人教版高中数学选修2-3《二项式定理》说
人教版 高中数学选修2-3 教案1.3.1二项式定理(含反思)
人教版高中数学精品资料§1．3．1二项式定理教学目标：知识与技能：进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式 过程与方法：能解决二项展开式有关的简单问题情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。
教学重点：二项式定理及通项公式的掌握及运用 教学难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用 授课类型：新授课 课时安排：3课时 内容分析：二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础．这部分知识具有较高应用价值和思维训练价值．中学教材中的二项式定理主要包括：定理本身，通项公式，杨辉三角，二项式系数的性质等．通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识，同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧；进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用；重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成．二项式定理本身是教学重点，因为它是后面一切结果的基础．通项公式，杨辉三角，特殊化方法等意义重大而深远，所以也应该是重点．二项式定理的证明是一个教学难点．这是因为，证明中符号比较抽象、需要恰当地运用组合数的性质2、需要用到不太熟悉的数学归纳法．在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生的发展和创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习．教学过程：一、复习引入：⑴22202122222()2a b a ab b C a C ab C b +=++=++；⑵33223031222333333()33a b a a b ab b C a C a b C ab C b +=+++=+++⑶4()()()()()a b a b a b a b a b +=++++的各项都是4次式， 即展开式应有下面形式的各项：4a ，3a b ，22a b ，3ab ，4b ，展开式各项的系数：上面4个括号中，每个都不取b 的情况有1种，即04C 种，4a 的系数是04C ；恰有1个取b 的情况有14C 种，3a b 的系数是14C ，恰有2个取b 的情况有24C 种，22a b 的系数是24C ，恰有3个取b 的情况有34C 种，3ab 的系数是34C ，有4都取b 的情况有44C 种，4b 的系数是44C ， ∴4413222334444444()a b C a C a b C a b C a b C b +=++++．二、讲解新课：二项式定理：01()()n n nr n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈⑴()na b +的展开式的各项都是n 次式，即展开式应有下面形式的各项：n a ，n a b ，…，n r r a b -，…，n b ，⑵展开式各项的系数：每个都不取b 的情况有1种，即0n C 种，n a 的系数是0n C ； 恰有1个取b 的情况有1n C 种，n a b 的系数是1n C ，……， 恰有r 个取b 的情况有r n C 种，n rr ab -的系数是r n C ，……，有n 都取b 的情况有n n C 种，nb 的系数是nn C ，∴01()()n n nr n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈，这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫()na b +的二项展开式，⑶它有1n +项，各项的系数(0,1,)rn C r n =叫二项式系数，⑷r n rr n C ab -叫二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项1r n r rr nT C a b -+=． ⑸二项式定理中，设1,a b x ==，则1(1)1n r rn n n x C x C x x +=+++++三、讲解范例：例1．展开41(1)x+．解一： 411233444411111(1)1()()()()C C C x x x x x+=++++23446411x x x x =++++．解二：4444413123444111(1)()(1)()1x x C x C x C x x x x⎡⎤+=+=++++⎣⎦ 23446411x x x x=++++．例2．展开6．解：6631(21)x x =-61524332216666631[(2)(2)(2)(2)(2)(2)1]x C x C x C x C x C x x=-+-+-+32236012164192240160x x x x x x =-+-+-+． 例3．求12()x a +的展开式中的倒数第4项解：12()x a +的展开式中共13项，它的倒数第4项是第10项，9129933939911212220T C x a C x a x a -+===．例4．求（1）6(23)a b +，（2）6(32)b a +的展开式中的第3项．解：（1）24242216(2)(3)2160T C a b a b +==， （2）24242216(3)(2)4860T C b a b a +==．点评：6(23)a b +，6(32)b a +的展开后结果相同，但展开式中的第r 项不相同例5．（1）求9(3x+的展开式常数项； （2）求9(3x +的展开式的中间两项 解：∵399292199()33r r r r r r r x T C C x ---+==⋅， ∴（1）当390,62r r -==时展开式是常数项，即常数项为637932268T C =⋅=； （2）9(3x +的展开式共10项，它的中间两项分别是第5项、第6项，489912593423T C xx--=⋅=，15951092693T C x --=⋅=例6．（1）求7(12)x +的展开式的第4项的系数；（2）求91()x x-的展开式中3x 的系数及二项式系数解：7(12)x +的展开式的第四项是333317(2)280T C x x +==，∴7(12)x +的展开式的第四项的系数是280． （2）∵91()x x-的展开式的通项是9921991()(1)r rr r r r r T C xC x x--+=-=-，∴923r -=，3r =，∴3x 的系数339(1)84C -=-，3x 的二项式系数3984C =．例7．求42)43(-+x x 的展开式中x 的系数分析：要把上式展开，必须先把三项中的某两项结合起来，看成一项，才可以用二项式定理展开，然后再用一次二项式定理，，也可以先把三项式分解成两个二项式的积，再用二项式定理展开解：（法一）42)43(-+x x 42]4)3[(-+=x x02412344(3)(3)4C x x C x x =+-+⋅22224(3)4C x x ++⋅3234444(3)44C x x C -+⋅+⋅，显然，上式中只有第四项中含x 的项，∴展开式中含x 的项的系数是76843334-=⋅⋅-C（法二）：42)43(-+x x 4)]4)(1[(+-=x x 44)4()1(+-=x x)(4434224314404C x C x C x C x C +-+-=0413222334444444(4444)C x C x C x C x C +⋅+⋅+⋅+⋅∴展开式中含x 的项的系数是34C -334444C +768-=．例8．已知()()nm x x x f 4121)(+++= *(,)m n N ∈的展开式中含x 项的系数为36，求展开式中含2x 项的系数最小值分析：展开式中含2x 项的系数是关于n m ,的关系式，由展开式中含x 项的系数为36，可得3642=+n m ，从而转化为关于m 或n 的二次函数求解解：()()1214m nx x +++展开式中含x 的项为1124m n C x C x ⋅+⋅=11(24)m n C C x + ∴11(24)36m n C C +=，即218m n +=，()()1214mnx x +++展开式中含2x 的项的系数为t =222224mn C C +222288m m n n =-+-， ∵218m n +=， ∴182m n =-，∴222(182)2(182)88t n n n n =---+-216148612n n =-+23715316()44n n =-+，∴当378n =时，t 取最小值，但*n N ∈， ∴ 5n =时，t 即2x 项的系数最小，最小值为272，此时5,8n m ==．例9．已知n 的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，（1）证明展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有的有理项 解：由题意：1221121()22n n C C ⋅=+⋅，即0892=+-n n ，∴8(1n n ==舍去）∴818(rrrr T C-+=⋅82481()2r r r r C x x --=-⋅⋅()1638412r rr r C x -=-⋅08r r Z ≤≤⎛⎫⎪∈⎝⎭①若1+r T 是常数项，则04316=-r，即0316=-r ， ∵r Z ∈，这不可能，∴展开式中没有常数项； ②若1+r T 是有理项，当且仅当4316r-为整数， ∴08,r r Z ≤≤∈，∴ 0,4,8r =，即 展开式中有三项有理项，分别是：41x T =，x T 8355=，292561-=x T例10．求60.998的近似值，使误差小于0.001．解：66011666660.998(10.002)(0.002)(0.002)C C C =-=+-++-，展开式中第三项为2260.0020.00006C =，小于0.001，以后各项的绝对值更小，可忽略不计， ∴66011660.998(10.002)(0.002)0.998C C =-≈+-=，一般地当a 较小时(1)1na na +≈+四、课堂练习：1.求()623a b +的展开式的第3项. 2.求()632b a +的展开式的第3项. 3.写出n 33)x21x (-的展开式的第r+1项.4.求()732x x+的展开式的第4项的二项式系数，并求第4项的系数.5.用二项式定理展开：（1）5(a +；（2）5(2. 6.化简：（1）55)x 1()x 1(-++；（2）4212142121)x3x 2()x3x 2(----+7．()5lg xx x +展开式中的第3项为610，求x ．8．求nx x 21⎪⎭⎫ ⎝⎛-展开式的中间项答案：1. 262242216(2)(3)2160T C a b a b -+== 2. 262224216(3)(2)4860T C b a a b -+==3.2311(2rn rr n r rr r n n T C C x --+⎛⎫==- ⎪⎝⎭4.展开式的第4项的二项式系数3735C =，第4项的系数3372280C =5. （1）552(510105a a a a a b =++； （2）52315(402328x x x x =+-. 6. （1）552(1(122010x x +=++；（2）1111442222432(23)(23)192x x x x x x--+--=+7. ()5lg xx x +展开式中的第3项为232lg 632lg 551010xx C xx ++=⇒=22lg 3lg 50x x ⇒+-=5lg 1,lg 2x x ⇒==-10,1000x x ⇒==8. nx x 21⎪⎭⎫ ⎝⎛-展开式的中间项为2(1)n nn C -五、小结 ：二项式定理的探索思路:观察——归纳——猜想——证明；二项式定理及通项公式的特点 六、课后作业： P36 习题1.3A 组1. 2. 3.4 七、板书设计（略）八、教学反思：(a+b) ｎ=这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做 (a+b)ｎ的 ，其中rnC （r=0,1,2,……,n ）叫做 ， 叫做二项展开式的通项，它是展开式的第 项，展开式共有 个项.掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题。
人教版高中数学选修2-3《1.3 二项式定理》
) C.30 D.35
1 6 【例 2】 (2017 课标Ⅰ高考) (1 2 )(1 x) 展开 x 2 式中 x 的系数为( C )
A.15 B.20 C.30 D.35
1 1 6 6 解： (1 2 )(1 x) (1 x) 2 (1 x) 6 x x
6
2
65 15 (1 x) 的展开式中的 x 的系数为 C 2 1 1 2 6 4 (1 x ) 的展开式中的 x 的系数为 C6 15 2 x
【典型示例】
类型一 几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题
【例 1】 (2017 浙江湖州高三考试) 在 (1 x)5 (1 x)6 (1 x)7 (1 x)8 的展开式中, 含 x3 的项的系数是( A.121 B.-74
D
) C.74 D.-121
【例 1】 在 (1 x)5 (1 x)6 (1 x)7 (1 x)8 的 3 展开式中,含 x 的项的系数是( D ) A.121 B.-74 C.74 D.-121
9
4
4 9
5 126 121
【典型示例】
类型一 几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题
【例 1】 (2017 浙江湖州高三考试) 在 (1 x)5 (1 x)6 (1 x)7 (1 x)8 的展开式中, 含 x3 的项的系数是( A.121 B.-74
得 k 0, r 0 或 k 2, r 1
2 1 所以展开式中的常数项为 (2)3 C3 (2)C2 20
1 3 【例 3】 (2017 浙江高考冲刺卷) ( x 2) x
D 展开式中的常数项为( )
高中数学人教版B版选修2-3第一章第三节二项式定理
二项式
二项展开式
这个公式叫做 二项式定理,左边的多项式叫做 二项式,
右边的多项式叫做 a bn 的二项展开式，
其中各项的系数 Cnk k 0,1,2n 称为二项式系数，
式中的 Cnk ank bk 叫做二项展开式的通项，它是二项
展开式的第 k 1项,记作: Tk 1 Cnk ankbk
第 k 1项的二项式系数通项
解:8100 （7 1）100 C1000 7100 C1100 799 C1r00 7100r
C 99 100
71
C 100 100
70
∴8100被7除的余数是1，因此 8100天后的这一 天是星期六.
理一理
一、知识层面
1、二项式定理
总结反思——感悟收获
(a b)n Cn0an Cn1a b n1 1
问题3：(a+b)2展开式合并同类项后为什么是3项?
问题4：(a+b)2展开式中项ab的系数为什么是2？
ab
(a+b)2
a
=___a2+___ab+___b2 b
项ab的系数 项ab取法种数
探究二
(a+b)4＝ (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)＝？
议一议： 1．(a+b)4展开后各项情势分别是什么？
探究一
(a+b)2 =(a+b)(a+b) =a2+2ab+b2 =a2b0+2a1b1+a0b2
展开式 项数(合并前) 项数(合并后) 各单项式次数 单项式情势
(a+b)2 224=4
3
2
形如axby
人教版高中数学选修2-3二项式定理 (共16张PPT)教育课件
人
的
一
生
说
白
了
，
也
就
是
三
万
余
天
，
贫
穷
与
富
贵
，
都
是
一
种
生
活
境
遇
。
懂
得
爱
自
己
的
人
，
对
生
活
从
来
就
没
有
过
高
的
奢
望
，
只
是
对
生
存
的
现
状
欣
然
接
受
。
漠
漠
红
尘
，
芸
芸
众
生
皆
是
客
，
时
光
深
处
，
流
年
似
水
，
转
瞬
间
，
光
阴
就
会
老
去
，
留
在
心
头
的
，
只
是
弥
留
在
时
光
深
处
的
无
边
落
寞
。
轻
拥
沧
桑
，
淡
看
流
年
，
掬
一
捧
岁
月
，
握
一
份
懂
得
，
红
尘
口
罗
不
–■
① 项： a 3
a 2b ab 2 b 3
a3kbk
人教B版高中数学(选修2-3)1-3《二项式定理》ppt课件
代入， 令m (12 – r )+ nr = 0，将 n =﹣2m 代入，解得 r = 4 ， ﹣
故T5 为常数项，且系数最大。 为常数项，且系数最大。
T5的系数 ≥ T4的系数 ∴ T5的系数 ≥ T6的系数 4 3 C12 a 8 b 4 ≥ C12 a 9 b 3 即 4 8 4 5 C12 a b ≥ C12 a 7 b 5 8 a 9 解得 ≤ ≤ 5 b 4
相等且同时取得最大值
2 n r n n n n
(3)各二项式系数的和 各二项式系数的和
C + C + C +L + C +L + C = 2
0 n
例1.
在 (2x − 3y )
10
展开式中
1024 1
(1)求二项式系数的和 求二项式系数的和; 求二项式系数的和 (2)各项系数的和 各项系数的和; 各项系数的和
T4 = − C a b
3 4 7
3
系数最小
T =Cab
4 7 3 5
4
系数最大
三、例题讲解： 例题讲解：
3
(1 − x )(1 + x) 的展开式中， x 5 的系数 的展开式中， 例 1 ⑴在
10
是多少？ 是多少？
解：⑴原式= 原式
(1 + x) − x (1 + x) 3 10 5 10 可知 x 的系数是 (1 + x) 的第六项系数与 − x (1 + x)
3、特例： 特例： n 1 2 2 r r n n （1 + x） = 1 + Cn x + Cn x + L + Cn x + L + Cn x
新课标人教A版高中数学选修2-3二项式定理课件
数
说明： 1、用组合的知识理解、记忆二项式定理。 2、二项展开式有如下特征： （1）展开式共 n 1 项 （2）展开式中各项均为a与b的n次齐次式，其中a 的指数由n逐项减少到0，b的指数由0逐项增加到n （3）注意a、b的指数与二项式系数的对应关系。
例1、展开下列各式：
(1)( a b)
二项式定理（一）
(a b) a 2ab b
2
2
2 2 3
(a b) a 3a b 3ab b
3
3
2
( a b) ?
4 n
( a b) ?
有什么规律？
n ，都有 0 n 1 n 1 r nr r n n n ( a b) Cn a C n a b C n a b C n b
4
6
2、计算：
1 6 1 4 (2)(1 ) (3)( 2 x ) x x
3 2
( x 1) 4( x 1) 6( x 1) 4( x 1) 1
例2、求 (1 2 x) 的展开式中的第4项 的二项式系数和系数。
7
的系数。
1 6 ) 的展开式中的常数项 例3、求 ( x 2x 1 9 3 例3、求 ( x ) 的展开式中含 x 的项 x
一般地，对于任意正整数
这个公式叫做二项式定理，右边的多项式 n 叫做 (a b) 的二项展开式，它共有 n 1 项， r nr r 其中C n a b 叫做二项式展开式的第 r 1 项， r nr r 也称通项，用 Tr 1 表示，即 Tr 1 C n a 项的二项式系
3 100
例4、由 ( 3 x 2 ) 展开所得的多项 式中，系数为有理数的项共有多少个？ 例5、在 (ax 1) 的展开式中，x 项的系 2 4 数是 x 项的系数与 x 项的系数的等差中项， 若 a 1 ，求 a 的值。
人教A版高中数学选修2-3课件1.3.1二项式定理
C53 (2 x)3 C54 (2 x)4 C55 (2 x)5
1 10 x 40 x2 80 x3 80 x4 32 x5
(2)若展开（1 2x)5呢？
（1
2 x )5
C50 (2 x)0
C51(-2 x)1
C
2 5
(
2
x
)2
C53 (2 x)3 C54 (2 x)4 C55 (2 x)5
3.将 ( x y z)10 展开后,则展开式 x5 y3z 2 的项的
B 系数为( )
A . C150C130C120
B.
C150C
53C
2 2
C. C52C130
D. C150C42
小结
1. 二项式定理的内容； 2. 二项展开式的通项是解决问题的关 键； 3. 正确区分二项式系数和系数; 4. 掌握二项展开式的通项是解决问题 的关键所在；
一般地猜想,另外注意到这个分析具有一般性.
一般地
分析(a+b)n的展开式:(每一项怎么来的)
因为(a+b)n＝？
展开时，每个括号中要么取a,要么取b,而且只能取一个来相 乘得项,所以展开后其项的形式有:an ,an-1b,an-2b2, …,bn 最后结果要合并同类项.所以项的系数为就是该项在展 开式中出现的次数.可计算如下: 因为每个都不取b的情况有1种,即Cn0 ,所以an的系数为Cn0; 因为恰有1个取b的情况有Cn1种，所以an-1b的系数为Cn1; 因为恰有2个取b的情况有Cn2种，所以 an-2b2的系数为Cn2;
………… … 因为恰有n个取b的情况有Cnn种，所以b4的系数为Cnn (a b)n Cn0an Cn1an1b Cn2an2b2 Cnranrbr Cnnbn
人教版高中数学2019-2020学年选修二 2-3 第一章 1.3 二项式 定理(共17张PPT)
例3.巳知二项式
(1 2x)n 2
（1）若展开式中第五项、第六项、第七项的二 项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最 大的项的系数；
（2）若展开式中前三项的二项式系数之和等于 79，求展开式中系数最大的项。
懂得如何避开问题的人，胜过知道怎样解决问题的人。在这个世界上，不知道怎么办的时候，就选择学习，也许是最佳选择。胜出者往往不是能力而是观念！在 永远是家，走出去看到的才是世界。把钱放在眼前，看到的永远是钱，把钱放在有用的地方，看到的是金钱的世界。给人金钱是下策，给人能力是中策，给人观 财富买不来好观念，好观念能换来亿万财富。世界上最大的市场，是在人的脑海里！要用行动控制情绪，不要让情绪控制行动；要让心灵启迪智慧，不能让耳朵 人与人之间的差别，主要差在两耳之间的那块地方！人无远虑，必有近忧。人好的时候要找一条备胎，人不好的时候要找一条退路；人得意的时候要找一条退路 时候要找一条出路！孩子贫穷是与父母的有一定的关系，因为他小的时候，父母没给他足够正确的人生观。家长的观念是孩子人生的起跑线！有什么信念，就选 有什么态度，就会有什么行为；有什么行为，就产生什么结果。要想结果变得好，必须选择好的信念。播下一个行动，收获一种习惯；播下一种习惯，收获一种 一种性格，收获一种命运。思想会变成语言，语言会变成行动，行动会变成习惯，习惯会变成性格。性格会影响人生！习惯不加以抑制，会变成生活的必需品， 随时改变人生走向。人往往难以改变习惯，因为造习惯的就是自己，结果人又成为习惯的奴隶！人生重要的不是你从哪里来，而是你到哪里去。当你在埋头工作 定要抬头看看你去的方向。方向不对，努力白费！你来自何处并不重要，重要的是你要去往何方，人生最重要的不是所站的位置，而是所去的方向。人只要不失 永远不会失去自己！这个世界唯一不变的真理就是变化，任何优势都是暂时的。当你在占有这个优势时，必须争取主动，再占据下一个优势，这需要前瞻的决断 是智慧！世上本无移山之术，惟一能移山的方法就是：山不过来，我就过去。人生最聪明的态度就是：改变可以改变的一切，适应不能改变的一切！学一分退让 宜；增一分享受，减一分福泽。念头端正，福星临，念头不正，善人行善，从乐入乐，从明入明；行恶，从苦入苦，骨宜刚，气宜柔，志宜大，胆宜小，心宜虚 慧宜增，福宜惜，虑不远，忧亦近。人之所以痛苦，在于追求错误的东西。你目前拥有的，都将随着你的而成为他人的。那为何不现在就给真正需要的人呢？如 往，凡做事应有余步。我们最值得自豪的不在于从不跌倒，而在于每次跌倒之后都爬得起来。见己不是，万善之门。见人不是，诸恶之根。为了向别人、向世界 努力拼搏，而一旦你真的取得了成绩，才会明白：人无须向别人证明什么，只要你能超越自己。没有哪种教育能及得上逆境。如果你想成功，那么请记住：遗产 第一、学习第二、礼貌第三、刻苦第四、精明第五。任何的限制，都是从自己的内心开始的。失败只是暂时停止成功，假如我不能，我就一定要；假如我要，我 无论你如何为他人着想，烦你的人眼里，你就是居心叵测；不管你怎样据理力争，不懂你的人心里，你就是胡搅蛮缠。最后你会发现，有些事不是你做错了，而 人；有些人不是不理解你，而是根本不想懂你。不管怎样，生活还是要继续向前走去。有的时候伤害和失败不见得是一件坏事，它会让你变得更好，孤单和失落 每件事到最后一定会变成一件好事，只要你能够走到最后。工资是发给日常工作的人，高薪是发给承担责任的人，奖金是发给做出成绩的人，股权是分给能干忠 誉是颁给有理想抱负的人，辞退信将送给没结果还耍个性的人，这里一定有个你。内心想成为什么样的人，就会努力成为这样的人，做你想做的那种人。与其指 谁，不如指望自己能够吸引那样的人；与其指望每次失落的时候会有正能量出现温暖自己，不如指望自己变成一个正能量满满的人；与其担心未来，不如现在好 虹绚烂多姿，是在与狂风暴雨争斗之后；枫叶似火燃烧，是在与秋叶的寒霜争斗之后；雄鹰的展翅高飞，是在与坠崖的危险争斗之后。他们保持着奋斗的姿态， 们的成功。有能力的人影响别人，没能力的人受人影响；不是某人使自己烦恼不安，而是自己拿某人的言行来烦恼自己；树一个目标，一步步前行，做好自己就 不需鼓掌，也在飞翔；小草，没人心疼，也在成长；野花，没人欣赏，也在芬芳；做事不需人人都理解，只需尽心尽力；做人不需人人都喜欢，只需坦坦荡荡。 为力，拼搏到感动自己；吃过的苦，受过的累，会照亮未来的路；没有年少轻狂，只有胜者为王。真正成功的人生，不在于成就的大小，而在于你是否努力地去 喊出自己的声音，走出属于自己的道路。选一个方向，定一个时间；剩下的只管努力与坚持，时间会给我们最后的答案。许多人企求着生活的完美结局，殊不知 结局，而在于追求的过程。慢慢的才知道：坚持未必就是胜利，放弃未必就是认输，。给自己一个迂回的空间，学会思索，学会等待，学会调整。人生没有假设 全部。背不动的，放下了；伤不起的，看淡了；想不通的，不想了；恨不过的，抚平了。在比夜更深的地方，一定有比夜更黑的眼睛。一切伟大的行动和思想， 不足道的开始。从来不跌倒不算光彩，每次跌倒后能再站起来，才是最大的荣耀。这个世界到处充满着不公平，我们能做的不仅仅是接受，还要试着做一些反抗 苦、最卑贱、最为命运所屈辱的人，只要还抱有希望，便无所怨惧。有些人，因为陪你走的时间长了，你便淡然了，其实是他们给你撑起了生命的天空；有些人 就忘了吧，残缺是一种大美。照自己的意思去理解自己，不要小看自己，被别人的意见引入歧途。没人能让我输，除非我不想赢！花开不是为了花落，而是为了 烂。随随便便浪费的时间，再也不能赢回来。不管从什么时候开始，重要的是开始以后不要停止；不管在什么时候结束，重要的是结束以后不要后悔。当你决定 情，全世界都会为你让路。只有在开水里，茶叶才能展开生命浓郁的香气。别想一下造出大海，必须先由小河川开始。不要让未来的你，讨厌现在的自己，困惑 成功只配得上勇敢的行动派。人生最大的喜悦是每个人都说你做不到，你却完成它了！如果你真的愿意为自己的梦想去努力，最差的结果，不过是大器晚成。不 得始终。每个人都有潜在的能量，只是很容易：被习惯所掩盖，被时间所迷离，被惰性所消磨。不论你在什么时候开始，重要的是开始之后就不要轻言放弃。恨 的却是自己。每天醒来，敲醒自己的不是钟声，而是梦想。你不能拼爹的时候，你就只能去拼命！、如果人生的旅程上没有障碍，人还有什么可做的呢。我们无 的出身，可是我们的未来是自己去改变的。励志名言：比别人多一点执着，你就会创造奇迹伟人之所以伟大，是因为他与别人共处逆境时，别人失去了信心，他 现自己的目标。人生就像一道漫长的阶梯，任何人也无法逆向而行，只能在急促而繁忙的进程中，偶尔转过头来，回望自己留下的蹒跚脚印。时间，带不走真正 月，留不住虚幻的拥有。时光转换，体会到缘分善变；平淡无语，感受了人情冷暖。有心的人，不管你在与不在，都会惦念；无心的情，无论你好与不好，只是 一段路，总能有一次领悟；经历一些事，才能看清一些人。我们无法选择自己的出身，可是我们的未来是自己去改变的。
高中数学人教课标版选修2-3《二项式定理(第2课时)》课件
当n是奇数时，中间两项 ， 和
取得最大值．
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●活动三 认知二项式系数 各二项式系数的和等于多少？为什么？ 因为 令x=1，则
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●活动四 二项式系数、系数的应用 1. 二项式系数的性质 例1（1）多项式x10＝a0＋a1 (x－1)＋a2· (x－1)2＋…＋a10(x－ 1)10，则a8的值为( ) A．10 B．45 C．－9 D．－45
【知识点：二项式系数的性质】
解：B
x10＝[1＋(x－1)]10＝1＋C101 (x－1)＋ C102 (x－1)2＋…＋
C1010 (x－1)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a10(x－1)10 对任意实数x都成立，∴a8＝C102＝C108＝45.
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①二项式系数和为
②令 x=y=1,各项系数和为
③奇数项的二项式系数和为 偶数项的二项式系数和为
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2.用赋值法求二项式各项系数的和 例2在 的展开式中，求：
④奇数项系数和与偶数项系数和;
④设 令 ,得到 …(2) …(1),
令 x=1,y=-1 得 (1)+(2)得 ,
详解：设 (*), 各项系数和即为： 奇数项系数和为： 偶数项系数和为： x的奇次项系数和为 ： x的偶次项系数和： 由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.
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2.用赋值法求二项式各项系数的和 例2在 的展开式中，求： ①二项式系数的和; ②各项系数的和; ③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;
最新人教版高中数学选修2-3《二项式定理》教材梳理
庖丁巧解牛知识·巧学一、二项式定理1.公式(a+b)n =n n n k k n k n n n n n b C b a C b a C a C ++++-- 1110(n ∈N *).对二项式公式，令a=1,b=x ，则得一个比较常用的公式：(1+x)n =1+r r n n n x C x C x C +++ 221+…+x n .（1）(a+b)n 的二项展开式共有ｎ＋1项，其中各项的系数k n C （ｋ∈｛0,1，2,…，ｎ｝）叫做二项式系数；（2）各项的次数都等于二项式的幂指数ｎ.方法归纳 （1）字母ａ的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由ｎ逐次减1直到零，字母ｂ的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到ｎ;（2）由于二项式定理表示的是一个恒等式，在二项展开式中，有关系数的或组合数中一些和的问题，可对照二项展开式，对ａ、ｂ赋以特殊值，是解决这类问题的基本方法;(3)有关三项展开问题，可将三项中某两项看做一项，然后利用二项式定理处理.（4）二项式系数n nn n n C C C C 210,,只与第n 项有关，与a,b 的大小无关. 2.通项公式二项展开式中第ｋ＋1项k k n k n b a C -叫做二项展开式的通项，即T k+1=k nC a n-k b k . （1）通项公式表示的是二项展开式中的任意一项，只要ｎ与ｒ确定，该项也随之确定；对于一个具体的二项式，它的二项展开式中的项依赖于ｒ；（2）通项公式表示的是第ｋ＋1项，而非第ｋ项；（3）公式中的第一个量ａ与第二个量ｂ的位置不能颠倒.疑点突破 利用通项公式可以解决以下问题：（1）求指定项；（2）求特征项；（3）求指定项、特征项的系数.在应用通项公式时要注意以下几点：（1）要能准确地写出通项，特别注意符号问题；（2）要将通项中的系数和字母分离开来，以便解决有关问题；（3）通项公式中含有a,b,n,k,T k+1五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求第五个元素，在有关二项式定理的问题中，常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题，这类问题一般是利用通项公式，把问题归纳为解方程或方程组，这里必须注意ｎ是正整数，ｒ是非负整数，且ｒ≤ｎ.二、二项式系数及其性质二项展开式中，各项系数r n C (r=0,1,2,…，n)叫做展开式的二项式系数.它们是一组仅与二项式的幂指数ｎ有关的ｎ＋1个组合数，与a,b 无关.其性质如下：（1）对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，这一性质可以由m n n m n C C -=得到.（2）增减性与最大值：如果二项式的幂指数ｎ是偶数，那么其展开式中间一项，即12+n T 的二项式系数最大；如果ｎ是奇数，那么其展开式中间两项21+n T 与121++n T 的二项式系数相等且最大.（3）各二项式系数的和：n nn n n C C C C ++++ 210=2n ，且奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，即531420nn n n n n C C C C C C ++=+++ +…=2n-1. 方法点拨 对形如(ax+b)n ,(a 2+bx+c)m 的式子求其展开式的各项系数之和，只需令ｘ=1即可，对形如(ax+by)n 的式子求其展开式各项系数之和，只需令ｘ=ｙ=1即可.辨析比较 二项式系数与项的系数是不同的概念.如(a-b)n 的二项展开式的通项公式只需把-ｂ看成ｂ代入原来的二项式定理可得：T r+1=(-1)r r n C a n-r b r ，则第ｒ＋1项的二项式系数为r nC ，而第ｒ＋1项的系数是(-1)r r n C . 知识拓展 如求（a+bx ）n 展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式中各项系数分别为A 1,A 2,…，A n+1，设第ｒ＋1项系数最大，应有⎩⎨⎧≥≥+++.,211r r r r A A A A 从而解出ｒ的值即可.问题·探究问题1什么叫做二项式系数？什么叫做二项式项的系数？它们本质相同吗？有什么区别？思路:(a+b)n 的二项展开式共有ｎ＋1项，其中各项的系数k n C (k ∈{0,1,2,…，n})叫做二项式系数.而二项式项的系数是在二项式系数的前面加相应符号.二者是有区别的，如(a+bx)n 的展开式中，第ｒ＋1项的二项式系数为r n C ，而第ｒ＋1项的系数为r n C a n-r b r探究:在有关二项展开式问题中，要注意二项式系数与总分项的系数的区别和联系，同时注意“取特殊值法”在求系数和中的作用.如在（1+2x ）7的展开式中，第四项是T 4=37C ·17-3·（2x ）3，其二项式系数是37C ，则第4项的系数是37C ·23=280，它们既有区别，又有联系.求二项式系数的和是2n ，求二项展开式各项的系数和一般用赋值法解决.问题2在数的整除问题中，我们经常会遇到这样的问题：今天是星期天，220天后是星期几？11827的末位数字是几？34n+2+5m+1能被14整除吗？等等.你能对此类问题提供一种较好的解决方法吗？试说明之. 并由此谈谈你对二项式定理的理解.思路:对类似的整除问题，可以借助于二项式定理来解决.把一个数的指数幂的底数分解为两个数的和或差，利用二项式定理展开，对展开项的数字特征进行分析.对二项式定理的理解应注意它是一个恒等式，左边是二项式幂的形式.表示简单，右边是二项式的展开式，表示虽然复杂，但很有规律，规律特点为：①它有ｎ＋1项，是和的形式；②各项的次数都等于二项式的幂的次数ｎ；③字母ａ按降幂排列，次数由ｎ减到0，字母ｂ按升幂排列，次数由0增到ｎ.④各项的二项式系数依次为：nn n n C C C ,,10 ，利用展开式解决问题时可以根据需要而选择.探究:上题中的“11827的末位数字是几”这一问题，可以利用二项式定理看做（10+1）827，由二项式展开，得82782682723282721827082711011011010∙∙+∙∙+∙∙+∙C C C C容易发现，其个位数字即为1.二项式定理中，ａ、ｂ是任意的，于是我们可以根据需要对其赋值，利用二项式定理来解决一些实际问题.如令ａ=1，ｂ=ｘ，则（1+x ）n =1+n n n r n n n xC xr C x C x C +++++ 2221这也为我们解决问题提供了“取特例”的思想方法.如上式中再令ｘ=-1，或令ａ、ｂ取一些特殊的值还可以得到许多有用的结果.典题·热题例1(2005全国高考)(2x-x 1)9的展开式中，常数项为______________.（用数字作答）.思路分析:二项展开式的通项为T r+1=r C 9(2x)9-r (-x 1)r =(-1)r 29-r r C 929rr x --. 令9-r-2r =0，得ｒ=6.故常数项为T 7=(-1)6×2369C =672. 答案:672方法归纳 凡涉及到展开式的项及其系数等问题时，常是先写出其通项公式T r+1=r n C a n-r b r ，然后再根据题意进行求解，往往是结合方程思想加以解决.拓展延伸 (2005山东高考)如果(3x 321x -)n 的展开式中各项系数之和为128，则展开式中31x 的系数是（ ） A.7 B.-7 C.21 D.-21思路分析:分清某一项的系数与它的二项式系数是否相同，常规解法是利用通项公式T r+1=r n C a n-r b r ，先确定ｒ，再求其系数.令ｘ=1，即(3-1)n =128，得ｎ=7.由通项公式，得T r+1=rC 7(3x)7-r (321x -)r =(-1)r ·37-r ·r C 7·357r x -，由7-35r =-3.解得r=6.故31x的系数是(-1)6·3·67C =21. 答案:C深化升华 在求二项式中参数的值及特定项的系数等问题时，通常是利用展开式的通项与题目提供的信息及各量之间的制约关系，巧妙构造方程，利用方程的思想求解.例2（1+2x ）n 的展开式中第六项与第七项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.思路分析:根据已知条件可求出ｎ，再根据ｎ的奇偶性，确定出二项式系数最大的项.解:T 6=5n C (2x)5,T 7=6n C (2x)6，依题意有5n C ·25=6n C ·26，解得n=8.所以(1+2x)n 的展开式中，二项式系数最大的项为T 5=48C ·（2x ）4=1 120x 4.设第ｒ＋1项系数最大，则有⎪⎩⎪⎨⎧∙≥∙∙≥∙++--,22,2211881188r r r r r r r r C C C C .解得5≤r≤6. 由于r ∈{0，1，2，…，8}，所以ｒ=5或ｒ=6.则系数最大的项为T 6=1 792x 5,T 7=1 792x 6.方法归纳 二项式系数最大项的问题，可直接根据二项式系数的性质求解.ｎ为奇数时，中间两项的二项式系数最大;ｎ为偶数时，中间一项的二项式系数最大.误区警示 求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，要根据各项系数的正、负变化情况，采用列不等式，解不等式的方法求.例3求(1+2x-3x 2)6展开式中含x 5的项.思路分析:幂函数6是个不大的数目，显然可以按多项式乘法法则把(1+2x-3x 2)6乘开为多项式，再从中取出含x 5的项，但是计算量较大.如果把1+2x-3x 2中的两项结合起来，则可看成二项式，从而可利用二项式定理，展开后，再把结合为一组的两项展开，就能得到含x 5的系数.解:原式=［1+(2x-3x 2)］6=1+16C (2x-3x 2)+26C (2x-3x 2)2+36C (2x-3x 2)3+…+66C (2x-3x 2)6.可以看出，继续将右端展开后，在36C (2x-3x 2)3,46C (x-3x 2)4,56C (2x-3x 2)5这三部分的展开式中都含有x 5的项，它们分别是：36C 23C ×2×(-3)2x 5,46C 14C ×23×(-3)x 5,56C 05C 25x 5.把这三项合并后，就得到(1+2x-3x 2)6展开式中含的项是-168x 5.方法归纳 用结合的方法，把三项式做为二项式处理，这是一种较为普遍的转化方法.通过转化.可以把较生疏的问题转化为较熟悉的问题，把较困难的问题转化为较容易的问题. 例4求0.9986的近似值，使误差小于0.001.思路分析:因为直接对0.9986进行求值难度较大，而0.9986=(1-0.002)6，故可用二项式定理展开计算.解:0.9986=(1-0.002)6=1+6×（-0.002）1+15×(-0.002)2+…+（-0.002）6.因为T 3=26C ·（-0.002）2=15×(-0.002)2=0.000 06<0.001，且第三项以后的绝对值都小于0.001，所以从第三项起，以后的项可以忽略不计.则0.9986=(1-0.002)6≈1+6×(-0.002)=1-0.012=0.988.深化升华 由(1+x)n =1+1n C x+2n C x 2+…+n n C x n ，当ｘ的绝对值与1相比很小且ｎ很大时，x 2,x 3,…，x n 等项的绝对值都很小，因此在精确度允许的范围内可以忽略不计，因此，可用近似计算公式：(1+x)n ≈1+nx.在使用这个公式时，要注意按问题对精确度的要求，来确定对展开式中各项的取舍.若精确度要求较高，则可使用较为精确的公式：(1+x)n ≈1+nx+2)1(-n n x 2. 例5求证：对任何非负整数ｎ，33n -26n-1可被676整除.思路分析:当ｎ=0或1时，所给式子为具体数，可以验证.当ｎ≥2时，由于注意到676等于262，而33n =27n =(26-1)n .可以用二项式展开，看各项中是否均能含有262.解:当ｎ=0时，原式等于0，可被676整除.当ｎ=1时，原式=0，也可被676整除.当ｎ≥2时，原式=27n -26n-1=(26+1)n -26n-1=(26n +1n C 26n-1+…+2-n n C 262+1-n n C 26+1)-26n-1=26n +1n C 26n-1+…+2-n n C 262.每一项都含有262这个因数，故可被262=676整除.综上所述，对一切非负整数ｎ，33n -26n-1可被676整除.方法归纳 此类问题可以用二项式定理证明，证明此类问题的关键在于将被除式进行恰当的变形.使其能写成二项式的形式，展开后的每一项中都含有除式这个因式，就可证得整除.。
人教B数学选修2-3课件：第1章1.31.3.1二项式定理
第—章1.31・3・1计数原理二项式定理二项式定理学习目标：1.会证明二项式定理. 的通项公式.（重点）教材整理二项式定理阅读教材P26〜P27例1以上部分，完成下列问题. 二项式定理及相关的概念0微体验0判断(正确的打“J”，错误的打“x”)(1)@+份"展开式中共有〃项.()(2)在公式中，交换°, b的顺序对各项没有影响.()(3)C严是(M 展开式中的第呗.()(4)(o—b)"与(。
+矿的二项式展开式的二项式系数相同.(【解析】(l)x因为(a+b)n展开式中共有〃+1项.(2)X因为二项式的第r+1项C旷H和e+川的展开式的第r+1 项cyv是不同的，其中的°, b是不能随便交换的.(3)X因为C r n a n-r b r是@+份"展开式中的第卄1项.(4)7因为(a-b)n与(a+b)n的二项式展开式的二项式系数都是C；【答案】(1)X (2)X (3)X (4)7啖型ly 二项式定理的正用、逆用(3〕5【例1】⑴用二项式定理展开杯一疋I;(2)化简:C…(x+1 )n—CJ(x+1 )n~1+C…(x+1 )w-2 --------- (—l)'C；Xr+l)n_r + ・・・+(T)"C；；.【精彩点拨】⑴二项式的指数为5,且为两项的和，可直接按二项式定理展开；(2)可先把x+1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解.=32八曲+讐字+器—話(2)原式=C*x+1)"+C掀+1)" 丫―1)+C偸+1)" ®(—1尸+…+ 0+1 厂(T)「+・・・+C；；(T)〃=心+/丿+(—M=f・规律方进1.展开二项式可以按照二项式定理进行.展开时注意二项式定理的结构特征，准确理解二项式的特点是展开二项式的前提条件.2.对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便.3.对于化简多个式子的和时，可以考虑二项式定理的逆用.对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点，项数，各项黑指数的规律以及各项的系数.…+a+;说+【：期他) 乍牡習胡伴+輿*(1) •【片I 丿3 s I: 3 务+窘H 8h 2+108x +54+l^+4・n r =4+ 10W +54T +12X+1)121岂2+10b +5444(2)JMH1+2C +22C +.:+2n ll (l +2)f 3=.逆??zL—式系数与项的系数问题_____________/ 讥【例2】⑴求二项式6的展开式中第6项的二项式系数和第< 儿丿6项的系数；(2)求”一/的展开式中『的系数.【精彩点拨】利用二项式定理求展开式中的某一项，可以通过二项展开式的通项公式进行求解.【解】⑴由己知得二项展开式的通项为人+1Z 3=(-l)G2f3®AT6=-12-X"\:•第6项的二项式系数为C6=6, 第6项的系数为C%(-1)・2=-12.⑵ 7V+LC旷• V =(-1)圈严「，\儿丿・・・9一2尸3,・••尸3,即展开式中第四项含「，其系-84.数为(-1)£=规律方进1.二项式系数都是组合数C,；(r=0,l,2, n),它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念.2.第厂+1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C；；.例如，在(l+2x)7的展开式中，第四项是T4=C^-3(2X)3,其二项式系数是C=35,而第四项的系数是C护=280.2. (l+2r)"的展开式中第六项与第七项的系数相等，求展开式中二项 式系数最大的项和系数最大的项.【解】r 6=CW ，T 7=d(2x)6,依题意有C 沖二C 防，・d=8. ・：(1+2浮的展开式中，二项式系数最大的项为T 5=Ci(2x)4=l 120x 4.设第卄i项系数最尢则有・：5水6.,・r=5 或r=6(Vr=0,1,2, •••：•:系数最大的项为丁6=1792x‘，T7=1792X6.寒型3/ 求展开式中的特定项—匚—一^上 ------- ——----------------（探究问题丿（1〕41.如何求x+f展开式中的常数项？< X）【提示】利用二项展开式的通项卅巾求解，令4—2厂A（山.4X3=0,贝lj r=2,所以*展开式中的常数项为C：=〒=6.2. (a+b)(c+d)展开式中的每一项是如何得到的？【提示】S+b)(c+d展开式中的各项都是由°+0中的每-项分别乘以c+d中的每一项而得到.3.如何求x+;(2x+l)3展开式中含x的项？V兀丿/ \【提示】x+; (2x+1)3展开式中含x的项是由中的x与£分别A) A A与(2x+l)3展开式中常数项C；=l及＜项C S22?=12?分别相乘再把积相加得x・C汁!C(2X)2=X+12X=13X.即|X+』2X+1)3展开式中含x的项为A A J 13x.3r 3 H【例3】已知在二的展开式中，第6项为常数项.⑴求M；(2)求含*项的系数；(3)求展开式中所有的有理项.【精彩点拨】|写出通项小卜隔匚5, x的指数为零T⑴求出〃值IT修正通项公式IT⑵求“项的系教 f考查X 指数为整数f分析求岀k值T(3)写岀有理项【解】通项公式为:T「+1=C；尸(―3 疗』c；；(—3)1 丁.(1)：•第6项为常数项,/I—2rAr=5 时，有=0,即〃=10・10—2丫 1(2)令一=2,得尸尹0—6)=2,・：所求的系数为C W(-3)2=405.•Ed7里SWGO^・霜黑规律方进1.求二项展开式的特定项的常见题型(1)求第P 项,7；=C：T厂+0T；(2)求含/•的项(或#护的项)；(3)求常数项;(4)求有理项.2.求二项展开式的特定项的常用方法⑴对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；(2)对于有理项，一般是先写岀通项公式,其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致.3. (1)在(l-?)(l+x)10的展开式中，f 的系数是 _______(2)若L —专f 展开式的常数项为60,则常数a 的值为— k 兀丿【解析】⑴『应是(1+x)10中含f项、含『项分别与1, -X3相乘的结果，・••其系数为do+C?o(-l)=2O7.(2)|x-却的展开式的通项是7>1=G?Y(—胪9(—令6-3r=0,得尸2,即当尸2时，乃+1为常数项，即常数项是C紅根据已知得C]a=60,解得o=4.【答案】(1)207 (2)41.在(X-A/3)10的展开式中，含『的项的系数是(A. —27蘇B. 27CjoD. 9Cjo【解析】含【答案】DA. —28的展开式中常数项是(B. -7C. 7【解析】D. 288-rTr+1=G•另•------r 1 4 4材=(-l)g•护存,当8_严,即尸6时，丁7=(—1)6・C讣2=7.【答案】C3. (2019-全国卷皿)(1+2?)(l+x)4的展开式中x3的系数为()A. 12B. 16C. 20D. 24【解析】展开式中含F的项可以由“1与和“2*与*的乘积组成，则『的系数为C；+2C；=4+8=12.【答案】A4.在2f—$的展开式中，中间项是 _____ .k 兀丿【解析】由〃=6知中间一项是第4项，因2=C%2?)3. |一$=Q•(— 1)3-23.%3,所以T4=-160X3.【答案】-160f。
人教版高中数学选修2-3《二项式定理》教学课例
教材分析
本节课是《普通高中课程标准实验教科书--数学》人教版A版选修2-3中的第1.3节《二项式定理》，本节共分三课时，本节课是第一课时，属于定理、概念性新授课.二项式定理在多项式运算中有着十分重要的地位.它是带领我们打开微分学殿堂大门的一把钥匙，在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和以及差分法中有广泛的应用，只是在中学阶段还没有展示的机会.把这个内容放在计数原理之后讲，一是因为二项式定理的证明会用到计数原理，可以把它作为计数原理的一个应用；二是为学习二项分布等知识作准备.另外，二项式系数是一系列有着内在联系的组合数，可以由二项式定理推导出这些内在联系，这可以深化对组合数的认识.总之，二项式定理是综合性强、能联系多个知识的内容，在这里有着承上启下的作用.
（如果学生讨论的结果不理想，则抛出备用问题：
四个口袋中均有红、黑两种颜色的球各一个，材质、大小、外观一样，从每个口袋中各取一球，有多少种不同的结果？可以分成哪几类？每类分别含多少种不同的结果？
将问题④中的系数与备用问题中
的组合数对比，你有什么发现？）问题⑥：你能利用计数原理对展开式分析一下吗？
问题⑦：你能利用两个计数原理对展开式再分析一遍吗？
《人教版高中数学选修2-3《二项式定理》教学课例》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！
课题名称
《二项式定理》
学情分析
高二的学生已经具备一定的思维能力，尤其是归纳推理能力，熟知多项式运算法则、计数原理及排列组合知识，大多数同学都能独立解决一般的计数问题，但是很多学生重结论，而轻过程,对于如何根据多项式运算法则、运用计数原理分析展开式中项的构成规律及展开式合并同类项后的系数即相应的组合数，很多学生不愿意花功夫去探究，也难以理解.这是教学的难点，需要老师适度的引导.这一点突破了，后面的证明及应用就势如破竹、迎
《二项式定理》人教版高中数学选修2-3PPT课件(第1.3.1课时)
解析： T31 C130 x7 (a)3 C130 a3 (1)3 x7 ,
C130
a3
15,a
1 2
.
课堂练习
1.填空 （1）(x+2)10(x2-1)的展开式中x10的系数为__1_._1_7_9___. （2）在(x-1)11的展开式中，x的偶次幂的所有项的系数的和为_-_2_1_0__ .
(1)项数：共n+1项,是关于a与b的齐次多项式 (2)系数 (3)指数 ：a的指数从n逐项递减到0,是降幂排 列；b的指数从0逐项递增到n，是升幂排列.
人教版高中数学选修2-3
第1章 计数原理
感谢你的聆听
PEOPLE'S EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 2-3
A.14
B.－14
C.42
D. －42
பைடு நூலகம்T 解析：
k1 Ck7 (2x3 )7k (
1 x
)k
Ck7 (1)k
27k
21 7k
x 2 ,
令 21 7 k 0, 2
则k=6，故展开式中的常数项是
C67 (1)6 2 14 ,选答案A.
课堂练习
2.在(x-a)10的展开式中，x7的系数是15，则实数a的值为__-_1_/_2__.
-
C56
(2x)
+
C66
=
1 x3
(64x6
-
6*
32x5
+
15
*16x4
-
20*
8x3
+ 15 *
4x2
-
6*
2x
+
人教版高中数学选修2-3《二项式定理》
定理背景
1.什么是二项式？
对于a＋b，(a＋b)2，(a＋b)3等代数式，数学上统称为二项式，其一般形式为(a＋b)n （n∈N*）
2.什么是二项式定理？
二项式定理即(a＋b)n的展开式
3.二项式定理的作用？
牛顿以二项式定理作为基石发明出了微积分。其在初等数学中应用主要在于一些 粗略的分析和估计以及证明恒等式等。
探究发现
从组合的角度看待的(a＋b)4展开式。
(a+b)4 ＝ C40 a4 ＋C41 a3b ＋ C42 a2b2 ＋ C43 ab3 ＋ C44 b4
发现定理
从组合的角度看待的(a＋b)n展开式。
0 n 1 n 1 2 n 2 2 (a b )n C n a Cn a b Cn a b
探究发现
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3 (a＋ b)4 ＝
……
(a＋ b)n ＝
探究发现
从组合的角度看待的(a＋b)2展开式。
(a+b)2 = C20 a2 + C21 ab+ C22 b2
探究发现
从组合的角度看待(a＋b)3的展开式。
(a+b)3= C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3
例2.
(x 1 9 ) x
的展开式中x3的系数.
归纳小结
1.注意二项式定理 中二项展开式的特征 2.区别二项式系数，项的系数及项； 3.掌握用通项公式求二项式系数，项的系数及项。
课后作业
课本31页练习及本节教辅
课后思考
在（x2 + 3x + 2）5 的展开式中，x的系数为多少？
二项式定理说课稿
《二项式定理》说课稿单位：新郑一中姓名：张松业《二项式定理》说课稿一、教材分析【教材的地位及作用】二项式定理安排在高中数学选修2-3第三节,是排列组合内容后的一部分内容，其形成过程是组合知识的应用，同时也是自成体系的知识块，为随后学习的概率知识及概率与统计，作知识上的铺垫。
二项展开式与多项式乘法有密切的联系，本节知识的学习，必然从更广的视角和更高的层次来审视初中学习的关于多项式变形的知识。
运用二项式定理可以解决一些比较典型的数学问题，例如近似计算、整除问题、不等式的证明等。
【学生情况分析】授课对象是高二中等程度班级的学生。
学生具有一般的归纳推理能力，学生思维较活跃，但创新思维能力较弱。
在学习过程中，大部分学生只重视定理、公式的结论，而不重视其形成过程。
（根据以上分析，结合新课标的理念，制订如下的教学目标和教学重、难点）。
【教学目标】1、知识目标：理解二项式定理及其推导方法，识记二项展开式的有关特征，并能运用二项式定理计算或证明一些简单的问题。
2、能力目标：在学生对二项式定理形成过程的参与探讨过程中，培养学生观察、猜想、归纳的能力，以及学生的化归意识与知识迁移的能力。
3、情感目标：（1）通过学生自主参与和探讨二项式定理的形成过程，培养学生解决数学问题的兴趣和信心.（2）通过学生自主参与和探讨二项式定理的形成过程，使学生体会到数学内在的和谐对称美.【教学重点、难点】重点：二项式定理的内容及应用。
难点：掌握运用多项式乘法以及组合知识推导二项式定理的过程。
二、教法、学法分析数学是一门培养人的思维发展的重要学科。
因此，在教学中让学生自己发现规律是最好的途径。
正所谓“学问之道，问而得，不如求而得之，深固之。
”本节课的教法贯穿启发式教学原则以启发学生主动学习，积极探求为主，创设一个以学生为主体，师生互动，共同探索的教与学的情境，采用引导发现法，由学生熟悉的多项式乘法入手，进行分析，又可利用组合的有关知识加以分析、归纳，通过对二项展开式规律的探索过程，培养学生由特殊到一般，经过观察分析、猜想、归纳（证明）来解决问题的数学思想方法，培养了学生观察、联想、归纳能力。
人教版A版高中数学选修2-3：二项式定理_课件21
(1)令x＝0，则a0＝－1； 令x＝1，则a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128.① ∴a1＋a2＋…＋a7＝129.
(3)由题意知100≤－3r≤2r∈ 10Z
.
r∈Z
令10－3 2r＝k(k∈Z)，则 10－2r＝3k，
即 r＝5－32k，∵r∈Z，∴k 应为偶数， ∴k＝2,0，－2，即 r＝2,5,8. ∴第 3 项，第 6 项，第 9 项为有理项， 它们分别为 405x2，－61 236,295 245x－2.
二项式定理
1.能用计数原理证明二项式定理. 考纲解读
2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
主干知识整合
要点梳理
一、二项式定理 (a＋b)n＝ C0nan +C1nan1b Crnanrbr Cnnbn (n
∈N*)这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项
式叫(a＋b)n 的二项展开式．
2．应用二项式定理的两种思路 二项式定理是一个恒等式，使用时有两种思路：一是利用恒 等定理(两个多项式恒等，则对应项系数分别相等)；二是赋 值．二项式定理结合“恒等”与“赋值”两条思路可以使很 多求二项展开式的系数的问题迎刃而解．
3．二项式系数的最值问题 对于二项式系数的最大值、最小值问题，有时应对n的奇偶 性进行讨论才有定论．
【典例】(2012·长春模拟)(1＋x3)x＋x126 展开式中的 常数项为________．
【审题指导】 (1)从考点上：本题考查的是二项式定 理的通项公式．
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（2）求展开式的有理项；
（3）求展开式中含x2项；
设计意图：例3是用二项展开式的通项公式求指 定项.变式是让学生从多方面多角度去应用二项 式的通项公式，求展开式中的特定项，在教学中 也可要求学生自己单独或小组合作的方式探究原 题，然后增删原题中的条件或改写其结论，尽可 能多演变出一些题目，并加以验证，从而培养学 生的创造性思维和发散性思维能力.
❖ （4）二项式定理是解决某些整除性、近似计算问 题的一种方法.
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3
二、目的分析
结合重点中学学生的实际情况，确定本节课的教学 目标如下：
1、掌握二项式定理及二项展开式的通项公式，并能 熟练地进行二项式的展开及求解某些指定的项.
2、通过探索二项式定理，培养学生观察问题发现问 题,归纳推理问题的能力.
问题，达到了“创造性地使用教材，培养学生
的创新意识”教学目的.
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9
（四）归纳、猜想
通过对（a+b）2、（a+b）3、（a+b）4三个展开式探究，归纳
得出（a+b）n展开式有如下特性：
（1）共有
项；
（2）各项的次数都等于
；
（3）字母a的指数由 递减到 ；同时字母b的指数由
递增到 ；
（4）各项的系数依次为
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7
（二）问题初探
请同学们运用多项式的乘法法则写出（a+b）2、（a+b）3、 （a+b）4的展开式：
(a+b)2=
;
(a+b)3=
;
(a+b)4=
;
用这种方法写出（a+b）10的展开式容易吗？
（a+b）100、（a+b）n呢？对于这个问题，我们如何解决？
设计意图：复习旧知识，提问设疑，逐步推进， 引起学生对学习的注意，为学生学习新课内容作 知识上、方法上、心理上的准备.
设计意图：回归问题，体现了知识的实际应用价 值，学生的学习热情自然达到高潮.
２、例题展示
例1：（1）展开(1 1 ) 4
x
；（2）展开 2
x
1
6
x
设计意图：例1是二项式定理简单顺向应用，目 的在于熟悉二项展开式.通过对比，体会两种形 式展开式的区别.
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11
例2：化简： x 1 5 5 ( x 1 ) 4 1 ( x 1 ) 0 3 1 ( x 1 ) 0 2 5 ( x 1 )
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5
变传统的“接受性、训练性学习”为新
颖的“探究式、发现式的学习”，变教师是 传授者为组织者、合作者、指导者，在学习 过程中，教师想尽办法激发学生探究式、发 现式学习的兴趣，并使其作为一种教学方式 应用于概念、定理、公式和解题教学中，让 学生在探究、发现中获取知识，发展能力.从 而增强学生的主体意识，提高学生学习的效 果.
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2
❖ （1）由于二项式定理与概率理论中的三大概率分 布之一-----二项分布有内在联系，本小节是学习后 面的概率知识以及进一步学习概率统计的准备知识.
❖ （2）由于二项式系数都是一些特殊的组合数，利 用二项式定理可得到关于组合数的一些恒等式，从 而深化对组合数的认识.
❖ （3）基于二项式展开式与多项式乘法的联系,本小 节的学习可对初中学习的多项式的变形起到复习、 深化的作用.
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（三）理性探究 通过对（a+b）2、（a+b）3、（a+b）4的展开式 的观察，进行下列四个方面的探究：
①项数； ②各项次数； ③字母a、b指数的变化规律； ④各项系数
设计意图：学生通过对三个展开式的自主探讨，
亲历了知识的发生、发展、形成的过程，从而
发现问题，提出问题，并在老师的引导下解决
3、激发学生学习兴趣、培养学生不断发现，探索新 知的精神，渗透事物相互转化和理论联系实际的辩证唯 物主义观点，并通过数学的对称美，培养学生的审美意 识. 重点：二项定理的推导及运用 难点：二项式定理及通项公式的运用
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4
三、教法分析
新的数学课程标准提出：掌握数学知识只是结果，而掌 握知识的活动过程才是途径，通过这个途径，来挖掘人的发 展潜能才是目的，结果应让位于过程.没有途径，学生无法达 到目的，因此，在教学中，必须贯彻好过程性原则，既要重 视学生的参与过程，又要重视知识的重现过程.也就是说，在 教学过程中，充分揭示每一个阶段的思维活动过程，通过思 维活动过程的暴露和数学创新活动过程的演变，使教学活动 成为思维活动的教学，由此来启发、引导学生直接或间接地 感受和体验知识的产生、发展和演变过程.
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6
四、过程分析
（一）创设情境，激发兴趣 提出问题：“今天是星期六，你能很快知道再
过810天的那一天是星期几吗？”
设计意图：根据教学内容特点和学生的认识规 律，给学生提出一些能引起思考和争论性的题 目，即一些内容丰富、背景值得进一步探究的 诙谐有趣的题目、给学生创造一个“愤”和 “悱”的情境，利用问题设下认知障碍，激发 学生的求知欲望.
设计意图：例2是二项式定理逆向运用，主要在于 训练学生对二项展开式有几项，有哪些项进一步的 探讨，然后对照本例题，考察题目中项数是否完备， 若不完备应如何处理，从而深化对二项式定理的理 解，体现知识的严谨性.
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例3：求 3
x
2
10
的展开式的第5项。
3x
变式:（1）求展开式的常数项；
二项式定理说课
(第一课时)
一、教材分析
二项式定理一节，分四个课时.这里讲的是第一课时， 重点是公式的推导，其次是二项式定理及二项展开式通项 公式的简单应用，至于二项式定理及二项展开式的通项公 式的灵活运用和二项式系数的性质留在第二、三、四课时.
二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研 究的是一种特殊的多项式——二项式的乘法的展开式，这 一小节与不少内容都有着密切联系，特别是它在本章学习 中起着承上启下的作用.学习本小节的意义主要在于：
。
设计意图：学生在探究过程中通过观察、发现，
类比从而是进行必要的归纳和合理的猜想得出结
论，这是数学教学提创培养的，是一种创造性的
思维活动，是掌握探求新知识的一种手段，也是
进一步提高学生的归纳、推理、猜想能力的一种
途径.
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10
（五）尝试应用
１、回到引例：今天是星期六，你能很快知道再过810 天的那一天是星期几吗？
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例4: 求（x+3y-z）8展开式中含x2y3z3的项 的系数。