≤≤， ①222||||411b b≤+≤--， ①2121b≤≤-， 解得：10b -≤≤， ①2242022t b a =-+，①()()22221202212020t b b b =--+=++， ①10b -≤≤，①t 随b 的增大而增大， ①1b时，2020t =，0b =时，2021t =，①t 的取值范围为20202021t ≤≤． 故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的性质、二元二次方程组、一元二次方程及其判别式、一元一次不等式组等知识．把问题转化为方程或方程组，构建二次函数并且利用二次函数的性质解决问题是解题的关键． 12．A【详解】123453,3,3,3,3，……的末位数字分别为3，9，7，1，3，……，它们是以3，9，7，1四个数为一个周期循环出现的．而199144973=⨯+，所以19913的末位数字与33的末位数字相同，都为7．因此，1991331991+的末位数字与71+的末位数字相同，都为8． 13．B【详解】解法一 首先4个数1，3，6，8满足题目要求，故所求k 的最大值4≥． 若5k ≥，记第n 个数为(1,2,,)n a n k =，且12 k a a a <<<，则分下列几种情形：（1）1a 为奇，2a 为奇，于是21a a -为偶数． 又21a a -为质数，故212a a -=，即212a a =+．若3a 为奇数，又32a a ≠，故31a a -为不等于2的偶数，即31a a -为不小于4的偶数，即31a a -为合数，矛盾．故3 a 为偶数，4a 也只能为偶数．那么，若5a 为奇，则51312a a a a ->-≥为偶数，即51a a -为不小于4的偶数，从而51a a -为合数，矛盾．若5a 为偶数，则53432a a a a ->-≥为偶数，从而53a a -为合数，矛盾． （2）1a 为奇，2a 为偶，于是21a a -为奇数，即213a a -≥． 若3a 为奇数，则31213a a a a ->-≥为偶数，故31a a -为合数，矛盾． 所以3a 为偶数，且322a a -=．若4a 为奇数，则41313a a a a ->-≥为不小于4的偶数，即41a a -为合数，矛盾． 若4a 为偶数，则42322a a a a -->=为不小于4的偶数，即42a a -为合数，矛盾． （3）1a 为偶，2a 为奇或偶，都类似于（1），（2）可导致矛盾． 综上得所求k 的最大值是4，故选B ．解法二 同解法一得4k ≥．若5k ≥，则将全体正整数分为4个不相交的子集1M ，2M ，3M ，4M ，其中i M 由全体被4除余i 的正整数组成(0,1,2,3)i =于是任取5k ≥个数，其中必有2个数a ，b （a b >）属于同一个子集i M ，于是a b -被4整除，a b -不是质数，矛盾．故所求k 的最大值等于4． 14．B 【详解】原式0⇔==，0>0=，即2003 xy =．又2003是质数，所以1,2003x y =⎧⎨=⎩或2003,1.x y =⎧⎨=⎩故选B15．C【详解】选C ．理由：已知1997年7月1日是星期二，则易推知1997年6月9日是星期一．而1898年6月9日至1997年6月9日共99年，其中闰年24次，所以 993652499244(mod7)⨯+≡+≡， 1434(mod7)-≡-≡．16．D【详解】解：要使x 有意义，必须且只需(2)(1)0,(2)(1)0,(2)(1)0,1,110,21101a a a a a a a a a a a ⎧--≥⎪⎧--=--≥⎪⎪⎪⇒≠⇒=-⎨⎨-≠⎪⎪≠⎩⎪+≠⎪-⎩． 所以1988198********05(1)1()(2)(2)1611(1)12x ⨯⨯-+=+=-=-=--+， 故x 的个位数字为6， 故选：D ． 17．C【详解】对A ，因2222()2()0a b c ab bc ca +-++=+，即222()()()0a b b c c a -+-+-=，所以0a b b c c a -=-=-=，即a b c ==，故A 成立． 对B ，因3332223()()a b c abc a b c a b c ab bc ca ++-=+++++++ 2221()[]()()()02a b c a b b c c a =++-+-+-=， 所以0a b c ++=，或a b c ==，不一定有a b c ==，故B 不成立． 对C ，因44442222220a b c d a b c d +++--=，即222222()()0a b c d -+-=，所以2222,a b c d ==，即,a b c d =±=±，不一定有a b c d ===，故C 不成立． 对D ，因422442242222(2)(2)2240a a b b c c d d a b c d abcd -++-+++-=， 即2222222()()2()0a b c d ab cd -+-+-=，故2222,,a b c d ab cd ===，由此可推出a b c d ===或a b c d =-==-，不一定有a b c d ===成立，故D 不成立，所以本题应选B 、C 、D ．（注：若限定a b c d ,,,都为正数，则B 和D 成立，答案应选C ．） 18．C【详解】设1分、2分和5分的硬币分别取了x 枚、y 枚和z 枚，依题意得10025300x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩①②，②-①得4200y z +=，可见y 是4的倍数，设4y k =，则100453008x z k x z k +=-⎧⎨+=-⎩，解得503450x k y k z k=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩． 因为x 为非负整数，故5030k -≥，即016,k k ≤≤可取0,1,2,,16中任何一个，有17种取法，从而y 可取0,4,8,,64中任何一个，也有17种取法，故选C ．19．B【详解】理由：当0,1,2m =时，424m m -+都是完全平方数．当3m ≥时，()()22242214m m m m -<-+<，故424m m -+都不是完全平方数．所以，符合条件的自然数m 只有3个． 故选：B 20．A【详解】选A ．理由：考察S 的三个因数和的奇偶性． 21．1或3##3或1【分析】一元一次不等式即为含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式，据此即可确定k 的值．【详解】①|2| 43k x -<是关于x 的一元一次方程， ①21k -=，即21k -=±， 解得：k ＝1或3，故答案为：1或3．【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，准确理解定义中“一元”与“一次”的含义是解题的关键． 22．-1【分析】根据偶数次幂和绝对值的非负性，求出x ，m 的值，进而即可求解． 【详解】解：①（x ﹣3）2＋|m ＋1|＝0，且（x ﹣3）2≥0，|m ＋1|≥0， ①（x ﹣3）2=0，|m ＋1|＝0， ①x =3，m =-1， ①()311x m =-=-． 故答案是：-1．【点睛】本题主要考查非负数和的性质，代数式求值，掌握偶数次幂和绝对值的非负性，是解题的关键． 23．-15147【详解】323334!3100a b -=-⨯-⨯-⨯--⨯ 3(23!100)3995115147=-⨯+++-⨯⨯=-24．11【详解】①a ，b 是一元二次方程210x x --=的两根，①1ab =-，1a b +=，21a a =+，21bb =+.①332222343423(1)42(1)3362a b a b b a a b b a a b a++=++=++++=+++ 3(1)3626()511a a b a b =++++=++=.25．1634【详解】①2232n n --是6的倍数，①()22232n n --，①23n ，①2n ，设2n m =（m 是正整数），则()22228626612232m m m m m n n =--=-+---．①2232n n --是6的倍数，①21m -是3的倍数，①31m k =+或32m k =+，其中k 是非负整数．①()23162n k k =+=+或()23264n k k =+=+，其中k 是非负整数． ①符合条件的所有正整数n 的和是()()2814869298410168288941634+++⋅⋅⋅+++++++⋅⋅⋅+++=．26．10【分析】利用勾股定理和正方形的面积公式可得+=四边形四边形四边形ABHL ACMN BCEG S S S ，利用正方形的性质证明()Rt ABC Rt HBG HL ≌和()DBC FCE ASA ≌，根据全等三角形的面积相等，从而得出5=△HBG S ，5=四边形ADEF S ，再根据三个正方形面积的关系可得出5+=△四边形FGL DCMN S S ，从而可得阴影面积之和．【详解】解：如图，设AC a =，AB b =，BC c =， ①在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，5ABCS =①222+=a b c ，①四边形BCEG ，四边形ABHL 和四边形ACMN 都是正方形，①2=四边形BCEG S c ，2=四边形ABHL S b ，2=四边形ACMN S a ，①+=四边形四边形四边形ABHL ACMN BCEG S S S ， ①四边形BCEG 和四边形ABHL 是正方形， ①BC BG =，BA BH =，90H ∠=︒， ①HBG 是直角三角形， 在Rt ABC 和Rt HBG △中，BC BGBA BH=⎧⎨=⎩， ①()Rt ABC Rt HBG HL ≌ ①5==△△HBG ABC S S ，①四边形BCEG 和四边形ABHL 是正方形， ①BC CE =，90∠=∠=︒BCD CEF ，①90∠+∠=︒DBC BCA ，90∠+∠=︒FCE BCA ， ①∠=∠DBC FCE ， 在在DBC △和FCE △中，DBC FCE BC CEBCD CEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，①()DBC FCE ASA ≌， ①=△△DBC FCE S S ，①+=+△△△四边形ABC ACD ACD ADEF S S S S ， ①5==△四边形ABC ADEF S S ，①+=四边形四边形四边形ABHL ACMN BCEG S S S ，又①5=++=++△△△四边形四边形四边形HBG FGL FGL ABHL ABGF ABGF S S S S S S ， =+△四边形四边形ACD ACMN DCMN S S S ，=+++△△四边形四边形四边形ABC ACD BCEG ADEF ABGF S S S S S 55=+++△四边形ACD ABGF S S10=++△四边形ACD ABGF S S ，①5+=△四边形FGL DCMN S S ，①5510++=+=△△四边形HBG FGL DCMN S S S ， ①图中阴影部分面积之和为10． 故答案为：10．【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等角的余角相等等知识，运用了等积变换的思想方法．运用等积变换是解题的关键． 27．三【详解】111111158737,200033362=⨯=⨯+，所以200011111个被7除的余数与11被7除的余数相同．因为11714=⨯+，所以从今天算起的第200011111个天是星期三．28．68【详解】解：注意到12361++++616218912⨯==，20081891117-=．因为形如ab 的页码被当成ba 后，加得的和将相差|(10)(10)|9||b a a b b a +-+=-，并且a ，b 只能在1，2，…，9中取值，||8b a -≤，9||72b a -≤．设弄错的两数是ab 和cd ，则9||9||117b a d c -+-=，而将117写成两个正整数之和，其中每个数既要不大于72，又要是9的倍数，只有下列两种可能：11772456354=+=+．当9||72b a -=，9||45d c -=时，||8b a -=，||5d c -=，则只有19ab =，而cd 可取16，27，38，49，此时ab cd +的最大值是194968+=．当9||63b a -=，9||54d c -=，即||7b a -=，||6d c -=，此时ab 可取18，29，cd 可取17，28，39，则ab cd +的最大值是293968+=． 综上所述，ab cd +的最大值是68，故应填68． 29．432【详解】解 因题目中条件去分母整理后可写为：()()()223323333346364460x y x y -+--⋅-+-⋅=，（()()()223323333546564460x y x y -+--⋅-+-⋅=，故依题目条件知33t =或35t =是关于t 的方程()()23333334664460t x y t x y -+---+-⋅=的两根．由韦达定理，得33333546x y +=+--， 所以33333456432x y +=+++=． 30．23x ≤≤【详解】由22232(3)25x x x x x x x -=----=---=-，得2030x x -≥⎧⎨-≤⎩即23x ≤≤．故填23x ≤≤．31．1【详解】解：设2521m n ⨯+=（其中n 为正整数）， 则2521(1)(1)m n n n ⨯=-=+-，①52m ⨯是偶数，①n 为奇数，设21n k =-（其中k 是正整数），则524(1)m k k ⨯=-，即()2521m k k -⨯=-，显然1k >，①k 和1k -互质，①25211m k k -⎧=⨯⎨-=⎩或2512m k k -=⎧⎨-=⎩或2215m k k -⎧=⎨-=⎩， 解得：5k =，4m =．因此，满足要求的整数m 只有1个．故答案为：1．32．①①①①【分析】利用正方形的性质，通过证明三角形全等以及利用四点共圆的判定和圆周角定理逐一判断即可得出正确答案．【详解】解:①正方形ACDE 和正方形BCGF ，①CB CG =，AC CD =，ACD BCG ∠=∠；①ACD DCG BCG DCG +=+∠∠∠∠，即ACG BCD =∠∠，①()ACG DCB SAS △≌△，①AG BD =，CAG CDB =∠∠①①正确；①CAG CDB =∠∠，①点A 、D 、O 、C 四点共圆，如图，连接AD ，①°=45AOC ADC =∠∠，故①正确；同理可证°=45BOC ∠，①°=45AGC OCG BDC OCD +=+∠∠∠∠，由()ACG DCB SAS △≌△知=AGC DBC ∠∠，而DBC ∠与BDC ∠不一定相等，①OCG ∠与OCD ∠不一定相等，因此①不一定成立；如图，延长CM 至H ，使MH =CM ，连接AH ，①M 点是AB 的中点，①AM =BM ，又①=AMH BMC ∠∠，①()AMH BMC SAS △≌△，①AMH BMC S S =△△，①AHC ABC S S =△△①AH =BC ，=MAH MBC ∠∠①AH =CG ，=CAH CAM MAH CAM MBC +=+∠∠∠∠∠，①°=180CAM MBC ACB ++∠∠∠，°°°°=3609090=180DCG ACB +--∠∠，①=CAM MBC DCG +∠∠∠，即CAH DCG =∠∠，①()AHC CGD SAS △≌△，①AHC CGD S S =△△，①ABC CGD S S =△△，故①正确；由()AHC CGD SAS △≌△，①ACH CDN =∠∠，①°°==180=90CDN DCN ACM DCN ACD ++-∠∠∠∠∠，①°=90CND ∠，故①正确；因此①①①正确；故答案为：①①①①．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、四点共圆的判定、圆周角定理、倍长中线法构造全等三角形等内容，本题综合性较强、需要学生熟练掌握相关知识并进行灵活运用，本题蕴含了数形结合的思想方法等．33．504【详解】解 填504，理由：从1，2，…，2008中选出两个偶数，和为2012的共有501组，即42008+，62006+，…，10041008+．由于2或1006与其中的任意一个偶数之和均不等于2012，因此，至少取出50121504++=个偶数，才能保证其中一定有两个偶数之和为2012.34．21，42，63，84 【详解】设所有两位数是xy ，则10()x y k x y +=+．其中k 是正整数，且为7的倍数．当7k =时，107()x y x y +=+，即2x y =．当1y =时，2x =；2y =时，4x =；3y =时，6x =；4y =时，8x =．当14k =时，1014()x y x y +=+，即4130x y +=．此方程无正整数解．当21,28,k =⋅⋅⋅⋅⋅⋅，方程均无正整数解．所以满足条件的两位数是：21，42，63，84．35．1【分析】先将原方程等号左边部分因式分解，可得2()()32x y x y +-=，根据题意列举出两个正整数乘积为32的情况，考虑到因式分解后含有2()x y +，在保证正整数集的条件下，可列出三个二元一次方程组，分别解方程组即可获得答案．【详解】解：3322x y x y xy -+-22()()x x y y x y =+-+22()()x y x y =+-()()()x y x y x y =++-2()()x y x y =+-，由题意可知2()()32x y x y +-=，列举出两个正整数乘积为32的情况，可以有以下三种（只是因数位置不同的算一种）， 13232⨯=，21632⨯=，4832⨯=，①因式分解后含有2()x y +，在保证正整数集的条件下，则有0x y +>，又①211=，224=，2416=，①根据题意可列出方程组为132x y x y +=⎧⎨-=⎩或28x y x y +=⎧⎨-=⎩或42x y x y +=⎧⎨-=⎩， 解第一个方程组，可得16.515.5x y =⎧⎨=-⎩， 解第二个方程组，可得53x y =⎧⎨=-⎩， 解第三个方程组，可得31x y =⎧⎨=⎩， 只有第三个方程组的解均为正整数，因此原方程的正整数解得个数为1个．故答案为：1．【点睛】本题主要考查了因式分解的应用以及解二元一次方程组，灵活运用相关知识，正确进行因式分解是解题关键．36．132x = 【详解】解 原方程化为2222111111215217292x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即111111215217292x x x x+=+----， 即111111292172152x x x x-=-----， 通分得22(112)(92)(172)(152)x x x x --=----， 去分母(172)(152)(112)(92)x x x x --=--，即2225564499404x x x x -+=-+． 解之得132x =．经检验132x =是原方程的根． 故填132x =． 37．4【详解】理由：22(1)320060x x y x ---+=，即2(1)232006x y x x -=-+．显然1x =不满足方程，故1x ≠． 因此22320061x x y x -+=- (1)(21)20051x x x --+=- 2005211x x =-+-． 从而12005x -．由于20054015=⨯，故取2,6,402,2006x =，分别可得相应的正整数y ，故共有4对正整数解．38． 329 335或334【详解】要使10a 最大，必须1a ，2a ，3a ，4a 及6a ，7a ，8a ，9a ，10a 尽量小．又因为1210a a a <<<，且1a ，2a ，3a ，4a 的最小可能值依次为1，2，3，4，于是有2000123≥+++56104a a a ++++，即56101990a a a +++≤．又651a a ≥+，752a a ≥+，853a a ≥+，954a a ≥+，1055a a ≥+，故51990615a ≥+，51975132966a ≤=．又5a 为正整数，所以5329a ≤，于是6710a a a +++=199********-=．又761a a ≥+，862a a ≥+，963a a ≥+，1064a a ≥+，故65101661a +≤，616515a ≤=13305，且6a 为正整数，所以6330a ≤，而651330a a ≥+=，所以6330a =，要7a ，8a ，9a 最小得7331a =，8332a =，9333a =，这时101661a =-()6789335a a a a +++=．但如果取1a ，2a ，3a ，4a 依次为1，2，3，5，那么同样可得569,,,a a a 取上述值，这时10334a =．故应填5a 的最大值是329，这时10a 的值应是335或334．39 【分析】先根据条件证明()ASA BCN DCP ≌△△，再由1010DQ BP BQ BN --=得出120BED ∠=︒，进而有E 在以O 为圆心，BO 为半径的圆上，再延长CA 至F 使得，)1OF OE =，构造AOE EOF ∽△△，从而有)1CE AE CE EF CF +=+≥，再由勾股定理求出CF 即可．【详解】解：四边形ABCD 是正方形，BC CD ∴=，BCN DCP ∠=∠，DM BN ⊥，NBC PDC ∴∠=∠，(ASA)BCN DCP ∴△≌△，CP CN ∴=，5AB =， ∴1010DQ BP BQ BN --=可以变形为552DQ BP BQ BN AB -+-=， ∴2CQ CP BQ BN AB +=， ∴2CQ CN BQ BN AB +=， ∴2QN BQ BN AB=， 在BQN △中，由正弦定理得到sin sin QN BN QBN BQN=∠∠，∴sin 1sin 22QBN QN BQ BQ BQN BN AB BC∠===⋅∠， 在Rt BQC △中，sin BC BQC BQ ∠=， ∴sin 111sin 22sin QBN BQ BQN BC BQC∠=⋅=⋅∠∠， BQC BQN ∠=∠，1sin 2QBN ∴∠=， 30QBN ∴∠=︒，120QBC BCD PCQ BED ∴∠+∠+∠=∠=︒，连接BD ，AC 交于G 点，在BD 上取一点O ，连接BO 、CO ，使得120BQD ∠=︒，则在以O 为圆心，BO 为半径的圆上，延长CA 至F 使得，)1OF OE =，如图所示：5AB =，BD AC ∴==BO OE ∴==，12AG GC AC ===， 30OBG ∠=︒，12OG OB ∴==，OA ∴=∴1OEOA=，∴OE OFOA OE=，AOE EOF∠=∠，AOE EOF∴△∽△，)1EF AE∴=，)1CE AE CE EF CF∴+=+≥，CF OF OC=+，)1CF OE OC∴=+=)1CE AE∴+，．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、正弦定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理，解决此题的关键是根据正弦定理将1010DQ BP BQBN--=转化为120BED∠=︒，判断出E在以O为圆心，BO为半径的圆上，构造AOE EOF△∽△将)1CE AE+最小值转化为CF．40．1716PC<<【分析】首先利用光的反射定律及等边三角形的性质证明①P0P1C①①P2P1A①①P2P3B，再根据相似三角形对应边成比例得到用含P3B的代数式表示P1C的式子，然后由1＜BP3＜32，即可求出P1C长的取值范围．【详解】解：①反射角等于入射角，①①P0P1C＝①P2P1A＝①P2P3B，又①①C＝①A＝①B＝60°，①①P0P1C①①P2P1A①①P2P3B，①01P CPC＝21P AP A＝23P BP B，设P1C＝x，P2A＝y，则P1A＝2﹣x，P2B＝2﹣y．①1x ＝2y x-＝32y P B -， ①322xy x x xy P B =-⎧⎨-=⎩， ①x ＝13（2+P 3B ）． 又①1＜BP 3＜32， ①1＜x ＜76， 即P 1C 长的取值范围是：1＜P 1C ＜76． 故答案为：1＜P 1C 76<． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质，解题的关键是根据等边三角形的性质找出对应点是解此题的关键，难度较大．41．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）应用作矩形的对角线的方法；（2）因为ACD APH ≅，求出PH 的值，然后求出PQ 的值，根据相似三角形的性质2NPQ APH SPQ S PH ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求出NPQ ∆的面积，计算右部分面积之和． (1)解：答案不唯一，合理即可，以下画法仅供参考．(2),,CDA PHA AD AH CAD PAH ∠=∠=∠=∠，∴ACD APH ≅，ACD APH S S ∴=，PH CD ==，1PQ HQ PH ∴=-==， ,APH NPQ AHP NQP ∠=∠∠=∠，∴APH NPQ ~，2NPQ APH SPQ S PH ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭， 221•••12NPQ APH PQ PQ S S CD PH CD ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 22PQ CD=， 22⎛=÷ ⎝⎭⎝⎭，12=， ①在直线CN 右侧部分的面积=6个小正方形的面积+NPQ △的面积113622=+=， ①直线CN 等分洛林十字架． 【点睛】本题考查图形面积的等积变化，涉及知识点：全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质（相似三角形面积的比等于相似比的平方），解题关键应用相似三角形面积的比等于相似比的平方．42．(1)12，45；(2)见解析；(3)8，2【分析】（1）根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半解答；（2）由题意知，CD 垂直平分BE ，连接BF ，则BF=EF ，求得①EBF =①AEB ＝45°，利用外角的性质得到①AFB =①EBF +①AEB ＝90°，即可得到结论；（3）当点A 、C 、E 在一条直线上时，线段AE 最大，最大值为4+4=8，当MF ①BC 时线段MF 最小，根据BC 的中点M ，得到CF=BF ，设BG=FG=x ，则x ，CG+1)x ，由勾股定理得222CG BG BC +=，求出28x =-222BM MF BF +=，即可求出2MF =．【详解】（1）解：①AC ＝BC ＝EC ，①A 、B 、E 三点在以C 为圆心以AC 为半径的圆上， ①①AEB ＝12①ACB ， ①①AEB ＝45°． 故答案为：12，45；（2）解：由题意知，CD 垂直平分BE ， 连接BF ，则BF=EF ， ①①EBF =①AEB ＝45°． ①①AFB =①EBF +①AEB ＝90°． ①①ACB ＝90°，①A 、B 、F 、C 在以AB 为直径的圆上，即A 、B 、F 、C 四点共圆；（3）解：当点A 、C 、E 在一条直线上时，线段AE 最大，最大值为4+4=8， 当MF ①BC 时线段MF 最小， ①BC 的中点M ， ①CF=BF ，设BG=FG=x ，则，CG x ， ①222CG BG BC +=，①2221)4x x ⎡⎤+=⎣⎦，得28x =- ①222BM MF BF +=，①2222)MF +=，得2MF =，故答案为：8，2 ．．【点睛】此题考查了圆周角定理，四点共圆的判定及性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟记各知识点并熟练应用解决问题是解题的关键． 43．见解析【分析】利用三角形的中线将三角形分为面积相等的两个三角形，将三角形空地分成面积相等的四块．【详解】解：划分方案如图所示【点睛】本题考查了与三角形中线有关的等面积问题，解决本题的关键是构造三角形的中线． 44．见解析【详解】证明 将M 分为下列4个点集： {}(,)1,2,3,4,5,(1,2,3,4)i M x y x y i i ====．则由第二抽屉原理知1234,,,M M M M 必有一个集合内至多有1124⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个红色点，不妨设4M ，内至多有2个红色点，从而123M M M 内至少有1129-=个红色点．再将123M M M 分成下列5个点集：{}(,),1,2,3(1,2,3,4,5)i N x y x i y i ====．由第二抽屉原理，12345,,,,N N N N N 必有一个集合内至多有915⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个红色点，不妨设5N 内至多有1个红色点，从而1234N N N N 内至少有918-=个红色点，又将1234N N N N 分成下列3个点集：{}(,)1,2,3,4,(1,2,3)j M x y x y j j '====．由第二抽屉原理知123,,M M M '''中必有一个集合内至多有823⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个红点，不妨设3M '内至多有2个红色点，从而{}12(,)1,2,3,4,1,2M M x y x y ''⋃===内至少有826-=个红色点，又将12M M ''，分为4个集合：{}(,),1,2(1,2,3,4)i N x y x i y i '====．因为这4个集合内一共至少有6个红色点，且每个集合内只有2点，故必有2个集合内有2个红色点（否则这4个集合内一共至多只有11125+++=个红色点，矛盾）．不妨设13,N N ''内4个点都为红色点，这4点即为一个矩形的4个顶点，且矩形的边与坐标轴平行，从而完成了题目的证明． 45．见解析【详解】由8316378+=()82161161778578++⨯及()8216157|78+，得()8316357|78+．46．6【详解】设10个学生为1210,,,a a a ，n 个课外活动小组为12,,,n B B B ．首先，每个学生至少参加了两个课外活动小组，否则，若有某个学生只参加一个课外活动小组，不妨设这个学生为1a ，他参加的小组为1B ，则由于每两个学生都至少参加一个小组，所以1B 内就有10个人了，于是对1B ，2B 不存在两人，他们都不在1B 、2B 内．矛盾． 若有一个学生恰参加两个课外活动小组，不妨设1a 恰参加1B 和2B ，由题设，至少有两个学生，他们没有参加这两组，于是，他们与1a 没有参加同一个小组，矛盾． 所以，每个学生至少参加三个课外活动小组． 于是参加n 个课外活动小组1120,,,B B B 的人数之和不小于31030⨯=．另一方面，每个课外活动小组至多有5人参加，所以n 个小组12,,,n B B B 至多有5n 人参加，故530n ≥，6n ≥． 下面例子说明6n =可以达到．。
全国初中数学竞赛试题(含答案)-20220207144625
全国初中数学竞赛试题（含答案）20220207144625一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数是质数？A. 2B. 3C. 4D. 52. 如果一个三角形的两边长分别为3和4，那么这个三角形的周长可能是多少？A. 7B. 10C. 11D. 123. 下列哪个分数可以化简为最简分数？A. 2/4B. 3/6C. 4/8D. 5/104. 一个正方形的面积是36平方厘米，那么这个正方形的边长是多少厘米？A. 6B. 7C. 8D. 9二、填空题（每题5分，共20分）1. 7的平方根是______。
2. 0.25的小数点向右移动两位后是______。
3. 一个等边三角形的边长是10厘米，那么这个等边三角形的周长是______厘米。
4. 下列哪个数是立方数？A. 2B. 3C. 4D. 5三、解答题（每题10分，共30分）1. 解方程：2x 5 = 11。
2. 计算下列表达式的值：3(2 + 4) 7。
3. 一个长方形的长是8厘米，宽是4厘米，求这个长方形的面积。
四、答案部分一、选择题1. A2. B3. A4. D二、填空题1. ±√72. 253. 304. C三、解答题1. x = 82. 133. 32平方厘米全国初中数学竞赛试题（含答案）20220207144625四、应用题（每题15分，共30分）1. 小明家有一块长方形的地，长是12米，宽是8米。
小明计划将这块地分成两个相同大小的正方形区域。
请问每个正方形的边长是多少米？2. 小红有一笔钱，她将其中的1/3用于购买书，剩下的钱再将其中的1/2用于购买文具。
她剩下的钱是100元。
请问小红最初有多少钱？五、证明题（每题15分，共30分）1. 证明：对于任意实数a和b，如果a < b，那么a² < b²。
2. 证明：等腰三角形的底角相等。
六、答案部分四、应用题1. 每个正方形的边长是6米。
2. 小红最初有300元。
初中数学全国竞赛试题及答案
初中数学全国竞赛试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. -1D. 22. 如果一个数的平方等于16，那么这个数是：A. 4B. ±4C. 16D. ±163. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边的长度是：A. 5B. 6C. 7D. 84. 将一个圆分成四个相等的扇形，每个扇形的圆心角是多少度？A. 45°B. 60°C. 90°D. 120°5. 一个数的立方等于-8，这个数是：A. -2B. 2C. -8D. 8二、填空题（每题2分，共10分）6. 一个数的平方根等于它本身，这个数是______。
7. 如果一个数的绝对值等于5，那么这个数可以是______。
8. 一个数的倒数是1/4，那么这个数是______。
9. 一个数的平方是25，这个数可以是______。
10. 一个数的立方根是2，那么这个数是______。
三、解答题（每题10分，共30分）11. 已知一个长方体的长、宽、高分别是a、b、c，求长方体的体积。
12. 一个圆的半径是r，求圆的面积。
13. 已知一个等腰三角形的两个腰长为a，底边长为b，求三角形的面积。
四、证明题（每题15分，共30分）14. 证明：直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。
15. 证明：如果一个角的余弦值等于1/2，那么这个角是60°。
五、应用题（每题20分，共20分）16. 某工厂生产一种零件，每个零件的成本是5元，售价是10元。
如果工厂想要获得10000元的利润，需要生产和销售多少个这种零件？初中数学全国竞赛试题答案一、选择题1. B2. B3. A4. C5. A二、填空题6. 0或17. ±58. 49. ±510. 8三、解答题11. 长方体的体积 = 长× 宽× 高= a × b × c。
初中数学竞赛试题及答案pdf
初中数学竞赛试题及答案pdf一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B2. 一个数的平方等于9，这个数是？A. 3B. -3C. 3或-3D. 以上都不是答案：C3. 计算下列算式的结果：(2x + 3)(2x - 3) = ?A. 4x^2 - 6x + 6B. 4x^2 - 9C. 4x^2 + 6x - 9D. 4x^2 + 9答案：B4. 如果一个三角形的两边长分别为3和4，且这两边之间的夹角为90度，那么这个三角形的周长是多少？A. 7B. 8C. 9D. 10答案：D5. 以下哪个分数是最简分数？A. 3/6B. 4/8C. 5/10D. 7/14答案：A6. 一个圆的直径是10厘米，那么它的面积是多少平方厘米？A. 25πB. 50πC. 100πD. 200π答案：C7. 以下哪个是完全平方数？A. 36B. 49C. 64D. 81答案：C8. 一个数的立方等于-8，这个数是？A. -2B. 2C. -2或2D. 以上都不是答案：A9. 计算下列算式的结果：(a + b)^2 = ?A. a^2 + 2ab + b^2B. a^2 - 2ab + b^2C. a^2 + b^2D. a^2 - b^2答案：A10. 如果一个数的绝对值是5，那么这个数可能是？A. 5B. -5C. 5或-5D. 以上都不是答案：C二、填空题（每题4分，共20分）11. 一个数的平方根是2，那么这个数是______。
答案：412. 一个等差数列的首项是2，公差是3，那么这个数列的第5项是______。
答案：1713. 一个等腰三角形的底边长是6厘米，两腰长分别是8厘米，那么这个三角形的周长是______厘米。
答案：2214. 如果一个数除以3余2，除以5余1，那么这个数可能是______（写出一个符合条件的数即可）。
答案：1115. 一个直角三角形的两直角边长分别是3厘米和4厘米，那么这个三角形的斜边长是______厘米。
初中数学竞赛模拟题50题含参考答案
初中数学竞赛模拟题50题含答案一、单选题1．今年5月8日母亲节，大鹏用30元钱购买了“康乃馨”和“百合”两种花若干支，作为送给妈妈的节日礼物．已知康乃馨花每支2元，百合花每支3元（两种花都买），大鹏购买方案共有（ ）A ．3种B ．4种C ．5种D ．6种 2．定义运算，则2a b a b ⊗=-，则25⊗=（ ）A ．-1B ．1C ．2D ．8 3．一个四位数aabb 为平方数，则a b +的值为（ ）A ．11B ．10C ．9D ．8 4．在ABC 中，12ABC ∠=︒，132ACB ∠=︒，BM 和CN 分别是这两个角的外角平分线，且点M ，N 分别在直线AC 和直线AB 上，则（ ）A ．BM CN >B ．BM CN =C ．BM CN <D ．BM 和CN 的大小关系不确定 5．六名运动员A B C DEF ，，，，，比赛中国象棋，每两人赛一局．第一天A 与B 各赛了3局D ，与C 各赛了4局E ，赛了2局，而且D 和B A ，和C 之间都还没赛过，那么F 已赛了多少局（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 6．如图，AI 、BI 、CI 分别平分BAC ∠、ABC ∠、ACB ∠，ID BC ⊥，ABC 的周长为18，3ID =，则ABC 的面积为（ ）A ．18B ．30C ．24D ．27 7．分母是2007的正的最简真分数有（ ）个．A ．675B ．326C ．1329D ．1332 8．假设时间用十进制表示，即每天有10个小时，每小时有100分钟．按照十进制生00；7：50对应下午6：00．在十进制下，如果一个人想在早上6：36醒来，那么他应该将新电子闹钟定时在（ ）A ．2：00B ．2：25C ．2：50D ．2：759．设[]t 表示不超过实数t 的最大整数，令{}[]t t t =-.已知实数x 满足33118x x +=，则{}1x x ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭（ ）A ．12 B ．3C ．(132 D ．110．1234x x x x -+-+-+-的最小值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．1011．对任意的整数x ，y ，定义@x y x y xy =+-，则使得()()()@@@@@@0x y z y z x z x y ++=的整数组(),,x y z 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．412．一个盒子中有红球m 个、白球10个，黑球n 个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得是白球的概率与不是白球的概率相同，那么,m n 的关系是（ ）． A ．10m n += B ．5m n += C ．10m n == D ．2,3m n == 13．能整除任意三个连续整数之和的最大整数是（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．614．一个六位数它是一个完全平方数，且末三位数字都是4，这样的六位数有（ ）个．A ．2B ．3C ．4D ．515．若一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，则称这个正整数为“神秘数”（如22420=-，221242=-，222064=-），下列关于神秘数的叙述，正确的个数为（ ）．①2008是神秘数；①任意两个正奇数的平方差是神秘数；①任意两个正奇数的平方差不是神秘数；①在1~100这100个数中，神秘数有13个．A ．1B ．2C ．3D ．416．a ，b ，c 不全为0，满足3330,0a b c a b c ++=++=．称使得0n n n a b c ++=恒成立的正整数n 为“好数”，则不超过2007的正整数中好数的个数为（ ）A 2B 1004C 2006D 200717m 的和为（ ）．A ．401B ．800C ．601D ．1203二、填空题18．已知n n 的最小值为___________．19．方程4(34)16x -=的根是______．20．已知实数x y ，满足2510x x y ++-=，则x y +的最大值为_______．21．如图，在边长为6的正ABC 中，D ，E 分别在边AC ，AB 上，13AD AC =，23AE AB =，BD ，CE 相交于点F ，则点A ，D ，F 所在圆的半径______．22．设m 是整数且方程2320x mx +-=的两根都大中95-而小于37，则m =_____． 23．若素数p ，q 满足2337431pq p q p +=++，则p q +=______．24．设x =a 是x 的小数部分，b 是x -的小数部分，则333a b ab ++=__________ ．25．1998年某人的年龄恰等于他出生的公元年数的数字之和，那么他的年龄是__________岁．26．函数|1||2||3|y x x x =+++++，当x =_______时，y 有最小值，最小值等于_______．27．方程1111997x y +=中的x ，y 均取正整数时，得出的解(,)x y 叫做方程的一个正整数解，则这个方程的正整数解有_______个．28．两个正整数的和比积小1997，并且其中一个是完全平方数，则较大数与较小数的差是___________．29．有8个整数，它们都不是5的倍数，那么它们的4次方的和被5除，得到的余数是__________．30．如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB ＝AC ＝5，点D 在AC 上，且2AD =，点E是AB上的动点，连结DE，点F，G分别是BC，DE的中点，连接AG，FG，当AG ＝FG时，线段DE长为______31．学校食堂某窗口销售烤肠、汉堡、可乐和盒饭四个品种的食品，每个品种的单价均为整数，若汉堡的单价比烤肠的单价多3元，可乐的单价比烤肠的单价髙50%，盒饭的单价是汉堡单价的4倍与可乐单价的差．某日烤肠和汉堡一共销售了120份，且烤肠的销售大于40份，盒饭与烤肠的销售量之和不超过400份，而可乐的销售量为60份，当日这四种食物的平均售价是汉堡单价的52倍，则四种食物当日销售总量的最大值为______．32．一个四位数能被9整除，去掉末位数字后所得的三位数恰是4的倍数，则这样的四位数中最大的一个的末位数字是_______．33．一个六位数，如将它的前三位数字与后三位数字整体互换位置，则所得的新六位数恰为原数的6倍．此六位数为___________．34．代数式110x的最小值是_______．35．有一个四位数，把它从中间分成两半，得到前、后两个二位数．将前面的二位数末尾添一个0，然后加上前、后两个二位数的乘积，恰好等于原来的四位数．又知道原数的个位数字是5，那么这个四位数是_________．36．如图所示，已知边长为2的正三角形ABC中，P0是BC边的中点，一束光线自P0发出射到AC上的P1后，依次反射到AB、BC上的点P2和P3，且1＜BP3＜32（反射角等于入射角），则P1C的取值范围是_____．37．如图，在四边形ABCD 中，90BCD ∠=︒，BC =，60BAC ∠=︒，若=5AB ，=2AD ，则线段AC 的长为______．三、解答题38．阅读下列材料，解答提出的问题．我们知道，二元一次方程1x y +=有无数组解，如果我们把每一组解用有序数对(),x y 表示，就可以标出一些以方程1x y +=的解为坐标的点，过这些点中的任意两点可以作一条直线，发现其它点也都在这条直线上．反之，在这条直线上任意取一点，发现这个点的坐标是方程1x y +=的解．我们把以方程1x y +=的解为坐标的所有点组成的图形叫做方程1x y +=的图象，记作直线1l ．(1)【初步探究】下列点中，在方程1x y +=的图象1l 上的是______；A ．()1,1B ．()2,1-C ．()3,2-(2)在所给的坐标系中画出方程23x y -=-的图象2l ；(3)【理解应用】直线1l ，2l 相交于点M ，求点M 的坐标；(4)点()1,P x a ，()2,Q x a 分别在直线1l ，2l 上．当4PQ ≤时，请直接写出a 的取值范围．39．一列火车长x 米，匀速通过300米的隧道，用时25秒，隧道顶部一盏固定的灯在火车上照了10秒，求火车的长度．40．试证：形如abcabc 的六位数总含有7，11，13的因数．41．已知正整数a ，b ，c 满足a b c <<，且ab bc ca abc ++=．求所有符合条件的a ，b ，c ．42．分解因式：4444444()()()()a b c a b b c c a a b c ++-+-+-++++．43．平面直角坐标系中，每个整点都被染成为三种颜色之一，并且每种颜色的点都有．证明：可以找到一个直角三角形（其直角边不一定与坐标轴平行或重合），它的三个顶点被分别染成三种不同的颜色．44．某个学生参加军训，进行打靶训练，必须射击10次，在第6、第7、第8、第9次射击中，分别得了9.0环，8.4环，8.1环，9.3环，他的前9次射击所得环数的平均值高于前5次射击所得的平均环数．如果他要使10次射击的平均环数超过8.8环，那么他在第10次射击中最少要得多少环？（每次射击所得环数都精确到0.1环） 45．（1）证明：若x 取任意整数时，二次函数2y ax bx c =++总取整数值，那么2,,a a b c -都是整数；（2）写出上述命题的逆命题，并判断真假，且证明你的结论．46．一个三位数xyz （其中，x ，y ，z 互不相等），将其各个数位的数字重新排列，分别得到的最大数和最小数仍是三位数．若所得到的最大三位数与最小三位数之差是原来的三位数，求这个三位数．47．某种产品按质量分为10个档次，生产最低档次每件获利润8元，每提高一个档次每件产品利润增加2元，最低档次每天可生产60件，提高一个档次将减少3件．如果使一天获利润858元，则应生产哪个档次的产品（最低档次为第1档次，档次依次随质量提高而增加）？参考答案：1．B【分析】设可以购买x支康乃馨，y支百合，根据总价＝单价×数量，即可得出关于x，y 的二元一次方程，结合x，y均为正整数即可得出大鹏的购买方案．【详解】解：设可以购买x支康乃馨，y支百合，依题意，得：2330x y，①2103y x =-，①x，y均为正整数，①38xy=⎧⎨=⎩，66xy=⎧⎨=⎩，94xy=⎧⎨=⎩，122xy=⎧⎨=⎩，①大鹏有4种购买方案．故选：B．【点睛】本题考查二元一次方程的应用．找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．2．B【详解】25|225|1⊗=⨯-=3．A【分析】可将aabb表示为11（100a+b），根据aabb四位数为平方数，可设100a+b=11c2，由题意可得：101＜100a+b=11c2＜999，可将c的值求出，从而可求出a+b的值．【详解】解：①aabb=1000a+100a+10b+b=11（100a+b）由题意可设100a+b=11c2（c为正整数），①101＜100a+b=11c2＜999，即9＜c2＜90，于是，4≤c≤9，经检验，c=8时满足条件，此时a=7，b=4，故a+b=11．故选：A．【点睛】本题考查了不等式的应用，理解一个四位数aabb为平方数，这句话中包含的不等关系是解决本题的关键．4．B【详解】①12ABC ∠=︒，BM 为ABC ∠的外角平分线，①()118012842MBC ∠=︒-︒=︒，又180********BCM ACB ∠=︒-∠=︒-︒=︒，①180844848BCM ∠=︒-︒-︒=︒，①BM BC =，又()()111801801322422ACN ACB ∠=︒-∠=︒-︒=︒，①()18018012BNC ABC BCN ACB CAN ∠=︒-∠-∠=︒-︒-∠+∠12ABC =︒=∠，①CN CB =，因此，BM BC CN ==；5．D【分析】共有6个人，A 、B 各参加了3局比赛，C 、D 各参加了4局比赛，E 参加了2局比赛，且A 与C 没有比赛过，B 与D 也没有比赛过，依此类推即可确定．【详解】解：由于A 、B 各参加了3局比赛，C 、D 各参加了4局比赛，E 参加了2局比赛，且A 与C 没有比赛过，B 与D 也没有比赛过，所以与D 赛过的是A 、C 、E 、F 四人；与C 赛过的是B 、D 、E 、F 四人；又因为E 只赛了两局，A 与B 各赛了3局，所以与A 赛过的是D 、B 、F ；而与B 赛过的是A 、C 、F ；所以F 共赛了4局．故选：D ．【点睛】考查了推理与论证，根据每人最多赛四盘及每人已赛的盘数间的逻辑关系进行推理是完成本题的关键．6．D【分析】过I 点作IE ①AB 于点E ，IF ①AC 于点F ，如图，利用角平分线的性质得到IE =IF =ID =3，然后根据三角形面积公式得到ABC IAB IBC IAC S S S S =++△△△△，据此即可求得．【详解】解：过I 点作IE ①AB 于点E ，IF ①AC 于点F ，如图，①AI ，BI ，CI 分别平分①BAC ，①ABC ，①ACB ，①IE =IF =ID =3，①ABC IAB IBC IAC S S S S =++△△△△111333222AB BC AC =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 3()2AB BC AC =++ 3182=⨯ 27=故选：D ．【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形的面积．7．D【详解】因220073223=⨯，因2007n 是最简真分数的充要条件是12006n ≤≤，并且n 与2007互素，即n 既不被3整除又不被223整除，记{1,2,,2006}I =，3{A a a I =∈并且a 不被3整除223},{A a a I =∈，并且a 不被223整除3223},,A A 在I 中的补集分别记为3A ，和223A ，则由容斥原理知I 中既不被3又不被223整除的数的个数等于()()322332233223||2006A A I A A A A =-+-=-2006200620062006(6688)2133232233223⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤++=-++= ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⨯⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭．故选D ． 8．D【详解】正常情况下，每天有60241440⨯=分钟．早上6：36表示午夜后396分钟． 在十进制下，每天有1000分钟，因此早上6：36对应午夜后39610002751440⨯=分钟．从而，新电子闹钟应该设定的时间为2：75，故选D ．9．D 【详解】设1x a x +=，则()23223211111133x x x x x a a x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++-=++-=-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦, 所以()2318a a -=，因式分解得()2(3)360a a a -++=，所以3a =. 由13x x +=解得(132x =，显然{}01x <<，101x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，所以{}11x x ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭ 10．A 【详解】()()14143x x x x -+-≥---=，当14x ≤≤时取得等号；()()21233x x x x +-≥---=-，当23x ≤≤时取得等号； 因此，1234314x x x x -+-+-+-≥+=，当23x ≤≤时取得等号． 所以，1234x x x x -+-+-+-的最小值为4．11．D【详解】()()(@)@()@x y z x y xy z x y xy z x y xy z=+-=+-+-+-x y z xy yz zx xyz =++---+，由对称性，同样可得()@@y z x x y z xy yz zx xyz =++---+，()@@z x y x y z xy yz zx xyz =++---+． 所以，由已知可得0x y z xy yz zx xyz ++---+=，即(1)(1)(1)1x y z ---=-． 所以，x ，y ，z 为整数时，只能有以下几种情况：111111x y z -=⎧⎪-=⎨⎪-=-⎩，或111111x y z -=⎧⎪-=-⎨⎪-=⎩，或111111x y z -=-⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，或111111x y z -=-⎧⎪-=-⎨⎪-=-⎩，所以，()(),,2,2,0x y z =或()2,0,2或()0,2,2或()0,0,0，故共有4个符合要求的整数组． 12．A【详解】盒中共有10m n ++个球，取得的是白球的概率是10m n p m n +=++，取得的不是白球的概率为10m n p m n '+=++．依题意有101010m n m n m n +=++++，所以10m n +=．故应选A ． 13．C【详解】解 设三个连续整数为n 1-，n ，1n +（n 为整数），则(1)(1)3n n n n -+++=能被3整除．虽1236++=能被6整除，但2349++=不能被6整除．故选C ．14．B【详解】解：理由：由于末三位都是4且是完全平方数的最小为2381444=，所以这样的六位数与1444的差的末三位都为0．设2k 为满足条件的六位数，那么22381000k m -=（m 为自然数），即(38)(38)1000k k m -+=，则10001258=⨯能整除(38)(38)k k -⋅+．由于(38)k -与(38)k +不能同时被5整除，所以其中一个能被125整除；由于(38)k -与(38)k +除以4余数相同，如果它们都不能被4整除，那么最多只是2的倍数，这时它们的积不是8的倍数，不合题意，所以(38)k -、(38)k +都是4的倍数，这样其中之一是1254500⨯=的倍数，也就是说形如2(50038)n ±（n 为自然数）的数满足题意．这样的数有2222462,538,962,1038，……其中是六位数的有2462213444=，2538289444=，2962925444=，共3个．故选：B15．B【详解】解 选B ．理由：设两个连续偶数为22k +和2k ，则22(22)(2)4(21)k k k +-=+． 又21k +是奇数，从而，神秘数是4的倍数，但不是8的倍数．设任意两个正奇数为21m +和21n ，则22(21)(21)4(1)()m n m n m n +-+=++-．由于1m n ++与m n -的奇偶性相反，从而，22(21)(21)m n +-+是8的倍数．故22(21)(21)m n +-+不是神秘数．又20088251=⨯，故2008不是神秘数．不难验证：1~100之间的神秘数有41,43,,425⨯⨯⨯．共计13个．综上，知①､①正确．16．B【详解】解 选B ．理由：由()3332223()0a b c abc a b c a b c ab bc ca ++-=++++---=， 知33303a b c abc =++=．从而，abc 中至少有1个为0.由条件知，abc 中只有一个为0，另外两个互为相反数．不妨设0,a b c ==-．于是，当n 为正奇数时，0n n n a b c ++=，反之也成立．所以，不超过2007的正整数中好数共有1004个．17．B【详解】选B n =（n +∈N ），则221203n m -=，从而()()n m n m +-=401312031⨯=⨯．因此，401,3n m n m +=⎧⎨-=⎩或1203,1,n m n m +=⎧⎨-=⎩ 解得199m =或601=m ．故和为800.18．2==2n 是完全平方数，由此可以确定满足条件的最小正整数n ．【详解】解：①2n 是完全平方数，①n 的最小正整数值为2．故答案为：2．)0a ≥的式子叫做=完全平方数和一个代数式的积的形式．19．2x =或23x =##23x =或2x = 【分析】将方程化为二项方程，因式分解法解方程即可求解．【详解】解：4(34)16x -=，即()434160x --=，①()()223443440x x ⎡⎤⎡⎤-+--=⎣⎦⎣⎦，①()23440x -+>，①()2344x --0=，即()2344x -=， 342x ∴-=±，2x ∴=或23x =， 经检验，2x =或23x =，是原方程的解， ∴方程4(34)16x -=的根是2x =或23x =， 故答案为：2x =或23x =． 【点睛】本题考查了解二项方程，将方程因式分解是解题的关键．20．5【分析】根据已知等式，可用x 表示出x y +再利用二次函数的性质可求得其最大值．【详解】解：①2510x x y ++-=，①251y x x =--+，①2+41x y x x =--+，即：()2++2+5x y x =-①当=1x -时，x y +有最大值5，故答案为：5．【点睛】本题主要考查二次函数的最值，用x 表示出x y +是解题的关键，注意函数性质的应用．21．2【分析】根据SAS 证①BAD ①①CBE ，推出①ADF +①AEF =180°，可得A 、E 、F 、D 四点共圆，取AE 的中点G ，连接GD ，证①ADG 是等边三角形，推出G 是圆心，求出半径即可．【详解】解：在正①ABC 中， ①23AE AB =， ①13BE AB =，又①13AD AC =，①BE =AD ，又①AB =BC ，①BAD =①CBE ，①①BAD ①①CBE (SAS)，①①ADB =①BEC ，①①BEC +①AEC =180°，①①ADB +①AEC =180°，①A 、E 、F 、D 四点共圆，取AE 的中点G ，连接GD ，①AG =GE =12AE ， ①23AE AB =， ①1623AG GE ==⨯=， 又①116233AD AC ==⨯=，①DAE =60°， ①①ADG 是等边三角形，①GD =AG =AD =2，即GA =GE =GD =2，①点G 是A 、E 、F 、D 四点所在圆的圆心，且半径是2，故答案为：2【点睛】本题主要考查四点共圆和等边三角形的知识，熟练掌握四点共圆的判定和等边三角形的性质是解题的关键．22．4【详解】解 设方程的两根为12,x x ，则212323()()x mx x x x x +-=--． 依题意有129393,5757x x -<<-<<，故95x =-或37时， ()()1230x x x x -->，且1293527x x +-<< 又方程有两个实根，故其判别式0≥，反之也成立，且1226x x m +=-，于是有 29)253)279356743(2)093(()20533(()207m m m m -⎧-<-<⎪⎪=-⨯⨯-≥⎪⎪⎨⨯+⨯-->⎪⎪⎪⨯+⨯->⎪⎩，即2452107424045193021710m m m m ⎧-<<⎪⎪⎪+⎨⎪-+>⎪->⎪⎩ 解之得813342145m << 又m 为整数，所以4m =．因此应填4． 注：所列条件中1293527x x +-<<这一条件不可少，因为仅由其余3个条件，可能12,x x 都大于37也可能都小于95-，不保证12,x x 都在95-与37之间．读者也可用二次函数的图象得出题解中的不等式组合．23．9【详解】显然p ，q 不能均为奇数（否则等式左边为偶数，右边为奇数），于是2p =或2q ．（1）若2p =，则可得32143430q q-+=，解得7q =，检验知()(),2,7p q=为一组解． （2）若2q ，则可得329439p p =+，此式一边为奇数一边为偶数，没有整数解． 综上可知2p =，7q =，所以9p q +=．24．1【详解】解①1x ==，而213<<， ①21a x =-=．又①1x -=，而312-<<-，①()33223()3++=+-++a b ab a b a ab b ab2223()1a ab b ab a b =-++=+=．25．18【详解】设某人出生于19xy 年，则他的年龄应为1910x y x y +++=++（岁）．所以19981910xy x y -=++，即981010x y x y --=++，得11288x y +=， 则88112x y -=． 又易知x 只能取偶数取0,2,4,6,8x =，相应地，44,33,22,11,0y =．只有8,0x y ==满足条件．所以所求年龄为18岁．26． 2- 2【详解】解 当3x ≤-时，(1)(2)(3)3(2)y x x x x =-+-+-+=-+；当32x -<≤-时，(1)(2)(3)y x x x x =-+-+++=-；当21x -<≤-时，(1)(2)(3)4y x x x x =-+++++=+；当1x >-时，(1)(2)(3)3(2)y x x x x =+++++=+．故|1||2||3|y x x x =+++++在(,2]-∞-上递减，在[2,)-+∞上递增，当2x =-时，y 取最小值2．故应填2,2-（如图）．注：①一般说来，对于含绝对值的一次函数，应分区间将绝对值符号去掉变成折线函数，再根据函数的增减性（一次项系数为正时递增，为负时递减）就不难得出所求函数的最大（或最小）值．如果作出其图象，那么其结果是一目了然的．①本题的一种简单解法是利用差的绝对值的几何意义来求解：因为||x a -表示数轴上坐标为x 的点P 到坐标为a 的点A 的距离，故|1||2||3|y x x x =+++++表示数轴上坐标为x 的点P 到坐标分别为1,2,3---的点,,A B C 的距离之和．显然当P 与B 重合时，即2x =-时，这个距离之和为最小，其最小值为线段AC 的长度|(1)(3)|2---=．又如，若要求|9||8||3||1||5||6|y x x x x x x =-+-+-++++++的最小值，则它等价于求数轴上坐标为x 的点P ，分别到坐标为9,8,3,1,5,6---的各点,,,,,A B C D E F 的距离之和的最小值．显然当P 在线段CD 上，即当13x -≤≤时，这个距离之和取最小值，并且最小值|9(6)||8(5)||3(1)|32AF BE CD =++=--+--+--=．27．3【详解】理由：原方程可化为19971997xy x y =+，得(1997)(1997)19971997x y --=⨯，即19971,199719971997x y -=⎧⎨-=⨯⎩或19971997, 19971997x y -=⎧⎨-=⎩或199719971997,1997 1.x y -=⨯⎧⎨-=⎩ 所以共有3个整数解．28．663【详解】设这两个正整数为,()a b a b >．根据题意，可得()1997ab a b -+=，则(1)(1)1998a b --=，即3(1)(1)2337a b --=⨯⨯．因为a b >，即11a b ->-，且a ，b 中有一个是完全平方数，故(1)(1)6663a b --=⨯，所以667,4.a b =⎧⎨=⎩则663a b -=．29．3【详解】一个整数不是5的倍数，它的个位数字可能是1，2，3，4，6，7，8，9，把它们4次方后，研究它们的个位数字，分别是：444411;216;381;4256====；444461296;72401;84096;96561====．即它们的个位数字不是1就是6，并且6被5除也是余1．所以一个不是5的倍数的整数，它的4次方被5除一定余1．这8个整数，它们的4次方的和被5除所得余数为3．30【分析】连接DF ，EF ，过点F 作FN AC ⊥，FM AB ⊥，结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半求得点A 、D 、F 、E 四点共圆，=90DFE ∠︒，然后根据勾股定理及正方形的判定和性质求得AE 的长度，从而求解．【详解】解：如图，连接DF ，EF ，过点F 作FN AC ⊥，FM AB ⊥．①在ABC 中，90BAC ∠=︒，点G 是DE 中点，①AG DG EG ==．①AG =FG ，①A 、D 、F 、E 四点共圆，G 点为圆心，DE 为直径，①90DFE ∠=︒．①在Rt ABC 中，5AB AC ==，①BC ==又①点F 是BC 中点，①122CF BF BC ===1522FN FM AB ===． ①四边形AMFN 是正方形， ①52AN AM FN FM =====． ①90NFD DFM ∠+∠=︒，90MFE DFM ∠+∠=︒，①NFD MFE ∠=∠．①在NFD △和MFE 中90DNF EMF NF MF NFD MFE ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，①()NFD MFE ASA ≅， ①51222ME DN AN AD ==-=-=， ①51322AE AM MD =+=+=， ①在Rt DAE中，DE【点睛】本题考查直角三角形的性质，圆周角定理，四点共圆，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理，综合性强，较难．正确的作出辅助线是解答本题的关键．31．536【分析】设烤肠的单价为x 元，设销售总量为y 份，烤肠为a 份()40a >，根据当日平均售价是汉堡单价的52倍，得出等量关系，由a ，x ，y 为整数，且1602x a +是3的倍数，“盒饭与烤肠的销售量之和不超过400份，”可限定a 和x 的取值，再进行筛选即可得到销售总量的最大值．【详解】解：设烤肠的单价为x 元，则汉堡的单价为()3x +元，可乐单价为1.5x ，盒饭单价为()43 1.5 2.512x x x +-=+元，四种食物的平均售价为()532x +，设销售总量为y 份，烤肠为a 份()40a >， ①()()()()()5360 1.560120 2.51231202y x x y x ax x a ⨯+=⨯+--++++-， 整理得：16024003x a y +=+，可知，当x 不变时，y 随a 增大而增大 ①()60120400a y +--≤，①580a y +≤，即：580y a ≤-，即：1605540x a +≤，5200a >，故2x ≤，①a ，x ，y 为整数，且1602x a +是3的倍数，则：当2x =时，44a ≤，16022441363⨯+⨯=，此时536y ≤， 当1x =时，76a ≤，1602761043+⨯=，此时504y ≤， 综上，销售总量的最大值为536份，故答案为：536．【点睛】本题考查了应用类问题，不等式和不定方程的应用，解决问题的关键是正确读懂题意列出方程和代数式．32．3【详解】填3.理由：被4整除的最大的三位数是996. 设满足条件的四位数为996a ，则996a +++被9整除，则6a +被9整除，所以3a =． 故末位数字是3.33．142857【详解】.填142857.理由：设原六位数为abcdef ，则6abcdef defabc ⨯=， 即6(1000)1000abc def def abc ⨯⨯+=⨯+． 所以9945999def abc ⨯=⨯， 即142857def abc ⨯=⨯．因为142与857互质， 所以abc 被142整除，def 被857整除． 又因为,abc def 为三位数， 所以142,857abc def ==． 因此142857abcdef =．34．【详解】解 设110y x =，则()222(110)1133y x x +=+，即22222032233113y xy x +=⨯+⨯．关于x 的方程222322322031130x yx y ⨯-+⨯-=有实根，所以()()222222(220)432233113411332230y y y =--⨯⨯⨯⨯-=⨯-⨯≥（因为22220432234113+⨯⨯=⨯），所以y ≥．当且仅当x =y取最小值故应填35．1995【详解】设前后两个二位数分别是a ，b ，则10100a ab a b +=+，即(1)(90)90a b --=．因为1a >，所以900b ->．又b 是二位数，且个位数为5，故95b =．于是118a -=，所以19=a ．故所求四位数是1995．36．1716PC << 【分析】首先利用光的反射定律及等边三角形的性质证明①P 0P 1C ①①P 2P 1A ①①P 2P 3B ，再根据相似三角形对应边成比例得到用含P 3B 的代数式表示P 1C 的式子，然后由1＜BP 3＜32，即可求出P 1C 长的取值范围． 【详解】解：①反射角等于入射角，①①P 0P 1C ＝①P 2P 1A ＝①P 2P 3B ，又①①C ＝①A ＝①B ＝60°，①①P 0P 1C ①①P 2P 1A ①①P 2P 3B ， ①01P C PC ＝21P A P A ＝23P B P B ， 设P 1C ＝x ，P 2A ＝y ，则P 1A ＝2﹣x ，P 2B ＝2﹣y ． ①1x ＝2y x-＝32y P B -， ①322xy x x xy P B=-⎧⎨-=⎩， ①x ＝13（2+P 3B ）． 又①1＜BP 3＜32， ①1＜x ＜76， 即P 1C 长的取值范围是：1＜P 1C ＜76．故答案为：1＜P 1C 76<． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质，解题的关键是根据等边三角形的性质找出对应点是解此题的关键，难度较大．37．2.5+【分析】连接BD ，过B 作BH ①AC 于H 点，根据①BCD 是直角三角形，可证明①BAC =①BDC ，则有A 、B 、C 、D 四点共圆，进而有BD 是该圆的直径，可得①BAD =90°，利用勾股定理可得BD =12CD BD ==BC ==，根据BH ①AC ，可得①ABH 、①BCH 是直角三角形，则有①ABH =30°，即1522AH AB ==，利用勾股定理可得BH =，再在①BCH 是直角三角形，可得CH 可得解． 【详解】连接BD ，过B 作BH ①AC 于H 点，如图，①①BCD =90°，①①BCD 是直角三角形，①222BD CD BC =+，①BC =，①2BD CD =，①在Rt ①BCD 中，①DBC =30°，即①BDC =60°，①①BAC =60°，①①BAC =①BDC ，①A 、B 、C 、D 四点共圆，①①BCD =90°，①BD 是该圆的直径，①①BAD =90°，①AB =5，AD =2，①BD①12CD BD =BC ==， ①BH ①AC ，①①ABH 、①BCH 是直角三角形，①①BAC =60°，①①ABH =30°， ①1522AH AB ==，即BH ===， ①①BCH 是直角三角形，①CH ==①52AC AH CH =+=故答案为：52+ 【点睛】本题考查了勾股定理、四点共圆、圆周角定理以及含30°角的直角三角形的性质等知识，利用四点共圆是解答本题的关键．38．(1)B(2)见解析(3)点M 的坐标为（13-，43） (4)803a ≤≤【分析】（1）将所给的点的坐标代入方程，使方程成立的即为所求；（2）利用描点法画出函数图象即可； （3）联立方程组123x y x y +=⎧⎨-=-⎩，方程的解即为点M 的坐标；（4）分别求出11x a =-，223x a =-，再由4PQ ≤，求出a 的范围即可．（1）解：当x ＝1，y ＝1时，x ＋y ＝2，故点A 不在图象1l 上；当x ＝2，y ＝－1时，x ＋y ＝1，故点B 在图象1l 上；当x ＝－3，y ＝2时，x ＋y ＝－1，故点C 不在图象1l 上；故选：B ；（2）当x =1时，y =2，当x =-3时，y =0，则方程x -2y =0的图象l 2如图所示；（3）联立方程组123x y x y +=⎧⎨-=-⎩ ，解得：1343x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩①点M 的坐标为（13-，43）． （4）①点()1,P x a 在直线1l 上，①11x a += ，11x a =-，①()2,Q x a 分别在直线2l 上，①223x a -=-，223x a =-，PQ ＝|2a －3－1＋a |＝|3a －4|≤4即：4344a -≤-≤， 解得：803a ≤≤ ． 故a 的范围：803a ≤≤【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，绝对值不等式，熟练掌握求一次函数图象上点的坐标及二元一次方程组的解法是解决解决本题的关键．39．火车长200米【详解】解 设火车速度为y 米/秒，则依题意得25300,10,y x y x =+⎧⎨=⎩消去y 得2530010x x ⨯=+， 解出200x =（米）．答：火车长200米．40．见解析【详解】证明 将已知的六位数写成十进制表达形式，得 541010abcabc a b =⨯+⨯32101010c a b c +⨯+⨯+⨯+()()()524310*********a b c =⨯++⨯++⨯+100100100101001a b c =⨯+⨯+⨯1001(10010)a b c =⨯++71113(10010)a b c =⨯⨯++．故abcabc 总含有7，11，13的因数．41．2a =，3b =，6c =【详解】由1a b c ≤<<，知3abc ab bc ca bc =++<，所以，3a <．故1a =或2a =．（1）当1a =时，有b bc c bc ++=，即0b c +=，这与b ，c 为正整数矛盾．（2）当2a =时，有222b bc c bc ++=，即220bc b c --=，所以，(2)(2)4b c --=．又2b c <<，则022b c <-<-．于是，21b -=，24c -=，从而，3b =，6c =．所以，符合条件的正整数仅有一组：2a =，3b =，6c =．42．4444444()()()()12()a b c a b b c c a a b c abc a b c ++-+-+-++++=++【详解】解 设4444444(,,)()()()()f a b c a b c a b b c c a a b c =++-+-+-++++．因为444444(0,,)0()()0f b c b c b b c c b c =++--+-++=，所以(),,f a b c 有因式a ． 由(),,f a b c 是,,a b c 的四次对称多项式知(),,f a b c 有因式abc ，而(),,f a b c 与abc 分别是四次、三次对称多项式，所以(),,f a b c 还含有,,a b c 的一个一次对称多项式()k a b c ++，即 4444444(,,)()()()()f a b c a b c a b b c c a a b c =++-+-+-++++()kabc a b c =++．令1a b c ===，得444444*********k ++---+=，所以12k =，故4444444()()()()12()a b c a b b c c a a b c abc a b c ++-+-+-++++=++．43．见解析【详解】证明 用反证法，假设不存在三个顶点被染为三种不同颜色的直角三角形．不难看出，可以找到一条水平方向或竖直方向的直线l ，它上面至少有2种颜色的整点，为了确定起见，设其为水平方向．如果l 上只有两种颜色的点，比方说蓝色和红色，那么平面上任取一个绿色的整点A ，过A 的竖直方向直线与l 的交点为B ，于是B 是整点且B 或为红色或为蓝色，不妨设B 为蓝色．在l 上任取一个红色整点C ，即可得到三个顶点的颜色各异的直角ABC ，此与假设矛盾．所以l 上有三种颜色的整点．在l 上任取一个蓝点B 、一个红点C 、一个绿点D ，那么过B 的竖直直线1l 上的整点都为蓝色，否则可找到三个顶点颜色各异的直角三角形，这与假设矛盾．同理，过D 的竖直直线2l 上的点都为绿色，过C 作与水平方向交成角45︒和135︒的直线3l 和4l ，则3l 与2l 的交点E 是整点，且为绿色，4l 与1l 的交点F 也是整点且为蓝色，于是CEF △为直角三角形且它的三个顶点被染成了三种不同颜色，这与假设矛盾．44．第10次最少要得9.9环．【详解】9．设前5次射击所得平均环数为a ，第10次击中x 环，依题意59.08.48.19.39a a ++++<， ① 59.08.48.19.38.810a x +++++<． ① 由①得8.7a <，从而558.70.143.4a ≤⨯-=．由①得8834.8553.243.49.8x a >--≥-=，所以9.9x ≥，即第10次最少要得9.9环． 45．（1）证明见解析；（2）逆命题为：若2a ，a b -，c 为整数，则对一切整数x ，二次函数2y ax bx c =++总取整数值；逆命题是真命题；证明见解析【详解】解设2m y am bm c =++．（1）当0x =时，2000y a b c c =⋅+⋅+=为整数，所以c 为整数．当=1x -时，1y a b c -=-+为整数，所以1a b y c --=-为整数．当2x =-时，242y a b c -=-+为整数，所以222()a y a b c -=---为整数．于是2,,a a b c -都为整数．（2）所求逆命题为：若2,,a a b c -为整数，则对一切整数x ，二次函数2y ax bx c =++总取整数值．下面证明这是一个真命题．设2,,a a b c -都为整数．由212(1)()2y ax bx c a x x a b x c =++=⋅+--+知对一切整数x ，有(1)x x +为偶数，从而1(1)2x x +为整数． 又2,a a b -及c 为整数，故对任何整数x ，二次函数2y ax bx c =++的值都为整数． 46．495【详解】解 设三位数xyz 经过重新排列后所得到的最大三位数为abc （a b c >>），则最小的三位数是cba ．由于19a ≤≤，19b ≤≤，19c ≤≤，且abc cba -=(10010)(10010)a b c c b a ++-++99()a c =-是99的倍数，故所求的三位数xyz 也是99的倍数．而是99的倍数的三位数只有8个：198，297，396，495，594，693，792，891. 经验证知，只有495符合题意．47．第8档次或第10档次【详解】解 设应生产第x 档次的产品．整理得21218800,8,10x x x x -+=∴==． 答：生产第8档次或第10档次的产品，每天可获利858元．注：①如果题目假设产品的档次只分为9个，那么210x =应舍去．①与例2类似，本题中第x 档次产品的每件价及数量是下文中必定涉及的相关量，应在前面用x 的代数式翻译出来．（2）列表分析法．所谓列表分析法，就是在审题后，在理解题意的基础上，尽量将已知数与未知量列成表格，充分利用表格中各个量之间的内在关系进行分析，找出各种量之间的等量关系，再利用等量关系来列出方程的一种方法．。
初中数字竞赛试题及答案
初中数字竞赛试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B2. 一个数的平方等于16，这个数是？A. 4B. -4C. 4或-4D. 以上都不是答案：C3. 计算下列哪个表达式的结果是负数？A. 3 - (-2)B. -3 + 2C. 5 × (-1)D. 0 ÷ (-2)答案：C4. 哪个分数是最简分数？A. 4/8B. 6/9C. 5/10D. 3/5答案：D5. 下列哪个图形的周长最长？A. 边长为3的正方形B. 边长为4的正方形C. 半径为2的圆D. 边长为5的正方形答案：D6. 一个数加上它的相反数等于？A. 0B. 1C. 2D. -1答案：A7. 哪个数是3的倍数？A. 7B. 9C. 10D. 11答案：B8. 一个数除以它自己（除了0）的结果是？A. 0B. 1C. -1D. 无法确定答案：B9. 哪个数是质数？A. 4B. 6C. 9D. 7答案：D10. 一个数的绝对值是5，这个数可能是？A. 5B. -5C. 5或-5D. 以上都不是答案：C二、填空题（每题2分，共20分）1. 一个数的立方等于-8，这个数是____。
答案：-22. 一个数的平方根等于2，这个数是____。
答案：43. 一个数的倒数是1/3，这个数是____。
答案：34. 一个数的相反数是-5，这个数是____。
答案：55. 一个数的绝对值是3，这个数可能是____或____。
答案：3，-36. 一个数的平方是25，这个数是____或____。
答案：5，-57. 一个数除以3的商是4，这个数是____。
答案：128. 一个数的1/2等于3，这个数是____。
答案：69. 一个数的3倍加上2等于11，这个数是____。
答案：310. 一个数的4倍减去6等于10，这个数是____。
答案：4三、解答题（每题10分，共50分）1. 计算：(-3) × (-2) + 5 ÷ (-1) - 4答案：-22. 解方程：2x - 3 = 7答案：x = 53. 计算：(-1/2) × (-4) ÷ (-2) + 3答案：14. 解方程：3x + 5 = 14答案：x = 35. 计算：(-3)² - 4 × (-2) + 7答案：23。
全国初三初中数学竞赛测试带答案解析
全国初三初中数学竞赛测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.分数，，，，中最小的一个是。
2.如右图所示，ABCD是一个正方形，其中几块阴影部分的面积如图所示，则四边形BMQN的面积为。
3.将105表示成不少于两个连续的(非零)自然数之和，最多有种表达方式。
4.将奇数1、3、5、…、2007、2009从小到大排成一个多位数A=135********…20072009，从A中截出能被5整除的五位数，则所有的这种五位数中，最小数是，最大数是。
二、解答题1.如果一个自然数n能被不超过的所有的非0自然数整除，我们称自然数n为“牛数”。
请写出所有的牛数。
2.循环小数0.xyz可以表达成0.xyz=。
已知算式´0.c5d=中a，b，c，d，e，f都是数字，且c<4。
求出所有满足条件的两位数。
3.下列m个整数中恰有69个不同的整数，问自然数m的最大值和最小值分别是多少？[]，[]，[]，…，[]。
4.已知四边形ABCD中AD//BC，AD：BC=1：2，SD AOF ：SD DOE=1：3，SD BEF="24" cm2，求r AOF的面积。
全国初三初中数学竞赛测试答案及解析一、填空题1.分数，，，，中最小的一个是。
【答案】【解析】略2.如右图所示，ABCD是一个正方形，其中几块阴影部分的面积如图所示，则四边形BMQN的面积为。
【答案】24【解析】S(ADP)+S（APM）+S(MBC)="0.5" S(ABCD)=S(AND)两边各减去公共部分即 APD QNR 即得到S（APM）+S(BMQN)+S(RNC)=S(DQPR)故S（BMQN）=243.将105表示成不少于两个连续的(非零)自然数之和，最多有种表达方式。
【答案】7【解析】首先，分为2类.一·数字个数为奇数.105=3×5×7 经验证数字个数可为 3 5 7 9 即 34 35 36； 19 20 21 22 23 ； 12 13 14 15 16 17 18 ；11 12 13 14 15 16 17 18 19二·数字个数为偶数.个数为二时，52 53；个数为 4 8 ……是不可能的，因为和不可能是奇数；根据奇数的情况知，偶数个数必须为 6 10 14 18等当数字个数为14时，中间的数介于6 到7之间，因此最小的数就不能满足为自然.故总共有 4+1+2 种情况.4.将奇数1、3、5、…、2007、2009从小到大排成一个多位数A=135********…20072009，从A中截出能被5整除的五位数，则所有的这种五位数中，最小数是，最大数是。
全国初中数学竞赛试题及答案大全
全国初中数学竞赛试题及答案大全试题一：代数基础题目：若\( a \), \( b \), \( c \)为实数，且满足\( a + b + c = 3 \)，\( ab + ac + bc = 1 \)，求\( a^2 + b^2 + c^2 \)的值。
解答：根据已知条件，我们可以使用配方法来求解。
首先，我们知道\( (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc) \)。
将已知条件代入，得到\( 3^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2 \times 1 \)。
简化后，我们得到\( a^2 + b^2 + c^2 = 9 - 2 = 7 \)。
试题二：几何问题题目：在直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，求斜边BC的长度。
解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边BC的平方等于两直角边的平方和，即\( BC^2 = AB^2 + AC^2 \)。
代入已知数值，得到\( BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \)。
因此，\( BC = \sqrt{100} = 10 \)。
试题三：数列问题题目：一个等差数列的首项是2，公差是3，求第10项的值。
解答：等差数列的第n项可以通过公式\( a_n = a_1 + (n - 1)d \)来计算，其中\( a_1 \)是首项，d是公差，n是项数。
将已知条件代入公式，得到\( a_{10} = 2 + (10 - 1) \times 3 = 2 + 9 \times 3 = 29 \)。
试题四：概率问题题目：一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机取出2个球，求取出的两个球颜色相同的概率。
解答：首先计算总的可能情况，即从8个球中取2个球的组合数，用组合公式C(8,2)计算。
然后计算取出两个红球或两个蓝球的情况。
两个红球的情况有C(5,2)种，两个蓝球的情况有C(3,2)种。
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全国初中数学竞赛模拟试题一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）1．如果实数a ，b ，c在数轴上的位置如图所示，那么代数式||||a b b c ++可以化简为（ ）． （A） （B ） （C） （D ）a2．如果正比例函数y = ax （a ≠ 0）与反比例函数y =xb（b ≠0 ）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（ ）．（A ）（2，3） （B ）（3，－2） （C ）（－2，3） （D ）（3，2）3．如果a b ，为给定的实数，且1a b <<，那么1121a a b a b ++++，， ，这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（ ）． （A ）1 （B ）214a - （C ）12 （D ）144．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我n 元，我的钱数将是你的2倍”，其中n 为正整数，则n 的可能值的个数是（ ）．（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）45．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为0123p p p p ，，，，则0123p p p p ，，，中最大的是（ ）．（A ）0p （B ）1p （C ）2p （D ）3p二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x ”到“结果是否>487？”为一次操作. 如果操作进行四次才停止，那么x 的取值范围是 .7．如图，正方形ABCD 的边长为E ，F 分别是AB ，BC分别交于点M ，N ，则△DMN 的面积是 .8．如果关于x 的方程x 2+kx+43k 2－3k+92= 0的两个实数根分别为1x ，2x ，那么2012220111x x 的值为 ．9．2位八年级同学和m 位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分. 比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m 的值为 .10．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是直径，AD = DC. 分别延长BA ，CD ，交点为E. 作BF ⊥EC ，并与EC 的延长线交于点F. 若AE = AO ，BC = 6，则CF 的长为 .三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．已知二次函数232y x m x m =++++（），当13x -<<时，恒有0y <；关于x 的方程2320x m x m ++++=（）的两个实数根的倒数和小于910-．求m 的取值范围．12．如图，⊙O 的直径为AB ，⊙O 1过点O ，且与⊙O 内切于点B ．C 为⊙O 上的点，OC 与⊙O 1交于点D ，且OD CD >．点E 在OD 上，且DC DE =，BE 的延长线与⊙O 1交于点F ，求证：△BOC ∽△1DO F ．13．已知整数a ，b 满足：a －b 是素数，且ab 是完全平方数. 当a ≥2012时，求a 的最小值.14．求所有正整数n ，使得存在正整数122012x x x ，， ，，满足122012x x x <<<，且122012122012n x x x +++=.全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题 1．C解：由实数a ，b ，c 在数轴上的位置可知0b a c <<<，且b c >，所以||||()()()a b b c a a b c a b c ++=-+++--+a =-．2．D解：由题设知，2(3)a -=⋅-，(3)(2)b -⋅-=，所以263a b ==，.解方程组236y x y x⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，得32x y =-⎧⎨=-⎩，； 32.x y =⎧⎨=⎩，所以另一个交点的坐标为（3，2）.注：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一个交点的坐标为（3，2）.3．D解：由题设知，1112a a b a b <+<++<+，所以这四个数据的平均数为1(1)(1)(2)34244a ab a b a b+++++++++=， 中位数为 (1)(1)44224a a b a b++++++=， 于是 4423421444a b a b ++++-=.4．D解：设小倩所有的钱数为x 元、小玲所有的钱数为y 元，x y ，均为非负整数. 由题设可得2(2)2()x n y y n x n +=-⎧⎨+=-⎩，，消去x 得 (2y －7)n = y+4， 2n =721517215)72(-+=-+-y y y .因为1527y -为正整数，所以2y －7的值分别为1，3，5，15，所以y 的值只能为4，5，6，11．从而n 的值分别为8，3，2，1；x 的值分别为14，7，6，7．5．D解：掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个，其和除以4的余数分别是0，1，2，3的有序数对有9个，8个，9个，10个，所以01239891036363636p p p p ====，，，，因此3p 最大．二、填空题6．7＜x ≤19解：前四次操作的结果分别为3x －2，3(3x －2)－2 = 9x －8，3(9x －8)－2 = 27x －26，3(27x －26)－2 = 81x －80.由已知得27x－26≤487， 81x －80＞487.解得 7＜x ≤19.容易验证，当7＜x ≤19时，32x -≤487 98x -≤487，故x 的取值范围是 7＜x ≤19．7．8解：连接DF ，记正方形ABCD 的边长为2a . 由题设易知△BFN ∽△DAN ，所以21AD AN DN BF NF BN ===， 由此得2AN NF =，所以23AN AF =.在Rt △ABF 中，因为2AB a BF a ==，，所以AF ，于是 cos AB BAF AF ∠=. 由题设可知△ADE ≌△BAF ，所以 AED AFB ∠=∠，0018018090AME BAF AED BAF AFB ∠=-∠-∠=-∠-∠=. 于是 cos AM AE BAF =⋅∠=，23MN AN AM AF AM =-=-=，415MND AFD S MN S AF ∆∆==. 又21(2)(2)22AFD S a a a ∆=⋅⋅=，所以2481515MND AFD S S a ∆∆==.因为a ，所以8MND S ∆=. 8．32-解：根据题意，关于x 的方程有∆=k 2－4239(3)42k k -+≥0，由此得 (k －3)2≤0．又(k －3)2≥0，所以(k －3)2=0，从而k=3. 此时方程为x 2+3x+49=0，解得x 1=x 2=32-.故2012220111x x =21x =23-．9．8解：设平局数为a ，胜（负）局数为b ，由题设知23130a b +=，由此得0≤b ≤43. 又 (1)(2)2m m a b +++=，所以22(1)(2)a b m m +=++. 于是0≤130(1)(2)b m m =-++≤43，87≤(1)(2)m m ++≤130，由此得 8m =，或9m =.当8m =时，405b a ==，；当9m =时，2035b a ==，，5522a b a +>=，不合题设. 故8m =．10．223 解：如图，连接AC ，BD ，OD.由AB 是⊙O 的直径知∠BCA =∠BDA = 90°. 依题设∠BFC = 90°，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，所以∠BCF =∠BAD,所以 Rt △BCF ∽Rt △BAD ，因此BC BACF AD=. 因为OD 是⊙O 的半径，AD = CD ，所以OD 垂直平分AC ，OD ∥BC ， 于是2DE OEDC OB==. 因此 223DE CD AD CE AD ===，.由△AED ∽△CEB ，知DE EC AE BE ⋅=⋅．因为322BA AE BE BA ==，， 所以 32322BA AD AD BA ⋅=⋅，BA=22AD ，故 AD CF BC BA =⋅==三、解答题11．解： 因为当13x -<<时，恒有0y <，所以23420m m ∆=+-+>（）（），即210m +>（），所以1m ≠-． ………（5分） 当1x =-时，y ≤0；当3x =时，y ≤0，即2(1)(3)(1)2m m -++-++≤0，且 233(3)2m m ++++≤0，解得m ≤5-． ………（10分）设方程()()2320x m x m ++++=的两个实数根分别为12x x ，，由一元二次方程根与系数的关系得()121232x x m x x m +=-+=+，．因为1211910x x +<-，所以121239210x x m x x m ++=-<-+， 解得12m <-，或2m >-．因此12m <-． …………（20分） 12． 证明：连接BD ，因为OB 为1O 的直径，所以90ODB ∠=︒．又因为DC DE =，所以△CBE 是等腰三角形．…………（5分）设BC 与1O 交于点M ，连接OM ，则90OMB ∠=︒．又因为O C O B =，所以22BOC DOM DBC ∠=∠=∠12DBF DO F =∠=∠．…………（15分）又因为1BOC DO F ∠∠，分别是等腰△BOC ，等腰△1DO F 的顶角，所以△BOC ∽△1DO F ． …………（20分）13．解：设a －b = m （m 是素数），ab = n 2（n 是正整数）. 因为 (a+b)2－4ab = (a －b)2， 所以 (2a －m)2－4n 2= m 2，(2a －m+2n)(2a －m －2n) = m 2. ………（5分）因为2a －m+2n 与2a －m －2n 都是正整数，且2a －m+2n ＞2a －m －2n (m 为素数)，所以 2a －m+2n =m 2，2a －m －2n =1.解得 a =2(1)4m +，n =214m -.于是 b = a －m =214m -（）. …………（10分）又a ≥2012，即2(1)4m +≥2012.又因为m 是素数，解得m ≥89. 此时，a ≥41)(892+=2025.当2025a =时，89m =，1936b =，1980n =.因此，a 的最小值为2025. …………（20分） 14．解：由于122012x x x ，， ，都是正整数，且122012x x x <<<，所以1x ≥1，2x ≥2，…，2012x ≥2012．于是 122012122012n x x x =+++≤1220122012122012+++=．…………（10分） 当1n =时，令12201220122201220122012x x x ==⨯=⨯，， ，，则1220121220121x x x +++=.…………（15分） 当1n k =+时，其中1≤k ≤2011，令 1212k x x x k ===，， ，，122012(2012)(1)(2012)(2)(2012)2012k k x k k x k k x k ++=-+=-+=-⨯,，，则1220121220121(2012)2012k k x x x k+++=+-⋅-1k n =+=． 综上，满足条件的所有正整数n 为122012， ， ， ． …………（20分）。