人教A版高中数学必修五1.1 正弦定理和余弦定理

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1.1 正弦定理和余弦定理
一、填空题
1．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是________． 解析 由题意和正弦定理，得a 2≤b 2＋c 2－bc ，b 2＋c 2－a 2≥bc ，
cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥12，所以0＜A ≤π3.
答案 ⎝
⎛
⎦⎥⎤0，π3
2．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为________．
解析 由(a ＋b )2－c 2＝4及余弦定理，
得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 60°＝(a ＋b )2－3ab ，所以ab ＝4
3.
答案
43
3．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π
3，则a ＝________.
解析 由正弦定理，有
3sin
2π3
＝1sin B ， 即sin B ＝1
2
.又C 为钝角，
所以B 必为锐角，所以B ＝π6，所以A ＝π
6.故a
＝b ＝1.
答案 1
4.在△ABC 中,已知5210a c A =,=,=30,则B 等于________.
解析 根据正弦定理sin sin a c A C =,得sin 1
102sin 2252
c A C a ⨯==
=. ∴C=45或C=135.当C=45时,B=105; 当C=135时,B=15. 答案 105或15
5．如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C ＝________.
解析 设AB ＝a ，∴BD ＝
2
3
a ， BC ＝2BD ＝
4
3
a ， cos A ＝AB 2＋AD 2－BD 22AB ·AD ＝2a 2
－43a
22a 2＝1
3
∴sin A ＝1－cos 2A ＝22
3
由正弦定理知sin C ＝AB BC ·sin A ＝34×223＝66
. 答案 6
6
6．在△ABC 中，若S △ABC ＝1
4
(a 2＋b 2－c 2)，那么角C ＝________.
解析 根据三角形面积公式得，S ＝12ab sin C ＝14
(a 2
＋b 2－c 2)，
∴sin C ＝a 2＋b 2－c 22ab .又由余弦定理：cos C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab
，
∴sin C ＝cos C ，∴C ＝π
4
.
答案 π4
7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且b 2＋c 2＝bc ＋a 2，则
角A 的大小为________．
解析 由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以A ＝π
3.
答案
π
3
8．已知△ABC 中，AB ＝2，C ＝π
3，则△ABC 的周长为________(用含角A 的三角
函数表示)．
解析 由正弦定理，得△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝2sin A sin π3＋2sin B
sin
π3＋2
＝43sin A ＋43sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2π3－A ＋2＝23sin A ＋2cos A ＋2＝4sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫A ＋π6＋2. 答案 4sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫A ＋π6＋2
9．已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则 △ABC 的面积为________．
解析 不妨设A ＝120°，c ＜b ，则a ＝b ＋4，c ＝b －4，
于是由cos 120°＝
b 2＋b －2－b ＋
2
2b b －＝－12
，
解得b ＝10，S ＝1
2bc sin 120°＝15 3.
答案 15 3
10. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A 角大小为________． 解析 由a 2－b 2＝3bc ，c ＝23b ，得a 2＝7b 2，
所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 243b 2
＝32，所以A ＝π6. 答案
π
6
11.在锐角△ABC 中,BC=1,B=2A,则cos AC A
的值等于 ,AC 的取值范围
为 .
解析 设2A B θθ=⇒=.
由正弦定理得sin2sin AC BC θθ=, ∴122cos cos AC AC θθ=⇒=.
由锐角△ABC 得0290θ<<0⇒45θ<<, 又0<180390θ-<30⇒60θ<<,
故3045θ<<22⇒<cos 32θ<, AC=2cos θ,∴(23)AC ∈,.
答案 2 (23),
12．△ABC 中，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，B ＝30°，△ABC 的面积为3
2，那么b ＝________.
解析 由a ，b ，c 成等差数列，得2b ＝a ＋c . 平方得a 2＋c 2＝4b 2－2ac . 又△ABC 的面积为3
2
，且B ＝30°，
故由S △ABC ＝12ac sin B ＝12ac sin 30°＝14ac ＝3
2，
得ac ＝6，所以a 2＋c 2＝4b 2－12.由余弦定理
cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝4b 2－12－b 22×6＝b 2－44＝3
2.
解得b 2＝4＋2 3.
又因为b 为边长，故b ＝1＋ 3. 答案 1＋ 3
13．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b a ＋a b ＝6cos C ，则
tan C
tan A ＋tan C
tan B
的值是________． 解析 利用正、余弦定理将角化为边来运算，因为b a ＋a
b ＝6cos C ，
由余弦定理得a 2＋b 2ab ＝6·a 2＋b 2－c 22ab ，即a 2＋b 2
＝32
c 2.
而tan C tan A ＋tan C tan B ＝sin C cos C ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A sin A ＋cos B sin B ＝sin C cos C ·sin C
sin A sin B
＝c 2
ab ·a 2＋b 2－c 22ab ＝2c 2a 2＋b 2－c 2＝2c 2
32c 2－c
2
＝4.
答案 4 二、解答题
14．在△ABC 中，已知角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(a ＋b ＋c )(b ＋c －
a )＝3bc . (1)求A ；
(2)若B －C ＝90°，c ＝4，求b .(结果用根式表示)
解析 (1)由条件，得(b ＋c )2－a 2＝3bc ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，
∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1
2
.
∵0°<A <180°，∴A ＝60°. (2)由⎩⎨
⎧
B ＋
C ＝120°，B －C ＝90°
得B ＝105°，C ＝15°.
由正弦定理得b sin105°＝4sin15°，即b ＝4sin105°
sin15°
，
∴b ＝4tan75°，
∵tan75°＝tan(45°＋30°)＝1＋tan30°
1－tan30°
＝2＋3，
∴b ＝8＋4 3.
15．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝C,2b ＝3a . (1)求cos A 的值； (2)cos ⎝
⎛
⎭⎪⎫2A ＋π4的值．
解析 (1)由B ＝C,2b ＝3a ，可得c ＝b ＝
3
2
a ， 所以cos A ＝
b 2＋
c 2－a 2
2bc
＝
34a 2＋34
a 2
－a 22×32a ×3
2
a
＝13. (2)因为cos A ＝1
3，A ∈(0，π)，
所以sin A ＝1－cos 2A ＝
223，cos 2A ＝2cos 2A －1＝－7
9
，
sin2A ＝2sin A cos A ＝
42
9
. 所以cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2A ＋π4＝cos 2A cos π4－sin 2A sin π4
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
－79×22
－429×22＝－8＋7218.
16．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，b ＝2， cos C ＝1
4
.
(1)求△ABC 的周长； (2)求cos(A －C )的值．
解析 (1)因为c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－4×1
4＝4.
所以c ＝2.
所以△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5. (2)因为cos C ＝1
4，所以sin C ＝1－cos 2C ＝
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫
142＝154.
所以sin A ＝a sin C c ＝1542＝15
8.
因为a ＜c ，所以A ＜C ，故A 为锐角， 所以cos A ＝1－sin 2A ＝
1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1582＝7
8
. 所以cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝78×14＋158×154＝11
16.
17．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －a
b
.
(1)求
sin C
sin A
的值； (2)若cos B ＝1
4
，△ABC 的周长为5，求b 的长．
解析 (1)由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C (R 为△ABC 外接
圆半径)，所以
cos A －2cos C cos B ＝2c －a b ＝2sin C －sin A
sin B
，
即sin B cos A －2sin B cos C ＝2sin C cos B －sin A cos B ， 即有sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )，即sin C ＝2sin A ，所以sin C
sin A
＝2. (2)由(1)知
sin C sin A ＝2，所以有c
a
＝2，即c ＝2a ，又因为△ABC 的周长为5， 所以b ＝5－3a ，由余弦定理及cos B ＝1
4
得
b 2＝
c 2＋a 2－2ac cos B ，即(5－3a )2＝(2a )2＋a 2－4a 2×14
，解得a ＝1， 所以b ＝2.
18．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且cos 〈AB →，AC →
〉＝14.
(1)求sin 2
B ＋
C 2
＋cos 2A 的值；
(2)若a ＝4，b ＋c ＝6，且b ＜c, 求a ，c 的值． 解析 (1)sin 2
B ＋
C 2
＋cos 2A
＝1
2
[1－cos(B ＋C )]＋(2cos 2A －1) ＝1
2
(1＋cos A )＋(2cos 2A －1) ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫18－1＝－1
4
.
(2)由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即a 2＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos A ， 即16＝36－5
2
bc ，∴bc ＝8.
由⎩⎨⎧
b ＋
c ＝6，bc ＝8，b ＜c ，
可求得⎩⎨
⎧
b ＝2，
c ＝4.。