人教A版高中数学必修五1.1 正弦定理和余弦定理

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1.1 正弦定理和余弦定理

一、填空题

1．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是________． 解析 由题意和正弦定理，得a 2≤b 2＋c 2－bc ，b 2＋c 2－a 2≥bc ，

cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥12，所以0＜A ≤π3.

答案 ⎝

⎛

⎦⎥⎤0，π3

2．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为________．

解析 由(a ＋b )2－c 2＝4及余弦定理，

得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 60°＝(a ＋b )2－3ab ，所以ab ＝4

3.

答案

43

3．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π

3，则a ＝________.

解析 由正弦定理，有

3sin

2π3

＝1sin B ， 即sin B ＝1

2

.又C 为钝角，

所以B 必为锐角，所以B ＝π6，所以A ＝π

6.故a

＝b ＝1.

答案 1

4.在△ABC 中,已知5210a c A =,=,=30,则B 等于________.

解析 根据正弦定理sin sin a c A C =,得sin 1

102sin 2252

c A C a ⨯==

=. ∴C=45或C=135.当C=45时,B=105; 当C=135时,B=15. 答案 105或15

5．如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C ＝________.

解析 设AB ＝a ，∴BD ＝

2

3

a ， BC ＝2BD ＝

4

3

a ， cos A ＝AB 2＋AD 2－BD 22AB ·AD ＝2a 2

－43a

22a 2＝1

3

∴sin A ＝1－cos 2A ＝22

3

由正弦定理知sin C ＝AB BC ·sin A ＝34×223＝66

. 答案 6

6

6．在△ABC 中，若S △ABC ＝1

4

(a 2＋b 2－c 2)，那么角C ＝________.

解析 根据三角形面积公式得，S ＝12ab sin C ＝14

(a 2

＋b 2－c 2)，

∴sin C ＝a 2＋b 2－c 22ab .又由余弦定理：cos C ＝a 2＋b 2－c 2

2ab

，

∴sin C ＝cos C ，∴C ＝π

4

.

答案 π4

7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且b 2＋c 2＝bc ＋a 2，则

角A 的大小为________．

解析 由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以A ＝π

3.

答案

π

3

8．已知△ABC 中，AB ＝2，C ＝π

3，则△ABC 的周长为________(用含角A 的三角

函数表示)．

解析 由正弦定理，得△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝2sin A sin π3＋2sin B

sin

π3＋2

＝43sin A ＋43sin ⎝

⎛⎭⎪⎫2π3－A ＋2＝23sin A ＋2cos A ＋2＝4sin ⎝ ⎛

⎭⎪⎫A ＋π6＋2. 答案 4sin ⎝

⎛

⎭⎪⎫A ＋π6＋2

9．已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则 △ABC 的面积为________．

解析 不妨设A ＝120°，c ＜b ，则a ＝b ＋4，c ＝b －4，

于是由cos 120°＝

b 2＋b －2－b ＋

2

2b b －＝－12

，

解得b ＝10，S ＝1

2bc sin 120°＝15 3.

答案 15 3

10. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A 角大小为________． 解析 由a 2－b 2＝3bc ，c ＝23b ，得a 2＝7b 2，

所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 243b 2

＝32，所以A ＝π6. 答案

π

6

11.在锐角△ABC 中,BC=1,B=2A,则cos AC A

的值等于 ,AC 的取值范围

为 .

解析 设2A B θθ=⇒=.

由正弦定理得sin2sin AC BC θθ=, ∴122cos cos AC AC θθ=⇒=.

由锐角△ABC 得0290θ<<0⇒45θ<<, 又0<180390θ-<30⇒60θ<<,

故3045θ<<22⇒

答案 2 (23),

12．△ABC 中，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，B ＝30°，△ABC 的面积为3

2，那么b ＝________.

解析 由a ，b ，c 成等差数列，得2b ＝a ＋c . 平方得a 2＋c 2＝4b 2－2ac . 又△ABC 的面积为3

2

，且B ＝30°，

故由S △ABC ＝12ac sin B ＝12ac sin 30°＝14ac ＝3

2，

得ac ＝6，所以a 2＋c 2＝4b 2－12.由余弦定理

cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝4b 2－12－b 22×6＝b 2－44＝3

2.

解得b 2＝4＋2 3.

又因为b 为边长，故b ＝1＋ 3. 答案 1＋ 3

13．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b a ＋a b ＝6cos C ，则

tan C

tan A ＋tan C

tan B

的值是________． 解析 利用正、余弦定理将角化为边来运算，因为b a ＋a

b ＝6cos C ，

由余弦定理得a 2＋b 2ab ＝6·a 2＋b 2－c 22ab ，即a 2＋b 2

＝32

c 2.

而tan C tan A ＋tan C tan B ＝sin C cos C ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A sin A ＋cos B sin B ＝sin C cos C ·sin C

sin A sin B