矩阵对角化问题总结

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线性代数之实对称矩阵得相似对角化问题的方法总结
对于一个实对称矩阵不仅可以通过一个可逆矩阵相似对角化，还可以通过一个正交矩阵来相似对角化。

实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量正交，而且实对称矩阵的特征值全为实数。

在考研中，我们一定要重点掌握会求一个正交矩阵来相似对角化，这里的正交矩阵是矩阵的彼此正交且为单位向量的特征向量组成的，这里的对角矩阵是矩阵的特征值组成的。

实对称矩阵：元素都是实数的对称矩阵称为实对称矩阵。

实对称称矩阵的特征值、特征向量及相似对角化：
（1）实对称矩阵的特征值全部是实数；
（2）实对称矩阵的属于不同特征值对应的特征向量相互正交化；
（3）实对称矩阵必相似于对角矩阵。

求实对称矩阵矩阵正交相似于对角矩阵的步骤：
求实对称矩阵正交相似于对角矩阵的步骤
题型一：实对称矩阵的正交相似对角矩阵例1：
解题思路：（1）非齐次线性方程组有无穷多个解的充要条件为矩阵A的秩等于增广矩阵的秩且小于3.
（2）利用求实对称矩阵相似对角矩阵的方法求解
解：
题型二：相似对角矩阵的应用
例2：设A是n阶矩阵，有特征值1，2，3，....，n，求|3E+A| 分析：可以利用特征值和行列式的性质的计算。

解：。

矩阵可以对角化的充分必要条件

矩阵可以对角化的充分必要条件矩阵的对角化是线性代数中一个重要的概念，它在许多领域中都有广泛的应用。

在矩阵的对角化中，有一个非常重要的定理，即矩阵可对角化的充分必要条件。

本文将从理论和实际应用两个方面，详细介绍矩阵可对角化的充分必要条件。

一、理论介绍我们来介绍矩阵的对角化。

对于一个n阶方阵A，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^{-1}AP为对角矩阵D，即P^{-1}AP=D，那么我们称矩阵A可对角化，且D为A的一个对角化矩阵。

接下来，我们来介绍矩阵可对角化的充分必要条件。

对于一个n阶方阵A，A可对角化的充分必要条件是存在n个线性无关的特征向量。

为了更好地理解这个条件，我们来解释一下特征向量和特征值。

对于一个n阶方阵A和一个非零向量v，如果满足Av=λv，其中λ为一个常数，那么我们称v为A的一个特征向量，λ为对应的特征值。

特征向量和特征值的概念在线性代数中非常重要，它们可以描述矩阵的性质和变换。

而矩阵可对角化的充分必要条件即存在n个线性无关的特征向量，也就是说，对于一个可对角化的矩阵A，存在n 个不同的特征值和对应的特征向量。

二、实际应用矩阵的对角化在实际应用中有着广泛的应用。

以下我们将介绍两个常见的实际应用场景。

1. 线性变换在线性代数中，矩阵可以表示线性变换。

对于一个可对角化的矩阵A，它可以通过对角化得到一个对角矩阵D。

这样，原来的线性变换就变成了对角矩阵的线性变换。

对角矩阵的线性变换非常简单，只需要对每个坐标轴进行伸缩即可。

这种对角矩阵的线性变换在计算机图形学中有着广泛的应用，可以实现图像的缩放、旋转和平移等操作。

2. 特征值问题矩阵的特征值和特征向量在特征值问题中有着重要的应用。

特征值问题是求解形如Ax=λx的问题，其中A为一个已知矩阵，x为未知向量，λ为未知常数。

矩阵可对角化的充分必要条件即存在n个线性无关的特征向量。

对于特征值问题，我们可以通过对矩阵A进行对角化，得到特征值和特征向量。

特征值问题在物理学、工程学和计算机科学等领域中有着广泛的应用。

矩阵可对角化的充要条件

矩阵可对角化的充要条件矩阵可对角化的充要条件矩阵是线性代数中的重要概念，它是由一组数排成的矩形阵列。

在线性代数中，对于一个给定的方阵，我们希望能够找到一个相似矩阵，使得这个方阵可以被对角化。

那么什么样的矩阵可以被对角化呢？下面我们将从多个方面来探讨这个问题。

一、基本概念1. 矩阵相似如果存在一个可逆矩阵P，使得A = PBP^-1，则称A和B相似。

其中B是一个任意的方阵。

2. 特征值与特征向量设A是n阶方阵，如果存在一个非零向量x使得Ax = λx，则称λ是A的特征值，x是A对应于λ的特征向量。

3. 对角矩阵如果一个n×n方阵只有主对角线上有非零元素，则称其为对角矩阵。

常用符号为D。

二、必要条件如果一个n×n方阵可以被对角化，则其必须满足以下条件：1. 线性无关所有特征向量必须线性无关。

2. 完备所有特征向量必须完备。

3. 重根如果有重根的特征值，则其对应的特征向量必须线性无关。

三、充分条件如果一个n×n方阵满足以下条件，则其可以被对角化：1. 存在n个线性无关的特征向量如果一个n×n方阵A有n个线性无关的特征向量，那么可以将它们组成一个矩阵P，使得A = PDP^-1，其中D是由A的特征值构成的对角矩阵。

2. 所有特征向量都是完备的如果所有特征向量都是完备的，则可以将它们组成一个矩阵P，使得A = PDP^-1，其中D是由A的特征值构成的对角矩阵。

3. 每个特征值都有足够数量的线性无关的特征向量如果每个特征值都有足够数量（等于其重数）的线性无关的特征向量，则可以将它们组成一个矩阵P，使得A = PDP^-1，其中D是由A的特征值构成的对角矩阵。

四、结论综上所述，当一个n×n方阵满足以上充分条件之一时，则该方阵可被对角化。

而当一个n×n方阵不满足以上必要条件之一时，则该方阵不可被对角化。

因此，在实际问题中，我们可以通过计算矩阵的特征值和特征向量来判断其是否能被对角化，并进一步求出对角矩阵。

矩阵的对角化及其在高等数学中的应用

矩阵的对角化及其在高等数学中的应用矩阵是高等数学中的基础概念之一，它在解决线性方程组和矩阵变换问题中具有重要作用。

在实际问题中，矩阵常常需要进行对角化处理，以便更方便地求解问题。

本文将介绍矩阵的对角化及其在高等数学中的应用。

一、什么是矩阵的对角化对角化是指将一个矩阵变换为对角形式的过程，使得矩阵的主对角线上为非零元素，而其余元素均为零。

举个例子，一个2×2的矩阵A可以进行对角化，其对角化后的形式可以写成：> P^-1 * A * P = D其中P是一个可逆矩阵，D为对角矩阵。

对角矩阵只有主对角线上有非零元素，其他位置都为零。

通过对角化，矩阵变得更加简单，容易处理。

二、如何进行矩阵的对角化对于一个n×n的矩阵A，要进行对角化处理，需要满足以下条件：1.矩阵A必须有n个线性无关的特征向量，这些特征向量组成的矩阵可以写成P=[v1，v2，···，vn]。

2.对于对角矩阵D，其主对角线上的元素必须是矩阵A的n个特征值。

基于这些条件，可以得到矩阵A的对角化公式：> P^-1 * A * P = D其中P=[v1，v2，···，vn]，D=[λ1，λ2，···，λn]为对角矩阵。

λ1、λ2···λn为A的特征值，v1、v2···vn为对应的特征向量。

三、高等数学中的应用在高等数学中，矩阵的对角化在求解一些实际问题中具有重要作用。

1. 矩阵的对角化在求解差分方程中的应用线性差分方程是数学中的一种经典问题。

对于一个n阶线性差分方程，其解法是先对其进行离散化处理，变成一个线性方程组。

接着，对该线性方程组进行矩阵形式的表示，就可以得到一个n×n矩阵。

通过矩阵的对角化，可以将线性方程组解放到主对角线上，从而得到差分方程的通解。

2. 矩阵的对角化在离散傅里叶变换中的应用离散傅里叶变换是一种将时域上信号变换为频域上信号的重要算法。

矩阵的相似对角化

a c a1 ,
b c
d b2 c1 ,
,
d d2 .
由于P可逆，c、d不能同时为0，不妨
设c≠0，则有λ1=1，再由第一式有c=0，这导致矛盾.此矛盾说明不可能存在可逆阵P
使P-1AP成对角形.即A在数域P上不能对角
化。
那么，什么样的矩阵是可以对角化
的呢? 如果A可相似对角化，则存在可逆阵
由于P可逆，α1，…，αn是线性无关的. 此式说明，要使A可对角化，A必须有n 个线性无关的特征向量，而与A相似的对
角形矩阵中的λi(i=1, …,n)则是A的特征值.
以上分析说明，矩阵A是否可对角化，与A的特征值、特征向量的状况有密切关系.
定理5.2.3 n阶矩阵A可相似对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征
故得
Ak
1 1
21
1 0
k1 11
11 2
1 1
21
1 0
k1
2 1
11
1 1
2kk1 12
11
k 1 k
kk1
相似矩阵还有下列重要性质.
定理5.2.1 设A∽B，则有 (1) R(A)= R(B)，此处R(A)，R(B)分
别是A、B的秩;
(2) A B ; (3) A可逆时B也可逆，反之亦然.当A 可逆时还有A－1∽B－1. 证 (1)和(2)是显然的，只证(3).
,
B 10 11
E A E B 12 ，但A与B不是相似
的，因为A是单位阵，对任意可逆阵P，
P-1AP= P-1P=E=A，从而与单位阵相似的
矩阵只能是其本身.
由定理5.2.2可知，相似的矩阵有相同
特征值.如果能找到与A相似的较简单的矩阵，则可简化许多问题的处理.在n阶矩阵

第二十讲矩阵的对角化

20.1 矩阵可对角化的条件设矩阵有个线性无关的特征向量令则是一个对角矩阵其对角元素是的特征值：20.1 矩阵可对角化的条件事实上，于是因可逆，故20.1 矩阵可对角化的条件若存在可逆矩阵使为对角矩阵，则称矩阵是可对角化的(diagonalized).由上面的分析知，反之也成立. 故有定理：矩阵可对角化的充要条件是有个线性无关的特征向量.20.1 矩阵可对角化的条件例：的特征值为故只有个线性无关的特征向量，因此不能对角化.20.1 矩阵可对角化的条件定理：设是的互异特征值，是相应特征向量. 则线性无关.证明：设两边左乘得再左乘得不断左乘直到得故有20.1 矩阵可对角化的条件左边第二个矩阵的行列式行列式因此该矩阵可逆，故由于特征向量均为非零向量，故所以线性无关.20.1 矩阵可对角化的条件推论：具有个两两互异特征值的矩阵可以对角化.但若矩阵有相同特征值，其也可能对角化.例：有重特征值任何可逆矩阵都使是对角阵. 这反映了所有非零向量都是单位矩阵的特征向量.20.2 特征值的代数重数和几何重数定义：设其中称为特征值的代数重数(algebraicmultiplicity)，记作称为特征值的几何重数(geometric multiplicity)，记作例：20.2 特征值的代数重数和几何重数例：例：20.2 特征值的代数重数和几何重数一般地，命题：引理1：相似矩阵具有相同的特征多项式.事实上，设可逆，则我们有20.2 特征值的代数重数和几何重数引理2：任意复方阵相似于上三角阵，且其对角元为矩阵的特征值. 证明：对方阵的阶数用数学归纳法.时结论成立. 假设对阶复方阵结论成立.对任意阶复方阵设其有特征值及相应特征向量则可将其扩充得的一组基有记则有20.2 特征值的代数重数和几何重数对阶复方阵由归纳假设, 存在可逆阵使得为上三角阵.令为上三角阵.则结论第一部分得证.由引理1知上三角阵的对角元为的特征值.20.2 特征值的代数重数和几何重数命题的证明：由引理2，相似于上三角阵则和有相同特征值，且对任意特征值因此，不妨设是上三角阵，即于是故20.2 特征值的代数重数和几何重数定理：复方阵可对角化对任意特征值事实上，若则故有个线性无关的特征向量.从而可对角化.20.2 特征值的代数重数和几何重数例：判断是否可对角化，若可以求使为对角阵.解：于是又因此，可对角化.20.2 特征值的代数重数和几何重数对的基础解系为对的基础解系为20.2 特征值的代数重数和几何重数令则20.2 特征值的代数重数和几何重数注：可以看到，使对角化的矩阵不是唯一的. 一个特征向量乘以非零常数后仍是属于同一特征值的特征向量，所以若用任意非零常数乘以的各列，则得一个新的使对角化的矩阵. 而对于重特征值则有更大自由度. 上例中由的任意线性组合得到的两个线性无关的向量都可充当的前两列.20.2 特征值的代数重数和几何重数例：设其中为矩阵.的秩为的秩为故可对角化.20.3 矩阵可对角化的应用若矩阵可对角化，则可快速计算例：设求解：的特征值可对角化.20.3 矩阵可对角化的应用对的基础解系为对的基础解系为20.3 矩阵可对角化的应用令则故20.3 矩阵可对角化的应用例（Markov过程）：每年海淀区以外人口的迁入海淀区，而海淀区人口的迁出. 这给出一个差分方程：设最初外部人口为内部人口为则一年以后外部人口内部人口即20.3 矩阵可对角化的应用这个虚构的人口迁移过程有两个特点：(1)人口总数保持不变；(2)海淀区外部和内部的人口数不是负的. 我们称之为Markov(马尔科夫)过程.由性质(1)，矩阵每一列元素之和为由性质(2)，矩阵元素非负. 同样等也非负.20.3 矩阵可对角化的应用记取则20.3 矩阵可对角化的应用于是我们可求和年之后的人口分布：20.3 矩阵可对角化的应用可以看出，经过很多年之后，会变得非常小，从而这个解达到一个极限状态：此时，总人口仍为与初始状态相同. 但在此极限状态下,总人口的在外部，在内部, 并且这个数据无论初始分布怎样总成立.20.3 矩阵可对角化的应用注意到即这个稳定状态是Markov矩阵关于的特征向量.20.3 矩阵可对角化的应用例（Fibonacci数列）：数列满足规律这是一个差分方程.怎样由出发，求出Fibonacci数列的通项公式呢？20.3 矩阵可对角化的应用令则即于是只需求20.3 矩阵可对角化的应用故20.3 矩阵可对角化的应用初始值给出于是Fibonacci数是这个乘积的第二个分量20.3 矩阵可对角化的应用我们希望研究由差分方程描述的离散动力系统的长期行为，即时解的性质.设可对角化，即存在可逆矩阵其中使为对角阵.则其中即可以看出，的增长由因子支配. 因此系统的稳定性依赖于的特征值.20.3 矩阵可对角化的应用对由一个差分方程定义的离散动力系统，当的所有特征值时，它是稳定的(stable)，且；当所有时，它是中性稳定的(neutrally stable)，且有界；而当至少有一个特征值时，它是不稳定的(unstable)，且是无界的.Markov过程是中性稳定的，Fibonacci数列是不稳定的.20.3 矩阵可对角化的应用例：考虑差分方程其中的特征值为其对角元和故该系统是稳定的.由任何一个初始向量出发，的解必定最终趋向于如：20.3 矩阵可对角化的应用可以看到从开始，而的实际作用是，若把分解成的两个特征向量的和：则把属于的特征向量化为零，而把属于的特征向量乘以20.4 同时对角化问题：给定两个阶矩阵是否存在可逆矩阵使得同时为对角阵，也即同时对角化？命题：若有相同特征向量矩阵使得为对角阵，则事实上，20.4 同时对角化重要的是，“逆”命题也成立. 我们不加证明地给出：定理：若均可对角化，且则可同时对角化.注意到，若则故和是的属于同一特征值的特征向量. 看简单的情况.假设的特征值两两互异，则其所有特征子空间都是一维的. 于是必是的倍数，也即是的特征向量. 从而有公共特征向量矩阵，可同时对角化.20.4 同时对角化定理：对阶复矩阵若矩阵的特征值两两互异，则可同时对角化.20.4 同时对角化小结：1. 矩阵可对角化，指存在可逆矩阵使为对角阵.2. 矩阵可对角化有个线性无关的特征向量.3. 若复矩阵有个互异特征值，则可对角化.4. 复矩阵可对角化任意特征值的几何重数等于代数重数.5. 设可对角化, 即存在可逆阵使则6. 差分方程的解为其中。

特殊矩阵对角化问题

特殊矩阵对角化问题
特殊矩阵的对角化问题可以通过找到其特征值和特征向量来解决。

以下是处理几种常见的特殊矩阵的方法：
1. 对于对称矩阵，可以通过正交对角化将其对角化。

正交对角
化过程中，需要找到矩阵的特征向量，然后将这些特征向量进行归
一化并组成一个正交矩阵，最后通过正交矩阵将原对称矩阵对角化。

2. 对于实对称矩阵，由于其特征值都是实数，所以可以通过实
单位阵的线性组合来表示。

即对于特征值为λi 的特征向量 vi，
将其归一化后组成的矩阵 P，有 A = PDP^(-1)，其中 D 为对角矩阵，其对角元素为矩阵 A 的特征值。

3. 对于矩阵的指数形式（exp）和对数形式（log），可以通过
泰勒级数展开来求解。

利用指数和对数函数的特殊性质，可以将矩
阵进行相似变换，进而简化计算过程。

4. 对于矩阵的厄米特（Hermitian）或酉（unitary）形式，可
以利用厄米特矩阵的对角化结果，并利用厄米特矩阵和酉矩阵的相
似性质，将矩阵对角化为对角矩阵。

5. 对于矩阵的奇异值分解（SVD），可以通过矩阵的特征值和
特征向量来求解。

具体地，通过对矩阵的转置和矩阵本身进行乘积
得到矩阵的协方差矩阵，并对其进行特征分解。

最后利用矩阵的特
征分解和协方差矩阵的特殊性质，获取矩阵的奇异值分解结果。

矩阵可对角化的总结

矩阵可对角化的总结(总15页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--矩阵可对角化的总结莆田学院数学系02级1班连涵生［摘要］：主要讨论n级方阵可对角化问题：（1）通过特征值，特征向量和若尔当标准形讨论方阵可对角化的条件；（2）实n级对称矩阵的可对角化讨论；（3）几个常见n 级方阵的可对角化讨论。

［关键词］：n级方阵；可对角化；相似；特征值；特征向量；若尔当标准形；n级实对称矩阵说明：如果没有具体指出是在哪一个数域上的n 级方阵，都认为是复数域上的。

当然如果它的特征多项式在某一数域K上不能表成一次多项式的乘积的话，那么在此数域上它一定不能相似对角阵。

只要适当扩大原本数域使得满足以上条件就可以。

复数域上一定满足，因此这样假设，就不用再去讨论数域。

引言所谓矩阵可对角化指的是矩阵与对角阵相似，而说线性变换是可对角化的指的是这个线性变换在某一组基下是对角阵（或者说线性变换在一组基下的矩阵是可对角化的），同样可以把问题归到矩阵是否可对角化。

本文主要是讨论矩阵可对角化。

定义1：设A，B是两个n级方阵，如果存在可逆矩阵P，使P-1AP=B，则称B与A相似，记作A～B。

矩阵P称为由A到B的相似变换矩阵。

[]1[]2[]3[]423定义2：设A 是一个n 级方阵，如果有数λ和非零向量X ，使AX=λX 则称λ是矩阵A 的特征值，X 称为A 的对应于λ的特征向量，称{|}V A λααλα==为矩阵对应于特征值λ的特征子空间。

[]1[]2[]3[]4定义3：设A 是数域P 上一个n 级方阵，若多项式()[]f x P X ∈，使()0f A =则称()f x 为矩阵A 的零化多项式。

[]2定义4：数域P 上次数最低的首项为1的以A 为根的多项式称为A 的最小多项式。

[]1[]2[]3一、首先从特征值，特征向量入手讨论n 级方阵可对角化的相关条件。

定理1：一个n 级方阵A 可对角化的充要条件它有n 个线性无关的特征向量。

矩阵的相似与对角化求解

矩阵的相似与对角化求解矩阵是线性代数中重要的概念之一，广泛应用于各个领域。

在研究矩阵的性质时，相似和对角化是两个关键的概念。

本文将为您介绍矩阵的相似性和对角化求解方法，并探讨它们在实际问题中的应用。

一、矩阵的相似性矩阵的相似性是指两个矩阵具有相同的特征值和特征向量。

当两个矩阵相似时，它们的性质也会类似。

在数学中，我们用矩阵P表示可逆矩阵，如果矩阵A和B满足P^-1AP=B，那么我们称A和B是相似矩阵。

矩阵的相似性具有以下三个性质：1. 相似性是一种等价关系。

即对于任意的矩阵A，A与自身相似；若A与B相似，则B与A相似；若A与B相似，B与C相似，则A 与C相似。

2. 相似矩阵具有相同的行列式、迹和秩。

这意味着相似矩阵在行列式、迹和秩等方面具有相似的性质。

3. 相似矩阵具有相似的特征值和特征向量。

这是矩阵相似性的核心概念，相似的矩阵具有相同的特征值和特征向量。

二、矩阵的对角化求解方法对角化是指将一个矩阵通过相似变换，转化为对角矩阵的过程。

对角化的求解可以简化矩阵的运算，方便研究矩阵的性质。

下面介绍一种常用的对角化求解方法——特征值分解。

特征值分解是将一个n阶矩阵A分解为A=PDP^-1的形式，其中D是对角矩阵，P是可逆矩阵，D的主对角线上的元素是A的n个特征值。

特征值分解的步骤如下：1. 求出矩阵A的特征值。

特征值可以通过求解特征方程det(A-λI)=0来获得，其中λ是特征值，I是单位矩阵。

2. 根据特征值求出对应的特征向量。

对于每一个特征值λ，通过求解(A-λI)x=0来获得对应的特征向量x。

3. 构造可逆矩阵P。

将所有的特征向量按列组成矩阵P，即P=[x1,x2,...,xn]。

4. 构造对角矩阵D。

将特征值按照对应的特征向量顺序放在D的主对角线上。

5. 得到对角化的矩阵A。

通过A=PDP^-1可以得到矩阵A的对角化形式。

三、应用示例矩阵的相似性和对角化在实际问题中具有广泛的应用。

以下是一些常见的应用示例：1. 线性系统求解：矩阵的相似性可以将一个复杂的线性方程组转化为一个简单的对角形式，从而求解线性系统变得更加方便。

相似矩阵对角化问题

相似矩阵对角化问题
相似矩阵对角化问题是一个重要的线性代数问题，涉及到矩阵的特征值和特征向量。

如果一个矩阵A可以被相似对角化，即存在一个可逆矩阵P，使得P^{-1}AP是对角矩阵，那么矩阵A就被称为可对角化的。

可对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。

具体来说，如果矩阵A有n个线性无关的特征向量，那么存在一个可逆矩阵P，使得P^{-1}AP=∧是对角矩阵，其中∧是对角线上为A的特征值的对角矩阵。

因此，A的相似对角化可以通过求解特征值和特征向量来实现。

此外，如果矩阵A的n个特征值互不相等，那么A一定可对角化。

这是因为如果特征值互不相等，那么对应的特征向量一定线性无关，从而满足可对角化的条件。

因此，对于一个给定的矩阵A，我们可以通过求解特征值和特征向量来判断其是否可对角化，并进一步通过相似对角化来简化矩阵的表示和计算。

矩阵对角化问题

返回
结束
2 (2) A E
3
1 3 0
2 3 2
5 1
2 1 2 A 5 3 3 1 0 2
1 0
3 A E 5 1
1 2 3 1.
2
2 4 2
(1) A E 2
2 7 0
得 1 2 2, 3 7
目录上页下页返回结束
当 1 2 2 时，齐次线性方程组为 A 2 E X 0
1 2 2 1 2 2 A 2 E 2 4 4 0 0 0 2 4 4 0 0 0 2 2 p1 1 , p2 0 . 得基础解系 0 1 当 3 7 时，齐次线性方程组为 A 7 E X 0 1 1 0 8 2 2 2 2 5 4 0 1 1 A 7E 0 0 0 2 4 5
(1)求出A的所有特征值 1 , 2 ,, t , 其重数分别为 n1 , n2 ,, nt , (2)对每一个 i , 求出 (i E A) x 0的基础解系 i 1 , i 2 ,, i ,
ni
从而得对应 i 的 ni 个线性无关的特征向量
i1 , i 2 ,, i , 其中i 1,2,, t.
第五章矩阵对角化问题
1. 方阵对角化的概念对n 阶矩阵 A ，寻找相似变换矩阵 P ，使
P 1 AP (为对角阵)
这就称为把方阵 A 对角化. 说明如果能找到可逆矩阵 P ，使 P 1 AP ，则 A可对角化；

矩阵的对角化

矩阵对角化一、矩阵的对角化涉及到四个方面的问题：（1）可对角化的判定；（2）相似矩阵的性质与应用；（3）一般矩阵的对角化及应用；（4）实对称矩阵的正交对角化及应用。

二、与方阵的对角化的相关的命题：思路：①n 阶方阵A 可对角化⇔A 有n 个线性无关的特征向量；②对n 阶方阵A 的任一特征值i λ（设i k 为重根），有()i i n r E A k λ--=例：已知2253111a A b ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭有特征值问A 能否对角化？说明理由。

解：由于1±是A 特征值，将其代入特征值方程，求其行列式有 A =71)01a a E--+=⇒=-（ 2(3)03E A b b --=-+=⇒=-故212533111A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭3333111(1)2(3)(1)2i iii i aλλλ===⇒+-+=+-+-⇒=-∑∑那么A 有3个不痛的特征值，故A 可以对角化。

例：设A 为3阶矩阵，123,,ααα是线性无关的三维列向量，且满足1123+A αααα=+，223A =2+ααα，323A =2+3ααα。

（I ）求矩阵B ，使得()()123123,,,,A B αααααα=；（II ）求巨神A 的特征值；（III ）求可逆矩阵P 使得1P AP -为对角矩阵。

解：（I ）由题设条件，有：()()()1231231232323,,,,,2,23A A A A ααααααααααααα==++++()123100,,122113ααα⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭可知100122113B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（II ）因为123,,ααα是线性无关的三维列向量，可知矩阵()123,,C ααα=可逆，且由AC CB =，有1C AC B -=，即矩阵A 与B 相似，由此可得矩阵A 与B 有相同的特征值。

由()()2100122140113E B λλλλλλ--=---=--=---得矩阵B 的特征值，也即矩阵A 的特征值为121λλ==，34λ=（III ）对应于121l l ==解齐次线性方程组()0E B x -=，得基础解系：()()121,1,0,2,0,1T Tx x =-=-对应于34l =解齐次线性方程组()40E B x -=，得基础解系：()30,1,1Tx =令矩阵()123120,,101011Q ξξξ--⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，则 1100010004Q BQ -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭()()1111Q BQ Q C ACQ CQ AC CQ ----==记矩阵()()123121323120,,101,2,011P CQ ααα--⎛⎫⎪===-∂+∂-∂+∂∂+∂ ⎪ ⎪⎝⎭则有11p AP Q BQ --=为对角矩阵，故Ｐ即为所求的可逆矩阵。

线性代数矩阵的对角化

1 0 0 P AP = 0 1 0 . 0 0 − 2
−1
则有
−1 1 1 −2 0 P −1 AP = 0 1 0 0
−2 0 1 0 , 0 1 0 0 . 1
则有
即矩阵 P 的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应．．要相互对应
故
Ak = Pdiag(λ1k ,⋯ , λnk ) P −1
λ1k = P P −1 (6(6-11′) ⋱ k λn
λ2k
λ −4 λI − A = 3
3
−6 λ +5 6
0 0
= (λ − 1) (λ + 2)
2
λ −1
所以A的全部特征值为 λ1 = λ2 = 1, λ3 = −2.
− 2 ξ1 = 1 , 0
0 ξ2 = 0 . 1
将 λ3 = −2代入 (λI − A ) x = 0, 得方程组的基础解系
例3 试将矩阵
解特征多项式为
k (λ ) = 3− λ 2 2
3 − 1 − 2 对角化. A= 2 0 − 2 2 − 1 − 1
故特征方程有根
λ (λ − 1) 2 = 0
λ1 = 0, λ 2 = λ3 = 1
为
对于λ1=0, (6(6-1′)
−1 −2 3− λ 1 2 −λ −2 = 2 2 λ −1 −1− λ 2 1 1+ λ
ρλ = mλ
（证略）证略）
例５考察矩阵 A =
1 1 是否可对角化. 0 1
可求出对应于特征值λ=1的特征向量. 由于方程组的系数矩阵之秩为1，故对应的特征子空间是1维的，维的，即

高考数学知识点解析矩阵的相似对角化与应用

高考数学知识点解析矩阵的相似对角化与应用高考数学知识点解析：矩阵的相似对角化与应用在高考数学中，矩阵的相似对角化是一个较为重要的知识点，它不仅在数学理论中有着深刻的意义，而且在实际应用中也具有广泛的用途。

本文将对矩阵的相似对角化进行详细的解析，并探讨其在高考数学中的常见应用。

一、矩阵相似对角化的基本概念首先，我们来了解一下什么是矩阵的相似。

设 A、B 是两个 n 阶矩阵，如果存在可逆矩阵 P，使得＼（P^｛－1}AP ＝ B\），则称矩阵 A 与矩阵 B 相似。

而矩阵的相似对角化，就是指对于一个 n 阶矩阵 A，如果存在一个可逆矩阵 P 和一个对角矩阵＼（Λ\）（对角线上的元素为矩阵 A 的特征值），使得＼（P^｛－1}AP ＝Λ\），则称矩阵 A 可相似对角化。

为了实现矩阵的相似对角化，我们需要求出矩阵的特征值和特征向量。

特征值＼（λ\）满足方程＼（｜A λE| ＝ 0\）（其中 E 为单位矩阵），而对应的特征向量＼（x\）满足＼（Ax ＝λx\）。

二、求矩阵特征值和特征向量的方法对于一个 n 阶矩阵 A，计算其特征值的具体步骤如下：首先，写出矩阵＼（A λE\）的行列式，然后求解方程＼（｜AλE| ＝ 0\），得到的解即为矩阵 A 的特征值＼（λ\）。

求出特征值后，将每个特征值代入方程＼（（A λE)x ＝ 0\），通过解线性方程组来求得对应的特征向量。

这里需要注意的是，对于一个特征值，可能存在多个线性无关的特征向量。

三、矩阵可相似对角化的条件一个 n 阶矩阵 A 可相似对角化的充要条件是：矩阵 A 有 n 个线性无关的特征向量。

如果矩阵 A 的特征值互不相同，那么一定可以相似对角化。

但如果存在重特征值，就需要判断其对应的线性无关的特征向量的个数。

例如，对于一个 2 阶矩阵，如果有两个不同的特征值，那么它一定可以相似对角化；如果只有一个特征值，且对应的特征向量只有一个，那么就不能相似对角化。

第五章矩阵的对角化问题

矩阵 A 的相似标准形。（2）可逆矩阵 P 由 A 的 n 个线性无关的特征向量作列向量构成。
22
例1: 判断下列实矩阵能否化为对角阵？
1 2 2 2 2 4 (1) A 2 4 2
解:
2 1 2 5 3 3 (2) A 1 0 2 2 2 4 2
3
2 p2 3 p3
取 P p1
1

p2
1 p1 p2 p3 2 1 1 1 p3 0 1 2 1 0 1

2
0 3
21
定理1： n 阶矩阵 A 可对角化（与对角阵相似）
A 有 n 个线性无关的特征向量。
推论：若 n 阶方阵 A 有 n 个互不相同的特征值,
则 A 可对角化。（与对角阵相似） (逆命题不成立) 注：（1）若 A , 则的主对角元素即为 A 的特征值，
如果不计
k 的排列顺序，则唯一，称之为
1 2
(1) A E 2
2 4
的 n 个特征值为 , ,,
1 2
n
1＋2＋＋n a11 a22 ann
aii tr ( A)
i 1 n
称为矩阵A的迹。（主对角元素之和）
2)

i 1
n
i
12 n＝ A
9
例2 ：设为矩阵 A 的特征值，求 A2 2 A E 的特征值；若 A 可逆，求 A , E A
等号左边第二个矩阵的行列式为Vandermonde行列式，当 i 各不相同时，该行列式的值不等于零，所以存在逆矩阵。

第五章 .特征值特、征向量及矩阵对角化总结

第五章特征值、特征向量及矩阵的对角化（填空、选择为主）5.1矩阵的特征值和特征向量定义（矩阵的特征值和特征向量）设A 为n 阶方阵，如果存在数λ及非零向量x,使得 x Ax λ=(4-1) 或0)(=-x A E λ (4-2)则称λ为A 的一个特征值，x 为A 的对应于（或属于）特征值λ的一个特征向量. 求n 阶方阵A 的特征值与特征向量的一般步骤如下：第一步：计算特征多项式||A E -λ；第二步：求出特征方程||A E -λ=0的全部根n λλλ,,,21 （重根按重数计算），则n λλλ,,,21 就是方阵的全部特征值.如果i λ为特征方程的单根，则称i λ为A 的单特征值；如果j λ为特征方程的k 重根，则称j λ为A 的k 重特征值，并称k 为j λ的重数；第三步：对A 的相异特征值中的每个特征值i λ,求出齐次线性方程组 0)(=-A E i λ(4-3)的一个基础解系j ik i i ξξξ,,,21 ，则j ik i i ξξξ,,,21 就是对应于特征值i λ的特征空间的一个基，而A 的属于i λ的全部特征向量为 j j ik k i i c c c x ξξξ+++= 2211 其中j k c c c ,,,21 为不全为零的任意常数.特征值和特征向量有下列基本性质：性质1 设n n ij a A ⨯=)(的全部特征值为n λλλ,,,21 ，则有||,21121A an ni iin ==+++∑=λλλλλλ利用性质1可以简化有关特征值问题的某些计算.性质2 设λ为方阵A 的一个特征值，且x 为对应的特征向量，则对任何正整数k,kλ为kA 的一个特征值且x 为对应的特征向量.更01)(a x a x a x f m m +++= ，则)(λf 为方阵E a A a A a A f m m 01)(+++= 的一个特征值，且x 为对应的特征向量.性质3 设λ为可逆方阵A 的一个特征值，则λλ1,0≠为1-A 的一个特征值，λ||A 为*A 的一个特征值性质4 设m λλλ,,,21 为方阵A 的互不相同的特征值，i x 为属于i λ的特征向量),,2,1(m i =，则向量组m x x x ,,,21 线性无关.更一般的，设i ik i i x x x ,,,21 为属于i λ的线性无关特征向量),,2,1(m i =，则向量组 m m k m m k k x x x x x x x x x ,,,,,,,,,,,,21222211121121 线性无关性质5 设重特征值，则属于的为方阵k A 0λ0λ的线性无关特征向量的个数不大于k 关于特征值与特征向量的结论见下图：5.2相似矩阵及方阵可相似对角化的条件定义（相似矩阵）对于同阶矩阵A,B ，若存在同阶可逆矩阵P ，使得B AP P =-1（4-4）则称A 与B 相似，或A 相似于B ，并称变换：AP P A 1-→ 为相似变换.矩阵的相似关系具有反身性(A 与A 相似)、对称性（A 与B 相似，则B 与A 相似）和传递性（A 与B 相似，B 与C 相似，则A 与C 相似）.定理（矩阵A 与B 相似的必要条件）设矩阵A 与B 相似，则有 (1))()(B r A r =； (2)||||B A =；(3)||||B E A E -=-λλ，即A 与B 有相同的特征多项式（从而A 与B 有相同的特征值）（但要注意到其特征向量不一定相等）；(4)TA 与TB 相似，1-A 与1-B相似，k A 与kB 相似.推论若n 阶矩阵A 相似于对角矩阵∧=diag(ƛ1,ƛ2,…，ƛn )时，∧的主对角线元素ƛ1,ƛ2,…，ƛn 就是A 的n 特征值.定理（矩阵相似与对角矩阵的充分必要条件）n 阶矩阵A 相似于对角矩阵的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量.推论矩阵A 相似于对角矩阵的充分必要条件是A 的属于每个特征值的线性无关特征向量个数正好等于该特征值的重数.定理（矩阵相似于对角矩阵的充分条件）如果n 阶矩阵A 有n 个互不相同的特征值（即A 的特征值都是特征值），则A 必相似于对角矩阵.矩阵可相似对角化的条件见下图（设A 是n 阶矩阵）5.3 向量的内积、长度及正交性定义几何中，两个向量的数量积定义为：其中是的长度，是的夹角.如果在直角坐标系下，向量表示为则依据坐标表示向量的长度为：，向量的夹角为：代数中定义设维向量称为向量的内积.称为向量的长度（或范数），特别，当时，称为单位向量.称为向量与的夹角；特别，，当（即）时，称向量与正交. 注：内积是向量的一种运算，如果x 和y 都是列向量，可以记作[x ，y]=x T y ，其结果是一个数.且[x ，x]=x 1^2+x 2^2+…+x n ^2≥0，当且仅当x=0时成立.4. 向量长度的性质：（1）非负性：0≥α且00=⇔=αα （2）齐次性：ααk k = （3）三角不等式：βαβα+≤+以上定义的概念有如下性质：1 ．2 ．3 ．4 ．，（）5 ．6 ．7 ．称一组两两正交的非零向量为正交向量组.定理设n维向量是一组两两正交的非零向量（或称是正交向量组），则线性无关.证设，两边与作内积，得因故，同理，，所以线性无关.定义设是向量空间，是的一组基，且是正交向量组，则称是的一组正交基.如果既是的一组正交基，又是单位向量，则称是规范正交基或单位正交基.正交基的求法（施密特正交化公式解决矩阵的对角化问题）：1.正交化设是向量空间，是的一组基，则，，是的一组正交基.2.单位化如果取则是规范正交基.例3 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1211α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1312α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0143α，试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化.解取11α=b ；[]⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=1113512164131,1211222bb b b αα； [][]⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--=1012,,222231211333b b b b b b b ααα. 再把它们单位化，取⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=121611e ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111312e ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101213e .即合所求.例4 已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111α，求一组非零向量32,αα，使321,,ααα两两正交.解 32,αα应满足方程01=x Tα，即0321=++x x x .它的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1011ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1102ξ.把基础解系正交化，即合所求.亦即取 12ξα=，[][]1112123,,ξξξξξξα-=.于是得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1012α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=121213α.正交矩阵定义 1 ．是阶方阵，并且（即），称为正交阵.2 ．若是正交阵，则称是正交变换.正交阵的充要条件：为正交阵的列（行）是两两正交的单位向量.为正交矩阵的充要条件是或证设，是的列向量，则为正交阵是两两正交的单位向量.正交矩阵的等价定义：正交矩阵有下列基本性质：设A,B 都是n 阶正交矩阵，则（1）1±=A（2）*T 1A A A ）与（即-也是正交矩阵（注：A 为正交能推出A 为可逆矩阵且T1A A =-，但反之不成立）（3）如果A,B 为同阶正交矩阵，则AB 也是正交矩阵.(4)实矩阵A 为正交矩阵，当且仅当A 的列（行）向量组为正交单位向量组. 利用上述的性质(4)，可以比较方便的检验矩阵是否为正交矩阵. 正交变换定义若P 为正交阵，则线性变换y=P x 称为正交变换.正交变换的性质：设是正交变换的系数矩阵，则，从而及.正交变换有下列性质（其中A为正交矩阵）：(1)保内积性：若2211,AxyAxy==，则),(),(2121xxyy=；(2)保长度性：若Axy=，则||||xy=正交矩阵的判断例题5.4实对称矩阵的性质及正交相似对角化实对称矩阵有下列性质：性质1 实对称矩阵的特征值都是实数.性质2 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量必正交.即设λ1，λ2是实对称矩阵A的两个特征值，p1，p2是对应的特征向量，若λ1≠λ2则p1与p2正交.性质3 若λ为实对称矩阵A的k重特征值，则A的属于λ的线性无关特征向量正好有k个.定理设A为实对称矩阵，则必存在正交矩阵P，使得APPAPP T=-1为对角矩阵.求正交矩阵P，使得Λ=-APP1对角矩阵的方法：1）、求出A的全部特征值nλλλ,,21：由方程0||=-AEλ解得；2）、对于每一个),,2,1(,nii=λ，解齐次线性方程组0)(=-xAEiλ，找出基础解系siiippp,,,213）、将nppp,,,21正交化，单位化，得一组正交单位向量nηηη,,,21；4）、因为nλλλ,,21各不相同，因此所求的向量组是两两正交的单位向量组，其向量的总数为n，这组列向量就构成了正交矩阵Q。

对角矩阵的对角化方法总结

ξ4对角矩阵的对角化
性质1对称矩阵的特征值为实数.
性质2设21,λλ是对称矩阵A 的两个特征值，21,p p 是对应的特征向量.若21λλ≠，则1p 与2p 正交.
定理5设A 为n 阶对称矩阵，则必有正交矩阵P ,使Λ==-AP P AP P T 1,其中Λ是以A 的n 个特征值为对角元的对角矩阵.
推论设A 为n 阶对称矩阵，λ是A 的特征方程的k 重根，则矩阵E A λ-的秩k n E A R -=-)(λ，从而对应特征值λ恰有k 个线性无关的特征向量.对称矩阵A 对角化的步骤：
（ⅰ）求出A 的全部互不相等的特征值s λλ,,1 ，它们的重数依次为)(,,11n k k k k s s =++ .
（ⅱ）对每个i k 重特征值i λ，求方程0)(=-x E A i λ的基础解系，得i k 个线性无关的特征向量.再把它们正交化、单位化，得i k 个两两正交的特征向量.因n k k s =++ 1，故总共可得n 个两两正交的单位特征向量.（ⅲ）把这n 个两两正交的单位特征向量构成正交矩阵P ,便有Λ==-AP P AP P T 1.注意Λ中对角元的排列次序应与P 中列向量的排列次序相对应.
例12设
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=011101110A ,求一个正交矩阵P ，使Λ=-AP P 1为对角矩阵.
例13设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2112A ,求n A .。

第五章矩阵的对角化

所以1 , 2 , 3线性无关.
2 1 2 ( 2) A 5 3 3 1 0 2 2 1 A E 5 1 3 0
2
3 3 1 2
所以A的特征值为1 2 3 1. 把 1代入 A E x 0, 解之得基础解系 T (1,1,1) ,
0 1 2 5 100 2 3 1 1 5 52
100
5 2101

2. 求行列式
例5：设 A 是 n 阶方阵，2,4, 计算 A 3 E .
,2n 是A 的 n个特征值，
解：
已知 A 有 n 个不同的特征值，所以 A 可以对角化，
即存在可逆矩阵 P , 使得 2 P 1 AP 1
说明如果 A 的特征方程有重根，此时不一定有 n个线性无关的特征向量，从而矩阵 A不一定能对角化，但如果能找到 n个线性无关的特征向量， A 还是能对角化．
可逆矩阵 P就是以这 n个线性无关的特征向量作为列向量而成的。
定理3、设 0 是n阶方阵 A的一个 k重特征值，则 A的属于特征值 0的特征向量中，极大线性无关组含包的向量个数不多于k个。即齐次线性方程组（ 0 E A）x 0 的基础解系包含的向个量数最多有 k个。
定理2、设λ 1，λ2， λm 是方阵A的m个互不相同的特征值，α i1 , α , α i2 , isi 是A的属于特征值λ i (i 1,2,,m)的线性无关的特征向量，则有所有这些特征向量组成的向量组 α ，α1s1, α21 , α22 , , α2s2 , , αm1 , 11，α 12， αm2 , , αms m 是线性无关的。

关于矩阵等价合同相似以及可对角化的性质和判别条件的总结

6.对于实对称矩阵A、B，A B A与B合同，反之不成立
A B A和B具有相同的特征值 A与B合同
矩阵A与B等价、合同、相似的判别条件
矩阵A与B等价
可逆矩阵PQ,使得B PAQ r( A) r(B),且A与B为同型矩阵
故矩阵A与B等价 r( A) r(B)，反之不一定成立
r( A) r(B) A 与 B 同号矩阵A与B合同 A与B具有相同的特征值 A与B的正、负特征值个数分别相等，即正特征值个数相等，负特征值个数相等
可逆矩阵C，使得CT AC B
xT
Ax与xT
Bx有相同的正负惯性指数
1.矩阵A与B合同 A与B的特征值中，正特征值个数相等，负特征值个数相等
r A r B
A B
A有n个线性无关的特征向量
2.n阶矩阵A可对角化
对于A的每个特征值i ,其重数ki
A有n个不同的特征值
n
r iE
A
A为实对称矩阵
0
A
a11a22
ann
aii 0,i 1, 2, , n.
5.矩阵A与B相似：即可逆矩阵P，使得B P1AP.
r A r B
A、B具有相同的特征多B具有许多相同的性质
A、B具有相同的特征值 AB
tr A tr B,即： aii bii
A1 B1、AT B、A* B、f ( A) f (B)，其中f (x)为关于x的多项式
矩阵A与B的相似问题一般只对实对称矩阵而言，
即矩阵A与B均为实对称矩阵。
实对称矩阵A与B相似 A与B具有相同的特征值
此外还可以根据A与B相似的必要条件进行判别
A
Ann
是
否
是
A是否为实对称矩阵