空气动力学课件：理想不可压缩流体平面位流
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第3章 低速平面位流精品文档
1
arctg y xh
2
arctgy x
24/65
EXIT
现在我们考虑一种极限情况，当 h→0 但同时 Q 增大，使 Qh M 保持不变的极限情况。 2
这时位函数变成
lim (x,y)4 Q h 0lnx2yx22 2yx2 hh2
lim 4 Q h 0x 2 2 h y 2,x( 当 x 0 时 ln 1 x ( ) x )
17/65
EXIT
§3．2．2 点源
• 点源是从流场上某一点有一定的流量向四面八方流开 去的一种流动。源可以有正负。负源（又名汇）是一 种与正源流向相反的向心流动。如果把源放在坐标原 点上，那末这流动便只有 Vr，而没有 Vθ 。
y
x
位于原点的点源
实验演示的点源
18/65
EXIT
设半径为 r 处的流速是 Vr ，那末这个源的总流量是
Vr
,
r
V
r
由
Q
r
Vr
2r
位函数由上式积分得：
2 Q lnr4 Q lnx2 (y2)
（注：等位线Φ＝C 是一系列同心圆）
20/65
EXIT
流函数由 积分得：
r r
Vr
Q
2r
2Q 2Q arctxyg
（注：流线ψ＝c1 即θ＝c2 是一系列射线）
2/65
EXIT
• 人们发现在无旋条件下问题可以得到大大简化 ，尤其是可以将速度和压强分开求解，这是因 为无旋条件可使关于速度位的方程化为线性方 程，从而便于单独求得速度位即求出速度，而 压强可利用伯努利方程求解
• 本章的思路是，先针对理想不可压无旋流求得 一些典型的速度位基本解，将这些基本解进行 叠加得到满足非常简单边界条 件的流动。对复 杂外形的绕流，介绍用基本解进行叠加的数值 解法大意
《流体力学》课件第六章理想不可压缩流体的定常流动
速速度度头头
静静压压头头
理理想想不不可可压压缩缩流流体体在在重重力力作作用用下下作作定定常常流流动动时时，，沿沿同同一一流流线线((或或 微微元元流流束束))上上各各点点的的单单位位重重量量流流体体所所具具有有的的位位势势头头、、静静压压头头和和速速度度头头 之之和和保保持持不不变变，，即即总总水水头头是是一一常常数数。。
第六章 理想不可压缩流体的定常流动
66..11理理想想不不可可压压缩缩流流体体的的一一元元流流动动 66..22理理想想不不可可压压缩缩流流体体的的平平面面势势流流 66..33理理想想流流体体有有旋旋流流动动的的几几个个定定理理
所所有有真真实实流流体体均均具具有有粘粘性性和和一一定定的的可可压压缩缩性性：：
因因此此，，欧欧拉拉方方程程可可写写成成
fx
−
1
ρ
∂p ∂x
=u
∂u ∂x
+ v ∂u ∂y
+ w ∂u ∂z
fy
−
1
ρ
∂p ∂y
=u
∂v ∂x
+ v ∂v ∂y
+ w ∂v ∂z
fz
−
1
ρ
∂p ∂z
=u
∂w ∂x
+ v ∂w + w ∂w ∂y ∂z
（2）
假假如如流流体体微微团团沿沿流流线线的的微微小小位位移移ddss在在三三个个坐坐标标轴轴上上的的投投 影影为为ddxx、、ddyy和和ddzz。。现现用用ddxx、、ddyy和和ddzz分分别别乘乘以以式式（（22））的的第第一一 式式、、第第二二式式和和第第三三式式，，则则可可得得到到
后后续续步步骤骤相相同同！！
伯伯努努利利方方程程的的适适用用条条件件：：理理想想不不可可压压缩缩均均质质流流体体在在重重力力作作用用下下 作作定定常常流流动动，，并并沿沿同同一一流流线线（（或或微微元元流流束束））。。[[理理想想流流体体、、定定常常流流 动动、、均均质质不不可可压压缩缩流流体体、、沿沿流流线线方方向向，，仅仅受受重重力力作作用用]]。。
空气动力学绪论PPT课件
27
0.3 空气动力学的发展进程
现代航空和喷气技术的迅速发展使飞行速度迅猛提高在 高速运动的情况下，必须把流体力学和热力学这两门学科 结合起来，才能正确认识和解决高速空气动力学中的问题。 1887-1896年间，奥地利科学家马赫在研究弹丸运动扰动 的传播时指出：在小于或大于声速的不同流动中，弹丸引 起的扰动传播特征是根本不同的。
高等数学计算方法大学物理理论力学绪论2学时第一章流体的基本属性和流体静力学6学时第二章流体运动学和动力学基础12学时第三章不可压缩无粘流体平面位流6学时第四章粘性流体动力学基础6学时第五章边界层理论及其近似6学时第六章可压缩高速流动基础14学时第七章高超音速流动基础4学时6学时总复习2学时陈再新刘福长鲍国华空气动力学航空工业出版社1993杨岞生俞守勤飞行器部件空气动力学航空工业出版社1987andersonjr
按速度范围分类:
低速空气动力学 (Low Aerodynamics) 亚音速空气动力学 (Subsonic Aerodynamics) 超音速空气动力学 (supersonic Aerodynamics) 高超音速空气动力学 (hypersonic Aerodynamics)
其它
36
37
38
39
21
0.3 空气动力学的发展进程
18世纪是流体力学的创建阶段。伯努利(Bernoulli) 在1738年发表“流体动力学”一书中,建立了不可压流体 的压强、高度和速度之间的关系，即伯努利公式;欧拉 (Euler)在1755年建立了理想不可压流体运动的基本方程 组，奠定了连续介质力学的基础。达朗贝尔 D'Alembert 提出著名的达朗贝尔原理:“达朗贝尔疑题”就是他在 1744年提出的。拉格朗日(Lagrange)改善了欧拉、达朗 贝尔方法，并发展了流体动力学的解析方法。关于研究气 流对物体的作用力，最早是牛顿(Newton)于1726年提出 关于流体对斜板的作用力公式，他实际上是在撞击理论的 基础上提出来的，没有考虑到流体的流动性.
0.3 空气动力学的发展进程
现代航空和喷气技术的迅速发展使飞行速度迅猛提高在 高速运动的情况下，必须把流体力学和热力学这两门学科 结合起来，才能正确认识和解决高速空气动力学中的问题。 1887-1896年间，奥地利科学家马赫在研究弹丸运动扰动 的传播时指出：在小于或大于声速的不同流动中，弹丸引 起的扰动传播特征是根本不同的。
高等数学计算方法大学物理理论力学绪论2学时第一章流体的基本属性和流体静力学6学时第二章流体运动学和动力学基础12学时第三章不可压缩无粘流体平面位流6学时第四章粘性流体动力学基础6学时第五章边界层理论及其近似6学时第六章可压缩高速流动基础14学时第七章高超音速流动基础4学时6学时总复习2学时陈再新刘福长鲍国华空气动力学航空工业出版社1993杨岞生俞守勤飞行器部件空气动力学航空工业出版社1987andersonjr
按速度范围分类:
低速空气动力学 (Low Aerodynamics) 亚音速空气动力学 (Subsonic Aerodynamics) 超音速空气动力学 (supersonic Aerodynamics) 高超音速空气动力学 (hypersonic Aerodynamics)
其它
36
37
38
39
21
0.3 空气动力学的发展进程
18世纪是流体力学的创建阶段。伯努利(Bernoulli) 在1738年发表“流体动力学”一书中,建立了不可压流体 的压强、高度和速度之间的关系，即伯努利公式;欧拉 (Euler)在1755年建立了理想不可压流体运动的基本方程 组，奠定了连续介质力学的基础。达朗贝尔 D'Alembert 提出著名的达朗贝尔原理:“达朗贝尔疑题”就是他在 1744年提出的。拉格朗日(Lagrange)改善了欧拉、达朗 贝尔方法，并发展了流体动力学的解析方法。关于研究气 流对物体的作用力，最早是牛顿(Newton)于1726年提出 关于流体对斜板的作用力公式，他实际上是在撞击理论的 基础上提出来的，没有考虑到流体的流动性.
五理想流体不可压缩无粘性流体平面势流
5.4.3 点涡
物理背景: 与平面垂直的直涡线（强度为Γ ）诱导的流场。
当点涡位于原点O，势函数和流函数为
速度分布式为
2
lnr 2
vr r 0
v
1 r
2 r
第10页/共21页
5.4.4 偶极子
物理背景 点源点汇无限接近(δ →0)形成的流场。
v t
v
v
f
p
兰姆—葛罗米柯方程 （无粘)
v t
v2 2
v
v
f
p
2. 欧拉积分（无粘、无旋 v2
dp
正压、重力 、定常）
gz
常数 (全流场）
2
伯努利积分（无粘、无旋 v2
u kx,
1 2
kx2
f(y)
y
f
'(
y
)
v
ky,
f
(
y
)
1 2
ky2
C
上式中C为常数。速度势函数为
1 2
k(
x2
y2
)
C
(a)
等势线方程为x2-y2=常数，在xy平面上是分别以第一、三象限角平分线和第
二、四象限角平分线为渐近线的双曲线族，如图CE2.3.2中的虚线所示。
挑选一些基本解φ i(ψ i)，叠加后若满足边界条件即是所求之解。
第八章 理想不可压缩流体平面流动
∂x f ′( x) = 4 x，f ( x) = 2 x2 + c
ψ = 2 x 2 + xy − 2 y2 + c
积分常数 c对流函数的差值及速度 均无影响，忽略不计。
（1) 由速度场求旋转角速度
∂v − ∂u = ∂ (− y − 4x) − ∂ ( x − 4 y)
∂x ∂y ∂x
∂y
= −4 − (−4) = 0
∂u + ∂v = 0 ∂x ∂y 也就是说，不可压缩流 体的平面流动是连续的 必 满足上式。对上式积分 ，得
∫ (udy − vdx) = ψ ( x, y)
ψ ( x , y )是积分结果，称为流函 数。
将上式微分，得 dψ = udy − vdx
ψ ( x, y)的全微分，得
dψ = ∂ψ dx + ∂ψ dy
∂x ∂y ∂z
u = ∂ϕ ，v = ∂ϕ , w = ∂ϕ
∂x
∂y
∂z
或 u = gradϕ
由于速度势存在的条件 是无旋流动，任何一种 具体的 无旋流动，总有一个而 且只有一个速度势，因 次无旋 流动也称为有势流，简 称势流。用速度势表示 流场比 用三个速度更简明。
二、有旋流动 旋转角速度不为零，统称为涡流。
2、流函数
对于平面势流：
u = ∂ϕ ，v = ∂ϕ
∂x
∂y
此时拉普拉斯方程为：
∇ 2ϕ
=
∂ 2ϕ
∂x 2
+
∂ 2ϕ
∂y 2
=0
在不可压缩流体稳定平 面流动中，另一个描述 流场的 函数是流函数。 由流线微分方程可知， 对于平面流动：
dx = dy 或 udy − vdx = 0 uv
ψ = 2 x 2 + xy − 2 y2 + c
积分常数 c对流函数的差值及速度 均无影响，忽略不计。
（1) 由速度场求旋转角速度
∂v − ∂u = ∂ (− y − 4x) − ∂ ( x − 4 y)
∂x ∂y ∂x
∂y
= −4 − (−4) = 0
∂u + ∂v = 0 ∂x ∂y 也就是说，不可压缩流 体的平面流动是连续的 必 满足上式。对上式积分 ，得
∫ (udy − vdx) = ψ ( x, y)
ψ ( x , y )是积分结果，称为流函 数。
将上式微分，得 dψ = udy − vdx
ψ ( x, y)的全微分，得
dψ = ∂ψ dx + ∂ψ dy
∂x ∂y ∂z
u = ∂ϕ ，v = ∂ϕ , w = ∂ϕ
∂x
∂y
∂z
或 u = gradϕ
由于速度势存在的条件 是无旋流动，任何一种 具体的 无旋流动，总有一个而 且只有一个速度势，因 次无旋 流动也称为有势流，简 称势流。用速度势表示 流场比 用三个速度更简明。
二、有旋流动 旋转角速度不为零，统称为涡流。
2、流函数
对于平面势流：
u = ∂ϕ ，v = ∂ϕ
∂x
∂y
此时拉普拉斯方程为：
∇ 2ϕ
=
∂ 2ϕ
∂x 2
+
∂ 2ϕ
∂y 2
=0
在不可压缩流体稳定平 面流动中，另一个描述 流场的 函数是流函数。 由流线微分方程可知， 对于平面流动：
dx = dy 或 udy − vdx = 0 uv
第七章 理想不可压缩流体无旋运动PPT课件
液体，通常情况下。 气体，低速绕流运动（流速<< 声速），
例如飞机速度<100m/s时。 3）无旋运动：在以上近似下，有势体力场中流体涡旋运动性质
具有保持性，即初始无旋则永远无旋。在流体从静止开始的运 动中和无穷远均匀来流绕流物体的运动等，流动均无旋。此模 型是对一类广泛存在的流动问题的理想近似。
3
1) 流函数可允许相差一任意常数，而不影响流体的运动；
2) (x, y)常数是流线，它的切线方向和速度矢量的方向重合：
根据定义，流线方程为：
dx dy uv
vdxudy0
v u
x
y
dxdy0
x y
d 0
(x, y)常数是流线
18
第二节 理想不可压缩流体平面无旋运动
3) 通过曲线NN0的流量等于这两点处流函数的差值：
数学表达
1) 流体运动只在与Oxy平面平行的平面内进行，w=0；
2) 在与Oz轴平行的直线上所有物理量不变，即：
0
z
8
绕无限翼展的流动(平面流动)
9
绕有限翼展的流动(三维流动)
10
第二节 理想不可压缩流体平面无旋运动
二、速度势函数
对平面运动：w=0 0 z
i jk
rotv
x y z uv0
二、基本方程组
第一节 引言
V 0
dV dt
F
p
t
0,
V
V
r ,
p
p r
B oundary condition s
方程组求解的困难: (1) 惯性项非线性；(2) 速度v与压力p相互关 联，需要联立求解
4
若运动无旋，则： rotv0
例如飞机速度<100m/s时。 3）无旋运动：在以上近似下，有势体力场中流体涡旋运动性质
具有保持性，即初始无旋则永远无旋。在流体从静止开始的运 动中和无穷远均匀来流绕流物体的运动等，流动均无旋。此模 型是对一类广泛存在的流动问题的理想近似。
3
1) 流函数可允许相差一任意常数，而不影响流体的运动；
2) (x, y)常数是流线，它的切线方向和速度矢量的方向重合：
根据定义，流线方程为：
dx dy uv
vdxudy0
v u
x
y
dxdy0
x y
d 0
(x, y)常数是流线
18
第二节 理想不可压缩流体平面无旋运动
3) 通过曲线NN0的流量等于这两点处流函数的差值：
数学表达
1) 流体运动只在与Oxy平面平行的平面内进行，w=0；
2) 在与Oz轴平行的直线上所有物理量不变，即：
0
z
8
绕无限翼展的流动(平面流动)
9
绕有限翼展的流动(三维流动)
10
第二节 理想不可压缩流体平面无旋运动
二、速度势函数
对平面运动：w=0 0 z
i jk
rotv
x y z uv0
二、基本方程组
第一节 引言
V 0
dV dt
F
p
t
0,
V
V
r ,
p
p r
B oundary condition s
方程组求解的困难: (1) 惯性项非线性；(2) 速度v与压力p相互关 联，需要联立求解
4
若运动无旋，则： rotv0
流体力学第五章(理想不可压缩流体的平面势流)
流体力学——理想不可压缩流体的平面势流内容¾基本方程组，初始条件及边界条件¾速度势函数及无旋运动的性质¾平面流动及其流函¾不可压缩流体平面无旋流动的复变函数表示¾基本的平面有势流动¾有势流动叠加P=Pa , Pa为大气压强。
在直角坐标系中有一个线性的二阶偏微分方程(拉普拉斯方程线性方程的一个优点是解的可叠加性对于定常流：则由伯努利方程得到理想不可压缩无旋流的基本方程为：边界条件静止固壁上自由面上：P = Pa 无穷远处：速度势函数及无旋运动的性质在无旋流中有若已知函数，则可求出若已知速度矢量V，则可由积分求出势函数上式中为任意常数，因此的值相对于不同的Mo点可以差一个，为某一常数，但并不影响流动的实质，因为当求流动的特征量ui, P时，常数的差别便消失不见了，所谓的结果完全一样φ涉及到单值和多值问题在单连通区域 与积分路线无关，而只与起点M0及终点M的位置 有关。
因而势函数为单值函数。
在多连通区域 ， 是封闭曲线L绕某一点的圈数， 称为环量 势函数 为多值函数。
速度势函数及无旋运动的性质(已作介绍)内容 ¾ 基本方程组，初始条件及边界条件 ¾ 速度势函数及无旋运动的性质¾ ¾平面流动及其流函数 不可压缩流体平面无旋流动的复变函数表示 基本的平面有势流动 有势流动叠加¾ ¾平面流动及其流函数 平面问题是指 流动在平面内进行，即 u z = 0 ; 垂直平面的垂线上个物理量相 等即适用范围 无限长柱体，它的一个方向的尺寸比其它两个方向的尺寸大得 多，在长方向的速度分量很小，其它物理量的变化也很小。
如：低速机翼表面的压力分布问题的理论计算等，无限长的柱 体平板的绕流等研究平面无旋运动，在平面运动中，涡旋矢量Ω的三个分量为只有 而无旋，可推出存在着速度势函数 使得：速度势函数的性质我们已经讨论过了流函数的意义 如果能够找到某一函数Ψ，满足流动的可能判据 —— 连续性 方程，则称这一函数Ψ为流函数 在平面运动时，不可压缩流体的连续性方程为：若有一函数Ψ（x,y,t）并令 则连续性方程为称为流函数知道了流函数 •若与流速ux ，uy 之间的关系之后 求出流速场已知，可由• 若 ux ，uy 已知，可用积分速度势与流函数 平面流动垂直与z轴的每个平面流动 都相同，称平面流动速度势函数 速度势函数存在的条件∂w ∂v − = 0 ∂y ∂z ∂u ∂w − = 0 ∂z ∂x ∂v ∂u − = 0 ∂x ∂y此条件称 柯西—黎曼条件由高数知识可知，柯西—黎曼条件是使udx + vdy + wdz全微分的充要条件，即成为某一个函数ϕ(x ,y ,z ,t )d ϕ = udx + vdy + wdz而当 t 为参变量， ϕ(x ,y ,z ) 的全微分为∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ dϕ = dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z比较两式有∂ϕ u = ∂x ∂ϕ v = ∂y ∂ϕ w = ∂z∂ϕ 柱坐标 V r = ∂r 1 ∂ϕ Vθ = r ∂θ ∂ϕ Vz = ∂z把ϕ(x ,y ,z ) 称为速度势函数简称势函数无论流体是否可压缩，是否定常流只要满足无旋条件 ，总有 势函数存在。
第七章 不可压缩理想流体的平面运动
2 x 2 y
30
练习：不可压缩流体平面流动的势函数
x y x
2 2
试确定： 1.该平面流动的速度场。 2.该流动有旋还是无旋？ 3.该流动是否满足连续性方程?
vx=2x+1,vy=-2y 无旋 满足
31
关于速度势φ的重要性质： 1）等势面与流线垂直
将流场中速度势相等的点连接起来，形成 一个空间曲面，称为等势面。在平面流中，称 为等势线。
算出速度矢量分量，从而将求解速度场的问
题转化为求解速度势函数φ的问题。
28
例题：已知一个平面不可压缩定常有势流动 的速度势函数为
x y
2
2
求在点(2.0,1.5)处速度的大小。
29
解： vx 2 x 4m / s x vy 2 y 3.0m / s y V v v 5m / s
剪变形角速度是流体微团中某一直角的减 小速度的一半。
11
三、平均旋转角速度
y I׳ 虚线是初始位置， C׳ I D׳ 经过∆t时间后，流体微 D C (α+β)/2 团运动到AB׳C׳D。׳由几 α 何关系 B׳
1 IAI ( ) 2 1 v y v x ( )t 2 x y
因此有
vx , vy y x
37
平面流动的流线方程为
vx dy v y dx 0
所以在流线上有
d 0或 const
在每条流线上函数ψ都有不同的值，故ψ被称 为流函数。在引出流函数时，并未涉及到流 体的粘性和是否为有势流动，只要是不可压 缩流体的平面流动，就必然存在流函数。在 三维流动中一般不存在流函数，轴对称流动 除外。
30
练习：不可压缩流体平面流动的势函数
x y x
2 2
试确定： 1.该平面流动的速度场。 2.该流动有旋还是无旋？ 3.该流动是否满足连续性方程?
vx=2x+1,vy=-2y 无旋 满足
31
关于速度势φ的重要性质： 1）等势面与流线垂直
将流场中速度势相等的点连接起来，形成 一个空间曲面，称为等势面。在平面流中，称 为等势线。
算出速度矢量分量，从而将求解速度场的问
题转化为求解速度势函数φ的问题。
28
例题：已知一个平面不可压缩定常有势流动 的速度势函数为
x y
2
2
求在点(2.0,1.5)处速度的大小。
29
解： vx 2 x 4m / s x vy 2 y 3.0m / s y V v v 5m / s
剪变形角速度是流体微团中某一直角的减 小速度的一半。
11
三、平均旋转角速度
y I׳ 虚线是初始位置， C׳ I D׳ 经过∆t时间后，流体微 D C (α+β)/2 团运动到AB׳C׳D。׳由几 α 何关系 B׳
1 IAI ( ) 2 1 v y v x ( )t 2 x y
因此有
vx , vy y x
37
平面流动的流线方程为
vx dy v y dx 0
所以在流线上有
d 0或 const
在每条流线上函数ψ都有不同的值，故ψ被称 为流函数。在引出流函数时，并未涉及到流 体的粘性和是否为有势流动，只要是不可压 缩流体的平面流动，就必然存在流函数。在 三维流动中一般不存在流函数，轴对称流动 除外。
空气动力学课件第3章
（3）流函数在某一方向的偏导数顺时针旋转90 度方向的速度分量。
北京航空航天大学《空气动力学》北京市精品课
2010年版本
Folie15
3.1、平面不可压位流的基本方程
Vn
m
nm
Vn
m
x
x
m y
y m
v cos(m, x) u cos(m, y)
根据流函数这一性质，如果沿着流线取s，反时 针旋转90度取n方向，则有
位函数从 v的r 式子积分得到
Q ln r 2
r x2 y2
在极坐标系中，速度分量与流函数和势函数偏导 数关系式为
Vr r
V
1 r
Vr
1 r
V
r
北京航空航天大学《空气动力学》北京市精品课
2010年版本
Folie26
3.2、几种简单的二维位流 如果源的位置不在坐标原点，而在A（ξ,η）处
初始条件 边界条件为
t t0 V V0(x, y, z) p p0(x, y, z)
0 固壁面条件
n
V V 无穷远处
在流体力学中的边界条件多数属于第二类边 界条件，及在边界上给定速度势函数的偏导数。
北京航空航天大学《空气动力学》北京市精品课
2010年版本
Folie11
3.1、平面不可压位流的基本方程
z 2
n i 1
Ci
2i
x2
2i
y 2
2i
z 2
0
北京航空航天大学《空气动力学》北京市精品课
2010年版本
Folie13
3.1、平面不可压位流的基本方程
（3）速度势函数相等的点连成的线称为等势线
，速度方向垂直于等势线 。
第六章 理想不可压缩流体平面势流和旋涡运动.ppt
20121sinrvrr????????????平行流绕圆柱体无环流的流动20121cosrvrr???????????2maxp2min1232abcdpppvppppv?????????????????????minv0abvv???maxv2cdvvv????其中?环流22?????2ln2?r????流体对圆柱体的无环量绕流?叠加的结果201221cos2?rvrr??????????????????201221sinln2?rvrrr?????????????????则可得2021cosrrvvrr??????????????20211sin2?rrv?vrr??????????????????流场如图所示
（2）点汇
流量Q为点汇强度
Q Q
ur
Q
2r
Q ln r 2
Q 2
ψ4
φ1
φ2
ψ3
ψ1
o
ψ2
汇点o是奇点r→0 ur→∞
如果xoy平面是无限大平面，则根据伯努利方程
p ur 2 p
g 2g g
式中，p为在r 处的压强，该处的速度为零。
以上几种简单的平面势流实际中很少应用，但它们是势流的基本单元，若把 几种基本单元叠加在一起，可以形成许多有实际意义的复杂流动。
研究势流叠加原理的意义：将简单的势流叠加起来，得到新的复杂流动的 流函数和势函数，可以用来求解复杂流动。
几个简单有势流动叠加得到的新的有势流动，其速度势函数和流函数分别等 于原有几个有势流动的速度势函数和流函数的代数和，速度分量为原有速度 分量的代数和。
M 2
1 )r cos r2
1 2
M v y 2
x2
（2）点汇
流量Q为点汇强度
Q Q
ur
Q
2r
Q ln r 2
Q 2
ψ4
φ1
φ2
ψ3
ψ1
o
ψ2
汇点o是奇点r→0 ur→∞
如果xoy平面是无限大平面，则根据伯努利方程
p ur 2 p
g 2g g
式中，p为在r 处的压强，该处的速度为零。
以上几种简单的平面势流实际中很少应用，但它们是势流的基本单元，若把 几种基本单元叠加在一起，可以形成许多有实际意义的复杂流动。
研究势流叠加原理的意义：将简单的势流叠加起来，得到新的复杂流动的 流函数和势函数，可以用来求解复杂流动。
几个简单有势流动叠加得到的新的有势流动，其速度势函数和流函数分别等 于原有几个有势流动的速度势函数和流函数的代数和，速度分量为原有速度 分量的代数和。
M 2
1 )r cos r2
1 2
M v y 2
x2
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在t=t0时刻，
V V (x, y, z)
u v w 0
x dV
y
f
z 1 p
dt
p p(x,y,z)
在物体的边界上 在无穷远处
Vn 0
V V
Folie5
3.1、平面不可压位流的基本方程
如果没有无旋流条件进一步简化上述方程， 求解起来也是很困难的。这是因为方程中的对 流项是非线性的，而且方程中的速度V和压强p 相互偶合影响，需要一并求出。但是，对于无 旋流动，问题的复杂性可进一步简化，特别是 可将速度和压力分开求解。这是因为，对于无 旋运动情况，流场的速度旋度为零，即
在流体力学中的边界条件多数属于第二类边 界条件，及在边界上给定速度势函数的偏导数。
Folie11
3.1、平面不可压位流的基本方程
2、速度势函数的性质
（1）速度势函数沿着某一方向的偏导数等该方 向的速度分量，速度势函数沿着流线方向增加 。由此可得出，速度势函数允许相差任意常数 ，而不影响流体的运动。
rotV V 2 0
存在速度势函数（位函数）为
V
u x
v y
w z
Folie6
3.1、平面不可压位流的基本方程
如果将上式代入不可压缩流体的连续方程中，
得到
V 0 u v w 0 x y z
2 2 2 0 x2 y2 z 2
Folie7
3.1、平面不可压位流的基本方程 由此可见，利用无旋流动和连续条件所得到
Folie2
3.1、理想不可压缩流体平面位流的基本方程 对于理想不可压缩流体，流动的基本方程是
连续方程和欧拉运动方程组。在第二章中已给 出这些方程的推导过程，本章应该讨论怎样求 解这些方程。但是，要想得到这些偏微分方程 的解，并非易事。因为实际飞行器的外形都比 较复杂，要在满足这些复杂边界条件下求得基 本方程的解，困难是相当大的。为了简化求解 问题，本章首先介绍流体力学中一类简单的流 动问题，理想不可压缩流体的无旋流动。
对于理想不可压缩流体无旋流动，控制方程及
其初边界条件为
2 2 2 x2 y2 z 2 0
V 2 p C(t) t 2
Folie10
3.1、平面不可压位流的基本方程
初始条件 边界条件为
t t0 V V0(x, y, z) p p0(x, y, z)
0 固壁面条件
n
V V 无穷远处
Folie3
3.1、理想不可压缩流体平面位流的基本方程 这是早期流体力学发展的一种理想化近似模型， 比求解真实粘性流动问题要容易的多。在粘性 作用可忽略的区域，这种理想模型的解还是有 相当的可信程度。
Folie4
3.1、理想不可压缩流体平面位流的基本方程
1、不可压缩理想流体无旋流动的基本方程
初始条件和边界条件为
2
Folie9
3.1、平面不可压位流的基本方程
由此说明，只要把速度势函数解出，压强p 可直接由Bernoulli方程得到。在这种情况下整
个求解步骤概括为：
（1）根据纯运动学方程求出速度势函数和速度
分量；（2）由Bernoulli方程确定流场中各点
的压强。这使得速度和压强的求解过程分开进
行，从而大大简化了问题的复杂性。综合起来
Folie15
3.1、平面不可压位流的基本方程
Vn
m
nm
Vn
m
x
x
m y
y m
v cos(m, x) u cos(m, y)
根据流函数这一性质，如果沿着流线取s，反时 针旋转90度取n方向，则有
（1）流函数值可以差任意常数而不影响流动
（2）流函数值相等的点的连线是流线。即等流 函数线的切线方向与速度矢量方向重合。
在流函数相等的线上，有
d dx dy vdx udy 0
x
y
dx dy uv
上式即为平面流动的流线方程。
（3）流函数在某一方向的偏导数顺时针旋转90 度方向的速度分量。
Folie8
3.1、平面不可压位流的基本方程 对于理想不可压缩流体，在质量力有势条件下， 对于无旋流动，运动方程的积分形式为
V 2 p C(t) t 2
对于定常流动，质量力只有重力，得到
V 2 p gz C 2
如果忽略质量力（在空气动力学中经常不考虑重 力的作用）
V2 p C
的这个方程是大家熟知的二阶线性偏微分方程， 拉普拉斯方程，这是一个纯运动学方程。如果 对这个方程赋予适定的定解条件，就可以单独 解出速度位函数，继而求出速度值。与压强p没 有进行偶合求解，那么如何确定压强呢？在这 种情况下，可将速度值作为已知量代入运动方 程中，解出p值。实际求解并不是直接代入运动 方程中，而是利用Bernoulli(或Lagrange)积分 得到。
空气动力学基础 理想不可压缩流体平面位流
Folie1
理想不可压缩流体平面位流
3．1 理想不可压缩流体平面位流的基本方程 3．2 几种简单的二维位流
3．2．1 直匀流 3．2．2 点源 3．2．3 偶极子 3．2．4 点涡 3．3 一些简单的流动迭加举例 3．3．1 直匀流加点源 3．3．2 直匀流加偶极子 3．3．3 直匀流加偶极子加点涡 3．4 二维对称物体绕流的数值解
Vs ds
V
ds
udx
vdy
wdz
Vs
V ds ds
u
dx ds
v
dy ds
w dz ds
Vs
x
dx ds
y
dy ds
z
dz ds
s
Folie12
3.1、平面不可压位流的基本方程
（2）速度势函数满足拉普拉斯方程，是调和函 数。满足解的线性迭加原理。如果速度势函数 满足拉普拉斯方程，则它们的线性组合也满 拉普拉斯方程。
势函数之差。速度线积分与路径无关，仅决定
于两点的位置。如果是封闭曲线，速度环量为
零。
B B
V ds (udx vdy wdz)
A
A
B A
(
x
dx
y
dy
z
dz)
B A
d
B
A
Folie14
3.1、平面不可压位流的基本方程
3、流函数及其性质
流函数的概念是1781年Lagrange首先引进的。 流函数具有下列性质
n
Cii i 1
2
x2
2
y 2
2
z 2
n i 1
Ci
2i
x2
2i
y 2
2i
z 2
0
Folie13
3.1、平面不可压位流的基本方程
（3）速度势函数相等的点连成的线称为等势线
，速度方向垂直于等势线 。
d 0 d V ds 0 V ds
（4）连接任意两点的速度曲线等于该两点的速度