整数规划

决策变量
=
⎧1， ⎩⎨0，
是 否
23
2、辅助0-1变量 如果问题的原始模型对应于一个整数规划模型
或线性规划模型，只是在模型中的组合关系稍有 不同，那么就可以对它们重新建模。通过引入辅 助0-1变量(auxiliary binary variable)，将问题转变 为混合整数规划问题或纯整数规划问题。
15
16
1、0-1整数规划的应用
¾ 投资分析
关于固定投资的资金预算决策是一个是或否的决 策，其表达形式如下： 每个是或否的决策： 是否应该在固定投资项目上投资？
决策变量
=
⎧1， ⎩⎨0，
是 否
17
¾ 选址
每个可选地点的选择都是一个是或否的决策，其 表达形式如下： 每个是或否的决策： 是否应该选择该地建新设施？
31
决策变量：
产品生产产量： x1=每周生产的产品1的产量 x2=每周生产的产品2的产量
辅助0-1变量：
yj
=
⎪⎧1, ⎪⎩⎨0,
if if
xj > 0 xj = 0
其中j=1, 2
32
目标函数：
Max z=300x1+500x2 −700y1−1300y2
约束条件：
1、生产时间的约束
x1
≤4
2x2 ≤ 12
3x1+2x2≤18 或
x1+ 4x2≤16
引入辅助0-1变量y：
y
=
⎧0, ⎩⎨1,
if Constraint 1is chosen if Constraint 2 is chosen
46
假设 M 是一个很大的正数，则这个要求可以重 写为：
3x1 + 2x2 ≤ 18 + My x1 + 4x2 ≤ 16 + M (1 − y)
引入N个辅助0-1变量yj。
yj
=
⎧0, ⎩⎨1,
if Constraint j is chosen if Constraint j is not chosen
51
52
该问题的整数规划模型为：
Max s.t.
z=300x1+500x2
x1≤ 4 2x2 ≤ 12 3x1+2x2−My ≤ 18 2x1+4x2 −M(1−y) ≤ 28 x1,x2 ≥ 0且为整数 y是0-1变量
53
最优解： x1=4, x2=5, y=1 Zmax=3700
54
9
N个约束中选K个约束的问题
47
例、生产计划问题：Wyndor Glass公司
变动：公司最近建了一个与工厂3类似的新厂（工 厂4），因此，新厂也可以生产两种新产品，但 是，为了管理上的原因，管理层决定只在一个厂内 生产新产品，同时要选取能获得产品组合最大利润 的那一工厂。
48
8
工厂
1 2 3 4 每批的利润
单位产品的生产时间/小时
4
在只有两种选择（是或否）的决策中，通过限制 决策变量只取两个值0和1，就能够表达这种决策。因 此第j个是或否的决策可以表示为 xj ，
⎧1， 如果决策j 为是 x j = ⎩⎨0， 如果决策j 为否
这种变量称为二值变量(或0-1变量)，所以只包含二 值变量的整数规划问题称为二值整数规划(BIP) 问题( 或0-1整数规划问题)。
6
1
每架飞机的年利润 飞机的单位购价 最多购买数量
小型飞机
$100万 $500万
2
大型飞机
$500万 $5000万
−
可获得的资 金总额
$1亿
问题：为了获得最大的利润，公司应该购买多 少飞机，各种型号又该如何组合呢？
7
整数规划模型：
决策变量： S=购买小型机的数量 L=购买大型机的数量
Max Z=S+5L （百万美元） s.t. 5S+50L≤ 100
3x1+2x2 ≤ 18
2、变动1的约束
x1 ≤ My1 x2 ≤ My2 3、变动2的约束 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 且为整数； y1, y2都是0-1变量。
33
34
该问题的整数规划模型为：
Max z=300x1+500x2 −700y1−1300y2
s.t.
x1≤ 4
2x2 ≤ 12
3x1+2x2 ≤ 18
24
4
¾ 固定成本问题 ¾ 产品互斥问题 ¾ 两个约束中选一个约束问题 ¾ N个约束中选K个约束的问题
固定成本问题
当从事一个活动时，发生固定支出或启动成本 的情况是常见的。在这种情况下，活动的总成本就 是与活动水平相关的可变成本和启动活动的启动成 本之和。
25
26
通常可变成本大致与活动水平成比例。如果是 这种情况，活动j的总成本可以用如下函数形式来表 示：
⎪
s.t.⎨x j − My j ≤ 0
⎪ ⎩
y
j
is
a
binary
variable
for
all
j
30
5
例、生产计划问题：Wyndor Glass公司
两个变动： 1、对于每一种产品，在开始生产之前都需要为安
装生产设备支出一次性的启动成本，门、窗的 启动成本分别为$700和$1300，此外，门、窗的 单位利润分别保持原来的$300和$500。 2、一个生产批次在一个星期后结束，因此原模型 中门和窗的生产总量必须为整数。
50
目标函数：
Max z=300x1+500x2
约束条件：
1、工厂1和2生产时间的约束
x1
≤4
2x2 ≤ 12
2、选择工厂3还是工厂4
3x1 + 2x2 ≤ 18 + My 2x1 + 4x2 ≤ 28 + M(1−y) 3、决策变量的约束 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 且为整数； y是0-1变量。
14
利用Excel求解：
在洛杉矶建仓库?
资金(百万美元)
5
净现值(百万美元)
6
仓库数
在洛杉矶建工厂？ 在旧金山建仓库？
6
2
9
4
在旧金山建工厂？ 总计 限制
3
9 <= 10
5
0 <= 1
决策变量
0
<=
1
0
<=
1
总净现值
14
6.2 0-1整数规划
管理者经常会遇到是否决策问题，因此，0-1 整数规划在这类决策中有广泛的应用。
S ≤2 S ≥ 0, L ≥ 0 S、L均为整数
8
图解法：
最优解：S=0，L=2 Z=10（百万美元）
利用Excel求解
小型飞机
大型飞机
可用资金
资金(百万美元)
5
50
100
<=
100
单位利润(百万美元)
1
5
最多数量
2
-
>=
购买数量
4.44089E-15
2
总利润 10
9
10
例2、加利福尼亚制造公司
加利福尼亚制造公司正在考虑建一个新工 厂来扩大公司规模，新工厂可能建在洛杉矶或 旧金山，甚至可能在两座城市都建新工厂。该 公司同时正在考虑建只多一个新仓库，但是新 仓库必须建在与新厂同一城市。下表给出了相 关数据。
实践中有时会遇到在一个规划问题中有N个约束 条件，但只要求其中K个约束条件成立，另外N−K 个约束条件可以不要求成立。
55
N 个可能的约束如下表示：
f1 ( x1 , x 2 ,..., x n ) ≤ d 1 f 2 ( x1 , x 2 ,..., x n ) ≤ d 2
M f N ( x1 , x 2 ,..., x n ) ≤ d N
28
引入辅助0-1变量yj：
yj
=
⎪⎧1, ⎪⎩⎨0,
if if
xj > 0 xj = 0
表示活动j是否实施的决策变量。
为保证当xj>0时，yj=1，增加约束： xj≤Myj
其中M是一个很大的正数。
29
原始模型转换为MIP模型
n
∑ min Z = (c j x j + k j y j ) j =1
⎧the original constra int s
y1+y2≤ 1 x1 −My1 ≤ 0 x2 −My2 ≤ 0
yx11,,xy22≥都0是且0为-1整变数量
最优解：
x1=0, y1=0 x2=6, y2=1 Zmax=3000
43
44
两个约束中选一个约束问题
管理决策时经常会遇到在两个约束中选择一 个的问题，即只有一个约束条件是必须保留的。
45
假设整个问题的一个要求是
11
决策号
是否问题
决策 净现值 所需资金 变量 （百万） （百万）
1
是否在洛杉矶建厂? x1
$9
$6
2
是否在旧金山建厂? x2
$5
$3
3 是否在洛杉矶建仓库? x3
$6
$5
4 是否在旧金山建仓库? x4
$4
$2
可用资金：$10 百万
12
2
整数规划模型：
max Z = 9x1 + 5x2 + 6x3 + 4x4
39
决策变量：
产品生产产量： x1=每周生产的产品1的产量 x2=每周生产的产品2的产量
辅助0-1变量：
yj
=
⎪⎧1, ⎪⎩⎨0,
if if
xj > 0 xj = 0
其中j=1, 2
40
目标函数：
Max z=300x1+500x2
约束条件：
1、生产时间的约束
x1
≤4
2x2 ≤ 12
3x1+2x2 ≤ 18
x1 −My1 ≤ 0
x2 −My2 ≤ 0
x1,x2 ≥ 0且为整数
y1, y2都是0-1变量
35
最优解：
x1=0, y1=0 x2=6, y2=1 Zmax=1700
36
6
产品互斥问题
在实际生产过程中，有时需要限制产品生 产的种类，这就是产品互斥问题。
37
对于这类问题，引入辅助0-1变量yj：第j种产 品是否生产。
20
¾ 规划相关活动
对于每种活动，什么时候开始的决策可以表示为 是或否的决策。 某活动是否应该在某一时刻开始？
决策变量
=
⎧1， ⎩⎨0，来自百度文库
是 否
¾ 规划资产出售
每个是或否的决策： 某项资产是否应该在某一时间售出？
决策变量
=
⎧1， ⎩⎨0，
是 否
21
22
¾ 航空应用
每个是或否的决策： 是否应该将某一飞机分配给某一特定航班？ 是否应该将某一航班分配给某一队特定的机组人员？
第六章、整数规划
范例 0-1整数规划 一些建模例子
1
2
如果一个问题与线性规划的不同之处 仅在于要求变量取值为整数，那么就是一 个整数规划(IP)问题。
整数规划的数学模型就是线性规划模 型再加上一个变量必须取整数值的限制。
3
如果要求所有变量取整数值，称为纯 整数规划问题。
如果只要求部分变量取整数值，称为 混合整数规划问题(MIP)。
f
j (xj
)
=
⎪⎧k j ⎪⎩⎨0
+
cjxj, ,
if x j > 0 if x j = 0
其中xj表示活动j的水平, kj表示启动成本，而cj表 示单位成本。
27
为了建立整个模型，假设有n个活动，它们的成 本结构如前描述，则问题表示为：
min Z = f1(x1) + f2 (x2 ) + L + fn (xn ) s.t. the original constra int s
yj
=
⎪⎧1, ⎪⎩⎨0,
if if
xj > 0 xj = 0
因此，在n种产品中，最多只能生产k种的约束为：
y1+y2 +…+yn= k (k<n)
38
例、生产计划问题：Wyndor Glass公司
变动：两种产品门和窗具有相同的用户，是相互 竞争的。因此，管理层决定不同时生产两种产品， 而是只能选择生产其中一种。
⎧6 ⎪
x1
+
s.t.⎪⎪⎨− x1
3x2
+ 5x3 + 2x4 ≤ 10
x3 + x4 ≤ 1
+ x3
≤0
⎪ ⎪
− x2
+ x4 ≤ 0
⎪⎩
x j 是二值变量，j = 1,2,3,4
13
z 一组是或否的决策经常构成一组互斥选择，也就 是在一组中只能有一个决策的结果为是。每一组需 要一个约束条件，相应的0-1变量的和必须等于1或小 于等于1。 z 有时是或否的决策是相依决策，也就是后续决策 依赖于先前决策的结果。
1
1 0 3 2
$300
产品
2
0 2 2 4
$500
每周可用的生产 时间/小时
4 12 18 28
49
决策变量：
产品生产产量： x1=每周生产的产品1的产量 x2=每周生产的产品2的产量
辅助0-1变量：
y
=
⎧0, ⎩⎨1,
if Plant 3 is chosen if Plant 4 is chosen
5
6.1 范例
例1、TBA航空公司
TBA航空公司是一家地区性公司，从事小型飞机的 短途运输。公司运营状况良好，目前正考虑扩展业务。
公司管理层面临的主要问题是在以下决策中作出选 择：是购买新飞机增加短途航班，还是购买一些大型机 提供跨省市航班，从而将市场扩大到整个国家，抑或同 时采取两种措施。许多因素都影响着管理层的最终决策 ，但其中最重要的是哪种措施可能带来最大利润。
2、产品互斥的约束以及xj和yj关系的约束 y1+y2≤1 x1 ≤ My1 x2 ≤ My2
3、决策变量的约束
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 且为整数； y1, y2都是0-1变量。
41
42
7
该问题的整数规划模型为：
Max s.t.
z=300x1+500x2 x1≤ 4
2x2 ≤ 12 3x1+2x2 ≤ 18
决策变量
=
⎧1， ⎩⎨0，
是 否
18
3
¾ 设计生产和配送网络
网络的设计包括一系列的是或否的决策， 对于每个是或否的决策：
决策变量
=
⎧1， ⎩⎨0，
是 否
19
¾ 发送运输
关于如何送货的日常运营决策属于是或否的决 策。 每个是或否的决策： 是否应该为一辆卡车选择某一路线？
决策变量
=
⎧1， ⎩⎨0，
是 否