2020高中数学第三章指数函数和对数函数3.5对数与对数函数课时作业11

第5讲 对数与对数函数

一、选择题

1.(2015·四川卷)设a ，b 为正实数，则“a >b >1”是“log 2a >log 2b >0”的( )

A.充分必要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

解析 因为y ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增，所以当a >b >1时，有log 2a >log 2b >log 21＝0；

当log 2a >log 2b >0＝log 21时，有a >b >1.

答案 A

2.(2017·上饶模拟)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( )

A.a ＝b

B.a ＝b >c

C.a

D.a >b >c

解析 因为a ＝log 23＋log 23＝log 233＝32

log 23>1，b ＝log 29－log 23＝log 233＝a ，c ＝log 32

答案 B

3.若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是( )

解析 由题意y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像过(3，1)点，可解得a ＝3.选项A 中，y ＝3－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x

，显然图像错误；选项B 中，y ＝x 3，由幂函数图像可知正确；选项C 中，y ＝(－x )3＝－x 3，显然与所画图像不符；选项D 中，y ＝log 3(－x )的图像与y ＝log 3x 的图像关于y 轴对称，显然不符.故选B.

答案 B

4.已知函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3－x ＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312的值是( ) A.5 B.3 C.－1 D.72

解析 由题意可知f (1)＝log 21＝0，

f (f (1))＝f (0)＝30＋1＝2，

f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lo

g 312＝3－log 312

＋1＝3log 32＋1＝2＋1＝3， 所以f (f (1))＋f ⎝

⎛⎭⎪⎫log 312＝5. 答案 A

5.(2016·浙江卷)已知a ，b >0且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则( )

A.(a －1)(b －1)<0

B.(a －1)(a －b )>0

C.(b －1)(b －a )<0

D.(b －1)(b －a )>0 解析 ∵a >0，b >0且a ≠1，b ≠1.

由log a b >1得log a b a >0.

∴a >1，且b a >1或0

则b >a >1或00.

答案 D

二、填空题

6.设f (x )＝log ⎝ ⎛⎭

⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是________. 解析 由f (x )是奇函数可得a ＝－1，

∴f (x )＝lg 1＋x 1－x

，定义域为(－1，1). 由f (x )<0，可得0<1＋x 1－x

<1，∴－1

7.设函数f (x )满足f (x )＝1＋f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫12log 2x ，则f (2)＝________. 解析 由已知得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·log 22，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12

，则f (x )＝1＋12·log 2x ，故f (2)＝1＋12·log 22＝32

. 答案 32

8.(2015·福建卷)若函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2(a >0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________.

解析 当x ≤2时，f (x )≥4；又函数f (x )的值域为[4，＋∞)，所以⎩

⎪⎨⎪⎧a ＞13＋log a 2≥4，解1＜a ≤2，所以实数a 的取值范围为(1，2].

答案 (1，2]

三、解答题

9.设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2.

(1)求a 的值及f (x )的定义域；

(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦

⎥⎤0，32上的最大值. 解 (1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)，

∴a ＝2.

由⎩

⎪⎨⎪⎧1＋x >0，3－x >0，得－1＜x ＜3， ∴函数f (x )的定义域为(－1，3).

(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )

＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2

＋4]，

∴当x ∈(－1，1]时，f (x )是增函数；

当x ∈(1，3)时，f (x )是减函数， 故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦

⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2. 10.(2016·榆林月考)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12

x .

(1)求函数f (x )的解析式；

(2)解不等式f (x 2

－1)>－2.

解 (1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x ).

因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )＝log 12

(－x )，

所以函数f (x )的解析式为