平面势流
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恒定平面势流 (平面无旋流动)
2
x2
2
y2
0
项目三 空运出口货代单证 任务四 航空出口报关报检（报检单、出境货物通关单、报关单）
步骤二：认识并填制出境货物通关单 要完成出境货物通关单的制作，李芳芳必须先弄清楚集货单上各项 内容的含义，通过查阅相关资料，了解到出境货物通关单各项内容含义 如下： 1.收货人：填写本批出境货物的贸易合同中或信用证中买方名称。 任务给出买方为PEOPLES SPORTING GOODS & MDSG. CORP.，所 以此栏应填PEOPLES SPORTING GOODS & MDSG. CORP.。 2.发货人：填写本批出境货物的贸易合同中或信用证中受益人名称。 任务给出发货人为厦门阳光贸易有限公司，此栏应填厦门阳光贸易有限 公司。 任务执行
任务执行
项目三 空运出口货代单证 任务四 航空出口报关报检（报检单、出境货物通关单、报关单）
步骤三：填制报关单 李芳芳通过查阅相关资料，了解到出口货物报关单各 项内容含义如下：
在整理完上述信息后，李芳芳完成的报关单如下： 任务执行
速度势的极坐标表达式
d urdr u rd
ur
r
,
u
1 r
上述关系式代入不可压缩流体连续性微分方程
ux u y u z 0 x y z
特征2
2
x2
2
y 2
2
z 2
0
凡满足拉普拉斯方
程的函数是调和函
数，所以速度势
是调和函数
平面无旋流动或平面势流
∵平面流动的旋转角速度只有分量ωz
∴ωz为零
u y ux x y
d uxdx uydy
x
ux
，
y
第四章(3)§4-3-5 平面势流问题的基本解法
M R2 2V
2
V y M 2 2 C 2 x y
y
A R
B
M 2V R 2
速度为 V∞ 的无限远来流绕半径为R 的圆柱的无环量绕流的复位势：
2 1 R ( z ) V z V R ) V ( z z z
无环量绕流的速度场—— 共轭复速度
§4-3 理想不可压缩流体的无旋运动（势流理论）
第四章 理想流体力学专题11
§4-3-5 平面势流问题的基本解法 — 映像法（虚像法） * 平面映像定理
《平面映像定理》 设
f (z) 是全部奇点都位于上半面的复位势，今在
插入一无限平板作为固定边界，那么复位势
f (z) 代表的流动沿实轴 ox
( z) f ( z) f ( z)
2
压力分布是在 理想 不可压缩流体 不脱体 绕流 假设条件下得出的。因此，计算与粘 性密切相关的摩擦阻力和与分离流相关的 压差阻力时, 与实际情况会有本质的偏差, 但在圆柱绕流分离点之前，所有的理论结 果与实验结果都有较好的符合程度。 0o
-3.0 180o 150o 120o 90o 60o 30o
R
R y V Γ
§4-3 理想不可压缩流体的无旋运动（势流理论）
§4-3-5 平面势流问题的基本解法
第四章 理想流体力学专题33
* 叠加法求解要点 1.求解平面不可压缩流体无旋运动； 2.熟练掌握基本流动的复位势,流线分布和简单组合； 3.考察求解对象，构造出满足求解对象边界条件的叠 加复位势 ； 4.求得满足求解对象的复位势后，平面流动的速度分 布，等势线以及流线可由复位势直接求得； 5.根据伯努利积分可求解特定流线上的压力分布。
x y 2xy V 2 2V cos sin 4 RR R
2
V y M 2 2 C 2 x y
y
A R
B
M 2V R 2
速度为 V∞ 的无限远来流绕半径为R 的圆柱的无环量绕流的复位势：
2 1 R ( z ) V z V R ) V ( z z z
无环量绕流的速度场—— 共轭复速度
§4-3 理想不可压缩流体的无旋运动（势流理论）
第四章 理想流体力学专题11
§4-3-5 平面势流问题的基本解法 — 映像法（虚像法） * 平面映像定理
《平面映像定理》 设
f (z) 是全部奇点都位于上半面的复位势，今在
插入一无限平板作为固定边界，那么复位势
f (z) 代表的流动沿实轴 ox
( z) f ( z) f ( z)
2
压力分布是在 理想 不可压缩流体 不脱体 绕流 假设条件下得出的。因此，计算与粘 性密切相关的摩擦阻力和与分离流相关的 压差阻力时, 与实际情况会有本质的偏差, 但在圆柱绕流分离点之前，所有的理论结 果与实验结果都有较好的符合程度。 0o
-3.0 180o 150o 120o 90o 60o 30o
R
R y V Γ
§4-3 理想不可压缩流体的无旋运动（势流理论）
§4-3-5 平面势流问题的基本解法
第四章 理想流体力学专题33
* 叠加法求解要点 1.求解平面不可压缩流体无旋运动； 2.熟练掌握基本流动的复位势,流线分布和简单组合； 3.考察求解对象，构造出满足求解对象边界条件的叠 加复位势 ； 4.求得满足求解对象的复位势后，平面流动的速度分 布，等势线以及流线可由复位势直接求得； 5.根据伯努利积分可求解特定流线上的压力分布。
x y 2xy V 2 2V cos sin 4 RR R
流体力学ppt课件-恒定平面势流
在圆柱坐标系统中，流速各项可表示为：
vr r
v
1 r
vz
z
圆柱坐标系统下拉普拉斯方程：
1 r
r
r
r
1 r2
2 2
2
z 2
0
6.2 流函数
恒定不可压缩平面二维流连续性方程表达式：
u v 0 x y
x
根据质量守恒定律，流进任意过流断面AC的流量dq应等于过 流断面AB和BC流出的流量，因此：
又因为：
dq udy vdx
dq d
对上式积分可得两条流线之间的流量q：
1 2
1 2
q
2 d
1
2
1
q0 q0
流向
左
右
流向
左
右
q
2
1
6.3几种简单的平面势流
速度势为：
m ln r 2
如果m为正，流动径向向外流，这种流动称为源流，例如泉眼向各方向的流动可作 为源流的例子，又如，离心式水泵，在某种情况下，叶轮内的流体运动可视为源流等。 如果m为负，流动流向源，这种流动称为汇流，例如地下水向井中的流动可作为汇流 的例子。流量m表示源流和汇流的强度。
u
x
v
y
w
z
不可压缩流体质量守恒定律表示如下：
V 0
不可压缩无旋流可表示为：
2 0
2 为Laplacian 算子，用笛卡尔坐标系表示为：
2 2 2
0 x2 y 2 z 2
这个微分方程在物理和工程方面经常出现，被称为拉普拉斯方 程（Laplace’s equation）。因此，无粘性不可压缩无旋流的控制 方程为拉普拉斯方程。这种类型的流动通常称为有势流。
第14章恒定平面势流
2)流网中流线与等势线依据什么原则绘制？
d udn (14.19) d udm (14.20)
由(19)和(20)式，得
u
d dn
d dm
转换为差分方程
u
n
m
若取 ＝常数，则 n m ，每个网眼将
成为正交曲线方格，
13
二、流网绘制
(1)确定边界条件：
1）固定边 界:
在固定边界上，un=0，允许液体质点沿固 体边界流动，这样固体边界本身必然是流线之 一，等势线必然与固定边界垂直。固体边界的 位置、形状是已知的。
两者叠加后得到一个新的势流，其流速势和流函数为
1
2
Q
2
ln
r
Ur cos
1
2
Q
2
Ur sin
30
1
2
Q
2
ln
r
Ur
cos
1
2
Q
2
Ur sin
Ψ =0的流线（零流线）方程为 Q Ur sin 2
当θ＝0时，sinθ=0，r为任何值时上式都能满足，故
通过原点的水平线OA是Ψ ＝0流线的一个解。
14
二、流网绘制
(1)确定边界条件：
2）自由表面边界:
在自由面上，un=0，自由面也是流线之一，等势线必然与自由面垂 直。但自由面的位置、形状未知，需要根据自由表面的动力条件确定。
先假定一个自由表面进行试绘，在修改过程中同时检验是否满足自 由表面上的压强等于大气压的条件，即自由表面上各点都必须满足
d uxdx uydy u cos dncos u sin dnsin udn(cos2 sin2 ) udn
(14.19)
d uxdy uydx u cos dmcos u sin (dmsin ) udm(cos2 sin2 ) udm (14.20)
d udn (14.19) d udm (14.20)
由(19)和(20)式，得
u
d dn
d dm
转换为差分方程
u
n
m
若取 ＝常数，则 n m ，每个网眼将
成为正交曲线方格，
13
二、流网绘制
(1)确定边界条件：
1）固定边 界:
在固定边界上，un=0，允许液体质点沿固 体边界流动，这样固体边界本身必然是流线之 一，等势线必然与固定边界垂直。固体边界的 位置、形状是已知的。
两者叠加后得到一个新的势流，其流速势和流函数为
1
2
Q
2
ln
r
Ur cos
1
2
Q
2
Ur sin
30
1
2
Q
2
ln
r
Ur
cos
1
2
Q
2
Ur sin
Ψ =0的流线（零流线）方程为 Q Ur sin 2
当θ＝0时，sinθ=0，r为任何值时上式都能满足，故
通过原点的水平线OA是Ψ ＝0流线的一个解。
14
二、流网绘制
(1)确定边界条件：
2）自由表面边界:
在自由面上，un=0，自由面也是流线之一，等势线必然与自由面垂 直。但自由面的位置、形状未知，需要根据自由表面的动力条件确定。
先假定一个自由表面进行试绘，在修改过程中同时检验是否满足自 由表面上的压强等于大气压的条件，即自由表面上各点都必须满足
d uxdx uydy u cos dncos u sin dnsin udn(cos2 sin2 ) udn
(14.19)
d uxdy uydx u cos dmcos u sin (dmsin ) udm(cos2 sin2 ) udm (14.20)
第四章平面势流(4.1~4.4)详解
关，只是平面上点的函数。
dz
W (z) dF F F dz x (iy)
W (z) F i u iv
x x x
W (z) F 1 u iv
(iy) i y y
第四章 平面势流
§4.2 复位势和复速度
三、复速度
复 速 度 ： W (z) u iv 共轭复速度： W (z) u iv 复速度与共轭复速度的乘积等于速度矢量模的平方。
B
Q = -vdx+udy
A
=
B A
Ψ x
dx +
Ψ y
dy =
B
dΨ
A
=Ψ2
-Ψ1
Ψ =Ψ2
Ψ =Ψ1 A
B
dl
u dy
v dx
第四章 平面势流
§4.1 速度势函数与流函数
二、流函数
3、流函数的性质
➢ 方 程
平面流动时，只存在z方向的涡量分量
v x
u y
x
x
y
y
2
有旋流动时： 2 或 2k
四、绕角流动
n=2 n=1
2
0
0
n= ½
2 0
n 小于 ½ 时得到大于 2π的区域，这显然没有物理意义。因此n应大于 ½ 。
第四章 平面势流
§4.3 基本流动
四、绕角流动ຫໍສະໝຸດ n=1/2n=3/2
n=2
n=3
第四章 平面势流
n=2/3
§4.3 基本流动
五、偶极子
偶极子：一对无限接近的强度相等的点源和点汇的迭加。
WW = (u - iv)(u +iv) = u2 + v2 = u u
第16讲势流理论3
W (ζ ) = v0ζ cos α − iv0 ζ 2 − a 2 sin α + iv0 a sin α ln(ζ + ζ 2 − a 2 )
v = v0 cos α − iv0 sin α
ζ −a 或 ζ +a
v = v0 cos α + v0 sin α
a −ζ a +ζ
平板后缘的速度不再是无穷大，而是有限值。这表明流体在后缘处以 有限的速度平滑的沿尾缘切线方向离开平板。 但库塔假设仍然没有解决平板前缘的问题，在平板前缘，速度仍为无 穷大。这会引起所谓的前缘吸力。实际的机翼前缘总有一定的圆弧，有效 避免无限大速度的产生。
dΩ (ζ ) dW ( z ) dζ dz = ∫ ∫ dz dζ C C′
Γ C + iQC = Γ C ′ + iQC ′
2 常用的几种保角变换关系
（1）平移变换
平移变换函数为：ζ
= z+b
= ξ + iη , z = x + iy ，则有：
其中 b = b1 + ib2 为复常数，根据 ζ
经整理可得：
W (ζ ) = ζ v0 cos α − iv0 ζ 2 − a 2 sin α
dW ζ v= = v0 cosα − iv0 sinα 2 2 dζ ζ −a
则平板绕流的复速度：
在平板的两边缘：
v ζ =± a → ∞
根据复速度表达式，平板两端点处的速度为无穷大，即流体以 无限大速度绕过平板两端尖角。产生这一悖论的原因是理想流体假设。
∞
v 0 iα = e 2
至此，将平板绕流变换成了圆柱绕流，但来流速度与实轴有夹角的圆 柱绕流，仍然写不出其复势。为此需要在引入一个旋转变换。 引入旋转变换：
理想不可压缩流体的平面势流及旋涡运动
同心圆。当 ，
故源点是奇点，
不讨论。
流函数ψ
由
0
积分
ψ＝const 为流线，即θ=const，流线是 半射线。等φ线与等ψ线正交。
3.点源的压力分布 在源上任取一点与无穷远处写能量方程
将 ， 代入
p
有
P与r成抛物线正比。r
p;r p
r r0
三、点涡
点涡：无限长的直 线涡束所形成的平 面流动。除涡线本 身有旋外涡线外的 流体绕涡线做等速 圆周运动且无旋。
α
L
将矢量 、 分别 表示：
故对封闭周线 L的环量为：
环量是一个标量，它的正负取决 于速度方与线积分的方向。
当速度方向与线积分方向同向时取正， 反向时取负。若是封闭周线，逆时针 为正，顺时针为负。
例：不可压缩流体平面流动的
速度分布为
，
求绕圆
的速度环量。
解：
积分路径在圆上，有
四、斯托克斯定理 斯托克斯定理：任意面积A上的旋
由高数知识可知，柯西—黎曼条件是使 成为某一个函数
全微分的充要条件，即
而当 t 为参变量，
的全微分为
比较两 式有：
柱坐标
把
称为速度势函数简称势函数
无论流体是否可压缩，是否定常 流只要满足无旋条件 ，总有势函数存 在。故理想流体无旋流也称势流。
用势函数表示速度矢量：
2、势函数的性质
1）流线与等势面垂直
3）流函数ψ与势函数φ的关系：
对不可压平面势流，流函数和势函数同时 存在，它们之间关系是
a:
b: 等φ线与等ψ线垂直
前已证明，流线与等势面垂直，
而
的线是流线故等φ
线与等ψ线垂直。
平面势流
五、几种简单的平面势流 (1) 等速均匀流
流场中各点的速度矢量皆相互平行，且 大小相等的流动
ux y u y x ux x u y y
ψ = uy
若等速均匀流流速平行于x轴
= ux
若等速均匀流流速平行于y轴
ψ = -ux
= uy
(2) 源流和汇流
流体从水平的无限平面内的一点O （即源点）流出，均匀地沿径向直 线流向四周的流动称为源流 q为由源点沿z轴方向上，单位厚度 所流出的流量，称为源流强度
在上述流动中，如果源点和汇点相互 接近，即2a → 0时（2aq=常数），所 得到的就是偶极流。
实际上，偶极流本身并无太大意义，但它与某些 基本势流叠加，就可以得到有重大实际意义的流 动的解。如偶极流与等速均匀流叠加可得到无环 量圆柱绕流，偶极流与等速均匀流和势涡流的叠 加可得到有环量的圆柱绕流等。
1 2
意义：在工程实际中，常利用势流叠加原理解决一 些较为复杂的势流问题
(1) 等速均匀流与源流的叠加
Y
A
O
r X
将与x轴正方向一致的等 速均匀流和位于坐标原点 的源流叠加
q 2u 0
(c)
等速均匀流与源流的叠加结果就相当于等速均 匀来流绕半无限体的流动 。这种方法的推广， 是采用很多不同强度的源流，沿x轴排列，使 它和匀速直线流叠加，形成和实际物体轮廓线 完全一致或较为吻合的边界流线。这样无需进 行费用巨大的实验，就能准确估计物体上游端 （如桥墩、闸墩的前半部）的速度和压强分布。
如图
环流强度 Г ，是不随圆周半径而变的 常数，具有方向性。Г＞0时，为逆时 针旋转；Г ＜0时，为顺时针旋转。
Γ ur 0 , u 2r
平面势流解读
第七章 平面势流
平面不可压位流的基本方程 几种简单的二维位流 一些简单流动的迭加
平面不可压位流的基本方程
前一章介绍了流体运动所必须遵守的规律：质量方程及 欧拉方程。 这一章应该讨论怎样求解这些方程。 但是，要求得这些偏微分方程的解，是要满足一定边界 条件的，否则求出来的解没有实际意义。不过，飞行器的外 形都比较复杂，要在满足如此复杂的边界条件之下来求得这 些方程的解，实际上是办不到的。
达朗培尔疑题
达朗培尔（D’Alembert）18世纪法国著名数学家，他提 出，在理想不可压流中，任何一个封闭物体的绕流，其阻
力都是零。
这个结论不符合事实。这个矛盾多少耽误了一点流体 力学的发展，那时人们以为用无粘的位流去处理实际流动
是没有什么价值的。
后来才知道，这样撇开粘性来处理问题，是一种很有
2、直匀流加偶极子
只有当正源和负源的总强度等于零时，物形才是封闭的。设 直匀流 v 平行于x轴，由左向右流。再把一个轴线指向负x 的偶极子放在坐标原点处。这时，流动的位函数是：
x ( x, y ) v x M 2 r
流动是直匀流流过一个圆。圆的半径可以从驻点A的 坐标定出来。令：
1 , 2 ,..., n a11 a2 2 an n
不可压平面流必有流函数
vx y
无旋条件
vy x
v y
v x x y
也满足拉普拉斯方程
2 2 2 0 2 x y
几种简单的二维位流
1、直匀流
直匀流是一种速度不变的最简单的平行流动。其流速为
末这流动便只有υr，而没有v 。 设半径为r处的流速是υr，那末这个源的总流量是：
Q 2rv r
流量是常数，故流速υr与半径成反比：
平面不可压位流的基本方程 几种简单的二维位流 一些简单流动的迭加
平面不可压位流的基本方程
前一章介绍了流体运动所必须遵守的规律：质量方程及 欧拉方程。 这一章应该讨论怎样求解这些方程。 但是，要求得这些偏微分方程的解，是要满足一定边界 条件的，否则求出来的解没有实际意义。不过，飞行器的外 形都比较复杂，要在满足如此复杂的边界条件之下来求得这 些方程的解，实际上是办不到的。
达朗培尔疑题
达朗培尔（D’Alembert）18世纪法国著名数学家，他提 出，在理想不可压流中，任何一个封闭物体的绕流，其阻
力都是零。
这个结论不符合事实。这个矛盾多少耽误了一点流体 力学的发展，那时人们以为用无粘的位流去处理实际流动
是没有什么价值的。
后来才知道，这样撇开粘性来处理问题，是一种很有
2、直匀流加偶极子
只有当正源和负源的总强度等于零时，物形才是封闭的。设 直匀流 v 平行于x轴，由左向右流。再把一个轴线指向负x 的偶极子放在坐标原点处。这时，流动的位函数是：
x ( x, y ) v x M 2 r
流动是直匀流流过一个圆。圆的半径可以从驻点A的 坐标定出来。令：
1 , 2 ,..., n a11 a2 2 an n
不可压平面流必有流函数
vx y
无旋条件
vy x
v y
v x x y
也满足拉普拉斯方程
2 2 2 0 2 x y
几种简单的二维位流
1、直匀流
直匀流是一种速度不变的最简单的平行流动。其流速为
末这流动便只有υr，而没有v 。 设半径为r处的流速是υr，那末这个源的总流量是：
Q 2rv r
流量是常数，故流速υr与半径成反比：
平面势流
q ur , u 0 2r
q q y arctan 2 2 x q q 2 2 lnr ln x y 2 2
(3) 环流（或势涡流）
各流体质点皆绕某一固定点O做匀速圆周运动，且速 度与圆周半径成反比的流动称为环流
us s
函数(x,y,z)称为速度势（函数），即无旋流的速 度矢量是有势的。因此无旋运动（无涡流）又称 为有势流动。 上述关系式代入不可压缩流体连续性微分方程
u x u y u z 0 x y z
特征2
2 2 0 2 x y z
2 2 2
在上述流动中，如果源点和汇点相互 接近，即2a → 0时（2aq=常数），所 得到的就是偶极流。
实际上，偶极流本身并无太大意义，但它与某些 基本势流叠加，就可以得到有重大实际意义的流 动的解。如偶极流与等速均匀流叠加可得到无环 量圆柱绕流，偶极流与等速均匀流和势涡流的叠 加可得到有环量的圆柱绕流等。
五、几种简单的平面势流 (1) 等速均匀流
流场中各点的速度矢量皆相互平行，且 大小相等的流动
ux y u y x ux x u y y
ψ = uy
若等速均匀流流速平行于x轴
= ux
若等速均匀流流速平行于y轴
ψ = -ux
= uy
(2) 源流和汇流
流体从水平的无限平面内的一点O （即源点）流出，均匀地沿径向直 线流向四周的流动称为源流 q为由源点沿z轴方向上，单位厚度 所流出的流量，称为源流强度
d ur dr u rd
1 ur , u r r
三、流函数 存在条件：不可压缩流体平面流动ψ (x，y) 。
平面流动 流线方程
14 恒定平面势流
函数
2
2
2
0
x 2 y 2
流函数与流速的为
x
u y
y
ux
若流动为有势流动，则：
z
1 (uy 2 x
u x y
)
0
1 2
x
(
x
)
y
( y
)
0
2 2 2 0
x 2 y 2
（4） 流函数和流速势是共轭调和函数。 流函数和流速势应满足下列关系：
x
y
u y
y
x
ux
1
Q
2
ln
r1
y
1
Q
2
1
汇
2
Q
2
ln r2
2
Q
2
2
P (x,y)
A
θ1 O
ξ
ξ
叠加后势流流速势和流函数为
B θ2 x
1
2
Q
2
ln
r1 r2
1
2
Q
2
(1
2)
源
1
Q
2
ln
r1
y
1
Q
2
1
汇
2
Q
2
ln
r2
2
Q
2
2
P (x,y)
A
θ1 O
ξ
ξ
叠加后势流流速势和流函数
B θ2 x
1
2
Q
2
ln
r1 r2
1
势流 ＝ 无旋流 x y z 0
＝存在流速势函数 (x, y, z)
由液体三元运动理论 流速与流速势流关系为
x
ux
第5章 平面势流理论
工程流体力学
第5章 平面势流理论
在不可压缩理想流体中，当流动无旋时， 称为势流，若又可简化为平面流动时，这种流 动称为二维势流，也称平面势流。在平面势流 中不仅存在速度势 ，同时存在流函数 。它们 均满足拉普拉斯方程，由于拉普拉斯方程是二 阶线性方程，可以应用叠加原理，利用已有的 一些解的叠加，以寻求满足给定边界条件和初 始条件下具有实际背景的许多问题的解答。
工程流体力学
由于速度势和流函数又满足柯西-黎曼 （Cauchy-Riemann）条件，因此也可以利用复变 函数这门数学工具求解平面势流。 在平面势流中通过速度势求得流速场，并可利 用伯努利方程求得压强场，从而沿物体表面积分 便得到流体与物体之间的作用力。平面势流理论 在工程实践中应用十分广泛，是理论流体动力学 的重要部分。
工程流体力学
5.1
5.1.1
平面势流的复势
复势的定义
在平面势流中，同时存在着速度势 和流函数 ， 流速场在直角坐标系中有关系式
u x y v － y x
工程流体力学
这两个调和函数是满足柯西-黎曼条件的，可以组 成一个解析复变函数 W ( z ) i 式中
工程流体力学
（1）解析下式： W ( z ) 2 ln
对于 2 ln z ， 是源强度 m 4 π 放置于（0,0）点的复势；
z 2 ln z 2 ln( z 3) z 3
对于 2 ln(z 3) ，是汇强度 m 4 π 放置于（3,0）点的复势。
2 2 x y 4圆周的环量和通过该围线的流量为 （2）沿
y
（3）由于流动是无旋的， 按拉格朗日方程求压强分布 2 p V C 2 式中 V u v 2ar ；
第5章 平面势流理论
在不可压缩理想流体中，当流动无旋时， 称为势流，若又可简化为平面流动时，这种流 动称为二维势流，也称平面势流。在平面势流 中不仅存在速度势 ，同时存在流函数 。它们 均满足拉普拉斯方程，由于拉普拉斯方程是二 阶线性方程，可以应用叠加原理，利用已有的 一些解的叠加，以寻求满足给定边界条件和初 始条件下具有实际背景的许多问题的解答。
工程流体力学
由于速度势和流函数又满足柯西-黎曼 （Cauchy-Riemann）条件，因此也可以利用复变 函数这门数学工具求解平面势流。 在平面势流中通过速度势求得流速场，并可利 用伯努利方程求得压强场，从而沿物体表面积分 便得到流体与物体之间的作用力。平面势流理论 在工程实践中应用十分广泛，是理论流体动力学 的重要部分。
工程流体力学
5.1
5.1.1
平面势流的复势
复势的定义
在平面势流中，同时存在着速度势 和流函数 ， 流速场在直角坐标系中有关系式
u x y v － y x
工程流体力学
这两个调和函数是满足柯西-黎曼条件的，可以组 成一个解析复变函数 W ( z ) i 式中
工程流体力学
（1）解析下式： W ( z ) 2 ln
对于 2 ln z ， 是源强度 m 4 π 放置于（0,0）点的复势；
z 2 ln z 2 ln( z 3) z 3
对于 2 ln(z 3) ，是汇强度 m 4 π 放置于（3,0）点的复势。
2 2 x y 4圆周的环量和通过该围线的流量为 （2）沿
y
（3）由于流动是无旋的， 按拉格朗日方程求压强分布 2 p V C 2 式中 V u v 2ar ；
平面势流课件
1 3 Q t 1 ( m / s) 的体积流量 2
求：（1）该渠道的速度分布。
（2）t=0时，r=2m处流体的速度和加速度。
几种简单的平面势流
三、偶极子
用迭加法求φ和ψ
m m cos 1 2 ln r1 ln r 2 2 r m m sin 1 2 1 2 2 r
几种简单的平面势流
二、源和汇
m m m ln r i ln z 复势： W ( z ) 2 2 2
若源或汇置于复平面 z0 处，则其复势：
m W ( z) ln( z z0 ) 2
例：如下图，有一扩大的水渠，两壁面交角为1
弧度，在两壁面相交处有一小缝，通过该缝流出
柱面上（r=a）：
urS 0 u 2 u sin S 0 2 a
由于顺时针环量的存在，圆柱上部速度增大，下部减小， 故驻点下移。 令 u 0 ，得 0 2u0 sin
2 a
，即 sin s
4 au0
s 为前后驻点所对应的角度—极角，在来流和半径给定的
几种简单的平面势流
一、均匀直线流动
复势： W ( z) U0 x iU0 y U0 ( x iy) U0 z
W ( z ) U 0e z
i
几种简单的平面势流
二、源和汇
m ur , u 0 2 r
m m ur dr u rd ln r ur rd u dr 2 2
条件下，环量越大则其驻点越下移。
驻点的位置
圆柱绕流（有环量）
sin s 1 ，两个驻点如图（a）所示。 1） 4 au0 时，
求：（1）该渠道的速度分布。
（2）t=0时，r=2m处流体的速度和加速度。
几种简单的平面势流
三、偶极子
用迭加法求φ和ψ
m m cos 1 2 ln r1 ln r 2 2 r m m sin 1 2 1 2 2 r
几种简单的平面势流
二、源和汇
m m m ln r i ln z 复势： W ( z ) 2 2 2
若源或汇置于复平面 z0 处，则其复势：
m W ( z) ln( z z0 ) 2
例：如下图，有一扩大的水渠，两壁面交角为1
弧度，在两壁面相交处有一小缝，通过该缝流出
柱面上（r=a）：
urS 0 u 2 u sin S 0 2 a
由于顺时针环量的存在，圆柱上部速度增大，下部减小， 故驻点下移。 令 u 0 ，得 0 2u0 sin
2 a
，即 sin s
4 au0
s 为前后驻点所对应的角度—极角，在来流和半径给定的
几种简单的平面势流
一、均匀直线流动
复势： W ( z) U0 x iU0 y U0 ( x iy) U0 z
W ( z ) U 0e z
i
几种简单的平面势流
二、源和汇
m ur , u 0 2 r
m m ur dr u rd ln r ur rd u dr 2 2
条件下，环量越大则其驻点越下移。
驻点的位置
圆柱绕流（有环量）
sin s 1 ，两个驻点如图（a）所示。 1） 4 au0 时，
第一节 平面势流
当 t 为参变量时，函数 为 d dx dy
x y
x , y ,t
的全微分
对比（2）（3）式可得
vy x vx y
（3）
符合上式条件的函数 称为二维 不可压缩流场的流函数。不可压缩流体的 平面流动，无论其是无旋流动还是有旋流 动，以及流体有、无粘性，均存在流函数， 可见流函数比速度势函数更具普遍性。
理想流体动力学
院系：机电工程学院 专业：动力机械及工程 姓名：潘翠丽 学号：s12001025
第一节 平面势流
1、平面流动是指对任一时刻，流场中所 有决定运动的函数仅与两个坐标及时间 有关，也称为二维流动。 2、有势流动（无旋流动）：流场中，若 任意流体质点的旋转角速度ω 为零，这 种流动称为有势流动或无旋流动。 3、平面势流：若平面流动有势流动，则 称之为平面势流。
或者： 由数学分析可知，上面三个微分关系式的存在正是
v x dx v y dy v z dz
vz v y vx vz v y vx ; ; y z z x x y
成为某一函数 x , y , z , t
d 全微分的充要条件，即： v x dx v y dy v z dz （1）
而当 t 为参变量时，函数 x , y , z , t 的全 微 分为：
d x dx y dy z dz （ 2）
比较（1）式（2）式可知：
vx ;vy ;vz （3） x y z
x , y , z , t 为速度势函数 由（3）式可知当流动有势时，流体力学的问题 将会得到很大简化，只要求出 x , y , z , t ， 即可求出速度分布，再根据能量方程进而求出 流场中的压强分布。
平面势流的叠加流动
沿包围圆柱体圆周的速度环量为
Γ
v ds
V r 1
r02 r2
2 sind
0
v
0
1 r
V1
r02 r2
sin
均匀直线流绕圆柱体的平面流动是没有速度环量的。
速度为v∞的均匀直线流绕半径为r0的圆柱体无环量的平 面流动，可以用由这个均匀直线流与偶极矩的偶极流叠加 而成的平面组合流动来代替。
四、绕圆柱体无环量流动 均匀直线流与偶极流叠加
均匀直线流
V x V y
偶极流
M 2
x r2
M
2
x x2 y2
M
2
y r2
M
2
y x2 y2
流函数
M V y 2
y x2
y2
V
y
1
M 2V
1 x2
y2
流线方程
My
V y 2 x2 y2 C
C0
零流线方程
V
y 1
M
2V
1 x2
y2 0
y0
x2 y2 M 2V
y0
x2
y2
M 2V
r02
四、绕圆柱体无环量流动 均匀直线流与偶极流叠加
零流线方程
V
y 1
M
2V
1 x2
y2 0
y0
x2
y2
M 2V
r02
流函数
V
y1
r02 x2
y2
V 1
r02 r2
r
sin
势函数
V
x
M 2
x x2
V2
vr 0
v 2V sin
p
工程流体力学ppt第6章理想流体平面势流
§6-2 几种简单的平面势流
1、均匀平行流
深度和宽度很大的流体流过平面时的流动称 均匀平行流。 特点：各点速度大小相等，方向相同。 设均匀流与 x 轴成 角，速度 v 0 ，分速度
1 v y v x 由， z ( ) C 故为有势流动。 2 x y
v x、v y， x v0 cos ，v y v0 sin 。 v
v y， v x x y
代入，即有：
2 0 2 x y
2 2
0
2
也是调和函数，也可变为求一定起始边界 条件的拉氏方程。 、 满足数学上的柯西黎曼条件，故 、 为共扼调和函数，知其
一就可求另一个。
②平面流动中两条流线间通过的流体流量， 等于两条流线的流函数之差。这也正是流函 数的物理意义。证明从略。
2 2 2 2
由连续方程
对有势 v x， v y， v z x y z 2 2 2 代入 2 2 0 2 x y z
v x v y v z 0 x y z
为调和函数
解有势流动的问题，变成了解满足一定边界 条件的拉普拉斯方程。 注意：不可以用拉普拉斯方程作为判定速度 势存在的判据。 ③沿任意曲线上的速度环量Γ等于曲线两端点 上的速度势之差，而与曲线形状无关。
1.速度势函数
若函数 P( x、y、z）、Q( x、y、z） 偏导数在单连通域中单值连续 R( x、y、z）
则当：
这是 Pdx Q d y R d z 为某函数
P Q y x Q R z y R P x z
成立，
( x、y、z )
全微分存在的充要条件。
则 且有
水力学课件-恒定平面势流
y 5 4 2 1 0 0 1 2 3 4 5 x
前进
流函数的性质之二：两流线间所通过的单宽流量等于 该两流线的流函数值之差。
证明：通过ds段的微小流量为 dq uxdy uydx
所以通过曲线ab的流量为
y a
ds M dy dx b
uy
a
a
a
q dq uxdy uydx d a b
b
b
b
ux a b
x
前进
流函数的性质之三：平面势流的流函数是一个调和函数。
若平面流动是无涡流（亦即有势流）时，有
z
1 2
( uy x
ux y
)
0
即 uy ux 0
x y
将
ux y
uy
x
代入上式，得：
2
x2
2
y 2
0
拉普拉斯方程式
y
dy
z
dz
uxdx
u y dy
uz dz
对于平面势流，则有二维流速势函数 (x, y)
ux x
uy y
d ( x,
y)
x
dx
y
dy
uxdx
u y dy
积分 (x, y)
等势线——由势函数值相等的点连接起来的曲线
令 (x, y) C ，或 d 0
且其全微分可记为
d
x
dx
y
dy
uydx uxdy
前进
流函数的性质之二：两流线间所通过的单宽流量等于 该两流线的流函数值之差。
证明：通过ds段的微小流量为 dq uxdy uydx
所以通过曲线ab的流量为
y a
ds M dy dx b
uy
a
a
a
q dq uxdy uydx d a b
b
b
b
ux a b
x
前进
流函数的性质之三：平面势流的流函数是一个调和函数。
若平面流动是无涡流（亦即有势流）时，有
z
1 2
( uy x
ux y
)
0
即 uy ux 0
x y
将
ux y
uy
x
代入上式，得：
2
x2
2
y 2
0
拉普拉斯方程式
y
dy
z
dz
uxdx
u y dy
uz dz
对于平面势流，则有二维流速势函数 (x, y)
ux x
uy y
d ( x,
y)
x
dx
y
dy
uxdx
u y dy
积分 (x, y)
等势线——由势函数值相等的点连接起来的曲线
令 (x, y) C ，或 d 0
且其全微分可记为
d
x
dx
y
dy
uydx uxdy
第十四章恒定平面势流
第29讲（2课时）第十四章 恒定平面势流平面势流理论在孔口、内插管嘴、闸孔出流、深式底孔的进口、波浪、渗流及高坝溢流等问题的求解中有一定的实用价值。
平面势流的流速势与速度的关系为：xu x ∂∂=ϕ；yu y ∂∂=ϕ不可压缩平面势流的连续性方程为：0=∂∂+∂∂yu xu y x得Laplace 方程：02222=∂∂+∂∂yxϕϕ，所以流速势是一个调和函数。
平面势流的关键在于求流速势ϕ。
★14-1 恒定平面势流的流速势及流函数一、流函数及其性质由流线方程：yxu dy u dx =，得：0=-dx u dy u y x若要能积分，上式左端必要是某一函数的全微分，即：dx u dy u d y x -=ψ，ψ为平面流函数。
由全微分的定义，yu x ∂∂=ψ ；xu y ∂∂-=ψ存在条件为：022=∂∂∂-∂∂∂=∂∂+∂∂yx xy yu xu y x ψψ，即不可压缩液体的连续性方程。
流函数的性质：1．同一流线上各点的流函数为常数，或流函数相等的点连成的曲线就是流线。
流线方程积分得：0=ψd ，即：const =ψ，不同的常数代表不同的流线。
2．两流线所通过的单宽流量等于该两流线的流函数值之差。
dx u dy u dq y x -=，b aab q ψψ-=3．平面势流的流函数是一个调和函数（Laplace 方程）。
将流速与流函数的关系式代入无旋流条件：0=∂∂-∂∂yu xu x y ，得：02222=∂∂+∂∂yxψψ二、流速势及等势线平面势流存在势函数的条件为：0=∂∂-∂∂yu xu x y ，即为无旋条件。
势函数与速度的关系：xu x ∂∂=ϕ；yu y ∂∂=ϕ由速度场求势函数的公式：dy u dx u d y x +=ϕ等势线：把相同势函数值的点所连成的曲线。
即：0=ϕd ，const =ϕ。
势函数的性质：1.等势线即为过水断面；2.势函数是调和函数。
三、流函数与流速势的关系1．流函数和速度势为共轭函数。
高二物理竞赛课件：流体力学的平面势流
流体力学的平面势流
一、均匀等速流
二、点源和点汇 三、点涡
流函数
❖ 在笛卡儿坐标系中，平面、不可压缩流体的连续性方程可
写成:
V
vx
vy
0
x y
❖ 若定义某一个函数（流函数） (x, y)令:
❖
vx
y
,
vy
x
❖ 平面不可压缩流体流函数的基本性质
❖ 1、等流函数线为流线
❖ 当 常数时
d
x
dx
并无影响。
❖ 显然，等势线 vx0 x vy0 y C 与流线 vy0x vx0 y C是相互垂直 的两族直线，如图7-13所示。若已知来
❖ 流速度v与x 轴的夹角 ，则有:
vx0 v cos v y0 v sin
❖
xv cos yv sin xv sin yv cos
（7-43c）
x
y
， vy
y
x
❖
由速度和流函数的关系 vx
y
y，
vy
x
x
❖ 将速度代入流函数的关系式积分得 1 y2 f (x)
2
❖ 将上式对求偏导数，并考虑速度和流函数的关系则有：
❖ 上式对积分，得： ❖ 代入原式有：
f (x) 1 x2 C 2
x
f x(x) x
1 (y2 x2)C
vx
x
y
vy
y
x
❖ 该数学关系式称为柯西—黎曼（Cauchy—Riemen）条件 。 由它可得：
0
x x y y
❖ 两族曲线的正交条件。在平面上它们构成处处正交的网络， 称为流网 。
❖ 【例】已知不可压缩流体平面势流，其速度势 ，试求速度投
一、均匀等速流
二、点源和点汇 三、点涡
流函数
❖ 在笛卡儿坐标系中，平面、不可压缩流体的连续性方程可
写成:
V
vx
vy
0
x y
❖ 若定义某一个函数（流函数） (x, y)令:
❖
vx
y
,
vy
x
❖ 平面不可压缩流体流函数的基本性质
❖ 1、等流函数线为流线
❖ 当 常数时
d
x
dx
并无影响。
❖ 显然，等势线 vx0 x vy0 y C 与流线 vy0x vx0 y C是相互垂直 的两族直线，如图7-13所示。若已知来
❖ 流速度v与x 轴的夹角 ，则有:
vx0 v cos v y0 v sin
❖
xv cos yv sin xv sin yv cos
（7-43c）
x
y
， vy
y
x
❖
由速度和流函数的关系 vx
y
y，
vy
x
x
❖ 将速度代入流函数的关系式积分得 1 y2 f (x)
2
❖ 将上式对求偏导数，并考虑速度和流函数的关系则有：
❖ 上式对积分，得： ❖ 代入原式有：
f (x) 1 x2 C 2
x
f x(x) x
1 (y2 x2)C
vx
x
y
vy
y
x
❖ 该数学关系式称为柯西—黎曼（Cauchy—Riemen）条件 。 由它可得：
0
x x y y
❖ 两族曲线的正交条件。在平面上它们构成处处正交的网络， 称为流网 。
❖ 【例】已知不可压缩流体平面势流，其速度势 ，试求速度投
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在上述流动中，如果源点和汇点相互 接近，即2a → 0时（2aq=常数），所 得到的就是偶极流。
实际上，偶极流本身并无太大意义，但它与某些 基本势流叠加，就可以得到有重大实际意义的流 动的解。如偶极流与等速均匀流叠加可得到无环 量圆柱绕流，偶极流与等速均匀流和势涡流的叠 加可得到有环量的圆柱绕流等。
u y u x x y
2 2 2 0 2 x y
平面势流中，速度势函数和流函数均为调和函数 特征2 流函数的等值线是流线
d u x dy u y dx 0
( x, y ) const
特征3 任意两条流线间的流函数差值(ψ1 –ψ2 )，等 于通过两条流线间的单宽流量q。
u y x x
u y y y
连续性方程
u x x
u y y
0
二、无旋流动的速度势（函数）
1 u z u y x y z 0 2 1 u x u z y 0 2 z x 1 u y u x z x y 0 2 或 或 或 u z u y y z u x u z z x u y u x x y
s n
若取δ = δψ，则δs=δn，此时流网网格为曲 边正方形
2、 流网的绘制
1）固体边界本身就是流线之一，等势线与边界正交。 2）自由液面必是流线。 3）根据流动的大致方向，按照事先选定的网格比例绘 制出流线簇和等势线簇。 3、 流网的应用 广泛用于理想不可压缩流体平面无旋流动中的速度 场、压强场求解
如图
环流强度 Г ，是不随圆周半径而变的 常数，具有方向性。Г＞0时，为逆时 针旋转；Г ＜0时，为顺时针旋转。
Γ ur 0 , u 2r
Γ ln r 2 2 环流是圆周运动，但却不是有旋运动。
(4) 直角内的流动 设无旋运动的速度势为 若设 = a (x2 - y2 ) 则有 ψ = 2axy
(2) 源环流与汇环流 将强度为q的源流和强度为Г 的环流都放置在坐标原点上， 使流体既作圆周运动，又作径 向运动，称为源环流。
水在离心式水泵压水室（蜗 壳）叶轮内的流动、空气在 风机内的流动，均可看作源 环流。
源环流 水在水力涡轮机中的流动为 汇环流。
(3)等强度源流和汇流的叠加——偶极流
强度皆为q的源流和汇流，其源点 和汇点分别置于(-a，0)和(a，0) 两点上。
五、几种简单的平面势流 (1) 等速均匀流
流场中各点的速度矢量皆相互平行，且 大小相等的流动
ux y u y x ux x u y y
ψ = uy
若等速均匀流流速平行于x轴
= ux
若等速均匀流流速平行于y轴
ψ = -ux
= uy
(2) 源流和汇流
流体从水平的无限平面内的一点O （即源点）流出，均匀地沿径向直 线流向四周的流动称为源流 q为由源点沿z轴方向上，单位厚度 所流出的流量，称为源流强度
上式是使表达式uxdx+uydy+uzdz能成为某一函数(x,y,z) 的全微分的必要和充分条件
ux dx u y dy uz dz d dx dy dz x y z
特征1
ux ， u y ， uz x y z
凡满足拉普拉斯方 程的函数是调和函 数，所以速度势是 调和函数
平面无旋流动或平面势流 ∵平面流动的旋转角速度只有分量ωz
∴ωz为零
u y
u x x y
d uxdx uy dy
2 2 2 0 2 x y
ux ， u y x y
速度势的极坐标表达式
六、势流叠加 势流叠加原理： 流速势可以进行叠加。当几个势 流叠加后，其流动仍为势流。
= 1+ 2
1 2 u x1 u x 2 x x x 1 2 uy u y1 u y 2 y y y ux
同理可证，叠加后的流函数等于原流动流函数的代数和
第七节
一、基本方程组
恒定平面势流 （平面无旋流动）
不可压缩恒定平面势流：
1、平面无旋，即 2、恒定流，即
u y u x ； 0 t t
z 0
；
3、不可压缩流体，即=Const 。
运动方程
X Y
1 p x 1 p y
u u
u x x x
u u
u x y y
d u y dx u x dy 0
ux m1m2 ( )( ) 1 ux uy uy
dy u y m1 dx u x
特征2 等势线簇的势函数值沿流线方向增加，而流 线簇的流函数值则沿流线方向逆时针旋转90 ˚后所指 的方向增加。——儒科夫斯基法则。 特征3 流网中每一网格的相邻边长维持一定的比例
此流动的流线是双曲线族。当ψ＞0 时，x、y的符号相同，流线在I、III 象限内；ψ＜0时，x、y的符号相反， 流线在II、IV象限内。当ψ = 0时， x=0或y=0，说明流线是坐标轴，称为 零流线。原点处速度为零，称为驻点。 若把零流线x、y轴的正值部分用固体壁面来代替，就得到 直角内的流动；若把x轴用固体壁面代替，则表示垂直流 向固体壁面的流动。
ux , uy y x
d u x dy u y dx
d dx dy x y流Fra bibliotek数的极坐标表达式
d ur rd u dr
1 ur , u r r
特征1
ωz为零
平面无旋流的流函数也满足拉普拉斯方程
d ur dr u rd
1 ur , u r r
三、流函数 存在条件：不可压缩流体平面流动ψ (x，y) 。
平面流动 流线方程
dx dy ux u y
u x u y 0 x y
u x dy u y dx 0
u y u x x y
四、流网及其特征
流网（Flow Net）：不可压缩流体平面无旋流动中， 流线簇与等势线簇构成的正交网格。 1、流网的特征
特征1 等势线与等流函数线处处正交
证明：
等势线簇：(x,y)=C
d u x dx u y dy 0
等流线簇：(x,y)=C
ux dy m2 dx uy
1 2
意义：在工程实际中，常利用势流叠加原理解决一 些较为复杂的势流问题
(1) 等速均匀流与源流的叠加
Y
A
O
r X
将与x轴正方向一致的等 速均匀流和位于坐标原点 的源流叠加
q 2u 0
(c)
等速均匀流与源流的叠加结果就相当于等速均 匀来流绕半无限体的流动 。这种方法的推广， 是采用很多不同强度的源流，沿x轴排列，使 它和匀速直线流叠加，形成和实际物体轮廓线 完全一致或较为吻合的边界流线。这样无需进 行费用巨大的实验，就能准确估计物体上游端 （如桥墩、闸墩的前半部）的速度和压强分布。
q ur , u 0 2r
q q q u r dr u rd dr lnr ln x 2 y 2 2r 2 2
q q q y u r rd u dr rd arctan 2r 2 2 x
流体从四周沿径向均匀流入一点（汇点）的流动称为汇流 流入汇点的单位厚度流量称为 汇流强度-q。
us s
函数(x,y,z)称为速度势（函数），即无旋流的速 度矢量是有势的。因此无旋运动（无涡流）又称 为有势流动。 上述关系式代入不可压缩流体连续性微分方程
u x u y u z 0 x y z
特征2
2 2 0 2 x y z
2 2 2
q ur , u 0 2r
q q y arctan 2 2 x q q 2 2 lnr ln x y 2 2
(3) 环流（或势涡流）
各流体质点皆绕某一固定点O做匀速圆周运动，且速 度与圆周半径成反比的流动称为环流