2解三角形-教师版(文科)全国卷(1,2,3)解答题分类汇编

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三角函数、解三角形——2024届高考数学试题分类汇编(解析版)

2024高考复习·真题分类系列2024高考试题分类集萃·三角函数、解三角形
微专题总述：三角函数的图像与性质
【扎马步】2023高考三角函数的图像与性质方面主要考察“卡根法”的运用，是最为基础的表现
【雕龙头】在稳中求新的过程中，2023高考试题也透露出了新的风向，加强图像考察与其他知识点如几何、函数的结合，对称思想的隐含
微专题总述：正弦定理与余弦定理的应用
【扎马步】2023高考解三角形小题部分紧抓“教考衔接”基础不放，充分考察正余弦定理的运用
【雕龙头】在稳中求新的过程中，2023高考试题也透露出了新的风向，在考察正余弦定理时与角平分线定理结合（初中未涉及此定理）
微专题总述：解三角形综合问题
【扎马步】2023高考解三角形大题部分仍然与前几年保持一直模式，结构不良题型日益增多，但方向不变，均是化为“一角一函数”模式是达到的最终目的，考察考生基本计算与化简能力
【雕龙头】在稳中求新的过程中，2023高考试题也透露出了新的风向，如新高考卷中出现的数形结合可加快解题速度，利用初中平面几何方法快速求出对应参量在近几年高考题中频繁出现，可见初高中结合的紧密 2023年新课标全国Ⅰ卷数学
16．已知在ABC 中，
()3,2sin sin A B C A C B +=−=． (1)求sin A ；
(2)设5AB =，求AB 边上的高．
2023高考试题分类集萃·三角函数、解三角形参考答案
2。

解三角形(文科)解答题30题--高考数学复习提分复习资料教师版

专题2解三角形（文科）解答题30题1．（广西邕衡金卷2023届高三第二次适应性考试数学（文）试题）记ABC 的面积为S ，其内角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，已知1c =，)2214a b S +-=．(1)求C ；(2)求ABC 面积的最大值．2．（内蒙古自治区赤峰市2022届高三模拟考试数学（文科）4月20日试题）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．(1)求tan B 的值；(2)设3a =，1c =，求b 和△ABC 的面积．3．（山西省运城市2022届高三5月考前适应性测试数学（文）试题（A 卷））在ABC中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos sin cos sin )a C A A c A =-.(1)求A ；(2)a =，ABC 的外接圆圆心为点P ，求PBC 的周长.4．（贵州省贵阳市白云区2023届高三上学期阶段性质量监测数学（文）试题）在ABC中，内角、、A B C 的对边分别为a 、b 、c ，在条件：①sin cos a C A ；()sin 0B C A ++=；③222sin sin sin sin sin B C B C A +-=，从上述三个条件中任选一个作为题目的补充条件，你的选择是______，并解答下面问题：(1)求角A 的大小；(2)若b c a +=ABC 的面积.5．（江西省宜春市丰城中学2022届高三高考模拟数学（文）试题）在ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，sin sin 2B Cb a B +⋅=，(1)求角A ；(2)若2AB AC ⋅=，求a 的最小值.6．（山西省太原市2022届高三下学期三模文科数学试题）已知锐角ABC中，()()sin sinA B A B+=-=.(1)求tan tanAB；(2)若7AB=，求ABC的面积S.7．（陕西省西安市莲湖区2022届高三下学期高考模拟考试文科数学试题）在①()cos 2cos A B C =+，②sin cos a C A =这两个条件中任选一个作为已知条件，然后解答问题．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，______．(1)求角A ；(2)若2b =，4c =，求ABC 的BC 边上的中线AD 的长．8．（陕西省西安地区八校2022届高三下学期5月联考文科数学试题）如图，在平面四边形ABCD 中，E 为AD 2AB =，3BC AE ==，5CD DE ==.(1)若2BE =，求()tan ABE BEA ∠+∠的值；(2)若120BCD ∠=︒，求BE 的长.（2）连接BD .在BCD △中，3BC =，CD 2235235cos1203430BD =+-⨯⨯⨯︒=-由余弦定理，得22232cos 23BE AEB BE +-∠=⨯⨯余弦定理，得22257cos BE BED +-==∠9．（2023·河南信阳·河南省信阳市第二高级中学校联考一模）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22a b bc -=.(1)求证：2A B =；(2)若3cos 4B =，点D 为边AB 上的一点，CD 平分ACB ∠，1CD =，求边长b .中，由正弦定理可得：在ACD10．（2022·贵州贵阳·贵阳一中校考模拟预测）在①10ac =，②a =③()sin sin 6sin b A C B +=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值及三角形ABC 的面积；若问题中的三角形不存在，请说明理由.问题：是否存在,ABC 它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos2,3,sin Bb bc C==___________？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.11．（广东省潮州市2022届高三下学期二模数学试题）已知在ABC 中，A ，B ，C 为三个内角，a ，b ，c 为三边，2cos c b B =，2π3C =．(1)求角B 的大小；(2)在下列两个条件中选择一个作为已知，求出BC 边上的中线的长度．①ABC 的面积为4；②ABC 的周长为4+的三个12．（贵州省铜仁市2023届高三上学期期末质量监测数学（文）试题）设ABC的面积为S．且有关系式：内角A，B，C所对的边长为a，b，c，ABC2+=+．cos2cos22cos2sin sinA B C A B(1)求C；(2)求2cS的最小值．13．（广西四市2022届高三4月教学质量检测数学（文）试题）设ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且2cos 2sin c b A b A -=．(1)证明：()sin 2sin sin A B B A -=；(2)若3A B =，求B 的值．14．（广西南宁市第十九中学2023届高三数学（文）信息卷（三）试题）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ､b ､c ，已知2222cos cos b c a ac C c A +-=+.(1)求角A 的大小；(2)若5a =，2c =，求ABC 的面积.15．（江西省南昌市2022届高三第二次模拟测试数学（文）试题）如图，锐角OAB 中，OA OB =，延长BA 到C ，使得3AC =，4AOC π∠=，sin 3OAC =∠.(1)求OC ；(2)求sin BOC ∠.16．（江西省重点中学盟校2022届高三第二次联考数学（文）试题）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，从条件①：sin sin 2B C b a B +=，条件②：1cos 2b a Cc =+，条件③：tan (2)tan b A c b B =-这三个条件中选择一个作为已知条件．(1)求角A ；(2)若3AB AC ⋅=，求a 的最小值．17．（江西省景德镇市2023届高三上学期第二次质检数学（文）试题）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin tan cos 2cos C B C A =-且角A 为锐角.(1)求角B ；(2)若ABC b 的最小值.18．（宁夏银川一中2022届高三二模数学（文）试题）ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且ABC 的面积tan S B =⋅.(1)求B ；(2)若a 、b 、c 成等差数列，ABC ∆的面积为32，求2b .19．（宁夏平罗中学2022届高三下学期第三次模拟数学（文）试题）已知函数()f x m n =⋅，向量()sin cos n x x x =+ ，()cos sin ,2sin m x x x =-，在锐角ABC 中内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，(1)若()1f A =，求角A 的大小；(2)在（1）的条件下，a =c b +的最大值.20．（内蒙古包头市2022届高三第一次模拟考试文科数学试题（A 卷））如图所示，经过村庄B 有两条夹角为60︒的公路BA 和BC ，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂F ，分别在两条公路边上建两个仓库D 和E （异于村庄B ），设计要求3FD FE DE ===（单位：千米）.(1)若30BDE ∠=︒，求BF 的值（保留根号）；(2)若设BDE θ∠=，当θ为何值时，工厂产生的噪音对村庄B 的居民影响最小（即工厂F 与村庄B 的距离最远），并求其最远距离.（精确到0.1 1.732≈）21．（内蒙古赤峰市2022届高三下学期5月模拟考试数学（文科）试题）ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且()()()sin sin sin b c C B c a A +-=-(1)求B ；(2)若2a =，b =ABC 的面积．22．（山西省晋中市2022届高三下学期5月模拟数学（文）试题）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .在①23coscos cos 24A C A C --=；②()22sin sin sin 3sin sin A C B A C +=+；③2cos 2b C c a +=这三个条件中任选一个作为已知条件.(1)求角B 的大小；(2)若a c +=ABC 周长的最小值.23．（陕西省宝鸡中学2022届高三下学期高考模拟文科数学试题）已知())cos ,cos ,,cos a x x b x x ==-，()f x a b =⋅ ，(1)求()f x 的单调递增区间；(2)设ABC 的内角,,A B C所对的边分别为,,a b c ，若()12f A =，且a 22b c +的取值范围.24．（广西桂林市第十八中学2020-2021学年高二上学期第一次阶段性考试数学（文）试题）已知ABC 的三个内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，若角A B C ，，成等差数列，且2b =，（1）求ABC 的外接圆直径；（2）求a c +的取值范围.25．（甘肃省天水市田家炳中学2022-2023学年高三下学期开学考试数学（文科）试题）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．已知()()sin sin a B C b c B +=+，D 为边BC 的中点．(1)证明：2A B =；(2)若π3A =，AD ABC 的周长l ．26．（河南省平顶山市汝州市2022届高三3月联考文科数学试题）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积S AB AC →→=⋅.(2)延长AC 至点D ，使得CD ＝AC ，且BD ＝2BC ，若c ＝6，求△ABC 的周长.27．（甘肃省酒泉市2022届高三5月联考文科数学试题）在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知cos cos 26A C b C ππ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．(2)若a b =，P 为ABC 内一点，2PA =，4PC =，则从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①BP CP ⊥；②PB =；③150∠= BPA ．28．（青海省海东市第一中学2022届高考模拟（一）数学（文）试题）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，221cos 2a b bc ac B -+=．(1)求角A ；(2)若sin b A B =，求ABC 面积的最大值．29．（河南省2022-2023年度高三模拟考试数学（文科）试题）已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且(sin sin )sin sin a A C c C b B -+=.(1)求角B ；(2)若5b =，求ABC 周长的最大值.30．（河南省郑州市2023届高三第一次质量预测文科数学试题）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos sin b c a B B +=+．(1)求角A 的大小；(2)若D 是BC 边上一点，且2CD DB =，若2AD =，求△ABC 面积的最大值．因为2CD DB=，23 AD AB=由222133AD AB AC⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以。

(2017-2019)高考文数真题分类汇编专题10 解三角形(教师版)

专题10 解三角形1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A −b sin B =4c sin C ，cos A =14-，则bc= A ．6 B ．5 C ．4D ．3【答案】A【解析】由已知及正弦定理可得2224a b c -=，由余弦定理推论可得2222214131cos ,,,422424b c a c c c A bc bc b +---==∴=-∴=3462b c ∴=⨯=，故选A ．【名师点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．先利用余弦定理推论得出a ，b ，c 关系，再结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果.2．【2019年高考北京卷文数】如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为A ．4β+4cos βB ．4β+4sin βC ．2β+2cos βD ．2β+2sin β【答案】B【解析】设圆心为O ，如图1，连接OA ，OB ，AB ，OP ，则22AOB APB ∠=∠=β，所以22242OABS ⨯==扇形ββ，因为ABP AOB OAB S S S S =+-△△阴影扇形，且AOB OAB S S △扇形，都已确定，所以当ABP S △最大时，阴影部分面积最大.观察图象可知，当P 为弧AB 的中点时（如图2），阴影部分的面积S 取最大值，此时∠BOP =∠AOP =π−β，面积S 的最大值为ABP AOB OAB S S S S =+-△△阴影扇形=4β+S △POB + S △POA =4β+12|OP ||OB |sin （π−β）+12|OP ||OA |sin （π−β）=4β+2sin β+2sin β=4β+4 sin β，故选B. 【名师点睛】本题主要考查阅读理解能力、数学应用意识、数形结合思想及数学式子变形和运算求解能力，有一定的难度.关键是观察分析区域面积最大时的状态，并将面积用边角等表示.3．【2018年高考全国Ⅲ文数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC △的面积为2224a b c +-，则C =A ．2πB ．3π C ．4πD ．6π【答案】C【解析】由题可知2221sin 24ABCa b c S ab C +-==△，所以2222sinC a b c ab +-=，由余弦定理2222cos a b c ab C +-=，得sin cos C C =，因为()0,πC ∈，所以π4C =，故选C.【名师点睛】本题主要考查余弦定理与三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.解三角形的题型一般有两类：一是边角关系的转化，考生需对所给的边角关系进行恒等变形；二是有几何背景的题型，难点在于涉及两个或两个以上的三角形，解决此类问题可利用正、余弦定理进行求解，同时要重视三角函数的知识在解三角形中的运用.4．【2018年高考全国Ⅱ文数】在ABC △中，cos25C =，1BC =，5AC =，则AB =A ． BCD ．【答案】A【解析】因为cos2C =cos C =22cos 2C −1=2×2−1=35-.于是，在△ABC 中，由余弦定理得AB 2=AC 2+BC 2−2AC × BC ×cos C =52+12−2×5×1×(35-)=32，所以AB =故选A.【名师点睛】本题主要考查二倍角公式、余弦定理，考查考生的运算求解力，考查的数学核心素养是数学运算.解三角形是近几年高考中的高频者点，将解三角形与其他知识巧妙地融合在一起，既体现了试题设计的亮点，又体现了对所学知识的交汇考查.5．【2017年高考全国Ⅰ文数】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c ，则C =A ．π12 B ．π6 C ．π4D ．π3【答案】B【解析】由题意sin()sin (sin cos )0A C A C C ++-=得sin cos cos sin sin sin sin cos 0A C A C A C A C ++-=，即πsin (sin cos )sin()04C A A C A +=+=，所以3π4A =．由正弦定理sin sin a c A C =得23πsin sin 4C =，即1sin 2C =，因为c <a ，所以C<A ，所以π6C =，故选B ．【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．6．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b sin A +a cos B =0，则B =___________. 【答案】3π4【解析】由正弦定理，得sin sin sin cos 0B A A B +=．(0,),(0,)A B ∈π∈πQ ，sin 0,A ∴≠ ∴sin cos 0B B +=，即tan 1B =-，3.4B π∴=【名师点睛】本题考查利用正弦定理转化三角恒等式，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取定理法，利用转化与化归思想解题．本题容易忽视三角形内角的范围致误，三角形内角均在(0,π)范围内，化边为角，结合三角函数的恒等变化求角．7．【2019年高考浙江卷】在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =___________，cos ABD ∠=___________．【答案】5，10【解析】如图，在ABD △中，由正弦定理有：sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而3π4,4AB ADB =∠=，5AC ，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，所以5BD =.ππcos cos()cos cos sin sin 4410ABD BDC BAC BAC BAC ∠=∠-∠=∠+∠=.【名师点睛】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.在ABD △中应用正弦定理，建立方程，进而得解.解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征.8．【2018年高考北京卷文数】若ABC △)222a c b +-，且∠C 为钝角，则∠B =_________；ca的取值范围是_________. 【答案】60︒，()2,+∞【解析】)2221sin 2ABC S a c b ac B =+-=Q △，2222a c b ac +-∴=，即cos B =，sin πcos 3B B B ∴=∠=，则2π1sin cos sin sin 1132sin sin sin tan 2A A Ac C a A A A A ⎛⎫⎛⎫---⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭====+， C ∠Q 为钝角，ππ,036B A ∠=∴<∠<，)1tan ,tan A A ⎛∴∈∈+∞ ⎝⎭，故()2,ca∈+∞.故答案为60︒，()2,+∞.【名师点睛】此题考查解三角形的综合应用，能够根据题干给出的信息选用合适的余弦定理公式是解题的第一个关键；根据三角形内角πA B C ++=的隐含条件，结合诱导公式及正弦定理，将问题转化为求解含A ∠的表达式的最值问题是解题的第二个关键.9．【2018年高考浙江卷】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c．若a =b =2，A =60°，则sin B =___________，c =___________．【答案】7，3 【解析】由正弦定理得sin sin a A b B =，所以πsin sin 3B == 由余弦定理得22222cos ,742,3a b c bc A c c c =+-∴=+-∴=（负值舍去）.【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.解答本题时，根据正弦定理得sin B ，根据余弦定理解出c .sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为________．【解析】根据题意，由sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，结合正弦定理可得sin sin sin sin B C C B +4sin sin sin A B C =，即1sin 2A =，由2228b c a +-=，结合余弦定理可得2cos 8bc A =，所以A 为锐角，且cos A =，从而求得3bc =，所以ABC △的面积为111sin 22323S bc A ==⨯=，故答案是3. 【名师点睛】本题主要考查正、余弦定理的应用与三角形的面积公式，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.解答本题时，利用正弦定理，通过sin sin b C c B +=4sin sin a B C ，可以求出1sin 2A =，再利用余弦定理求出bc =，然后利用三角形的面积公式求解即可.11．【2018年高考江苏卷】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为 ▲ ．【答案】9【解析】由题意可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△，由角平分线的性质和三角形的面积公式得111sin1201sin 601sin 60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得ac a c =+，即111a c+=，因此1144(4)()559c a a c a c a c a c +=++=++≥+=，当且仅当23c a ==时取等号，则4a c +的最小值为9.【名师点睛】本题主要考查三角形的面积公式、基本不等式，考查分析问题、解决问题的能力，考查的核心素养是数学运算.应用基本不等式求解最值时，要注意对条件“一正、二定、三相等”进行检验，尤其是等号成立的条件.2cos cos cos b B a C c A =+，则B = .【答案】π3【解析】由正弦定理可得1π2sin cos sin cos sin cos sin()sin cos 23B B AC C A A C B B B =+=+=⇒=⇒=. 故答案为π3. 【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.13．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C =60°，b，c =3，则A =_________. 【答案】75°【解析】由正弦定理sin sin b c B C=，得sin 2sin 3b C B c ===b c <可得45B =o ，则18075A B C =--=o o .【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.14．【2017年高考浙江卷】已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2．点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC 的面积是______，cos ∠BDC =_______．【答案】,24【解析】取BC 中点E ，由题意：AE BC ⊥，△ABE 中，1cos 4BE ABC AB ∠==，∴1cos ,sin 4DBC DBC ∠=-∠==∴1sin 22△BCD S BD BC DBC =⨯⨯⨯∠=． ∵2ABC BDC ∠=∠，∴21cos cos 22cos 14ABC BDC BDC ∠=∠=∠-=，解得cos 4BDC ∠=或cos 4BDC ∠=-（舍去）．综上可得，△BCD ，cos BDC ∠=．【名师点睛】利用正、余弦定理解决实际问题的一般思路：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可以利用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步解其他三角形，有时需要设出未知量，从几个三角形中列出方程（组），解方程（组）得出所要的解．15．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin 2A Ca b A +=．（1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．【答案】（1）B =60°；（2）()82. 【解析】（1）由题设及正弦定理得sin sinsin sin 2A CA B A +=．因为sin A ≠0，所以sinsin 2A CB +=．由180A BC ︒++=，可得sincos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222B B B=．因为cos02B ≠，故1sin 22B =，因此B =60°．（2）由题设及（1）知△ABC的面积4ABC S a =△．由正弦定理得()sin 120sin 1sin sin 2tan 2C c A a C C C ︒-===+．由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°，由（1）知A +C =120°，所以30°<C <90°，故122a <<，ABC S <<△．因此，△ABC面积的取值范围是82⎛⎝⎭．【名师点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，以及正弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查V ABC 是锐角三角形这个条件的利用，考查的很全面，是一道很好的考题. 16．【2019年高考北京卷文数】在△ABC 中，a =3，–2b c =，cos B =12-．（1）求b ，c 的值；（2）求sin （B +C ）的值．【答案】（1）7b =，5c =；（2）14. 【解析】（1）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2221323()2b c c =+-⨯⨯⨯-．因为2b c =+，所以2221(2)323()2c c c +=+-⨯⨯⨯-．解得5c =．所以7b =．（2）由1cos 2B =-得sin 2B =．由正弦定理得sin sin a A B b ==在ABC △中，B C A +=π-．所以sin()sin 14B C A +==．【名师点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，两角差的正弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17．【2019年高考天津卷文数】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =.（1）求cos B 的值；（2）求sin 26πB ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）14-；（2）【解析】（1）在ABC △中，由正弦定理sin sin b cB C=，得sin sin b C c B =，又由3sin 4sin c B a C =，得3sin 4sin b C a C =，即34b a =．又因为2b c a +=，得到43b a =，23c a =．由余弦定理可得222222416199cos 22423a a a a cb B ac a a +-+-===-⋅⋅．（2）由（1）可得sin 4B ==，从而sin 22sin cos 8B B B ==-，227cos 2cos sin 8B B B =-=-，故717sin 2sin 2cos cos 2sin 666828216B B B πππ⎛⎫+=+=--⨯=-⎪⎝⎭．【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识．考查运算求解能力．18．【2019年高考江苏卷】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b，cos B =23，求c 的值；（2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值．【答案】（1）3c =；（2）5.【解析】（1）因为23,3a cb B ===，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)323c c c c+-=⨯⨯，即213c =.所以3c =. （2）因为sin cos 2A Ba b =，由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B Bb b=，所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而cos 5B =.因此πsin cos 25B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭ 【名师点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.19．【2019年高考江苏卷】如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．【答案】（1）15（百米）；（2）见解析；（3）17+. 【解析】解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.' 因为PB ⊥AB ，所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==. 所以12154cos 5BD PB PBD ===∠. 因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知10AD ==，从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角.所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此，Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=；当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，CQ ===此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ =时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+. 解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H.以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3. 因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为2+y 2=25. 从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为34. 因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为43-，直线PB 的方程为42533y x =--.所以P （−13，9），15PB ==. 因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3），所以线段AD ：36(44)4y x x =-+-剟.在线段AD 上取点M （3，154），因为5OM =<=，所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时1P （−13，9）；当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由15(4)AQ a ==>，得a =4+Q （4+9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （4+9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4(13)17PQ =+-=+.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+.【名师点睛】本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.20．【2018年高考天津卷文数】在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知b sin A =a cos(B –π6)．（1）求角B 的大小；（2）设a =2，c =3，求b 和sin(2A –B )的值．【答案】（1）π3；（2）b ；sin(2A –B )=14【解析】（1）在△ABC 中，由正弦定理sin sin a bA B=，可得sin sin b A a B =，又由πsin cos()6b A a B =-，得πsin cos()6a B a B =-，即πsin cos()6B B =-，可得tan B =又因为(0π)B ∈，，可得B =π3．（2）在△ABC 中，由余弦定理及a =2，c =3，B =π3，有2222cos 7b a c ac B =+-=，故b ．由πsin cos()6b A a B =-，可得sin A =因为a <c ，故cosA =．因此sin 22sin cos A A A ==21cos 22cos 17A A =-=．所以，sin(2)sin 2cos cos 2sin A B A B A B -=-=11727214⨯-⨯= 【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力．在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．21．【2017年高考天津卷文数】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知sin 4sin a A b B =，222)ac a b c =--．（1）求cos A 的值；（2）求sin(2)B A -的值．【答案】（1）5-2）5-．【解析】（1）由sin 4sin a A b B =及sin sin a bA B=，得2a b =．由222)ac a b c =--及余弦定理，得2225cos 2b c aA bcac +-=== （2）由（1）可得sin A =，代入sin 4sin a A b B =，得sin sin 4a A B b ==．由（1）知A为钝角，所以cos B ==．于是4sin 22sin cos 5B B B ==，23cos 212sin 5B B =-=，故43sin(2)sin 2cos cos 2sin (55B A B A B A -=-=⨯-=．【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”可寻求角的关系，利用“角转边”可寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系可求角，利用两角和差的三角公式及二倍角公式可求三角函数值．利用正、余弦定理解三角形是高考的高频考点，常与三角形内角和定理、三角形面积公式等相结合，利用正、余弦定理进行解题．解答本题时，（1）首先根据正弦定理sin sin a bA B=得到2a b =，再根据余弦定理即可求得cos A 的值；（2）根据（1）的结论和条件，由cos A 求得sin A ，然后根据sin 4sin a A b B =求得sin B ，再求cos B ，然后由二倍角公式求sin 2,cos 2B B ，最后代入sin(2)B A -的展开式即可．22．【2017年高考山东卷文数】在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b =3，6AB AC ⋅=-u u u r u u u r，3ABC S =△，求A 和a .【答案】3=π,4A a 【解析】因为6AB AC ⋅=-u u u r u u u r，所以cos 6bc A =-，又3ABC S =△，所以sin 6bc A =，因此tan 1A =-，又0πA <<，所以3π4A =，又3b =，所以c =由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得29823(2a =+-⨯⨯-，所以a =【名师点睛】正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理，它将三角形的边和角有机地联系起，从而使三角与几何产生联系，为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．其主要方法有：化角法，化边法，面积法，运用初等几何法．注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想.23．【2017年高考江苏卷】如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为cm ，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，11E G 的长分别为14cm 和62cm ．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ．现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm ．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱1CC 上，求l 没入水中部分的长度；（2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的长度．【答案】（1）16 cm(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm)；（2）20 cm(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm)．【解析】（1）由正棱柱的定义，1CC ⊥平面ABCD ，所以平面11A ACC ⊥平面ABCD ，1CC AC ⊥．记玻璃棒的另一端落在1CC 上点M 处．因为40AC AM ==，所以30MC ==，从而3sin 4MAC =∠，记AM 与水面的交点为1P ，过1P 作P 1Q 1⊥AC ，Q 1为垂足，则P 1Q 1⊥平面ABCD ，故P 1Q 1=12，从而AP 1=1116sin P MACQ =∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm ．(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm)（2）如图，O ，O 1是正棱台的两底面中心．由正棱台的定义，OO 1⊥平面EFGH ，所以平面E 1EGG 1⊥平面EFGH ，O 1O ⊥EG ．同理，平面E 1EGG 1⊥平面E 1F 1G 1H 1，O 1O ⊥E 1G 1．记玻璃棒的另一端落在GG 1上点N 处．过G 作G ⊥E 1G 1，为垂足，则G =OO 1=32．因为EG = 14，E 1G 1= 62，所以G 1=6214242-=，从而140GG ===．设1,,EGG ENG αβ==∠∠则114sin sin()cos 25KGG KGG απ=+==∠∠．因为2απ<<π，所以3cos 5α=-．在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7sin 25β=．因为02βπ<<，所以24cos 25β=．于是42473sin sin()sin()sin co 3s cos sin ()5252555NEG αβαβαβαβ=π--=+=+=⨯+-⨯=∠．记EN 与水面的交点为P 2，过P 2作P 2Q 2⊥EG ，Q 2为垂足，则P 2Q 2⊥平面EFGH ，故P 2Q 2=12，从而EP 2=2220sin P NEGQ =∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm ．(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm)【名师点睛】解答本题时，（1）转化为直角三角形ACM 中，利用相似性质求解AP 1；（2）转化到三角形EGN 中，先利用直角梯形性质求角1EGG ∠，再利用正弦定理求角ENG ∠，最后根据直角三角形求高，即为l 没入水中部分的长度．解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出，然后确定转化的方向；第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化；第三步：求结果．。

高考文科数学真题汇编：解三角形高考题老师版

则 A=
（ A ） 3π（ B） π（ C ） π（ D ） π
4
3
4
6
【答案】 C
考点：余弦定理 18、 2018 年高考北京卷文 )在 △ABC 中，
2
b
A
， a= 3 c，则 =_________.
3
c
试题分析：由正弦定理知 sin A a sin C c
3 ，所以 sin C
sin 2 3 3
D. 3－ 1
11、 (2019 新标 1 文 ) 已知锐角 ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a,b,c ， 23cos 2 A cos2A 0 ，
a 7， c 6，则 b （ D ）
（ A） 10
（ B） 9
（C） 8
（D） 5
1 12．（ 2019 辽宁）在△ ABC 中，内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c.若 asin Bcos C＋ csin B cos A＝ 2b，
【简解】 sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA,sin(B+C)=sin 2A,sinA=1,A= .选 B
2 15、（ 2018 年新课标Ⅰ卷文） △ ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 a
则 b=
2 5 ， c 2 ， cos A ，
3
（ A） 2
（ B） 3 （ C） 2 （ D）3
a
21 4 7
31． ( 2019 江西理 ) 在△ ABC 中，角A 、 B、 C所对的边分别为 a、 b、 c，已知 cos C＋ (cos A－ 3sin A)cos
1
，则C
，所以

2011年—2018年新课标全国卷(1卷、2卷、3卷)文科数学试题分类汇编—8

2011年—2018年新课标全国卷(1卷、2卷、3卷)文科数学试题分类汇编—8.三角函数、解三角形2011年—2018年新课标全国卷Ⅰ文科数学分类汇编7.三角函数、解三角形一、选择题2018年新课标Ⅰ文8题：已知函数$f(x)=2\cos x-\sin x+2$，则$f(x)$的最小正周期为$\pi$，最大值为3.2018年新课标Ⅰ文11题：已知角$\alpha$的顶点为坐标原点，始边与$x$轴的非负半轴重合，终边上有两点$A(1,0)$，$B(2,b)$，且$\cos2\alpha=\frac{1}{5}$，则$a-b=\frac{1}{5}$。

2018年新课标Ⅱ文7题：在$\triangle ABC$中，$\cos C=\frac{5}{\sqrt{26}}$，$BC=1$，$AC=5$，则$AB=5\sqrt{2}$。

2018年新课标Ⅱ文10题：若$f(x)=\cos x-\sin x$在$[0,a]$是减函数，则$a$的最大值是$\frac{3\pi}{4}$。

2018年新课标Ⅲ文4题：若$\sin \alpha=\frac{1}{\sqrt{8}}$，则$\cos 2\alpha=-\frac{7}{8}$。

2018年新课标Ⅲ文6题：函数$f(x)=\frac{\tan x}{1+\tan^2 x}$的最小正周期为$\pi$。

2018年新课标Ⅲ文11题：triangle ABC$的内角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$。

若$\triangle ABC$的面积为$4$，则$\cosC=\frac{3}{4}$。

2017年新课标Ⅰ文11题：triangle ABC$的内角$A$、$B$、$C$的对边分别为$a$、$b$、$c$。

已知$\sin B+\sin A(\sin C-\cos C)=\frac{3}{2}$，$a=2$，$c=2$，则$C=\frac{\pi}{3}$。

2021-2021 高考全国卷三角函数解三角形真题汇编(文科)

2021-2021 高考全国卷三角函数、解三角形真题汇编(文科)2021-2021 高考全国卷三角函数、解三角形真题汇编（文科）学校：姓名：班级：考号：评卷人得分一、选择题1. [2021・全国新课标卷I(文)]函数y=的部分图象大致为 ( ) -A. B. C.D.2. [2021・全国新课标卷I(文)]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sinB+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c= ,则C= ( )A. B. C. D.3. [2021・全国新课标卷II(文)]函数f(x)=sin 的最小正周期为( ) A. 4πB. 2πC. πD.4. [2021・全国新课标卷III (文)]已知sin α-cos α=,则sin 2α= ( ) A. -B. -C.D.5. [2021・全国新课标卷III (文)]函数f(x)=sin +cos - 的最大值为 ( )A. B. 1 C. D. 6. [2021・全国新课标卷III (文)]函数y=1+x+的部分图象大致为( )第1页共4页A. B.C.D.7. [2021・高考全国新课标卷Ⅰ(文),4]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a= ,c=2,cos A=,则b= ( )A. B. C. 2 D. 38. [2021・高考全国新课标卷Ⅰ(文),6]将函数y=2sin 的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数为 ( )A. y=2sinB. y=2sinC. y=2sin -D.y=2sin -9. [2021・高考全国新课标卷Ⅰ(文),12]若函数f(x)=x-sin 2x+asin x在(-∞,+∞)单调递增,则a的取值范围是 ( )A. [-1,1]B. -C. -D. - -10. [2021・高考全国新课标卷Ⅱ(文),3]函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则 ( )A. y=2sin -B. y=2sin -C. y=2sinD. y=2sin11. [2021・高考全国新课标卷Ⅱ(文),11]函数f(x)=cos2x+6cos - 的最大值为( )A. 4B. 5C. 6D. 712. [2021・高考全国新课标卷Ⅲ(文),6]若tan θ=-,则cos 2θ= ( )第2页共4页A. -B. -C.D.13. [2021・高考全国新课标卷Ⅲ(文),9]在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则sin A= ( ) A. B. C. D.14. [2021・高考全国新课标卷Ⅰ(文),8]函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为( )A. - ,k∈ZB. - ,k∈ZC. - ,k∈ZD. - ,k∈Z15. [2021�q高考全国新课标卷Ⅰ(文)，7]在函数①y＝cos|2x|,②y＝|cos x|,③y＝cos(2x＋),④y＝tan(2x－)中,最小正周期为π的所有函数为( )A. ②④B. ①③④C. ①②③D. ①③16. [2021・高考全国新课标卷I(文),9]函数f(x)=(1-cosx)sinx在[-π,π]的图象大致为( )A. B.C. D.17. [2021・高考全国新课标卷I(文),10]已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为2a,b,c,23cosA+cos2A=0,a=7,c=6,则b=( ) A. 10 B. 9 C.8 D. 5第3页共4页18. [2021・高考全国新课标卷II(文),4]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=,C=,则△ABC的面积为( )A. 2 +2B. +1C. 2 -2D. -119. [2021・高考全国新课标卷II(文),6]已知sin2α=,则cos(α+)=( ) A.B. C. D. 评卷人得分二、填空题220. [2021・全国新课标卷I(文)]已知α∈ ,tan α=2,则cos - = . 21. [2021・全国新课标卷II(文)]函数f(x)=2cos x+sin x的最大值为 . 22. [2021・全国新课标卷II(文)]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,则B= .23. [2021・全国新课标卷III (文)]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b= ,c=3,则A= .24. [2021・高考全国新课标卷Ⅰ(文),14]已知θ是第四象限角,且sin ,则tan - = .25. [2021・高考全国新课标卷Ⅱ(文),15]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b= .26. [2021・高考全国新课标卷Ⅲ(文),14]函数y=sin x- cos x的图象可由函数y=2sin x的图象至少向右平移个单位长度得到.27. [2021�q高考全国新课标卷Ⅰ(文)，16]如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°,C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m,则山高MN＝________m.28. [2021�q高考全国新课标Ⅱ(文)，14]函数f(x)＝sin(x＋φ)－2sin φcos x的最大值为________. 29. [2021・高考全国新课标卷I(文),16]设当x=θ时,函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值,则cosθ= .30. [2021・高考全国新课标卷II(文),16]函数y=cos(2x+φ)(-π≤φ函数y=sin(2x+)的图象重合,则φ= .第4页共4页感谢您的阅读，祝您生活愉快。

—高考全国卷Ⅰ文科数学三角函数、解三角形汇编

新课标全国卷Ⅰ文科数学汇编三角函数、解三角形一、选择题【2017，11】△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a=2，2，则C=( ) A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3【2016，4】ABC △的内角A B C ,,的对边分别为a b c ,,．已知5a =2c =，2cos 3A =，则b =（） A ．2 B3 C ．2 D ．3【2016，6】若将函数π2sin 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为（）． A ．π2sin 24y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ B ．π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C ．π2sin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．π2sin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【2015，8】函数f (x )=cos(ωx +φ)的部分图像如图所示，则f (x )的单调递减区间为( ) A ．13(,),44k k k Z ππ-+∈ B ．13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ C ．13(,),44k k k Z -+∈ D ．13(2,2),44k k k Z -+∈ 【2014，7】在函数① y=cos|2x|，②y=|cos x |，③)62cos(π+=x y ，④)42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③【2014，2】若tan 0α>，则（）A ． sin 0α>B ． cos 0α>C ． sin 20α>D ． cos20α>【2013，10】已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )A ．10B ．9C ．8D ．5 【2012，9】9．已知0ω>，0ϕπ<<，直线4x π=和54x π=是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴，则ϕ=（） A ．4π B ．3π C ．2πD ．34π 【2011，7】已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=（）．A ．45-B ．35-C ．35D ．45【2011，11】设函数ππ()sin 2cos 244f x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（） A ．()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线π4x =对称 B ．()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线π2x =对称 C ．()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线π4x =对称 D ．()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线π2x =对称二、填空题【2017，15】已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan 2α=，则cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭________．【2016，】14．已知θ是第四象限角，且π3sin 45θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πtan 4θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．【2013，16】设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝______．【2014，16】如图所示，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角 45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒．已知山高100BC m =，则山高MN = m ．【2011，15】ABC △中，120B =o ，7AC =，5AB =，则ABC △的面积为．三、解答题【2015，17】已知,,a b c 分别为ABC △内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =．（1）若a b =，求cos B ；（2）设90B ∠=o ，且2a =ABC △的面积．【2012，17】已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，3sin cos c a C c A =-．（1）求A ；（2）若2a =，△ABC 3，求b ，c ．解析一、选择题【2017，11】△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a=2，2，则C=( ) A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3【答案】B【解法】解法一：因为sin sin (sin cos )0B A C C +-=，sin sin()B A C =+，所以sin (sin cos )0C A A +=，又sin 0C >，所以sin cos A A =-，tan 1A =-，又0A π<<，所以34A π=，又a =2，c 222=即1sin 2C =．又02C π<<，所以6C π=，故选B ．解法二：由解法一知sin cos 0A A +=2)04A π+=，又0A π<<，所以34A π=．下同解法一．【2016，4】ABC △的内角A B C ,,的对边分别为a b c ,,．已知5a =2c =，2cos 3A =，则b =（） A ．2 B3 C ．2 D ．3解析：选D ．由余弦定理得222cos 2b c a A bc +-=，即245243b b +-=，整理得()28113033b b b b ⎛⎫--=-+= ⎪⎝⎭，解得3b =．故选D ．【2016，6】若将函数π2sin 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为（）． A ．π2sin 24y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ B ．π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C ．π2sin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D ．π2sin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭解析：选D ．将函数π2sin 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移14个周期，即向右平移π4个单位，故所得图像对应的函数为ππ2sin 246y x ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦π2sin 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．故选D ．【2015，8】函数f (x )=cos(ωx +φ)的部分图像如图所示，则f (x )的单调递减区间为( ) A ．13(,),44k k k Z ππ-+∈ B ．13(2,2),44k k k Z ππ-+∈C ．13(,),44k k k Z -+∈ D ．13(2,2),44k k k Z -+∈ 解：选D ．依图，153++4242ππωϕωϕ==且，解得ω=π，=4πϕ， ()cos()4f x x ππ∴=+， 224k x k πππππ<+<+由，，解得132244k x k -<<+，故选D ．【2014，7】在函数① y=cos|2x|，②y=|cos x |，③)62cos(π+=x y ，④)42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③解：选A ．由cos y x =是偶函数可知①y=cos|2x|=cos2x ，最小正周期为π；②y=|cos x |的最小正周期也是π；③中函数最小正周期也是π；正确答案为①②③，故选A【2014，2】若tan 0α>，则（）A ． sin 0α>B ． cos 0α>C ． sin 20α>D ． cos20α>解：选C ．tan α>0，α在一或三象限，所以sin α与cos α同号，故选C【2013，10】已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )．A ．10B ．9C ．8D ．5解析：选D ．由23cos 2A ＋cos 2A ＝0，得cos 2A ＝125．∵A ∈π0,2⎛⎫⎪⎝⎭，∴cos A ＝15．∵cos A ＝2364926b b +-⨯，∴b ＝5或135b =-(舍)．【2012，9】9．已知0ω>，0ϕπ<<，直线4x π=和54x π=是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴，则ϕ=（）A ．4π B ．3π C ．2πD ．34π【解析】选A ．由直线4x π=和54x π=是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴，得()sin()f x x ωϕ=+的最小正周期52()244T πππ=-=，从而1ω=．由此()sin()f x x ϕ=+，由已知4x π=处()sin()f x x ϕ=+取得最值，所以sin()14πϕ+=±，结合选项，知ϕ=4π，故选择A ．【2011，7】已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=（）．A ．45-B ．35-C ．35D ．45【解析】设(,2)(0)P t t t ≠为角θ终边上任意一点，则cosθ=当0t >时，cos θ=0t <时，cos θ=．因此223cos 22cos 1155θθ=-=-=-．故选B ．【2011，11】设函数ππ()sin 2cos 244f x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（） A ．()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线π4x =对称 B ．()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线π2x =对称 C ．()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线π4x =对称 D ．()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线π2x =对称【解析】因为ππππ()sin 2cos 2224444f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当π02x <<时，02πx <<，故()f x x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递减．又当π2x =π22⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭π2x =是()y f x =的一条对称轴．故选D ．二、填空题【2017，15】已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan 2α=，则cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭________．【解析】10．0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ，sin tan 22sin 2cos cos ααααα=⇒=⇒=，又22sin cos 1αα+=，解得sin α=，cos α=，cos sin )4210πααα⎛⎫∴-=+= ⎪⎝⎭．【基本解法2】0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ，tan 2α=，∴角α的终边过(1,2)P ，故sin y r α==，5cos x r α==，其中225r x y =+=2310cos sin )4πααα⎛⎫∴-=+= ⎪⎝⎭ 【2016，】14．已知θ是第四象限角，且π3sin 45θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πtan 4θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ．解析：43-．由题意sin sin 442θθπππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦3cos 45θπ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．因为2222k k θ3ππ+<<π+π()k ∈Z ，所以722444k k θ5ππππ+<-<π+()k ∈Z ，从而4sin 45θπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，因此4tan 43θπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．故填43-．方法2：还可利用ππtan tan 144θθ⎛⎫⎛⎫-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭来进行处理，或者直接进行推演，即由题意4cos 45θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故3tan 44θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以tan 4θπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭143tan 4θ-=-π⎛⎫+ ⎪⎝⎭．【2013，16】设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝______．答案：解析：25． ∵f (x )＝sin x －2cos x 5sin(x －φ)，其中sin φ25cos φ5当x －φ＝2k π＋π2(k ∈Z)时，f (x )取最大值．即θ－φ＝2k π＋π2(k ∈Z)，θ＝2k π＋π2＋φ(k ∈Z)．∴cos θ＝πcos 2ϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－sin φ＝25．【2014，16】16．如图所示，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及 75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒．已知山高100BC m =，则山高MN = m ．解：在RtΔABC 中，由条件可得1002AC =，在ΔMAC 中，∠MAC=45°；由正弦定理可得sin60sin 45AM AC =︒︒，故310032AM AC =RtΔMAN 中，MN=AM sin60°=150．【2011，15】ABC △中，120B =o ，7AC =，5AB =，则ABC △的面积为．【解析】由余弦定理知2222cos120AC AB BC AB BC =+-⋅o，即249255BC BC =++，解得3BC =．故11sin1205322ABC S AB BC =⋅=⨯⨯=o △．．三、解答题【2015，17】已知,,a b c 分别为ABC △内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =．（1）若a b =，求cos B ；（2）设90B ∠=o，且a =ABC △的面积．解析：（1）由正弦定理得，22b ac =．又a b =，所以22a ac =，即2a c =．则22222212cos 2422a a a a cb B a ac a ⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭===⋅．（2）解法一：因为90B ∠=o，所以()2sin 12sin sin 2sin sin 90B A C A A ===-o ，即2sin cos 1A A =，亦即sin 21A =．又因为在ABC △中，90B ∠=o ，所以090A <∠<o，则290A ∠=o ，得45A ∠=o．所以ABC △为等腰直角三角形，得a c ==112ABC S ==△．解法二：由（1）可知22b ac =，① 因为90B ∠=o，所以222a c b +=，② 将②代入①得()20a c -=，则a c ==，所以112ABC S ==△．解：(Ⅰ) 因为sin 2B =2sin A sin C ．由正弦定理可得b 2=2ac ．又a =b ，可得a=2c ， b=2c ，由余弦定理可得2221cos 24a cb B ac +-==． (Ⅱ)由(Ⅰ)知b 2=2ac ．因为B=90°，所以a 2+c 2=b 2=2ac ．解得a =．所以ΔABC 的面积为1．【2012，17】已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C的对边，sin cos c C c A =-．（1）求A ；（2）若2a =，△ABC，求b ，c ．【解析】（1）根据正弦定理2sin sin a cR A C==，得A R a sin 2=， C R c sin 2=，因为sin cos c C c A =-，所以2sin sin )sin 2sin cos R C R A C R C A =-⋅，化简得C C A C A sin sin cos sin sin 3=-，因为0sin ≠C ，所以1cos sin 3=-A A ，即21)6sin(=-πA ，而π<<A 0，6566πππ<-<-A ，从而66ππ=-A ，解得3π=A ．（2）若2a =，△ABC1）得3π=A ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-+=43cos 233sin 21222a bc c b bc ππ，化简得⎩⎨⎧=+=8422c b bc ，从而解得2=b ，2=c ．。

高考全国卷三角函数、解三角形真题汇编（文科）

2013-2017 高考全国卷三角函数、解三角形真题汇编（文科）学校：姓名：班级：考号：评卷人评卷人得分得分一、选择题 1. [2017·全国新课标卷I(文)]函数y =sin2x 1-cosx 的部分图象大致为的部分图象大致为( ) A. B. C.D. 2. [2017·全国新课标卷I(文)]△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.已知sin B +sin A (sin C -cos C )=0,a =2,c =√2,则C = ( )A. π12B. π6C. π4D. π3 3. [2017·全国新课标卷II(文)]函数f (x )=sin (2x +π3)的最小正周期为 ( ) A. 4π B. 2π C. π D. π24. [2017·全国新课标卷III (文)]已知sin α-cos α=43,则sin 2α= ( )A. -79B. -29C. 29D. 79 5. [2017·全国新课标卷III (文)]函数f (x )=15sin (x +π3)+cos (x (x--π6)的最大值为的最大值为 ( ) A. 65 B. 1 C. 35 D. 15 6. [2017·全国新课标卷III (文)]函数y=1+x+sinx x 2的部分图象大致为的部分图象大致为 ( )A. B.C. D.7. [2016·高考全国新课标卷Ⅰ(文),4]△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知a =√5,c =2,cos A =23,则b = ( ) A. √2 B. √3C. 2D. 3 8. [2016·高考全国新课标卷Ⅰ(文),6]将函数y =2sin (2x +π6)的图象向右平移14个周期后,所得图象对应的函数为象对应的函数为 ( ) A. y =2sin (2x +π4) B. y =2sin (2x +π3) C. y =2sin (2x (2x--π4) D. y =2sin (2x (2x--π3) 9. [2016·高考全国新课标卷Ⅰ(文),12]若函数f (x )=x -13sin 2x +a sin x 在(-∞,+∞)单调递增,则a 的取值范围是的取值范围是 ( ) A. [-1,1] B. [-1,13] C. [-13,13] D. [-1,1,--13] 10. [2016·高考全国新课标卷Ⅱ(文),3]函数y =A sin(ωx +φ)的部分图象如图所示,则 ( ) A. y =2sin (2x (2x--π6) B. y =2sin (2x (2x--π3) C. y =2sin (x +π6) D. y =2sin (x +π3)11. [2016·高考全国新课标卷Ⅱ(文),11]函数f (x )=cos2x +6cos (π2-x)的最大值为( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 12. [2016·高考全国新课标卷Ⅲ(文),6]若tan θ=-13,则cos 2θ= ( )A. -45B. -15C. 15 D. 45 13. [2016·高考全国新课标卷Ⅲ(文),9]在△ABC 中,B =π4,BC 边上的高等于13BC ,则sin A = ( ) A. 310 B. √1010 C. √55 D. 3√101014. [2015·高考全国新课标卷Ⅰ(文),8]函数f (x )=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f (x )的单调递减区间为( )A. (kπ(kπ--14,kπ+34),k ∈Z B. (2kπ(2kπ--14,2kπ+34),k ∈Z C. (k (k--14,k +34),k ∈Z D. (2k (2k--14,2k +34),k ∈Z 15. [2014﹒高考全国新课标卷Ⅰ(文)，7]在函数①y ＝cos|2x |,②y ＝|cos x |,③y ＝cos(2x ＋π6),④y ＝tan(2x －π4)中,最小正周期为π的所有函数为( )A. ②④B. ①③④C. ①②③D. ①③16. [2013·高考全国新课标卷I(文),9]函数f (x )=(1-cos x )sin x 在[-π,π]的图象大致为( )A. B.C. D. 17. [2013·高考全国新课标卷I(文),10]已知锐角△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,23cos 2A+cos2A=0,a=7,c=6,则b=( )A. 10B. 9C. 8D. 518. [2013·高考全国新课标卷II(文),4]△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知b=2,B=π6,C=π4,则△ABC 的面积为( )A. 2√3+2B. √3+1C. 2√3-2D. √3-1 19. [2013·高考全国新课标卷II(文),6]已知sin2α=23,则cos 2(α+π4)=( ) A. 16 B. 13 C. 12 D. 23 评卷人评卷人得分得分二、填空题20. [2017·全国新课标卷I(文)]已知α∈(0,π2),tan α=2,则cos (α(α--π4)= . 21. [2017·全国新课标卷II(文)]函数f (x )=2cos x+sin x 的最大值为 .22. [2017·全国新课标卷II(文)]△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若2b cos B=a cos C+c cos A ,则B= .23. [2017·全国新课标卷III (文)]△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.已知C=60°60°,,b=√6,c=3,则A= .24.[2016·高考全国新课标卷Ⅰ(文),14]已知θ是第四象限角,且sin (θ+π4)=35,则tan (θ(θ--π4)= 25. [2016·高考全国新课标卷Ⅱ(文),15]△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若cos A =45,cos C =513,a =1,则b = . 26. [2016·高考全国新课标卷Ⅲ(文),14]函数y =sin x -√3cos x 的图象可由函数y =2sin x 的图象至少向右平移个单位长度得到.27. [2014﹒高考全国新课标卷Ⅰ(文)，16]如图,为测量山高MN ,选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°60°,,C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°60°..已知山高BC ＝100 m,则山高MN ＝________m.28. [2014﹒高考全国新课标Ⅱ(文)，14]函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________. 29. [2013·高考全国新课标卷I(文),16]设当x=θ时,函数f (x )=sin x-2cos x 取得最大值,则cos θ= .30. [2013·高考全国新课标卷II(文),16]函数y=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)的图象向右平移π2个单位后,与函数y=sin(2x+π3)的图象重合,则φ= .。

历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(解三角形大题)汇编(附答案)

历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(解三角形大题)汇编考点01 求面积的值及范围或最值1．（2024∙北京∙高考真题）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，A ∠为钝角，7a =，sin 2cos B B =．(1)求A ∠；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC 存在，求ABC 的面积．条件①：7b =；条件②：13cos 14B =；条件③：sin c A =注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．2．（2023∙全国甲卷∙高考真题）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2222cos b c aA+-=．(1)求bc ； (2)若cos cos 1cos cos a B b A ba Bb A c--=+，求ABC 面积．3．（2023∙全国乙卷∙高考真题）在ABC 中，已知120BAC ∠=︒，2AB =，1AC =. (1)求sin ABC ∠；(2)若D 为BC 上一点，且90BAD ∠=︒，求ADC △的面积.4．（2022∙浙江∙高考真题）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知34,cos 5a C ==． (1)求sin A 的值；(2)若11b =，求ABC 的面积．考点02 求边长、周长的值及范围或最值1．（2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 2A A =． (1)求A ．(2)若2a =sin sin 2C c B =，求ABC 的周长．2．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）记ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin C B =，222a b c +-=(1)求B ；(2)若ABC 的面积为3c ．3．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知ABCD 为BC 中点，且1AD =．(1)若π3ADC ∠=，求tan B ； (2)若228b c +=，求,b c ．4．（2022∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ，已知123123S S S B -+==． (1)求ABC 的面积；(2)若sin sin 3A C =，求b ． 5．（2022∙全国乙卷∙高考真题）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin()sin sin()C A B B C A -=-．(1)证明：2222a b c =+； (2)若255,cos 31a A ==，求ABC 的周长．6．（2022∙北京∙高考真题）在ABC 中，sin 2C C =． (1)求C ∠；(2)若6b =，且ABC 的面积为ABC 的周长．7．（2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++．(1)若23C π=，求B ； (2)求222a b c +的最小值．8．（2020∙全国∙高考真题）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B =150°.（1）若a，b ，求ABC 的面积；（2）若sin AC C . 9．（2020∙全国∙高考真题）ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin ．C（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.考点03 求角和三角函数的值及范围或最值1．（2024∙天津∙高考真题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知92cos 5163a Bbc ===，，． (1)求a ； (2)求sin A ；(3)求()cos 2B A -的值．2．（2023∙天津∙高考真题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知2,120a b A ==∠= ． (1)求sin B 的值； (2)求c 的值； (3)求()sin B C -的值．3．（2022∙天津∙高考真题）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c.已知12,cos 4a b c A ===-.(1)求c 的值； (2)求sin B 的值； (3)求sin(2)A B -的值.4．（2021∙天津∙高考真题）在ABC ，角 ,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin :sin :sin 2A B C =b =．（I ）求a 的值；（II ）求cos C 的值；（III ）求sin 26C π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．5．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=. （1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠.6．（2020∙天津∙高考真题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知 5,a b c === （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin A 的值；（Ⅲ）求sin 24A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．7．（2020∙浙江∙高考真题）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin 0b A =．（I ）求角B 的大小；（II ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．8．（2020∙江苏∙高考真题）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,45a c B ==︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．考点04 求三角形的高、中线、角平分线及其他线段长1．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知在ABC 中，()3,2sin sin A B C A C B +=-=． (1)求sin A ；(2)设5AB =，求AB 边上的高．考点05 三角形中的证明问题1．（2022∙全国乙卷∙高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知()()sin sin sin sin C A B B C A -=-．(1)若2A B =，求C ； (2)证明：2222a b c =+2．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=. （1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠.参考答案考点01 求面积的值及范围或最值1．（2024∙北京∙高考真题）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，A ∠为钝角，7a =，sin 2cos B B =．(1)求A ∠；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC 存在，求ABC 的面积．条件①：7b =；条件②：13cos 14B =；条件③：sin c A =注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)2π3A =； (2)选择①无解；选择②和③△ABC【详细分析】（1）利用正弦定理即可求出答案；（2）选择①，利用正弦定理得3B π=，结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求出sin 14B =，再代入式子得3b =，再利用两角和的正弦公式即可求出sin C ，最后利用三角形面积公式即可；选择③，首先得到5c =，再利用正弦定理得到sin 14C =，再利用两角和的正弦公式即可求出sin B ，最后利用三角形面积公式即可；【答案详解】（1）由题意得2sin cos cos B B B =，因为A 为钝角，则cos 0B ≠，则2sin 7B b =，则7sin sin sin b a BA A ===，解得sin 2A =，因为A 为钝角，则2π3A =. （2）选择①7b =，则sin 7B ===2π3A =，则B 为锐角，则3B π=，此时πA B +=，不合题意，舍弃；选择②13cos 14B =，因为B为三角形内角，则sin 14B ==，则代入2sin 7B =得2147⨯=，解得3b =，()2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333C A B B B B ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭131********⎛⎫=+-⨯= ⎪⎝⎭,则11sin 7322ABC S ab C ==⨯⨯=选择③sin c A =2c ⨯=5c =，则由正弦定理得sin sin a c A C =5sin C ，解得sin C =，因为C 为三角形内角，则11cos 14C ==，则()2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333B A C C C C ⎛⎫=+=+=+⎪⎝⎭11121421414⎛⎫=+-⨯= ⎪⎝⎭，则11sin 7522144ABC S ac B ==⨯⨯⨯=△ 2．（2023∙全国甲卷∙高考真题）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2222cos b c a A+-=．(1)求bc ； (2)若cos cos 1cos cos a B b A ba Bb A c--=+，求ABC 面积．【答案】(1)1(2)4【详细分析】（1）根据余弦定理即可解出；（2）由（1）可知，只需求出sin A 即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出．【答案详解】（1）因为2222cos a b c bc A =+-，所以2222cos 22cos cos b c a bc Abc A A+-===，解得：1bc =．（2）由正弦定理可得cos cos sin cos sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin a B b A b A B B A Ba Bb Ac A B B A C---=-++()()()()()sin sin sin sin 1sin sin sin A B A B B BA B A B A B ---=-==+++，变形可得：()()sin sin sin A B A B B --+=，即2cos sin sin A B B -=，而0sin 1B <≤，所以1cos 2A =-，又0πA <<，所以sin 2A =，故ABC的面积为11sin 122ABC S bc A ==⨯△．3．（2023∙全国乙卷∙高考真题）在ABC 中，已知120BAC ∠=︒，2AB =，1AC =. (1)求sin ABC ∠；(2)若D 为BC 上一点，且90BAD ∠=︒，求ADC △的面积. 【答案】(1)14；【详细分析】(1)首先由余弦定理求得边长BC的值为BCcos 14B =，最后由同角三角函数基本关系可得sin 14B =； (2)由题意可得4ABDACD S S =△△，则15ACD ABC S S =△△，据此即可求得ADC △的面积. 【答案详解】（1）由余弦定理可得：22222cos BC a b c bc A ==+-41221cos1207=+-⨯⨯⨯= ，则BC =222cos 214a c b B ac +-===，sin ABC ∠==（2）由三角形面积公式可得1sin 90241sin 302ABD ACDAB AD S S AC AD ⨯⨯⨯==⨯⨯⨯ △△，则11121sin12055210ACD ABC S S ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯=⎪⎝⎭△△. 4．（2022∙浙江∙高考真题）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c．已知34,cos 5a C ==． (1)求sin A 的值；(2)若11b =，求ABC 的面积．【答案】；(2)22．【详细分析】（1）先由平方关系求出sin C ，再根据正弦定理即可解出；（2）根据余弦定理的推论222cos 2a b c C ab +-=以及4a =可解出a ，即可由三角形面积公式in 12s S ab C =求出面积．【答案详解】（1）由于3cos 5C =， 0πC <<，则4sin 5C =．因为4a =，由正弦定理知4sin A C =，则sin 45A C ==．（2）因为4a ，由余弦定理，得2222221612111355cos 22225a a aa b c C ab a a +--+-====，即26550a a +-=，解得5a =，而4sin 5C =，11b =，所以ABC 的面积114sin 51122225S ab C ==⨯⨯⨯=．5．（2019∙全国∙高考真题）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin 2A Ca b A +=．（1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围．【答案】(1) 3B π=;(2). 【详细分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B 的三角方程，最后根据A,B,C 均为三角形内角解得3B π=.(2)根据三角形面积公式1sin 2ABC S ac B =⋅ ，又根据正弦定理和1c =得到ABC S 关于C 的函数，由于ABC 是锐角三角形，所以利用三个内角都小于2π来计算C 的定义域，最后求解()ABC S C 的值域.【答案详解】(1)[方法一]【最优解：利用三角形内角和为π结合正弦定理求角度】由三角形的内角和定理得222A C Bπ+=-，此时sinsin 2A C a b A +=就变为sin sin 22B a b A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭．由诱导公式得sin cos 222B B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以cos sin 2B a b A =．在ABC 中，由正弦定理知2sin ,2sin a R A b R B ==，此时就有sin cossin sin 2BA AB =，即cos sin 2B B =，再由二倍角的正弦公式得cos2sin cos 222B B B=，解得3B π=． [方法二]【利用正弦定理解方程求得cos B 的值可得B ∠的值】由解法1得sin sin 2A CB +=，两边平方得22sinsin 2A CB +=，即21cos()sin 2A CB -+=．又180A BC ++=︒，即cos()cos A C B +=-，所以21cos 2sin B B +=，进一步整理得22cos cos 10B B +-=，解得1cos 2B =，因此3B π=． [方法三]【利用正弦定理结合三角形内角和为π求得,,A BC 的比例关系】根据题意sinsin 2A Ca b A +=，由正弦定理得sin sin sin sin 2A C A B A +=，因为0A π<<，故sin 0A >，消去sin A 得sin sin 2A CB +=． 0<B π<，02A C π+<<，因为故2A C B +=或者2A CB π++=，而根据题意A BC π++=，故2A C B π++=不成立，所以2A CB +=，又因为A BC π++=，代入得3B π=，所以3B π=.(2)[方法一]【最优解：利用锐角三角形求得C 的范围，然后由面积函数求面积的取值范围】因为ABC 是锐角三角形，又3B π=，所以,6262A C ππππ<<<<，则1sin 2ABCS ac B ==V 22sin 1sin 3sin 24sin 4sin C a A c B c C Cπ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅⋅=⋅=⋅=22sincos cos sin 333sin 8tan C CC C ππ-=．因为,62C ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以tan C ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭，则1tan C ∈，从而ABC S ⎝⎭∈ ，故ABC面积的取值范围是82⎫⎪⎪⎝⎭． [方法二]【由题意求得边a 的取值范围，然后结合面积公式求面积的取值范围】由题设及（1）知ABC的面积4ABC S a =△．因为ABC 为锐角三角形，且1,3c B π==，所以22221cos 0,21cos 0,2b a A bb a C ab ⎧+-=>⎪⎪⎨+-⎪=>⎪⎩即22221010.b a b a ⎧+->⎨+->⎩，又由余弦定理得221b a a =+-，所以220,20,a a a ->⎧⎨->⎩即122a <<，所以82ABC S << ，故ABC面积的取值范围是⎝⎭． [方法三]【数形结合，利用极限的思想求解三角形面积的取值范围】如图，在ABC 中，过点A 作1AC BC ⊥，垂足为1C ，作2AC AB ⊥与BC 交于点2C ．由题设及（1）知ABC的面积ABC S =△，因为ABC 为锐角三角形，且1,3c B π==，所以点C 位于在线段12C C 上且不含端点，从而cos cos cc B a B⋅<<，即1cos3cos 3a ππ<<，即122a <<，所以82ABC S << ，故ABC面积的取值范围是82⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．【整体点评】(1)方法一：正弦定理是解三角形的核心定理，与三角形内角和相结合是常用的方法；方法二：方程思想是解题的关键，解三角形的问题可以利用余弦值确定角度值；方法三：由正弦定理结合角度关系可得内角的比例关系，从而确定角的大小. (2)方法一：由题意结合角度的范围求解面积的范围是常规的做法；方法二：将面积问题转化为边长的问题，然后求解边长的范围可得面积的范围；方法三：极限思想和数形结合体现了思维的灵活性，要求学生对几何有深刻的认识和灵活的应用.6．（2017∙全国∙高考真题）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c已知sin 0,2A A a b +===.（1）求角A 和边长c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥,求ABD ∆的面积. 【答案】（1）23π，4；（2【答案详解】试题详细分析：（1）先根据同角的三角函数的关系求出tan A = 从而可得A 的值，再根据余弦定理列方程即可求出边长c 的值；（2）先根据余弦定理求出cos C ，求出CD 的长，可得12CD BC =，从而得到12ABD ABC S S ∆∆=，进而可得结果. 试题解析：（1）sin 0,tan A A A =∴= 20,3A A ππ<<∴=，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，即21284222c c ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭，即22240c c +-=，解得6c =-（舍去）或4c =，故4c =. (2)2222cos c b a ab C =+-Q，1628422cos C ∴=+-⨯⨯，2cos 2cos AC C CD C ∴=∴===12CD BC ∴=，1142222ABC S AB AC sin BAC ∆∴=⋅⋅∠=⨯⨯⨯=12ABD ABC S S ∆∆∴==7．（2016∙全国∙高考真题）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos (cos cos )C a B b A c +=. （1）求角C ；（2）若c =2ABC S ∆=，求ABC ∆的周长. 【答案】（1）3C π=（2）5【答案详解】试题详细分析：（1）根据正弦定理把2cos (cos cos )C a B b A c +=化成2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=，利用和角公式可得1cos ,2C =从而求得角C ；（2）根据三角形的面积和角C 的值求得6ab =，由余弦定理求得边a 得到ABC ∆的周长. 试题解析：（1）由已知可得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C += 12cos sin()sin cos 23π∴+=⇒=⇒=C A B C C C （2）11sin 6222∆=⇒=⇒=ABC S ab C ab ab又2222cos +-= a b ab C c2213a b ∴+=，2()255∴+=⇒+=a b a bABC ∆∴的周长为5考点：正余弦定理解三角形.8．（2015∙浙江∙高考真题）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c .已知tan()24A π+=.（1）求2sin 2sin 2cos AA A+的值；（2）若,34B a π==，求ABC ∆的面积. 【答案】（1）25；（2）9 【答案详解】（1）利用两角和与差的正切公式，得到1tan 3A =，利用同角三角函数基本函数关系式得到结论；（2）利用正弦定理得到边b 的值，根据三角形，两边一夹角的面积公式计算得到三角形的面积.试题解析：（1）由tan()24A π+=，得1tan 3A =，所以22sin 22sin cos 2tan 2sin 2cos 2sin cos cos 2tan 15A A A A A A A A A A ===+++.（2）由1tan 3A =可得，sin A A ==3,4a B π==，由正弦定理知：b =又sin sin()sin cos cos sin 5C A B A B A B =+=+=，所以11sin 3922ABC S ab C ∆==⨯⨯=. 考点：1.同角三角函数基本关系式；2.正弦定理；3.三角形面积公式.9．（2015∙全国∙高考真题）已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边， 2sin 2sin sin B A C =．（1）若a b =，求cos ;B（2）若90B = ，且a =求ABC ∆的面积．【答案】（1）14；（2）1 【答案详解】试题详细分析：（1）由2sin 2sin sin B A C =，结合正弦定理可得：22b ac =，再利用余弦定理即可得出cos ;B（2）利用（1）及勾股定理可得c ，再利用三角形面积计算公式即可得出试题解析：（1）由题设及正弦定理可得22b ac = 又a b =，可得2,2b c a c ==由余弦定理可得2221cos 24a c b B ac +-==（2）由（1）知22b ac =因为90B = ，由勾股定理得222a c b += 故222a c ac +=，得c a == 所以的面积为1考点：正弦定理，余弦定理解三角形10．（2015∙山东∙高考真题）设()2sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭,求ABC ∆面积的最大值.【答案】（Ⅰ）单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（Ⅱ）ABC ∆【答案详解】试题详细分析：（Ⅰ）首先利用二倍角公式化简函数()f x 的解析式，再利用正弦函数的单调性求其单调区间；（Ⅱ）首先由02A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭结合（Ⅰ）的结果，确定角A 的值，然后结合余弦定理求出三角形ABC ∆面积的最大值. 试题解析：解：（Ⅰ）由题意知()1cos 2sin 2222x x f x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭=-sin 21sin 21sin 2222x x x -=-=- 由222,22k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 可得,44k x k k Z ππππ-+≤≤+∈由3222,22k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 可得3,44k x k k Z ππππ+≤≤+∈所以函数()f x 的单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ （Ⅱ）由1sin 0,22A f A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭得1sin 2A =由题意知A 为锐角，所以cos 2A =由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-可得：2212b c bc =+≥即：2bc ≤ 当且仅当b c =时等号成立.因此1sin 2bc A ≤所以ABC ∆面积的最大值为24考点：1、诱导公式；2、三角函数的二倍角公式；3、余弦定理；4、基本不等式.考点02 求边长、周长的值及范围或最值1．（2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 2A A =． (1)求A ．(2)若2a =sin sin 2C c B =，求ABC 的周长．【答案】(1)π6A =(2)2+【详细分析】（1）根据辅助角公式对条件sin 2A A =进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；（2）先根据正弦定理边角互化算出B ，然后根据正弦定理算出,b c 即可得出周长. 【答案详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）由sin 2A A =可得1sin 12A A =，即sin()1π3A +=，由于ππ4π(0,π)(,333A A ∈⇒+∈，故ππ32A +=，解得π6A = 方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）由sin 2A A =，又22sin cos 1A A +=，消去sin A 得到：224cos 30(2cos 0A A A -+=⇔=，解得cos A = 又(0,π)A ∈，故π6A =方法三：利用极值点求解设()sin (0π)f x x x x =<<，则π()2sin (0π)3f x x x ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，显然π6x =时，max ()2f x =，注意到π()sin 22sin(3f A A A A =+==+，max ()()f x f A =，在开区间(0,π)上取到最大值，于是x A =必定是极值点，即()0cos f A A A '==，即tan A = 又(0,π)A ∈，故π6A =方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）设(sin ,cos )a b A A == ，由题意，sin 2a b A A ⋅==，根据向量的数量积公式，cos ,2cos ,a b a b a b a b ⋅==，则2cos ,2cos ,1a b a b =⇔= ，此时,0a b =，即,a b 同向共线，根据向量共线条件，1cos sin tan 3A A A ⋅=⇔=，又(0,π)A ∈，故π6A =方法五：利用万能公式求解设tan 2A t =，根据万能公式，22sin 21t A A t ==+整理可得，2222(2(20((2t t t -+==-，解得tan22A t ==22tan 13t A t ==-，又(0,π)A ∈，故π6A =（2）由题设条件和正弦定理sin sin 2sin 2sin sin cos C c B B C C B B =⇔=，又,(0,π)B C ∈，则sin sin 0B C ≠，进而cos B =π4B =，于是7ππ12C A B =--=，sin sin(π)sin()sin cos sin cos 4C A B A B A B B A =--=+=+=，由正弦定理可得，sin sin sin a b cA B C ==，即2ππ7πsin sin sin6412b c==，解得b c == 故ABC的周长为2+2．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）记ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c，已知sin C B =，222a b c +-=(1)求B ；(2)若ABC的面积为3c ．【答案】(1)π3B =(2)【详细分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出cos ,sin C C，最后结合已知sin C B =得cos B 的值即可；（2）首先求出,,A B C ，然后由正弦定理可将,a b 均用含有c 的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解.【答案详解】（1）由余弦定理有2222cos a b c ab C +-=，对比已知222a b c +-=，可得222cos 222a b c C ab ab +-===，因为()0,πC ∈，所以sin 0C >，从而sin 2C ===，又因为sin C B =，即1cos 2B =，注意到()0,πB ∈，所以π3B =. （2）由（1）可得π3B =，cos 2C =，()0,πC ∈，从而π4C =，ππ5ππ3412A =--=，而5πππ1sin sin sin 124622224A ⎛⎫⎛⎫==+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由正弦定理有5πππsin sin sin 1234a b c==，从而1,4222a cbc +====，由三角形面积公式可知，ABC 的面积可表示为21113sin 222228ABC S ab C c c ==⋅⋅= ，由已知ABC的面积为323=所以c =3．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知ABCD 为BC 中点，且1AD =． (1)若π3ADC ∠=，求tan B ； (2)若228b c +=，求,b c ．【答案】(2)2b c ==.【详细分析】（1）方法1，利用三角形面积公式求出a ，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面积公式求出a ，作出BC 边上的高，利用直角三角形求解作答.（2）方法1，利用余弦定理求出a ，再利用三角形面积公式求出ADC ∠即可求解作答；方法2，利用向量运算律建立关系求出a ，再利用三角形面积公式求出ADC ∠即可求解作答. 【答案详解】（1）方法1：在ABC 中，因为D 为BC 中点，π3ADC ∠=，1AD =，则1111sin 12222ADC ABC S AD DC ADC a S =⋅∠=⨯⨯===，解得4a =，在ABD △中，2π3ADB ∠=，由余弦定理得2222cos c BD AD BD AD ADB =+-⋅∠，即2141221()72c =+-⨯⨯⨯-=，解得c =cos 14B ==，sin B ===，所以sin tan cos 5B B B ==. 方法2：在ABC 中，因为D 为BC 中点，π3ADC ∠=，1AD =，则1111sin 12222ADC ABC S AD DC ADC a S =⋅∠=⨯⨯===，解得4a =，在ACD 中，由余弦定理得2222cos b CD AD CD AD ADC =+-⋅∠，即214122132b =+-⨯⨯⨯=，解得b =，有2224AC AD CD +==，则π2CAD ∠=，π6C =，过A 作AE BC ⊥于E，于是3cos ,sin 2CE AC C AE AC C ====，52BE =，所以tan 5AE B BE ==. （2）方法1：在ABD △与ACD 中，由余弦定理得222211121cos(π)4211121cos 42c a a ADC b a a ADC ⎧=+-⨯⨯⨯-∠⎪⎪⎨⎪=+-⨯⨯⨯∠⎪⎩，整理得222122a b c +=+，而228b c +=，则a =，又11sin 22ADC S ADC =⨯∠=，解得sin 1ADC ∠=，而0πADC <∠<，于是π2ADC ∠=，所以2b c ===.方法2：在ABC 中，因为D 为BC 中点，则2AD AB AC =+ ，又CB AB AC =-，于是2222224()()2()16AD CB AB AC AB AC b c +=++-=+= ，即2416a +=，解得a =，又11sin 2ADC S ADC =⨯∠ sin 1ADC ∠=，而0πADC <∠<，于是π2ADC ∠=，所以2b c ===.4．（2022∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S，已知123123S S S B -+==． (1)求ABC 的面积； (2)若sin sin 3A C =，求b ．【答案】(2)12【详细分析】（1）先表示出123,,S S S，再由1232S S S -+=求得2222a c b +-=，结合余弦定理及平方关系求得ac ，再由面积公式求解即可；（2）由正弦定理得22sin sin sin b acB AC =，即可求解.【答案详解】（1）由题意得22221231,,22444S a a S b S c =⋅⋅===，则222123S S S -+==，即2222a c b +-=，由余弦定理得222cos 2a c b B ac +-=，整理得cos 1ac B =，则cos 0B >，又1sin 3B =，则cos 3B ==，1cos 4ac B ==，则1sin 28ABC S ac B == ；（2）由正弦定理得：sin sin sin b a c B A C ==，则229sin sin sin sin sin 43b ac ac B A C A C =⋅==，则3sin 2b B =，31sin 22b B ==. 5．（2022∙全国乙卷∙高考真题）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin()sin sin()C A B B C A -=-．(1)证明：2222a b c =+； (2)若255,cos 31a A ==，求ABC 的周长．【答案】(1)见解析 (2)14【详细分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出bc ，从而可求得b c +，即可得解. 【答案详解】（1）证明：因为()()sin sin sin sin C A B B C A -=-，所以sin sin cos sin sin cos sin sin cos sin sin cos C A B C B A B C A B A C -=-，所以2222222222222a c b b c a a b c ac bc ab ac bc ab +-+-+-⋅-⋅=-⋅，即()22222222222a cb a bc b c a +-+--+-=-，所以2222a b c =+；（2）解：因为255,cos 31a A ==，由（1）得2250bc +=，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，则50502531bc -=，所以312bc =，故()2222503181b c b c bc +=++=+=，所以9b c +=，所以ABC 的周长为14a b c ++=.6．（2022∙北京∙高考真题）在ABC 中，sin 2C C =． (1)求C ∠；(2)若6b =，且ABC 的面积为ABC 的周长．【答案】(1)6π(2)6+【详细分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得cos C 的值，结合角C 的取值范围可求得角C 的值；（2）利用三角形的面积公式可求得a 的值，由余弦定理可求得c 的值，即可求得ABC 的周长.【答案详解】（1）解：因为()0,C π∈，则sin 0C >2sin cos C C C =，可得cos 2C =，因此，6C π=.（2）解：由三角形的面积公式可得13sin 22ABC S ab C a === ，解得a =.由余弦定理可得2222cos 48362612c a b ab C =+-=+-⨯=，c ∴=所以，ABC 的周长为6a b c ++=.7．（2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++．(1)若23C π=，求B ； (2)求222a b c +的最小值．【答案】(1)π6；(2)5．【详细分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将cos sin 21sin 1cos2A BA B=++化成()cos sin A B B +=，再结合π02B <<，即可求出；（2）由（1）知，π2C B =+，π22A B =-，再利用正弦定理以及二倍角公式将222a b c +化成2224cos 5cos B B +-，然后利用基本不等式即可解出．【答案详解】（1）因为2cos sin 22sin cos sin 1sin 1cos 22cos cos A B B B BA B B B===++，即()1sin cos cos sin sin cos cos 2B A B A B A BC =-=+=-=，而π02B <<，所以π6B =；（2）由（1）知，sin cos 0B C =->，所以πππ,022C B <<<<，而πsin cos sin 2B C C ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以π2C B =+，即有π22A B =-，所以30,,,424B C πππ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以222222222sin sin cos 21cos sin cos a b A B B Bc C B +++-==()2222222cos 11cos 24cos 555cos cos B BB BB-+-==+-≥=．当且仅当2cos B =222a b c +的最小值为5． 8．（2020∙全国∙高考真题）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B =150°.（1）若a，b ，求ABC 的面积；（2）若sin AC =2，求C . 【答案】（1（2）15︒.【详细分析】（1）已知角B 和b 边，结合,a c 关系，由余弦定理建立c 的方程，求解得出,a c ，利用面积公式，即可得出结论；（2）方法一：将30A C =︒-代入已知等式，由两角差的正弦和辅助角公式，化简得出有关C 角的三角函数值，结合C 的范围，即可求解.【答案详解】（1）由余弦定理可得2222282cos1507b a c ac c ==+-⋅︒=，2,c a ABC ∴==∴△的面积1sin 2S ac B == （2）[方法一]：多角换一角 30A C +=︒ ，sin sin(30)A C C C ∴=︒-1cos sin(30)22C C C ==+︒=， 030,303060C C ︒<<︒∴︒<+︒<︒ ，3045,15C C ∴+︒=︒∴=︒. [方法二]：正弦角化边由正弦定理及150B =︒得22sin sin sin ====a c bR b A C B．故sin ,sin 22==a c A C b b ．由sin 2A C =，得a +=．又由余弦定理得22222cos =+-⋅=+b a c ac B a 2+c ，所以()222()2=++a a c ，解得a c =．所以15=︒C ．【整体点评】本题考查余弦定理、三角恒等变换解三角形，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.其中第二问法一主要考查三角恒等变换解三角形，法二则是通过余弦定理找到三边的关系，进而求角.9．（2020∙全国∙高考真题）ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin ．C（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.【答案】（1）23π；（2）3+【详细分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出cos A 的形式，进而求得A ；（2）方法一：利用余弦定理可得到()29AC AB AC AB +-⋅=，利用基本不等式可求得AC AB +的最大值，进而得到结果.【答案详解】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB --=⋅，2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅，()0,A π∈ ，23A π∴=. （2）[方法一]【最优解】：余弦+不等式由余弦定理得：2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅229AC AB AC AB =++⋅=，即()29AC AB AC AB +-⋅=.22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭（当且仅当AC AB =时取等号）， ()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭，解得：AC AB +≤AC AB =时取等号），ABC ∴周长3L AC AB BC =++≤+ABC ∴周长的最大值为3+[方法二]：正弦化角（通性通法）设,66ππαα=+=-B C ，则66ππα-<<，根据正弦定理可知sin sin sin a b cA B C===，所以sin )b c B C +=+sin sin 66ππαα⎤⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦α=≤，当且仅当0α=，即6B C π==时，等号成立．此时ABC周长的最大值为3+ [方法三]：余弦与三角换元结合在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．由余弦定理得229b c bc =++，即2213924⎛⎫++= ⎪⎝⎭b c c ．令13sin ,20,2b c c θπθθ⎧+=⎪⎛⎫∈⎨ ⎪⎝⎭⎪=⎩，得3sin b c θθ+=6πθ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，易知当6C π=时，max ()b c +=所以ABC周长的最大值为3+【整体点评】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；方法一：求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值. 方法二采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围进行求解最值，如果三角形是锐角三角形或有限制条件的，则采用此法解决.方法三巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦函数求最值问题.10．（2018∙全国∙高考真题）在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠= ，45A ∠= ，2AB =，5BD =.（1）求cos ADB ∠；（2）若DC =，求BC . 【答案】（1）5；（2）5. 【详细分析】（1）方法一：根据正弦定理得到sin sin BD AB A ADB =∠∠，求得sin 5ADB ∠=，结合角的范围，利用同角三角函数关系式，求得cos 5ADB ∠==；（2）方法一：根据第一问的结论可以求得cos sin 5BDC ADB ∠=∠=，在BCD △中，根据余弦定理即可求出．【答案详解】（1）［方法1］：正弦定理＋平方关系在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD AB A ADB =∠∠，代入数值并解得sin 5ADB ∠=．又因为BD AB >，所以A ADB ∠>∠，即ADB ∠为锐角，所以cos 5ADB ∠=．［方法2］：余弦定理在ABD △中，2222cos 45BD AB AD AB AD =+-⋅ ，即2254222AD AD =+-⨯⨯⨯，解得：AD =所以，2254cos5ADB +-∠==．［方法3］：【最优解】利用平面几何知识如图，过B 点作BE AD ⊥，垂足为E ，BF CD ⊥，垂足为F ．在Rt AEB 中，因为45A ∠=︒，=2AB ，所以AE BE ==．在Rt BED △中，因为5BD =，则DE ===．所以cos ADB ∠=［方法4］：坐标法以D 为坐标原点，DC 为x 轴，DA为y 轴正方向，建立平面直角坐标系（图略）．设BDC α∠=，则(5cos ,5sin )B αα．因为45A ∠=︒，所以(0,5sin A α．从而2AB ==，又α是锐角，所以cos 5α=，cos sin ADB α∠===（2）［方法1］：【通性通法】余弦定理在BCD △，由（1）得，cos 5ADB ∠=，()2222cos 90BC BD DC BD DC ADB︒=+-⋅-∠2252525ADB =+-⨯⨯∠=，所以=5BC ．［方法2］：【最优解】利用平面几何知识作BF DC ⊥，垂足为F ，易求，BF =FC =，由勾股定理得=5BC ．【整体点评】（1）方法一：根据题目条件已知两边和一边对角，利用正弦定理和平方关系解三角形，属于通性通法；方法二：根据题目条件已知两边和一边对角，利用余弦定理解三角形，也属于通性通法；方法三：根据题意利用几何知识，解直角三角形，简单易算．方法四：建立坐标系，通过两点间的距离公式，将几何问题转化为代数问题，这是解析思想的体现．（2）方法一：已知两边及夹角，利用余弦定理解三角形，是通性通法．方法二：利用几何知识，解直角三角形，简单易算．11．（2017∙全国∙高考真题）△ABC 的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、,已知△ABC 的面积为23sin a A(1)求sin sin B C ;(2)若6cos cos 1,3,B C a ==求△ABC 的周长.【答案】(1)2sin sin 3B C =(2) 3【答案详解】试题详细分析：（1）由三角形面积公式建立等式21sin 23sin a ac B A=，再利用正弦定理将边化成角，从而得出sin sin B C 的值；（2）由1cos cos 6B C =和2sin sin 3B C =计算出1cos()2B C +=-，从而求出角A ，根据题设和余弦定理可以求出bc 和b c +的值，从而求出ABC 的周长为3+试题解析：（1）由题设得21sin 23sin a ac B A=，即1sin 23sin a c B A =.由正弦定理得1sin sin sin 23sin A C B A =. 故2sin sin 3B C =. （2）由题设及（1）得1cos cos sin sin ,2B C B C -=-，即()1cos 2B C +=-.所以23B C π+=，故3A π=. 由题设得21sin 23sin a bc A A=，即8bc =.由余弦定理得229b c bc +-=，即()239b c bc +-=，得b c +故ABC 的周长为3+点睛:在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如sin()y A x b ωϕ=++，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.12．（2017∙山东∙高考真题）在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知b =3,6AB AC ⋅=-,S △ABC =3,求A 和a .【答案】34A π=，a =【答案详解】试题详细分析：先由数量积公式及三角形面积公式得3cos 613sin 32c A c A =-⎧⎪⎨⨯=⎪⎩,由此求A ,再利用余弦定理求a .试题解析：因为6AB AC ⋅=-，所以cos 6bc A =-，又3ABC S =△，所以sin 6bc A =，因此tan 1A =-，又0πA <<，所以3π4A =，又3b =，所以c =由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得29823(a =+-⨯⨯，所以a = 【考点】解三角形【名师点评】正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理,它将三角形的边和角有机地联系起来,从而使三角与几何产生联系,为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据,也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．其主要方法有：化角法,化边法,面积法,运用初等几何法．注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想．13．（2017∙全国∙高考真题）△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2sin()8sin2B AC +=．（1）求cos B ；（2）若6a c +=，△ABC 的面积为2，求b ．【答案】（1）1517；（2）2．【答案详解】试题详细分析：（1）利用三角形的内角和定理可知A C B π+=-，再利用诱导公式化简()sin A C +，利用降幂公式化简28sin 2B，结合22sin cos 1B B +=，求出cos B ；（2）由（1）可知8sin 17B =，利用三角形面积公式求出ac ，再利用余弦定理即可求出b . 试题解析：（1）()2sin 8sin2BA C +=，∴()sin 41cosB B =-，∵22sin cos 1B B +=， ∴()22161cos cos 1B B -+=，∴()()17cos 15cos 10B B --=，∴15cos 17B =；（2）由（1）可知8sin 17B =， ∵1sin 22ABC S ac B =⋅=，∴172ac =， ∴()2222222217152cos 2152153617154217b ac ac B a c a c a c ac =+-=+-⨯⨯=+-=+--=--=， ∴2b =．14．（2016∙全国∙高考真题）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos (cos cos )C a B b A c +=.（1）求角C ；（2）若c =ABC S ∆=ABC ∆的周长.【答案】（1）3C π=（2）5【答案详解】试题详细分析：（1）根据正弦定理把2cos (cos cos )C a B b A c +=化成2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=，利用和角公式可得1cos ,2C =从而求得角C ；（2）根据三角形的面积和角C 的值求得6ab =，由余弦定理求得边a 得到ABC ∆的周长. 试题解析：（1）由已知可得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C += 12cos sin()sin cos 23π∴+=⇒=⇒=C A B C C C（2）11sin 622∆=⇒=⇒=ABC S ab C ab ab 又2222cos +-= a b ab C c2213a b ∴+=，2()255∴+=⇒+=a b a bABC ∆∴的周长为5考点：正余弦定理解三角形.15．（2015∙浙江∙高考真题）在ABC ∆中，内角 A ，B ， C 所对的边分别为a ， b ，c ，已知 4A π=，22b a -=122c .（1）求tan C 的值；（2）若ABC ∆的面积为3，求 b 的值. 【答案】（1）2；（2）3b =.【答案详解】（1）根据正弦定理可将条件中的边之间的关系转化为角之间满足的关系，再将式子作三角恒等变形即可求解；（2）根据条件首先求得sin B 的值，再结合正弦定理以及三角形面积的计算公式即可求解.试题解析：（1）由22212b a c -=及正弦定理得2211sin sin 22B C -=， ∴2cos 2sin B C -=，又由4A π=，即34B C π+=，得cos 2sin 22sin cos B C C C -==，解得tan 2C =；（2）由tan 2C =，(0,)C π∈得sin 5C =，cos 5C =，又∵sin sin()sin()4B A C C π=+=+，∴sin B =3c b =，又∵4A π=，1sin 32bc A =，∴bc =3b =. 考点：1.三角恒等变形；2.正弦定理.16．（2015∙山东∙高考真题）ABC 中，角A B C ，，所对的边分别为,,a b c .已知cos ()39B A B ac =+==求sin A 和c 的值.【答案】,1.3【详细分析】由条件先求得sin sin C A ，，再由正弦定理即可求解.【答案详解】在ABC 中，由cos 3B =，得sin 3B =.因为A B C π++=，所以sin sin()9C A B =+=，因为sin sin C B <，所以C B <，C 为锐角，cos 9C =，因此sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+39393=⨯+⨯=.由sin sin a c A C =，可得sin sin 9cc A a C ===，又ac =1c =.考点03 求角和三角函数的值及范围或最值1．（2024∙天津∙高考真题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知92cos 5163a Bbc ===，，． (1)求a ； (2)求sin A ；(3)求()cos 2B A -的值．【答案】(1)4(2)4 (3)5764【详细分析】（1）2,3a t c t ==，利用余弦定理即可得到方程，解出即可；（2）法一：求出sin B ，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出cos A ，则得到sin A ；（3）法一：根据大边对大角确定A 为锐角，则得到cos A ，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可.【答案详解】（1）设2,3a t c t ==，0t >，则根据余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即229254922316t t t t =+-⨯⨯⨯，解得2t =（负舍）；则4,6a c ==.（2）法一：因为B为三角形内角，所以sin B ===再根据正弦定理得sin sin a b A B =，即4sin A =sin A =法二：由余弦定理得2222225643cos 22564b c a A bc +-+-===⨯⨯，因为()0,πA ∈，则sin A ==（3）法一：因为9cos 016B =>，且()0,πB ∈，所以π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由（2）法一知sin 16B =，。

2011—2017年高考全国卷Ⅰ文科数学三角函数、解三角形总汇编

新课标全国卷Ⅰ文科数学汇编三角函数、解三角形一、选择题【2017，11】△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a=2，2，则C=( ) A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3【2016，4】ABC △的内角A B C ,,的对边分别为a b c ,,．已知5a =2c =，2cos 3A =，则b =（） A ．2 B3 C ．2 D ．3【2016，6】若将函数π2sin 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为（）． A ．π2sin 24y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ B ．π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C ．π2sin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D ．π2sin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【2015，8】函数f (x )=cos(ωx +φ)的部分图像如图所示，则f (x )的单调递减区间为( ) A ．13(,),44k k k Z ππ-+∈ B ．13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ C ．13(,),44k k k Z -+∈ D ．13(2,2),44k k k Z -+∈ 【2014，7】在函数① y=cos|2x|，②y=|cos x |，③)62cos(π+=x y ，④)42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③ 【2014，2】若tan 0α>，则（）A ． sin 0α>B ． cos 0α>C ． sin 20α>D ． cos20α>【2013，10】已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c＝6，则b ＝( )A ．10B ．9C ．8D ．5 【2012，9】9．已知0ω>，0ϕπ<<，直线4x π=和54x π=是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴，则ϕ=（） A ．4π B ．3π C ．2πD ．34π【2011，7】已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=（）．A ．45-B ．35-C ．35D ．45【2011，11】设函数ππ()sin 2cos 244f x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（） A ．()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线π4x =对称 B ．()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线π2x =对称 C ．()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线π4x =对称 D ．()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线π2x =对称二、填空题【2017，15】已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan 2α=，则cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭________．【2016，】14．已知θ是第四象限角，且π3sin 45θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πtan 4θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．【2013，16】设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝______．【2014，16】如图所示，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒．已知山高100BC m =，则山高MN =m ．【2011，15】ABC △中，120B =o ，7AC =，5AB =，则ABC △的面积为．三、解答题【2015，17】已知,,a b c 分别为ABC △内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =．（1）若a b =，求cos B ；（2）设90B ∠=o ，且a =ABC △的面积．【2012，17】已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，sin cos c C c A =-．（1）求A ；（2）若2a =，△ABC b ，c ．解析一、选择题【2017，11】△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a=2，，则C=( ) A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3【答案】B【解法】解法一：因为sin sin (sin cos )0B A C C +-=，sin sin()B A C =+，所以sin (sin cos )0C A A +=，又sin 0C >，所以sin cos A A =-，tan 1A =-，又0A π<<，所以34A π=，又a =2，c=即1sin 2C =．又02C π<<，所以6C π=，故选B ．解法二：由解法一知sin cos 0A A +=)04A π+=，又0A π<<，所以34A π=．下同解法一．【2016，4】ABC △的内角A B C ,,的对边分别为a b c ,,．已知a =2c =，2cos 3A =，则b =（） A ．BC ．2D ．3解析：选D ．由余弦定理得222cos 2b c a A bc +-=，即245243b b +-=，整理得()28113033b b b b ⎛⎫--=-+= ⎪⎝⎭，解得3b =．故选D ．【2016，6】若将函数π2sin 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为（）． A ．π2sin 24y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ B ．π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C ．π2sin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．π2sin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭解析：选D ．将函数π2sin 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移14个周期，即向右平移π4个单位，故所得图像对应的函数为ππ2sin 246y x ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦π2sin 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．故选D ．【2015，8】函数f (x )=cos(ωx +φ)的部分图像如图所示，则f (x )的单调递减区间为( ) A ．13(,),44k k k Z ππ-+∈ B ．13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ C ．13(,),44k k k Z -+∈ D ．13(2,2),44k k k Z -+∈ 解：选D ．依图，153++4242ππωϕωϕ==且，解得ω=π，=4πϕ， ()cos()4f x x ππ∴=+， 224k x k πππππ<+<+由，，解得132244k x k -<<+，故选D ．【2014，7】在函数① y=cos|2x|，②y=|cos x |，③)62cos(π+=x y ，④)42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③解：选A ．由cos y x =是偶函数可知①y=cos|2x|=cos2x ，最小正周期为π；②y=|cos x |的最小正周期也是π；③中函数最小正周期也是π；正确答案为①②③，故选A【2014，2】若tan 0α>，则（）A ． sin 0α>B ． cos 0α>C ． sin 20α>D ． cos20α>解：选C ．tan α>0，α在一或三象限，所以sin α与cos α同号，故选C【2013，10】已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )．A ．10B ．9C ．8D ．5 解析：选D ．由23cos 2A ＋cos 2A ＝0，得cos 2A ＝125．∵A ∈π0,2⎛⎫⎪⎝⎭，∴cos A ＝15．∵cos A ＝2364926b b +-⨯，∴b ＝5或135b =-(舍)．【2012，9】9．已知0ω>，0ϕπ<<，直线4x π=和54x π=是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴，则ϕ=（） A ．4π B ．3π C ．2πD ．34π【解析】选A ．由直线4x π=和54x π=是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴，得()sin()f x x ωϕ=+的最小正周期52()244T πππ=-=，从而1ω=．由此()sin()f x x ϕ=+，由已知4x π=处()sin()f x x ϕ=+取得最值，所以sin()14πϕ+=±，结合选项，知ϕ=4π，故选择A ．【2011，7】已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=（）．A ．45-B ．35-C ．35D ．45【解析】设(,2)(0)P t t t ≠为角θ终边上任意一点，则cosθ=当0t >时，cos 5θ=；当0t <时，cos 5θ=-．因此223cos 22cos 1155θθ=-=-=-．故选B ．【2011，11】设函数ππ()sin 2cos 244f x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（） A ．()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线π4x =对称 B ．()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线π2x =对称 C ．()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线π4x =对称 D ．()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线π2x =对称【解析】因为ππππ()sin 2cos 2224444f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当π02x <<时，02πx <<，故()f x x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递减．又当π2x =π22⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭π2x =是()y f x =的一条对称轴．故选D ．二、填空题【2017，15】已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan 2α=，则cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭________．【解析】10．0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ，sin tan 22sin 2cos cos ααααα=⇒=⇒=，又22sin cos 1αα+=，解得sin α=，cos α=，cos sin )4210πααα⎛⎫∴-=+= ⎪⎝⎭．【基本解法2】0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ，tan 2α=，∴角α的终边过(1,2)P ，故sin y r α==，cos 5x r α==，其中r ==cos (cos sin )4210πααα⎛⎫∴-=+= ⎪⎝⎭．【2016，】14．已知θ是第四象限角，且π3sin 45θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πtan 4θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ．解析：43-．由题意sin sin 442θθπππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦3cos 45θπ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．因为2222k k θ3ππ+<<π+π()k ∈Z ，所以722444k k θ5ππππ+<-<π+()k ∈Z ，从而4sin 45θπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，因此4tan 43θπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．故填43-．方法2：还可利用ππtan tan 144θθ⎛⎫⎛⎫-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭来进行处理，或者直接进行推演，即由题意4cos 45θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故3tan 44θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以tan 4θπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭143tan 4θ-=-π⎛⎫+ ⎪⎝⎭．【2013，16】设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝______．答案：解析：． ∵f (x )＝sin x －2cos xx －φ)，其中sin φ，cos φ．当x －φ＝2k π＋π2(k ∈Z)时，f (x )取最大值．即θ－φ＝2k π＋π2(k ∈Z)，θ＝2k π＋π2＋φ(k ∈Z)． ∴cos θ＝πcos 2ϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－sin φ＝255-．【2014，16】16．如图所示，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒．已知山高100BC m =，则山高MN =m ．解：在Rt ΔABC 中，由条件可得1002AC =，在ΔMAC 中，∠MAC=45°；由正弦定理可得sin60sin 45AM AC =︒︒，故310032AM AC ==Rt ΔMAN 中，MN=AM sin60°=150．【2011，15】ABC △中，120B =o ，7AC =，5AB =，则ABC △的面积为．【解析】由余弦定理知2222cos120AC AB BC AB BC =+-⋅o ，即249255BC BC =++，解得3BC =．故113153sin120532224ABC S AB BC =⋅=⨯⨯⨯=o △．故答案为1534．三、解答题【2015，17】已知,,a b c 分别为ABC △内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =．（1）若a b =，求cos B ；（2）设90B ∠=o，且2a =ABC △的面积．解析：（1）由正弦定理得，22b ac =．又a b =，所以22a ac =，即2a c =．则22222212cos 2422a a a a cb B a ac a ⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭===⋅．（2）解法一：因为90B ∠=o，所以()2sin 12sin sin 2sin sin 90B A C A A ===-o ，即2sin cos 1A A =，亦即sin 21A =．又因为在ABC △中，90B ∠=o ，所以090A <∠<o，则290A ∠=o ，得45A ∠=o．所以ABC △为等腰直角三角形，得a c ==112ABC S ==△．解法二：由（1）可知22b ac =，① 因为90B ∠=o，所以222a c b +=，②将②代入①得()20a c -=，则a c ==，所以112ABC S ==△．解：(Ⅰ) 因为sin 2B =2sin A sin C ．由正弦定理可得b 2=2ac ．又a =b ，可得a=2c ， b=2c ，由余弦定理可得2221cos 24a cb B ac +-==． (Ⅱ)由(Ⅰ)知b 2=2ac ．因为B=90°，所以a 2+c 2=b 2=2ac ．解得a = 所以ΔABC 的面积为1．【2012，17】已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，sin cos c C c A =-．（1）求A ；（2）若2a =，△ABC ，求b ，c ．【解析】（1）根据正弦定理2sin sin a cR A C==，得A R a sin 2=， C R c sin 2=，因为sin cos c C c A =-，所以2sin sin )sin 2sin cos R C R A C R C A =-⋅，化简得C C A C A sin sin cos sin sin 3=-，因为0sin ≠C ，所以1cos sin 3=-A A ，即21)6sin(=-πA ，而π<<A 0，6566πππ<-<-A ，从而66ππ=-A ，解得3π=A ．（2）若2a =，△ABC1）得3π=A ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-+=43cos 233sin 21222a bc c b bc ππ，化简得⎩⎨⎧=+=8422c b bc ，从而解得2=b ，2=c ．。

全国各地高考真题汇编解三角形(教师版)

全国各地高考真题汇编:解三角形1.（13辽宁高考）ABC ∆的三个内角C B A 、、所对的边分别为c b a ,,，a A b B A a 2cos sin sin 2=+ ,则ba=( D ) A 、 B 、 C D2.（13天津高考）在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且,2,2AB AD AB BC BD ==，则sin C 的值为（） A B C D 解：设,x BD =由条件在ABD ∆中，由余弦定理可得到33cos =∠ADB 36sin =∠∴BDC 在BCD ∆中由正弦定理有66sin =C 。

答案：D 3.（13重庆高考）若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边c b a ,,满足4)(22=-+c b a ，且C=60°，则ab 的值为（ A ） A ．43 B ．8- C ． 1 D ．234.（13上海高考）在相距2千米的A 、B 两点处测量目标点C ，若75,60CAB CBA ∠=∠=，则A 、C 两点千米．5.(13安徽高考）已知ABC ∆ 的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为_____________解：设三边长为)0(8,4,>++m m m m ，则︒120的对边为8+m ，由余弦定理可得：︒+⨯-++=+120cos )4(2)4()8(222m m m m m ，化简得：02422=--m m又0>m ，解得6=m ,315120sin 10621=︒⨯⨯⨯=∴S 6.（13北京高考）在ABC ∆中，若5=b ，4B π∠=，2tan =A ，则=A sin _____；=a _____。

解：由2tan =A ，可求得552sin =A ，由正弦定理可求得102=a7.（13福建高考）在△ABC 中，AB=AC=2，BC= D 在BC 边上，∠ADC=45°，则AD 的长度等于__2__。

2011—2019年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编——三角函数与解三角形

2011—2019年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编三角函数与解三角形一、选择题（2019.8）若x 1=4π，x 2=43π是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω=( ) A ．2B ．32C ．1D ．12(2018 )若()cos sin f x x x =-在[0,]a 是减函数，则a 的最大值是（）A ．π4B ．π2 C ．3π4D ．π(2018)在△ABC 中，5cos2=C ，1=BC ，5=AC ，则=AB ( ) A ．42 B ．30 C ．29 D ．25（2017·3）函数()sin(2)3π=+f x x 的最小正周期为（）A.4πB.2πC. πD.2π（2016·3）函数=sin()y A x ωϕ+的部分图像如图所示，则（）A ．2sin(2)6y x π=- B ．2sin(2)3y x π=-C ．2sin(2+)6y x π=D ．2sin(2+)3y x π=（2016·11）函数π()cos 26cos()2f x x x =+-的最大值为（）A ．4B ．5C ．6D ．7（2013·4）在△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，6B π=，4C π=，则△ABC 的面积为（） A ．232+B ．31+C ．232-D ．31-（2013·6）已知2sin 23α=，则2cos ()4πα+=（） A ．16B ．13C ．12D ．23（2012·9）已知ω>0，0ϕπ<<，直线x =4π和x =54π是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴，则ϕ=（）A ．π4B ．π3C ．π2D ．3π4（2011·7）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y = 2x 上，则cos2θ =（）A ．45-B ．35-C ．35D ．45（2011·11）设函数()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++，则（）A ．y = f (x )在(0)2,π单调递增，其图像关于直线4x π=对称B ．y = f (x )在(0)2,π单调递增，其图像关于直线2x π=对称C ．y = f (x )在(0)2,π单调递减，其图像关于直线4x π=对称D ．y = f (x )在(0)2,π单调递减，其图像关于直线2x π=对称二、填空题（2019.15）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin A +a cos B =0，则B =___________. （2017·13）函数()2cos sin =+f x x x 的最大值为 .（2017·16）△ABC 的内角A , B , C 的对边分别为a , b , c ，若2b cos B =a cos C +c cos A ，则B = （2016·15）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，a =1，则b =____________. （2014·14）函数f (x ) = sin(x +φ)-2sin φcos x 的最大值为_________. （2013·16）函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤≤的图象向右平移2π个单位后，与函数sin(2)3y x π=+的图象重合，则ϕ=_________.（2011·15）在△ABC 中B =120°，AC =7，AB =5，则△ABC 的面积为 . 三、解答题（2019.18）ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知sin sin 2A Ca b A +=．（1）求B ；（2）若ABC △为锐角三角形，且c =1，求ABC △面积的取值范围．（2015·17）在ΔABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD =2DC . （Ⅰ）求sin sin BC∠∠；（Ⅱ）若∠BAC =60°，求∠B .（2014·17）四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB =1，BC =3，CD =DA =2. （Ⅰ）求C 和BD ；（Ⅱ）求四边形ABCD 的面积.（2012·17）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，sin cos c C c A =-. （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若a =2，△ABC b ，c .2011—2019年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编三角函数与解三角形（答案）一、选择题（2019·8）A 【解析】因为，是函数两个相邻的极值点，所以所以，故选A ．（2018）C 【解析】解法一 ()cos sin 2)4πf x x x x =-+，当[0,]x a ∈时，[,]444x a πππ+∈+，所以结合题意可知4a ππ+≤，即34a π≤，故所求a 的最大值是34π，故选C ．解法二 ()sin cos 2)4f x x x x π'=--=-+，由题设得()0f x '≤，即sin()04x π+≥在区间[0,]a 上恒成立，当[0,]x a ∈时，[,]444x a πππ+∈+，所以4a ππ+≤，即34a π≤，故所求a 的最大值是34π，故选C ．（2018）A 【解析】因为213cos 2cos 121255=-=⨯-=-C C ，所以由余弦定理，得22232cos 251251()325=+-⋅=+-⨯⨯⨯-=AB AC BC AC BC C ，所以42=AB A ．（2017·3）C 解析：由题意22ππ==T ，故选C.（2016·3）A 解析：由()2362T πππ=--=及2T πω=||得2=ω，由最大值2及最小值-2，的A =2，再将(2)3π，代入解析式，2sin(2)23πϕ⨯+=，解得6πϕ=-，故2sin(2)6y x π=-，故选A.（2016·11）B 解析：因为2311()2(sin )22f x x =--+，而sin [1,1]x ∈-，所以当sin 1x =时，取最大值5，选B.（2013·4）B 解析：因为,64B C ππ==,所以712A π=.由正弦定理得sin sin64b c ππ=，解得22c =所以三角形的面积为117sin 2222212bc A π=⨯⨯. 因为73221231sinsin()sin cos cos sin ()1234343422222πππππππ=+=+=+=，所以1231sin 2)312222bc A =+=，故选B. （2013·6）A 解析：因为21cos 2()1cos(2)1sin 242cos ()4222ππααπαα++++-+===，所以2211sin 213cos ()4226παα--+===，故选A. （2012·9）A 解析：由题设知，πω=544ππ-，∴ω=1，∴4πϕ+=2k ππ+（k Z ∈），∴ϕ=4k ππ+（k Z ∈），∵0ϕπ<<，∴ϕ=4π，故选A. （2011·7）B 解析：易知tan θ=2，cos θ=51±.由cos2θ=2，cos 2θ-1=35-，故选B.（2011·11）D 解析：因为())2f x x x π=+=. 所以f (x ) 在(0)2,π单调递减，其图像关于直线2x π=对称. 故选D.二、填空题（2019.15）34π【解析】因为b sin A +a cos B =0，所以由正弦定理，可得：sin sin sin cos 0A B A B +=，因为(0,π)A ∈，sin 0A >，所以可得sin cos 0B B +=，可得tan 1B =-，因为(0,π)B ∈，所以3π4B =．（2017·13()(tan 2)其中ϕϕ+=≤f x x . （2017·16）3π解析：由正弦定理可得2sin cos sin cos sin cos sin()sin =+=+=B B A C C A A C B 1πcos 23⇒=⇒=B B （2016·15）2113解析：因为45cos ,cos 513A C ==，且,A C 为三角形内角，所以312sin ,sin 513A C ==，13sin sin(C)sin cos cos sin 65B A AC A C =+=+=，又因为sin sin a bA B =，所以sin 21sin 13a B b A ==. （2014·14）1解析：∵f (x ) = sin(x +φ)-2sin φcos x = sin x cos φ+cos x sin φ-2sin φcos x = sin x cos φ-sin φcos x = sin(x -φ)≤ 1，∴f (x )的最大值为1.（2013·16）56π解析：函数cos(2)y x ϕ=+，向右平移2π个单位，得到sin(2)3y x π=+，即sin(2)3y x π=+向左平移2π个单位得到函数cos(2)y x ϕ=+，所以sin(2)3y x π=+向左平移2π个单位，得sin[2()]sin(2)233y x x ππππ=++=++sin(2)cos(2)323x x πππ=-+=++5cos(2)6x π=+，即56πϕ=. （2011·15）4315=S解析：由余弦定理得2222cos120AB AC BC AC BC =+-⋅︒，所以BC =3，有面积公式得4315=S .三、解答题（2019.18）【解析】（1）由题设及正弦定理得sin sinsin sin 2A CA B A +=．因为sin 0A ≠，所以sinsin 2A CB +=．由180A BC ︒++=，可得sincos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222B B B=．因为cos02B ≠，故1sin 22B =，因此60B =︒．（2）由题设及（1）知△ABC的面积ABC S =△．由正弦定理得()sin 120sin 1sin sin 2C c A a C C ︒-===．由于ABC △为锐角三角形，故090A ︒<<︒，090C ︒<<︒，由（1）知120A C +=︒，所以3090C ︒<<︒，故122a <<ABC S <<△．因此，ABC △面积的取值范围是⎝⎭（2015·17）在ΔABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD =2DC . （Ⅰ）求sin sin BC∠∠；（Ⅱ）若∠BAC =60°，求∠B .（2015·17）解析：（Ⅰ）由正弦定理得,.sin sin sin sin AD BD AD DCB BADC CAD==∠∠∠∠因为AD 平分,2,BAC DB DC ∠=所以sin 1.sin 2B DC C BD ∠==∠（Ⅱ）因为180(),60C BAC B BAC ∠=︒-∠+∠∠=︒，所以sin sin()C BAC B ∠=∠+∠1sin .2B B =∠+∠ 由（Ⅰ）知2sin sin ,B C ∠=∠ 所以tan 3B ∠=即30B ∠=︒.（2014·17）四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB =1，BC =3，CD =DA =2. （Ⅰ）求C 和BD ；（Ⅱ）求四边形ABCD 的面积. （2014·17）解析：（Ⅰ）在△BCD 中，BC =3，CD =2，由余弦定理得：BD 2 = BC 2+CD 2-2BC ·CD cosC = 13 -12cos C ①，在△ABD 中，AB =1，DA =2，A +C =π，由余弦定理得：BD 2 = AB 2+AD 2 -2AB ·AD cos A = 5-4cos A = 5+4cos C ②，由①②得：1cos 2C =，则C =60°，7BD =. （Ⅱ）∵1cos 2C =，1cosA 2=-，∴3sin sin C A ==，则111313sin sin 1232232222S AB DA A BC CD C =⋅+⋅=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=.（2012·17）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，3sin cos c a C c A =-. （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若a =2，△ABC 的面积为3，求b ，c .（2012·17）解析：（Ⅰ）由3sin cos c a C c A =-及正弦定理得3sin sin cos sin sin A C A C C -=，由于sin 0C ≠，所以1sin()62A π-=，又0A π<<，故3A π=.（Ⅱ）ABC ∆的面积S =1sin 2bc A =3，故bc =4，而 2222cos a b c bc A =+-，故22=8c b +，解得b c ==2.。

2012-2017年高考文科数学真题汇编：解三角形高考题老师版

14．（2013陕西）设△ABC 的内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c, 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为(A) 锐角三角形(B) 直角三角形(C) 钝角三角形(D) 不确定【简解】sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA,sin(B+C)=sin 2A,sinA=1,A=2π.选B 15、（2016年新课标Ⅰ卷文）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =，2c =，2cos 3A =，则b=（A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）3 【答案】D16、（2016年新课标Ⅲ卷文）在ABC △中，π4B，BC 边上的高等于13BC ,则sin A（A ）310（B ）1010 （C ）55 （D ）31010试题分析：设BC 边上的高线为AD ，则3,2BC AD DC AD ==，所以225AC AD DC AD =+=．由正弦定理，知sin sin AC BCB A =，即53sin 22AD AD A =，解得310sin 10A =，故选D ．17、（2016年高考山东卷文）ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知22,2(1sin )b c a b A ,则A =（A ）3π4（B ）π3（C ）π4（D ）π6【答案】C考点：余弦定理18、2016年高考北京卷文)在△ABC 中，23A π∠=，a=3c ，则bc =_________.试题分析：由正弦定理知sin 3sin A aC c==，所以2sin13sin 23C π==，则6C π=，所以2366B ππππ=--=，所以b c =，即1bc =．考点：解三角形19、（2016年新课标Ⅱ卷文）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，a =1，则b =____________. 【解析】因为45cos ,cos 513A C ==，且,A C 为三角形内角，所以312sin ,sin 513A C ==，13sin sin(C)sin cos cos sin 65B A AC A C =+=+=，又因为sin sin a b A B =，所以sin 21sin 13a Bb A ==.20．（2013安徽）设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 。

1解三角形-教师版(理科)全国卷(1,2,3)解答题分类汇编.

解三角形1、【2018数学全国1】17. （12分）在平面四边形ABCD 中，524590oo===∠=∠BD AB A ADC ，，，. （1）求ADB ∠cos ；（2）若22=DC ，求BC .【答案】.523cos 1=∠ADB ）（52=BC ）（【解析】（1）在ABD ∆中，由正弦定理得AADB ∠=∠sin BDsin AB ，为锐角，，且，，ADB ADB ∠=∠∴===∠52sin .5BD 2AB 45A 0 .523cos ,1cos sin 22=∠∴=∠+∠ADB ADB ADB 又（2）在CBD ∆中，由正弦定理得CDBD BC CD BD ADC ⋅-+=∠2cos 22252sin )90cos(cos 0=∠=∠-=∠ADB ADB ADC 5=∴BC【点评】本题重点考查正余弦定理，属于基本题，难度系数比较小。

2、【2017数学全国1】17（12分）ABC ∆的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知ABC ∆的面积为23sin a A.（1）求sin sin B C ;（2）若6cos cos 1,3B C a ==，求ABC ∆的周长.17.解：（1）由题设得21sin 23sin a ac B A =，即1sin 23sin a c B A =.由正弦定理得1sin sin sin 23sin AC B A =. 故2sin sin 3B C =.（2）由题设及（1）得1cos cos sin sin ,2B C B C -=-，即1cos()2B C +=-. 所以2π3B C +=，故π3A =. 由题设得21sin 23sin a bc A A=，即8bc =.由余弦定理得229b c bc +-=，即2()39b c bc +-=，得b c +=.故ABC △的周长为33、【2016数学全国1】（17）（本小题满分12分）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =（I ）求C ；（II ）若c ABC △，求ABC △的周长．【答案】（I ）C 3π=（II ）5【解析】试题解析：（I ）由已知及正弦定理得，()2cosC sin cos sin cos sinC A B+B A =，()2cosCsin sinC A+B =．故2sin Ccos C sin C =．可得1cos C 2=，所以C 3π=．考点：正弦定理、余弦定理及三角形面积公式4、【2013数学全国1】17．（12分）如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=，AB =1BC =，P 为ABC ∆内一点，90BPC ∠=(1)若12PB =，求PA ； (2)若150APB ∠=，求tan PBA ∠ 【解析】（1）因为12PB =，所以060CBP ∠=，所以030PBA ∠=，由余弦定理得：2PA ==；（2）设PBA α∠=，由已知得s i nPB α=，由正弦定理得00sin sin150sin(30)αα=-，化简得c o s 4s i n αα=，故tan α=. 5、【2017数学全国2】17、ABC 的内角A B C ，，的对边分别为,,a b c ，已知2sin(A C)8sin 2B+= （1）求cos B ；（2）若6,a c +=ABC 的面积为2，求b【解析】：（1）A B C π++=2sin(A C)8sin 2B ∴+=可化为2sinB 8sin 2B =，22sincos 8sin 222B B B∴= 可得sin 02B =（舍去）或者1tan 24B = 又0B π<<22222222cos sin 1tan 15222cos cos sin 2217sin cos tan 1222BB BB B B B B B--∴=-===++ （2）由（1）知8sinB 17==1sin 2ABC Sac B =即172ac =又6a c += 由余弦定理得22222cos ()22cos 4b a c ac B a c ac ac B =+-=+--=2b ∴=6、【2015数学全国2】17．（12分）ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍． (Ⅰ) 求sin sin BC∠∠；(Ⅱ)若1AD =，DC =BD 和AC 的长．【解析】(Ⅰ) 11sin ,sin 22ABD ADC S AB AD BAD S AC AD CAD ∆∆=⋅∠=⋅∠，因为ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍，BAD CAD ∠=∠，所以2AB AC =，由正弦定理可得sin 1sin 2B AC C AB ∠==∠ (Ⅱ)因为::ABD ADC S S BD DC∆∆=，所以BD =ABD ∆和ADC ∆中，由余弦定理得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠． 222222326AB AC AD BD DC +=++=．由(Ⅰ)知2AB AC =，所以1AC =．7、【2017数学全国3】17．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin AA =0，ab =2．（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD ⊥ AC,求△ABD 的面积．【解析】：（1），()3A k k Z ππ∴+=∈，又2(0,),3A A ππ∈∴=再由余弦定理可得又计算可得或（舍去）。

解三角形历年部分高考题——教师版文科

4.（2011年高考浙江卷文科5)在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分,,a b c .若cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B +=(A)- 12 (B) 12(C) -1 (D) 1 【答案】 D【解析】：由余弦定理得：2sin ,2sin ,a R A b R B ==2sin cos 2sin sin R A A R B B ∴=2sin cos sin A A B =即则222sin cos cos sin cos 1A A B B B +=+=，故选D6．（2011年高考重庆卷文科8)若△ABC 的内角，,,A B C 满足6sin 4sin 3sin A B C ==，则cos B = （）A B ．34C D ．11166、（湖南文）17．（本小题满分12分）在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 且满足sin cos .c A a C = （Ⅰ）求角C 的大小；（II cos()4A B π-+的最大值，并求取得最大值时角,A B 的大小．23.(2011年高考安徽卷文科16) (本小题满分13分)在V ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，12cos()0B C ++=，求边BC 上的高.【命题意图】：本题考察两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系，利用内角和定理、正弦定理、余弦定理以及三角形边与角之间的大小对应关系解三角形的能力，考察综合运算求解能力。

【解析】：∵A＋B ＋C ＝180°，所以B ＋C ＝A ，又12cos()0B C ++=，∴12cos(180)0A +-=o ，即12cos 0A -=，1cos 2A =，又0°<A<180°，所以A ＝60°.在△ABC 中，由正弦定理sin sin a b A B=得sin 22sin 23b A B a ===o ，又∵b a <，所以B ＜A ，B ＝45°，C ＝75°，∴BC 边上的高AD ＝AC ·sinC ＝275230)=+o o o2321312()22222=+=. 【解题指导】：解三角形问题所必备的知识点是三大定理“内角和定理、正弦定理、余弦定理”具体的思路是化统一的思想“统一成纯边或纯角问题”即可。

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解三角形
1、【2015数学全国1】17．（12分）（2015全国一文）已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =．
（I ）若a b =，求cos ;B
（II ）若90B =，且a = 求ABC ∆的面积．
【解析】（I ）由题设及正弦定理可得：22b ac =．
又a b =，可得2,2b c a c ==．由余弦定理可得：2221cos 24
a c
b B a
c +-==．
（II ）由（I ）知 22b ac =．因为90B =，由勾股定理得222a c b +=．故222a c ac +=，得c a =．
所以ABC ∆的面积为1．
2、【2015数学全国2】17．（12分）.2,DC BD BAC AD BC D ABC =∠∆平分上的点，是中，（Ⅰ）求
;sin sin C
B ∠∠ （Ⅱ）若.,60B BA
C ∠︒=∠求【解析】（Ⅰ）由正弦定理得,sin sin AB
AC C B =∠∠ 再由三角形内角平分线定理得∴==，21BD DC AB AC .21sin sin =∠∠C B （Ⅱ）︒=∠+∠∴︒=∠120,60C B BAC
sin 11.sin 2B C ∠=∠由（）得sin 2sin ,sin(120)2sin ,C B B B ∴∠=∠∴︒-∠=展开得
t a n ,30.
B B ∠=∴∠=︒ 3、【2014数学全国2】17．（12分）（2014•新课标II 文）四边形ABCD 的内角A 与
C 互补，2,3,1====DA C
D BC AB ．
（1）求C 和BD ；
（2）求四边形ABCD 的面积．
【解析】（1）由题设及余弦定理得2222cos BD BC CD BC CD C =+-⋅1312cos C =-．①
2222cos BD AB DA AB DA A =+-⋅54cosC =+．②
由①②得1cosC 2=
，故0C 60=，BD = （2）四边形A B 的面积11
sin sin 22S AB DA A BC CD C =
⋅+⋅011(1232)sin 6022
S =⨯⨯+⨯⨯=。