生活中的轴对称图形：将军饮马

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轴对称中的动点问题：将军饮马

轴对称中的动点问题【命题：严学荣审核：明祥彬】将军饮马问题：如图所示，将军准备从A 点出发，想让马到一条笔直的河流上去饮水，然后再去B 地，那么走怎样的路线最短呢？【题型梳理】一、两点一线型（两定一动）例1 如图，A 、B 两点在直线l 的异侧，点P 是l 上一动点，若AB ＝5,求P A ＋PB 的最小值．【变式训练】1．如图，直线l 和l 的同侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使P A ＋PB 最小．2．如图，A 、B 两点在直线l 的同侧，点P 是l 上一动点，若AB ＝5,求PA PB −的最大值．3．如图，直线l 和l 的同侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA PB −的最大．l Alll二、一点两线型（一定两动）例2 如图，点P 是∠MON 内的一点，分别在OM ，ON 上作点A ，B ．使△P AB 的周长最小【变式训练】1．如图，点A 是∠MON 外的一点，在射线OM 上作点P ，使P A 与点P 到射线ON 的距离之和最小．三、两点两线型（两定两动）例3 如图，点P ，Q 为∠MON 内的两点，分别在OM ，ON 上作点A ，B ．使四边形P AQB 的周长最小【变式训练】如图所示，在一条河的两岸有两个村庄，现要在河上建一座小桥，桥的方向与河流垂直，设河的宽度不变，试问：桥架在何处，才能使从A 到B 的距离最短？【精讲精练】1．如图，在台球桌面ABCD 上，有白和黑两球分别位于M ，N 两点处，问：怎样撞击白球M ，使白球先撞击台边BC ，反弹后再去击中黑球N ？OONAO2．已知，如图△ABC为等边三角形，高AH＝10cm，P为AH上一动点，D为AB的中点，则PD＋PB的最小值为cm．3．如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC＋PD 最小时，∠PCD＝°．4．如图所示，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为5．如图，在锐角△ABC中，AB＝6，∠BAC＝30°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N 分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是．6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M，连接MB，若AB＝8 cm，△MBC的周长是14 cm，（1）求BC的长（2）在直线MN上是否存在点P，使PA PC−的值最大，若存在，画出点P的位置，并求最大值，若不存在，说明理由．7．如图，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一点M、N，当BM＋MN的值最小时，求AN．DA BCMMNCBA【能力提升】8．直线l 的同侧有两点A 、B ，在直线l 上求两点C 、D ，使得AC 、CD 、DB 的和最小，且CD 的长为定值1cm ，点D 在点C 的右侧．9．长方形OACB ，OA ＝3，OB ＝4，D 为边OB 的中点．若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF ＝2，当四边形CDEF 的周长最小时，画出点E 、F 的位置；10．嘉贡七（2）班举行文艺晚会，桌子摆成两直条（如图中的AO ，BO ），AO 桌面上摆满了桔子，OB 桌面上摆满了糖果，站在C 处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到C 处，请你在下图帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？11．已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，过点A 的直线MN ∥BC ，点P 是MN 上的任意点．求证：PB ＋PC≥2A B ．lB。

初中数学华东师大七年级下册轴对称平移与旋转最短路径问题(将军饮马问题)PPT

3、【一次函数中的将军饮马】
如图，在平面直角坐标系中，点 A（－2，3），B（4，5），点 P 是 x 轴上一动点，求：①PA＋PB 的最小值及此时点 P 的坐标； ②| PA－PB|的最大值及此时点 P 的坐标．
3、【一次函数中的将军饮马】
如图，在平面直角坐标系中，点 A（－2，3），B（4，5），点 P 是 x 轴上一动点，求：①PA＋PB 的最小值及此时点 P 的坐标； ②| PA－PB|的最大值及此时点 P 的坐标．
A' M
C
A
B
O
N
D
B'
C【一定两动之点与线】
例3：在OA、OB上分别取点M、N，使得PM+MN最小
1、正方形中的将军饮马
【关于对角线对称】
例4：如图，正方形ABCD的边长是4，M在DC上，且DM=1,N是AC 边上的一动点，则△DMN周长的最小值是多少？
【隐身的正方形】
（2017辽宁营口）4、如图，在△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°,点D在BC上， BD=3,DC=1,P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（）
A、4 B、5 C、6 D、7
2、三角形中的将军饮马
【等边系列】
例5：如图，在等边三角形△ABC中，AB=6,N为AB上一点，且AN=2,BC
的高线AD交BC于点D，M是AD上的动点，连结BM,MN,则BM+MN的最小
值是
。
3、【一次函数中的将军饮马】
如图，在平面直角坐标系中，点 A（－2，3），B（4，5），点 P 是 x 轴上一动点，求：①PA＋PB 的最小值及此时点 P 的坐标； ②| PA－PB|的最大值及此时点 P 的坐标．

七年级数学下册第五章轴对称的应用将军饮马问题课件(新版)北师大版

A P
B l
B′
6、为什么这样找到的点P，就能使得PA+PB最短呢？你能尝试证明吗？
探究新知
证明：在直线L上任意取不同于点P的一点Q，连接QA、QB、 QB/，如图所示。
∵PA+PB=PA+PB/=AB/ QA+QB=QA+QB/
又∵AB/＜QA+QB/(两点之间线段最短或三角形中两边之和大于第三边）
∴PA+PB＜ QA+QB 即此时点P使得PA+PB的值最小
B
A P L
Q
B/
小试牛刀
如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，已知居民区A、B分别距离街道1km、2km，两居民区水平距离4km，请问奶站修建在什么地方才能使得A，B到它的距离之和最短？最短距离是多少？
C
居民区A 街道
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．
你知道海伦是如何帮助将军解决问题的吗？
B A
l
任务驱动启迪智慧
问题
A
1、截至目前，你学到那些最短问题？
2、如图，A,B 两点位于直线L
A
的两侧，你能
在直线L上找一
点P，使得点p
到A、B两点距
直线段路径
课后拓展延伸
课后作业
1、如图，菱形ABCD中，AB=2， ∠BAD=600，E是AB 的中点，点P是对角线AC上的一个动点，请找出使得 PE+PB的值最小时点P的位置（找出位置即可）
D
A
P C
E B
课后拓展延伸
☆一点P,让PB与PA 的差最大，并给出证明！

重难点05轴对称之“将军饮马”模型(解析版)-八年级数学

重难点05轴对称之“将军饮马”模型1.识别几何模型。

2.利用“将军饮马”模型解决问题如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．【模型解析】作点A关于直线的对称点A’，连接PA’，则PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB当A’、P、B三点共线的时候，PA’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）类型一：两定一动之点点在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小．此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小．类型二：两定两动之点点在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。

考虑PQ是条定线段，故只需考虑PM+MN+NQ最小值即可，类似，分别作点P、Q关于OA、OB对称，化折线段PM+MN+NQ为P’M+MN+NQ’，当P’、M、N、Q’共线时，四边形PMNQ的周长最小。

类型三：一定两动之点线在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小。

此处M点为折点，作点P关于OA对称的点P’，将折线段PM+MN转化为P’M+MN，即过点P’作OB垂线分别交OA、OB于点M、N，得PM+MN最小值（点到直线的连线中，垂线段最短）一．选择题（共5小题）1．（2021秋•苏州期末）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，2），点B（﹣5，6），在x轴上确定点C，使得△ABC的周长最小，则点C的坐标是（）A．（﹣4，0）B．（﹣3，0）C．（﹣2，0）D．（﹣2.5，0）【分析】作B点关于x轴的对称点B'，连接AB'交x轴于点C，连接BC，此时△ABC的周长最小，求出直线AB'的解析式y＝2x+4与x轴的交点即可．【解答】解：作B点关于x轴的对称点B'，连接AB'交x轴于点C，连接BC，∴BC＝B'C，∴BC+AC＝B'C+AC≥AB'，此时△ABC的周长最小，∵B（﹣5，6），∴B'（﹣5，﹣6），设直线AB'的解析式为y＝kx+b，将点A（﹣1，2），B'（﹣5，﹣6）代入，得，∴，∴y＝2x+4，令y＝0，则x＝﹣2，∴C（﹣2，0），故选：C．【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，用待定系数法求函数解析式是解题的关键．2．（2022秋•江都区月考）如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝3，S△ABC＝6，AD⊥BC于点D，EF是AB的垂直平分线，交AB于点E，交AC于点F，在EF上确定一点P，使PB+PD最小，则这个最小值为（）A．3.5B．4C．4.5D．5【分析】由垂直平分线的性质知AP＝BP，则PB+PD＝AP+PD，从而PB+PD最小值为AD的长，利用面积即可求出AD的长．【解答】解：∵EF是AB的垂直平分线，∴AP＝BP，∴PB+PD＝AP+PD，即点P在AD上时，PB+PD最小值为AD的长，＝6，∵BC＝3，S△ABC∴×3×AD＝6，∴AD＝4，∴PB+PD最小值为4，故选：B．【点评】本题主要考查了轴对称﹣最短路线问题，线段垂直平分线的性质等知识，将PB+PD最小值转化为AD的长是解题的关键．3．（2020秋•如皋市期末）如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝BC，P为直线BC上方的一个动点，△PBC的面积等于△ABC的面积的，则当PB+PC最小时，∠PBC的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【分析】由题意可知作B点关于该垂直平分线的对称点B'，连接B'C，交垂直平分线于P点，此时PB+PC 最小，证明△BCB'是等腰直角三角形，即可求∠PBC．【解答】解：∵△PBC的面积等于△ABC的面积的，∴P点在AD的垂直平分线上，作B点关于该垂直平分线的对称点B'，连接B'C，交垂直平分线于P点，由对称性可知，B'P＝BP，∴BP+PC＝B'P+PC＝B'C，此时PB+PC最小，∵AD＝BB'，AD＝BC，∴BB'＝BC，∴△BCB'是等腰直角三角形，∴∠B'CB＝∠B'＝45°，∴∠B'BP＝45°，∴∠PBC＝45°，故选：B．【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等腰直角三角形的性质是解题的关键．4．（2021秋•如皋市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，D为AB上一动点，DE∥AC，DE＝2，则AE+CE的最小值等于（）A．4B．2C．3D．+2【分析】过E作EF∥AB交CA的延长线于点F，作点A关于EF的对称点A'，连接A'E和A'F．依据轴对称的性质即可得到∠BAC＝∠AFE＝∠A'FE，AE＝A'E，再根据四边形ADEF是平行四边形，即可得出AF ＝DE＝2，A'F＝AF＝2．当点C，点E，点A'在同一直线上时，AE+CE的最小值等于A'C的长，利用勾股定理求得A'C的长即可．【解答】解：如图所示，过E作EF∥AB交CA的延长线于点F，作点A关于EF的对称点A'，连接A'E和A'F，∴∠BAC＝∠AFE＝∠A'FE，AE＝A'E，∴AE+CE＝A'E+CE，由题可得，△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°，∴∠A'FC＝45°×2＝90°，∵AF∥DE，EF∥AD，∴四边形ADEF是平行四边形，∴AF＝DE＝2，A'F＝AF＝2，当点C，点E，点A'在同一直线上时，AE+CE的最小值等于A'C的长，如图所示．此时，Rt△A'FC中，A'C＝＝＝，∴AE+CE的最小值为，故选：B．【点评】此题主要考查了最短路径问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．5．（2022秋•如东县期末）如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF＝b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是（）A．B．C．a+b D．a【分析】首先证明点E在射线CE上运动（∠ACE＝30°），作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE于E′，此时AE′+FE′的值最小．【解答】解：如图，∵△ABC，△ADE都是等边三角形，∴AB＝AC＝a，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵AF＝CF＝a，BF＝b，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ACE＝30°，BF⊥AC，∴点E在射线CE上运动（∠ACE＝30°），作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE于E′，此时AE′+FE′的值最小，∵CA＝CM，∠ACM＝60°，∴△ACM是等边三角形，∴AM＝AC，∵BF⊥AC，∴FM＝BF＝b，∴△AEF周长的最小值＝AF+FE′+AE′＝AF+FM＝a+b，故选：B．【点评】本题考查轴对称最短问题、等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明点E在射线CE上运动（∠ACE＝30°），本题难度比较大，属于中考填空题中的压轴题．二．填空题（共5小题）6．（2022秋•句容市月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的角平分线，若E，F分别是AD和AC上的动点，则EC+EF的最小值是．【分析】作F关于AD的对称点F'，由角的对称性知，点F'在AB上，当CF'⊥AB时，EC+EF的最小值为CF'，再利用面积法求出CF'的长即可．【解答】解：作F关于AD的对称点F'，∵AD是∠BAC的平分线，∴点F'在AB上，∴EF＝EF'，∴当CF'⊥AB时，EC+EF的最小值为CF'，∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，＝，∴S△ABC∴12×8＝10×CF'，∴CF'＝，∴EC+EF的最小值为，故答案为：．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，轴对称﹣最短路线问题，三角形的面积等知识，熟练掌握将军饮马的基本模型是解题的关键．7．（2021秋•如皋市月考）如图，等边△ABC的边长为6，AD是高，F是边AB上一动点，E是AD上一动点，则BE+EF的最小值为．【分析】过C点作CF⊥AB交AB于F，交AD于E，连接BE，BE+EF的最小值为CF，求出CF即可．【解答】解：过C点作CF⊥AB交AB于F，交AD于E，连接BE，∵AD是等边三角形ABC的高，∴BE＝CE，∴BE+EF＝CE+EF≥CF，∴BE+EF的最小值为CF，∵BC＝6，AB＝6，∴BF＝3，∴CF＝＝＝3，∴BE+EF的最小值为3，故答案为：3．【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握等边三角形的性质，轴对称的性质，垂线段最短是解题的关键．8．（2022秋•镇江期中）如图，在△BCD中，∠BDC＝90°，∠DBC＝30°，射线CN平分∠BCD，AB∥CD，AB＝10，BD＝24，点F为BC的中点，点M为射线CN上一动点，则MF+MA的最小值为26．【分析】连接AD，交NC于点G，连接FD，交NC于点P，连接GF，根据题意可得△DFC为等边三角形，由等边三角形的三线合一可得GF＝GD，以此得出MF+MA的最小值为GF+AG＝GD+AG＝AD，由AB∥CD 可得△ABD为直角三角形，最后根据勾股定理求解即可．【解答】解：如图，连接AD，交NC于点G，连接FD，交NC于点P，连接GF，∵∠BDC＝90°，∠DBC＝30°，∴∠BCD＝60°，CD＝CD，∵点F为BC的中点，∴FD＝BF＝CF＝BC＝CD，∴△DFC为等边三角形，∵射线CN平分∠BCD，∴CP垂直平分DP，∴GF＝GD，点D为点F关于CN的对称点，∴当M在点G时，此时MF+MA为GF+AG＝GD+AG＝AD取得最小值，∵AB∥CD，∴∠ABD＝90°，∵AB＝10，BD＝24，∴．故答案为：26．【点评】本题主要考查轴对称﹣最短路线问题、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定与性质，正确作出辅助线，得出MF+MA的最小值为AD是解题关键．9．（2022秋•江宁区校级月考）如图，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D为BC的中点，AD＝2，若P为AB上一个动点，则PC+PD的最小值为．【分析】作点D关于AB的对称点E，连接PE，BE，依据轴对称的性质，即可得到DB＝EB，DP＝EP，∠ABC＝∠ABE＝45°，根据PC+PD＝PC+PE，可得当C，P，E在同一直线上时，PC+PE的最小值等于CE 的长，根据全等三角形的对应边相等，即可得出PC+PD的最小值为2．【解答】解：如图所示，作点D关于AB的对称点E，连接PE，BE，则DB＝EB，DP＝EP，∠ABC＝∠ABE＝45°，∠CBE＝90°，∵D是BC的中点，∴BD＝BC＝2，∴BE＝2，∵PC+PD＝PC+PE，∴当C，P，E在同一直线上时，PC+PE的最小值等于CE的长，此时，PC+PD最小，∵AC＝BC＝4，D为BC的中点，∴CD＝DB＝BE，又∵∠ACD＝∠CBE＝90°，∴△ACD≌△CBE（SAS），∴CE＝AD＝2，∴PC+PD的最小值为2．故答案为：2．【点评】此题考查了轴对称﹣线路最短的问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．10．（2022秋•海安市期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC＝2，点E为射线AC上的动点，DE∥AB，且DE＝2．当AD+BD的值最小时，∠DBC的度数为45°．【分析】过点D作DF⊥AC于点F，可知点D在到AC的距离为1的直线上，作出该直线l，利用将军饮马模型，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点D′，此时AD′+BD′＝A′B，即点D 与点D′重合时，AD+BD的值最小．利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理分别求得∠ABA′和∠ABC的度数，则结论可求．【解答】解：过点D作DF⊥AC于点F，如图，∵DE∥AB，∴∠DEF＝∠BAC＝30°，∵DF⊥AC，∴DF＝DE＝1，∴点D到直线AC的距离等于定值1．过点D作直线l∥AC，则点D在直线l上运动，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点D′，由将军饮马模型可知：此时AD′+BD′＝A′B，即点D与点D′重合时，AD+BD的值最小．由题意：AA′⊥l，AG＝GA′，∵l∥AC，DF⊥AC，∴四边形AFDG为矩形，∴AG＝DF＝1，∴AA′＝AG+A′G＝2，∵AB＝AC＝2，∴AB＝AA′，∴∠ABA′＝∠A′．∵∠BAC＝30°，∠FAG＝90°，∴∠BAA′＝120°，∴∠ABA′＝∠A′＝＝30°．∵∠BAC＝30°，AB＝AC＝2，∴∠ABC＝∠ACB＝＝75°，∴∠DBC＝∠D′BC＝∠ABC﹣∠ABD′＝45°．故答案为：45°．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，轴对称的性质，平行线的判定与性质，利用将军饮马模型构造辅助线解答是解题的关键．三．解答题（共8小题）11．（2022秋•苏州期中）（1）如图，河道上A，B两点（看作直线上的两点）相距200米，C，D为两个菜园（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A，B，AD＝80米，BC＝70米，现在菜农要在AB 上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短．请在图中作出点P，保留作图痕迹，并求出PC+PD的最小值．（2）借助上面的思考过程，请直接写出当0＜x＜15时，代数式+的最小值＝17．【分析】（1）作点C关于AB的对称点F，连接DF交AB于点P，连接PC，点P即为所求；根据勾股定理可得DF的长，从而解答即可；（2）先作出点C关于AB的对称点F，连接DF，使AB＝15，AD＝5，BC＝BF＝3，DF就是代数式+的最小值，【解答】解：（1）作点C关于AB的对称点F，连接DF交AB于点P，连接PC，点P即为所求；作DE⊥BC交BC的延长线于E．在Rt△DEF中，∵DE＝AB＝200米，EF＝AD+BC＝80+70＝150米，∴DF＝＝＝250（米），∴PD+PC的最小值为250米；（2）：先作出点C关于AB的对称点F，连接DF，作DE⊥BC交BC的延长线于E．使AB＝15，AD＝5，BC＝BF＝3，DF就是代数式+的最小值，∵DF＝＝＝17，∴代数式+的最小值为17．故答案为：17．【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．12．（2022秋•秦淮区校级月考）（1）在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1（要求A与A1，B与B1，C与C1相对应）；（2）在直线l上找一点P，使得PA+PC的和最小．【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．（2）连接A1C，与直线l交于点P，连接AP，此时PA+PC的和最小．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．（2）如图，点P即为所求．【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．13．（2022秋•江都区校级月考）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（用直尺画图）（1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A1B1C1；（2）在DE上画出点P，使△PBC的周长最小．（3）在DE上找一点M，使|MC﹣MB|值最大．（4）△ABC的面积是．【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．（2）连接B1C，交直线DE于点P，连接BP，此时PB+PC最小，即可得△PBC的周长最小．（3）延长CB，交直线DE于点M，此时|MC﹣MB|值最大．（4）利用割补法求三角形的面积即可．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．（2）如图，点P即为所求．（3）如图，点M即为所求．（4）△ABC的面积为3×3﹣﹣﹣＝．故答案为：．【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．14．（2022秋•宜兴市月考）请在如图所示的正方形网格中完成下列问题：（1）如图，请在图中作出△ABC关于直线MN成轴对称的△A′B′C′；（2）求出△ABC的面积．（3）在直线MN上找一点P，使得PC+PB最小．【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可，（2）利用割补法求三角形的面积即可．（3）连接B'C，交直线MN于点P，连接PB，此时PC+PB最小．【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求．（2）△ABC的面积为3×6﹣﹣﹣＝8．（3）如图，点P即为所求．【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．15．（2022秋•江阴市期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，四边形ABCD的四个顶点都在小正方形的顶点上，点E在边BC上，且点E在小正方形的顶点上，连接AE．（1）在图中画出△AEF，使△AEF与△AEB关于直线AE对称；（2）△AEF与四边形ABCD重叠部分的面积＝6；（3）在AE上找一点P，使得PC+PD的值最小．【分析】（1）利用轴对称的性质作出点B的对应点F，即可解决问题；（2）△AEF与四边形ABCD重叠部分的面积＝四边形ADTE的面积，利用分割法求解；（3）作点D关于直线AE的对称点D′，连接CD′交AE于点P，点P即为所求．【解答】解：（1）如图，△AEF即为所求；（2）△AEF与四边形ABCD重叠部分的面积＝四边形ADTE的面积＝2×4﹣×2×2＝6；（3）如图，点P即为所求．【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，最短问题，四边形面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，灵活运用所学知识解决问题．16．如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AB边上一点，若AE ＝2，求EM+BM的最小值．【分析】要求EM+BM的最小值，需考虑通过作辅助线转化EM，BM的值，从而找出其最小值求解．【解答】解：连接CE，与AD交于点M．则CE就是BM+ME的最小值．取BE中点F，连接DF．∵等边△ABC的边长为6，AE＝2，∴BE＝AB﹣AE＝6﹣2＝4，∴BF＝FE＝AE＝2，又∵AD是BC边上的中线，∴DF是△BCE的中位线，∴CE＝2DF，CE∥DF，又∵E为AF的中点，∴M为AD的中点，∴ME是△ADF的中位线，∴DF＝2ME，∴CE＝2DF＝4ME，∴CM＝CE．在直角△CDM中，CD＝BC＝3，DM＝AD，CM＝＝，CE＝×＝2，∵BM+ME＝CE，∴BM+ME的最小值为2．【点评】此题主要考查了轴对称﹣最短路线问题和等边三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，根据已知得出M点位置是解题关键．17．（2021秋•连云港期末）【问题情境】八上《伴你学》第138页有这样一个问题：如图1，把一块三角板（AB＝BC，∠ABC＝90°）放入一个“U”形槽中，使三角形的三个顶点A、B、C分别在槽的两壁及底边上滑动，已知∠D＝∠E＝90°，在滑动过程中，你发现线段AD与BE有什么关系？试说明你的结论；【变式探究】小明在解决完这个问题后，将其命名为“一线三等角”模型；如图2，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，若∠B＝∠FDE＝∠C，则这三个相等的角之间的联系又会使图形中出现其他的一些等角．请你写出其中的一组，并加以说理；【拓展应用】如图3，在△ABC中，BA＝BC，∠B＝45°，点D、F分别是边BC、AB上的动点，且AF＝2BD．以DF为腰向右作等腰△DEF，使得DE＝DF，∠EDF＝45°，连接CE．①试判断线段DC、BD、BF之间的数量关系，并说明理由；②如图4，已知AC＝2，点G是AC的中点，连接EA、EG，直接写出EA+EG的最小值．【分析】【问题情境】证明△ABD≌△BCE（AAS），即可求解；【变式探究】利用等量代换即可求解；【拓展应用】①用等量代换即可求解；②在CD上截取DM＝BF，连接EM，作点G关于CE的对称点N，连接CN，AN，先证明△BDF≌△MED （SAS），得到EM＝CM，在求出∠ECM＝∠MEC＝22.5°，即可确定E点在射线CE上运动，当A、E、N 三点共线时，EA+EG的值最小，最小值为AN，在Rt△ANC中求出AN即可．【解答】解：【问题情境】AD＝BE，理由如下：∵∠ABC＝90°，∴∠ABD+∠CBE＝90°，∵∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠BAD＝∠CBE，∵AB＝BC，∴△ABD≌△BCE（AAS），∴AD＝BE；【变式探究】∠BED＝∠FDC，∠EDB＝∠DFC；∵∠B＝∠FDE＝∠C，∴∠EDB+∠BED＝∠EDB+∠FDC＝∠FDC+∠DFC＝180°﹣∠EDF，∴∠BED＝∠FDC，∠EDB＝∠DFC；【拓展应用】①∵AB＝BC，∴AF+BF＝BD+CD，∵AF＝2BD，∴2BD+BF＝BD+CD，∴BD+BF＝CD；②在CD上截取DM＝BF，连接EM，作点G关于CE的对称点N，连接CN，AN，∵∠B＝45°，∠EDF＝45°，∴∠BFD＝∠EDM，∵DF＝DE，∴△BDF≌△MED（SAS），∴BD＝EM，EM＝BD，∠B＝∠DME＝45°，∵CD＝BD+BF，∴CM＝BD，∴EM＝CM，∴∠MCE＝∠MEC，∵∠EMD＝45°，∴∠ECM＝∠MEC＝22.5°，∴E点在射线CE上运动，∵G点与N的关于CE对称，∴EG＝EN，∴EA+EG＝EA+EN≥AN，∴当A、E、N三点共线时，EA+EG的值最小，最小值为AN，∵∠B＝45°，AB＝BC，∴∠ACB＝67.5°，∴∠ACE＝45°，由对称性可知，∠ACE＝∠ECN，∴∠ACN＝90°，∵点G是AC的中点，AC＝2，∴CG＝1，∴CN＝1，在Rt△ANC中，AC＝，∴AE+EG的最小值为．【点评】本题是三角形的综合题，熟练掌握三角形全等的判定及性质，轴对称求最短距离的方法是解题的关键．18．（2020秋•南京期中）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得PA+PB的值最小．解法：如图1，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点即为P，且PA+PB的最小值为A′B．请利用上述模型解决下列问题：（1）几何应用：如图2，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，E是AB的中点，P是BC边上的一动点，则PA+PE的最小值为；（2）代数应用：求代数式+（0≤x≤3）的最小值；（3）几何拓展：如图3，△ABC中，AC＝2，∠A＝30°，若在AB、AC上各取一点M、N使CM+MN的值最小，最小值是．【分析】（1）作点E关于直线BC的对称点E′，连接E′A，根据“将军饮马问题”得到PA+PE的最小值为E′A，根据勾股定理求出E′A，得到答案；（2）根据勾股定理构造图形，根据轴对称﹣﹣最短路线问题得到最小值就是求PC+PD的值，根据勾股定理计算即可；（3）作点C关于直线AB的对称点C′，作C′N⊥AC于N交AB于M，连接AC′，根据等边三角形的性质解答．【解答】解：（1）如图2，作点E关于直线BC的对称点E′，连接E′A，则E′A与直线BC的交点即为P，且PA+PE的最小值为E′A，作E′F⊥AC交AC的延长线于F，由题意得，E′F＝1，AF＝3，∴PA+PE的最小值E′A＝＝，故答案为：；（2）构造图形如图4所示，BD＝3，AC＝1，AP＝x，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，AB＝3，则PC+PD＝+，代数式+（0≤x≤3）的最小值就是求PC+PD的值，作点C关于AB的对称点C'，过C'作C'E⊥DB交DB的延长线于E．则C'E＝AB＝3，DE＝3+1＝4，C'D＝＝＝5，∴所求代数式的最小值是5；（3）如图3，作点C关于直线AB的对称点C′，作C′N⊥AC于N交AB于M，连接AC′，则C′A＝CA＝2，∠C′AB＝∠CAB＝30°，∴△C′AC为等边三角形，∴CM+MN的最小值为C′N＝，故答案为：．【点评】本题考查的是轴对称﹣﹣最短路线问题、勾股定理、等边三角形的判定和性质，解这类问题的关键是将实际问题抽象或转化为数学模型，把两条线段的和转化为一条线段．一．选择题（共2小题）1．（2022秋•和平区校级期末）如图，在等边三角形ABC中，BC边上的高AD＝8，E是高AD上的一个动点，F是边AB的中点，在点E运动的过程中，存在EB+EF的最小值，则这个最小值是（）A．5B．6C．7D．8【分析】连接CF交AD于点E，连接BE，此时BE+EF的值最小，求出CF即可．【解答】解：连接CF交AD于点E，连接BE，∵△ABC是等边三角形，AD是高，∴BE＝CE，∴BE+EF＝CE+EF≥CF，此时BE+EF的值最小，∵F是AB边上的中点，∴CF＝AD，∵AD＝8，∴CF＝8，故选：D．【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等边三角形的性质是解题的关键．2．（2022秋•乌鲁木齐期末）如图，在锐角△ABC中，∠C＝40°；点P是边AB上的一个定点，点M、N 分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是（）A．90°B．100°C．110°D．80°【分析】分别作P关于BC，AC的对称点E，D，连接DE，交AC于M，交BC于N，此时△MNP的周长最小，由条件求出∠DPE的度数，由轴对称的性质，等腰三角形的性质得到∠MPD+∠NPE＝∠D+∠E＝40°，从而求出∠MPN的度数．【解答】解：分别作P关于BC，AC的对称点E，D，连接DE，交AC于M，交BC于N，此时△MNP 的周长最小，∵∠PHM＝∠PGN＝90°，∠C＝40°，∴∠DPE＝360°﹣∠PHM﹣∠PGN﹣∠C＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°，∴∠D+∠E＝180°﹣∠DPE＝180°﹣140°＝40°，∵PM＝DM，NP＝NE，∴∠MPD＝∠D，∠NPE＝∠E，∴∠MPD+∠NPE＝∠D+∠E＝40°，∴∠MPN＝∠DPE﹣（∠MPD+∠NPE）＝140°﹣40°＝100°．故选：B．【点评】本题考查轴对称的性质，关键是分别作P关于BC，AC的对称点E，D，连接DE，交AC于M，交BC于N，找到周长最小的△PMN．二．填空题（共5小题）3．（2022秋•灵宝市期末）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝7．MN为BC边上的垂直平分线，若点D在直线MN上，连接AD，BD，则△ABD周长的最小值为12．【分析】MN与AC的交点为D，AD+BD的值最小，即△ABD的周长最小值为AB+AC的长．【解答】解：MN与AC的交点为D，∵MN是BC边上的垂直平分线，∴AD＝CD，∴AD+BD＝AD+CD＝AC，此时AD+BD的值最小，∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+AC最小，∵AB＝5，AC＝7，∴AB+AC＝12，∴△ABD的周长最小值为12，故答案为：12．【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的的方法，线段垂直平分线的性质是解题的关键．4．（2022秋•白云区校级期末）如图，等腰△ABC的底边长为8，面积是24，腰AB的垂直平分线MN交AB于点M，交AC于点N．点D为BC的中点，点E为线段MN上一动点，设△BDE的周长的最小值为a，则式子[2a3•a5+（3a4）2]÷a6值是1100．【分析】连接AD交MN于点E，连接BE，当A、E、D三点共线时，△BDE的周长最小，求出a＝10，再化简代数式求值运算即可．【解答】解：连接AD交MN于点E，连接BE，∵MN是AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∵△ABC是等腰三角形，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴△BDE的周长＝BD+DE+BE＝BD+DE+AE≥BD+AD，当A、E、D三点共线时，△BDE的周长最小，∵腰△ABC的底边长为8，面积是24，∴×8×AD＝24，∴AD＝6，∴BD+AD＝×8+6＝10，∴△BDE的周长最小值为10，∴a＝10，[2a3•a5+（3a4）2]÷a6＝（2a8+9a8）÷a6＝11a8÷a6＝11a2，当a＝10时，原式＝1100，故答案为：1100．【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，准确的化简代数式并代入求值是解题的关键．5．（2022秋•明水县校级期末）如图，在等边△ABC中，E为AC边的中点，AD垂直平分BC，P是AD上的动点．若AD＝6，则EP+CP的最小值为6．【分析】连接BE交AD于点P，连接CP，EP+CP的最小值为BE的长，求BE的长即为所求．【解答】解：连接BE交AD于点P，连接CP，∵△ABC是等边三角形，AD垂直平分BC，∴BP＝CP，∴EP+CP＝BP+CP≥BE，∴EP+CP的最小值为BE的长，∵E为AC边的中点，∴BE⊥AC，∵AD＝6，∴BE＝6，故答案为：6．【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等边三角形的性质是解题的关键．6．（2022秋•岳阳县期末）如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD＝6，点F是线段AD上的动点，则BF+EF的最小值为6．【分析】连接CE，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小，证△ADB≌△CEB得CE＝AD＝6，即BF+EF 的最小值为6．【解答】解：连接CE，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），由于C和B关于AD对称，则BF+EF＝CF，∵等边△ABC中，BD＝CD，AE＝BE，∴AD⊥BC，CE⊥AB，∴AD是BC的垂直平分线（三线合一），∴CF＝BF，即BF+EF＝CF+EF＝CE，∵等边△ABC中，AE＝BE，∴CE⊥AB，∴BF+EF＝CE时最小，∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADB＝∠CEB＝90°，在△ADB和△CEB中，，∴△ADB≌△CEB（AAS），∴CE＝AD＝6，即BF+EF的最小值为6，故答案为：6．【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，涉及到等边三角形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点的综合运用．7．（2022秋•滨城区校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝115°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD 上分别找一个点M，N使△AMN的周长最小，则∠AMN+∠ANM＝130°．【分析】要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″′＝65°，进而得出∠AMN+∠ANM＝2（∠AA′M+∠A″），即可得出答案．【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．∵∠DAB＝115°，∴∠AA′M+∠A″＝180°﹣∠BAD＝180°﹣100°＝65°，∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，且∠MA′A+∠MAA′＝∠AMN，∠NAD+∠A″＝∠ANM，∴∠AMN+∠ANM＝∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″＝2（∠AA′M+∠A″）＝2×65°＝130°故答案为：130°．【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键．三．解答题（共3小题）8．（2022秋•宜春期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB边的垂直平分线DE交AB于点D，若AE＝3，（1）求BC的长；（2）若点P是直线DE上的动点，直接写出PA+PC的最小值为9．【分析】（1）根据垂直平分线的性质可证△ABE为等腰三角形，由角度可证△ACE为30°直角三角形，再由线段之间的关系即可求出BC的长；（2）根据将军饮马原理即可得出PA+PC的最小值为BC的长度．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴，∵AB边的垂直平分线交AB于点D，∴BE＝AE＝3，∴∠BAE＝∠B＝30°，∴∠CAE＝∠BAC﹣∠BAE＝120°﹣30°＝90°，在Rt△CAE中，∠C＝30°，∴CE＝2AE＝6，∴BC＝BE+CE＝3+6＝9；（2）如图，取点A关于直线DE的对称点，即点B，∵PA＝PB，∴PA+PC＝PB+PC，根据两点之间线段最短，则BC即为PA+PC的最小值，最小值为9．【点评】本题考查了图形的轴对称，相关知识点有：垂直平分线的性质、将军饮马等，轴对称性质的充分利用是解题关键．9．（2022秋•新华区校级期末）如图所示．（1）作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；（2）在x轴上确定一点P，使得PA+PC最小；（3）求出△ABC的面积．【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．（2）过x轴作点A的对称点A'，连接A'C，与x轴交于点P，此时点P即为所求．（3）利用割补法求三角形的面积即可．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．（2）如图，点P即为所求．＝3×3﹣﹣﹣＝．（3）S△ABC∴△ABC的面积为．【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．10．（2022秋•金牛区校级期末）已知A（1，4），B（2，0），C（5，2）．（1）在如图所示的平面直角坐标系中描出点A，B，C，并画出△ABC；（2）画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'；（3）点P在x轴上，并且使得AP+PC的值最小，请标出点P位置并写出最小值．【分析】（1）根据点的坐标确定点的位置，作图即可．（2）根据轴对称的性质作图即可．（3）作点A关于x轴的对称点A''，连接A''C，交x轴于点P，连接AP，此时AP+PC的值最小，利用勾股定理求出A''C的值即可得出答案．【解答】解：（1）如图，△ABC即为所求．（2）如图，△A'B'C'即为所求．（3）如图，点P即为所求．由勾股定理得A''C＝＝．∴AP+PC的最小值为．【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题、勾股定理，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．。

中考复习《轴对称》之“将军饮马”问题

《轴对称》之“将军饮马”问题“将军饮马”的起源:早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B 开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．而从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．【图示】【分析】我们把俯视图视角的问题抽象化，数学化，将河流看作一条直线l，军营看作一个点，转化为一个路程之和的最短问题．即如下图：直线同侧有两点A，B，在直线上选取一点C，使得AC＋BC最短．在思考这个问题之前，我们先来回忆下初一上学期中，涉及线段最短的两个重要结论：1、两点之间，线段最短．2、垂线段最短．请各位同学务必记住，初中阶段的几何最值问题，最后几乎都可以转化为通过这两个结论来求得．如果“将军饮马”问题不能很快回答，那么我们先看这个问题，假如军营A，B在河的两岸，那么这个点C在哪呢？很简单，连接AB，与直线l的交点即为点C．理由，两点之间，线段最短．(当然也可以用三角形一边小于两边之和)那么回到原先的问题，即军营A，B在河的同侧，该如何思考就不难了．根据线段对称性，只需作点A关于直线l的对称点A’，连接A’B，与直线l的交点即为点C．【解答】如图【变式1】若将军骑马从军营出发，先骑马去草地边吃草，再牵马去河边喝水，最后回到军营，问：这位将军怎样走路程最短？【图示】【分析】我们同样把这个问题转化为熟悉的数学问题，把军营看作一个点，而把草地边和河边看作两条直线，当然在图示中，这两条直线相交，形成了一个角．问题即转化为，如下图：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得△BAC周长最短．若点C位置确定，要求AB＋BC最短，同学们肯定已经知道，作点A 关于OM的对称点A’，连接A’C即可，但现在点C的位置不确定，而若点B位置确定，要求AC＋BC最短，则作点A关于ON的对称点A’’，连接A’’B即可．想到这，分别作点A关于OM，ON的对称点，问题不就迎刃而解了吗？【解答】如图，作点A关于OM的对称点A’，作点A关于ON的对称点A’’，连接A’A’’，与OM交于点B，与ON交于点C，连接AB，AC，△ABC即为所求．【变式2】若将军骑马从军营出发，先骑马去草地边吃草，再牵马去河边喝水，最后把马牵回马厩，步行回到军营，问：这位将军怎样走路程最短？【图示】【分析】首先，将问题转化为如下图：在∠MON的内部有点A和点B，在OM 上找一点C，在ON上找一点D，使得四边形ABCD周长最短．从马厩步行回军营，则必然“两点之间，线段最短”，问题转化为求AC＋CD＋DB的最小值，方法与变式2类似，过点A作OM的对称点，过点B作ON的对称点即可．【解答】如图，作点A关于OM的对称点A’，作点B关于ON的对称点B’，连接A’B’，与OM交于点C，与ON交于点D，连接AC，BD，AB，四边形ABCD即为所求．【总结&反思】我们已经知道，类似的“将军饮马”问题，最关键的就是要作对称，但怎么做，可能大家并不是十分明确，我们再来好好体会一下：首先，明确定点，定线，动点．军营，马厩，这些不动的点，即为定点．河边，草地边，这些不动的线，即为定线．河边的饮马点，草地边的吃草点等，这些不确定的点，即为动点．1．必然是作定点关于定线的对称点！2．作的次数需要看动点个数！有几个动点在哪些定线上，那么相应的定点就要做关于这些定线的对称点．原题，只要在一条定线(河边)上找一个动点(饮马点)，那只需作定点(军营A)关于定线(河边)的一个对称点．变式1，要在两条定线(河边)(草地边)找两个动点(饮马点)(吃草点)，则需要作作定点(军营)关于定线(河边) (草地边)的两个对称点，即两次．变式2，要在两条定线(河边)(草地边)找两个动点(饮马点)(吃草点)，则需要作作定点(军营)关于定线(河边)的对称点与定点(马厩) 关于定线(草地边)的对称点，也是2个，即2次．3．作完对称点如何连接也需看作对称次数！1. 原题，把对称点直接连接另一个定点(军营B)，则连线与定线(河边)上的交点，即为动点(饮马点)．2. 变式1，把两个对称点连接，与定线(河边)(草地边)上的交点即为动点(饮马点)(吃草点)，分别与定点(军营A)相连．3. 变式2，把两个对称点连接，与定线(河边)(草地边)上的交点即为动点(饮马点)(吃草点)，分别与定点(军营)(马厩)相连．如果用口诀来总结，那就是：定点定线作对称，次数就看动点数．一次对称直连定，两次对称先相连．【练习】如图，黑、白两球分别位于长方形台球桌面OMCN上的A、B两点的位置．（1）怎样撞击白球，使白球A碰撞球桌边OM后，反弹击中黑球？（2）怎样撞击白球，使白球A依次碰撞球桌边OM、ON后，反弹击中黑球？。

将军饮马问题(讲)

将军饮马问题类型一、基本模式类型二、轴对称变换的应用（将军饮马问题）2、如图所示，如果将军从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q，然后立即返回校场N．请为将军重新设计一条路线(即选择点P和Q)，使得总路程MP＋PQ＋QN最短．【变式】如图所示，将军希望从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q．请为将军设计一条路线(即选择点P和Q)，使得总路程MP＋PQ最短．3、将军要检阅一队士兵，要求(如图所示)：队伍长为a，沿河OB排开(从点P到点Q)；将军从马棚M出发到达队头P，从P至Q检阅队伍后再赶到校场N．请问：在什么位置列队(即选择点P和Q)，可以使得将军走的总路程MP＋PQ＋QN最短?4. 如图，点M在锐角∠AOB内部，在OB边上求作一点P，使点P到点M的距离与点P到OA 边的距离之和最小5已知∠MON内有一点P，P关于OM，ON的对称点分别是和，分别交OM, ON于点A、B，已知＝15，则△PAB 的周长为（）A. 15 B 7.5 C. 10 D. 246. 已知∠AOB，试在∠AOB内确定一点P，如图，使P到OA、OB的距离相等，并且到M、N 两点的距离也相等.7、已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，求∠APB的度数.8. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C.若P是BC 边上一动点，则DP长的最小值为______.练习1、已知点A在直线l外，点P为直线l上的一个动点，探究是否存在一个定点B，当点P在直线l上运动时，点P与A、B两点的距离总相等，如果存在，请作出定点B；若不存在，请说明理由．2、如图，在公路a 的同旁有两个仓库A 、B ，现需要建一货物中转站，要求到A 、B 两仓库的距离和最短，这个中转站M 应建在公路旁的哪个位置比较合理？aB3、已知：A 、B 两点在直线l 的同侧，在l 上求作一点M ，使得||AM BM -最小．4、如图，正方形ABCD 中，8AB =，M 是DC 上的一点，且2DM =，N 是AC 上的一动点，求DN MN +的最小值与最大值．NMDCB A5、如图，已知∠AOB 内有一点P ，试分别在边OA 和OB 上各找一点E 、F ，使得△PEF 的周长最小。

中考复习《轴对称》之“将军饮马”问题

《轴对称》之“将军饮马”问题“将军饮马”的起源:早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B 开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．而从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．【图示】【分析】我们把俯视图视角的问题抽象化，数学化，将河流看作一条直线l，军营看作一个点，转化为一个路程之和的最短问题．即如下图：直线同侧有两点A，B，在直线上选取一点C，使得AC＋BC最短．在思考这个问题之前，我们先来回忆下初一上学期中，涉及线段最短的两个重要结论：1、两点之间，线段最短．2、垂线段最短．请各位同学务必记住，初中阶段的几何最值问题，最后几乎都可以转化为通过这两个结论来求得．如果“将军饮马”问题不能很快回答，那么我们先看这个问题，假如军营A，B在河的两岸，那么这个点C在哪呢？很简单，连接AB，与直线l的交点即为点C．理由，两点之间，线段最短．(当然也可以用三角形一边小于两边之和)那么回到原先的问题，即军营A，B在河的同侧，该如何思考就不难了．根据线段对称性，只需作点A关于直线l的对称点A’，连接A’B，与直线l的交点即为点C．【解答】如图【变式1】若将军骑马从军营出发，先骑马去草地边吃草，再牵马去河边喝水，最后回到军营，问：这位将军怎样走路程最短？【图示】【分析】我们同样把这个问题转化为熟悉的数学问题，把军营看作一个点，而把草地边和河边看作两条直线，当然在图示中，这两条直线相交，形成了一个角．问题即转化为，如下图：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得△BAC周长最短．若点C位置确定，要求AB＋BC最短，同学们肯定已经知道，作点A 关于OM的对称点A’，连接A’C即可，但现在点C的位置不确定，而若点B位置确定，要求AC＋BC最短，则作点A关于ON的对称点A’’，连接A’’B即可．想到这，分别作点A关于OM，ON的对称点，问题不就迎刃而解了吗？【解答】如图，作点A关于OM的对称点A’，作点A关于ON的对称点A’’，连接A’A’’，与OM交于点B，与ON交于点C，连接AB，AC，△ABC即为所求．【变式2】若将军骑马从军营出发，先骑马去草地边吃草，再牵马去河边喝水，最后把马牵回马厩，步行回到军营，问：这位将军怎样走路程最短？【图示】【分析】首先，将问题转化为如下图：在∠MON的内部有点A和点B，在OM上找一点C，在ON上找一点D，使得四边形ABCD周长最短．从马厩步行回军营，则必然“两点之间，线段最短”，问题转化为求AC＋CD＋DB的最小值，方法与变式2类似，过点A作OM的对称点，过点B作ON的对称点即可．【解答】如图，作点A关于OM的对称点A’，作点B关于ON的对称点B’，连接A’B’，与OM交于点C，与ON交于点D，连接AC，BD，AB，四边形ABCD即为所求．【总结&反思】我们已经知道，类似的“将军饮马”问题，最关键的就是要作对称，但怎么做，可能大家并不是十分明确，我们再来好好体会一下：首先，明确定点，定线，动点．军营，马厩，这些不动的点，即为定点．河边，草地边，这些不动的线，即为定线．河边的饮马点，草地边的吃草点等，这些不确定的点，即为动点．1．必然是作定点关于定线的对称点！2．作的次数需要看动点个数！有几个动点在哪些定线上，那么相应的定点就要做关于这些定线的对称点．原题，只要在一条定线(河边)上找一个动点(饮马点)，那只需作定点(军营A)关于定线(河边)的一个对称点．变式1，要在两条定线(河边)(草地边)找两个动点(饮马点)(吃草点)，则需要作作定点(军营)关于定线(河边) (草地边)的两个对称点，即两次．变式2，要在两条定线(河边)(草地边)找两个动点(饮马点)(吃草点)，则需要作作定点(军营)关于定线(河边)的对称点与定点(马厩) 关于定线(草地边)的对称点，也是2个，即2次．3．作完对称点如何连接也需看作对称次数！1. 原题，把对称点直接连接另一个定点(军营B)，则连线与定线(河边)上的交点，即为动点(饮马点)．2. 变式1，把两个对称点连接，与定线(河边)(草地边)上的交点即为动点(饮马点)(吃草点)，分别与定点(军营A)相连．3. 变式2，把两个对称点连接，与定线(河边)(草地边)上的交点即为动点(饮马点)(吃草点)，分别与定点(军营)(马厩)相连．如果用口诀来总结，那就是：定点定线作对称，次数就看动点数．一次对称直连定，两次对称先相连．【练习】如图，黑、白两球分别位于长方形台球桌面OMCN上的A、B两点的位置．（1）怎样撞击白球，使白球A碰撞球桌边OM后，反弹击中黑球？（2）怎样撞击白球，使白球A依次碰撞球桌边OM、ON后，反弹击中黑球？。

[精选]将军饮马问题(讲)资料

类型一、基本模式类型二、轴对称变换的应用（将军饮马问题） 2、如图所示，如果将军从马棚M 出发，先赶到河 0A 上的某一位置 P ,再马上赶到河 0B 上的某一位置Q,然后立即返回校场 N.请为将军重新设计一条路线（即选择点P 和Q ）, 使得总路程M 卉PQ+ QN 最短.0B 上的某一位置 Q.请为将军设计一条路线（即选择点P 和Q ）,使得总路程 M 卉PQ 最短.3、将军要检阅一队士兵，要求（如图所示）：队伍长为a ,沿河0B 排开（从点P 到点Q ）;将军从马棚M 出发到达队头P ,从P 至Q 检阅队伍后再赶到校场 N.请问：在什么位置列队（即选择点P 和Q ）,可以使得将军走的总路程皿卉PQ^ QN 最短？将军饮马问题【变式】如图所示，将军希望从马棚4.如图，点边的距离之和最小，再马上赶到河P 至 U 0A5已知/ MON内有一点P, P关于OM ON的对称点分别是召和R, 隅分别交OM, ON于点A B,已知=15,则厶PAB的周长为（A. 15 B 7.5 C. 10 D. 246. 已知/ AOB试在/ AOB内确定一点P,如图，使P到OA OB的距离相等，并且到M N 两点的距离也相等•7、已知/ MON= 40 ° , P为/ MON内一定点，OM上有一点A, ON上有一点B,当△ PAB的周长取最小值时，求/ APB的度数.8. 如图，在四边形ABCD中，/ A= 90°, AD= 4,连接BD, BD丄CD / ADB=Z C.若P是BC边上一动点，贝U DP长的最小值为_______.练习1、已知点A在直线I夕卜，点P为直线I上的一个动点，探究是否存在一个定点B，当点P在直线I上运动时，点P与A、B两点的距离总相等，如果存在，请作出定点 B ;若不存在，请说明理由.A■2、如图，在公路a 的同旁有两个仓库 A 、B ，现需要建一货物中转站，要求到 A 、B 两仓库的距离和最短，这个中转站 M 应建在公路旁的哪个位置比较合理？A.■BA■----------------------------------------------------- a3、已知：A 、B 两点在直线I 的同侧，在I 上求作一点 M ，使得|AM -BM |最小.4、如图，正方形 ABCD 中，AB =8, M 是DC 上的一点，且 DM =2 , N 是AC 上的一动点，求DN MN 的最小值与最大值.A B,在坐标轴上找两点 C 、D,使得四边形ABCD 勺周长最小。

中考必会几何模型：将军饮马模型

将军饮马模型“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现．模型1：直线与两定点模型作法结论lB A当两定点A 、B 在直线l 异侧时，在直线l 上找一点P ，使P A ＋PB 最小．lPAB连接AB 交直线l 于点P ，点P即为所求作的点．P A ＋PB 的最小值为ABl AB当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使得P A ＋PB 最小．lPB'AB作点B 关于直线l 的对称点B '，连接AB '交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点．P A ＋PB 的最小值为AB 'l AB当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使得PA PB -最大．lPAB连接AB 并延长交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点．PA PB -的最大值为ABlAB当两定点A 、B 在直线l 异侧时，在直线l 上找一点P ，使得PA PB -最大．l B'AB P作点B 关于直线I 的对称点B '，连接AB '并延长交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点．PA PB -的最大值为AB 'l AB当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使得PA PB -最小．l PAB连接AB ，作AB 的垂直平分线交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点．PA PB -的最小值为0模型实例例1：如图，正方形ABCD 的面积是12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，则PD ＋PE 最小值是．EBC ADP解答：如图所示，∵点B 与点D 关于AC 对称，∴当点P 为BE 与AC 的交点时，PD ＋PE 最小，且线段BE 的长． ∵正方形ABCD 的面积为12，∴其边长为23∵△ABE 为等边三角形，∴BE ＝AB ＝23PD ＋PE 的最小值为3例2：如图，已知△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC ＝4，∠BCD ＝15°，P 为CD 上的动点，则PA PB -的最大值是多少？DPPA'B解答：如图所示，作点A 关于CD 的对称点A ′，连接A ′C ，连接A ′B 并延长交CD 于点P ，则点P 就是PA PB -的值最大时的点，PA PB -＝A ′B ．∵△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC 等于4，∴∠ACB ＝90°． ∵∠BCD ＝15°，∴∠ACD ＝75°．∵点A 、A ′关于CD 对称，∴AA ′⊥CD ，AC ＝CA ′， ∵∠ACD ＝∠DCA ′＝75°，∴∠BCA ′＝60°．∵CA ′＝AC ＝BC ＝4，∴△A ′BC 是等边三角形，∴A ′B ＝BC ＝4．∴PA PB -的最大值为4．练习1．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，D 是BC 边的中点，E 是AB 边上一动点，则EC ＋ED 的最小值是．DACB E解：解：过点C 作CO⊥AB 于O ，延长CO 到C '，使O C '=OC ，连接D C '，交AB 于E ，连接C 'B ，此时DE+CE=DE+E C '=D C '的值最小．连接B C '，由对称性可知∠C 'BE=∠CBE=45°，∴∠CB C '=90°，∴B C '⊥BC， ∠BC C '=∠B C 'C=45°，∴BC=B C '=2，∵D 是BC 边的中点，∴BD=1，根据勾股定理可得：D C '=5，故EC+ED 的最小值是5．2．如图，点C 的坐标为（3，y ），当△ABC 的周长最短时，求y 的值．xyB (2,0)A (0,3)O解：解：（1）作A 关于x=3的对称点A ′，连接A ′B 交直线x=3与点C ． ∵点A 与点A ′关于x=3对称，∴AC=A ′C ．∴AC+BC=A ′C+BC ．当点B 、C 、A ′在同一条直线上时，A ′C+BC 有最小值，即△ABC 的周长有最小值． ∵点A 与点A ′关于x=3对称，∴点A ′的坐标为（6，3）．设直线BA′的解析式y=kx+b，将点B和点A′的坐标代入得：k＝34，b＝−32．∴y=34x-32．将x=3代入函数的解析式，∴y的值为3 43．如图，正方形ABCD中，AB＝7，M是DC上的一点，且DM＝3，N是AC上的一动点，求|DN－MN|的最小值与最大值．C解：解：当ND=NM时，即N点DM的垂直平分线与AC的交点，|DN-MN|=0，因为|DN-MN|≤DM，当点N运动到C点时取等号，此时|DN-MN|=DM=3，所以|DN-MN|的最小值为0，最大值为3于D ，点C 、点D 即为所求．PB OAQ点P 、Q 在∠AOB 内部，在OB 边上找点D ，OA 边上找点C ，使得四边形PQDC周长最小．分别作点P 、Q 关于OA 、OB 的对称点P ′、Q ′，连接P ′Q ′，分别交OA 、OB 于点C 、D ，点C 、D 即为所求．PC ＋CD ＋DQ 的最小值为P ′Q ′，所以四边形PQDC 周长的最小值为PQ ＋P ′Q ′模型实例如图，∠AOB=30°，∠AOB 内有一定点P ，且10OP .在OA 上有一点Q ，OB 上一点R ．若立△PQR 周长最小，则最小周长是多少？解答如图，作点P 分别关于OA 、OB 的对称点E 、F ，连接EF ，分别交OA 、OB 于点Q 、R ，连接OE 、OF 、PE 、PF .EQ OP =，FR RP ．△PQR 的周长的最小值为EF 的长.由对称性可得∠EOQ=∠POQ ，∠FOR=∠POR ， ∠EOF=2∠AOB=60°． △EOF 是正三角形．10EF OE OP ===．即△PQR 周长最小值为10.OBAP模型2/角与定点1．已知，40MON ，P 为MON 内一定点，A 为OM 上的点，B 为ON 上的点，当△PAB 的周长取最小值时：(1)找到A 、B 点，保留作图痕迹；(2)求此时APB 等于多少度.如果∠MON =θ，∠APB 又等于多少度？ON1.解答（1）做点P 分别关于OM ON 、的对称点E F 、，连接EF 分别交OM ON 、于点A B 、．点A B 、即为所求，此时△PAB 的周长最小．（２）∵点E 与点P 关于直线OM 对称，点F 与点P 关于ON 对称， ∴∠E ＝∠APE ，∠F =∠BPF ，∠CPD =180°-∠MON =140°． ∴在△EFP 中，∠E +∠F =180°-140°=40°，∴∠CPA +∠BPD =40°．∴∠APB =100°．如果∠MON =θ， ∴∠CPD =180°-θ，∠E +∠F =θ．又∵∠PAB =2∠E ，∠PBA =2∠F∴∠PAB +∠PBA =2（∠E +∠F ）=2θ ∴∠APB =180°-2θ．ON2．如图，四边形中ABCD ，110BAD ,90BD ，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 周长最小，并求此时+AMN ANM ∠∠的度数．A DBMN2．解答如图，作点A关于BC的对称点A'，关于CD的对称点A''，连接A A'''与BC、CD的交点即为所求的点M、N．此时△AMN周长最小．∵∠BAD=110°，∴∠A'+∠A''=180°-110°=70°．由轴对称的性质得：∠A'=∠A AM'，∠A''=∠A AN''，∴∠AMN+∠ANM=2(∠A'+∠A'')=2×70°=140°．3．如图，在x轴上找一点C，在y轴上找一点D，使AD CD BC最小，并求直线CD的解析式及点C、D的坐标．yxOB(3,1)A(1,3)3．解答作点A关于y轴的对称点A'，点B关于x轴的对称点B'，连接A B''分别交x轴、y轴于点C、D，此时AD CD BC++最小．由对称性可知A'（-1,3），B'（3，-1）．易求得直线A B''的解析式为2y x=-+，即直线CD的解析式2y x=-+．当0y=时，2x=，∴点C坐标为（2,0）．当0x=时，2y=，∴点D坐标为（0,2）．4．如图，20MON，A 、B 占分别为射线OM 、ON 上两定点，且2OA ，4OB ，点P 、Q 分别为射线OM 、ON 上两动点，当P 、Q 运动时，线段AQ PQ PB 的最小值是多少？ONB4．解答作A 点关于ON 的对称点A '，点B 关于OM 的对称点B '，连接A B ''，分别交OM ON 、于点P Q 、，连接OA '、OB '．则AQ PQ PB A Q PQ PB A B ''''++=++=，此时AQ PQ PB ++最小．由对称可知，PB PB '=，AQ A Q '=，2OA OA '==，4OB OB '==，20MOB NOA MON ''∠=∠=∠=︒． 60A OB ''∠=︒．作A D '⊥OB '于点D ，在Rt △ODA'中，∴1OD =，A D '=∴413B D '=-=，A B ''=∴AQ PQ PB ++的最小值是模型3两定点一定长模型作法结论如图，在直线l 上找M 、N 两点 (M 在左)，使得AM ＋MN ＋NB 最小，且MN ＝d .将A 向右平移d 个单位到A ′，作A ′关于l 的对称点A "，连接A "B 与直线l 交于点N ，将点N 向左平移d 个单位即为M ，点M ，N 即为所求.AM ＋MN ＋NB 的最小值为A "B ＋d如图，l 1∥l 2，l 1、l 2间距离为d ，在l 1、l 2分别找M 、N 两点，使得MN ⊥l 1，且AM ＋MN ＋NB 最小．将A 向下平移d 个单位到A ，连接A ′B 交直线l 2于点N ，过点N 作MN ⊥l 1，连接AM .点M 、N 即为所求．AM ＋MN ＋NB 的最小值为A 'B ＋d .例题：在平面直角坐标系中，矩形OABC 如图所示，点A 在x 轴正半轴上，点C 在y 轴正半轴上，且OA ＝6，OC ＝4，D 为OC 中点，点E 、F 在线段OA 上，点E 在点F 左侧，EF ＝2.当四边形BDEF 的周长最小时，求点E 的坐标．ABl 2 l 1 A ′NMABl 2 l 1 BAlMNA ′A "BAld解答：如图，将点D 向右平移2个单位得到D '(2，2)，作D '关于x 轴的对称点D "(2，－2)，连接BD "交x 轴于点F ，将点F 向左平移2个单位到点E ，此时点E 和点F 为所求作的点，且四边形BDEF 周长最小. 理由：∵四边形BDEF 的周长为BD ＋DE ＋EF ＋BF ，BD 与EF 是定值. ∴BF ＋DE 最小时，四边形BDEF 周长最小， ∵BF ＋ED ＝BF ＋FD '＝BF ＋FD "＝BD "设直线BD "的解析式为y ＝kx ＋b ，把B (6，4)，D "(2，－2)代入，得6k ＋b ＝4，2k ＋b ＝－2，解得k ＝32，b ＝－5，∴直线BD "的解析式为y ＝32x －5．令y ＝0，得x ＝103，∴点F 坐标为(103，0)．∴点E 坐标为(43，0)．练习1．在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A (3，0)，B (0，4)，D 为边OB 的中点． (1)若E 为边OA 上的一个动点，求△CDE 的周长最小值；(2)若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF ＝1，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、F 的坐标．解答：(1)如图，作点D 关于x 轴的对称点D '，连接CD '与x 轴交于点E ，连接DE ，由模型可知△CDE 的周长最小．∵在矩形OACB 中，OA ＝3，OB ＝4，D 为OB 的中点， ∴D (0，2)，C (3，4)，D '(0，－2).设直线CD '为y ＝kx ＋b ，把C (3，4)，D '(0，－2)代入，得3k ＋b ＝4，b ＝－2，解得k ＝2，b ＝－2， ∴直线CD '为y ＝2x －2. 令y ＝0，得x ＝1，学如逆水行舟,不进则退 11 ∴点E 的坐标为(1，0).∴OE ＝1，AE ＝2.利用勾股定理得CD ＝13，DE ＝5，CE ＝25，∴△CDE 周长的最小值为13＋35．(2)如图，将点D 向右平移1个单位得到D '(1，2)，作D '关于x 轴的对称点D ″(1，－2)，连接CD ″交x 轴于点F ，将点F 向左平移1个单位到点E ，此时点E 和点F 为所求作的点，且四边形CDEF 周长最小．理由：∵四边形CDEF 的周长为CD ＋DE ＋EF ＋CF ，CD 与EF 是定值，∴DE ＋CF 最小时，四边形BDEF 周长最小，∴DE ＋CF ＝D 'F ＋CF ＝FD ″＋CF ＝CD ″，设直线CD ″的解析式为y ＝kx ＋b ，把C (3，4)，D (1，－2)代入，得3k ＋b ＝4，k ＋b ＝－2，解得k ＝3，b ＝－5．∴直线CD ″的解析式为y ＝3x －5，令y ＝0，得x ＝53，∴点F 坐标为(53，0)，∴点E 坐标为(23，0)．2．村庄A 和村庄B 位于一条小河的两侧，若河岸彼此平行，要架设一座与河岸垂直的桥，桥址应如何选择，才使A 与B 之间的距离最短？解答：设l 1和l 2为河岸，作BD ⊥l 2，取BB '等于河宽，连接AB '交l 1于C 1，作C 1C 2⊥l 2于C 2，则A →C 1→C 2→B 为最短路线，即A 与B 之间的距离最短.为大家整理的资料供大家学习参考，希望对大家能有帮助，非常感谢大家的下载，以后会为大家提供更多实用的资料。

《轴对称》之“将军饮马”问题(二)

《轴对称》之“将军饮马”问题（二）【变式3】若将军骑马从军营出发，先骑马去草地边吃草，再牵马去河边喝水，最后将马送入河边上的马厩，问：马厩建在何处，可使将军走的路程最短？【图示】【分析】我们同样把这个问题转化为熟悉的数学问题，把军营看作一个点，而把草地边和河边看作两条直线．问题即转化为，如下图：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得AB＋BC最短．首先明确各点，线的属性．点A是定点，OM，ON是定线，点B，点C是OM，ON上要找的点，是动点．第一步，显然用“化折为直”，作点A关于OM的对称点A’，连接A’C．但是点C的位置并不确定，如何保证A’C最短呢？此时问题转化为射线ON外一点A’到ON上一点C之间距离的最小值．根据“垂线段最短”，则A’C⊥ON时最短！【解答】【变式4】若将军从军营A出发去河边饮马，之后牵马在河岸散步200米，再骑回军营B，问从河边何处开始散步，可使整个行程最短？【图示】蓝色部分即为散步所走的200米．【分析】我们继续把这个问题转化为熟悉的数学问题，把军营A与军营B看作2个定点，把河看作一条直线．问题即转化为，如下图：在直线l上找两个点C，D，使得AC＋BD最短．本题若作点A关于l的对称点A’，连接A’C和BD，会出现两线段不共线的问题，怎么办？我们能不能把BD进行相应的平移，使得与A’C共线？完全可以，把BD沿着DC方向向左平移200米，问题即迎刃而解．或者我们可以这么想象，把河边散步的200米，挪至回到军营B前，沿着与河平行的方向向右散步200米，问题也可解决．【解答】如图，作点A关于l的对称点A’，将点B向左平移CD的长度到点B’(实际为200米)，连接A’B’，交直线l于点C，将点C向右平移CD的长度到点D，点C，点D即为所求．【变式5】将军每日需骑马从军营出发，去河岸对侧的瞭望台观察敌情，已知河流的宽度为30米，请问，在何地修浮桥，可使得将军每日的行程最短？【图示】灰紫色部分即为长30米的浮桥．【分析】我们还是把这个问题转化为熟悉的数学问题，把军营与瞭望台看作间隔30米的2条直线外侧的定点．问题即转化为，如下图：在直线l1上找一个点C，直线l2上找一个点D，使得AC＋BD＋CD最短．由于CD长度确定，则题目转化为求AC＋BD最短，考虑在河的两侧，要使线段之和最短，则2条线段在同一直线上时即可．但这里并不共线，因此继续考虑平移．我们可以想成从军营出发先“渡河”，即沿CD方向行30米至点A’，再考虑“两点之间，线段最短”．【解答】如图，将点A沿CD方向，平移CD长度(实际30米)至点A’，连接A’B，交l2于点D，过点作DC⊥l2于点C，连接AC．则桥CD即为所求．此时AC＝ A’D，而A’D＋DB＝A’B，最短．【总结&反思】这次的3道题，有涉及到沿河边散步的问题，有造桥选址问题，但无外乎涉及到一个“平移”的思想方法，结合“两点之间，线段最短”解决，另外，有时还需考虑“垂线段最短”．如用口诀来总结，那就是：造桥散步怎么办，想到平移就不难。

2024专题2.1轴对称---将军饮马模型-中考数学二轮复习必会几何模型剖析(全国通用)

考点3-3
D
【例3-2】如图,菱形ABCD中,AB=4,∠BAD=60º,M,N
2 5
是AC上两动点,且MN=2,则BM+BN的最小值为_____.
M
A
C
M
N
N
B
B´
课堂小结
将军饮马
知识梳理
将军饮马：这个将军饮的不是马,是数学！
解题依据：两点间线段最短；点到直线的垂直距离最短；翻折,对称.
解题策略：对称、翻折→化同为异；化异为同；化折为直.
的最小值为_____.
D
A
H
B
E
G´
G
F C
M
强化训练
将军饮马
提升能力
5.如图,在边长为1的菱形ABCD中,∠ABC=60º,将△ABD沿射线BD的方向平移
得到△A´B´D´,分别连接A´C,A´D,B´C,则A´C+B´C的最小值为_____.
3
A´´
造桥选址---一定两动(定长)
A´
A
B
B´
D´
B＇
将军沿A-P-B走路程最短.
P1A+P1B=_______
P1A+P1B´ ＞AB´
图形特征：两定一动；
适用模型：将军饮马；
N 基本策略：同侧化异侧、折线化直线；
基本方法：一个动点一条河,一次对称跑不脱；
基本原理：两点之间线段最短.
两点之间线段最短
模型分析
考点3-1
派生知识
核心知识
C
A
10
M(8/3,0)N(4,1)
A.如果动点G走过的路程最短为____,则点M、N的坐标为______________.

轴对称及将军饮马问题.教师版

轴对称及“将军饮马”问题知识点睛轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴．这时我们就说这个图形关于这条直线(或轴)对称．如下图，ABC 是轴对称图形．两个图形轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就是说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．如下图，ABC 与'''A B C 关于直线l 对称，l 叫做对称轴．A 和'A ，B 和'B ，C 和'C 是对称点．轴对称图形和两个图形轴对称的区别和联系：对称轴的性质：对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．即：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．如图，直线l 经过线段AB 的中点O ，并且垂直于线段AB ，则直线l 就是线段AB 的垂直平分线．线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．轴对称图形两个图形轴对称区别图形的个数1个图形2个图形对称轴的条数一条或多条只有1条联系二者都的关于对称轴对称的如图，点P是线段AB垂直平分线上的点，则PA PB．线段垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．成轴对称的两个图形的对称轴的画法：如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．成轴对称的两个图形的主要性质：①成轴对称的两个图形全等②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点连线的垂直平分线轴对称变换的方法应用：轴对称变换是通过作图形关于一直线的对称图形的手段，把图形中的某一图形对称地移动到一个新的位置上，使图形中的分散条件和结论有机地联系起来．常用的辅助线有角平分线条件时的各种辅助线，本质上都是对称变换的思想．轴对称变换应用时有下面两种情况：⑴图形中有轴对称图形条件时，可考虑用此变换；⑵图形中有垂线条件时，可考虑用此变换．重、难点重点：理解轴对称的概念，并且熟悉掌握轴对称的性质以及作图，同时理解轴对称变换的概念，能很好的做出轴对称变换的图形，并能很好的利用轴对称的知识来解决题目难点：运用轴对称变换来解决实际题目，以及轴对称的生活中的实际运用例题精讲板块一、轴对称与轴对称图形的认识【例1】下列”QQ表情”中属于轴对称图形的是( )A．B．C．D．【解析】C【巩固】(08年广东省)下列图形中是轴对称图形的是 ( )【解析】C【例2】(09湖南株洲)下列四个图形中，不是轴对称图形的是( )A．B．C．D．【解析】Ｄ【巩固】(2004泸州)下列各种图形不是轴对称图形的是( )【解析】C．【巩固】(2003吉林)下面四个图形中，从几何图形的性质考虑，哪一个与其他三个不同？请指出这个图形，并简述你的理由．答：图形__________；理由是__________．【解析】②;四个图形中，只有图②不是轴对称图形．【例3】如图，它们都是对称图形，请观察并指出哪些是轴对称图形，哪些图形成轴对称．【解析】轴对称图形：1，3，4，6，8，10成轴对称的图形有：2，5，7，9【例4】(09黑龙江哈尔滨)下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )【解析】D【巩固】(2004北京)下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A．等腰三角形B．等腰梯形C．正方形D．平行四边形【解析】C【例5】(2003四川)我国主要银行的商标设计基本上都融入了中国古代钱币的图案，下列我国四大银行的商标图案中是轴对称图形而不是中心对称图形的是( )【解析】C【例6】(2003北京市海淀区)羊年话”羊”字象征着美好和吉祥，?下列图案都与”羊”字有关，其中是轴对称图形的个数是( )A．1；B．2；B．3；D．4【解析】B【巩固】⑴(08山东省青岛市)下列图形中，轴对称图形的个数是( )A．1B．2C．3D．4⑵如图所示的图案是我国几家银行标志，其中轴对称图形有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】⑴B；⑵Ｃ【例7】(上海)正六边形是轴对称图形，它有条对称轴．【解析】6．点拨：可以画出例图进行分析，明确正n边形有n条对称轴．【巩固】(2003河北省)下列图案中，有且只有三条对称轴的是( )【解析】D【巩固】⑴(08苏州)下列图形中，轴对称图形．．．．．的是⑵下列图形中对称轴最多的是( )A．圆B．正方形C．等腰三角形D．线段【解析】⑴D；⑵Ａ【例8】作出下图所示的图形的对称轴：【解析】答案见右上图．【巩固】作出下图所示的成轴对称图形的对称轴：【解析】答案见右上图．【例9】求作线段AB的垂直平分线BA【解析】略【例10】已知：如图，ABC及两点M、N．求作：点P，使得PM PN，且P点到ABC两边所在的直线的距离相等．NM CB A【解析】因为是两边所在的直线，所以有两个答案．答案一：ABC 内角平分线与线段MN 的垂直平分线的交点PNMCBA答案二：ABC 外角平分线与线段MN 的垂直平分线的交点CPBANM【例11】(2003长沙)如图，请根据小文在镜中的像写出他的运动衣上的实际号码：_______．【解析】108【例12】(2004河南)如图，直线l 是四边形ABCD 的对称轴，若AB CD ，有下面的结论：①AB CD ∥②AC BD ③AO OC ④AB BC ，其中正确的结论有_______．lODCBA【解析】①②③【巩固】(2003安徽)如图，l 是四边形ABCD 的对称轴，如果AD BC ∥，有下列结论：①AB CD ∥②ABBC③AB BC ④AO OC ．其中正确的结论是_________．(?把你认为正确的结论的序号都填上)l ODCBA【解析】①、②、④【例13】(2003南宁市)尺规：把右图(实线部分)补成以虚线L 为对称轴的轴对称图形，你会得到一只美丽蝴蝶的图案(不用写作法、保留作图痕迹)．【解析】答案见右上图．板块二、轴对称的应用【例14】如图，ABC 和'''A B C 关于直线l 对称，且90B ，''6cm A B ，求'B 的度数和AB 的长．LC'B'A'CBA【解析】∵ABC 和'''A B C 关于直线l 成轴对称∴'B B ，''AB A B ；又∵90B ，''6cm A B ∴'90B ，6cm AB ．【例15】如图，有一块三角形田地，10cm ABAC，作AB 的垂直平分线ED 交AC 于D ，交AB 于E ，量得BDC 的周长为17m ，请你替测量人员计算BC 的长．【解析】∵ED 垂直平分AB∴DA DB ，∵17m BD DC BC ，∴17mAD DCBC ∵10m AC ，∴7m BC．【巩固】如图，ABC 中，BC 边的垂直平分线DE 交BC 于D ，交AC 于E ，5BE 厘米，BCE 的周长是18厘米，则BC 等于多少厘米？EDCBA【解析】∵ED 垂直平分BC∴EB EC ，∵BEC 的周长为18cm ∴8cm BC ．【例16】如图，已知40AOB，CD为OA的垂直平分线，求ACB的度数．O DC BA【解析】∵CD垂直平分OA∴CO CA∴O A∵40O∴40A∴80ACB A O．【例17】(2004陕西)已知：如图，在ABC中，2AB BC，120ABC，BC平行于x轴，点B?的坐标是(3,1)．⑴画出ABC关于y轴对称的'''A B C；⑵求以点A、B、'B、'A为顶点的四边形的面积．【解析】⑴画图正确⑵过A点作AD BC，交BC的延长线于点D，则18060ABD ABC，在Rt ABD中，BD＝AB·cos∠ABD＝2×12＝1AD ＝AB ·sin ∠ABD =2×32＝3又知点B 的坐标为(-3，1) 可得点A 的坐标为413，∵'AA y 轴，'BB y 轴∴''AA BB ∥∵AB 与''A B 不平行∴以点''A B B A ，，，为顶点的四边形是等腰梯形由点A 、B 的坐标可求得'248'236AA BB ，∴梯形''ABB A 的面积＝12(AA ′+BB ′)·AD ＝12×(8+6)×3=73．板块三、轴对称在几何最值问题中的应用【例18】已知点A 在直线l 外，点P 为直线l 上的一个动点，探究是否存在一个定点B ，当点P 在直线l 上运动时，点P 与A 、B 两点的距离总相等，如果存在，请作出定点B ；若不存在，请说明理由．【解析】点B 与点A 重合，或者点B 是点A 关于直线l 的对称点．【例19】如图，在公路a 的同旁有两个仓库A 、B ，现需要建一货物中转站，要求到A 、B 两仓库的距离和最短，这个中转站M 应建在公路旁的哪个位置比较合理？aBA【解析】答案见右上图．【巩固】若此题改成，在a 上找到M 、N 两点，且10MN ，M 在N 的左边，使四边形ABMN 的周长最短．aBABNMB''AaB ‘【解析】见右上图．【例20】(”五羊杯”邀请赛试题)如图，45AOB ，角内有点P ，在角的两边有两点Q 、R (均不同于O点)，求作Q 、R ，使得PQR 的周长的最小．POBARQPOBA【解析】见右上图．【巩固】如图，M 、N 为ABC 的边AC 、BC 上的两个定点，在AB 上求一点P ，使PMN 的周长最短．NMCBA【解析】见右上图．【例21】(2000年全国数学联赛)如图，设正ABC 的边长为2，M 是AB 边上的中点，P 是BC 边上的任意一点，PAPM 的最大值和最小值分别记为s 和t ．求22st 的值．MPCBAM'MPCBA【解析】作点M 关于BC 的对称点'M ，连接'AM 、'PM ．由点M 、'M 关于BC 对称可知，'PM PM ．故''PA PM PA PM AM ≥当且仅当A 、P 、'M 共线时，等号成立，故22(')7tAM ．另外两个临界位置在点B 和点C 处．当点P 位于点C 处时，23PA PMAC CM ；当点P 位于点B 处时，3PA PMAB BM．故22(23)743s，2243st．本题也可作点A 关于BC 的对称点'A ，连接'A M 、'PA ．【例22】已知如图，点M 在锐角AOB 的内部，在OB 边上求作一点P ，使点P 到点M 的距离与点P 到OA的边的距离和最小．PM'MOBAM OBA【解析】见右上图．【例23】已知：A 、B 两点在直线l 的同侧，在l 上求作一点M ，使得||AMBM 最小．【解析】见右上图．【巩固】已知：A 、B 两点在直线l 的同侧，在l 上求作一点M ，使得||BM AM最大．【解析】见右上图．【例24】(07年三帆中学期中试题)如图，正方形ABCD 中，8AB，M 是DC 上的一点，且2DM，N 是AC 上的一动点，求DNMN 的最小值与最大值．NMDC B ANMD CB A【解析】找点D 关于AC 的对称点，由正方形的性质可知，B 就是点D 关于AC 的对称点，连接BN 、BM ，由DN MN BN MN BM 可知，当且仅当B 、N 、M 三点共线时，DN MN 的值最小，该最小值为226810．当点N 在AC 上移动时，有三个特殊的位置我们要考察：BM 与AC 的交点，即DN MN 取最小值时；当点N 位于点A 时，8217DN MNADAM；当点N 位于点C 时，8614DNMN CD CM ．故DN MN 的最大值为8217．【巩固】例题中的条件不变，求DN MN 的最小值与最大值．【解析】当DNMN 时，DNMN 有最小值为0，此时点N 位于DM 的垂直平分线与AC 的交点处．2DNMNDM，当点N 与点C 重合时，等号成立，此时有最大值2．【巩固】(黑龙江省中考题)如图，已知正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且2DM ，N 是AC 上的一个动点，则DN MN 的最小值是MD CBA【解析】连接BM 交AC 于N ，此点即为所求．所以根据勾股定理，10DN MN．【例25】(2004郸县改编)某供电部门准备在输电主干线l 上连接一个分支线路同时向新落成的A 、B 两个居民小区送电，分支点为M ，已知居民小区A 、B 到主干线l 的距离分别为12AA 千米，12BB 千米，且114A B 千米．⑴居民小区A 、B 在主干线l 的两旁如图⑴所示，那么分支点M 在什么地方时总线路最短？最短线路的长度是多少千米？⑵如果居民小区A 、B 在主干线l 的同旁，如图⑵所示，那么分支点M 在什么地方时总线路最短？此时分支点M 与1A 距离多少千米？l (1)ABA 1B 1l (2)ABA 1B 1Ml A 1ABB 1Ml AB A 1B 1B 2【解析】⑴连结AB ，AB 与l 的交点就是所求的分支点M ，分支点开在此处总线路最短，如图，因为1190BB M AA M ，11BMB AMA ．所以11B BM A AM ≌．所以12A M．由勾股定理，得22AMBM，42ABAMBM，所以分支点M 在线段11A B 上距A 点22千米处，最短线段的长度为42千米；⑵如图，作B 点关于直线l 的对称点2B ，连结2AB 交直线l 于点M ，此处即为分支点，由图可知，1A M 的长度为2千米．点拨：在解本题时，应注意线段最短，在第⑵问中也可以先画A 点的对称点A 2．【例26】(09山东临沂)如图，A ，B 是公路l (l 为东西走向)两旁的两个村庄，A 村到公路l 的距离1km AC ，B 村到公路l 的距离2km BD ，B 村在A 村的南偏东45方向上．⑴求出A ，B 两村之间的距离；⑵为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P ，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P 的位置(保留清晰的作图痕迹，简明书写作法)．【解析】⑴方法一：设AB 与CD 的交点为O ，根据题意可得45A B ．∴ACO 和BDO 都是等腰直角三角形．∴2AO，22BO．∴A B ，两村的距离为22232kmABAOBO方法二：过点B 作直线l 的平行线交AC 的延长线于E ．易证四边形CDBE 是矩形，∴2CE BD ．在Rt AEB 中，由45A ，可得3BE EA ．323332kmAB ∴A B ，两村的距离为32km ．⑵作图正确，痕迹清晰．作法：①分别以点A B ，为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧交于两点M ，N ，作直线MN ；②直线MN 交l 于点P ，点P 即为所求．家庭作业【习题1】(08苏州)下列图形中，轴对称图形．．．．．的是BACDlN MOP北东BACDl【解析】D【习题2】⑴(09湖南株洲)下列四个图形中，不是轴对称图形的是( )A．B．C．D．⑵(08山东烟台)下列交通标志中，不是轴对称图形的是( )⑶(08年广东省)下列图形中是轴对称图形的是 ( )【解析】⑴Ｄ；⑵Ｃ；⑶Ｃ．【习题3】如图，ABC中，90A，BD为ABC的平分线，DE BC，E是BC的中点，求C的度数．ED CBA【解析】∵BD平分ABC∴ABD EBD∵DE垂直平分BC∴BD CD，DBE C∴ABD DBE C∵90A∴30ABD DBE C．【习题4】(四川省竞赛题)如图，在等腰Rt ABC中，3CA CB，E的BC上一点，满足2BE，在斜边AB 上求作一点P使得PC PE长度之和最小．PE'ECBAE PC BA【解析】见右上图．【习题5】在正方形ABCD 中，E 在BC 上，2BE，1CE ，P 在BD 上，求PE 和PC 的长度之和的最小值．E PDC B AE ‘E PDCB A【解析】当'E 、P 、C 三点共线时，PE PC 有最小值13．备选【备选1】(2004天津)在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )【解析】C【备选2】判断下列图形(图)是否为轴对称图形？如果是，说出它有几条对称轴．⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻⑼【解析】是轴对称图形的有：⑵，⑷，⑹，⑺，⑼；分别有1条，1条，4条，1条，2条对称轴．【备选3】(2008年荆门市中考题)如图，菱形ABCD 的两条对角线分别长6和8，点M 、N 分别是变AB 、BC的中点，在对角线AC 求作一点P 使得PM PN 的值最小．PNMDCBAN'ABC DMNP【解析】见右上图．。

北师大版数学七年级下册第五章生活中的轴对称轴对称的应用将军饮马中的木兰辞问题优秀教学案例

3.学生能够掌握轴对称的基本性质，了解轴对称在数学和其他学科中的应用。
（二）过程与方法
1.学生.学生在解决将军饮马和木兰辞问题的过程中，学会运用数学建模的方法，提高他们的问题解决能力。
3.学生通过合作交流，学会分享思路，培养团队协作能力和沟通能力。
北师大版数学七年级下册第五章生活中的轴对称轴对称的应用将军饮马中的木兰辞问题优秀教学案例
一、案例背景
北师大版数学七年级下册第五章“生活中的轴对称”是学生从理论角度认识和理解轴对称现象的重要阶段。这一章节内容与现实生活紧密相连，学生通过学习能够更好地体会数学在生活中的应用。而“将军饮马中的木兰辞问题”则是本章的一个经典应用题，它既能够激发学生对数学问题的兴趣，又能让学生在解决实际问题的过程中深化对轴对称知识的理解。
2.学生分组讨论，教师巡回指导，给予必要的支持和帮助。
3.小组代表分享讨论成果，大家共同总结轴对称在生活中的应用。
（四）总结归纳
1.教师引导学生总结本节课所学内容，包括轴对称的定义、性质和应用。
2.学生通过总结，巩固所学知识，提高对轴对称的理解。
3.教师强调轴对称在实际生活中的重要性，激发学生学习的积极性。
（五）作业小结
1.布置作业：要求学生结合生活中的实例，运用轴对称知识解决问题。
2.学生完成作业，教师及时批改，给予评价和建议。
3.通过作业反馈，了解学生对课堂所学知识的掌握程度，为下一步教学提供参考。
五、教学反思
本节课通过导入、讲授、讨论、总结和作业等环节，引导学生学习轴对称知识，培养学生的问题解决能力。在教学过程中，注重激发学生的学习兴趣，提高他们的观察能力和抽象思维能力。同时，注重小组合作，培养学生的团队协作能力和沟通能力。通过本节课的教学，学生对轴对称有了更深入的理解，能够运用所学知识解决实际问题。但在教学过程中，也发现部分学生对轴对称的判断方法掌握不够扎实，需要在今后的教学中加强巩固。总体来说，本节课达到了预期的教学目标，取得了较好的教学效果。

初中数学北师大七年级下册生活中的轴对称-“将军饮马”问题PPT

变式：若△PMN的最小值是5cm,OP=5cm,求∠AOB=______°
类型3：两线两点问题
例3.两个定点A、B，两条定直线m、n，在直线m、n上分别找点P、Q，使 PA+PQ+QB最小
(一)两个定点A、B在两条定直线m、n的外侧
(二)两定点A、B，一个在两直线m、n外侧，一个在两直线m、n内侧
为了解决“将军饮马”问题，我们先看下面的问题。类型1：两点一线问题

(一)点A、B在直线m的异侧，在直线 m上，求一点P，使PA+PB最小
(二)点A、B在直线m的同侧，在直线m上，求一点P，使PA+PB最小
方法点拨：作A关于直线m的对称点A’(做B的对称点也一样)，则将同侧的两点A、B转化到了异侧两点A’、B。此时，连接A’B与直线m交于点P，即为所求。综上，我们可知“将军饮马”问题转化为对称点，则问题就轻松解决了。
故事引入
从“将军饮马”说起话说在古罗马时代，在亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名
叫海伦。一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题:将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧B 地开会，应该怎样走才能使路程最近?从此，这个被称为“将军饮马” 的问题广泛流传。
这个问题的解决并不难，据说海伦略作思考就解决了它。
类型2：两线一点问题
例2.已知点A位于直线m、n的内侧，在直线m、n上分别求点P、Q，使得点 △APQ周长最短。
方法点拨： ①作点A关于直线n的对称点A';作点A关于直线m的对称点A''； ②连接A'A'',，分别与直线m与直线n交于点P、Q; ③此时PA+PQ+QB最小。

将军饮马问题(解析版)

将军饮马问题模型的概述：唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边让战马饮水后再到B 点宿营。

问如何行走才能使总的路程最短。

模型一(两点在河的异侧)：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边让战马饮水后再到B 点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离。

方法：如右图，连接AB，与线段L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长。

模型二(两点在河的同侧)：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，需先走到河边让战马饮水后再到B点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离。

方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B'，连接AB',与直线L的交点即为所求的渡河点，最短距离为线段AB'的长。

模型三：如图，将军同部队行驶至P处，准备在此驻扎，但有哨兵发现前方为两河AB、BC的交汇处，为防止敌军在对岸埋伏需派侦察兵到河边观察，再返回P处向将军汇报情况，问侦察兵在AB、BC何处侦查才能最快完成任务并求最短距离。

数学描述：如图在直线AB、BC上分别找点M、N，使得∆PMN周长最小。

方法：如右图，分别作点P关于直线AB、BC的对称点P'、P''，连接P'P''，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段P'P''的长。

模型四如图，深夜为防止敌军在对岸埋伏，将军又派一队侦察兵到河边观察，并叮嘱观察之后先去存粮位置点Q处查看再返回P处向将军汇报情况，问侦察在AB、BC何处侦查才能最快完成任务并求最短距离。

数学描述：如图在直线AB、BC上分别找点M、N，使得四边形PQNM周长最小。

方法：如右图，分别作点P、点Q关于直线AB、BC的对称点P'、Q'，连接P'Q'，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段(PQ+P'Q')的长。