极差和方差(第二课时)
八年级数学下册 20.12《极差、方差复习二》课案(教师用) 新人教版
课案（教师用）极差、方差复习（第二课时）（复习课）【理论支持】《初中数学课程标准》中提出，学生的数学学习应当是一个生动、活泼，富有个性的过程．要让学生经历数学知识的形成过程．明确指出学生的数学学习内容应当是有意义的、富有挑战性的，要有利于学生主动地进行观察、实验、猜想、验证、推理与交流等数学活动．倡导动手实践、自主探索、与合作交流等学习数学的重要方式．著名教育家布鲁纳说：“教一个人某门学科，不是要他把一些结果记下来，而是教他参与把知识建立起来的过程．”初中数学课程标准中提出：抽象数学概念的教学，要关注概念的实际背景与形成过程，帮助学生克服机械记忆概念的学习方式．因此，在教学中，教师不是告诉学生一个结果，让学生进行机械记忆与简单模仿．而要让学生充分参与知识的形成过程，发展学生的思维，把知识转化为学生内在的认知品质．初中数学课程标准中又提出，数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上．教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验．学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者．因此，在数学教学过程中，教师要有目的，有计划的引导学生把所学知识联系、运用于生活实际，并组织学生主动参与具有生活实际背景的数学实践活动中，这样做不仅能帮助学生巩固所学的数学知识，又能帮助学生开阔数学的视野，培养学生的应用意识，体验数学的实践性《极差、方差复习》是新人教版八年级下册第二十章的内容，“方差”属于数学中的概率统计范畴，它的特点是与生产及日常生活中的实际问题紧密联系，对学生统计观念的形成有着举足轻重的作用．同时又体现数学来源于生活，又能服务于生活．通过本节课的研究，旨在让学生体会数学与现实生活的紧密联系,增强应用意识,提高运用代数方法解决问题的能力，认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具.教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验，体验到数、和图形是有效地描述现实世界的重要手段与解决实际问题的重要工具．【教学目标】1.知识目标：(1) 掌握刻画数据离散程度的“极差”“方差”“标准差”三个量度．(2) 会动手和利用计算器计算“方差”“标准差”2．能力训练目标：(1)通过数据分析的学习，培养学生探索数学规律的能力．(2)在具体实例中体会样本估计总体的思想．3．情感、态度与价值观目标：通过解决生活中的数学问题，培养学生认真参与、积极交流的主体意识，通过数据分析，培养学生善于用数学的眼光认识世界，进一步增强学生的数学素养．【教学重难点】1. 重点：方差、标准差的概念及其区别2. 难点：方差、标准差的应用【课时安排】一课时【教学设计】课前延伸1．某校八（1）班同学身高最高的是1.71m，最低的是1.48m，则这个班学生身高的极差是m．2. 明明记录了自己最近5次的数学小测验和英语小测验的分数，成绩（单位：分）如下：通过计算，知明明数学成绩的极差为，方差为；英语成绩的极差为，方差为．由此可以看出，明明的的成绩比较稳定．3. 一次科科技知识竞赛，两组学生成绩如下：如果你是这次竞赛的总评委，你准备把优胜奖颁给〖答案〗（1）0.23m．（2）21，45.84，10；13.04，英语．（3）甲组．因为甲、乙两组平均分一样，但甲的方差小于乙的方差，甲比较稳定，所以把优胜奖颁给甲组乙组．甲、乙两组平均分一样，但他们100分人数最多，所以把优胜奖颁给甲组．只要学生能够应用统计知识，叙述理由合理都行．〖设计说明〗通过这组练习强化概念和计算方法的运用，唤起学生对该部分的知识回忆．课内探究一、导入复习课：1．本章的内容已全部学完．现在如何调查一个情况，并且根据你获得数据，如何用极差、方差与标准差来描述这组数据的离散程度，根据统计结果做出合理的判断和预测，然后写出调查报告，我想大家现在心里应该有数.2．揭示课题，整理概念，板书1. 本章学习的刻画数据波动的统计量有哪些？2.什么叫极差？它刻画了一组数据的什么特性？3.什么叫方差与标准差？它又刻画了一组数据的什么特性？4..怎样用计算器求一组数据的方差与标准差3．建立知识框架图同学们通过刚才的几个问题回顾思考了我们这一章的重点内容，下面我们一同来构建本章的知识结构图.［师生共析］〖设计说明〗内容安排及结构设置上图形框架化，体现人文精神，帮助学生掌握知识点以及知识点间的联系． 二、检查预习情况：明确检查方法， 学生口答后论证．〖设计说明〗充分相信学生，给学生以最大的自主探索空间，这样既能让学生自主获取数学知识与技能，而且还能让学生达到对知识的深层次理解，更主要的是能让学生在探究过程中学习科学研究的方法，从而增强学生的自主意识，培养学生的探索精神和创新思维．三、课堂反馈训练：：1.在一次芭蕾舞比赛中,甲、乙两个芭蕾舞团表演 了舞剧《天鹅湖》,参加表演的女演员的身高 (单位:cm)分别是甲团 163 164 164 165 165 165 166 167 乙团 163 164 164 165 166 167 167 168:甲、乙两团演员的平均身高是多少？哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐? 〖参考答案〗解:甲、乙两团演员的平均身高分别是166816821671661652164163165816716631652164163≈+⨯+++⨯+=≈++⨯+⨯+=乙甲——x x75.2836.18)166168()166164()166163(16516716516416516322222222≈+++=≈+++=------ ss 乙甲）（）（）（.22员的身高更整齐可知，甲芭蕾舞团女演由乙甲s s <〖设计说明〗让学生通过讨论发现已有知识无法很好的解决问题时,,就会思考如何从其它角度入手,发展学生的思维能力. 在本练习中第一问平均值显然不能作为评判的依据，因此引发学生思考，尝试从其它角度解决问题．2．某农科所在8个试验点，对甲、乙两种玉米进行对比试验，这两种玉米在各试验点的亩产量如下（单位：千克）甲：450 460 450 430 450 460 440 460 乙：440 470 460 440 430 450 470 440在这个试验点甲、乙两种玉米哪一种产量比较稳定？ 〖点拨方法〗由题目的提问可以知道:这道题所考查的知识点是极差方差．那么具体用哪个知识点解决这个问题呢？〖参考答案〗我们可以算极差.甲种玉米极差为460－430=30千克；乙种玉米极差为470－430=40千克.所以甲种玉米较稳定. 还可以用方差来比较哪一种玉米稳定. s 甲2=100，s 乙2=200. s 甲2＜s 乙2，所以甲种玉米的产量较稳定. 〖设计说明〗进一步让学生体会数学与现实生活的紧密联系,增强应用意识,提高运用代数方法解决问题的能力，认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具.课后提升1．春兰集团对应聘者甲、乙、丙进行面试，并从专业知识、工作经验、仪表形象三方面给应聘者打分，每一方面满分20分，最后的打分制成条形统计图（如图）．（1）利用图中提供的信息，在专业知 识方面3人得分的极差是多少？在工作经验方面3人得分的众数是多少？在仪表形象方面谁最有优势？（2）如果专业知识、工作经验、仪表形象三个方面的重要性之比为10∶7∶3，那么作为人事主管，你应该录用哪一位应聘者？为什么？ （3）在（2）的条件下，你对落聘者有何建议？2．张老师为了从平时在班级里数学成绩比较优秀的王军、张成两位同学中选拔一个参加“全国初中数学联赛”，对两位同学进行了辅导，并在辅导期间进行了10次测验，两位同学测验成绩记录如下表：利用上表中提供的数据，解答下列问题： （1）填写完成下表（2）张老师从测验成绩记录表中，求得王军10次测验成绩的方差233.2S 王，请你帮助张老师计算张成10次测验成绩的方差2S 张；〖参考答案〗1. 解：（1）专业知识方面3人得分极差是18－14=4 工作经验方面3人得分的众数是15 在仪表形象方面丙最有优势（2）甲得分：14×1020＋17×720＋12×320=29520 乙得分：18×1020＋15×720＋11×320=31820丙得分：16×1020＋15×720＋14×320=30720∴应录用乙（3）对甲而言，应加强专业知识的学习，同时要注意自己的仪表形象．对丙而言，三方面都要努力．重点在专业知识，和工作经验2. 解： （1）王军的众数为78张成的中位数为80（2）解：22221(8680)(8080)(7580)10S ⎡⎤=-+-++-⎣⎦ 张 11301310=⨯= （3）答：①王军、张成两位同学平均成绩相同，但22S S <王张，说明张成的成绩较稳定，所以选择张成．或②王军、张成两位同学的平均成绩相同，但在后三次测验中王军的成绩有较大的提高，所以选择王军．〖设计说明〗让学生独立观察、思考，动手实践，灵活运用所学知识解决问题．切忌生搬硬套． 第一题显然考查的是“平均数、中位数、众数”的知识点．第二题结论是开放式的．只要学生能够应用统计知识，叙述理由合理都行．。
极差方差(二)
极差、方差（二）【学习目标】理解极差和方差的意义和作用，并会求方差的值并分析数据信息，判断数据的波动性大小。
【学习重难点】重点：用极差、方差解决实际问题难点：正确理解用样本估计总体的思想。
【预习感知】（课前完成）甲乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩如图。
（1）分别求出两人得分的平均数与方差。
（2）根据成绩统计图及（1）算得的结果对两人的训练成绩作出评价。
【共研释疑】：1、某工厂新进了一批直径为12mm的螺丝，从中抽取了20个螺丝，并规定他们的方差若大于0．04，就要退货。
这20个螺丝的直径（单位：mm）如下：11．8 11．7 12．0 12．1 12．3 12．2 12．0 11．5 12．3 12．1 12．0 12．2 11．9 11．7 11．9 12．1 12．3 12．4 11．8 11．9请判断这个工厂是否需要退货？2、果农老张进行杨梅科学管理试验，把一片杨梅林分成甲乙两部分，甲地块用新技术管理，乙地块用老方法管理，管理成本相同。
在甲乙两地块上随即选取20棵杨梅树，根据每棵树产量把杨梅树划分成A ，B ，C ，D ，E 五个等级（甲乙两地块的等级划分标准相同，每组数据包括左端点不包括右端点）。
画出统计图如图； （1）补齐直方图，求a 的值；（2）选择合适的统计图，比较甲乙两地块的产量水平，并说明试验结果。
【评测拓展】1 已知一组数据—3，—2，1，3，6，x 的中位数是1，则方差是 。
2 一组数据的方差为2S ， 将这组数据中的每个数扩大3倍，所得的一组数据的方差是 。
3 数据2，2，4，4，4，6，6的极差是 ，平均数是 ，中位数是 ，众数是 。
4 若n 个数据123,,,,n x x x x 的方差为y ，平均数为m 。
（1）n 个新数据123100,100,100,,100n x x x x ++++的方差是 ，平均数是 （2）n 个新数据1235,5,5,,5n x x x x 的方差为 ，平均数为 。
八年级数学20.2.1极差方差课件人教版.ppt
乌鲁木 齐
10℃ 14℃ 20℃ 24℃ 19℃ 16℃
广州 20℃ 22℃ 23℃ 25℃ 23℃ 21℃
乌鲁木齐：24-10=14(℃) 广州： 25-20=5(℃)
Ⅰ.由上述计算你能得到什么信息？
探究
0︰00
4︰00 8︰00
12︰ 00
16︰ 00
20︰ 00
乌鲁木 齐
10℃ 14℃ 20℃ 24℃ 19℃ 16℃
3.极差、方差的区别与联系
极差是用一组数据中的最大值与最小值的差 来反映数据的变化范围，主要反映一组数据 中两个极端值之间的差异情况，对其他的数
区 据的波动不敏感。 别 方差是用“先平均，再求差，然后平方，最 ： 后再平均”的方法得到的结果，主要反映整
组数据的波动情况，是反映一组数据与其平 均值离散程度的一个重要指标，每个数据的 变化都将影响方差的结果，是一个对整组数 据波动情况更敏感的指标。
1 10
[ (28-26.9)2+(27-26.9)2+ …+(26-26.9)2 ]=0.89
现在你能说说两队参赛选手年龄的波动的情况吗？
方差:各数据与平均数的差的平方和的平均
数叫做这组数据的方差.
S2=
1 n
[ (x1-x)2+(x2-x)2+ +(xn-x)2 ]
方差用来衡量一批数据的波动大小
甲队 26 25 28 28 24 28 26 28 27 29
乙队 28 27 25 28 27 26 28 27 27 26
⑴ 两队参赛选手的平均年龄分别是多少？
⑵你能说说两队参赛选手年龄的波动的情况吗？
X
1 10
26
25
人教版八年级下册数学《极差和方差》数据的分析2精品PPT教学课件
7.64 7.50 7.40 7.41 7.41
7.55 7.56 7.53 7.44 7.49
乙
7.52 7.58 7.46 7.53 7.49
根据这些数据，应为农科院选择填 玉米种子提出怎样的建议呢？
2020/11/23
6
探究
品种
各试验田每公顷产量(单位:吨)
7.65 7.50 7.62 7.59 7.65
甲
7.64 7.50 7.40 7.41 7.41
7.55 7.56 7.53 7.44 7.49
乙
7.52 7.58 7.46 7.53 7.49
Ⅱ.作为粮食产量，你又会关注粮食产量 的哪个方面？
S 0.01 S 0.02 2020/11/23
2甲
2
乙
10
探究
品种
各试验田每公顷产量(单位:吨)
2020/11/23
3
复习
2.两名篮球运动员进行投篮比赛，若甲
运动员的成绩方差为0.12，乙运动员成
绩的方差为0.079，由此估计，
的
成绩比的 成绩稳定。
2020/11/23
4
导入
农科院为了选出适合某地种植的甜 玉米种子，对甲、乙两个品种各用10块 试验田进行试验，得到各试验田每公顷 的产量如下表：
甲
7.64 7.50 7.40 7.41 7.41
7.55 7.56 7.53 7.44 7.49
乙
7.52 7.58 7.46 7.53 7.49
Ⅱ.作为粮食产量，你又会关注粮食产量 的哪个方面？
2020/11/23
产量的稳定性
9
探究
品种
各试验田每公顷产量(单位:吨)
《极差和方差》数据的分析PPT课件-人教版八年级数学下册PPT课件
（85-90）+（90-90）+（90-90）+（90-90）
+（95-90）= 0
乙同学成绩与平均成绩的偏差的和:
（95-90）+（85-90）+（95-90）+（85-90）
+（90-90）= 0
甲 85 90 90 90 95
乙 95 85 95 85 90
_
_
x甲 90(分) x乙 90(分)
25
23 22
20
23 21
14 10
24 20
19 16
25
23 22
20
23 21
(1)乌鲁木齐的气温的最大值、最小值各是多少?温差是多少?
广 州呢?
气温 最大值 最小值 温差
乌鲁木齐 广州
24℃ 25℃
10℃ 20℃
14℃ 5℃
（2）你认为两个地区的气温情况怎样? 乌鲁木齐的气温变化幅度较大，广 州的气温变化幅度较小．
数学 70 95 75 95 90
英语 80 85 90 85 85
通过对小明的两科成绩进行分析, 你有何看法? 对小明的学习你有什么建议?
平均数：都是85 方差：①数学 110； ②英语 10 建议:英语较稳定但要提高； 数学不够稳定有待努力 进步!
极差和方差的区别与联系: 联系:极差和方差都是用来衡量（或描述） 一组数据偏离平均数的大小（即波动大小） 的指标, 常用来比较两组数据的波动情况。
——与考试次数有关！ 所以要进一步用各偏差平方的平均数来衡量数据的稳定 设一组数据x1、x2、…、x性n中．，各数据与它们的平均数 的差的平方分别是(x1－x)2、(x2－x)2 、… (xn－x)2 ， 那么我们用它们的平均数，即用
极差、方差(2)教学课件下载
15
x乙 75 73 79 72 71 75 74.9
15
s甲2
1 15
74 74.72 74 74.72 73 74.72
2.62
s乙2
1 15
75 74.92 73 74.92 75 74.92
8.2
s s 因为 2 甲
2 乙
，所以选择甲厂鸡腿加工。
②数据a1-3，a2 -3，a3 -3 ，…，an -3的平均数为 --X------3---，方差为---Y-----
③数据3a1，3a2 ，3a3 ，…，3an的平均数为----3--X-----，方差为---9--Y-----.
2X-3 ④数据2a1-3，2a2 -3，2a3 -3 ，…，2an -3的平均数为 ----------，
甲成绩 （环数）
7
8
6
8
6
5
9 10 7
4
乙成绩 （环数） 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
X甲 =7 X乙 =7
S2 甲 =3
S2 乙 =？
①求方差S乙2；
S2 乙
=1.2
②赛后,甲乙两个同学都说自己是胜者,争执不下.请你 根据所学过的统计知识，进一步判断甲乙两个同学
在这次测试中成绩谁优谁次，并说明理由。
7.65 7.50 7.62 7.59 7.65
甲
7.64 7.50 7.40 7.41 7.41
7.55 7.56 7.53 7.44 7.49
乙
7.52 7.58 7.46 7.53 7.49
Ⅰ.作为粮食，你首先会关注粮食的哪 个方面？
x甲 7.54 x乙 7.52
探究
品种
各试验田每公顷产量(单位:吨)
极差和方差(2)
20.2.2 极差和方差（2）设计人: 林 洋 第 12 周第 6 课时 总第( 62 )节 时间：__________班级____________姓名____________教师寄语：数学正如一座高峰，就看你有无攀登的勇气！ 教师寄语：数学可以为你插上腾飞的翅膀！ 学习目标：1. 学会方差的定义和计算公式。
2. 会用方差计算公式来比较两组数据的波动大小。
重点：方差产生的必要性和应用方差公式解决实际问题。
难点：知道方差公式.。
一、自主学习： 知识我先懂：方差：设有n 个数据n x x x ，，， 21，各数据与它们的平均数的差的平方分别是 我们用它们的平均数，表示这组数据的方差：即用 来表示。
给力小贴士：方差越小说明这组数据越 。
波动性越 。
二、自主检测小练习：1、已知一组数据为2、0、-1、3、-4，则这组数据的方差为 。
2、甲、乙两组数据如下：甲组：10 9 11 8 12 13 10 7； 乙组：7 8 9 10 11 12 11 12．分别计算出这两组数据的极差和方差，并说明哪一组数据波动较小．三、新课讲解：引例：问题： 从甲、乙两种农作物中各抽取１０株苗，分别测得它的苗高如下：（单位：cm ）甲：9、10、1０、１３、7、13、10、8、１１、8； 乙：8、13、12、11、10、12、7、7、１０、１０； 问：（1）哪种农作物的苗长的比较高（我们可以计算它们的平均数：x = ）（2）哪种农作物的苗长得比较整齐？（我们可以计算它们的极差，你发现了 ）归纳： 方差：设有n 个数据n x x x ，，， 21，各数据与它们的平均数的差的平方分别是我们用它们的平均数，表示这组数据的方差：即用 来表示。
（一）例题讲解：例1、 段巍和金志强两人参加体育项目训练，近期的5次测试成绩如下表所示，谁的成绩比较稳定？为什么？、给力提示：先求平均数，在利用公式求解方差。
三、小试身手1、.甲、乙两名学生在相同的条件下各射靶10次，命中的环数如下：甲：7、8、6、8、6、5、9、10、7、4 乙：9、5、7、8、7、6、8、6、7、7经过计算，两人射击环数的平均数是，但S2甲= ，S2乙= ，则S2甲S2乙，所以确定去参加比赛。
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乌鲁木 齐
10℃ 14℃ 20℃ 24℃ 19℃ 16℃
广州 20℃ 22℃ 23℃ 25℃ 23℃ 21℃
乌鲁木齐：24-10=14(℃) 广州： 25-20=5(℃)
Ⅰ.由上述计算你能得到什么信息？
探究
0︰00
4︰00 8︰00
12︰ 00
16︰ 00
20︰ 00
乌鲁木 齐
10℃ 14℃ 20℃ 24℃ 19℃ 16℃
543 451 342 2341 4567 1453 4325 4321
P138 练习
1200 1432 1321 1780 3240 6865 4536 5621 2314 5621 863 6783 6578 9210 1105 1342 653 365 1243 3452 3452 1876 3562 3425
5.93
6.07
5.91
5.99
6.13
5.98
6.05
6.00
6.19
乙
6.11
6.08
5.83
5.92
5.84
5.81
6.18
6.17
5.85
6.21
在这10次测验中，哪名运动员的成绩更稳定？（可以使用计算器）
5.85 5.93 6.07 5.91 5.99 6.13 5.98 6.05 6.00 6.19
0︰00
4︰00 8︰00
12︰ 00
16︰ 00
20︰ 00
乌鲁木 齐
10℃ 14℃ 20℃ 24℃ 19℃ 16℃
广州 20℃ 22℃ 23℃ 25℃ 23℃ 21℃
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八级数学下册 20.12《极差、方差复习二》课案(学生用)(无答案)
课案（学生用）极差、方差复习（第二课时）（复习课）【学习目标】1．知识技能（1）区别极差、方差差异．（2）极差、方差的应用公式．2．解决问题（1）通过数据分析的复习，能应用极差方差解决简单问题．(2)在具体实例中体会样本估计总体的思想．3．情感态度通过解决生活中的数学问题，认真参与、积极交流，通过数据分析，要善于用数学的眼光认识世界，进一步增强数学素养．手段．【学习重难点】1. 重点：方差、标准差的概念及其区别2. 难点：方差、标准差的应用课前延伸1．某校八（1）班同学身高最高的是1.71m，最低的是1.48m，则这个班学生身高的极差是m．2. 明明记录了自己最近5次的数学小测验和英语小测验的分数，成绩（单位：分）如下：通过计算，知明明数学成绩的极差为，方差为；英语成绩的极差为，方差为．由此可以看出，明明的的成绩比较稳定．3. 一次科科技知识竞赛，两组学生成绩如下：如果你是这次竞赛的总评委，你准备把优胜奖颁给自主学习记录卡一、课堂探究11. 本章学习的刻画数据波动的统计量有哪些？2.什么叫极差？它刻画了一组数据的什么特性？3.什么叫方差与标准差？它又刻画了一组数据的什么特性？4..怎样用计算器求一组数据的方差与标准差二、课堂探究2建立知识框架图三、反馈训练1.在一次芭蕾舞比赛中,甲、乙两个芭蕾舞团表演了舞剧《天鹅湖》,参加表演的女演员的身高(单位:cm)分别是甲团 163 164 164 165 165 165 166 167乙团 163 164 164 165 166 167 167 168:甲、乙两团演员的平均身高是多少？哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐?2.某农科所在8个试验点，对甲、乙两种玉米进行对比试验，这两种玉米在各试验点的亩产量如下（单位：千克）甲：450 460 450 430 450 460 440 460乙：440 470 460 440 430 450 470 440在这个试验点甲、乙两种玉米哪一种产量比较稳定？课后提升1．春兰集团对应聘者甲、乙、丙进行面试，并从专业知识、工作经验、仪表形象三方面给应聘者打分，每一方面满分20分，最后的打分制成条形统计图（如图）．（1）利用图中提供的信息，在专业知 识方面3人得分的极差是多少？在工作经验方面3人得分的众数是多少？在仪表形象方面谁最有优势？（2）如果专业知识、工作经验、仪表形象三个方面的重要性之比为10∶7∶3，那么作为人事主管，你应该录用哪一位应聘者？为什么？ （3）在（2）的条件下，你对落聘者有何建议？2．张老师为了从平时在班级里数学成绩比较优秀的王军、张成两位同学中选拔一个参加“全国初中数学联赛”，对两位同学进行了辅导，并在辅导期间进行了10次测验，两位同学测验成绩记录如下表：利用上表中提供的数据，解答下列问题： （1）填写完成下表（2）张老师从测验成绩记录表中，求得王军10次测验成绩的方差233.2S 王，请你帮助张测验成绩记录表老师计算张成10次测验成绩的方差2S 张．。
数据的数字特征(第2课时+极差、方差与标准差)(教学课件)
课堂练习
【训练 5】在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没 有发生大规模群体感染的标志为“连续 10 天，每天新增疑似病例不超过 7 人”， 根据过去 10 天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 () A.甲地：总体平均数为 3，中位数为 4 B.乙地：总体平均数为 1，总体方差大于 0 C.丙地：中位数为 2，众数为 3 D.丁地：总体平均数为 2，总体方差为 3
提示：平均数相同只能说明五次射击的平均环数一样， 但是并不知道其稳定性怎么样.
新知探索 知识点一：极差
一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的 差.不难看出,极差反映了一组数的变化范围,描述了这组 数的离散程度.
注意：极差反映了一组数据变化的最大幅度，它对一组数 据中的极端值极为敏感，极差只需考虑两个极端值，便于 计算，但没有考虑中间的数据，可靠性较差.
即时训练 知识点二：方差与标准差
【解析】(1)甲组：最高分为 95 分，最低分为 60 分，极差为 95－60＝35(分)， 平均分为甲＝110×(60＋90＋85＋75＋65＋70＋80＋90＋95＋80)＝79(分)， 方差为 s2甲＝110×[(60－79)2＋(90－79)2＋(85－79)2＋(75－79)2＋(65－79)2＋(70 －79)2＋(80－79)2＋(90－79)2＋(95－79)2＋(80－79)2]＝119， 标准差为 s 甲＝ s2甲＝ 119≈10.91(分).
,
.
【解析】(1)将每一个数乘以 10,再减去 190,可得
为
方差为
这组新数的平均数
由此可知,所求平均数为 19.2,方差为
.
教材例题
(2)可将数据整理为
5.1.2第二课时极差、方差与标准差
设乙班40名学生的成绩分别是b1，b2，…，b40，那么乙班的平均成绩和方差分别为
－x乙＝b1＋b2＋40…＋b40＝85(分)， s2乙＝（b1－－x乙）2＋（b2－－x4乙0）2＋…＋（b40－－x乙）2＝360. 如果不知道a1，a2，…，a50和b1，b2，…，b40，只知道甲、乙两班的平均成绩、方 差及甲、乙两班的人数，那么根据前面的分析，全部90名学生的平均成绩应为 －x＝50－ 5x甲 0＋ ＋4400－x乙＝50×80.59＋0 40×85＝82.5(分)，
【训练2】 在考察某中学学生身高时，采用分层抽样的方法得到了20名男生身高的平
均值为170，方差为16；15名女生的身高的平均值为165，方差为25，试计算这35名
学生的方差.
解
由
题
意
知
－
x
男
＝
170
，
s
2
男
＝
16
，
－
x
女
＝
165
，
s
2
女
＝
25
，
则
－
x
＝
20×170＋15×165 20＋15
≈167.86，s2＝20×[16＋（170－167.86）2]＋ 3515×[25＋（165－167.86）2]≈25.98.
方差 s2＝50[s2甲＋（－x甲－－x）520]＋＋4400[s2乙＋（－x乙－－x）2] ＝50×[500＋（80.5－82.5）29]＋0 40×[360＋（85－82.5）2] ＝50×500＋50×4＋9400×360＋40×6.25≈442.78.
规律方法 若样本中有两层，第一层有 m 个数，分别为 x1，x2，…，xm，平均数 为－x，方差为 s2；第二层有 n 个数，分别为 y1，y2，…，yn，平均数为－y，方差为 t2， 则样本的均值为a－＝mm－x＋ ＋nn－y，方差为m[s2＋（－x－a－）m2]＋＋nn[t2＋（－y－a－）2].
21_3_2极差 方差与标准差(第二课时)(2)
x 、5、7, 、1 x923…、xx11n12、3x2
x 2...3xn
2
（2）分别比较 A与 B 、 A与C、
x x 规律；有两组数据，设其平均数分别为
,
1
2
s s 方差分别为 2 , 2
1
2
x s s x m(!个) 当单第位二时组，每个则数有据2 比第=一1组每+个m,数据22 增=加12
我们能够用“先平均，再求差，然后 平方，最后再平均”得到的结果表示一 组数据偏离平均值的情况．这个结果通 常称为方差（variance）．
方差越大,说明这组数据偏离平均值的 情况越严重,即离散水准较大,数据也越不稳定．
方差反映的是一组数据与平均值 的离散水准或一组数据的稳定水准．
定义
方差：各数据与它们的平均数的差第二课时）(2)
练习：
1.数据 x1、x2、x3、的平均数是3，则2 x1、2 x2、2 x3的平均数是_6__. 2.数据 x1、x2、x3、x4 平均数是2，方差是2，则 3 x1 1、3 x2 1、3 x3 1、3 x4 1的平均数是_5__,方差是__1_8__.
21、3极差、方差与标准差
第二课时
方差和标准差
教学目标
❖1.了解方差、标准差的意义． ❖2.知道计算方差和标准差公式的来
历并会利用它实行计算． ❖3.会利用方差和标准差的计算结果
来分析一组数据的离散水准．
自学指导
❖ 看课本，思考一下问题： ❖ 1、通过看“问题2”填写表21.3.3、21.3.4和
方差是用“先平均，再求差，然后平方，最 后再平均”的方法得到的结果，主要反映整组 数据的波动情况，是反映一组数据与其平均值 离散水准的一个重要指标，每个数年据的变化 都将影响方差的结果，是一个对整组数据波动 情况更敏感的指标。在实际使用时，往往计算 一组数据的方差，来衡量一组数据的波动大小。 标准差实际是方差的一个变形，仅仅方差的单 位是原数据单位的平方，而标准差的单位与原 数据单位相同。
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命中环数 甲 乙
5 1 1
6 4 2
7 2 4
8 1 2
9 1 1
10 1 0
试计算两人射击成绩的平均数、众数、中位数、方差 并根据上述数据评价两人的射击水平。
1. 本 节 主 要 知 识 内容?
设有n 个数据x1，x2，…，xn ，各数据与它们的平均数的差的平方分
别是 x x , x x , , x x ，我们用它们的平均数，即用 1 2 n
5.85 5.93 6.07 5.91 5.99 6.13 5.98 6.05 6.00 6.19 x甲 6.01 10 6.11 6.08 5.83 5.92 5.84 5.81 6.18 6.17 5.85 6.81 x乙 6.00 10 2 1 2 2 s甲 (5.85 6.01) (5.93 6.01) (6.07 6.01) 2 (6.19 6.01) 2 0.00954 10 1 2 s乙 (6.11 6) 2 (6.08 6) 2 (5.83 6) 2 (6.21 6) 2 0.02434 10
20.2.1数据的波动
极差与方差（第二课时）
极差可以反映数据的波动范围，除此之外，统计中还常 采用考察一组数据与它的平均数之间的差别的方法，来 反映这组数据的波动情况．
讨 论 在一次女子排球比赛中，甲、乙两队来参赛选手的年龄如下： 甲队 26 25 28 28 24 28 26 28 27 29 乙队 28 27 25 28 27 26 28 27 27 26 （1）两队参赛选手的平均年龄分别是多少？ （2）你能说说两队参赛选手年龄波动的情况吗？
2
来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方 差（variance），记作s2 方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波 动就越小
两组数据的方差分别是：
2 2 2 26 26.9 25 26.9 29 26.9
2 s甲
10
2.29 0.89
8 7 6 5 4 3 2 1 0
（3）3 3 4 6 8 9 9
(3 6) 2 (3 6) 2 (4 6) 2 (6 6) 2 (8 6) 2 (9 6) 2 (9 6) 2 48 s 7 7
2
x
3 2 4 6 8 9 2 6 7
甲队的平均年龄分布
30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
数据序号
乙队的平均年龄分布
比较上面的两幅图可以看出，甲队选手的年龄与其平均 年龄的偏差巨大，乙队选手的年龄较集中地分布在平均 年龄左右，那么我们从图中看出的结果能否用一个量来 刻画呢？ 为了刻画一组数据的波动大小，可以采用很多方法， 统计中常采用下面的做法：
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
2、下面是两名跳远运动员的10次测验成绩（单位：m）
甲
5.85 6.13 6.11
5.93 5.98 6.08
6.07 6.05 5.83
5.91 6.00 5.92
5.99 6.19 5.84
乙
5.81
6.18
6.17
5.85
6.21
在这10次测验中，哪名运动员的成绩更稳定？（可以使 用计算器）
163 164 2 165 3 166 167 x甲 165 8
163 165 s２＝
甲
２ ２ ２ 163 166 164 166 168 166 s２＝ ＝2.75 乙
２
163 164 2 165 166 167 ２ 168 x乙 166 8
2 2 1 s x1 x x2 x xn x n 2
2
2
2
2
来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差 （variance），记作s2
方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动就越小
6 7 x 6 7
8 7 6 5 4 3 2 1 0
（2）5 5 6 6 6 7 7
(5 6) 2 (5 6) 2 (6 6) 2 (6 6) 2 (6 6) 2 (6 7) 2 (6 7) 2 4 s 7 7
2
25 63 7 2 x 6 7
设有n 个数据x1，x2，…，xn ，各数据与它们的平均数的差的平方分
别是 x x , x x , , x x ，我们用它们的平均数，即用 1 2 n
2 2 1 s x1 x x2 x xn x n 2
2
2
2
6 １已知一组数据为2,0,-1,3,-4,则这组数据的方差为(__) ２．甲乙两名同学在相同的条件下各射靶10次， 命中的环数如下： 甲：7、8、6、8、6、5、9、10、7、4 乙：9、5、7、8、7、6、8、6、7、7 2 2 ＞ 经过计算，两人射击环数的平均数相同，但S __S 乙 ， 甲 所以确定 乙 去参加比赛。
2 s乙
2 2 2 28 26.9 27 26.9 26 26.9
10
2 2 s s 显然 甲 乙
，由此可知甲队选手年龄的波动较大， 这与我们从图看到的结果 是一致的．
例1 在一次芭蕾舞的比赛中，甲乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧 （天鹅湖），参加表演的女演员的身高（单位：cm）分别是 甲团 163 164 164 165 165 165 166 167 乙团 163 164 164 165 166 167 167 168 哪个芭蕾舞团的女演员的身高更整齐？ 解: 甲乙两团演员的身高更分别是：
8
２ ２
由
２ s２ ＜ s 乙 甲
164 165 167 165 1.36 8
可知甲芭蕾舞团女演员的身高更整齐．
练习
１、用条型图表示下列各组数据，计算并比较它们的平均 数和方差，体会方差是怎样刻画数据的波动程度的．
（ 1） 6 6 6 6 6 6 6 2 2 2 2 2 2 2 ( 6 6 ) ( 6 6 ) ( 6 6 ) ( 6 6 ) ( 6 6 ) ( 6 6 ) ( 6 6 ) s2 0 7
2 甲
3. 甲、乙两台机床生产同种零件，10天出的次品分别是 甲：0、1、0、2、2、0、3、1、2、4 乙：2、3、1、2、0、2、1、1、2、1 分别计算出两个样本的平均数和方差，根据你的计算判断哪台机床 的性能较好？ 平均数 1.5 1.5 方差 0.975 0.425 乙
4、甲、乙两名学生进行射击练习，两人在相同条件下
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
（4）3 3 3 6 9 9 9
(3 6) 2 (3 6) 2 (3 6) 2 (6 6) 2 (9 6) 2 (9 6) 2 (9 6) 2 54 s 7 7
2
3 3 6 9 3 6 7
上面两组数据的平均数分别是
用图表整理这 两组数据，分 x甲 26.9， x乙＝26.9 析你画出的图 表，看看你能 即甲、乙两队参赛选手的平均年龄相同 得出哪些结论？
30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
数据序号