人教A版高中数学选修2-3作业：第1章 计数原理1.3.1

第一章 1.3 1.3.1

(建议用时：40分钟)

1. 2C 1n ＋6C 2n ＋18C 3

n ＋…＋2×3n －

1×C n n ＝( )

A ．22n ＋

13

B ．2

3(4n －1)

C ．2×3n －

1

D ．2

3

(3n －1)

B 解析 2

C 1n ＋6C 2n ＋18C 3n ＋…＋2×3

n －

1C n n ＝23(C 1n

×3＋C 2n ×32

＋…＋C n n ×3n ) ＝23(C 0n ×30＋C 1n ×3＋C 2n ×32＋…＋C n n ×3n －1) ＝23[(1＋3)n －1]＝2

3

(4n －1)． 2．若⎝⎛⎭⎫x ＋1

2x n 的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中x 4项的系数为( ) A ．6 B ．7 C ．8

D ．9

B 解析 因为⎝⎛⎭⎫x ＋12x n 的展开式中前三项的系数

C 0n ，12·C 1n ，14C 2

n 成等差数列， 所以C 0n ＋14C 2

n ＝C 1n ，即n 2－9n ＋8＝0，解得n ＝8或n ＝1(舍)． T r ＋1＝C r 8

x 8－r ·⎝⎛⎭⎫12x r

＝⎝⎛⎭⎫12r C r 8x 8－2r

，

令8－2r ＝4，可得r ＝2，故x 4的系数为⎝⎛⎭⎫122·

C 2

8＝7. 3. (2017·全国卷Ⅲ)(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为( ) A ．－80 B ．－40 C ．40

D ．80

C 解析 (x ＋y )(2x －y )5＝x (2x －y )5＋y (2x －y )5，由(2x －y )5展开式的通项公式T r ＋1＝C r 5

(2x )5－

r (－y )r 可得，当r ＝3时，x (2x －y )5展开式中x 3y 3的系数为C 35×22×(－1)3

＝－40；当r ＝2时，y (2x －y )5展开式中x 3y 3的系数为C 25×23×(－1)2＝80，则x 3y 3的系数为80－40＝40.

故选C 项．

4．若对于任意的实数x ，有x 3＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋a 3(x －2)3，则a 2的值为( ) A ．3 B ．6 C ．9

D ．12

B 解析 设x －2＝t ，则x ＝t ＋2，原式化为(2＋t )3＝a 0＋a 1t ＋a 2t 2＋a 3t 3，所以a 2＝

C 23·2＝6.故选B 项．

5．若二项式⎝⎛⎭⎫x ＋1

x n (x >0，且n ∈N *)的展开式中含有常数项，则指数n 必为( ) A ．奇数 B ．偶数 C ．3的倍数

D ．5的倍数

C 解析 由T r ＋1＝C r n (x )n －r ·⎝⎛⎭⎫1x r ＝C r

n x n －3r 2，因展开式中含有常数项，故n －3r ＝0有解，所以n 必为3的倍数．故选C 项．

6．在(x 2＋3x ＋2)5的展开式中x 的系数为( ) A ．160 B ．240 C ．360

D ．800

B 解析 把(x 2＋3x ＋2)5看作5个因式(x 2＋3x ＋2)相乘，其中一个因式取3x ，其他4个因式取2，得

C 15·3x ·C 44·

24＝240x ，所以x 的系数为240. 二、填空题

7．在⎝⎛⎭⎫x －1

4x 6的展开式中，x 2的系数为________. 解析 通项为T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝⎛⎭⎫－14x r ＝C r 6

⎝⎛⎭

⎫－14r x 6－2r ，

令6－2r ＝2⇒r ＝2，x 2的系数为C 26⎝⎛⎭⎫－142＝1516

. 答案

15

16

8．(2017·浙江卷)已知多项式(x ＋1)3(x ＋2)2＝x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5，则a 4＝________，a 5＝________.

解析 a 4是x 项的系数，由二项式的展开式得a 4＝C 33·C 12·2＋C 23·C 22·

22＝16；a 5是常数项，由二项式的展开式得a 5＝C 33·C 22·

22＝4. 答案 16 4

9．若n 是7777－10除以19的余数，则⎝ ⎛⎭

⎪⎫

52x －253x 2n 的展开式中的常数项为________.

解析 将7777－10变形为(76＋1)77－10，由二项展开式可得余数为10，从而得到⎝ ⎛⎭⎪⎫52x －253x 2n 的展开式的通项T r ＋1＝C r 10⎝⎛⎭⎫52x 10－r ·⎝ ⎛⎭

⎪⎫－253x 2r ＝C r 10⎝⎛⎭⎫5210－r ⎝⎛⎭⎫－25r x 53r －10， 令53r －10＝0，得r ＝6，所以T 7＝C 610

⎝⎛⎭⎫524⎝⎛⎭⎫－256＝1685.所以展开式中的常数项为1685. 答案

168

5

三、解答题

10．(1)某公司的股票今天的指数为2，以后每天的指数都比上一天的指数增加0.2%，求这家公司100天后的股票指数(精确到0.001)．

(2)求证：5151－1能被7整除．

解析 (1)依题意有2(1＋0.2%)100＝2(1＋0.002)100

＝2×[C 0100＋C 1100×0.002＋C 2100×0.0022

＋…]

＝2(1＋0.2＋0.0198＋…)≈2.4396≈2.440， 故100天后，这家公司的股票指数为2.440.

(2)证明：因为5151－1＝(49＋2)51－1＝C 0514951＋C 1514950×2＋…＋C 5051×49×250＋C 5151

×251－1，易知除(C 5151

×251－1)以外各项都能被7整除，又251－1＝(23)17－1＝(7＋1)17－1＝C 017×717＋C 117×716＋…＋C 1617×7＋C 1717－1＝7(C 017716＋C 117715＋…＋C 1617

)，显然上式能被7整除，所以5151－1能被7整除．

11．已知⎝

⎛⎭⎪⎫x －124x n 的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．

(1)证明：展开式中没有常数项； (2)求展开式中所有有理项．

解析 依题意，前三项系数的绝对值是1，C 1n ·12

，C 2n ·⎝⎛⎭⎫122，