最新3圆的有关概念和性质3点与圆直线与圆圆与圆的位置关系

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圆数学九年级知识点

圆数学九年级知识点圆是我们学习数学中非常重要的一个几何图形，它在我们的生活中随处可见。

本文将介绍九年级数学学科中涉及的一些基本的圆的知识点。

一、圆的定义与性质1. 圆的定义：圆是由平面上与一个定点距离相等于定长的所有点组成的图形。

这个定点叫做圆心，定长叫做半径。

2. 圆的性质：(1) 圆心到圆上任意一点的距离都相等。

(2) 圆上的点到圆心的距离都等于半径的长度。

(3) 圆的直径是通过圆心并且两端点都在圆上的一条线段，直径的长度等于半径的两倍。

二、圆的元素及其关系1. 弧：由圆上的两点确定的一段弧线。

2. 弦：连接圆上的两点的线段。

3. 弧长：弧的长度，通常用字母l表示。

4. 弧度制：用弧长与半径的比值来度量角，简称弧度。

一个圆周的弧长等于半径的2π倍，记作2π。

5. 弧度与度数的相互转换：(1) 角度转弧度：弧度 = 角度× π/180。

(2) 弧度转角度：角度 = 弧度× 180/π。

三、圆与直线的关系1. 切线与切点：切线是与圆只有一个交点的直线，这个交点称为切点。

2. 弦的性质：(1) 弦等长定理：圆上两个弦等长的充要条件是这两个弦对应的弧相等。

(2) 弦心角定理：圆上两个弦对应的弧所对的圆心角相等的充要条件是这两个弦等长。

(3) 直径所对的圆心角是直角。

(4) 圆上的任意弧所对的圆心角等于其所对的弧的两倍。

四、圆与角的关系1. 圆心角：以圆心为顶点的角叫做圆心角。

2. 弧所对的圆心角：圆上的弧所对的圆心角等于这个弧的两倍。

五、圆的面积和弧长1. 圆的面积公式：圆的面积等于半径的平方乘以π，即A = πr²。

2. 弧长公式：弧长等于圆心角度数除以360度再乘以圆周的长度。

六、圆的平行线与切线1. 平行线与切线的关系：若直线与圆相切，则直线与圆的切点连线垂直于直线。

2. 切线定理：与同一圆相切的两条切线所切圆的切点与切线的连线垂直。

综上所述，圆是数学中一个重要的几何图形，掌握圆的定义、性质以及与直线、角的关系，对于九年级学生来说是非常重要的。

初三《圆》知识点及定理

高图教育数学教研组卢老师专用《圆》知识点及定理一、圆的概念集合形式的概念： 1 、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充） 2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；四、圆与圆的位置关系外离（图 1）无交点d R r ；外切（图 2）有一个交点d R r ；相交（图 3）有两个交点R r d R r ；内切（图 4）有一个交点d R r ；内含（图 5）无交点d R r ；d dR r R r图 1图 23、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

dR r图3d rRdR图4r二、点与圆的位置关系1、点在圆内d r点 C 在圆内；2、点在圆上d r点 B 在圆上；A d3、点在圆外d r点 A 在圆外；r OBd三、直线与圆的位置关系C1、直线与圆相离d r无交点；2、直线与圆相切d r有一个交点；3、直线与圆相交d r有两个交点；rd d=r r d图 5五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论 1：（ 1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2 个即可推出其它 3 个结论，即：①AB是直径②AB CD③CE DE④ 弧BC弧BD⑤ 弧AC弧 AD中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。

圆的概念及性质知识点梳理

圆的概念及性质知识点梳理一、圆的基本概念 1. 圆的定义：圆是由平面上到一定点的距离相等的所有点组成的集合。

2. 圆的符号表示：以大写字母O表示圆心，小写字母r表示半径，圆可以表示为O(r)。

3. 圆的元素：圆心、半径、直径。

二、圆的性质 1. 对称性： a. 圆心对称：圆内任意一点都可以通过圆心的对称变换到另外一个点。

b. 直径对称：圆内任意一点都可以通过圆的直径对称变换到另外一个点。

2. 圆与直线的关系： a. 圆与直线的交点：一条直线与圆相交的点数可能为0、1、2个。

b. 切线：一条直线切圆的条件是直线与圆有且仅有一个交点。

c. 弦：一条直线与圆有两个交点，这两个交点与圆心连接形成的线段称为弦。

3.圆与角的关系： a. 圆心角：圆内的两条半径所对应的角称为圆心角，圆心角的度数等于弧度的两倍。

b. 弧度：弧长等于半径的弧对应的角的度数称为弧度。

c. 弧度制与度数制转换：弧度 = 度数× π / 180。

4. 圆与面积的关系： a. 圆的面积公式：圆的面积等于半径的平方乘以π，即A = πr^2。

b. 圆周长与面积的关系：半径一样的两个圆，周长较大的圆面积也较大。

5. 圆与体积的关系：a. 圆柱的体积公式：圆柱的体积等于底面积乘以高，即V = πr^2h。

b. 圆锥的体积公式：圆锥的体积等于底面积乘以高再除以3，即V = (1/3)πr^2h。

c. 球体的体积公式：球体的体积等于(4/3)πr^3。

三、圆的应用 1. 圆的几何应用： a. 轮胎：轮胎通常采用圆形设计，便于车辆转向和行驶。

b. 钟表：钟表上的指针转动的轨迹是一个圆弧。

2. 圆的物理应用： a.运动：物体在做圆周运动时，其运动轨迹是一个圆。

b. 电子：电子的轨道运动也是一个圆形的。

c. 光学：光学中的透镜和曲率半径有关，曲率半径越小，透镜越强。

3. 圆的数学应用： a. 数学公式：圆的周长和面积的计算公式是数学中的基本公式之一。

九年级上册数学《圆》点、线和圆的位置关系-知识点整理

圆知识要点圆的定义：（1）在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点叫圆心，线段OA叫做半径；（2）圆是到定点的距离等于定长的点的集合。

1、点和圆的位置关系设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：d＜r ＜====＞点P在⊙O内；d＝r ＜====＞点P在⊙O上；d＞r ＜====＞点P在⊙O外。

2、直线与圆的位置关系（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：直线l与⊙O相交＜====＞d<r；直线l与⊙O相切＜====＞d=r；直线l与⊙O相离＜====＞d>r；3、切线的判定和性质（1）、切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

（2）、切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径。

如右图中，OD垂直于切线。

4、切线长定理（1）、切线长在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。

（2）、切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

如右图中：圆外一点P与圆O相切与D，E两点，所以有PD=PE，可以通过连接OP来证明。

5、过三点的圆（1）、不在同一直线上的三个点确定一个圆。

（2）、三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。

如图圆O是△ABC的外接圆（3）、三角形的外心三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。

（4）、圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件）圆内接四边形对角互补。

(5)、三角形的内切圆与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。

如图圆O是△A＇B＇C＇的内切圆。

圆与圆的相关知识点总结

圆与圆的相关知识点总结圆是几何中的基本图形，它具有许多独特的性质和特点。

在几何学中，圆是一种重要的研究对象，它与其他图形之间存在着许多有趣的关系。

本文将总结圆与圆的相关知识点，包括圆的定义、性质、相关定理及其应用。

希望通过本文的介绍，读者能够更好地理解和掌握圆与圆之间的关系。

圆的定义圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合。

这个定点叫做圆心，定长叫做半径。

圆的基本性质1. 圆的任意两点之间的距离等于半径的长度。

2. 圆的直径是圆的两个平行的、长度相等的弦。

任何圆的直径都等于圆的半径的两倍。

3. 圆内角和圆心角的关系：任何圆的弧的圆心角都等于该角对应的弧所对的圆周角的一半。

圆的相关定理1. 相切圆的性质：相切圆的两个切点连线垂直于两圆的半径，并且这个直线的中点为两圆心的连线。

2. 切线定理：从圆外一点到圆的切线与该点到圆心的连线的平方和等于半径的平方。

3. 弧长定理：圆的弧长等于圆心角的弧度数乘以半径的长度。

4. 弧辐关系：任何一个圆的弧长等于圆的半径与圆心角的弧度数的乘积。

圆与圆的位置关系1. 外切圆和内切圆：一个圆内切另一个圆，称为内切圆；一个圆外切另一个圆，称为外切圆。

内切圆和外切圆之间的位置关系受到两个圆的半径之差的影响。

2. 相交圆：两个圆相交，即它们有公共的部分。

两个相交圆的位置关系有重叠、相切和相离三种情况。

圆的相关应用1. 圆的面积和周长求解：根据圆的半径或直径求解圆的面积和周长是圆的常见应用问题。

圆的面积等于πr²，周长等于2πr。

2. 圆与直线的位置关系：在几何设计和建筑中，常常需要考虑圆与直线之间的位置关系，如圆的切线、切线与半径的交点等。

3. 圆与平面图形的组合：圆与其他图形结合可以产生丰富多彩的效果，如圆与矩形的结合、圆的切割与拼接等。

4. 圆的投影问题：在建筑设计和工程测量中，圆的投影问题是一个重要的应用领域。

圆柱的投影、圆锥的投影等都是利用圆的投影性质来解决的。

圆知识点归纳总结

圆知识点归纳总结圆是平面几何中的重要图形，具有许多特殊的性质和应用。

在学习圆的相关知识时，我们需要了解圆的定义、性质、公式、相关定理等内容。

下面，我们将对圆的知识点进行归纳总结。

一、圆的定义和性质1.圆的定义圆是平面上到一个固定点距离不超过一定值的所有点的集合。

这个固定点叫做圆心，到圆心的距离叫做半径，通常以字母r表示。

2.圆的性质(1) 任意一条弦所对应的圆心角相等。

(2) 圆的半径垂直于弦，且以弦的中点为端点。

(3) 圆内接角在同一个弧上的两个弦等于一半的圆周角。

(4) 圆周角等于它所对的弧的一半。

(5) 等圆周角的两个弧所对的圆心角相等。

(6) 相交弦的外接角相等。

(7) 圆内切于另一圆的直径的两圆相交。

二、圆的公式和关系1. 圆的周长和面积(1) 圆的周长：C=2πr(2) 圆的面积：S=πr²2. 圆的弧长和扇形面积(1) 圆的弧长公式：L=2πr(α/360)，其中α为圆心角(2) 圆的扇形面积公式：A=1/2r²α，其中α为圆心角的度数3. 圆与直线、圆与直线的位置关系(1) 直线与圆的位置关系：相离、相切、相交(2) 圆与直线的位置关系：圆内切、圆外切、相交三、圆的相关定理和推论1. 弧长定理(1) 弧长定理1：圆的所有圆心角的度数和一定为360°(2) 弧长定理2：如果一个角的角度是一个圆的圆周角的1/2，那么这个角的对应弦长就是这个圆的半径。

2. 弦长定理(1) 弦长定理1：两条相等的弦所对的两条圆弧是相等的。

(2) 弦长定理2：相等弦等，相等弦所对的字母也相等。

3. 圆心角定理(1) 圆心角定理：这个角的角度是这个圆弧的角度的一半。

4. 圆的切线定理(1) 切线定理1：切线与半径垂直，且切点处的切线与圆的切线平行。

(2) 切线定理2：切线与半径的成正比，切线的长度等于切点到圆心的距离。

四、圆的相关应用1. 圆的综合应用(1) 圆的几何问题：例如圆心角、圆周角、弧长等问题(2) 圆的物理应用：例如汽车行驶的弧形路径、转动物体的圆周运动等(3) 圆的工程应用：例如建筑中的圆形构造、机械运动中的圆弧运动等2. 圆的新颖应用(1) 圆的信息技术应用：例如在计算机编程中的圆的相关算法和数据结构(2) 圆的工业应用：例如在制造工艺中的圆形零件加工、在生产中的圆形产品设计等以上就是圆的相关知识点的归纳总结。

人教版圆知识点总结

人教版圆知识点总结圆是初中数学中的一个重要图形，它具有独特的性质和广泛的应用。

以下是对人教版中圆相关知识点的详细总结。

一、圆的定义1、动态定义在平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆。

固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径。

2、静态定义圆是到定点的距离等于定长的点的集合。

二、圆的相关概念1、弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。

经过圆心的弦叫做直径，直径是圆中最长的弦。

2、弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。

3、圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角。

4、圆周角顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。

三、圆的基本性质1、圆的对称性（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条经过圆心的直线。

（2）圆是中心对称图形，对称中心是圆心。

2、垂径定理垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧。

推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

3、弧、弦、圆心角的关系在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

推论：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。

4、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论：（1）同弧或等弧所对的圆周角相等；（2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

四、圆的位置关系1、点与圆的位置关系设圆的半径为 r，点到圆心的距离为 d，则有：（1）点在圆外⇔ d ＞ r ；（2）点在圆上⇔ d ＝ r ；（3）点在圆内⇔ d ＜ r 。

2、直线与圆的位置关系设圆的半径为 r，圆心到直线的距离为 d，则有：（1）直线与圆相离⇔ d ＞ r ；（2）直线与圆相切⇔ d ＝ r ；（3）直线与圆相交⇔ d ＜ r 。

新人教版初中数学——圆的性质及与圆有关的位置关系-知识点归纳及中考典型题解析

人教版初中数学——圆的性质及与圆有关的位置关系知识点归纳及中考典型例题解析一、圆的有关概念1．与圆有关的概念和性质（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦．（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧．（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角．（6）弦心距：圆心到弦的距离．2．注意（1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；（2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个．（3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆．二、垂径定理及其推论1．垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形．2．推论（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．三、圆心角、弧、弦的关系1．定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立．2．推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．四、圆周角定理及其推论1．定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．2．推论（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．（2）直径所对的圆周角是直角．圆内接四边形的对角互补．在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等．五、与圆有关的位置关系1．点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d．(1)d<r⇔点在⊙O内；(2)d=r⇔点在⊙O上；(3)d>r⇔点在⊙O外．判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．2．直线和圆的位置关系位置关系相离相切相交图形公共点个数0个1个2个数量关系d>r d=r d<r由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况．六、切线的性质与判定1．切线的性质（1）切线与圆只有一个公共点．（2）切线到圆心的距离等于圆的半径．（3）切线垂直于经过切点的半径．利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题．2．切线的判定（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）．（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．七、三角形与圆1．三角形的外接圆相关概念经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形．外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等．2．三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等．考向一圆的基本认识1．在一个圆中可以画出无数条弦和直径．2．直径是弦，但弦不一定是直径．3．在同一个圆中，直径是最长的弦．4．半圆是弧，但弧不一定是半圆．弧有长度和度数，规定半圆的度数为180°，劣弧的度数小于180°，优弧的度数大于180°．5．在同圆或等圆中能够互相重合的弧是等弧，度数或长度相等的弧不一定是等弧．典例1下列命题中正确的有①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】①弦是圆上任意两点之间所连线段，所以①错误；②半径不是弦，所以②错误；③直径是最长的弦，正确；④只有180°的弧才是半圆，所以④错误，故选A．1．把圆的半径缩小到原来的14，那么圆的面积缩小到原来的A．12B．14C．18D．1162．半径为5的圆的一条弦长不可能是A．3 B．5 C．10 D．12考向二垂径定理1．垂径定理中的“弦”为直径时，结论仍然成立．2．垂径定理是证明线段相等、弧相等的重要依据，同时也为圆的计算和作图问题提供了理论依据．典例2如图，已知⊙O的半径为6 cm，两弦AB与CD垂直相交于点E，若CE=3 cm，DE=9 cm，则AB=A3cm B．3cm C．3D．3【答案】D【解析】如图，连接OA，∵⊙O的半径为6 cm，CE+DE=12 cm，∴CD是⊙O的直径，∵CD⊥AB，∴AE=BE，OE=3，OA=6，∴AE=2233OA OE-=，∴AB=2AE=63，故选D．典例3如图，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为A．2 cm B．3cmC．23cm D．25cm【答案】C【解析】在图中构建直角三角形，先根据勾股定理得AD的长，再根据垂径定理得AB的长．作OD⊥AB于D，连接OA．根据题意得OD=12OA=1cm，再根据勾股定理得：AD3，根据垂径定理得AB3．故选C．3．如图，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为4，则弦AB的长是A．3 B．6 C．4 D．84．如图，某菜农在蔬菜基地搭建了一个横截面为圆弧形的蔬菜大棚，大棚的跨度弦AB的长为8515米，大棚顶点C离地面的高度为2.3米．（1）求该圆弧形所在圆的半径；（2）若该菜农的身高为1.70米，则他在不弯腰的情况下，横向活动的范围有几米？考向三弧、弦、圆心角、圆周角1．圆心角的度数等于它所对弧的度数，把顶点在圆心的周角等分成360份，每一份的圆心角是1°的角，1°的圆心角对着1°的弧．2．圆周角要具备两个特征：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交，二者缺一不可．典例4如图，在⊙O中∠O=50°，则∠A的度数为A．50°B．20°C．30°D．25°【答案】D【解析】∠A=12BOC=12×50°=25°．故选D．典例5如图，AB是⊙O的直径，△ACD内接于⊙O，延长AB，CD相交于点E，若∠CAD=35°，∠CDA=40°，则∠E的度数是A．20°B．25°C．30°D．35°【答案】B【解析】如图，连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，由三角形内角和定理得，∠ACD=180°﹣∠CAD﹣∠CDA=105°，∴∠ABD=180°﹣∠ACD=75°，∴∠BAD=90°﹣∠ABD=15°，∴∠E=∠CDA﹣∠DAB=25°，故选B．5．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA=50°，AB=4，则BC的长为A．103πB．109πC．59πD．518π6．如图，AB是⊙O的直径，=BC CD DE，∠COD=38°，则∠AEO的度数是A．52°B．57°C．66°D．78°考向四点、直线与圆的位置关系1．点和圆的位置关系：①在圆上；②在圆内；③在圆外．2．直线和圆的位置关系：相交、相切、相离．典例6已知⊙O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，则点A与⊙O的位置关系是A．点A在⊙O上B．点A在⊙O内C．点A在⊙O外D．点A与圆心O重合【答案】C【解析】∵O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，即点A到圆心O的距离大于圆的半径，∴点A在⊙O外．故选C．【点睛】直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．典例7在△ABC中，AB=AC=2，∠A=150°，那么半径长为1的⊙B和直线AC的位置关系是A．相离B．相切C．相交D．无法确定【答案】B【解析】过B作BD⊥AC交CA的延长线于D，∵∠BAC=150，∴∠DAB=30°，∴BD=11222AB=⨯=1，即B到直线AC的距离等于⊙B的半径，∴半径长为1的⊙B和直线AC的位置关系是相切，故选B．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系的应用，过B作BD⊥AC交CA的延长线于D，求出BD和⊙B的半径比较即可，主要考查学生的推理能力．7．如图，⊙O的半径为5cm，直线l到点O的距离OM=3cm，点A在l上，AM=3．8cm，则点A与⊙O的位置关系是A．在⊙O内B．在⊙O上C．在⊙O外D．以上都有可能8．如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC 所在直线向下平移__________cm时与⊙O相切．考向五切线的性质与判定有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直半径，这是圆中作辅助线的一种方法．典例8如图，⊙O以AB为直径，PB切⊙O于B，近接AP，交⊙O于C，若∠PBC=50°，∠ABC=A．30°B．40°C．50°D．60°【答案】B【解析】∵⊙O以AB为直径，PB切⊙O于B，∴∠PBA=90°，∵∠PBC=50°，∴∠ABC=40°．故选B．典例9如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，点E在中线AD上，以E为圆心的⊙E分别与AB、BC相切，则⊙E的半径为A．78B．67C．56D．1【答案】B【解析】作EH⊥AC于H，EF⊥BC于F，EG⊥AB于G，连接EB，EC，设⊙E的半径为r，如图，∵∠C=90°，AB=5，AC=3，∴BC22AB AC-，而AD为中线，∴DC=2，∵以E为圆心的⊙E分别与AB、BC相切，∴EG=EF=r，∴HC=r，AH=3–r，∵EH∥BC，∴△AEH∽△ADC，∴EH∶CD=AH∶AC，即EH=233r-（），∵S △ABE +S △BCE +S △ACE =S △ABC ， ∴()1112154333422232r r r ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯-=⨯⨯，∴67r =．故选B ．9．已知四边形ABCD 是梯形，且AD ∥BC ，AD <BC ，又⊙O 与AB 、AD 、CD 分别相切于点E 、F 、G ，圆心O 在BC 上，则AB +CD 与BC 的大小关系是 A ．大于 B ．等于C ．小于D ．不能确定10．如图，以等腰△ABC 的腰AB 为⊙O 的直径交底边BC 于D ，DE AC ⊥于E ．求证：（1）DB DC =；（2）DE 为⊙O 的切线．1．下列关于圆的叙述正确的有①圆内接四边形的对角互补； ②相等的圆周角所对的弧相等；③正多边形内切圆的半径与正多边形的半径相等； ④同圆中的平行弦所夹的弧相等．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点（A 、B 除外），∠AOD =136°，则∠C 的度数是A ．44°B ．22°C ．46°D ．36°3．如图，半径为5的⊙A 中，弦BC ，ED 所对的圆心角分别是∠BAC ，∠EAD ，已知DE =6，∠BAC ＋∠EAD =180°，则弦BC 的长等于A ．41B ．34C ．8D ．64．如图，在平面直角坐标系中，过格点A ，B ，C 作一圆弧，则圆心坐标是A ．点（1，0）B ．点（2，1）C ．点（2，0）D ．点(2．5，1)5．如图，O 的直径8AB =，30CBD ∠=︒，则CD 的长为A ．2B ．3C ．4D ．36．如图，一圆内切四边形ABCD ，且BC =10，AD =7，则四边形的周长为A ．32B ．34C ．36D ．387．已知在⊙O 中，AB =BC ，且34AB AMC =∶∶，则∠AOC =__________．8．如图，A 、B 、C 、D 都在⊙O 上，∠B =130°，则∠AOC 的度数是__________．9．如图，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，并与圆O 的切线DC 分别相交于D 、C ．已知△PCD 的周长等于14 cm ，则PA =__________cm ．10．如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，AB AD =，120C ∠=︒，点E 在弧AD 上．若AE 恰好为⊙O的内接正十边形的一边，DE 的度数为__________．11．如图，半圆O 的直径是AB ，弦AC 与弦BD 交于点E ，且OD ⊥AC ，若∠DEF =60°，则tan ∠ABD =__________．12．如图，AB为⊙O的直径，C、F为⊙O上两点，且点C为弧BF的中点，过点C作AF的垂线，交AF 的延长线于点E，交AB的延长线于点D．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）如果半径的长为3，tan D=34，求AE的长．13．如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC=6，BC=8，OA=2，求线段DE的长．14．如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是⊙O外一点且满足∠DCA=∠B，连接AD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD⊥CD，CD=2，AD=4，求直径AB的长；（3）如图2，当∠DAB=45°时，AD与⊙O交于E点，试写出AC、EC、BC之间的数量关系并证明．1．如图，在O 中，AB 所对的圆周角50ACB ∠=︒，若P 为AB 上一点，55AOP ∠=︒，则POB ∠的度数为A ．30°B ．45°C ．55°D ．60°2．如图，AD 是O 的直径，AB CD =，若40AOB ∠=︒，则圆周角BPC ∠的度数是A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒3．如图，AB ，AC 分别是⊙O 的直径和弦，OD AC ⊥于点D ，连接BD ，BC ，且10AB =，8AC =，则BD 的长为A ．25B ．4C ．213D ．4.84．如图，PA 、PB 为圆O 的切线，切点分别为A 、B ，PO 交AB 于点C ，PO 的延长线交圆O 于点D ，下列结论不一定成立的是A ．PA =PB B ．∠BPD =∠APDC ．AB ⊥PDD ．AB 平分PD5．如图，PA 、PB 是⊙O 切线，A 、B 为切点，点C 在⊙O 上，且∠ACB =55°，则∠APB 等于A ．55°B ．70°C ．110°D ．125°6．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，若∠C =40°，则∠B 的度数为A ．60°B ．50°C ．40°D ．30°7．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 是圆上两点，且∠AOC =126°，则∠CDB =A ．54°B ．64°C ．27°D ．37°8．如图，AB 为O 的直径，BC 为O 的切线，弦AD ∥OC ，直线CD 交的BA 延长线于点E ，连接BD ．下列结论：①CD 是O 的切线；②CO DB ⊥；③EDA EBD △∽△；④ED BC BO BE ⋅=⋅．其中正确结论的个数有A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个9．如图，C 、D 两点在以AB 为直径的圆上，2AB =，30ACD ∠=︒，则AD =__________．10．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠CAB =30°，∠CBA =45°，CD ⊥AB 于点D ，若⊙O 的半径为2，则CD 的长为__________．11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，AC⊥BD，垂足为E，点F在BD的延长线上，且DF=DC，连接AF、CF．（1）求证：∠BAC=2∠CAD；（2）若AF=10，BC=45，求tan∠BAD的值．12．如图，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，以AB为直径的半圆O交AC于点D，点E是BD上不与点B，D重合的任意一点，连接AE交BD于点F，连接BE并延长交AC于点G．（1）求证：△ADF≌△BDG；（2）填空：①若AB=4，且点E是BD的中点，则DF的长为__________；②取AE的中点H，当∠EAB的度数为__________时，四边形OBEH为菱形．1．【答案】D【解析】设原来的圆的半径为r ，则面积S 1=πr 2， ∴半径缩小到原来的14后所得新圆的面积22211π()π416S r r ==， ∴22211π116π16rS S r ==，故选D ． 2．【答案】D【解析】∵圆的半径为5，∴圆的直径为10，又∵直径是圆中最长的弦，∴圆中任意一条弦的长度10l ≤，故选D ． 3．【答案】B【解析】如图，连接OA ，∵O 的直径为10，5OA ∴=，∵圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为4，由垂径定理知，点M 是AB 的中点，12AM AB =，由勾股定理可得，3AM =，所以6AB =．故选B ．4．【解析】（1）如图所示：CO ⊥AB 于点D ，设圆弧形所在圆的半径为xm ，根据题意可得：DO 2+BD 2=BO 2，则（x –2．3）2+851×12）2=x 2，解得x =3．变式训练答：圆弧形所在圆的半径为3米；（2）如图所示：当MN =1.7米，则过点N 作NF ⊥CO 于点F ，可得：DF =1.7米，则FO =2.4米，NO =3米，故FN =223 2.4-=1.8（米），故该菜农身高1.70米，则他在不弯腰的情况下，横向活动的范围有3．6米． 5．【答案】B【解析】根据题意可知：∠OAC =∠OCA =50°，则∠BOC =2∠OAC =100°，则弧BC 的长度为：100π210π1809⨯=，故选B ．6．【答案】B【解析】∵=BC CD DE =，∴∠BOC =∠DOE =∠COD =38°， ∴∠BOE =∠BOC +∠DOE +∠COD =114°，∴∠AOE =180°–∠BOE =66°， ∵OA =OE ，∴∠AEO =（180°–∠AOE ）÷2=57°，故选B ． 7．【答案】A【解析】如图，连接OA ，则在直角△OMA 中，根据勾股定理得到OA =223 3.823.445+=<． ∴点A 与⊙O 的位置关系是：点A 在⊙O 内．故选A ．8．【答案】2【解析】连接OA ．∵直线和圆相切时，OH =5，又∵在直角三角形OHA 中，HA =AB ÷2=4，OA =5，∴OH =3． ∴需要平移5–3=2（cm ）．故答案为：2．【点睛】本题考查垂径定理及直线和圆的位置关系．注意：直线和圆相切，应满足d =R ． 9．【答案】B【解析】如图，连接OF ，OA ，OE ，作AH ⊥BC 于H ．∵AD 是切线，∴OF ⊥AD ，易证四边形AHOF 是矩形，∴AH =OF =OE ， ∵S △AOB =12•OB •AH =12•AB •OE ，∴OB =AB ，同理可证：CD =CO ， ∴AB +CD =BC ，故选B ．【点睛】本题考查了切线的性质，切线垂直于过切点的半径，正确作出辅助线是关键． 10．【解析】（1）如图，连AD ，∵AB 是直径，∴90ADB ∠=︒，AD BC ⊥，又AB AC =，∴D 为BC 中点，DB DC =；（2）连OD ，∵D 为BC 中点，OA OB =， ∴OD 为ABC △中位线，OD AC ∥，又DE AC ⊥于,E ∴90ODE DEC ∠=∠=︒， ∴DE 为⊙O 的切线．1．【答案】B【解析】①圆内接四边形的对角互补；正确；②相等的圆周角所对的弧相等；错误；③正多边形内切圆的半径与正多边形的半径相等；错误；④同圆中的平行弦所夹的弧相等；正确；正确的有2个，故选B ． 2．【答案】B【解析】∵∠AOD =136°，∴∠BOD =44°，∴∠C =22°，故选B ． 3．【答案】C【解析】如图，延长CA ，交⊙A 于点F ，考点冲关∵∠BAC+∠BAF=180°，∠BAC+∠EAD=180°，∴∠BAF=∠DAE，∴BF=DE=6，∵CF是直径，∴∠ABF=90°，CF=2×5=10，∴BC=228CF BF-=．故选C．4．【答案】C【解析】根据勾股定理可知A、B、C点到（2，0）的距离均为5，然后可知圆心为（2，0）或者通过AB、BC的垂直平分线求解也可以．故选C．5．【答案】C【解析】如图，作直径DE，连接CE，则∠DCE=90°，∵∠DBC=30°，∴∠DEC=∠DBC=30°，∵DE=AB=8，∴12DC DE==4，故选C．6．【答案】B【解析】由题意可得圆外切四边形的两组对边和相等，所以四边形的周长=2×（7+10）=34．故选B．7．【答案】144°【解析】根据AB=BC可得：弧AB的度数和弧BC的度数相等，则弧AMC的度数为：(360°÷10)×4=144°，则∠AOC =144°． 8．【答案】100°【解析】∵∠B =130°，∴∠D =180°－130°=50°，∴∠AOC =2∠D =100°．故答案为100°． 9．【答案】7【解析】如图，设DC 与⊙O 的切点为E ；∵PA 、PB 分别是⊙O 的切线，且切点为A 、B ，∴PA =PB ；同理，可得：DE =DA ，CE =CB ；则△PCD 的周长=PD +DE +CE +PC =PD +DA +PC +CB =PA +PB =14（cm ）； ∴PA =PB =7cm ，故答案是：7． 10．【答案】84︒【解析】如图，连接BD ，OA ，OE ，OD ，∵四边形ABCD 是圆的内接四边形，∴180BAD C ∠+∠=︒， ∵120C ∠=︒，∴60BAD ∠=︒，∵AB AD =，∴ABD △是正三角形，∴60ABD ∠=︒，2120AOD ABD ∠=∠=︒， ∵AE 恰好是⊙的内接正十边形的一边，∴3603610AOE ︒∠==︒， ∴1203684DOE ∠=︒-︒=︒，∴DE 的度数为84°．故答案为：84°．113【解析】∵OD ⊥AC ，∠DEF =60°， ∴∠D =30°，∵OD=OB，∴∠ABD=∠D=30°，∴tan∠ABD=33，故答案为：33．12．【解析】（1）连接OC，如图．∵点C为弧BF的中点，∴弧BC=弧CF，∴∠BAC=∠FAC．∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∴∠OCA=∠FAC，∴OC∥AE．∵AE⊥DE，∴OC⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）在Rt△OCD中，∵tan D=34OCCD=，OC=3，∴CD=4，∴OD=22OC CD+=5，∴AD=OD+AO=8．在Rt△ADE中，∵sin D=35OC AEOD AD==，∴AE=245．13．【解析】（1）直线DE与⊙O相切，理由如下：如图，连接OD，∵OD=OA，∴∠A=∠ODA，∵EF是BD的垂直平分线，∴EB=ED，∴∠B=∠EDB，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠ODA+∠EDB=90°，∴∠ODE=180°–90°=90°，∴直线DE与⊙O相切；（2）连接OE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=8–x，∵∠C=∠ODE=90°，∴OC2+CE2=OE2=OD2+DE2，∴42+（8–x）2=22+x2，解得：x=4.75，则DE=4.75．14．【解析】（1）如图1，连接OC．∵OB=OC，∴∠OCB=∠B，∵∠DCA=∠B，∴∠DCA=∠OCB，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠DCA+∠ACO=∠OCB+∠ACO=90°，即∠DCO=90°，∴CD是⊙O的切线．（2）∵AD⊥CD，CD=2，AD=4．∴222425AC=+=由（1）可知∠DCA=∠B，∠D=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD ACAC AB=2525=，∴AB=5．（3）2AC BC EC=+，如图2，连接BE，在AC上截取AF=BC，连接EF．∵AB 是直径，∠DAB =45°， ∴∠AEB =90°，∴△AEB 是等腰直角三角形， ∴AE =BE ，又∵∠EAC =∠EBC ，∴△ECB ≌△EFA ，∴EF =EC ， ∵∠ACE =∠ABE =45°， ∴△FEC 是等腰直角三角形， ∴2FC EC =，∴2AC AF FC BC EC =+=．1．【答案】B【解析】∵∠ACB =50°，∴∠AOB =2∠ACB =100°，∵∠AOP =55°，∴∠POB =45°，故选B ． 2．【答案】B【解析】∵AB CD =，40AOB ∠=︒，∴40COD AOB ∠=∠=︒， ∵180AOB BOC COD ∠+∠+∠=︒，∴100BOC ∠=︒， ∴1502BPC BOC ∠=∠=︒，故选B ． 3．【答案】C【解析】∵AB 为直径，∴90ACB ∠=︒，∴22221086BC AB AC =--=，∵OD AC ⊥，∴142CD AD AC ===，直通中考在Rt CBD △中，2246213BD =+=．故选C ．4．【答案】D【解析】∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴PA =PB ，所以A 成立；∠BPD =∠APD ，所以B 成立； ∴AB ⊥PD ，所以C 成立；∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴AB ⊥PD ，且AC =BC ，只有当AD ∥PB ，BD ∥PA 时，AB 平分PD ，所以D 不一定成立，故选D ． 5．【答案】B【解析】如图，连接OA ，OB ，∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴PA ⊥OA ，PB ⊥OB ，∵∠ACB =55°，∴∠AOB =110°， ∴∠APB =360°-90°-90°-110°=70°．故选B ．6．【答案】B【解析】∵AC 是⊙O 的切线，∴AB ⊥AC ，且∠C =40°，∴∠ABC =50°，故选B ． 7．【答案】C【解析】∵∠AOC =126°，∴∠BOC =180°-∠AOC =54°，∵∠CDB =12∠BOC =27°．故选C ． 8．【答案】A【解析】如图，连接DO ．∵AB 为O 的直径，BC 为O 的切线，∴90CBO ∠=︒，∵AD OC ∥，∴DAO COB ∠=∠，ADO COD ∠=∠．又∵OA OD =，∴DAO ADO ∠=∠，∴COD COB ∠=∠．在COD △和COB △中，CO CO COD COB OD OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴COD COB △≌△，∴90CDO CBO ∠=∠=︒．又∵点D 在O 上，∴CD 是O 的切线，故①正确，∵COD COB △≌△，∴CD CB =，∵OD OB =，∴CO 垂直平分DB ，即CO DB ⊥，故②正确； ∵AB 为O 的直径，DC 为O 的切线，∴90EDO ADB ∠=∠=︒，∴90EDA ADO BDO ADO ∠+∠=∠+∠=︒，∴ADE BDO ∠=∠， ∵OD OB =，∴ODB OBD ∠=∠，∴EDA DBE ∠=∠， ∵E E ∠=∠，∴EDA EBD △∽△，故③正确；∵90EDO EBC ∠=∠=︒，E E ∠=∠，∴EOD ECB △∽△， ∴ED ODBE BC=，∵OD OB =， ∴ED BC BO BE ⋅=⋅，故④正确，故选A ． 9．【答案】1【解析】∵AB 为直径，∴90ADB ∠=︒，∵30B ACD ∠=∠=︒，∴112122AD AB ==⨯=．故答案为：1． 10．【答案】2【解析】如图，连接CO 并延长交⊙O 于E ，连接BE ，则∠E =∠A =30°，∠EBC =90°，∵⊙O 的半径为2，∴CE =4，∴BC =12CE =2， ∵CD ⊥AB ，∠CBA =45°，∴CD =22BC =2，故答案为：2． 11．【解析】（1）∵AB =AC ，∴AB AC =，∠ABC =∠ACB ，∴∠ABC =∠ADB ，∠ABC =（180°-∠BAC ）=90°-∠BAC ，∵BD⊥AC，∴∠ADB=90°-∠CAD，∴12∠BAC=∠CAD，∴∠BAC=2∠CAD．（2）∵DF=DC，∴∠DFC=∠DCF，∴∠BDC=2∠DFC，∴∠BFC=12∠BDC=12∠BAC=∠FBC，∴CB=CF，又BD⊥AC，∴AC是线段BF的中垂线，AB=AF=10，AC=10．又BC=45，设AE=x，CE=10-x，由AB2-AE2=BC2-CE2，得100-x2=80-（10-x）2，解得x=6，∴AE=6，BE=8，CE=4，∴DE=648AE CEBE⋅⨯==3，∴BD=BE+DE=3+8=11，如图，作DH⊥AB，垂足为H，∵12AB·DH=12BD·AE，∴DH=11633105 BD AEAB⋅⨯==，∴BH2244 5BD DH-=，∴AH=AB-BH=10-446 55=，∴tan∠BAD=331162 DHAH==．12．【解析】（1）∵BA=BC，∠ABC=90°，∴∠BAC=45°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=∠AEB=90°，∴∠DAF+∠BGD=∠DBG+∠BGD=90°，∴∠DAF=∠DBG，∵∠ABD+∠BAC=90°，∴∠ABD=∠BAC=45°，∴AD=BD，∴△ADF≌△BDG．（2）①如图2，过F作FH⊥AB于H，∵点E是BD的中点，∴∠BAE=∠DAE，∵FD⊥AD，FH⊥AB，∴FH=FD，∵FHBF=sin∠ABD=sin45°2，∴22FDBF=BF2FD，∵AB=4，∴BD=4cos45°2，即BF+FD22+1）FD2，∴FD=2221=4-22，故答案为：4-22．②连接OH，EH，∵点H是AE的中点，∴OH⊥AE，∵∠AEB=90°，∴BE⊥AE，∴BE∥OH，∵四边形OBEH为菱形，∴BE=OH=OB=12 AB，∴sin∠EAB=BEAB=12，∴∠EAB=30°．故答案为：30°．31。

圆中的基本概念和性质

圆中的基本概念和性质一、圆 1、定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径．通常用符号⊙表示圆，定义中以O 为圆心，OA 为半径的圆记作”O ⊙“，读作”圆O “． 2、点与圆的位置关系1、点在圆内 ⇒ d r < ⇒ 点C 在圆内；2、点在圆上 ⇒ d r = ⇒ 点B 在圆上；3、点在圆外 ⇒ d r > ⇒ 点A 在圆外； 3、性质（1）对称性①轴对称图形：经过圆心的任一条直线是它的对称轴； ②中心对称图形：对称中心是圆心；③旋转对称图形：无论绕圆心旋转多少度角，总能与自身重合．（2）垂径定理①垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． ②推论1：⑴ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； ⑵ 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；⑶ 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． ③推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．问题：若一个圆经梯形ABCD 四个顶点，则这个梯形是___________梯形，若一个圆经□ABCD 四个顶点，则□ABCD 是_________________形解题技巧：应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：222()2ar d =+，根据此公式，在a ，r ，d 三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量．（3）圆心角和圆周角①圆心角、圆周角的定义②圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90 的圆周角所对的弦是直径．推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．③圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．题型一：圆的定义1. 点A 在以O 为圆心，3cm 为半径的⊙O 内，则点A 到圆心O 的距离d 的范围是．题型二：圆周角定理圆周角<->圆心角例1.(2007浙江温州)如图，已知ACB ∠是O ⊙的圆周角，50ACB ∠=︒，则圆心角AOB ∠是．OCBA变式练习1：(09四川凉山)如图，O ⊙是ABC ∆的外接圆，已知50ABO ∠=︒，则A C B ∠的大小为__________．变式练习2：(宜宾中考)已知：如图，四边形ABCD 是O ⊙的内接正方形，点P 是劣弧 CD上不同于点C 的任意一点，则BPC ∠的度数是( )A.45︒B.60︒C.75︒D.90︒P变式练习3：(08龙岩)如图，量角器外沿上有A B 、两点，它们的度数分别是7040︒︒、，则1∠的度数为_________．变式练习4：（2010海淀期末考试）如图，AB 是O ⊙的直径，CD 是O ⊙的弦．若23BAD ∠=︒，则AC D ∠ 的大小为（）A ．23︒B ．57︒C ．67︒D ．77︒变式练习5：在足球比赛中，甲乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到A 点时，乙也跟随冲到B 点，此时甲是自己直接射门好？还是迅速将球回传给乙，让乙射门好呢？（不考虑其他因素）半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径例 2.(07重庆)已知，如图：AB 为O ⊙的直径，AB AC =，BC 交O ⊙于点D ，AC 交O ⊙于点E ，45BAC ∠=︒．给出以下五个结论：①22.5EBC ∠=︒，；②BD DC =；③2AE EC =；④劣弧AE 是劣弧 DE 的2倍；⑤AE BC =．其中正确结论的序号是．变式练习1：如图，AC ，BD 是O 的两条直径．求证：四边形ABCD 为矩形．题型三：垂径定理例3. (07年广州中考题)如图，O ⊙是ABC ∆的外接圆，OD AB ⊥于点D ，交O ⊙于点E ，60C ∠=︒，如果O ⊙的半径为2，则结论错误的是( )A ．AD DB = B ．AE EB = C ．1OD = D．AB =变式练习1：如图，矩形ABCD 与圆心在AB 上的O ⊙交于点G B F E 、、、，8cm GB =，1cm AG =，2cm DE =，则EF =_________．B变式练习2：如图所示，在Rt ABC ∆中90C ∠=︒，AC =1BC =，若以C 为圆心、CB 的长为半径的圆交AB 于P ，则AP = ．PCBA变式练习3：如图，已知O ⊙的半径是5，点A 到圆心O 的距离为3，求过点A 的所有弦中最短弦的长度．变式练习4： (2003·北京市)如图23-10，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，如果AB ＝10，CD ＝8，那么AE 的长为( )A ．2 B ．3 C ．4D ．5变式练习5：(2000·北京西城区)如图23-15，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，那么下列结论不正确的是( )A．CE＝DE B．C．∠BAC＝∠BAD D．AC>AD变式练习6：(2000·北京市丰台区)在直径为52cm的圆柱形油桶内装入一些油后，截面如图23-16所示，如果油的最大深度为16cm，那么油面宽度为_________cm．变式练习7：如图，一条公路的转弯处是一段圆弧 CD，点O是 CD的圆心，E为 CD的中点，OE交CD于点F. 已知CD=600m, EF=100m，求这段弯路的半径.变式练习8：某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为7.2m，拱顶高出水面2.4m，现有一艘宽3m，船舱顶部为长方形并高出水面2m的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？变式练习9：(2008广东湛江)如图所示，已知AB 为O ⊙的直径，CD 是弦，且AB CD ⊥于点E ．连接AC OC BC 、、．⑴ 求证：ACO BCD ∠=∠．⑵ 若8cm 24cm EB CD ==，，求O ⊙的直径．例4.如图所示，在O ⊙与三角形所组成的图形中，OA OB =，求证AC BD =．DC B A O变式练习1：如图所示，同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C ，D 两点，试证明：AC BD =．变式练习2：⑴ 若O ⊙中等于120︒的劣弧所对的弦长为O ⊙的半径是_______．⑵ 在半径为4cm 的圆中，垂直平分半径的弦长是_______．⑶ 如图，同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C D 、两点，42AB CD ==，，AB 的弦心距等于1，那么，大圆半径与小圆半径之比是_________．例5. (08郴州)已知在O ⊙中，半径5r =，AB CD 、是两条平行弦，且86AB CD ==，，求AC 的长．变式练习1：⑴在半径为1的O ⊙中，弦AB AC 、BAC ∠的度数为________． ⑵已知O ⊙的直径是50cm ，O ⊙的两条平行弦40cm AB =，48cm CD =，求弦AB 与CD 间的距离．变式练习2：(2002·青海省)⊙O 的半径为10cm ，弦AB ∥CD ，AB ＝12cm ，CD ＝16cm ，则AB 和CD 的距离为( ) A ．2cm B ．14cm C ．2cm 或14cm D ．10cm 或20cm变式练习3：(09湖北黄石)如图，AB 是O ⊙的直径，且10AB =，弦MN 的长为8，若弦MN 的两端在圆上滑动时，始终与AB 相交，记点A B 、到MN 的距离分别为12h h ，，则12h h - 等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8例6.如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，AE ⊥CD ，垂足为E, BF ⊥CD ，垂足为F，且AE=3cm ，BF=5cm ．若⊙O 的半径为5cm ，求CD 的长.变式练习1：如图，AB是⊙O的直径，CD是弦．若AB = 10cm, CD = 8cm, 那么A , B两点到直线CD的距离之和为 ( )A. 12cmB. 10cmC.8cmD.6cm题型四：圆心角、圆周角与垂径定理综合1.若弦长等于半径，则弦所对的圆心角的度数是________，弦所对弧的度数是____________课上小测：1. 下列说法正确的是（）A.直径是圆的对称轴B.经过圆心的直线是圆的对称轴C.与圆相交的直线是圆的对称轴D.与半径垂直的直线是圆的对称轴2. 在直径为10cm的⊙O中，有长为5cm 的弦AB，则O到AB的距离等于（ )3. 在半径为 4cm 的图中，垂直平分一条半径的弦长等于（）4. 已知：如图，有一圆弧形拱桥，拱的跨度AB=16cm，拱高CD=4cm，那么拱形的半径是 cm.5. 如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若AP:PB=1:4, CD=8，则 AB=＿.6. 已知⊙O的半径为10cm，弦MN//EF，且MN =12cm, EP=16cm，则弦MN和EF之间的距离为 .7. 已知⊙O的半径为5cm，过⊙O内一点P的最短的弦长为8cm，则OP= .8. 如图，⊙O的直径为10cm，弦AB为8cm , P是弦AB上一点，若OP的长是整数，则满足条件的点P有（ )A. 2 个B. 3 个C. 4 个D. 5 个9. 已知圆的两弦AB,CD的长是方程x2-42x+432=0的两根，且AB//CD，又知两弦之间的距离为3，则圆的半径长是（ )A.12B.15C.12或15D.2110. 如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，CE⊥CD于点C，交AB于点E, DF⊥CD于点D，交AB于点F．求证：AE=BF.11. 如图，直线AD交⊙O于点B、D, ⊙O的半径为10cm, AO=16cm，∠A=300，OC⊥AD于点C，求 BC, AB, AD的长，。

直线与圆的位置关系与性质知识点总结

直线与圆的位置关系与性质知识点总结直线与圆是几何中常见的两种基本图形，它们的位置关系与性质对于解决几何问题非常重要。

在这篇文章中，我们将总结直线与圆的常见位置关系，并讨论它们的性质。

一、直线与圆的位置关系1. 直线与圆的相交关系当直线与圆有交点时，我们可以得出以下几种情况：- 直线与圆相交于两点：直线穿过圆的中心，此时直径是直线的特例。

- 直线与圆相交于一个点：直线与圆相切，切点称为切点。

- 直线位于圆的内部，没有交点。

- 直线位于圆的外部，也没有交点。

2. 直线与圆的位置关系特例- 切线：直线与圆相切的情况，称为切线。

与圆相切的直线垂直于半径，切点在直线上的法线与从切点到圆心的半径垂直。

- 弦：直线穿过圆，但不过圆心的情况，称为弦。

通过圆心的弦称为直径，且直径是弦中最长的一条线段。

二、直线与圆的性质1. 切线定理定理一：若一条直线与圆相切于切点A，则以切点A为顶点的两条锐角与此直线所夹的圆弧相等。

定理二：若从圆外一点作直线与圆相切于切点A，则此直线与以此点为端点的弦相交处的两个锐角是一对互补角。

2. 弦长定理定理三：若两条弦相交于切点A，则两条弦分割的圆周上的弧长乘积相等。

3. 直径定理定理四：直径是穿过圆心的弦，正好是弦分割的两条弧的半径之和。

4. 割线定理定理五：若两条割线相交于切点A，则此割线与此切点所在的直线上的弦分割的互补角是一对互补角。

三、直线与圆的应用1. 问题一：判断直线是否与圆相交或相切当我们需要解决直线与圆的位置关系问题时，可以利用以下方法：- 使用坐标系和方程：设定坐标系，写出直线和圆的方程并求解交点。

- 使用定理：利用判断圆内点的方法，或使用切线定理判断直线与圆是否相切。

2. 问题二：求解直线与圆的交点坐标当直线与圆相交于两点时，我们可以利用以下方法求解交点坐标：- 使用坐标系和方程：设定坐标系，写出直线和圆的方程，联立方程并求解交点坐标。

3. 问题三：判断两条直线是否为切线或相交于切点当我们需要判断两条直线是否为切线或相交于切点时，可以利用以下方法：- 使用切线定理：若两条直线与圆相切于同一切点，则可判断它们为切线或相交于切点。

圆的认识和相关性质

圆的认识和相关性质圆是几何学中最基本的形状之一，被广泛应用于科学、工程和日常生活中。

本文将介绍圆的定义、性质以及与其他几何图形之间的关联。

一、圆的定义和特点圆是一个由一条曲线围成的封闭图形，其内部的任何一点到圆心的距离都相等，这个相等的距离称为半径。

以下是圆的一些重要特点：1. 圆心：圆的中心点称为圆心，通常用字母O表示。

2. 直径：通过圆心的一条直线，且两端点都在圆上，称为圆的直径。

直径的长度等于两倍的半径。

3. 弧长：圆上两个点之间的距离称为弧长。

弧长与圆心角的大小有关。

4. 弦：连接圆上两个点的线段称为弦。

弦切割圆的两部分，形成圆内弧和圆外弧。

5. 切线：与圆只有一个交点的直线称为切线。

切线与半径垂直。

6. 弧度：弧与半径所夹的角度称为弧度。

1弧度等于圆的半径长度的弧长。

二、圆的性质除了定义和特点之外，圆还有很多重要的性质，以下是其中的一些：1. 圆上任意两点可以确定唯一的一条弦。

2. 过圆心的所有弦都相等。

也就是说，如果两条弦都通过圆心，则它们的长度相等。

3. 圆上的所有点到圆心的距离相等，也就是说，圆的半径相等。

4. 圆的周长等于2π乘以半径。

周长可以通过公式C=2πr计算，其中C代表周长，r代表半径。

5. 圆的面积等于π乘以半径的平方。

面积可以通过公式A=πr²计算，其中A代表面积。

6. 半径相等的圆互为同心圆，即圆心重合但半径不同。

三、圆与其他几何图形的关联1. 圆与直线：直线与圆的关系有三种情况。

第一种是直线与圆相切，此时直线只有一个交点与圆相接触。

第二种是直线不与圆相交，此时直线与圆没有任何交点。

第三种是直线与圆相交，此时直线经过圆并与其相交于两个不同的交点。

2. 圆与三角形：圆与三角形的关系主要体现在外接圆和内切圆上。

外接圆是能够完全包围一个三角形的圆，其圆心位于三角形外。

内切圆是能够与三角形的三条边都相切的圆，其圆心位于三角形的内部。

3. 圆与矩形：在矩形中，对角线相等且相交于一个点，这个点正好是矩形内接圆和外接圆的圆心。

直线和圆的三种位置关系知识点

. （1）直线和圆的三种位置关系：①相离：一条直线和圆没有公共点．②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d=r③直线l和⊙O相离⇔d＞r．（2）（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的性质可总结如下：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．（3）切线性质的运用由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．（3）（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（2）在应用判定定理时注意：①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．（4）（1）内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．（3）三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．（5）（1）圆与圆的五种位置关系：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含．如果两个圆没有公共点，叫两圆相离．当每个圆上的点在另一个圆的外部时，叫两个圆外离，当一个圆上的点都在另一圆的内部时，叫两个圆内含，两圆同心是内含的一个特例；如果两个圆有一个公共点，叫两个圆相切，相切分为内切、外切两种；如果两个圆有两个公共点叫两个圆相交．（2）圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系：①两圆外离⇔d＞R+r；②两圆外切⇔d=R+r；③两圆相交⇔R-r＜d＜R+r（R≥r）；④两圆内切⇔d=R-r（R＞r）；⑤两圆内含⇔d＜R-r（R＞r）．（6）;..。

圆形知识点归纳总结

圆形知识点归纳总结圆形是几何学中的重要概念，具有广泛的应用。

在我们日常生活和工作中，我们时常会遇到和使用到圆形的相关知识。

本文将对圆形的相关知识进行归纳总结，希望能够为大家提供一个全面的了解和掌握圆形知识的机会。

一、圆的定义和性质1. 圆的定义：圆是平面上到一个定点的距离等于定长的点的集合。

2. 圆的性质- 圆的半径是圆心到圆上任一点的距离。

- 圆的直径是连接圆上任意两点的线段，且经过圆心。

- 圆的周长是圆上的一条边长，即圆周的长度。

- 圆的面积是圆内部的所有点构成的集合的大小。

二、圆的相关公式1. 圆的周长公式：C = 2πr，其中r为圆的半径，π是一个常数，约为3.14。

2. 圆的面积公式：A = πr²，其中r为圆的半径，π是一个常数，约为3.14。

三、圆的相关问题1. 圆的相交问题：当两个圆相交时，我们需要研究它们的相交情况，如相切、内切、外切等等。

2. 圆与直线的关系：直线与圆的关系主要包括直线与圆的位置关系、直线穿越圆的情况等。

四、圆的应用1. 圆在日常生活中的应用：钟表、车轮、篮球等都是圆形的物体，它们的设计和制造需要运用到圆的相关知识。

2. 圆在工程中的应用：如建筑、机械制造等领域都经常使用到圆的形状和相关计算。

五、圆内接多边形1. 圆内接多边形的性质：圆的直径就是多边形的对角线。

六、圆的补充角和余角1. 圆的补充角：一个角的补角如果是90度，那么这个角就是圆的补角。

2. 圆的余角：一个角的余角如果是90度，那么这个角就是圆的余角。

七、圆周角和弦1. 圆周角：圆周角是指圆周上的一个角可能，它的顶点都在圆周上与该角所对顶点的圆心的两条这个角的端点之间的两个弧所组成。

2. 弦：两点确定一条直线。

八、圆锥1. 圆锥的定义：圆锥是以一条射线为轴，在其上任一点作一个固定的圆，所得的旋转体。

2. 圆锥的性质：圆锥的侧面是一个尖点和一个圆的曲面。

在这篇文章中，我们对圆的相关知识点进行了归纳总结，包括定义、性质、公式、应用等内容。

初中圆的知识点总结

初中圆的知识点总结在初中数学中，圆是一个重要的几何概念，涉及到许多与其相关的知识点。

本文将总结一些初中阶段关于圆的重要知识点，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。

一、圆的定义与性质圆是平面上一组到定点的距离都相等的点的集合。

圆由圆心和半径确定。

圆心是距离所有点最近的点，半径是圆心到圆上任一点的距离。

圆的性质包括：1. 圆上任意两点之间的距离等于圆的半径；2. 圆上任意一点到圆心的距离等于半径；3. 圆的直径是穿过圆心且两端点在圆上的一条线段，直径等于半径的两倍；4. 圆的周长是圆上任意一点完整绕圆一周所经过的路径长度，公式为周长=2πr，其中r为半径；5. 圆的面积是圆内所有点到圆心的距离之和，公式为面积=πr²。

二、弧与弦1. 弧是圆上的一段弯曲的线段，其两端点在圆上；2. 弦是圆上任意两点之间的线段，弦的长度可以小于或等于圆的直径；3. 弧所对的弦是指与弧的两端点相连的弦。

三、圆的位置关系1. 内切：两个圆的圆心之间的距离等于两个半径的差，且一个圆的圆心在另一个圆的内部；2. 外切：两个圆的圆心之间的距离等于两个半径的和，且一个圆的圆心在另一个圆的外部；3. 相离：两个圆的圆心之间的距离大于两个半径之和，且两个圆的内部不相交。

四、圆上的角1. 弧度制与角度制：数学中，常用的角度制和弧度制。

角度制以°为单位，弧度制以弧长与半径的比值作为单位；2. 弧度：一个半径为r的圆弧所对的圆心角为1弧度，当圆心角的大小为θ时，对应的弧长为rθ；3. 圆周角：圆周角是指一个圆心角恰好等于360°或2π弧度；4. 正弦、余弦、正切：这些三角函数可以应用于圆上的角。

例如，对于一个角为θ的圆心角，正弦值等于对边与斜边之比，余弦值等于邻边与斜边之比，正切值等于对边与邻边之比。

五、圆的切线和切点1. 切线是与圆只有一个公共点的一条直线，该点称为切点；2. 切线与半径垂直，直径则是切线的特殊情况；3. 切线的斜率等于切点处切线与圆心连线的斜率的相反数。

【重点梳理】-初三数学-圆的基本概念和性质

核心知识点一：圆的定义与性质1. 圆的定义(1)动态：如图，在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径. 以点 O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆 O”．要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.(2)静态：圆心为 O，半径为 r 的圆是平面内到定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合.要点诠释：①定点为圆心，定长为半径；②圆指的是圆周，而不是圆面；③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.2.圆的性质①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心；②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴.要点诠释：①圆有无数条对称轴；②因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”.3.两圆的性质两个圆组成的图形是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线（经过两圆圆心的直线叫做两圆连心线）.每周六 10 点，【作业帮一课初中】服务号定时上新独家资料，等你来抢~~~核心知识点二：与圆有关的概念1.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.要点诠释：直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 中任意一条弦，求证：AB≥CD.证明：连结OC、OD∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD 过圆心O 时，取“=”号)∴直径AB 是⊙O 中最长的弦.2.弧弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B 为端点的弧记，读作“圆弧AB”或“弧AB”.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.要点诠释：①半圆是弧，而弧不一定是半圆；②无特殊说明时，弧指的是劣弧.3.同心圆与等圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.4.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.要点诠释：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；②圆中两平行弦所夹的弧相等.。

圆有关的知识点总结

圆有关的知识点总结1. 圆的基本概念圆是平面上一组点的集合，这些点与给定点的距离相等。

给定圆心O和距离r，与圆心距离等于r的点P的全体称为圆C。

圆心O为圆C的中心，距离r称为圆的半径。

圆的直径是通过圆心并且两端点在圆上的线段，它等于半径的二倍，即d=2r。

圆的周长是圆上任意一点到另一点的距离，也称为圆的周长，用C来表示。

圆的周长与直径的关系是C=πd。

圆的面积是圆内部所有点的集合，用A来表示。

圆的面积与直径的关系是A=πr^2。

2. 圆的性质（1）圆上所有点到圆心的距离相等。

（2）圆的直径是圆的最长线段，且等于半径的二倍。

（3）圆的任意弧长与圆心的夹角成正比，即圆的任意弧长等于半径乘以弧度。

（4）圆的面积与周长之间满足π的关系。

3. 圆与直线的位置关系（1）相离：直线不与圆相交。

（2）相切：直线与圆相切于一点。

（3）相交：直线与圆相交于两点。

4. 圆的方程圆的一般方程为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，其中(a,b)为圆心的坐标，r为半径。

5. 圆的相关定理（1）切线定理：过圆外一点可以作圆的两条切线，这两条切线的长度相等。

（2）切线与半径垂直定理：切线与半径的夹角是直角。

（3）圆的内切与外切定理：两圆相切的切点与两圆心连线垂直于切线。

（4）相交弦定理：相交弦定理是指如果两条弦相交，则它们各自的交点与对方连接线段的乘积相等。

6. 圆的相关推论（1）相交弦的性质：若两条弦在圆内部相交，则它们各自的交点与对方连接线段的乘积相等。

（2）切线性质推论：若半径与切线相交，那么相交的两条切线长度相等。

7. 圆的相关公式（1）弧长计算公式：圆的弧长L=半径r*弧度θ。

（2）扇形面积计算公式：圆的扇形面积A=1/2*半径r^2*弧度θ。

（3）圆锥体积计算公式：圆锥的体积V=1/3*底面积S*h。

（4）其他相关公式：圆锥体的侧面积和母线公式等。

综上所述，圆是数学中非常重要的几何图形之一，它具有独特的性质和特点，也有许多相关定理和公式。

点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系

点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系知识梳理：考点一点与圆的位置关系1．点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外．如果圆的半径是r，点到圆心的距离为d，那么：(1)点在圆上⇔d＝r；(2)点在圆内⇔d<r；(3)点在圆外⇔d>r.2．过三点的圆(1)经过三点作圆：①经过在同一直线上的三点不能作圆；②经过不在同一直线上的三点，有且只有一个圆．(2)三角形的外接圆：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三角形的外心；这个三角形叫做这个圆的内接三角形．(3)三角形外接圆的作法：①确定外心：作任意两边的中垂线，交点即为外心；②确定半径：两边中垂线的交点到三角形任一个顶点的距离作为半径．考点二直线与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系的有关概念(1)直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时的直线叫做圆的割线；(2)直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，唯一的公共点叫做切点，这时的直线叫圆的切线；(3)直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．2．直线和圆的位置关系的性质与判定如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么：(1)直线l和⊙O相交⇔d<r；(2)直线l和⊙O相切⇔d＝r；(3)直线l和⊙O相离⇔d>r.考点三切线的判定和性质1．切线的判定方法(1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；(2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；(3)过半径外端点且和这条半径垂直的直线是圆的切线．2．切线的性质(1)切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径；(2)推论1：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心；(3)推论2：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．考点四切线长定理1．切线长：在经过圆外一点的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．2．切线长定理．．．．．：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角．【典型例题分析】【例1】(1)(2009·江西)在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2，下列说法中不正确．．．的是()A．当a<5时，点B在⊙A内B．当1<a<5时，点B在⊙A内C．当a<1时，点B在⊙A外D．当a>5时，点B在⊙A外(2)(2010·青岛)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝4 cm，以点C为圆心，以2 cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是()A．相离B．相切C．相交D．相切或相交(3)(2010·门头沟)如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，∠AOB＝45°，点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设OP＝x，则x 的取值范围是()A．－1≤x≤1 B．－2≤x≤ 2C．0≤x≤ 2 D．x> 2【点拨】解答本组题时注重数形结合思想．【解答】(1)通过画图和点与圆位置关系的判定条件，A不正确．故选A.(2)过点C作CD⊥AB于D.∵∠B＝30°，BC＝4 cm∴CD＝2 cm，即点C到AB的距离等于⊙C的半径．故⊙C与AB相切，故选B.(3)当P与O重合时，PO＝0.当过点P 且与OA 平行的直线与⊙有唯一公共点时，PO ＝2，即0≤x ≤ 2.故选C.【例2】 (2010·聊城)如图，已知Rt △ABC ，∠ABC ＝90°，以直角边AB 为直径作⊙O ，交斜边AC 于点D ，连结BD.(1)若AD ＝3，BD ＝4，求边BC 的长；(2)取BC 的中点E ，连结ED ，试证明ED 与⊙O 相切．【点拨】本题综合考查相似三角形的判定性质以及切线的判定．【解答】(1)由AB 为⊙O 的直径 ∴∠ADB ＝90°在Rt △ADB 中，AD ＝3，BD ＝4，∴AB ＝5在Rt △ADB 和Rt △ABC 中，∵∠ADB ＝∠ABC ＝90°，∠DAB ＝∠BAC ，∴Rt △ADB ∽Rt △ABC.∴AD BD ＝AB BC ，即34＝5BC .∴BC ＝203.(2)如图，连结OD.∵OB ＝OD ，∴∠OBD ＝∠ODB.在Rt △BDC 中，点E 为斜边BC 的中点，∴EB ＝ED.∴∠EBD ＝∠EDB.∴∠OBD ＋∠EBD ＝∠ODB ＋∠EDB ＝90°.∴OD ⊥DE ，又OD 为⊙O 的半径，∴ED 与⊙O 相切．【例3】 (2010·陕西)如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，斜边AC 的垂直平分线交BC 于点D ，交AC 于点E ，连结BE.(1)若BE 是△DEC 外接圆的切线，求∠C 的大小；(2)若AB ＝1，BC ＝2时，求△DEC 外接圆的半径．【点拨】(1)连结过切点的半径，构造直角三角形是常用的辅助线．(2)通过证明三角形相似，利用相似三角形对应边成比例求线段的长度．【解答】(1)∵DE 垂直平分AC ，∴∠DEC ＝90°，∴DC 为△DEC 外接圆的直径．∴DC 的中点O 即为圆心，如图，连结OE.又知BE 是⊙O 的切线，∴∠EBD ＋∠BOE ＝90°.在Rt △ABC 中，E 是斜边AC 的中点，∴BE ＝EC.∴∠EBC ＝∠C.又∵∠BOE ＝2∠C ，∴∠C ＋2∠C ＝90°，∴∠C ＝30°.(2)在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝5，∴EC ＝12AC ＝52.∵∠ABC ＝∠DEC ＝90°，∴△ABC ∽△DEC. ∴AC DC ＝BC EC ，∴DC ＝5×52÷2＝54. ∴△DEC 外接圆的半径为58. 【巩固练习】1．如图，P 为⊙O 外一点，PA 切⊙O 于点A ，且OP ＝5，PA ＝4，则sin ∠APO 等于( B ) A.45 B.35 C.43 D.34(第1题) (第2题)2．如图，从⊙O 外一点P 引⊙O 的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，如果∠APB ＝60°，PA ＝8，那么弦AB 的长是( B )A ．4B ．8C ．4 3D ．8 33．⊙O 的半径为5，圆心O 到直线l 的距离为3，则直线l 与⊙O 的位置关系是( A )A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法确定4．如图，CD 切⊙O 于点B ，CO 的延长线交⊙O 于点A.若∠C ＝36°，则∠ABD 的度数是( B )A ．72°B ．63°C ．54°D ．36°(第4题) (第5题)5．如图，⊙O 的半径OA ＝10 cm ，弦AB ＝16 cm ，P 为AB 上一动点，则点P 到圆心O 的最短距离为6cm.6．△ABC 中，AB ＝10 cm ，AC ＝8 cm ，BC ＝6 cm ，以点B 为圆心、6 cm 为半径作⊙B ，则边AC 所在的直线与⊙B 的位置关系是相切．【考点训练】一、选择题(每小题4分，共48分)1．(2011中考预测题)如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，DC 切⊙O 于点C ，若∠A ＝25°，则∠D 等于( )A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°【解析】连结OC ，则OC ⊥DC ，∴∠DOC ＝2∠A ＝50°.【答案】A2．(2009中考变式题)如图，EB 为半圆O 的直径，点A 在EB 的延长线上，AD 切半圆O 于点D ，BC ⊥AD 于点C ，AB ＝2，半圆O 的半径为2，则BC 的长为( )A ．2B ．1.5C ．1D ．0.5【解析】连结OD ，则OD ⊥AD ，又BC ⊥AD ，∴BC ∥OD.∵AB ＝OB ＝2，∴BC ＝12OD ＝12×2＝1. 【答案】C3．(2009中考变式题)如图，在平面直角坐标系中，⊙P 与x 轴相切于原点O ，平行于y 轴的直线交⊙P 于M 、N 两点．若点M 的坐标是(2，－1)，则点N 的坐标是( )A ．(2，－4)B ．(2，－4.5)C ．(2，－5)D ．(2，－5.5)【解析】过点P 作PA ⊥MN 于点A ，设NA ＝x ，连结PN ，则MA ＝x.∴⊙P 半径为x ＋1，在Rt △PNA 中，∵PN 2＝NA 2＋PA 2，∴(x ＋1)2＝x 2＋22，解得x ＝1.5，∴N(2，－4)．【答案】A4．(2011中考预测题)如图，已知⊙O 的半径为R ，AB 是⊙O 的直径，D 是AB 延长线上一点，DC 是⊙O 的切线，C 是切点，连结AC ，若∠CAB ＝30°，则BD 的长为( )A ．2R B.3R C ．R D.32R 【解析】连结OC ，则OC ⊥OD.∵∠CAB ＝30°，∴∠COD ＝60°，∴∠D ＝30°，则OD ＝2R.∴BD ＝OD －OB ＝2R －R ＝R.【答案】C5．(2009中考变式题)如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，连结BC 交⊙O 于点D ，连结AD ，若∠ABC ＝45°，则下列结论正确的是( )A ．AD ＝12BCB ．AD ＝12AC C ．AC>AB D ．AD>DC 【解析】易证△ABC 为等腰直角三角形，AD 为斜边上的中线，∴AD ＝12BC. 【答案】A6．(2011中考预测题)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3 cm ，BC ＝4 cm ，以C 为圆心、3 cm 长为半径的圆与AB 的关系为( )A ．相切B ．相离C ．相交D ．无法判断【解析】易求C 到AB 的距离为125<3，∴⊙C 与AB 相交．【答案】C7．(2010·眉山)下列命题中，真命题是( )A ．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形B ．等腰梯形既是轴对称图形又是中心对称图形C ．圆的切线垂直于经过切点的半径D ．垂直于同一直线的两条直线互相垂直【解析】本题考查切线的性质．【答案】C8．(2009中考变式题)如图，PA 、PB 分别是⊙O 的切线，A 、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，已知∠BAC ＝35°，则∠P 的度数为( )A ．35°B ．45°C ．60°D ．70°【解析】∵∠BAC ＝35°，∠OAP ＝90°，∴∠PAB ＝55°.由切线长定理得PA ＝PB ，∴∠PAB ＝∠PBA ＝55°，∴∠P ＝70°.【答案】D9．(2009中考变式题)下列四个命题：①与圆有公共点的直线是该圆的切线；②到圆心的距离等于该圆半径的直线是该圆的切线；③垂直于圆的半径的直线是该圆的切线；④过圆直径的端点，垂直于此直径的直线是该圆的切线，其中正确的是( )A ．①②B ．①④C ．②④D ．③④【解析】利用圆的切线的判定方法和定义，②④是正确的．【答案】C10．(2011中考预测题)如图，已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为35°，过C 点的切线与AB 的延长线交于点P ，则∠P 等于( )A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°【解析】∵OA ＝OC ，∠A ＝35°，∴∠A ＝∠ACO ＝35°，∴∠COP ＝70°.又OC ⊥PC ，∴∠P ＝90°－∠COP ＝20°.【答案】B11．(2009中考变式题)如图，⊙O 是等边三角形ABC 的外接圆，⊙O 的半径为2，则等边三角形ABC 的边长为( )A. 3B. 5 C ．2 3 D ．2 5【解析】过O 作OE ⊥BC 于点E ，连结OB ，在Rt △OBE 中，OB ＝2，∠OBE ＝30°，∴BE ＝3，∴BC ＝2BE ＝2 3.【答案】C12．(2010·武汉)如图，⊙O 的直径AB 的长为10，弦AC 长为6，∠ACB 的平分线交⊙O 于D ，则CD 的长为( )A ．7B ．7 2C ．8 2D ．9【解析】连结BD 、AD ，作BE ⊥CD 于E ，∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°.∵AC ＝6，AB ＝10，根据勾股定理得BC ＝8.∵CD 平分∠ACB ，∴∠BCD ＝45°.∵BE ⊥CD ，∴CE ＝BE.∵BC ＝8，根据勾股定理得CE ＝BE ＝4 2.∵AD ＝BD ，AB 是直径，∴BD ＝5 2.在Rt △BDE 中，BD ＝52，BE ＝42，∴DE ＝32，∴CD ＝CE ＋DE ＝72，故选B.【答案】B二、填空题(每小题4分，共16分)13．(2009·河北)如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 的延长线交⊙O 于点C ，连结BC.若∠A ＝36°，则∠C ＝________.【解析】连结OB ，则OB ⊥AB ，又∠A ＝36°，∴∠AOB ＝54°.又OB ＝OC ，∠C ＝∠OBC ＝12∠AOB ＝27°. 【答案】27°14．(2010·河南)如图，AB 切⊙O 于点A ，BO 交⊙O 于点C ，点D 是OMA 上异于点C 、A 的一点．若∠ABO ＝32°，则∠ADC 的度数是________．【解析】∵AB 切⊙O 于点A ，∴OA ⊥AB.∵∠ABO ＝32°，∴∠AOB ＝90°－32°＝58°，则∠ADC ＝12∠AOB ＝29°. 【答案】29°15．(2011中考预测题)如图，从⊙O 外一点P 引⊙O 的两条切线PA 、PB ，切点分别是A 、B ，若PA ＝8 cm ，C 是AB 上的一个动点(点C 与A 、B 两点不重合)，过点C 作⊙O 的切线，分别交PA 、PB 于点D 、E ，则△PED 的周长是________．【解析】由切线长定理得DC ＝DA ，CE ＝BE ，∴DE ＝DA ＋EB ，∴△PED 的周长＝PA ＋PB ＝2PA ＝16 cm.【答案】16 cm16．(2010·杭州)如图，已知△ABC ，AC ＝BC ＝6，∠C ＝90°.O 是AB 的中点，⊙O 与AC 、BC 分别相切于点D 与点E.点F 是⊙O 与AB 的一个交点，连结DF 并延长交CB 的延长线于点G ，则CG ＝________.【解析】连结DO ，∵⊙O 与AC 相切于点D ，则DO ⊥AC.∵∠C ＝90°，∴DO ∥CG ，由DO ＝OF ，可推得BF ＝BG.由AC ＝BC ＝6，∠C ＝90°，得AB ＝62，∴AO ＝3 2.在Rt △ADO 中，∠A ＝45°，∴DO ＝3，BF ＝AB －AO －OF ＝32－3，∴CG ＝BC ＋GB ＝6＋32－3＝3＋3 2.【答案】3＋3 2三、解答题(共36分)17．(12分)(2010·广东)如图，PA 与⊙O 相切于A 点，弦AB ⊥OP ，垂足为C ，OP 与⊙O相交于D 点．已知OA ＝2，OP ＝4.(1)求∠POA 的度数；(2)计算弦AB 的长．解：(1)因为PA 与⊙O 相切于A 点，所以OA ⊥AP.在Rt △PAO 中，cos ∠POA ＝OA OP ＝24＝12，所以∠POA ＝60°. (2)因为AB ⊥OP ，所AC ＝BC ＝12AB. 在Rt △ACO 中，sin ∠COA ＝AC OA，所以AC ＝OA·sin ∠COA ＝2×sin60°＝2×32＝ 3. 所以AB ＝2AC ＝2 3.18．(12分)(2010·北京)已知：如图，在△ABC 中，D 是AB 边上的一点，⊙O 过D 、B 、C 三点，∠DOC ＝2∠ACD ＝90°.(1)求证：直线AC 是⊙O 的切线；(2)如果∠ACB ＝75°，⊙O 的半径为2，求BD 的长．(1)证明：∵OD ＝OC ，∠DOC ＝90°，∴∠ODC ＝∠OCD ＝45°.∵∠DOC ＝2∠ACD ＝90°.∴∠ACD ＝45°.∴∠ACD ＋∠OCD ＝∠OCA ＝90°.∵点C 在⊙O 上，∴直线AC 是⊙O 的切线．(2)解：∵OD ＝OC ＝2，∠DOC ＝90°，可求CD ＝2 2.∵∠ACB ＝75°，∠ACD ＝45°，∴∠BCD ＝30°.作DE ⊥BC 于点E ，∴∠DEC ＝90°，∴DE ＝DC·sin30°＝ 2.∵∠B ＝45°，∴BD ＝2.19．(12分)(2010·襄樊)如图，已知：AC 是⊙O 的直径，PA ⊥AC ，连结OP ，弦CB ∥OP ，直线PB 交直线AC 于D ，BD ＝2PA.(1)证明：直线PB 是⊙O 的切线；(2)探究线段PO 与线段BC 之间的数量关系，并予以证明；(3)求sin ∠OPA 的值．(1)证明：连结OB ，∵BC ∥OP ，∴∠BCO ＝∠POA ，∠CBO ＝∠POB.又∵OC ＝OB ，∴∠BCO ＝∠CBO ，∴∠POB ＝∠POA.又∵PO ＝PO ，OB ＝OA ，∴△POB ≌△POA(SAS)．∴∠PBO ＝∠PAO ＝90°，∴PB 是⊙O 的切线．(2)2PO ＝3BC(或PO ＝32BC 亦可)．证明：∵△POB ≌△POA ，∴PB ＝PA.∵BD ＝2PA ，∴BD ＝2PB.∵BC ∥PO ，∴△DBC ∽△DPO.∴BC PO ＝BD PD ＝23.∴2PO ＝3BC. (3)解：∵△DBC ∽△DPO ，∴DC DO ＝BD PD ＝23. 即DC ＝23OD ，∴DC ＝2OC. 设OA ＝x ，PA ＝y ，则OD ＝3x ，OB ＝x ，BD ＝2y.在Rt △OBD 中，由勾股定理，得(3x)2＝x 2＋(2y)2.即2x 2＝y 2.∵x>0，y>0，∴y ＝2x ，OP ＝x 2＋y 2＝3x.∴sin ∠OPA ＝OA OP ＝x 3x ＝13＝33.。

【重点梳理】初三数学-点、直线、圆与圆的位置关系

初中独家资料之【初三数学】点、直线、与圆的位置关系一、基础知识梳理核心知识点一：点和圆的位置关系（1）点和圆的三种位置关系：由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具有相同的性质和判定方法；设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有（2）三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.要点诠释：（1）点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系；（2）不在同一直线上的三个点确定一个圆.核心知识点二：直线和圆的位置关系（1）直线和圆的三种位置关系：(1)相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．(2)相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．(3)相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．（2）直线与圆的位置关系的判定和性质．直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么要点诠释：这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定．核心知识点三：切线的判定定理、性质定理和切线长定理（1）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要点诠释：切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可.（2）切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.（3）切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.要点诠释：(3) 三角形的外心与内心的区别：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段.（4）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等. （5）三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. （6）三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即 (S 为三角形的面积，P 为三角形的周长，r 为内切圆的半径).名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心) 三角形三边中垂线的交点(1) 到三角形三个顶点的距离相等，即 OA=OB=OC ； (2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心) 三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等； (2)OA 、OB 、OC 分别平分 ∠BAC 、∠ABC 、∠ACB ； (3)内心在三角形内部.核心知识点四：圆和圆的位置关系（1）圆与圆的五种位置关系的定义两圆外离：两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离.两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点.两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交.两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点.两圆内含：两个圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含.（2）两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系：设⊙O1的半径为r1，⊙O2半径为r2，两圆心O1O2的距离为d，则：两圆外离两圆外切两圆相交两圆内切两圆内含d＞r1+r2d=r1+r2r1-r2＜d＜r1+r2(r1≥r2) d=r1-r2(r1＞r2)d＜r1-r2(r1＞r2)要点诠释：(1)圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点个数分类，又可以分为：相离(含外离、内含)、相切(含内切、外切)、相交；(2)内切、外切统称为相切，唯一的公共点叫作切点；(3)具有内切或内含关系的两个圆的半径不可能相等，否则两圆重合.二、知识体系梳理。

[整理]3圆的有关概念和性质3点与圆直线与圆圆与圆的位置关系

33、圆的有关概念和性质一：【课前预习】（一）：【知识梳理】1.圆的有关概念和性质(1) 圆的有关概念①圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，定长为半径．②弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．③弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．（2）圆的有关性质①圆是轴对称图形；其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．②垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．③弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；90”的圆周角所对的弦是直径．④三角形的内心和外心ⓐ：确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．ⓑ：三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．ⓒ：三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心2.与圆有关的角（1）圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。

圆心角的度数等于它所对的弧的度数．（2）圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角，叫圆周角。

圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．（3）圆心角与圆周角的关系：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．（4）圆内接四边形：顶点都在国上的四边形，叫圆内接四边形．圆内接四边形对角互补，它的一个外角等于它相邻内角的对角．（二）：【课前练习】1.如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠BAC=30°则∠BOC的大小是（）A．60○B．45○ C．30○D．15○2.如图，MN所在的直线垂直平分弦A B，利用这样的工具最少使用__________次，就可找到圆形工件的圆心．3.如图，A、B、C是⊙O上三个点，当 BC平分∠ABO时，能得出结论_______（任写一个）．4.如图是中国共产主义青年团团旗上的图案，点A、B、C、D、E五等分圆，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是（）A．180° B．15 0° C．135° D．120°5.如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A 、B，点C在⊙O上．如果∠P＝50○，那么∠ACB等于（）A．40○ B．50○C．65○D．130○二：【经典考题剖析】1.如图，在⊙O 中，已知∠A CB ＝∠CDB ＝60○，AC ＝3，则△ABC 的周长是____________.2.“圆材埋壁”是我国古代《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁冲，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺间径几何”．用数学语言可表述为如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于点E ，CE ＝1寸，AB=10寸，则直径CD 的长为（）A ．12．5寸B ．13寸C ．25寸D ．26寸3.如图，已知AB 是半圆O 的直径，弦AD 和BC 相交于点P ，那么CD AB等于（） A ．sin ∠BPD B ．cos ∠BPD C ．tan ∠BPD D ．cot ∠BPD4.⊙O 的半径是5，AB 、CD 为⊙O 的两条弦，且AB ∥CD ，AB=6，CD=8，求 AB 与CD 之间的距离．5.如图，在⊙M 中，弧AB 所对的圆心角为1200，已知圆的半径为2cm ，并建立如图所示的直角坐标系，点C 是y 轴与弧AB 的交点。