抽象函数解析式的几种常用求法
抽象函数常见题型解法
抽象函数常见题型解法一、定义域问题例1. 已知函数的定义域是［1，2］，求f(x)的定义域。
解：的定义域是［1，2］，是指，所以中的满足从而函数f(x)的定义域是［1，4］评析：一般地，已知函数的定义域是A，求f(x)的定义域问题，相当于已知中x的取值范围为A，据此求的值域问题。
例2. 已知函数的定义域是，求函数的定义域。
解：的定义域是，意思是凡被f作用的对象都在中，由此可得所以函数的定义域是评析：这类问题的一般形式是：已知函数f(x)的定义域是A，求函数的定义域。
正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。
这类问题实质上相当于已知的值域B，且，据此求x的取值范围。
例2和例1形式上正相反。
二、求值问题例3. 已知定义域为的函数f(x)，同时满足下列条件：①；②，求f(3)，f(9)的值。
解：取，得因为，所以又取得评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取，这样便把已知条件与欲求的f(3)沟通了起来。
赋值法是解此类问题的常用技巧。
三、值域问题例4. 设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x、y，总成立，且存在，使得，求函数的值域。
解：令，得，即有或。
若，则，对任意均成立，这与存在实数，使得成立矛盾，故，必有。
由于对任意均成立，因此，对任意，有下面来证明，对任意设存在，使得，则这与上面已证的矛盾，因此，对任意所以评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段。
四、解析式问题例5. 设对满足的所有实数x，函数满足，求f(x)的解析式。
解：在中以代换其中x，得：再在(1)中以代换x，得化简得：评析：如果把x和分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。
通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。
五、单调性问题例6. 设f(x)定义于实数集上，当时，，且对于任意实数x、y，有，求证：在R上为增函数。
抽象函数问题求解的几种常用求法
抽象函数问题求解的几种常用求法抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，只给出一些函数符号及其满足的条件的函数。
如函数的定义域、解析递推式、特定点的函数值、特定的运算性质等。
它是高中数学函数部分的难点，由于抽象函数没有具体的解析式作为载体，因此理解起来比较困难，那么怎样求解抽象函数问题呢？以下介绍几种解抽象函数问题的方法。
一． 特殊化方法1. 在求函数解析式或研究函数性质时，一般用“代换”的方法，如将x 换成x -或将x 换成1x 等。
2. 在求函数值时，可用特殊值（如0或1或-1）“代入” 例1.已知()f x 满足()123363f x f x x ⎛⎫+=⎪⎝⎭，求()f x 的解析式。
解：先令3u x =，解出3u x =，于是有：()1232f u f u u ⎛⎫+= ⎪⎝⎭-----------①再以1u代替u 得：()1223f f u u u ⎛⎫+=⎪⎝⎭------------②联立①、②式解方程组，并消去1f u ⎛⎫⎪⎝⎭，解得()6455u f u u=-即所求解析式为：()6455x f x x=-例2. 若对一切自然数a 、b 都有()()()f a b f a f b ab +=++且()11f =，求()f x 的解析式。
解：利用特殊值法 令1a =，等式变为：()()()()111f b f f b b f b b+=++=++，即：()()11f b f b b +-=+，注意到上式是一个关于自然数b 的递推关系式，令1b =， 有()()2111f f -=+2b =，有()()3221f f -=+1b n =-，有()()()111f n f n n --=-+将以上1n -条等式左右两边分别相加，得：()()()()1123111f n f n n -=++++-+⨯-即：()()()1123111f n n n =+++++-+⨯-()11232n n n -=++++=即所求解析式为：()()12x x f x -=二． 函数性质法函数的特征是通过其性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性、特殊点等）反应出来的，抽象函数也是如此。
求抽象函数解析式的常用方法
求抽象函数解析式的常用方法
求抽象函数解析式是数学中一个重要的概念，它可以帮助我们更好地理解函数的特性，从而更好地求解函数。
那么，求抽象函数解析式的常用方法有哪些呢？
首先，我们可以使用极限法来求抽象函数解析式。
极限法是一种求解函数的方法，它可以帮助我们求出函数的极限，从而求出函数的解析式。
其次，我们可以使用微积分的方法来求抽象函数解析式。
微积分是一种求解函数的方法，它可以帮助我们求出函数的导数，从而求出函数的解析式。
此外，我们还可以使用数学归纳法来求抽象函数解析式。
数学归纳法是一种求解函数的方法，它可以帮助我们求出函数的递推公式，从而求出函数的解析式。
总之，求抽象函数解析式的常用方法有极限法、微积分法和数学归纳法。
这些方法都可以帮助我们更好地理解函数的特性，从而更好地求解函数。
因此，在求抽象函数解析式时，我们应该根据实际情况选择合适的方法，以便更好地求解函数。
抽 象 函 数 的 解 题 方 法
解 抽 象 函 数 的 常 用 方 法抽象函数是指没有给出具体解析式的函数。
此类函数试题既能全面地考查学生对函数概念的理解及性质的代数推理和论证能力，又能综合考查学生对数学符号语言的理解和转化能力，以及对一般和特殊关系的认识，因此备受命题者的青睐，成为高考热点。
然而，由于抽象函数本身的抽象性、隐蔽性，大多数学生在解决这类问题时，感到束手无策。
我在多年的教学中,积累了一些解题方法,供大家参考.一、 利用线性函数模型在中学数学教材中，大部分抽象函数是以具体函数为背景构造出来的，解题时最根本点是将抽象函数具体化，这种方法虽不能代替具体证明，但却能找到这些抽象函数的解题途径，特别是填空题、选择题，直接用满足条件的特殊函数求解，得出答案即可。
常见的抽象函数模型有：例1、函数f （x ）对任意实数x ，y ，均有f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ），且f （1）＝2，f （x ）在区间[－４，２]上的值域为 。
0a a ≠且解析：由题设可知，函数f （x ）是正比例()y kx k =为常数的抽象函数，由f （1）＝2可求得k=2，∴ f （x ）的值域为［－８，４］。
例2、已知函数f （x ）对任意,x y R ∈，满足条件()()()2f x y f x f y +=+-，且当x ＞0时，f （x ）＞2，f （3）＝5，求不等式2(22)3f a a --的解。
分析：由题设条件可猜测：f （x ）是y ＝x ＋2的抽象函数，且f （x ）为单调增函数，如果这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。
解：设1221,0x x x x -则，∵当x ＞0时，f （x ）＞2，∴21()2f x x -，则， 即，∴f （x ）为单调增函数。
∵，又∵f （3）＝5，∴f （1）＝3。
∴2(22)(1)f a a f --，∴2221a a --，解得不等式的解为－1 < a < 3。
高中数学：函数解析式的十一种方法
高中数学：函数解析式的十一种方法一、定义法 二、待定系数法 三、换元（或代换）法 四、配凑法 五、函数方程组法七、利用给定的特性求解析式.六、特殊值法 八、累加法 九、归纳法 十、递推法 十一、微积分法一、定义法：【例1】设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f .2]1)1[(3]1)1[(23)1(22+-+--+=+-=+x x x x x f =6)1(5)1(2++-+x x 65)(2+-=∴x x x f【例2】设21)]([++=x x x f f ，求)(x f . 【解析】设xx x x x x f f ++=+++=++=111111121)]([xx f +=∴11)(【例3】设33221)1(,1)1(x x x x g x x x x f +=++=+，求)]([x g f .【解析】2)(2)1(1)1(2222-=∴-+=+=+x x f x x x x x x f又x x x g x x x x xx x x g 3)()1(3)1(1)1(3333-=∴+-+=+=+ 故2962)3()]([24623-+-=--=x x x x x x g f【例4】设)(sin ,17cos )(cos x f x x f 求=.【解析】)2(17cos )]2[cos()(sin x x f x f -=-=ππx x x 17sin )172cos()1728cos(=-=-+=πππ.二、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
【例1】 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f 【解析】设b ax x f +=)( )0(≠a ，则bab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([∴⎩⎨⎧=+=342b ab a ∴⎩⎨⎧⎩⎨⎧=-===3212b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 【例2】已知1392)2(2+-=-x x x f ，求)(x f .【解析】显然，)(x f 是一个一元二次函数。
考点02 求函数解析式的3种方法(解析版)
专题二 函数考点2 求函数解析式的3种方法【方法点拨】求函数解析式的常用方法1. 待定系数法：已知函数的类型，利用所给条件，列出方程或方程组，用待定系数法确定系数.2. 配凑法或换元法：已知复合函数f[g(x)]=F(x)的解析式，把F(x)配凑成关于g(x)的表达式，再用x 代替g(x)，称为配凑法；或者，直接令g(x)=t ，解方程把x 表示成关于t 的函数，再代回，称为换元法，此时要注意新元t 的取值范围.3解方程组法(或赋值法)：已知关于f(x)与f(1/x)或f(-x)的表达式，可通过对自变量的不同赋值构造出不同的等式通过解方程组求出f(x).【高考模拟】1．已知()f x 是偶函数,且当0x >时,2()f x x x =-,则当0x <时,()f x 的解析式为（ ） A ．2()f x x x =-B ．2()f x x x =--C ．2()f x x x =+D ．2()f x x x =-+【答案】C【分析】利用()f x 是偶函数，()()f x f x -=，当0x <，()2f x x x -=+，即可求得答案 【解析】设0x <，则0x ->，当0x >时,()2f x x x =- ()2f x x x ∴-=+，()f x 是偶函数，则()()f x f x -=()2f x x x ∴=+ ()0x <故选C【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求函数的解析式，掌握解题方法，较为简单．2．已知幂函数()f x 的图象经过点()327，，则()f x 的解析式()f x =（ ）．A ．3xB ．3xC ．9xD ．3log x【答案】A【分析】 设幂函数解析式为()f x x α= ，将点()327，代入即可求解. 【解析】设幂函数为()f x x α= 函数经过点（3，27），273α∴= 解得3α=故()f x 的解析式()3f x x = 故选A【点睛】本题考查幂函数解析式的确定，是基础题；解题时需要认真审题，准确代入数值.3．若函数2()1x a f x x bx +=++在[]1,1-上是奇函数，则()f x 的解析式为（ ）． A ．2()1x f x x =-+ B ．2()1x f x x =+ C ．21()1x f x x +=+ D ．2()1x f x x x =++ 【答案】B【解析】【分析】由奇函数得()()f x f x -=-，代入后求出解析式【解析】函数()21x a f x x bx +=++在[]1,1-上是奇函数 ()()f x f x ∴-=-，即()()00f f -=-，()00f =，001a a ==， 即()21x f x x bx =++()()11f f -=-，1122b b -=--+ 解得0b =则()21x f x x =+ 故选B【点睛】 本题考查了函数奇偶性的运用，当奇函数定义域取到零时有()00f =，然后再赋值法求出解析式，较为基础。
抽象函数常见题型解法
高考数学总复习第十讲：抽象函数问题的题型综述抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数，它是中学数学中的一个难点，因为抽象，学生解题时思维常常受阻，思路难以展开，教师对教材也难以处理，而高考中又出现过这一题型，有鉴于此，本文对这一问题进行了初步整理、归类，大概有以下几种题型：一. 求某些特殊值这类抽象函数一般给出定义域，某些性质及运算式而求特殊值。
其解法常用“特殊值法”，即在其定义域内令变量取某特殊值而获解，关键是抽象问题具体化。
例1 定义在R 上的函数f x ()满足：f x f x ()()=-4且f x f x ()()220-+-=，求f ()2000的值。
解：由f x f x ()()220-+-=，以t x =-2代入，有f t f t ()()-=，∴f x ()为奇函数且有f ()00=又由f x f x ()[()]+=--44=-=-∴+=-+=f x f x f x f x f x ()()()()()84故f x ()是周期为8的周期函数，∴==f f ()()200000例2 已知函数f x ()对任意实数x y ，都有f x y f x f y ()()()+=+，且当x >0时，f x f()()>-=-012，，求f x()在[]-21，上的值域。
解：设x x12<且x x R12，∈，则x x210->，由条件当x>0时，f x()>0∴->f x x()21又f x f x x x()[()]2211=-+=-+>f x x f x f x()()()2111∴f x()为增函数，令y x=-，则f f x f x()()()0=+-又令x y==0得f()00=∴-=-f x f x()()，故f x()为奇函数，∴=-=f f()()112，f f()()-=-=-2214∴-f x()[]在，21上的值域为[]-42，二. 求参数范围这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“f”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。
抽象函数问题求解的常用方法
例析抽象函数问题的求解策略抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，但给出了函数满足的一部分性质或运算法则的函数问题。
抽象函数问题是高中数学函数部分的难点，也是高中与大学函数部分的衔接点。
由于这类试题既能全面地考查学生对函数概念的理解及性质的代数推理和论证能力，又能综合考查学生对数学符号语言的理解和接受能力，以及对一般和特殊关系的认识，因而备受高考命题者的青睐。
然而由于这类问题本身的抽象性及其性质的隐蔽性，大多数学生在解决这类问题时，感到束手无策。
为使抽象函数问题解决有章可循，有法可依，本文主要介绍抽象函数问题的常见方法。
【方法荟萃】一、“赋值” 策略对于抽象函数，根据函数的概念和性质，通过观察与分析，将变量赋予特殊值，以简化函数，从而达到转化为要解决的问题的目的。
【例1】若奇函数()()f x x R ∈，满足(2)1,(2)()(2)f f x f x f =+=+，则(1)f 等于（ ）A ．0B ．1C ．12-D ．12解：对于)2()()2(f x f x f +=+，令1-=x ，得)2()1()1(f f f +-=即1)1()1(+-=f f ， 从而1)1(2=f ，所以21)1(=f ，选D 。
【例2】设对任意实数1x 、2x ，函数)(x f y =)0,(≠∈x R x 满足)()()(211x x f x f x f ⋅=+。
（1）求证：0)1()1(=-=f f ；（2）求证：)(x f y =为偶函数。
解：（1）令121==x x ，得)1()11()1()1(f f f f =⨯=+，所以0)1(=f 。
令121-==x x ，得0)1()1()1(==-+-f f f ，所以0)1(=-f 。
（2）令x x x ==21，得)()(22x f x f =，令x x x -==21，得)()(22x f x f =-，从而我们有：)()(x f x f =-， 所以，)(x f y =为偶函数。
求抽象函数解析式的几种方法及适用范围
求函数的解析式的几种方法一：方法名称：配凑法适用范围：已知f(g(x))的解析式,求f(h(x))的解析式方法步骤：1把f(g(x))内的g(x)当做整体，在解析式的右端整理成只含有g(x)的形式2再把g(x)用h(x)代替例：的解析式。
已知求的解析式。
已知f(x+1)=x-3, 求f(x) 的解析式。
已知，求的解析式。
二：方法名称：换元法适用范围：已知f(g(x))的解析式,求f(h(x))的解析式方法步骤：1先把形如f(g(x))内的g(x)设为t（换元后要确定新元t的取值范围）2在用一个只含有t的式子把x表示出来3然后把这个式子在解析式的右端的x中，使右边只含有t4再把t用h(x)代替。
例题：已知求的解析式。
已知f（）=x2+5x,则f(x)的解析式。
三方法名称：待定系数法适用范围：已知对应法则f(x)的函数模型（如一次函数，二次函数等）方法步骤：1先设出函数解析式（如f（x）=ax+b）2把解析式的左端用这个函数模型表示出来4求出函数模型的系数例：四方法名称：方程组法适用范围：一般等号左边有两个抽象函数（如f(x),f(-x)）。
等号右边也含有变量x。
方法步骤：将左边的两个抽象函数看成两个变量。
变换变量构造一个方程，与原方程组成一个方程组，利用消元法求f（x）的解析式例:设f(x)满足关系式 ,求函数的解析式.五：方法名称：赋值法适用范围：一般包含一句话“对任意实数满足”方法步骤：一般的，已知一个关于x,y的抽象函数，利用特殊值去掉一个未知数x或者y，得出关于x或者y的解析式。
例：。
高考数学练习题目详解05函数解析式的求法
【知识要点】一、求函数的解析式的主要方法有以下五种：1、待定系数法：如果已知函数解析式的类型（函数是二次函数、指数函数和对数函数等）时，可以用待定系数法.2、代入法：如果已知原函数)(x f 的解析式，求复合函数)]([x g f 的解析式时，可以用代入法.3、换元法：如果已知复合函数)]([x g f 的解析式，求原函数)(x f 的解析式时，可以用换元法.换元时，注意新“元”的范围.4、解方程组法：如果已知抽象函数满足的关系式中有互为相反的自变量或互为倒数的自变量时，可以用解方程组的方法.5、实际问题法：在实际问题中，根据函数的意义求出函数的解析式. 【方法讲评】【例1】已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x .【点评】（1）本题由于已知函数的类型是一次函数，所以可以利用待定系数法求函数的解析式.（2）由于3(1)2(1)217f x f x x +--=+对于定义域内的任意一个值都成立，所以最后的5217ax b a x ++=+实际上是一个恒等式，所以可以比较等式两边的系数分别相等列方程组.【例2】已知函数)sin(ϕ+ω=x A y （0,||)2πϖφ><的图形的一个最高点为（2，2），由这个最高点到相邻的最低点时曲线经过（6，0），求这个函数的解析式.【解析】由题得)A y wx φ=∴=+2(62)4168()sin()28sin(2)sin()1||842()sin()484T w wy f x x f x x πππφπππφφφπππφ=-⨯==∴=∴==+⨯+∴+=<∴=∴=+由题得函数的最小正周期函数的图像过点（【点评】(1)对于三角函数，待定系数法同样适用，关键是通过已知条件找到关于待定系数的方程（组）.(2)对于三角函数)sin(ϕ+ω=x A y 来说，一般利用最小正周期得到ω的方程，利用最值得到A 的方程，利用最值点得到ϕ的方程.【反馈检测1】已知()f x 为二次函数，且 )2()2(--=-x f x f ，且(0)1f =,图象在x 轴上截得的线段长为22,求()f x 的解析式.【例3】已知函数2()21f x x x =+-，求函数(1)f x -的表达式. 【解析】由题得22(1)2(1)(1)123f x x x x x -=-+--=-【点评】本题就是已知原函数的解析式，求复合函数的解析式，所以只需直接用“1x -”代换原函数中的“x ”即可.这就是代入法求函数的解析式.【例4】已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当),0(+∞∈x 时，)1()(3x x x f +=，求当)0,(-∞∈x 时，)(x f 的函数解析式.【点评】本题就是已知某区间的函数的解析式，求对称区间的解析式. 一般先在所求的函数的图像上任意取一点，然后求出它的对称点的坐标，再把对称点的坐标代入对称点满足的方程.这是高中数学常见到的一种题型，要好好地理解和掌握. 学科.网【反馈检测2】设函数1()f x x x=+的图象为1C ，1C 关于点(2,1)A 对称的图象为2C ， 求2C 对应的函数()g x 的表达式.【例5】已知(1)lg f x x+=，求()f x . 【解析】令21t x +=（1t >），则21x t =-，∴2()lg 1f t t =-， 所以2()lg (1)1f x x x =>-.【点评】（1）本题就是已知复合函数的解析式，求原函数的解析式.一般先换元，再求出函数的自变量的表达式，再代入复合函数得到函数的解析式.（2）换元时，一定要注意新元的取值范围，它就是所求函数的定义域.【反馈检测3】 已知(1cos )cos2,f x x -=求()2x f 的解析式.【例6】已知()f x 满足12()()3f x f x x+=，求()f x ． 【解析】12()()3f x f x x += ①，把①中的x 换成1x ，得132()()f f x x x+= ②， ①2⨯-②得33()6f x x x =-，∴1()2f x x x=-． 【点评】在已知的方程中有自变量x 和1x，它们互为倒数，所以可以把方程中x 的地方统一换成1x ，从而又得到一个关于1(),()f x f x 的方程，解关于1(),()f x f x的方程组即可.【反馈检测5】定义在区间(1,1)-上的函数()f x 满足2()()lg(1)f x f x x --=+，求()f x 的表达式.【例7】某人开汽车以60/km h 的速度从A 地到150km 远处的B 地，在B 地停留1h 后，再以50/km h 的速度返回A 地，把汽车离开A 地的路程()x km 表示为时间()t h （从A 地出发是开始）的函数，再把车速v /km h 表示为时间()t h 的函数．【点评】实际问题中求函数的解析式难度比较大，一般要认真读题，再根据函数的意义、自变量的意义及其它们之间的关系建立它们之间的函数关系.在写函数的解析式时，要注意函数的定义域.【反馈检测6】 某公司生产一种产品的固定成本为0.5万元，但每生产100件需要增加投入0.25万元，市场对此产品的需要量为500件，销售收入为函数()252x R x x =-()05x ≤≤万元，其中x 是产品售出的数量（单位：百件）.（1）把利润表示为年产量的函数()f x ； （2）年产量为多少时，当年公司所得利润最大.高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第05讲：函数解析式的求法参考答案【反馈检测1答案】21()212f x x x =++ 【反馈检测1详细解析】(0)bx c a ++≠2设二次函数的解析式为f(x)=ax242bx b a a=-=-=由题得二次函数的抛物线的对称轴是即 (0)11f c =∴=x 抛物线在轴上截得的线段长为12||||||x x a a ∴-===242()21||b ab f x x x a =⎧=∴=++=⎩11解方程组a=22【反馈检测2答案】12(4)4y x x x =-+≠- 【反馈检测2详细解析】设(,)x y 是函数()g x 图象上任一点 ，则关于(2,1)A 对称点为(4,2)x y --在()y f x = 上，即：1244y x x -=-+-即：124y x x =-+- 故1()2(4)4y g x x x x ==-+≠-. 【反馈检测3答案】242()241(f x x x x =-+≤≤【反馈检测5答案】21()lg(1)lg(1)(11)33f x x x x =++-+-<< 【反馈检测5详细解析】(1,1)-(1,1),x x ∈-∈-对任意的有 ()()lg(1)1f x f x x --=+由2（） (-)()lg(-1)2f x f x x -=+得2（）12+2⨯（）（）消去f(-x)得 3f(x)=2lg(x+1)+lg(-x+1)11)x ∴<<21f(x)=lg(x+1)+lg(-x+1)（-33【反馈检测6答案】（1）()()()219105;242120.255x x x f x x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪->⎩（2）当年产量为475件时，公司所得利润最大.（2）当05x ≤≤时，()()2121.56254.7522f x x =--+ ∴当年产量为475件时，公司所得利润最大， ∵该产品最多卖出500件，∴根据问题的实际意义可得，当年产量为475件时，公司所得利润最大.。
抽象函数几类问题的解题方法与技巧
一、求解析式的一般方法 1、换元法例1：已知f(x+1)=x 2-2x 求f(x)解：令t=x+1则x=t-1 f(t)=(t-1)2-2(t-1)=t 2-4t-3∴f(x)=x 2-4x-3换元法是解决抽象函数问题的基本方法，换元法包括显性换元法和隐性换元法。
2、方程组法例2：若函数f(x)满足f(x)+2f(x1)=3x ，求f(x) 解：令x=x 1则f(x 1)+2f(x)= x 3 f(x)+2f(x 1)=3x ＝＞f(x)= x 2-x2f(x)+f(x 1)=x 3∴f(x)= x2-x例3 .例43、待定系数法例5：如果f[f(x)]=2x-1则一次函数f(x)=______ 解：f(x)是一次函数∴不妨设f(x)=ax+b(a ≠0)则f[f(x)]=af(x)+b=a(ax+b)+b=a^2x+ab+b 又已知f[f(x)]=2x-1例6：已知f(x)是多项式函数，解:由已知得f(x)是二次多项式，设f(x)=ax2+bx+c (a≠0)代入比较系数得过且过:a=1,b= -2,c= -1,f(x)=x2-2x-1.如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。
二、判断奇偶性的一般方法在奇偶性的求解中，常用方法是赋值法，赋值法中常见的赋值有-1、0、1。
例7 定义在（-1、1）上的函数f(x)满足。
（1）对任意x、y∈ (-1、1) 都有f(x)+f(y)=f()（2）当x∈ (-1、0) 时,有f(x)＞0求证（I）f(x)是奇函数,（II）f(证明：（1）令x=y=0，则2f(0)=f(0) ∴f(0)=0令y=-x，则f(x)+f(y)=f(x)+f(-x)=f(=f(0)=0∴f(-x)=-f(x) ∴f(x)是奇函数例8定义在R上的函数f(x)，对任意 x,y属于R,有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(0)≠0（1）求证f(0)=1 （2）求证y=f(x)是偶函数证明：（1）令x=y=0∴f(0)+f(0)=2×f(0)2∵f(0)≠0∴f(0)=1(2)令x=0则f(0+y)+ f(0-y)=2 f(0)f(y)f(y)+f(-y)=2f(y) ＝＞f(-y)=f(y) ＝＞y=f(x)是偶函数例9.对任意实数x,y ，均满足f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,则f(2001)=_______.解:令x=y=0,得：f(0)=0,令x=0,y=1,得f(0+1)=f(0)+2f[(1)]2,三、单调性的求解方法例6：定义域为R 的函数f(x)满足：对于任意的实数x 、y 都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且当x ＞0时，f(x)＜0恒成立。
抽象函数的常见解法
抽象函数的常见解法抽象函数是指函数的三种表示法：列表法、图象法、解析法均未给出，只给出函数记号f(x)的一类函数.这类函数解决起来较抽象，但却能有效地反映学生对知识的掌握、理解、应用及迁移的能力，对培养、提高学生的发散思维和创造思维等能力有很好的促进作用。
因此，这类问题在高中数学的各类考试中经常出现。
下面谈谈这类问题常见的几种解法：一、赋值法先以特殊值作尝试，在探索中发现题中条件遵循某些规律或特点,从而使问题得以解决。
这类问题经常出现,要认真理解其解题的要领和方法。
例1设函数f(x)的定义域为自然数集，若f(x+y) = f(x)+f(y)+x 对任意自然数x,y恒成立，且f(1) = 1，求f(x)的解析式。
分析:当令y=1时,可得f(x＋1)=f(x)＋x＋1,这相似于数列中的递推关系,再利用相应的递推关系可求出函数的解析式。
解：令y = 1, 则f(x+1) = f(x)+f(1)+x = f(x)+x+1，∴ f(1) = 1f(2)= f(1) +2f(3) = f(2) +3…f(n) = f(n－1) +n各式相加得：f(n) = 1+2+3+…+n =∴ f(x) =例2已知函数f(x)满足f(x+y)＋f(x－y) = 2 f(x) · f(y)，x∈R,y∈R,且f(0)≠0，求证：f(x)是偶函数。
分析: 当令 x=y=0时,可得f(0)=1,再利用题中条件变形求解。
证明：令x = y = 0∴ f(0) +f(0) = 2f 2 (0)∵ f(0) ≠ 0, ∴ f(0) = 1令 x = 0 , 则 f(y) + f(－y) = 2f(0) · f(y)∴ f(－y) = f(y), ∵ y∈R,∴ f(x)是偶函数例3 已知函数f(x)的定义域为(0 , + ∞ )，对任意x > 0, y> 0恒有f(xy) = f(x) + f(y)求证：当x > 0时, f( ) = －f(x)分析:当令x=y=1时,可得f(1)=0,再灵活运用f(1)=f(x·)可求得。
抽象函数常见题型解法
教学实践2014-05不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数即为抽象函数。
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如，y=f（x），（x>0，y>0）。
由于这类问题可以全面考查学生对函数概念和性质的理解，同时抽象函数问题又将函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性和图象集于一身，所以在各地高考试题中不断出现；学生在解决这类问题时，往往会感到无从下手，正确率低，本文就这类问题的解法归类如下：题型一：求抽象函数的定义域例1.已知函数f（x-1）的定义域为［0，3］，求f［log12（3-x）的定义域。
解析：自变量x的取值范围即为函数的定义域，因此函数f（x-1）中x-1∈［-1，2］，所以log12（3-x）∈［-1，2］，所求定义域为［1，114］一般情况下，函数y=f（x）定义域为［a，b］，则函数y=f（g（x））的定义域为不等式a≤g（x）≤b的解集；函数y=f（g（x））的定义域［a，b］，则函数y=f（x）定义域为g（x）（x∈［a，b］）的值域。
题型二：求抽象函数值例2.已知函数f（x）满足：当x>4时，f（x）=（12）x，当x<4时，f（x）=f（x+1），求f（2+log23）的值。
解析：首先判断2+log23∈［3，4］，再根据当x<4时，f（x）=f（x+ 1）得f（2+log23）=f（3+log23），所以f（2+log23）=（12）3+log23=124。
题型三：求抽象函数的解析式例3.已知f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且f（x）+g（x）=1x-1，求f（x）和g（x）。
解析：用-x代换x得：f（-x）+g（-x）=1-x-1，由于已知f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，所以-f（x）+g（x）=1-x-1，与已知条件解方程组即可得f（x）和g（x）解析式.题型四：判断或证明抽象函数的奇偶性例4.已知函数f（x）（x∈R，x≠0）对任意不等于0的实数x1，x2都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），试判断函数f（x）的奇偶性。
函数的对应法则 抽象函数的 表达式
函数的对应法则
1、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
例1设是一次函数，且，求
二、配凑法：已知复合函数的表达式，求的解析式，的表达式容易配成的运算形式时，常用配凑法。
但要注意所求函数的定义域不是原复合函数的定义域，而是的值域。
例2已知，求的解析式
三、换元法：已知复合函数的表达式时，还可以用换元法求的解析式。
与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。
例3已知，求
四、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。
例5设求
五、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。
已知：，对于任意实数x、y，等式恒成立，求
二，练习题
1、已知函数f(x)是一次函数，且满足关系式3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求f(x)的解析式。
2、求一个一次函数f(x)，使得f{f[f(x)]}=8x+7
3、设二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2),且在y轴上的截距为1，在x轴截得的线段长为
，求f(x）的解析式
4、
5、
6、已知f（x）为二次函数， f(x-1)= -4x，解方程f(x+1)=0 8、若，且，
求值.
.
10、已知f（x＋）＝x3＋，求f(x)的解析式。
11、已知
，求；
14、已知满足，求．。
新课改教学中求抽象函数方程解析式的快捷方法
新课改教学中求抽象函数方程解析式的快捷方法四川省泸县二中 王利华已知抽象函数方程)()]([x f x g f =和)(x f 在定义域M 的一个子区间A 上的解析式，求其余子区间B 上的解析式或函数值，是高考和竞赛中有一定难度的数学问题，解这类问题常用间接换元法，即在)()]([x f x g f =中，令A x ∈，)(x g t =，记函数))((A x x g t ∈=的值域为B ，解得)(1t g x -=，代入得))](([)(1B t t g f t f ∈=-，再令x t =得))](([)(1B x x g f x f ∈=-这个方法要换两次元，故叫间接换元法。
本文给出解这类问题的常规且快捷的方法——直接换元法。
例1 已知函数)(x f 满足)()4(x f x f =-，当]2,1[∈x ，22)(x x x f -=，求]3,2[∈x 当时的)(x f 解析式.解法1 （间接换元法），在)()4(x f x f =-中，令]2,1[∈x ，则22)()4(x x x f x f -==-，即22)4(x x x f -=-，再令x t -=4，函数x t -=4(]2,1[∈x )的值域为[2, 3]，由x t -=4解出t x -=4，代入22)4(x x x f -=-得2)4()4(2)(t t t f ---=，即])3,2[(86)(2∈-+-=x t t t f ，再令x t =得])3,2[(86)(2∈-+-=x x x x f .解法2 （直接换元法），在)()4(x f x f =-中，令]3,2[∈x ，则]2,1[4∈-x ，所以86)(4)4(2)4()(22-+-=--=-=x x x x x f x f ，即])3,2[(96)(2∈-+-=x x x x f . 注 直接换元法比间接换元法少换一次元，故显优越。
例2 已知定义在R 上的函数)(x f 为奇函数，且当),0(+∞∈x 时，12)(+=x x f . 求当),0(+∞∈x 时的)(x f .解 由)(x f 为奇函数得，)()(x f x f -=-，即)()(x f x f --=，令),0(+∞∈x ，则)0,(-∞∈-x ，所以]1)(2[)()(+--=--=x x f x f ，即12)(-=x x f ，),0(+∞∈x .例3 已知定义在R 上的函数)(x f 为奇函数，且满足)()2(x f x f -=+，当)1,0(∈x 时，x x f 2)(=，求)181(log 2f . 解 由已知有)()(x f x f --=，)2()(x f x f +-=，)4,5(18log 181log 22--∈-=，故只需求出在)4,5(--上的)(x f 即可，而当)4,5(--∈x 时，)1,0()4,5(⊄∈-x ，)1,0()2,3(2⊄--∈+x ，由两个方程可得)4()(x f x f ---=，当)4,5(--∈x 时，)1,0(4∈--x ，所以x x f ---=42)(，)4,5(--∈x ，892)181(log 181log 422-=-=--f . 例 4 定义在R 上的函数)(x f 满足0)1()3(=--++x f x f ，且当)1,(-∞∈x 时，12)(+=x x f . 求：(1)当),1(∞+∈x 时的)(x f ；(2)当R x ∈时的)(x f .解 (1)由0)1()3(=--++x f x f 换元得0)2()(=-+x f x f ，解出)2()(x f x f --=，令),1(∞+∈x ，则)1,(2-∞∈-x ，所以x x x x f 52]1)2(2[)(-=+--=，),1(∞+∈x ；(2)在0)2()(=-+x f x f 中令1=x 得0)1()1(=+f f ，即0)1(=f .所以⎪⎩⎪⎨⎧∞+∈-=-∞∈+=),1(,521,0)1,(,12)(x x x x x x f例5 定义在R 上的奇函数)(x f 满足0)1()1(=-++x f x f ，且当]1,0[∈x 时，x x f =)(. 求：(1)当]8,7[∈x 时的)(x f ；(2)求)5.7(f ；(3)求R x ∈的)(x f .解 (1)由已知有)()(x f x f --= ①0)1()1(=-++x f x f 换元得)2()(+-=x f x f ②当]8,7[∈x 时，]1,0[]7,8[⊄--∈-x ，]1,0[]10,9[2⊄∈+x ，所以不能由①、②直接求得)(x f 在]8,7[∈x 的解析式，在②中x 换为2+x 得)4()2(+-=+x f x f ，再②代入得)4()(+=x f x f ，所以)8()(+=x f x f ，所以)8()(+-=-x f x f ，①代入得)8()(+--=x f x f ，当]8,7[∈x 时]1,0[8∈+-x ，所以]8,7[8)8()(∈-=+--=x x x x f ；(2)由(1)得5.0)5.7(-=f .(3)当]0,1[-∈x 时，]1,0[∈-x ，所以由①得x x f =)(，]0,1[-∈x ，所以x x f =)(，]1,1[-∈x ，又由②得)2()(--=x f x f ，当]3,1[∈x 时，]1,1[2-∈-x ，所以x x x f -=--=2)2()(，]3,1[∈x . 所以⎩⎨⎧∈--∈=]3,1[,2]1,1[,)(x x x x x f ，用绝对值符号表示就是|1|1)(x x f --=，]3,1[-∈x .又由(1)中)4()(+=x f x f 得))(4()(Z k k x f x f ∈-=，当]34,14[+-∈k k x 时，]3,1[4-∈-k x ，所以)](34,14[|)4(1|1)(Z k k k x k x x f ∈+-∈---=.注 由例4，例5不难总结出在)(x f 经过多次复合后加、减、乘、除产生的抽象函数方程中，知)(x f 在定义域M 的一个子区间A 上的解析式，求其余子区间B 上的解析式的一般步骤：首先由已知写出所有的抽象函数方程并在每个方程中换元出)(x f ，并解出n i x g f H x f i ,,3,2,1)]}([{)( ==，其次，令B x ∈并求出函数)(x g (B x ∈)的值域C ，若A C ⊆，则)]([)(x g H x f i =中，把已知解析式)(x f 中的x 换元为)(x g 即就，若A C ⊄，则)]}([{)(x g f H x f i =就失效了，不可用，这时需由)]}([{)(x g f H x f i =再换元，消元得出)]}([{)(x r f H x f =，使满足B x ∈，))((B x x r ∈的值域A D ⊆，最后在)]}([{)(x r f H x f =中，把已知解析式)(x f 中的x 换元为)(x r 即就除此外，此类问题还可利用抽象函数方程下函数的图象求解，即数形结合法.。
第一章第6课时抽象函数
若把例7中的函数f(x)满足的条件改为：
①对任意x，y∈R，有f(x＋y)＝f(x)· f(y)；
②存在x1≠x2，使f(x1)≠f(x2)．
(1)求f(0)的值；
(2)求证：对)∵f(x＋y)＝f(x)· f(y)对任意x，y∈R都成立，
∴令x＝y＝0，得f(0＋0)＝f(0)· f(0)，
00 0(1 x 0) x 1 0 1 (1 x 2) x x 1 1 2 ( x 2) x x
g(x)=
说明：这一方法，根据f(x)的定 义而直接求g(x)的解析式，称 直接法
x 2 ( x 0) 【例2】 已知 f ( x) 2 x 1, g ( x) 1( x 0)
所以f(0)＝[f(0)]2，得f(0)＝0或f(0)＝1.
若f(0)＝0，当x≠0时， 则f(x)＝f(x＋0)＝f(x)· f(0)＝f(x)· 0＝0， 即函数f(x)为常数函数，与条件②矛盾，故f(0)＝1.
x x x 2 (2)因为 f(x)＝f( ＋ )＝[f( )] ≥0， 2 2 2 所以 f(x)＞0 或 f(x)＝0. 若有 x0，使 f(x0)＝0， 则 f(x)＝f((x－x0)＋x0)＝f(x－x0)· 0)＝0， f(x 同条件②矛盾，故 f(x)≠0，所以 f(x)＞0.
f（0）＝1 【思路点拨】 法一 令x＝y ――――→ 求f（x） 法二 令－y＝x 令x＝0 → 得f（－y） ――→ 得f（x）
【规范解答】 法一 由已知条件得 f(0)＝1， f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)， x＝y， f(x－y)＝f(0)＝f(x) 设 则 －x(2x－x＋1)， 所以 f(x)＝x2＋x＋1. 法二 令 x＝0，得 f(0－y)＝f(0)－y(－y＋1)，即 f(－y) ＝1－y(－y＋1)，将－y 用 x 代换到上式中得 f(x)＝x2＋x＋1.
常见抽象函数解析式的求法
常见抽象函数解析式的求法2019-03-07由于函数概念⽐较抽象，学⽣对解有关函数记号的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学⽣对函数概念的理解，使其更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提⾼解题能⼒，优化学⽣数学思维。
现将常见解法及意义总结如下。
⼀、换元法即⽤中间变量表⽰原⾃变量x的代数式，从⽽求出f（x），这也是证某些公式或等式常⽤的⽅法，此法能培养学⽣的灵活性及变形能⼒。
例1 已知f（）=2x+1，求f（x）。
解：设 =u，则x= ，f（u）=2 +1= ，f（x）= 。
⼆、凑合法在已知f（g（x））=h（x）的条件下，把h（x）并凑成以g（u）表⽰的代数式，再利⽤代换即可求f（x）。
此解法简洁，还能进⼀步复习代换法。
例2 已知f（x+ ）=x3+ ，求f（x）。
解：f（x+ ）=（x+ ）=（x2-1+ ）=（x+ ）（（x+ ）2-3），⼜|x+ |=|x|+ ≥1，f（x）=x（x2-3）=x3-3x，（|x|≥1）。
三、待定系数法先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。
例3 已知f（x）⼆次实函数，且f（x+1）+f（x-1）=x2+2x+4，求f（x）。
解：设f（x）=ax2+bx+c，则f（x+1）+f（x-1）=a（x+1）2+b（x+1）c+a（x-1）2+b（x-1）+c=2ax2+2bx+2（a+c）=x2+2x+4，⽐较系数得2（a+c）=42a=12b=2 a= ，b=1，c= ，f（x）= x2+x+ 。
四、利⽤函数性质法主要利⽤函数的奇偶性，求分段函数的解析式。
例4 已知y=f（x）为奇函数，当x>0时，f（x）=lg（x+1），求f（x）。
解：f（x）为奇函数，f（x）的定义域关于原点对称，故先求x-x>0，f（-x）=lg（-x+1）=lg（1-x），f（x）为奇函数，lg（1-x）=f（-x）=-f（x），当x五、构建⽅程组法例5 已知f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，且有f（x）+g（x）= ，求f（x），g（x）。
抽象函数和函数的解析式
抽象函数和函数的解析式一、解析式的求法1.代入法f (x ) =2x +1，求f (x +1)f (x ) 满足f (x +3) =f (1-x ) ，且f (x ) =0的两实根平方和为10，图像过点2. 待定系数法二次函数(0,3); 已知f (x ) 二次实函数，且f (x +1) +f (x -1) =x 2+2x +43.换元法f (3x +1) =9x 2-6x +5， f (f (3x +1) =9x 2-6x +5，f (x ) +f (-x ) =x -1，33224. 配凑法x) =2x +1, x +111f (x +) =x 3+3x x5. 6.消元法（构造方程组法）利用函数的性质求解析式例1. 已知函数y =f (x ) 是定义在区间[-, ]上的偶函数，且x ∈[0,]时，f (x ) =-x 2-x +5 32f (x ) 解析式答案：3⎧2-x -x +5(0≤x ≤) ⎧⎧2f (x ) =⎧⎧-x 2+x +5(-3≤xy =f (x ) 为奇函数, 当 x >0时, f (x ) =lg(x +1) , 求f (x )例2. 已知解:∵f (x ) 为奇函数，∴f (x ) 的定义域关于原点对称，故先求x 0,∴f (-x ) =lg(-x +1) =lg(1-x ) ,∵f (x ) 为奇函数，∴lg(1-x ) =f (-x ) =-f (x ) ∴当x⎧lg(1+x ), x ≥0f (x ) =⎧-lg(1-x ), x例3．一已知f (x ) 为偶函数，g (x ) 为奇函数，且有f (x ) +g (x ) =1，求f (x ) , g (x ) . x -1解：∵f (x ) 为偶函数，g (x ) 为奇函数，∴f (-x ) =f (x ) , g (-x ) =-g (x ) ,不妨用-x 代换f (x ) +g (x ) =………①中的x ,x -1∴f (-x ) +g (-x ) =11即f (x ) －g (x ) =-……②-x -1x +1显见①+②即可消去g (x ) , 求出函数f (x ) =1x再代入①求出g (x ) =x 2-1x 2-17. 赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出f (x ) 的表达式例：设解：∵f (x ) 的定义域为自然数集，且满足条件f (x +1) =f (x ) +f (y ) +xy , 及f(1)=1,求f (x )f (x ) 的定义域为N ，取y =1,则有f (x +1) =f (x ) +x +1∵f (1)=1,∴f (2)=f (1)+2,f (3)=f (2)+3……f (n ) =f (n -1) +nn (n +1) 1x (x +1), x ∈N 以上各式相加，有f (n ) =1+2+3+……+n =∴f (x ) =22f (x ) 的有关问题二、利用函数性质，解1. 判断函数的奇偶性：例：已知数。