解析法求解平面汇交力系
解析法求解平面汇交力系
解析法求解平面汇交力系1. 引言1.1 简介平面汇交力系是工程力学中常见的一个问题，它涉及到多个力在同一平面上的作用，通常需要通过解析法求解来得到最终的结果。
在工程实践中，平面汇交力系的分析和求解是非常重要的，可以帮助工程师设计出更加稳定和安全的结构。
为了更好地理解平面汇交力系的求解方法，本文将从其定义、解析法求解的基本原理、应用实例分析等方面展开讨论。
我们将介绍平面汇交力系的基本概念和特点，为后续的讨论打下基础。
然后，我们将详细解释解析法求解平面汇交力系的基本原理，并结合实际案例进行分析，以便读者更好地理解和掌握这一方法。
接着，我们将介绍解析法求解平面汇交力系的具体步骤，帮助读者逐步掌握解题的技巧。
我们将讨论力系平衡条件，探讨力系在平衡状态下应该满足的条件。
通过本文的学习，读者将能够深入了解解析法求解平面汇交力系的优势和应用价值，同时也可以对未来的研究方向有一定的启发和展望。
希望本文能够对读者有所帮助，使他们对平面汇交力系的分析和求解有更深入的理解和掌握。
1.2 研究背景平面汇交力系是工程力学中的重要概念，它在工程实践中具有广泛的应用。
在工程设计和分析中，我们经常会遇到多个力在一个平面上交汇的情况，这时就需要对这些力进行综合分析，以确定其对物体的作用效果。
解析法是一种常用的方法，通过对力系进行分解和合成，求解出平面汇交力系的各个分力的大小和方向。
在工程实践中，解析法求解平面汇交力系能够帮助工程师更准确地理解力的作用规律，为结构设计和优化提供重要参考。
解析法还可以帮助工程师判断平面内力系的平衡条件，保证结构的稳定性和安全性。
对平面汇交力系的解析法求解具有重要的理论和实际意义。
本文将着重介绍解析法求解平面汇交力系的基本原理、应用实例分析、解析法求解步骤及力系平衡条件，旨在帮助读者更深入地理解这一重要的工程力学问题。
我们也将探讨解析法求解的优势，并展望未来在这一领域的研究方向和发展趋势。
2. 正文2.1 平面汇交力系的定义平面汇交力系是指在同一平面内作用的多个力的合力。
解析法求解平面汇交力系
解析法求解平面汇交力系平面力系指的是由多个力组成的力系，这些力都在同一平面内作用。
求解平面力系的关键在于解析出各个力的作用方向、大小和作用点的坐标，然后根据力的平衡条件和力的合成、分解原理进行计算。
1. 画出力的几何示意图：根据题目中所给的力的作用点和方向，画出力的向量图，力的箭头表示力的方向，力的长度表示力的大小。
2. 分解力成分力：对于力的向量图，将其分解为x轴和y轴方向上的分力，分解后的力可以表示为：F = Fx + Fy。
Fx表示力F在x轴方向上的分力，Fy表示力F在y轴方向上的分力。
3. 定义力的作用点坐标：确定力的作用点在平面坐标系中的坐标，通常以力的作用点的横坐标和纵坐标表示。
4. 列出力的平衡条件：根据力的平衡条件，即合力为零的条件，列出力的平衡方程。
对于x轴方向的平衡方程，其形式为：ΣFx = 0；对于y轴方向的平衡方程，其形式为：ΣFy = 0。
5. 解力的平衡方程组：根据平衡方程组，利用代数方法解出未知数，即力的分量和作用点的坐标。
6. 检验结果：将得到的力的分量和作用点的坐标带入平衡方程组，验证方程是否成立。
如果方程成立，则说明求解正确；如果方程不成立，则说明求解有误，需要重新检查和修改。
需要注意的是，在使用解析法求解平面力系时，要注意以下几点：1. 力的分解应按照受力物体的几何形状和受力方向进行。
比如对于斜面上的力，可以将其分解为垂直于斜面和平行于斜面的两个分力。
2. 力的分解和合成要遵循力的平行四边形定则和三角形定则，即分力的矢量和等于合力的矢量，分力的矢量差等于合力的矢量。
3. 力的平衡条件适用于平面力系的任意一个物体或系统，当物体处于平衡状态时，所有受力物体的合力为零。
4. 解析法求解平面力系是一种数学方法，在具体应用时，要注意对力和作用点的坐标进行数值计算，并且要有良好的数学推导能力。
解析法是一种较为常用的求解平面力系的方法，适用于各类平面力系的求解。
通过分解力成分力，列出平衡方程组，并利用代数方法进行求解，可以得到力的作用方向、大小和作用点的坐标。
解析法求解平面汇交力系
解析法求解平面汇交力系平面力系又称平面力分析，是研究平面内所受力的数学方法，叫做平面是因为被分析的问题只涉及二维空间，不具备深度。
平面力系主要是用来求解平面内三种力：向量力、单位力和分力，为工程中金属结构设计提供基础的数学工具。
解析法是一种用向量的运算法则求解平面内的力系的方法，解析法将力的大小、方向、作用点用向量表达，从而建立力的向量除法，求解力的分量，最后通过向量加法的计算，求得平面内力系的结果。
从最简单的向量力开始，解析法求解平面内的向量力的方法如下：向量力F的方向和大小已知，我们可以将其表示为 aF，在向量力F的作用点O任取一个基准点A，将向量AE和向量AF作出，AE和AF的起点均在点A上，AE的方向和大小与向量力F垂直，AF的方向和大小与向量力F相同。
设向量力F在AE上的分量为Fb，在AF上的分量为Fa，则Fb = F cos θ，Fa = F sin θ，其中θ是向量力F与AE的夹角。
以点A为基准点时，力的分量可表示为向量OA = OE + EA = OE + Fb，向量OA的长度等于力F在AE上的投影，并且方向平行于AE，也就是在向量力F的垂直方向。
对于单位力，其大小和方向已知，在平面力系中一般取方向向右，大小为1的单位力为基础，其他力则由单位力的数倍和向量力组成。
在单位力作用点O处任取一个基准点A，作出向量OA和单位力的方向向量AB，则向量OA可表示为 OA = AB * K，其中K是单位力的大小，也就是放大倍数，大小为向量力F在单位力方向上的投影的倍数。
对于分力，可以将力在垂直的平面上分解成两个力，一个与平面成直角，称为法向（或法线）力，另一个平行于平面，称为摩擦力。
以向量力F为例，垂直于平面的方向与向量AO平行，在该方向上的分力为Fn，平行于平面的方向与向量OF平行，在该方向上的分力为Ft。
另外，若无摩擦力，则Fn = F，Ft = 0，否则Fn = F sinθ，其中θ为向量F与法向量的夹角，Ft = F cosθ。
解析法求解平面汇交力系
解析法求解平面汇交力系
平面汇交力系是指多个力在同一平面内作用于一个物体上的力的集合。
解析法是一种
求解平面汇交力系的方法，通过将力的大小和方向分解为各个分力的大小和方向，然后利
用向量分解和合力的性质进行计算。
解析法的基本步骤如下：
1. 画出力的示意图：根据题目所给的力的作用点和方向，在平面上画出力的示意图。
力的示意图可以是箭头，箭头的长度表示力的大小，箭头的方向表示力的方向。
2. 分解力的大小：将力分解为在 x 轴和 y 轴上的分力，分别表示为 Fx 和 Fy。
根
据力的示意图，可以通过三角函数的性质计算出力在 x 轴和 y 轴上的分力的大小。
4. 计算分力的合力：利用向量相加的方法，计算出力在 x 轴和 y 轴上的分力的合力，表示为 Fx 和 Fy。
5. 计算合力的大小：利用勾股定理，计算出力的合力的大小。
合力的大小表示为 F，可以通过F = √(Fx^2 + Fy^2) 计算得出。
6. 计算力的合力的方向：利用三角函数的性质，计算出力的合力的方向。
通常情况下，方向由沿着 x 轴正方向的夹角表示。
通过以上步骤可以计算出平面汇交力系的合力的大小和方向。
在实际应用中，还可以
进一步计算出力的合力的作用点的坐标，以及力在其他坐标轴上的分力和合力。
需要注意的是，解析法只适用于力在同一平面内作用的情况。
如果力的作用点或方向
不在同一平面内，需要使用其他方法进行计算。
解析法对于力的数目不限，并且可以进行
逐步迭代，求解任意数量的力的合力。
知识点2：平面力系
知识点2：平面力系一、平面汇交力系的合成与平衡的几何法(1)平面汇交力系的合成用力多边形法则，合力的大小和方向由力多边形的封闭边来表示，其作用线通过各力的汇交点，即合力等于力系中各力的矢量和，即∑=+++=F F F F F n R 21(2)平面汇交力系的平衡平面汇交力系平衡的必要和充分的几何条件是力多边形自行封闭。
即0==∑F F R二、平面汇交力系的合成与平衡的解析法1．力在坐标轴上的投影力在坐标轴上的投影等于力的模乘以力与投影轴正向间夹角的余弦，如图2-1所示，它是一标量，即θcos F F x =； θβs i n c o s F F y == （2-1）图2-1 图2-22．力沿坐标轴的分解力沿坐标轴的分力是一矢量，其合力与分力之间应满足力的平行四边形公理。
如图2-2所示。
力沿坐标轴分解的分力的大小为xyxyx)sin(sin βθβ+=F F x ； )s i n (s i nβθθ+=F F y（2-2）由此可见，在一般情况下，力沿坐标轴分解的分力的大小不等于力在坐标轴上投影的大小。
当2πβθ=+时，在同一坐标上分力的大小和投影相等，如图2-3所示。
（a ）（b ）图2-33．合力投影定理合力在某轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和，即∑=x Rx F F ； ∑=y Ry F F（2-3）当投影轴x 与y 垂直时，其合力的大小与方向为22RyRx R F F F +=，R RxR F F =),cos(i F ，RRy R F F =),cos(j F （2-4）4．平面汇交力系的合成当两坐标轴间的夹角为2π时有2222)()(∑∑+=+=y x Ry Rx R F F F F F（2-5）RxR F F∑=),cos(i F ，RyR F F∑=),cos(j F5．平面汇交力系的平衡 由几何法知0=R F代入前面的代数表达式有0)()(2222=+=+=∑∑y x Ry Rx R F F F F Fx F y即0=∑xF；0=∑yF（2-6）平面汇交力系平衡的解析条件是力系中各力在两个坐标轴中每一轴上的投影的代数和均等于零。
解析法求解平面汇交力系
解析法求解平面汇交力系平面力系是由两个或多个力组成的力系统，其中这些力都在同一个平面内且对于同一点的坐标系而言都是作用于该点的外力。
对于这样的力系，我们可以使用解析法来求解其力的合力及力矩。
1.力的合力将平面力系中的各个力在同一坐标系下表示出来，可以使用笛卡尔坐标系或极坐标系，以方便计算。
由于这些力都在同一个平面内，因此可以只考虑这个平面内的投影，将所有力的水平和垂直分量分别相加得到它们的合力分别为Fx和Fy。
Fx = ΣFx合力的大小可以使用勾股定理求解：F = √(Fx² + Fy²)合力的方向可以使用反正切函数求出：θ = tan⁻¹(Fy/Fx)2.力矩平面力系中的力矩指的是作用在某一点上的一对偶力的乘积。
力矩可以用于确定力的转动效果，即力能够产生哪些旋转动作。
对于平面力系中的力矩，我们可以使用向量叉积的方法得出。
假设有一个力F = (F_x, F_y)和一个作用在点P = (x_p, y_p)处的力矩M，那么力F在点P处的力矩就是：r x F = (x_p, y_p, 0) x (F_x, F_y, 0)因此，力F在点P处的力矩就是 M = x_p*F_y - y_p*F_x。
可以看出，力矩的方向垂直于力F和点P的连线，并且符合右手定则。
如果力矩的值为正，那么它会引起顺时针转动，否则就是逆时针。
当平面力系中的力施加在一个平板上时，可以利用力矩来计算平板的倾斜情况。
如果力的合力不为零，那么平板将会倾斜并产生一个倾斜角度θ，其大小由以下公式给出：其中，Fd是平板的抵抗力，可以表示为Fd = F*cosθ。
同时，力矩M也可以写成 M = F*sinθ*r，其中r是平板的半径。
总之，解析法是一种有效的工具来求解平面力系中的合力和力矩，这对于静力学、力学和机械工程等领域的应用至关重要。
通过应用解析法，我们可以更好地理解力的作用效果，并且能够预测它们的影响和结果，从而进行更加精细的设计和分析。
平面汇交力系
第二章 平面汇交力系一、内容提要本章讲述了研究平面汇交力系的合成和平衡条件的两种方法：几何法和解析法。
1.求平面汇交力系的合力 (1) 几何法求合力。
根据力多边形法则求合力，即力多边形缺口的封闭边代表合力的大小和方向。
F R =ΣF合力的作用线通过原力系各力的汇交点。
(2) 解析法求合力。
根据合力投影定理，利用力系中各分力在两个正交轴上的投影的代数和，来确定合力的大小和方向为()()2Y 2X 2RY 2X R F F F F F R ∑+∑=+=XY XRY tan F F F F R ∑∑==αα为合力F R 与x 轴所夹的锐角。
合力F R 的指向由ΣF Y 和ΣF X 的正负号来确定，合力的作用线通过原力系各力的汇交点。
2.平面汇交力系的平衡条件(1) 平衡的必要和充分条件：平面汇交力系的合力为零，即F R =ΣF =0(2) 平衡的几何条件：平面汇交力系的力多边形自行封闭。
(3) 平衡的解析条件：平面汇交力系中所有各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。
即ΣF X =0 ΣF Y =0通过这两个独立的平衡方程，可求解出两个未知量。
3.力在坐标轴上的投影为F X =±F cosαF Y =±F sinα式中α为力F 与坐标轴x 所夹的锐角。
二、典型例题解析例 简易起重机如图2-1a 所示。
B 、C 为铰支座，钢丝绳的一端缠绕在卷扬机的点D 上。
杆件AB 、AC 及滑轮的自重不计，滑轮的半径也不计。
试求杆件AB 、AC 所受的力。
（空13行） 图2-1知识点：平面汇交力系的平衡条件及应用。
解 （1）取铰A 为研究对象。
杆AB 、AC 均为二力杆，可设为拉力。
由于A 处为定滑轮，故钢丝绳两端的拉力相等，都等于物体的重量W = 20kN 。
不计滑轮半径，则铰A 的受力图如图2-1b 所示。
（2）几何法求解作闭合的力多边形。
在选定比例尺后，先画已知力F T D 和W ，考虑到实际情况，F N C 应该为压力，所以应向上，且与水平成60°角。
解析法求解平面汇交力系
来，使片上系统和片内系统协同工作。 （2）软件算法。 优化算法，加速信号提取的精确度和速度，使最终的设
计结果能够满足利用心电信号来甄别驾驶员的疲劳状态。 基于ARM+FPGA架构的设计相较于传统的FPGA设计
模式，在设计过程中将性能、集成度和灵活性等因素考虑 进 来，这不仅 降 低了成 本和 功耗，还增强了特 性 和性能。 系统设计采用硬件部分和软件部分来实现。
过力的起始两端分别作投影轴的垂线，线段的长度 是该力在该轴上的投影。力的投影是个代数值；力的起 点是a 终点是b 投影到轴上由a 0指向b 0沿着投影轴的正向为 正，沿着投影轴的负向为负，投影到轴上一点为0。如图 2所示，力F 在y 轴上的投影小于零。
1.3 合力投影定理
合力在某轴上的投影等于组成合力的各个分力在该轴 上 投 影的代 数和。如图3所 示两个力F1，F 2分 别 在 x，y两 轴 上的投影和合力在该两轴上的投影有如下关系。
工程技术 DOI：10.16660/ki.1674-098X.2019.31.047
Hale Waihona Puke 科技创新导报 2019 NO.31
Science and Technology Innovation Herald
解析法求解平面汇交力系①
韩福娥 (西安工程大学城市规划与市政工程学院 陕西西安 710048)
物体 在平面汇 交 力系作用 下 要 平衡，则该 力系作用 下
F R=0。也就是：
n
n
∑ ∑ FR = FR2x + FR2y = ( Fix )2 + ( Fiy )2 = 0
=i 1=i 1
理论力学第二章平面汇交力系与平面力偶系
合力作用点：为该力系的汇交点
2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
(2)平面汇交力系平衡的充要条件： 各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。 ——平面汇交力系的平衡方程
X0,
Y
i 1
n
i
0
只可求解两个未知量
[ 例1 ] 系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小， 已知： P=20kN； 求：系统平衡时，杆AB、BC受力。
解：AB、BC杆为二力杆，
取滑轮B（或点B），画受力图。 用解析法，建图示坐标系
Fix 0
FBA F1 cos 60 F2 cos 30 0
Fiy 0
FBC F1 cos 30 F2 cos 60 0
F1 F2 P
解得： FBC
27.32kN
②应用合力矩定理
mO ( F ) Fx l F y l ctg
m o (Q ) Q l
[例P28 2-4，习题P38 2-10]
[例2]水平梁AB受按三角型分布的载荷作用，如图所示。 载荷的最大值为q，梁长l ,试求合力作用线的位置。
解：在距A端x 的微段dx上， 作用力的大小为q’dx,其中 q’ 为该处的载荷强度。由图可知 ，q’=xq/l。，因此分布载荷合 力的大小为： l
2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
二、平面汇交力系合成的解析法：
各分力在x轴和在y轴投影的代数 和 等于合力在对应轴上的投影。
FR x X 1 X 2 X 4
X
FR y Y1 Y2 Y3 Y4
Y
i
i
2-1.2平面汇交力系(解析法)
y
600 150 300
B B T E
300 150 0 BC 15 300
C D
x TBD=G
A
TBD
FAB
G
E
• 解题步骤： ①确定研究对象，作研究对象的受力图； ②选定坐标系； ③列平衡方程并求解。 • 指向假设的未知力，若按平衡方程求得 正值，说明其实际方向与假设的相同； 若为负值，则说明其实际方向与假设的 相反，但不需要改变受力图中的指向。
2 x 2 y 2 2
合力R的方向为： Ry 16.65 t an Rx 41.16
16.65 arctan arctan 21.79 Rx 41.16 Ry
由于 Rx ＞0， ＞0，故α在第一象 限，而合力R的作用线通过汇交力系的汇 交点。
Ry
二、平面汇交力系的平衡
TBD=G
A
TBD
FAB G
E
解：1、取滑轮连同重物E为研究对象，受力分析：
2、取汇交点B为坐标原点，建立坐标系： 3、列平衡方程并求解： X= 0 Y= 0 - TBC cos300 - TBD cos450 + FAB cos600= 0 - TBC cos600 - TBD cos450 + FAB cos300-G= 0 FAB = 45 kN TBC = 9.65 kN
如下图，在直角三角形中a为角A的对边 b为角A的邻边 c为三角形的斜边
B c a ┌ A b C
回顾与思考 1
锐角三角函数定义
正弦,余弦,
B
a sin A , c b cos A , c
b sin B , c a cos B , c
c
a
A b ┌ C
解析法求解平面汇交力系
解析法求解平面汇交力系1. 引言1.1 导言在工程结构设计中，平面汇交力系是一种常见的受力形式。
当结构系统受到多个力的作用时，这些力可能会在同一平面内交汇，形成所谓的平面汇交力系。
解析法是解决平面汇交力系的一种重要方法，通过将受力结构拆分成若干简单的部件，逐一求解每个部件的受力情况，最终得出整个结构的受力状态。
解析法求解平面汇交力系的过程相对繁琐，但却具有广泛的适用性和准确性。
通过该方法，工程师可以有效地分析和设计各种结构系统，确保其在受到外部力作用时能够正常工作并具有足够的安全性。
本文将通过介绍解析法的基本原理、平面汇交力系的概念、解析法求解平面汇交力系的步骤、以及通过案例分析和优缺点分析，总结出解析法在解决平面汇交力系问题中的优势和局限性。
结合工程实践，展望解析法在未来的发展方向和应用前景。
2. 正文2.1 解析法的基本原理解析法是工程力学中常用的一种方法，用于求解复杂的力系。
它基于平面静力学的基本原理，通过分解力的大小和方向，将复杂的力系简化为若干个简单的力系，从而方便进行计算和分析。
在解析法中，首先需要将给定的力系统进行分解，将力的大小和方向拆分为水平方向和垂直方向的分力。
然后利用平衡条件，即力矩平衡和力的平衡，来求解各个未知力的大小和方向。
通过逐步分解和平衡计算，可以得到整个力系的解析解。
解析法在解决平面汇交力系时尤为重要，因为平面汇交力系涉及多个力的作用，且力的方向和大小不确定。
通过解析法，可以清晰地分析每个力的作用，进而求解系统的平衡条件，从而得到准确的结果。
2.2 平面汇交力系的概念平面汇交力系是指多个力在同一个平面内作用于一个物体上的力系统。
在平面汇交力系中，可以通过解析法来求解各个力的大小、方向和作用点位置，以便准确分析物体的平衡状况和受力情况。
1. 力的合成：在平面汇交力系中，多个力可能同时作用在物体上，这些力的合成可以通过向量的方法来求解，即将各个力按照其大小和方向绘制成向量，在平面上进行几何构图可得到力的合成结果。
第2章 平面汇交力系与平面力偶理论
式中，负号表示合力偶的转向为顺时针方向转动。
欲求作用在A、B处的水平力，应以工件为研究对象，受力分析如图 2—13所示，由于工件在水平面内受四个力偶和两个螺栓的水平反力 的作用下而平衡。因为力偶只能与力偶平衡，故两个螺栓的水平反 力N一和jv”必然组成一个力偶。由平面力偶系的平衡方程
二、平面汇交力系合成与平衡的解析法
根据合力投影定理，可计算出合力R的投影Rx和Ry
合力R与x轴正向间的夹角为
平面汇交力系平衡的充要条件是该力系的合力R等于0，则有
上式成立，必须同时满足
平面汇交力系解析法平衡的必要与充分条件是：力系中所有 各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。
例2-2 图2-5(a)所示圆柱体A重Q，在中心上系着两条绳AB和 AC，并分别经过滑轮B和C，两端分别挂重为P和2P的重物，试 求平衡时绳AC和水平线所构成的角α及D处的约束反力。 解 选圆柱为研究对象，取分离体画受
（2）作用在同一平面内的两个力偶，只要它的力偶矩的大 小相等、转向相同，则该两个力偶彼此等效。这就是平面力 偶的等效定理。
定理的推论
(1)力偶可以在其作用面内任意移动，而不影响它对 刚体的作用效应。 (2)只要保持力偶矩大小和转向不变，可以任意改变 力偶中力的大小和相应力偶臂的长短。而不改变它 对刚体的作用效应 上述推论表明，在研究同一平面内有关力偶问题时， 只需考虑力偶矩的代数值，而不必研究其中力的大 小和力偶臂的长短。
从而解得
所以
例 图a 所示结构中，各构件自重不计。在构件AB 上作用1力 偶矩为M 的力偶，求支座A 和C 的约束力。
解（1）BC为二力杆： F c= −F B（图c） （2）研究对象AB，受力如图b 所示， F AFB' 构成力偶， 则
静力学第二章平面汇交力系与力偶系
请思考：力矩和力偶矩的异同？
力偶矩:度量力偶对物体转动效应 的量。记作：M（F, F′）或M
A
F C d F′
M Fd
力偶矩正负号规定:
逆时针转动为正，反之为负
B
力偶矩正负号意义：表示力偶转向
请思考：平面（内）力偶等效的条件？
力偶矩大小相等、转动方向相同
平面力偶的性质
性质1 : 力偶无合力,即FR=0
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
本章重点：
1、平面汇交力系(几何法、解析法）
2、力偶的概念
3、平面力偶系
§2-1 平面汇交力系
汇交力系：所有力的作用线
汇交于一点的力系。
共点力系：所有力的作用点为同一点的力系。
平面汇交力系合成—几何法
力多边形
平面汇交力系平衡—几何法
平衡几何条件：汇交力系的力多边形自行封闭。
平面力偶系的简化结果： Mo
平面力偶系的平衡条件：Mo = 0
平衡方程：
M
0
例5 图中M, r 均为已知, 且 l=2r, 各杆自重不计。
求:C 处的约束力。
解：取 BDC 为研究对象
作出受力图 由力偶理论，知 FB = FC M 0
2 2 FB r FB 2r M 0 2 2 注意：计算(FB，FC )的力偶矩
性质2 : 力偶作用效应只与力偶矩有关 性质3 : 力偶只能与力偶矩相等的另一力偶等效 性质4 : 力偶对其作用面上任一点的矩等于力偶矩
F
F´
F
F´
F
F´ F/2
（d）
F´/ 2
只要保持力偶矩不变，力偶必等效
F
F´
M
M
M
平面力系—平面汇交力系(理论力学)
y x
④解平衡方程
FAC P
代入下式解得：
解析法求解平面共点力系平衡问题的一般步骤:
1. 选分离体，画受力图（分离体选取应最好含题设的已知 条件）。
2. 在力系平面内选坐标系。 3. 将各力向二坐标轴投影，并应用平衡方程求解。
∑Fx=0，∑Fy=0
FR= Fx2+ Fy2=( Fx)2+( Fy)2 合力F的方向余弦
y
A Fx
Fy Fy
F B
θ
x
O
Fx
COS Fx Fix ,COS Fy Fiy
FR
FR
FR
FR
四、平面汇交力系平衡的解析条件
平面共点力系平衡的充要解析条件是： 力系中所有各力在两个坐标轴中每一轴上的投影的代数和分 别等于零。 平面共点力系的平衡方程：
例2-1 已知：P=10kN, BC=AC=2m，AC与BC相互垂直。求：在P 的作用下AC、BC所受力的大小。
B
解： ①选铰链C为研究对象
C AP
②取分离体画受力图
由于BC杆与AC杆是二力杆,这时FBC与 FAC和外力P构成一平面汇交力系且平衡。 由平衡的几何条件—力多边形封闭，得
FBC
P FAC
用矢量式表示为：
FR F1 F2 F3 Fn Fi
二、平面汇交力系平衡的几何条件
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该 力系的合力等于零。
用矢量式表示，即：
Fi 0
在平衡的情形下，力多边形中最后一力的终点与第一力 的起点重合，此时的力多边形称为封闭的力多边形。
于是，平面汇交力系平衡的必要与充分条件是：该力系 的力多边形自行封闭，这是平衡的几何条件。
一、力在坐标轴上的投影
平面汇交力系解析法
A
9
• 例 如图所示，固定的圆环上作用着共面的三个力，已 知三力均通过圆心。试求此力系合力的大小和方向。
解析法 取如图所示的直角坐标系Oxy
则合力的投影分别为
RxF 1co3s0F2F3co6s04.1k6N RyF 1si3 n0F3si6 n 01.6k5N
由合力投影定理有：
Rx=X1+Xa2+c…- +Xn=X Ry=Y1+Yb2c+…=a+Ybn=Y
R
F2
F1 a b cx
合力：
合力的投影
R R x2 R y2 X 2 Y2 y
tan Ry Y
Rx
Rx X
Ry
R
x
表示合力R与 x轴所夹的锐角，
合力的指向由∑X、∑Y的符A号判定。
6
合力投影定理
i 1 4
F iy F 1 c o s 6 0 o F 2 c o s 3 0 o F 3 c o s 4 5 o F 4 c o s 4 5 o 1 1 2 .3 N
i 1
F R F x 2 F y 2( F ix )2 ( F iy )2
129.32112.32N 171.3N
co sF R ,iF F R xF R F ix1 1 2 7 9 1 ..3 30 .7 5 4 8
A
3
解析法—定量计算合力的大小和方向的方法 一、力在直角坐标轴上的投影
a a2
F
y
α b2
Fx x
a1
α、β为力与x轴和y轴所 夹的锐角， Fy
若已知力F在x、y轴上的投影
《工程力学》判断题题库(四)及答案(共5套)
《工程力学》判断题题库（四）及答案（共5套）1、脆性材料失效应力是强度极限。
（）正确答案：正确2、AB杆受三个力作用，三力汇交于一点，如b图所示。
（）正确答案：错误3、起重机架中重物吊在AB梁中间最危险。
（）正确答案：正确4、力都是周围物体施加的，周围物体就是约束。
（）正确答案：正确5、力的三要素是：大小、方向和作用点。
（）正确答案：正确6、一个空间平行力系使物体平衡，可以列出六个独立的平衡方程。
（）正确答案：错误7、图示F力需要应用二次投影法求x、y轴上的投影。
（）正确答案：正确8、轴上两个横截面的内力相同。
（）正确答案：错误9、用解析法求解平面汇交力系的平衡问题，需要对力求投影。
（）正确答案：正确10、解析法求解平面汇交力系平衡问题，需要对力求投影。
（）正确答案：正确11、a图的稳定性比b图的稳定性好。
（）正确答案：正确12、由图示弯矩图可以看出，弯矩图各段都是斜直线，梁受集中力作用，没有受均布载荷作用。
（）正确答案：正确13、与y轴垂直，在y轴上的投影为零。
（）正确答案：正确14、板簧做成等强度梁，以提高板簧抵抗弯曲的能力。
（）正确答案：正确15、杆长度相同，a图为一端固定，b图为两端固定，受到同样压力，则b图稳定性比a图稳定性高。
（）正确答案：正确16、所谓平衡，是指物体相对于地面保持静止或作变速曲线运动的状态。
（）正确答案：错误17、两个力的合力一定大于其中任意一个分力。
（）正确答案：错误18、扭转变形时切应力最大的点发生在扭矩最大的截面上或者是截面积最小的截面上。
（）正确答案：正确19、下面两个图受到力偶作用，作用效果不同。
（）正确答案：正确20、顺时针的集中力偶作用在外伸梁边界处，剪力在集中力偶处没有变化，弯矩在边界处发生正方向突变。
（）正确答案：正确21、物体受力处于匀速直线运动状态，其合力一定为零。
（）正确答案：正确22、刚体受到同平面内的几个力作用而处于平衡状态，则这几个力的作用线必定汇交于一点。
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解析法求解平面汇交力系
平面问题是指在平面内的力学问题，包括平面内的力学平衡问题。
平面力学问题求解
的一种方法是解析法。
解析法是一种利用向量和几何方法来分析力和运动的方法。
在平面力学问题中，我们
可以使用矢量来表示力和运动，然后使用向量几何方法来求解问题。
平面力学问题中的力系可以被视为由多个力矢量组成的集合，这些力矢量作用在平面
上的一个物体上。
每个力矢量都具有两个特征：大小和方向。
在解决平面问题时，我们通
常采用力的分解与合成原理，将力向量分解为它们的水平和竖直分量。
例如，在平面上，一个斜向上的力向量就可以被分解为水平和竖直分量。
如果我们知
道它的大小和方向角度，就可以使用三角函数来计算这些分量。
这些分量可以使用矢量加
法原理合成为原始的力向量。
使用解析法求解平面力学问题可以通过以下步骤进行：
第一步：绘制位于平面上的力图
绘制力图时，需要绘制作用力的矢量，以及它们的大小和方向。
如果不确定这些力应
该如何绘制，可以使用天平或角度仪进行测量。
第二步：分解力向量，并计算分量
根据力的分解与合成原理，将力向量分解为它们的水平和竖直分量。
可以使用三角形
中的三角函数（例如正弦、余弦、正切）来计算单一力向量的分量。
然后，将所有分量相加，得出力的合量。
第三步：计算力的夹角
通过计算每个力向量的角度，可以求出力的夹角。
可以使用三角函数来计算各个角度，并检查它们的总和是否为360度，这是力系保持平衡的必要条件。
第四步：验证力系的平衡状态
通过比较所有力的合量和零的值，可以确定力的平衡状态。
如果力的合量等于零，那
么它是一个平衡力系。
解析法是解决平面力学问题的一种有效方法。
通过使用矢量、三角函数和几何原理，
可以求解平面力学平衡问题，并确定平衡力系。