函数的概念(第二课时)
三角函数的概念(第二课时)+课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
§5.2.1 三角函数的概念(第二课时)
一 情景引入
三角函数推广的定义：一般地，对于任意角α，角α终边上的任意一点
P的坐标为(x,y),它到原点O的距离为r=OP= 2 + 2 =
那么 = , = , = .
2 + 2,
；
练一练
例5 求下列三角函数值：
9
11
)
（3）tan(
4
6
解：（1） sin 1480 10 sin (40 10 4 360 ) sin 40 10 0.645
sin
1480
10(精确到 0.001 );（2） cos
（1）
9
2
（2）cos cos( 2 ) cos
sin 0 .
4
（3）因为 tan(672) = tan(48 2 360) tan 48 ，
而 48是第一象限角，所以 tan(672) 0 ；
（4）因为 tan 3 = tan( 2 ) tan
，
而 的终边在 x 轴上，所以 tan 0
求 0到2 或0到360 角的三角函数值 .
练一练
例4 确定下列三角函数值的符号：
解：
（1）cos 250 （2）sin （3）tan(672) （4） tan 3
4
（1）因为 250 是第三象限角，所以 cos250 0；
（2）因为
4
是第四象限角，所以
《函数及其表示方法》函数的概念与性质PPT(第2课时函数的表示方法)
第三章 函 数
2．下表表示函数 y＝f(x)，则 f(x)>x 的整数解的集合是________．
x
0<x<5 5≤x<10 10≤x<15 15≤x<20
y＝f(x)
4
6
8
10
解析：当 0<x<5 时，f(x)>x 的整数解为{1，2，3}． 当 5≤x<10 时，f(x)>x 的整数解为{5}． 当 10≤x<15 时，f(x)>x 的整数解为∅. 当 15≤x<20 时，f(x)>x 的整数解为∅. 综上所述，f(x)>x 的整数解的集合是{1，2，3，5}． 答案：{1，2，3，5}
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第三章 函 数
1．某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路 程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间， 则较符合该学生走法的是( )
解析：选 D.由题意可知，一开始速度较快，后来速度变慢，所 以开始曲线比较陡峭，后来曲线比较平缓，又纵轴表示离校的 距离，所以开始时距离最大，最后距离为 0.
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第三章 函 数
函数 f(x)的图像如图所示，则 f(x)的定义域是________，值 域是________．
答案：[－1，0)∪(0，2] [－1，1)
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第三章 函 数
函数的三种表示方法 某商场新进了 10 台彩电，每台售价 3 000 元，试求售 出台数 x(x 为正整数)与收款数 y 之间的函数关系，分别用列表 法、图像法、解析法表示出来．
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第三章 函 数
函数图像的作法及应用 作出下列函数的图像并求出其值域． (1)y＝2x＋1，x∈[0，2]； (2)y＝2x，x∈[2，＋∞)； (3)y＝x2＋2x，x∈[－2，2]．
3.2.2(第二课时)函数的周期性与对称性课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
第三章函数的概念与性质
3.3.2（第二课时） 函数的周期性与对称性
李思
目C O N
录T E N T S
01 函数的周期性 02 函数的对称性 03 典型例题
1.函数的周期性
(1)周期函数： 对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何
值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函 数的周期． (2)最小正周期：
例8：定义在R上的函数f（x）是奇函数又是以2为周期的周期函数，
则f（1）+f（4）+f（7）等于（ ）
A．﹣1
B．0
C．1
D．4
解析：据题意f（7）＝f（﹣1+8）＝﹣f（1）， ∴f（1）+f（7）＝0， 又f（4）＝f（0）＝0， ∴f（1）+f（4）+f（7）＝0． 故选：B．
例3：已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x+2）+f（x﹣2）＝0，若y＝f（x+1）的图
象关于点（﹣1，0）对称，且f（1）＝2，则f（2021）＝（ ）
A．﹣2 B．0
C．1
D．2
解析：由f（x+2）+f（x﹣2）＝0，得f（x+2）＝﹣f（x﹣2），即f（x+4）＝﹣f （x），则f（x+8）＝﹣f（x+4）＝f（x），即函数f（x）是周期为8的周期函数， 若y＝f（x+1）的图象关于点（﹣1，0）对称，则若y＝f（x）的图象关于点（0，0） 对称，即f（x）是奇函数，则f（2021）＝f（252×8+5）＝f（5）＝f（1+4）＝ ﹣f（1）＝-2， 故选：A．
课时2 函数的概念(二)
课时2 函数的概念(二)1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)对应关系相同的两个函数一定是同一个函数．( ×)(2)[a ，a －1]表示一个区间．( × )(3)函数的定义域和值域都相同，这两个函数不一定是同一个函数．( √ )(4)函数y ＝k x的值域为R .( × )题型1 区间的概念2．用区间表示数集{x |2<x ≤4}＝__(2,4]__．3．若[a,3a －1]为一确定区间，则a 的取值范围是 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞ .题型2 同一个函数4．下列各组函数是同一个函数的是( C )A ．f (x )＝－2x 3与g (x )＝x －2xB ．f (x )＝x 2与g (x )＝(x ＋1)2C ．f (x )＝x 0与g (x )＝1x 0D ．f (x )＝0，g (x )＝x －1＋1－x解析：A.f (x )＝－2x 3＝－x －2x 与g (x )＝x －2x 的对应关系不同，故不是同一个函数．B.f (x )＝x 2与g (x )＝(x ＋1)2的对应关系不同，故不是同一个函数．C.f (x )＝x 0与g (x )＝1x 0都可化为y ＝1且定义域是{x |x ≠0}，故是同一个函数．D.f (x )＝0与g (x )＝x －1＋1－x ＝0(x ＝1)的定义域不同，故不是同一个函数．5．若函数f (x )与函数g (x )＝1－x x 是同一个函数，则函数f (x )的定义域是__(－∞，0)∪(0,1]__．解析：要使g (x )与f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ≠0，解得x ≤1且x ≠0，∴f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0,1]． 6．下列各对函数中是同一个函数的是__②④__.①f (x )＝2x －1与g (x )＝2x －x 0；②f (x )＝(2x ＋1)2与g (x )＝|2x ＋1|；③f (n )＝2n ＋2(n ∈Z )与g (n )＝2n (n ∈Z )；④f (x )＝3x ＋2与g (t )＝3t ＋2.解析：①函数g (x )＝2x －x 0＝2x －1，定义域为{x |x ≠0}，两函数的定义域不同，不是同一个函数；②f (x )＝(2x ＋1)2＝|2x ＋1|与g (x )＝|2x ＋1|的定义域和对应关系相同，是同一个函数；③f (n )＝2n ＋2(n ∈Z )与g (n )＝2n (n ∈Z )的对应关系不同，不是同一个函数；④f (x )＝3x ＋2与g (t )＝3t ＋2的定义域和对应关系相同，是同一个函数．题型3 函数的值域7．函数y ＝x ＋1x －1在区间[2,5]上的值域是 ⎣⎡⎦⎤32，3 . 解析：由题意y ＝x ＋1x －1＝2x －1＋1，此函数在区间[2,5]上是减函数，所以有32≤y ≤3，故函数的值域是⎣⎡⎦⎤32，3.8．求下列函数的值域：(1)y ＝3－x 2x －1； (2)y ＝－x 2－x ＋1(1≤x ≤2)．解：(1)y ＝－12·x －3x －12＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52x －12. 因为52x －12≠0，所以y ≠－12， 即函数的值域为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. (2)y ＝－x 2－x ＋1＝－⎝⎛⎭⎫x ＋122＋54.因为1≤x ≤2，所以－5≤－⎝⎛⎭⎫x ＋122＋54≤－1，所以函数y ＝－x 2－x ＋1的值域为[－5，－1]．易错点1 忽略定义域致错9．下列各组函数中，是同一个函数的是( A )A ．f (x )＝x 2－2x －1与g (t )＝t 2－2t －1B ．f (x )＝2x ，g (x )＝2(x ＋1)C ．f (x )＝(－x )2，g (x )＝(－x )2D ．f (x )＝x 2＋x x ＋1，g (x )＝x解析：A 中两函数定义域相同，对应关系相同，所以是同一个函数；B 中对应关系不同；C 中定义域不同；D 中定义域不同．[误区警示] 两函数为同一个函数只有在定义域、对应关系相同的前提下才成立． 易错点2 忽视所换元的取值范围致错10．求函数y ＝x ＋x ＋1的值域．解：设t ＝x ＋1，则x ＝t 2－1(t ≥0)，于是f (t )＝t 2－1＋t ＝⎝⎛⎭⎫t ＋122－54.又因为t ≥0，故f (t )≥－1.所以函数的值域是{y |y ≥－1}．[误区警示] 二次函数求值域要注意自变量的取值范围．(限时30分钟)一、选择题1．已知函数f (x )＝x 2＋13的定义域为[0,1]，则它的值域为( A ) A ．⎣⎡⎦⎤13，56B ．RC ．⎣⎡⎦⎤13，12D ．[]0，12．下列四个区间能表示数集A ＝{x |0≤x <5或x >10}的是( B )A ．(0,5)∪(10，＋∞)B ．[)0，5∪(10，＋∞)C ．(]0，5∪[10，＋∞)D ．[0,5]∪(10，＋∞)3．已知函数f (x )＝2－2x x ＋1(x >1)，则它的值域为( D ) A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(－1,0)D ．(－2,0)解析：f (x )＝2－2x x ＋1＝－2(x ＋1)＋4x ＋1＝－2＋4x ＋1(x >1)，设t ＝x ＋1(t >2)，易知：y ＝4t ∈(0,2)，故f (x )＝－2＋4x ＋1(x >1)的值域为(－2,0)． 4．(多选题)下列各组函数中表示同一个函数的是( BD )A ．y ＝20与y ＝x xB ．y ＝1(x >0)与y ＝|x |x(x >0) C ．y ＝x 2＋x 与y ＝x x ＋1D ．y ＝x ＋1与y ＝3(t ＋1)3解析：A 中y ＝20＝1，定义域为R ，y ＝x x＝1(x ≠0)，两个函数的定义域不相同，不是同一个函数；B ．两个函数的对应关系、定义域相同，是同一个函数；C 中由x 2＋x ≥0得x ≥0或x ≤－1，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x ＋1≥0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ≥－1，得x ≥0， 两个函数的定义域不相同，不是同一个函数．D 中y ＝3(t ＋1)3＝t ＋1，两个函数的定义域和对应关系相同，是同一个函数．5．(多选题)函数f (x )＝[x ]的函数值表示不超过x 的最大整数，当－12≤x ≤72时，下列函数中，其值域与f (x )的值域相同的函数为( ABD )A ．y ＝x ，x ∈{}－1，0，1，2，3B ．y ＝2x ，x ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，0，12，1，32C ．y ＝1x ，x ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，13，14 D ．y ＝x 2－1，x ∈{}0，1，2，3，2解析：由题意，可得当x ∈⎣⎡⎭⎫－12，0时，f (x )＝－1；当x ∈[0,1)时，f (x )＝0；当x ∈[1,2)时，f (x )＝1；当x ∈[2,3)时，f (x )＝2；当x ∈⎣⎡⎦⎤3，72时，f (x )＝3.所以当x ∈⎣⎡⎦⎤－12，72时，函数f (x )的值域为{－1,0,1,2,3}．对于A 选项，y ＝x ，x ∈{－1,0,1,2,3}，该函数的值域为{－1,0,1,2,3}；对于B 选项，y ＝2x ，x ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，0，12，1，32，该函数的值域为{－1,0,1,2,3}；对于C 选项，y ＝1x ，x ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，13，14，该函数的值域为{－1,1,2,3,4}；对于D 选项，y ＝x 2－1，x ∈{}0，1，2，3，2，该函数的值域为{－1,0,1,2,3}．故选ABD.二、填空题6．已知区间(4p －1,2p ＋1)，则p 的取值范围为__(－∞，1)__．解析：由题意，得4p －1<2p ＋1，所以p <1.7．函数f (x )＝x 2－2x 的定义域为__(－∞，0]∪[2，＋∞)__，值域为__[0，＋∞)__． 解析：要使函数有意义，则需x 2－2x ≥0，解得x ≥2或x ≤0，即定义域为(－∞，0]∪[2，＋∞)．因为f (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，结合函数的定义域可得f (x )≥0，即函数的值域为[0，＋∞)．8．由“不超过x 的最大整数”这一关系所确定的函数称为取整函数，通常记为y ＝[x ]，例如[1.2]＝1，[－0.3]＝－1，则函数y ＝2[x ]＋1，x ∈[－1,3)的值域为__{－1,1,3,5}__．三、解答题9．若函数f (x )＝x 2＋4x ＋6，求f (x )在[－3,0]上的值域．解：f (x )＝x 2＋4x ＋6＝(x ＋2)2＋2，x ∈[－3,0]，f (x )max ＝f (0)＝6，f (x )min ＝f (－2)＝2，故f (x )在[－3,0]上的值域为[2,6]．10．已知矩形的面积为10，试构建问题情境描述下列变量关系：(1)y ＝10x； (2)y ＝2x ＋20x. 解：(1)设矩形长为x ，宽为y ，那么y ＝10x. 其中x 的取值范围A ＝{x |x >0}，y 的取值范围B ＝{y |y >0}，对应关系f 为每一个长方形的长x ，对应到唯一确定的宽10x. (2)设矩形长为x ，周长为y ，那么y ＝2x ＋20x.其中x 的取值范围A ＝{x |x >0}，y 的取值范围B ＝{y |y >0}，对应关系f 为每一个长方形的长x ，对应到唯一确定的周长2x ＋20x .。
新湘教版必修1高中数学 第二课时 函数的概念
1．2函数的概念和性质1．2.1对应、映射和函数第二课时函数的概念在现实生活中，我们可能会遇到下列问题：(1)某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)随时间的变化如下表：(2)一物体从静止开始下落，下落的距离y(m)与下落时间x(s)之间近似地满足关系式y＝4.9x2.若一物体下落2 s，你能求出它下落的距离吗？(3)下图为某市一天24小时内的气温变化图．①上午6时的气温约是多少？全天的最高、最低气温分别是多少？②在什么时刻，气温为0℃？③在什么时段内，气温在0℃以上？如何用集合语言来阐述上述3个问题的共同特点？1．函数的定义设A，B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都有唯一的数y和它对应，这样的对应f叫作定义于A取值于B的函数，记作f：A→B或者y＝f(x)(x∈A，y∈B)．2．函数的定义域、值域在函数的定义中，集合A叫作函数的定义域，与x∈A对应的数y叫x的像，记作y＝f(x)，由所有x∈A的像组成的集合叫作函数的值域．3．函数的三要素为定义域，对应法则，值域．举出几个有关函数的例子，并用定义加以描述，指出函数的定义域和值域．[提示](1)下表记录了几个不同气压下水的沸点.，值域是{81,100,121,152,179}．(2)如图是匀速直线运动路程s随时间变化的函数关系图，它的定义域是{t|t≥0}，值域是{s|s≥0}．[例1](1)A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|；(2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2；(3)A＝R，B＝Z，f：x→y＝x；(4)A＝[－1,1]，B＝{0}，f：x→y＝0.[思路点拨]可根据函数的定义直接判断．[解](1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是A到B的函数；(2)对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2，在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数；(3)A中元素负数没有平方根，故在B中没有对应的元素且x不一定为整数，故此对应关系不是A到B的函数；(4)对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0，在集合B中都有唯一一个确定的数0与它对应，故是集合A到集合B的函数.1．若集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |0≤y ≤3}，则下列图形给出的对应中能构成从A 到B 的函数f ：A →B 的是( )解析：选D A 中的对应不满足函数的存在性，即存在x ∈A ，但B 中无与之对应的y ；B 、C 均不满足函数的唯一性，只有D 正确．2．下列对应或关系式中是A 到B 的函数的是( )A ．A ＝R ，B ＝R ，x 2＋y 2＝1 B ．A ＝{1,2,3,4}，B ＝{0,1}，对应关系如图：C ．A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝1x －2D ．A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝2x －1解析：选B A 错误，x 2＋y 2＝1可化为y ＝±1－x 2，显然对任意x ∈A ，y 值不唯一．B 正确，符合函数的定义．C 错误，2∈A ，在B 中找不到与之相对应的数．D 错误，－1∈A ，在B 中找不到与之相对应的数.[例2] 已知f (x )＝1－x1＋x(x ≠－1)．求： (1)f (0)及f ⎝⎛⎭⎫ f ⎝⎛⎭⎫12的值； (2)f (1－x )及f (f (x ))．[思路点拨] 将f (x )中的x 分别赋值或式子，代入1－x1＋x 中化简即得．[解] (1)f (0)＝1－01＋0＝1，f ⎝⎛⎭⎫12＝1－121＋12＝13， ∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫13＝1－131＋13＝12. (2)f (1－x )＝1－(1－x )1＋(1－x )＝x2－x (x ≠2)．f (f (x ))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1－1－x 1＋x 1＋1－x 1＋x ＝x (x ≠－1).3．已知函数f (x )＝x 2－2x ，求： (1)f (－2)； (2)f ⎝⎛⎭⎫1＋1x (x ≠0)； (3)若f (x )＝3，求x 的值． 解：(1)f (－2)＝(－2)2－2·(－2)＝8. (2)f ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＝⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－2⎝⎛⎭⎫1＋1x＝⎝⎛⎭⎫1＋1x ⎝⎛⎭⎫1＋1x －2 ＝⎝⎛⎭⎫1＋1x ⎝⎛⎭⎫1x －1＝1x2－1(x ≠0)． (3)若f (x )＝3，则x 2－2x ＝3，x ＝－1或x ＝3.1．若f (x )＝1x 的定义域为M ，g (x )＝|x |的定义域为N ，令全集U ＝R ，则M ∩N ＝( ) A ．M B ．N C ．∁R MD ．∁R N解析：选A M ＝{x |x >0}，N ＝R ，∴M ∩N ＝M . 2．下列图形中，不可能是函数y ＝f (x )的图象的是( )解析：选B 根据函数的存在性和唯一性(定义)可知，B 不正确． 3．下列各对函数中，图象完全相同的是( ) A ．y ＝x 与y ＝(3|x |)3 B ．y ＝(x )2与y ＝|x | C ．y ＝xx 与y ＝x 0D ．y ＝x ＋1x 2－1与y ＝1x －1解析：选C 若函数的图象相同，则是相同的函数．对于A ，y ＝(3|x |)3＝|x |，所以对应关系不同；对于B ，y ＝(x )2＝x (x ≥0)，所以两函数定义域与对应关系均不同；对于C ，y ＝xx ＝1(x ≠0)，而y ＝x 0＝1(x ≠0)，定义域与对应关系均相同，是相同的函数；对于D ，y ＝x ＋1x 2－1＝x ＋1(x ＋1)(x －1)＝1x －1，其中x 2≠1，即x ≠±1，而y ＝1x －1中x ≠1，定义域不同，不是相同函数．4．已知f (x )＝11＋x，g (x )＝x 2＋2，则f (2)＝________，f [g (2)]＝________. 解析：f (2)＝11＋2＝13，g (2)＝22＋2＝6， ∴f [g (2)]＝f (6)＝11＋6＝17.答案：13 175．已知函数f (x )＝x 2－x ，若f (a )＝2，则a 的值是________． 解析：f (a )＝(a )2－a ＝2.即(a －2)(a ＋1)＝0，a ＝4. 答案：4通过这节课的学习，你对函数符号“y ＝f (x )”有了哪些新的认识？对应关系f 是表示定义域和值域的一种对应关系，与所选择的字母无关．符号y ＝f (x )是“y 是x 的函数”的数学表示，应理解为：x 是自变量，它是对应关系所施加的对象；f 是对应关系，它既可以是解析式，也可以是图象、表格或文字描述．y ＝f (x )仅仅是函数符号，不能理解为“y 等于f 与x 的乘积”．f (x )与f (a )的区别与联系：f (a )表示当x ＝a 时函数f (x )的值，是一个常量，而f (x )是自变量x 的函数，表示的是变量．虽然f (x )＝x 2和f (x －1)＝x 2等号右边的表达式都是x 2，但是，由于f 施加的对象不同(一个为x ，而另一个为x －1)，因此两个函数的解析式是不同的．一、选择题1．设集合M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，给出如下四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的是( )解析：选D 由函数的定义可以判断只有D 正确．2．函数f (x )定义在区间[－2,3]上，则y ＝f (x )的图象与直线x ＝2的交点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．不确定解析：选B ∵2∈[－2,3]，由函数的定义可知，y ＝f (x )的图象与x ＝2只能有一个交点． 3．集合A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |0≤y ≤2}，下列不表示从A 到B 的函数是( ) A ．f ：x →y ＝12xB ．f ：x →y ＝13xC ．f ：x →y ＝23xD ．f ：x →y ＝x解析：选C 对选项C ，当x ＝4时，y ＝83>2不合题意，故选C.4．下列说法错误的是( )A ．函数定义域中的任一元素在其值域中都有它的对应B ．函数的定义域是无限集，则值域也是无限集C ．定义域与对应关系确定后，函数值域也就确定了D ．若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素 答案：B 二、填空题5．已知函数f (x )＝x 2＋|x －2|，则f (1)＝________. 解析：∵f (x )＝x 2＋|x －2|， ∴f (1)＝12＋|1－2|＝1＋1＝2. 答案：26．若f (2x )＝x 3，则f (1)＝________. 解析：令2x ＝1，则x ＝12，∴f (1)＝(12)3＝18.答案：18三、解答题7．已知函数f (x )＝x 2＋x －1，求： (1)f (2)； (2)f ⎝⎛⎭⎫1x ＋1；(3)若f (x )＝5，求x 的值． 解：(1)f (2)＝4＋2－1＝5. (2)f ⎝⎛⎭⎫1x ＋1＝⎝⎛⎭⎫1x ＋12＋⎝⎛⎭⎫1x ＋1－1 ＝1x 2＋3x＋1. (3)f (x )＝5，即x 2＋x －1＝5. 由x 2＋x －6＝0得x ＝2或x ＝－3. 8．已知函数f (x )＝x 21＋x 2.(1)求f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12，f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13的值；(2)求证：f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x 是定值；(3)求f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＋…＋f (2 019)＋f ⎝⎛⎭⎫12 019的值． 解：(1)∵f (x )＝x 21＋x 2，∴f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝221＋22＋⎝⎛⎭⎫1221＋⎝⎛⎭⎫122＝1， f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＝321＋32＋⎝⎛⎭⎫1321＋⎝⎛⎭⎫132＝1. (2)证明：f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x21＋x 2＋⎝⎛⎭⎫1x 21＋⎝⎛⎭⎫1x 2 ＝x 21＋x 2＋1x 2＋1＝x 2＋1x 2＋1＝1. (3)由(2)知f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1， ∴f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝1，f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＝1， f (4)＋f ⎝⎛⎭⎫14＝1，…，f (2 019)＋f ⎝⎛⎭⎫12 019＝1. ∴f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＋…＋f (2 019)＋f ⎝⎛⎭⎫12 019＝2 018.。
《函数的概念》第二课时参考课件全文
f(2)+f(-2)=2828=0
2．已知函数f(x)=3x3+2x, (1) 求f(2)、f(-2)、f(2)+f(-2)的值； (2) 求f(a)、f(-a)、f(a)+f(-a)的值； (3) 你从（2）中发现了什么结论？
(1) y=( x)2 (3) y= x2
(2) y=3 x
(4)
y=
x32 x
解： 函数y=x(x∈R)。 Nhomakorabea(4) 函数
y=
x2 x
=x(x≠0)
这两个函数的对应关系相同，但定义域不相同， 所以这两个函数不相等。
1．判断下列各组中的函数是否相等，并说明理由： (1) 表示导弹飞行高度h与时间t关系的函数
(2) 使根式 1有-x意义的实数集合为{x|x≤1}；
使根式 有x+意3义的实数集合为{x|x≥-3}；
所以定义域为：[-3，1]。
2．已知函数f(x)=3x3+2x, (1) 求f(2)、f(-2)、f(2)+f(-2)的值； (2) 求f(a)、f(-a)、f(a)+f(-a)的值； (3) 你从（2）中发现了什么结论？
这两个函数的对应关系相同，但定义域不相同， 所以这两个函数不相等。
例2：下列函数中哪个与函数y=x是同一个函数？
(1) y=( x)2 (3) y= x2
(2) y=3 x
(4)
y=
x32 x
解： 函数y=x(x∈R)。
(2) 函数 y=3 x =x(x∈R) 3
这两个函数的对应关系相同，定义域也相同， 所以这个函数与函数y=x(x∈R)相等。
《三角函数的概念(第二课时)》示范教学方案
《5.2.1 三角函数的概念（第二课时）》教学设计1．掌握三角函数值的符号；2．掌握诱导公式一，初步体会三角函数的周期性．教学重点：函数值的符号、诱导公式一．教学难点：对诱导公式的发现与认识．PPT课件．资源引用：【知识点解析】三角函数值在各象限的符号、【知识点解析】对三角函数值符号的理解（一）创设情境引导语：前面学习了三角函数的定义，根据已有的学习函数的经验，你认为接下来应研究三角函数的哪些问题？预设的师生活动：先由学生发言．一般而言，学生会直接把问题指向“图象与性质”．教师可以在肯定学生想法的基础上，指出三角函数的特殊性：预设答案：因为单位圆上点的坐标或坐标比值就是三角函数，而单位圆具有对称性，这种对称性反映到三角函数的取值规律上，就会呈现出比幂函数、指数函数和对数函数等更丰富的性质．例如，我们可以从定义出发，结合单位圆的性质直接得到一些三角函数的性质．设计意图：明确研究的问题和思考方向．一般地，学生不习惯于借助单位圆的性质研究三角函数的性质，所以需要教师的讲解和引导．（二）新知探究1．三角函数值的符号问题1：由三角函数的定义以及任意角α的终边与单位圆交点所在的象限，你能发现正弦函数、余弦函数和正切函数的值的符号有什么规律吗？如何用集合语言表示这种规律？预设的师生活动：由学生独立完成．★资源名称：【知识点解析】三角函数值在各象限的符号★使用说明：本资源展现“三角函数值在各象限的符号”，辅助教师教学，加深学生对于知识的理解和掌握．适合于教师课堂进行展示．注：此图片为“知识卡片”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．预设答案：用集合语言表示的结果是：当α∈{β|2k π＜β＜2k π+π，k ∈Z }时，sin α＞0；当α∈{β|2k π+π＜β＜2k π+2π，k ∈Z }时，sin α＜0；当α∈{β|β=k π，k ∈Z }时，sin α=0．其他两个函数也有类似结果．设计意图：在直角坐标系中标出三角函数值的符号规律不难，可由学生独立完成．用集合语言表示，可以复习象限角、终边相同的角的集合表示等．例1 求证：角θ为第三象限角的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＜0，①tan θ＞0．② 预设的师生活动：先引导学生明确问题的条件和结论，再由学生独立完成证明． 预设答案：先证充分性．因为①式sin θ＜0成立，所以θ角的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y 轴的负半轴重合；又因为②式tan θ＞0成立，所以θ角的终边可能位于第一或第三象限．因为①②式都成立，所以θ角的终边只能位于第三象限．于是角θ为第三象限角． 再证必要性．因为角θ为第三象限角，由定义①②式都成立．设计意图：通过联系相关知识，培养学生的推理论证能力．★资源名称：【知识点解析】对三角函数值符号的理解★使用说明：本资源展现“对三角函数值符号的理解”，辅助教师教学，加深学生对于知识的理解和掌握．适合教师课堂展示．注：此图片为“知识卡片”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．2．诱导公式一问题2：联系三角函数的定义、象限角以及终边相同的角的表示，你有发现什么？ 师生活动：学生在问题引导下自主探究，发现诱导公式一．追问：（1）观察诱导公式一，对三角函数的取值规律你有什么进一步的发现？它反映了圆的什么特性？（2）你认为诱导公式一有什么作用？预设答案：（1）诱导公式一体现了三角函数周期性取值的规律，这是“单位圆上的点绕圆周旋转整数周仍然回到原来位置”的特征的反映．（2）利用公式一可以把求任意角的三角函数值，转化为求0～2π角的三角函数值．同时，由公式一可以发现，只要讨论清楚三角函数在区间[0，2π]上的性质，那么三角函数在整个定义域上的性质就清楚了．设计意图：引导学生通过建立相关知识的联系发现诱导公式一及其体现的三角函数周期性取值的规律，这是“单位圆上的点绕圆周旋转整数周仍然回到原来位置”的特征的反映．在此过程中，可以培养学生用联系的观点看待问题，发展直观想象等素养．例2 确定下列三角函数值的符号，然后用计算器验证：（1）cos 250°；（2）sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4π； （3）tan (－672°)； （4）tan 3π．解：（1）因为250°是第三象限角，所以cos 250°＜0；（2）因为4π-是第四象限角，所以sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4π＜0； （3）因为tan (－672°)＝tan (48°－2×360°)＝tan 48°，而48°是第一象限角， 所以tan (－672°)＞0；（4）因为tan 3π＝tan (π+2π)=tan π，而π的终边在x 轴上，所以tan π=0．例3 求下列三角函数值：（1）sin 1 480°10′（精确到0.001）；（2）cos4π9； （3）tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-6π11． 解：（1）sin 1480°10′=sin (40°10′+4×360°)=sin 40°10′≈0.645；（2）9πππcos cos(2π)cos 4442=+==；（3）11πππtan()tan(2π)tan 6663-=-==． 师生活动：以上都是教科书中的例题，难度不大，可以由学生独立完成，并作课堂展示．教师可以鼓励学生采用不同的变形方法得出答案．在用计算器验证时，提醒学生注意角度制的设置．（三）课堂练习教科书练习第1，2，3，4，5题．（四）布置作业教科书习题5.2第1，3，4，5，7，8，9，10题．（五）目标检测设计1．求下列三角函数的值：（1）cos （－23π6）； （2）tan 25π6． 设计意图：考查诱导公式一，特殊角的三角函数值．2．角α的终边与单位圆的交点是Q ，点Q 的纵坐标是12，说出几个满足条件的角α． 设计意图：考查正弦函数的定义，诱导公式一．3．对于①sin θ＞0，②sin θ＜0，③cos θ＞0，④cos θ＜0，⑤tan θ＞0与⑥tan θ＜0，选择恰当的关系式序号填空：（1）角θ为第二象限角的充要条件是________；（2）角θ为第三象限角的充要条件是________．设计意图：考查三角函数值的符号规律．。
新人教版高中数学必修一3.1.1函数的概念(第二课时)(17张PPT)
（1）{x|5 ≤ x<6} （2） {x|x ≥9}
[5,6)
[9,)
（3） {x|x ≤ -1} ∩{x| -5 ≤ x<2} (,1] [5,2)
（4） {x|x < -9}∪{x| 9 < x<20} (,9) (9,20)
练一练 求下列函数的定义域：
(1) f (x) 1 x2
(2) f (x) 3x 2 (3) f (x) x 1 1
√ (4) f (x) x ; g(x) x2
新人教版高中数学必修一3.1.1函数的 概念（ 第二课 时）（ 17张PP T）
新人教版高中数学必修一3.1.1函数的 概念（ 第二课 时）（ 17张PP T）
例题3： 求下列函数的值域：
y x2 2x 1
( x 1)2 2
x [1, 2] x [0,) x [1, 3)
不等于零的实数的集合 . （3）如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号
内的式子大于或等于零的实数的集合. （4）a0有意义，a≠0。
（5）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么 函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合（即 求各集合的交集）.
（6）满足实际问题有意义。
4.已学函数的定义域和值域
新人教版高中数学必修一3.1.1函数的 概念（ 第二课 时）（ 17张PP T）
新人教版高中数学必修一3.1.1函数的 概念（ 第二课 时）（ 17张PP T）
练习 下列各组中的两个函数是否为相同的函数？
(1) y (x 3)( x 5) 与 y x 5 x3
(2) y x 1 x 1 与 y (x 1)( x 1) (3) f (x) ( 2x 5)2 与 f (x) 2x 5 （1）定义域不同。 （2）定义域不同。 （3）定义域和值域都不同。
3.1 函数的概念及其表示第二课时-人教A版(2021)高中数学必修第一册同步讲义
第三章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示第2课时函数的表示方法【课程标准】1.了解函数的三种表示法及各自的优缺点.2.掌握求函数解析式的常见方法.3.会用解析法及图象法表示分段函数．4．给出分段函数，能研究有关性质．【知识要点归纳】1.函数的三种表示方法注意：2.分段函数（1）分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的的函数．（2）分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的；各段函数的定义域的交集是．注意：(1)分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数．(2)分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．(3)分段函数的图象要分段来画．3.求函数解析式的方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式．(2)已知f (g (x ))＝h (x )，求f (x )，常用的有两种方法：①换元法，即令t ＝g (x )，解出x ，代入h (x )中，得到一个含t 的解析式，即为函数解析式，注意：换元后新元的范围.②配凑法，即从f (g (x ))的解析式中配凑出“g (x )”，即用g (x )来表示h (x )，然后将解析式中的g (x )用x 代替即可.(3)方程组法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．【经典例题】（一）注意：(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．(2)在实际操作中，仍以解析法为主． 例1 已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出(1)f (g (3))＝__________； (2)若g (f (x ))＝2，则x ＝__________. （二） 图象法作函数图象的步骤及注意点(1)作函数图象主要有三步：列表、描点、连线.作图象时应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表画出图象.(2)函数的图象可能是平滑的曲线，也可能是一群孤立的点，画图时要注意关键点，如图象与坐标轴的交点、区间端点、二次函数的顶点等等. 例2 作出下列函数的图象并求出其值域． (1)y ＝2x ，x ∈[2，＋∞)； (2)y ＝x 2＋2x ，x ∈[－2,2] （3）y ＝x ＋1(x ≤0) （三） 分段函数注意：(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求解．对于含有多层“f ”的问题，要按照“由内到外”的顺序，逐层处理． （2）已知函数值，求自变量的值时，要先将“f ”脱掉，转化为关于自变量的方程求解．（3）求解函数值得的不等式时，直接转化为不等式求解，也可通过图象。
5-2-1三角函数的概念(第二课时)-22-23高一上学期数学人教A版必修第一册
)
B．cosa tana＞0
D．sina＞0
分析 ，角a的终边过点(-3，-2)，则角a是第三
象限角。sina<0,cosa<0, tana>0
选C
四 课堂小结
1 三角函数的定义？
2 怎样利用角的终边上任意一点的坐标求它的三角函
数？
五 作业
p182
4,5
是_____
3 已知点P在半径为2的圆上按顺时方向做匀速运动，
角速度为1rad/s，求2s时点P所在的位置.
分析 ：
（1）16+b2 =25
b=±3
3
∵α的终边经过P(-b，4)，且cosα=- ,
5
∴ b=3
(2) α的终边经过P(-1，1 ),r= 2
sinα=
2
,cosαα
2
=−
2
,
2
tanα=-1
所以2s时，点P在该坐标系中的位置为
Q(2cos2，-2sin2)
三角函
数值的
符号
问题
y
( +
)
o
( - )
( +
y
)
x
( -
sin
)
( - )
o
( - )
y
( +
)
x
(
cos
+ )
(
-
) ( + )
o
( + )
x
( - )
tan
角α的正弦函数值的符号取决于它的终边上任意一点
的纵坐标的符号；角α的余弦函数值的符号取决于它
|P0 M0| |P M|
人教版高中数学A版高中数学必修一《函数的概念及其表示》函数的概念与性质(第二课时函数的表示法)
描点法作函数图象的三个关注点 1画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图. 2图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图 象. 3要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等. 要分清这些关键点是实心点还是空心圈. 提醒：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的 点等.
14
图象的画法及应用 【例 2】 作出下列函数的图象并求出其值域． (1)y＝－x，x∈{0,1，－2,3}；(2)y＝2x，x∈[2，＋∞)；(3)y＝x2＋2x， x∈[－2,2)．
15
[解] (1)列表
x
0
1
－2
3
y
0
－1
2
－3
函数图象只是四个点(0,0)，(1，－1)，(－2,2)，(3，－3)，其值域为{0，
20
函数解析式的求法 [探究问题] 已知 f(x)的解析式，我们可以用代入法求 f(g(x))，反之，若已知 f(g(x))， 如何求 f(x)． 提示：若已知 f(g(x))的解析式，我们可以用换元法或配凑法求 f(x)．
21
【例 3】 (1)已知 f( x＋1)＝x－2 x，则 f(x)＝________； (2)已知函数 f(x)是一次函数，若 f(f(x))＝4x＋8，则 f(x)＝________； (3)已知函数 f(x)对于任意的 x 都有 f(x)－2f(－x)＝1＋2x，则 f(x)＝ ________. [思路点拨] (1)用换元法或配凑法求解；(2)用待定系数法求解；(3) 用方程组法求解．
所以 f(x)＝2x＋83或 f(x)＝－2x－8.
24
(3)由题意，在 f(x)－2f(－x)＝1＋2x 中，以－x 代 x 可得 f(－x)－2f(x) ＝1－2x，联立可得ffx－－x2－f2－fxx＝ ＝11＋ －22xx， ， 消去 f(－x)可得 f(x)＝23x－1.]
高中数学 1.2.1函数的概念(第2课时)课件 新人教A版必
前后整体范围一致
f (x 1)的定义域为 (0,2]
定义域就是指x的取值范围
题型三：
抽象函数的定义域
已知f (g(x))的定义域,求f ((x))的定义域
2.已知函数f (x2 2)的定义域为[1, ) 求f ( x )的定义域
2
f ( x )的定义域为[2,) 2
本课小结
• 复习并巩固了函数的概念
下列函数的定义域。
(1) f (2x 1) (2) f (1 x) f (x)
(1)[1,0] (2)[0,1]
可简要概括为：
１.定义域仅指x的取值；
２.对同一对应法则括号里的
整体范围一致
题型二：
抽象函数的定义域
已知f (g(x))的定义域,求f (x)的定义域
例2.已知f (x 1)的定义域为[1,1],
求f ( x )的定义域 2
题型三：
抽象函数的定义域
已知f (g(x))的定义域,求f ((x))的定义域
练习 : 1.已知函数f (2x 1)的定义域 0,1 ,
求f ( x 1)的定义域
解：f (2x 1)中0 x 1
定义域就是指x的取值范围
1 2x 11
f (x 1)中1 x 1 1 0 x 2
练：已知f ( x 3)的定义域为[4,9], 求函数f (x)的定义域。
f (x)的定义域为：[1,0]
题型三：
抽象函数的定义域
已知f (g(x))的定义域,求f ((x))的定义域
练习 : 1.已知函数f (2x 1)的定义域 0,1 ,
求f ( x 1)的定义域
2.已知函数f (x2 2)的定义域为[1, )
函数的概念
3.1.1函数的概念(第二课时)
例题巩固
题型二 求函数的值域 【例2】 求下列函数的值域：
(1)y＝ x－1； (2)y＝x2－2x＋3，x∈{－2，－1，0，1，2，3}； (3)y＝2xx－＋31； (4)y＝2x－ x－1.
例题巩固
解 (1)(直接法)∵ x≥0，∴ x－1≥－1，∴y＝ x－1 的值域为[－1，＋∞). (2)(观察法)∵x∈{－2，－1，0，1，2，3}，把x代入y＝x2－2x＋3得y＝11，6，3， 2，∴y＝x2－2x＋3的值域为{2，3，6，11}. (3)(分离常数法)y＝2xx－＋31＝2（x－x－3） 3 ＋7＝2＋x－7 3，显然x－7 3≠0，所以 y≠2，故函数 的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞).
结பைடு நூலகம்图象可得函数的值域为(－∞，4].
课堂小结
1．构成函数的三要素： 定义域，对应关系和值域． 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，那么这两个函
数是同一个函数．
2．求函数定义域的依据 1）分式中分母不为零； 2）偶次根式内的式子不小于零； 3）0的0次方无意义； 若某函数是由多个函数通过加、减、乘运算构成的新函数，则该函数
例题巩固
题型一 同一函数的判断
【例1】 (1)下列各组函数：
①f(x)＝x2－x x，g(x)＝x－1；②f(x)＝
xx，g(x)＝
x； x
③f(x)＝ （x＋3）2，g(x)＝x＋3；④f(x)＝x＋1，g(x)＝x＋x0；
⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系 f(t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数 g(x)＝
与初中的函数概念相比，要特别注意定义域必须符合题目要求．
定义辨析
一个函数的构成要素为:定义域、对应关系和值域. 因为值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对 应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数. 两个函数如果仅有对应关系相同，但定义域不相同，那么它们不是同一个函数。 例如，前面的问题1和问题2中，尽管两个函数的对应关系都是y=350x，但它们的定义 城不相同，因此它们不是同一个函数;同时，它们的定义域都不是R，而是R的真子集,因此 它们与正比例函数y=350x(x∈R)也不是同一个函数. 函数u=t2，t∈(-∞，+∞),x=y2，y∈(-∞，+∞)与y=x2，y∈(-∞，+∞)，虽然表示它 们的字母不同，但因为它们的对应关系和定义域相同，所以它们是同一个函数.
3.1.2 函数的概念及其表示 课件 第二课时 高一数学同步精讲课件(人教A版必修第一册)原创精品
思 维
素 养
1 函数的三种表示法
前面我们学习了函数的三种表示法，即解析法、图象
法、列表法.
解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.
S=350t,
y=ax2+bx+c(a≠0)
优点: ①函数关系清楚、精确；
②容易从自变量的值求出其对应的函数值；
③便于研究函数的性质.
列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系.
比如：
x
y
1
0
2
1
3
0
上表给出了一个函数，它的定义域是{1, 2，3}，它
的值域：{0, 1}.
优点: ①不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的
对应值；
②当自变量的值的个数较少时使用更方便.
图像法：用图象表示两个变量之间的对应关系的方法.
下图是我国一段时间内人口出生率变化曲线．
课堂小结
一、本节课学习的新知识
二、本节课提升的核心素养
函数的三种表示法
数据分析
分段函数的概念
逻辑推理
从实际问题中抽象出分段函数
数学运算
数学建模
课堂小结
三、本节课训练的数学思想方法
迭代思想
转化与化归
分类讨论
01 基础作业：
.
02 能力作业：
.
03 拓展延伸：（选做）
心
素
养
之
+
数
据
分
析
数
学
建
模
问
3.规定[x]表示不超过x的最大整数，例如[-3.5]＝-4，
题
[2.1]＝2 . 已知函数 f(x)=x-[x] (x∈(-1.5 ，2])，
《函数的基本性质》函数的概念与性质PPT(第2课时函数的最大值、最小值)
A．－1，0 C．－1，2 答案：C
B．0，2 D．12，2
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
函数 f(x)＝1x在[1，＋∞)上( ) A．有最大值无最小值 B．有最小值无最大值 C．有最大值也有最小值 D．无最大值也无最小值
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
解析：选 A.结合函数 f(x)＝1x在[1，＋∞)上的图象可知函数有 最大值无最小值．
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
图象法求最值的一般步骤
栏目 导引
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第三章 函数的概念与性质
1．函数 f(x)在区间[－2，5]上的图象如图所示，则此函数的最 小值、最大值分别是( )
A．－2，f(2)
B．2，f(2)
C．－2，f(5)
D．2，f(5)
解析：选 C.由函数的图象知，当 x＝－2 时，有最小值－2；当
x＝5 时，有最大值 f(5)．
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
x2－x（0≤x≤2），
2．已知函数 f(x)＝x－2 1（x>2），
求函数 f(x)的最大值和
最小值．
解：作出 f(x)的图象如图．由图象可知，当 x＝2 时，f(x)取最 大值为 2； 当 x＝12时，f(x)取最小值为－14. 所以 f(x)的最大值为 2，最小值为－14.
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
利用函数的单调性求最值 已知函数 f(x)＝xx－＋12，x∈[3，5]． (1)判断函数 f(x)的单调性，并证明； (2)求函数 f(x)的最大值和最小值． 【解】 (1)f(x)是增函数．证明如下： ∀x1，x2∈[3，5]且 x1<x2， f(x1)－f(x2)＝xx11＋－21－xx22＋－21＝（x13＋（2x）1－（xx22）＋2），
人教版高中数学第一章函数的概念(第2课时)(共42张PPT)教育课件
类型 三 求形如f(g(x))的函数的定义域
• 例6.已知函数 f(x) 5x 1
x2 （1）求f(x)的定义域； （2）求f(x+3)的表达式，以及f(x+3)的定义域。 （3）求f(2x+1)的表达式，以及f(2x+1)的定义域。
注意： 1. 函数f(x+3)的定义域指的是x的取值范围，而不是x+3 的取值范围。 2.本题中函数f(x+3)的定义域为-1<x≤2，则2<x+3 ≤5
［1,2］还是2x+1∈［1,2］? f(x)，f(2x+1)和f(2x-1)中的
x，2x+1和2x-1的取值范围有何关系？
探究提示：
1.x+ 1 ∈［0,2］，x- 1∈［0,2］.
2
2
2.定义域就是自变量的取值范围.y=f(2x+1)的定义域为
［1,2］，它的含义是x∈［1,2］.f(x)，f(2x+1)和f(2x-1)
【变式训练】(2013·武汉高一检测)已知集合 A={1,2,3},B={4,5,6},f:A→B是从集合A到集合B的一个函数， 那么该函数的值域C的不同情况有( ) A.6种 B.7种 C.8种 D.9种 【解题指南】依据函数的定义来判断函数个数，进而求值域. 【解析】选B.结合函数定义，可知能构成7个函数，其值域有7 种不同情况. 即值域为{4},{5},{6},{4,5},{4,6},{5,6},{4,5,6}.
【变式训练】若函数y＝f(x)的定义域是［0,2］，则函数g(x)
＝ f 2 x 的定义域是(
x－1
A.［0,1］
) B.［0,1)
C.［0,1)∪(1,4］
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函数的概念（第二课时） 2011 年 月 2 函数的概念（第二课时） 课时数 讲练结合 课型 新授课 1.会用区间表示函数的定义域和值域 2.会求一些简单函数的定义域 求函数的定义域 求函数的定义域 学习过程 符号
日
一、认识区间 定义 名称 数轴表示 ｛x|a≤x≤b｝ 闭区间 ｛x|a<x<b｝ 开区间 ｛x|a≤x<b｝ 半开半闭区间 ｛x|a<x≤b｝ 半开半闭区间 ｛x|x≤b｝ 半开半闭区间 ｛x|x<b｝ 开区间 ｛x|x>b｝ 开区间 ｛x|x≥b｝ 半开半闭区间 二、简单函数的定义域的求法 （1）若 y=f(x)为整式，其定义域为 R 例：求下列函数的定义域 f(x)=2x+3 f(x)=x2+3
1 x+2
2 （2）求f ( -3)，f 的值 3 （3）当a>0时，求f ( a )，f ( a-1)的值
五、练习 已知函数 f(x)=3x3+2x， 求（1）f(2)，f(-2)，f(2)+ f(-2)的值 （2）f(a)，f(-a)，f(a)+ f(-a)的值
（2）若 f(x)为分式，合 例：求下列函数的定义域
f
(x)=
x 2 -9 x -3
f
(x )=
x 2 -3 x+2
（3）若 f(x)为二次根式，被开方数必须为非负 例：求下列函数的定义域
f ( x) = x+1
2 f ( x ) = （x+3）
（4）若 f(x)为以上几部分构成，则同时满足各自条件，即取交集
例：求下列函数的定义域
x+1 f (x)= x-2
f ( x) =
x-1 + -x+ x-4 x-3
三、练习
（ 1） f
(x)=
x -2 x+ 2
（ 2） f
(x )=
x +1 x 2 -2
（3）f ( x) =
1 + -x+ x+4 x+3
四、简单函数值的求法
例：已知函数f ( x ) = x+3+ （1）求函数的定义域