容斥原理习题
完整版容斥原理习题加答案
1. 现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都错的有4人，则两种实验都做对的有（）【答案】B【解析】直接代入公式为：50=31+40+4- A H B得A H B=25,所以答案为B。
2. 某服装厂生产出来的一批衬衫大号和小号各占一半。
其中25%是白色的, 75%是蓝色的。
如果这批衬衫共有100件，其中大号白色衬衫有10件，小号蓝色衬衫有多少件？（）A 、15B、25C 、35D40【答案】C【解析】这是一种新题型，该种题型直接从求解出发，将所求答案设为A H B,本题设小号和蓝色分别为两个事件A和B,小号占50%蓝色占75%直接代入公式为：100=50+75+10- A H B，得：A H B=353. 某高校对一些学生进行问卷调查。
在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备只选择两种考试都参加的有46人,【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字 24,再推其他部分数字：根据每个区域含义应用公式得到：总数=各集合数之和-两两集合数之和+三集合公共数+三集合之外数=63+89+47— {(x+24)+(z+24)+(y+24)}+24+15=199— { (x+z+y ) +24+24+24}+24+15根据上述含义分析得到：x+z+y 只属于两集合数之和，也就是该题所讲的只选择两种考试都参加的人数，所以 x+z+y 的值为46人；得本题答案为120.4. 对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。
其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜 欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有 12人，则只喜欢看电影的有多少人( )A.22 人B.28 人C.30 人D.36 人【答案】A【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字 12,再推其他部分数字：根据各区域含义及应用公式得到：总数=各集合数之和-两两集合数之和+三集合公共数+三集合之外数100= 58+38+52- {18+16+ (12+ x ) }+12+0,因为该题中，没有三种都不喜 欢的人，所以三集合之外数为 0,解方程得到：x = 14。
(完整版)容斥原理例题
学科：奥数教学内容：第四讲容斥原理（二）上一讲我们已经初步研究了简单的容斥原理，今天我们继续研究较复杂的容斥问题。
例1五年级一班有45名同学，每人都积极报名参加暑假体育训练班，其中报足球班的有25人，报篮球班的有20人，报游泳班的有30人，足球、篮球都报者有10人，足球、游泳都报者有10人，足球、篮球都报者有12人。
请问：三项都报的有多少人？分析：由于问题比较复杂，我们把它简化成下图.要计算阴影部分的面积，我们记A∩B 为圆A与圆B公共部分的面积，B∩C为圆B与圆C公共部分的面积，A∩C表示圆A与圆C 的公共部分的面积，x为阴影部分的面积则图形盖住的面积为：A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+X。
请同学们注意：阴影部分的面积先加了3次，然后又被减了3次，最后又加了1次。
解答：设三项都报的有x人，由容斥原理有30+25+20-10-10-12+x=45解得 x=2。
答：三项都报名的有2人。
说明：在“A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+X”式中，A，B，C，A∩B，B∩C，A∩C，x和总量这8个数中，只要知道了7个数，就可通过列方程求出第8个数。
例2从1至1000这1000个自然数中，不能被3、5、7中任何一个自然数整除的数一共有多少个？分析：第一步先求出：能被3、5、7中任何一个自然数整除的数一共有多少个？第二步再求出：不能被3、5、7中任何一个自然数整除的数一共有多少个？能被3整除的自然数的个数+能被5整除的自然数的个数+能被7整除的自然数的个数－（既能被3整除又能被5整除的自然数的个数+既能被3整除又能被7整除的自然数的个数+既能被5整除又能被7整除的自然数的个数）+能同时被3、5、7整除的自然数的个数=能被3、5、7中任何一个自然数整除的数的个数。
解答：能被3整除的自然数有多少个？1000÷3=333……1 有333个。
能被5整除的自然数有多少个？1000÷5=200 有200个。
(完整版)容斥原理习题加答案
1.现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都错的有4人，则两种实验都做对的有( )A、27人B、25人C、19人D、10人【答案】B【解析】直接代入公式为：50=31+40+4－A∩B得A∩B=25，所以答案为B。
2.某服装厂生产出来的一批衬衫大号和小号各占一半。
其中25％是白色的，75％是蓝色的。
如果这批衬衫共有100件，其中大号白色衬衫有10件，小号蓝色衬衫有多少件？（）A、15B、25C、35D、40【答案】C【解析】这是一种新题型，该种题型直接从求解出发，将所求答案设为A∩B，本题设小号和蓝色分别为两个事件A和B，小号占50%，蓝色占75%，直接代入公式为：100=50+75+10－A∩B，得：A∩B=35。
3.某高校对一些学生进行问卷调查。
在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备只选择两种考试都参加的有46人，不参加其中任何一种考试的都15人。
问接受调查的学生共有多少人？（）A．120B．144C．177D．192【答案】A【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字24，再推其他部分数字：根据每个区域含义应用公式得到：总数=各集合数之和－两两集合数之和＋三集合公共数＋三集合之外数＝63+89+47－{(x+24)+(z+24)+(y+24)}+24+15＝199－{（x+z+y）+24+24+24}+24+15根据上述含义分析得到：x+z+y只属于两集合数之和，也就是该题所讲的只选择两种考试都参加的人数，所以x+z+y的值为46人；得本题答案为120.4.对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。
其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有多少人（）A.22人B.28人C.30人D.36人【答案】A【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字12，再推其他部分数字：根据各区域含义及应用公式得到：总数=各集合数之和－两两集合数之和＋三集合公共数＋三集合之外数100＝58+38+52－{18+16+（12+ x）}+12+0,因为该题中，没有三种都不喜欢的人，所以三集合之外数为0，解方程得到：x＝14。
容斥原理练习答案
容斥原理1.一个俱乐部，会下象棋的有69人，会下围棋的有58人，两种棋都不会下的人有12人，两种棋都会下的有30人，问这个俱乐部一共有多少人？【答案】109人.2.一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手.又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手.最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手.求这个班语文、数学作业都完成的人数.【答案】31人.3.调查一群小朋友最喜欢吃的水果中，有三种水果最喜欢（苹果、香蕉、草莓），每人都有自己喜欢吃的。
其中喜欢吃苹果的有20人，喜欢吃香蕉的有25人，喜欢吃草莓的有30人，既喜欢苹果又喜欢香蕉的有8人，既喜欢苹果又喜欢草莓的有7人，既喜欢香蕉又喜欢草莓的有6人，三种都喜欢的有4人，请问一共有多少个小朋友？【答案】58个.4.对39种食物中是否含有甲、乙、丙三种维生素进行调查，结果如下：含甲的有17种，含乙的有18种，含丙的含有15种，含甲、乙的有7种，含甲、丙的有6种，含乙、丙的有9种，三种维生素都不含的有7种，则三种维生素都含的有多少种？【答案】4种.5.一次考试共有两题，第一题做对有20人，其中5人第二题错了；第二题总共30人做对，有3人一道题都没做对，请问一共有多少人报名参加？【答案】38人.6.光明小学举办学生书法展览.学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有24幅不是五年级的，有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有10幅，其他年级参展的书法作品共有多少幅？【答案】18幅.7.在某个风和日丽的日子，10个同学相约去野餐，每个人都带了吃的，其中6个人带了汉堡，6个人带了鸡腿，4个人带了芝士蛋糕，有3个人既带了汉堡又带了鸡腿，1个人既带了鸡腿又带了芝士蛋糕。
2个人既带了汉堡又带了芝士蛋糕.问：（1）三种都带了的有几人？（2）只带了一种的有几个？【答案】（1）0人（2）4人.8.有100名学生，按照1-100编号，面对老师站成一排，第一次让编号是2的倍数的学生向后转，第二次让编号为5的学生向后转，那么最后面对老师的学生有多少名？【答案】50名.9.某学校五年二班参加语文、数学、英语三科考试，语文90分以上的有21人，数学有19人，英语有20人，语文数学都在90分以上的有9人，数学英语在90分以上的有7人，语文英语都在90分以上的有8人，另外有5人三科都在90分以下，这个班最多有多少人？【答案】48人.10.一小偷藏匿于某商场，三名警察甲、乙、丙分头行动搜查商场的100家商铺.已知甲检查过80家，乙检查过70家，丙检查过60家，则三人都检查过的商铺至少有多少家？【答案】10家.。
2024小升初专项训练容斥原理练习及答案解析
第3讲容斥原理第一关两量重叠问题【知识点】在日常生活中，人们常常需要统计一些数量，在统计的过程中，往往会发现有些数量重复出现，为了使重复出现的部分不致被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，既先不考虑重复的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排除出去，使计算的结果既无遗漏又无重复．这种计数方法称为包含排除法，也叫做容斥原理或重叠问题．一般方法：在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图（韦恩图）来帮助分析思考．容斥原理1：两量重叠问题A类与B类元素个数的总和=A类元素的个数+B类元素个数-既是A类又是B类的元素个数用符号可表示成：A∪B=A+B-A∩B （其中符号“∪”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思，符号“∩”读作“交”，相当于中文“且”的意思）．【例1】“两会”是“全国人民代表大会”和“中国人民政治协商会议”的简称，如果2017年“人大会议”和“政协会议”均历时11天，并且两个会议有9天同时进行．那么，2017年的“两会”将一共进行多少天？【答案】13【例2】三（1）班同学给“手拉手”小伙伴捐物品，捐衣物的有26人，捐文具的有32人，两样都捐的有18人．捐物品的同学一共有几人？【答案】40【例3】同学们去动物园游玩，每人至少参观一个馆．参观大象馆的有10人，参观猴子馆的有15人，两个馆都参加的有6人，一共有多少人去动物园？【答案】19【例4】某班老师建议学生读A、B两本课外读物，结果有25人没有读A，有19人没有读B，20人只读了1本书，11人读过2本书，那么该班共有多少人？【答案】43【例5】假期中，王老师给三（1）班同学推荐了《冰雪奇缘》和《疯狂原始人》两部动画片供大家选择观看．两部电影都看的有36人，两部电影都没看的只有2人；看了《冰雪奇缘》的有40人，看了《疯狂原始人》的有38人．三（1）班一共有多少人？【答案】44【例6】光辉小学六年级在一次语、数联赛中，语文及格的有24人，数学及格的有27人，其中语、数都及格的有14人，另外还有8人语、数都没及格，六年级共有学生多少人？【答案】45【例7】三（5）班同学参加了音乐、美术这两个课外兴趣小组，已知参加音乐小组的有32人，参加美术组的有30人，两个小组都参加的有10人，三（5）班共有学生多少人？【答案】52【例8】四（1）班每个同学至少参加一项兴趣小组，参加美术小组的有32人，参加书法小组的有36人，两项都参加的有15人，四（1）班有多少人？【答案】53【例9】五年级（1）班每人都至少参加一个兴趣小组，参加语文兴趣小组的有45人，参加数学兴趣小组的有37人，有20人两个小组都参加．这个班共有多少人？【答案】62【例10】一次竞赛有2题，答对第一题的有186人，答对第二题的有143人，全错的有21人，全对的51人，问参加竞赛的共有多少人？【答案】299【例11】新东方在“五一劳动节”即将发行新版积分卡．如果旧版积分卡上共出现300位老师，新版积分卡上共出现400位老师，其中有150位老师在新旧两版积分卡中都出现了，那么，在新旧两版积分卡上共出现了多少位老师？【答案】550【例12】六年级一班春游，带矿泉水的有18人，带水果的有16人，这两种至少带一种的有28人，求两种都带的有多少人？【答案】6【例13】空军突击队共有25名士兵，每个人都擅长射击和武术中的一项或者两项，如果士兵中擅长射击的有20人，擅长武术的有12人，则两项均擅长的士兵有多少人？【答案】7【例14】某天的放学路上，甲和乙交流起各自玩过的电子游戏，他们回想起了20个不同的游戏，其中甲玩过8个，乙玩过16个，那么他们都玩过的游戏有几个？【答案】4【例15】三（2）班第一小组共有8人，在一次语文和数学测验中，他们均至少有一门得了95分以上，其中语文得95分以上的有5人，数学得95分以上的有7人，语文和数学均得95分以上的有多少人？【答案】4【例16】一次考试，语文得100分的有5人，数学得100分的8人，老师发现这次考试得100分的只有10人，那么，得双100分的有多少人？【答案】3【例17】某校五年一班有40人，其中有28人参加了数学小组，30人参加了外语小组，有6人两个小组都没有参加，两个小组都参加的有多少人？【答案】24【例18】六（3）班同学有23人参加了舞蹈和击剑兴趣小组，其中参加舞蹈兴趣小组的有17人，参加击剑兴趣小组的有20人，两个兴趣小组都参加的有多少人？【答案】14【例19】五（1）班40名同学采集标本，每个同学至少要采集一种标本．采集昆虫标本的有28人，采集植物标本的有19人，两种标本都采集的有多少人？【答案】7【例20】学校开运动会，某班有30名学生，其中20人报名参加赛跑项目，11人报名参加跳跃项目，两项都没有报名的有4人，问两项都参加的有几人？【答案】5【例21】全班50人做2道数学题，其中第一道做对的有40人，第二道做对的有30人，两道都做错的有5人，则两道都做对的有多少人？【答案】25【例22】六（1）班有45名同学，17人参加了象棋兴趣小组，22人参加了围棋兴趣小组，13人两个小组都没有参加，两个小组都参加的有多少人，多少人只参加了象棋兴趣小组？【答案】7；10【例23】一个班有48个人，班主任在班会上问：“谁完成了语文作业？请举手！”有37人举手，又问：“谁完成了数学作业？请举手!”有42人举手，最后问：“谁语文、数学作业都没有完成？”没有人举手，求这个班语文、数学作业都完成的人数。
容斥原理问题经典例题
容斥原理问题经典例题在数学的世界里，容斥原理是一个非常实用且有趣的概念。
它帮助我们解决那些涉及多个集合相互交叉、重叠的计数问题。
下面，我们就通过几个经典例题来深入理解容斥原理。
例 1：在一个班级中，有 30 人喜欢数学，25 人喜欢语文，20 人喜欢英语，其中 10 人既喜欢数学又喜欢语文，8 人既喜欢数学又喜欢英语，6 人既喜欢语文又喜欢英语，还有 3 人这三门学科都喜欢。
请问这个班级中至少喜欢一门学科的有多少人？首先，我们分别计算喜欢数学、语文、英语的人数之和：30 ＋ 25 ＋ 20 ＝ 75 人。
但是，在这个计算过程中，我们把同时喜欢两门学科的人数多算了一次。
所以要减去重复计算的部分：既喜欢数学又喜欢语文的 10 人被多算了一次，既喜欢数学又喜欢英语的 8 人被多算了一次，既喜欢语文又喜欢英语的 6 人被多算了一次。
所以要减去：10 ＋ 8 ＋ 6 ＝ 24 人。
然而，这里又把同时喜欢三门学科的 3 人多减了两次。
所以要再加上 3 人。
综上，至少喜欢一门学科的人数为：75 24 ＋ 3 ＝ 54 人。
例 2：某学校组织学生参加课外活动，参加体育活动的有 120 人，参加文艺活动的有 90 人，参加科技活动的有 70 人。
其中，既参加体育活动又参加文艺活动的有 40 人，既参加体育活动又参加科技活动的有 30 人，既参加文艺活动又参加科技活动的有 20 人，三种活动都参加的有 10 人。
请问该校参加课外活动的学生共有多少人？我们先计算参加体育、文艺、科技活动的人数总和：120 ＋ 90 ＋70 ＝ 280 人。
然后减去重复计算的部分：既参加体育和文艺的 40 人多算了一次，既参加体育和科技的 30 人多算了一次，既参加文艺和科技的 20 人多算了一次，所以要减去：40 ＋ 30 ＋ 20 ＝ 90 人。
但这样又把三种活动都参加的 10 人多减了两次，所以要加上 10 人。
因此，参加课外活动的学生总数为：280 90 ＋ 10 ＝ 200 人。
奥数 容斥原理(例题+详解)
容斥原埋在很多计数问题中常用到数学上的一个包含与排除原理，也称为容斥原理.为了说明这个原理，我们先介绍一些集合的初步知识。
例1、桌上有两张圆纸片A、B.假设圆纸片A的面积为30平方厘米，圆纸片B的面积为20平方厘米.这两张圆纸片重叠部分的面积为10平方厘米.则这两张圆纸片覆盖桌面的面积由容斥原理的公式（1）可以算出为：｜A∪B｜=30＋20-10＝40（平方厘米）。
例2、求在1至100的自然数中能被3或7整除的数的个数。
分析解这类问题时首先要知道在一串连续自然数中能被给定整数整除的数的个数规律是：在n个连续自然数中有且仅有一个数能被n整除.根据这个规律我们可以很容易地求出在1至100中能被3整除的数的个数为33个，被7整除的数的个数为14个，而其中被3和7都能整除的数有4个，因而得到解：设A=｛在1～100的自然数中能被3整除的数｝，B＝｛在1～100的自然数中能被7整除的数｝，则A∩B=｛在1～100的自然数中能被21整除的数｝。
∵100÷3＝33…1，∴｜A｜＝33。
∵100÷7＝14…2，∴｜B｜=14。
∵100÷21＝4…16，∴｜A∩B｜=4。
由容斥原理的公式（1）：｜A∪B｜＝33＋14-4=43。
答：在1～100的自然数中能被3或7整除的数有43个。
例3、求在1～100的自然数中不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？分析如果在1～100的自然数中去掉5的倍数、6的倍数，剩下的数就既不是5的倍数也不是6的倍数，即问题要求的结果。
解：设A＝｛在1～100的自然数中5的倍数的数｝，B=｛在1～100的自然数中6的倍数的数｝，数.为此先求｜A∪B｜。
∵100÷50=20，∴｜A｜=20又∵100÷6＝16…4，∴｜B｜=16∵100÷30＝3…10，∴｜A∩B｜=3，｜A∪B｜=｜A｜+｜B｜-｜A∩B｜=20＋16-3＝33。
小学奥数《容斥原理》
有的有27人，这个班有学生多少人？
容斥原理
订阅报纸的总人数是 多少？（2）两种报纸 都没订阅的有多少人？
一个班有45名学生，订阅《小学生数学报》的有15人， 订阅《今日少年报》的有10人，两种报纸都订阅的有6人。
二．有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不 懂俄语，有75人懂英语，83人懂俄语，问既 懂英语又懂俄语的有多少人？
三．求不超过100的自然数中，不能被3、5中任 何一数整除的数的个数。
一个俱乐部里，会下中国象棋的有69人，会下 国际象棋的有52人，这两种棋都不会下的有12 人，都会下的有30人。这个俱乐部里有多少人？
. 六一班有学生46人，其中会骑自行 的有19人，会游泳的有25人，既会骑 又会游泳的有7人，既不会骑自行车 不会游泳的有多少人？
例4. 某年级的课外小组分为美术、音乐、手 工三个小组，参加美术小组有20人，参加音 乐小组有24人，参加手工小组有31人，同时 参加美术和音乐两个小组有5人，同时参加音 乐和手工两个小组有6人，同时参加美术和手 工两个小组的有7人，三个小组都参加的有3 人，这个年级参加课外小组的同学共有多少人？
如果被计数的事物有A、B、C三类，那么， A类或B类或C类元素个数= A类元素个数 + B类元素个数+C类元素个数—既是A类 又是B类的元素个数—既是A类又是C类的 元素个数—既是B类又是C类的元素个数+ 既是A类又是B类而且是C类的元素个数。
一．四（1）班有40个学生，其中25人参加数学 小组，23人参加航模小组，有19个人两个小 组都参加了，那么，有多少人两个小组都没 有参加？
容斥原理题目
容斥原理题目
一场网球比赛中有10名选手参加。
每个选手都与其他9名选
手分别进行比赛，共进行了45场比赛。
求共有多少个场次的
比赛中至少有一名选手获胜。
解法：
设A为至少有一名选手获胜的场次数目，Ai为选手i获胜的
场次数目。
根据容斥原理，有：
A = A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ A10
根据容斥原理公式，可得：
A = (A1 + A2 + ... + A10) - (A1 ∩ A2 + A1 ∩ A3 + ... + A9 ∩
A10) + (A1 ∩ A2 ∩ A3 + A1 ∩ A2 ∩ A4 + ... + A8 ∩ A9 ∩ A10) - ... + (-1)^9 * (A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ A10)
根据条件可知A1 + A2 + ... + A10 = 45，即第一个括号内的内
容为45。
然后计算两两交集，由于每个选手都与其他9名选手进行比赛，所以两两交集的结果为10 * 9。
然后计算三个选手的交集，由于每个选手都与其他9名选手进行比赛，所以三个选手的交集的结果为10 * 9 * 8。
依次类推，最后计算十个选手的交集，结果为10!（即10的
阶乘）。
将以上结果带入容斥原理公式中，可得：
A = 45 - (10 * 9) + (10 * 9 * 8) - ... + (-1)^9 * (10!) ≈ 3,628,800 - 3,628,800 + 1 - 0 + 0 - 0 + 0 - 0 + 0 - 0 = 1
所以共有1个场次的比赛中至少有一名选手获胜。
第二章容斥原理习题及解答.ppt
1、 某甲参加一种会议，会上有6位朋友， 某甲和其中每人在会上各相遇12次，每 二人各相遇6次，每三人各相遇4次，每 四人各相遇3次，每五人各相遇2次，每 六人各相遇一次，1人也没有遇见的有5 次，问某甲共参加了几次会议 ？
参考答案
[解] 设Ai为甲与第i个朋友相遇的会议 集， i＝1，…，6．则
A1 A2
1
41
1
3
105
2 1 (8 3) (4 2) 3 7
A1 A3
1
42
1
2
63
A2 A3 0
A1 A2 A3 0
故所求路径数为
| A1 A2 A3 | 495 (168 140 84) (105 63 0) 0 271
参考答案
[解]
令Dn
n!1
1 1!
1 2!
1 3!
1 n!
（1）方案数=Dm (n!)m
（2）方案数=
m k0
m k
Dk
(n
!)k
Dmk n
（3）方案数=Dm Dnm
（i=1,2,…,n） 则所求为
|
n i 1
Ai
|
n ko
(1)k
n
k
(2n
k
1)!2k
第二章容斥原理习题
8、一书架有m层，分别放置m类不同种类的书， 每层n册。先将书架上的图书全部取出清理。 清理过程要求不打乱所有的类别。试问: （1）m类书全不在各自原来层次上的方案数 有多少？ （2）每层的n本书都不在原来位置上的方案数 等于多少？ （3）m层书都不在原来层次，每层n本书也不 在原来位置上的方案数又有多少？
所以
A3 A5 A7 A3 A5 A3 A5 A7
三年级容斥原理50经典例题
三年级容斥原理50经典例题例题1：有两块木板各长50厘米，把两块木板钉成一块长木板，中间钉在一起的重叠部分长8厘米。
钉成的木板长 _____ 厘米。
解：1、本题考查了学生的运算能力、应用能力。
解决重叠问题时，要注意重叠的部分不能重复计算。
2、两块木板一共长50+50=100（厘米），如果钉在一起，说明原来的两个8厘米变成了一个8厘米，这样钉成的木板比100厘米少了8厘米，所以钉成的木板长100-8=92（厘米）。
例题2：有两张各长20厘米的纸条，粘贴在一起后的总长是36厘米，那么重叠部分长（）厘米。
A、2B、4C、8D、16解：1、此题考查孩子的应用能力、运算能力。
孩子没有进行画图理解，只是凭自己的主观想象进行思考，没有找到总长度与重复部分长度之间的关系，在后面计算时出现错误。
2、两张纸条如果没有重叠，那么一共长20＋20＝40（厘米），而重叠后的长度是36厘米，短了40－36＝4（厘米），说明重叠部分的长度是4厘米。
选择B。
例题3：某班在短跑、投掷和跳远三项检测中，有4人三项都未达到优秀，其他人至少有一项是优秀，下表是得优秀的情况，这个班共有多少人？解：根据题意画图2、我们可以先算出19+20+21=60（人），但是这里有被重复算的和漏算的，我们要注意减去重复的部分，加上漏算的部分。
3、由图可知，6、9、10人都是两两重叠的部分，被多算了一次，要减去：60-6-9-10=35（人），但要注意，图中的3人，在计算19、20、21的和的时候被加了三次，在“-6-9-10”的时候又被减了三次，那么相当于漏算了这3人，所以我们应该将漏算的3人加上，35+3=38（人），这38人是至少有一项达到优秀的人数，算全班总人数，还需要加上三项都未达到优秀的4人，所以共有38+4=42（人）。
例题5：☆☆☆一个班有30人，完成作业的情况有三种，只完成语文的，只完成数学的，两种都完成的。
已知完成语文作业的20人，完成数学作业的23人。
容斥原理经典例题
选择题在某次数学竞赛中，有60%的学生获奖，有75%的学生通过了英语考试，已知至少有一项成就的学生占85%，则两项都达成的学生占比是：A. 40%B. 50%（正确答案）C. 60%D. 70%一个班级中，喜欢数学的有25人，喜欢物理的有20人，喜欢化学的有15人，同时喜欢数学和物理的有10人，同时喜欢数学和化学的有8人，同时喜欢物理和化学的有6人，三者都喜欢的有3人。
问班级中总共有多少学生？A. 35人B. 40人C. 45人D. 50人（正确答案）在一次调查中，发现65%的人喜欢喝咖啡，70%的人喜欢喝茶，80%的人至少喜欢其中一种饮品。
那么同时喜欢喝咖啡和喝茶的人占比是：A. 15%B. 25%C. 55%（正确答案）D. 75%某校有100名学生参加了数学和物理竞赛，其中60人通过了数学竞赛，70人通过了物理竞赛，若已知有85人至少通过了一门竞赛，则两门都通过的学生有：A. 35人B. 45人（正确答案）C. 55人D. 65人在一次技能测试中，有80%的员工通过了编程测试，70%的员工通过了设计测试，85%的员工至少通过了一项测试。
问同时通过两项测试的员工占比是多少？A. 55%B. 65%（正确答案）C. 75%D. 85%一个篮子里有红、黄、蓝三种颜色的球，其中红球和黄球共20个，黄球和蓝球共18个，红球和蓝球共22个。
问篮子里总共有多少个球？A. 25个B. 27个C. 30个（正确答案）D. 33个在一次市场调研中，发现55%的人喜欢产品A，65%的人喜欢产品B，75%的人至少喜欢其中一种产品。
那么同时喜欢产品A和产品B的人占比是：A. 45%（正确答案）B. 55%C. 65%D. 75%某班级中，参加数学兴趣小组的有20人，参加物理兴趣小组的有18人，参加化学兴趣小组的有16人，同时参加数学和物理小组的有10人，同时参加数学和化学小组的有8人，同时参加物理和化学小组的有6人，三个小组都参加的有4人。
六年级容斥原理练习题
六年级容斥原理练习题
容斥原理是概率论中的一个重要原理，可以用于解决涉及多个事件的概率计算问题。
在六年级数学中，我们也可以运用容斥原理来解决一些错排、组合问题等。
以下是一些关于容斥原理的练习题，供同学们进行练习。
练习题1：
某班有30位学生，其中15人喜欢音乐，20人喜欢体育，10人既喜欢音乐又喜欢体育。
请问至少有多少位学生既不喜欢音乐也不喜欢体育？
练习题2：
甲、乙、丙三位同学是某班的值日生，每周值日一天。
如果要求甲同学在星期一值日，乙同学在星期三值日，丙同学在星期五值日，那么这样的安排共有多少种？
练习题3：
某班有30位学生，其中15人喜欢英语，18人喜欢数学，12人喜欢音乐。
其中恰好3人即喜欢英语又喜欢数学，4人既喜欢英语又喜欢音乐，5人既喜欢数学又喜欢音乐。
请问这个班级有多少人？
练习题4：
在一个小说比赛中，参赛者需要选择一个主题，主题共有A、B、C 三个选项。
每个参赛者必须选择一个主题进行创作，并且选定主题后
不能更换。
如果有10位参赛者，其中有4位选择了A主题，3位选择
了B主题，2位选择了C主题，1位参赛者选择了两个主题。
那么最终
有多少位参赛者选择了至少一个主题？
练习题5：
小明有5个相同的红球，4个相同的绿球，3个相同的蓝球。
他希
望从中选择4个球放入一个盒子里，要求盒子中至少有一种颜色的球。
那么小明一共有多少种不同的放球方法？
通过以上几道练习题，我们可以较好地掌握容斥原理在解决数学问
题中的运用。
希望同学们能够认真思考并正确解答，提高数学问题解
决能力。
容斥原理(二)(含答案)-
容斥原理（二）【例题分析】例1.有25人参加跳远达标赛，每人跳三次，每人至少有一次达到优秀。
第一次达到优 秀的有10人，第二次达到优秀的有13人，第三次达到优秀的有15人，三次都达到优秀 的只有1人。
只有两次达到优秀的有多少人？分析与解：“每人至少有一次达到优秀”说明没有三次都没达到优秀的。
要求只有两 次达到优秀的人数，就是求重叠两层的部分（图中阴影部分）。
10+13+15-25-1x2 = 11 （人）答：只有两次达到优秀的有11人。
例2.在一个炎热的夏日，几个小朋友去冷饮店，每人至少要了一样冷饮，其中有6人 要了冰棍，6人要了汽水，4人要了雪碧，只要冰棍和汽水的有3人，只要冰棍和雪碧的 没有，只要汽水和雪碧的有1人；三样都要的有1人。
问：共有几个小朋友去了冷饮店?V25人分析与解：根据题意画图。
冰人方法一:6 + 6 + 4-(3+1)-(0+1)-(1 + 1) + 1 = 10 (人)方法二：6 + 6 + 4-3-l-l×2 = 10 (人)答：共有10个小朋友去了冷饮店。
例3.有28人参加田径运动会，每人至少参加两项比赛。
已知有8人没参加跑的项目，参加投掷项目的人数与参加跑和跳两项的人数都是17人。
问：只参加跑和投掷两项的有多少人？分析与解：“每人至少参加两项比赛”说明没有不参加的，也没有参加一项比赛的，我们可以在下图中参加一项的区域用0表示。
跑28-17-8 = 3 (人)答：只参加跑和投掷两项的有3人。
例4.某校六年级二班有49人参加了数学、英语、语文学习小组，其中数学有30人参加，英语有20人参加，语文小组有10人。
老师告诉同学既参加数学小组又参加语文小组的有3人，既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数，而三种全参加的只有1人，求既参加英语又参加数学小组的人数。
分析与解：根据已知条件画出图。
三圆盖住的总体为49人，假设既参加数学乂参加英语的有x人，既参加语文乂参加英语的有y人，可以列出这样的方程：30 + 20+10-x-y-3+l=49整理后得：x + y = 9由于X、y均为质数，因而这两个质数中必有一个偶质数2,另一个质数为7。
(完整版)容斥原理例题.docx
学科：奥数教学内容：第四讲容斥原理（二）上一我已初步研究了的容斥原理，今天我研究复的容斥。
例 1五年一班有45 名同学，每人都极名参加暑假体育班，其中足球班的有 25 人，球班的有20 人，游泳班的有30 人，足球、球都者有10 人，足球、游泳都者有10 人，足球、球都者有12 人。
：三都的有多少人？分析：由于比复，我把它化成下. 要算阴影部分的面，我A∩ B A 与 B 公共部分的面，B∩C B 与 C 公共部分的面，A∩ C 表示 A 与 C的公共部分的面，x 阴影部分的面形盖住的面：A+B+C-A∩ B-B∩ C-A∩ C+X。
同学注意：阴影部分的面先加了 3 次，然后又被减了 3 次，最后又加了 1 次。
解答：三都的有x 人，由容斥原理有30+25+20-10-10-12+x=45解得 x=2 。
答：三都名的有 2 人。
明：在“ A+B+C-A∩ B-B∩ C-A∩ C+X”式中， A，B， C， A∩ B， B∩ C，A∩ C， x 和量8 个数中，只要知道了7 个数，就可通列方程求出第8 个数。
例 2从1至10001000 个自然数中，不能被3、5、7 中任何一个自然数整除的数一共有多少个？分析：第一步先求出：能被3、 5、 7 中任何一个自然数整除的数一共有多少个？第二步再求出：不能被 3、5、7 中任何一个自然数整除的数一共有多少个？能被 3 整除的自然数的个数 +能被 5 整除的自然数的个数+能被 7 整除的自然数的个数－（既能被 3 整除又能被5整除的自然数的个数+既能被 3 整除又能被7 整除的自然数的个数+既能被 5 整除又能被7整除的自然数的个数）+能同被3、5、7 整除的自然数的个数=能被 3、5、7 中任何一个自然数整除的数的个数。
解答：能被 3 整除的自然数有多少个？1000÷3=333⋯⋯ 1有333个。
能被 5 整除的自然数有多少个？1000÷5=200有200个。
小学奥数 容斥原理 知识点+例题+练习 (分类全面)
5、在1到130的全部自然数中，既不是6的倍数又不是5的倍数的数有多少个？不是6的倍数或不是5的倍数的数有几个？
6、某班统计考试成绩，数学得90分上的有25人;语文得90分以上的有21人;两科中至少有一科在90分以上的有38人。问两科都在90分以上的有多少人?
巩固：刘老师、夏老师和胡老师共有书90本，其中刘老师和夏老师一共有70本，夏老师和胡老师共有50本，三位老师各有书多少本？
例5、在1至10000中不能被5或7整除的数共有多少个？既不能被5整除又不能被7整除的有多少个？
巩固：在1到200的全部自然数中，既不是5的倍数又不是8的倍数的数有多少个？不是5的倍数或不是8的倍数的数有几个？
巩固：某校的每个学生至少爱好体育和文娱中的一种活动，已知有900人爱好体育活动，有850人爱好文娱活动，其中260人两种活动都爱好。这个学校共有学生多少人？
例3、学校开展课外活动，共有250人参加。其中参加象棋组和乒乓球组的同学不同时活动，参加象棋组的有83人，参加乒乓球组的有86人，这两个小组都参加的有25人。问这250名同学中，象棋组、乒乓球组都不参加的有多少人？
课后作业
1、五年级有112人参加语文、数学考试，每人至少有一门功课得优，其中，语文得优的有65人，数学得优的有87人，问语文、数学都得优的有多少人？
2、某班在一次测验中有26人语文获优，有30人数学获优，其中语、数双优的有12人，另外还有8人语、数均未获优，这个班共有多少个学生？
3、五（1）班有学生50人，在一次测试中，语文90分以上的有30人，数学90分以上的35人，语文和数学都在90分以上的有20人，90分以下的有多少人？
容斥原理50经典例题
容斥原理50经典例题容斥原理是组合数学中的一种重要方法，用于解决包含重叠部分的计数问题。
它在解决排列组合问题时有着广泛的应用，能够帮助我们更快速、更准确地求解问题。
接下来，我们将通过50个经典例题来深入理解容斥原理的应用。
1. 有一个集合包含了1至100的整数，求这个集合中既不是3的倍数，也不是5的倍数的整数个数。
解析，首先，我们可以分别求出是3的倍数和是5的倍数的整数个数。
然后利用容斥原理求出既不是3的倍数，也不是5的倍数的整数个数。
2. 在1至100的整数中，有多少个整数的个位和十位数字都不是7？解析，我们可以利用容斥原理来求出个位是7的整数个数，十位是7的整数个数，然后再利用容斥原理求出个位和十位都是7的整数个数，最后用总数减去这个数就是答案。
3. 有A、B、C三个班，A班有50个学生，B班有60个学生，C班有70个学生，求至少有一个班有学生参加了篮球比赛的方案数。
解析，我们可以利用容斥原理来求出每个班都没有学生参加篮球比赛的方案数，然后用总数减去这个数就是答案。
4. 在1至100的整数中，有多少个整数的各位数字和为偶数？解析，我们可以利用容斥原理来求出各位数字和为奇数的整数个数，然后用总数减去这个数就是答案。
5. 有一个集合包含了1至100的整数，求这个集合中既不是2的倍数，也不是3的倍数的整数个数。
解析，首先，我们可以分别求出是2的倍数和是3的倍数的整数个数。
然后利用容斥原理求出既不是2的倍数，也不是3的倍数的整数个数。
6. 有A、B、C三个班，A班有50个学生，B班有60个学生，C班有70个学生，求至少有一个班有学生参加了足球比赛但没有参加篮球比赛的方案数。
解析，我们可以利用容斥原理来求出每个班都没有学生参加足球比赛但没有参加篮球比赛的方案数，然后用总数减去这个数就是答案。
7. 在1至100的整数中，有多少个整数的各位数字和为7的倍数？解析，我们可以利用容斥原理来求出各位数字和不是7的倍数的整数个数，然后用总数减去这个数就是答案。
容斥原理练习
数学运算之容斥原理专题【例1】对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。
其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有：A．22人B．28人C．30人D．36人【例2】某大学某班学生总数为32人，在第一次考试中有26人及格，在第二次考试中有24人及格，若两次考试中，都没有及格的有4人，那么两次考试都及格的人数是( )。
A.22B.18C.28D.26【例3】某单位有青年员工85人，其中68人会骑自行车，62人会游泳，既不会骑车又不会游泳的有12人，则既会骑车又会游泳的有( )人A.57B.73C.130D.69【例4】电视台向100人调查前一天收看电视的情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，11人两个频道都看过。
两个频道都没看过的有多少人？14. A、B、C三本书，至少读过其中一本的有20人，读过A书的有10人，读过B书的有12人，读过C书的有15人，读过A、B两书的有8人，读过B、C两书的有9人，读过A、C两书的有7人。
三本书全读过的有多少人？（）A.5B.7C.9D.无法计算―――――――――――――――――――51. 甲,乙,丙三个人共解出20道数学题,每人都解出了其中的12道题,每道题都有人解出.只有一人解出的题叫做难题, 只有两人解出的题叫做中等题,三人解出的题叫做容易题,难题比容易题多（）题?A、6B、5C、4D、――――――――――――――――24. 某工作组有12名外国人,其中6人会说英语,5人会说法语,5人会说西班牙语;有3人即会说英又会说法,有2人既会说法又会说西;有2人既会说西又会说英;有1人这三种语言都会说.则只会说一种语言的人比一种语言都不会说的人多: A1 B2 C3 D5【例 1】现有 50 名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有 40 人，化学实验做正确的有 31 人，两种实验都做错的有 4 人，则两种实验都做对的有多少人？A.27 人B.25 人C.19 人D.10 人【例 6】一名外国游客到北京旅游，他要么上午出去游玩，下午在旅馆休息，要么上午休息，下午出去游玩，而下雨天他只能一天都呆在屋里。
(完整版)容斥原理习题加答案
1.现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都错的有4人，则两种实验都做对的有( )A、27人B、25人C、19人D、10人【答案】B【解析】直接代入公式为：50=31+40+4－A∩B得A∩B=25，所以答案为B。
2.某服装厂生产出来的一批衬衫大号和小号各占一半。
其中25％是白色的，75％是蓝色的。
如果这批衬衫共有100件，其中大号白色衬衫有10件，小号蓝色衬衫有多少件？（）A、15B、25C、35D、40【答案】C【解析】这是一种新题型，该种题型直接从求解出发，将所求答案设为A∩B，本题设小号和蓝色分别为两个事件A和B，小号占50%，蓝色占75%，直接代入公式为：100=50+75+10－A∩B，得：A∩B=35。
3.某高校对一些学生进行问卷调查。
在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备只选择两种考试都参加的有46人，不参加其中任何一种考试的都15人。
问接受调查的学生共有多少人？（）A．120B．144C．177D．192【答案】A【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字24，再推其他部分数字：根据每个区域含义应用公式得到：总数=各集合数之和－两两集合数之和＋三集合公共数＋三集合之外数＝63+89+47－{(x+24)+(z+24)+(y+24)}+24+15＝199－{（x+z+y）+24+24+24}+24+15根据上述含义分析得到：x+z+y只属于两集合数之和，也就是该题所讲的只选择两种考试都参加的人数，所以x+z+y的值为46人；得本题答案为120.4.对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。
其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有多少人（）A.22人B.28人C.30人D.36人【答案】A【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字12，再推其他部分数字：根据各区域含义及应用公式得到：总数=各集合数之和－两两集合数之和＋三集合公共数＋三集合之外数100＝58+38+52－{18+16+（12+ x）}+12+0,因为该题中，没有三种都不喜欢的人，所以三集合之外数为0，解方程得到：x＝14。
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小学奥数容斥原理专题训练
_1.现有50名学生都做物理 化学实验如果物理实验做正确的有40人 化学做正确的有31人，两种实验都错的有4人，则两种实验都 做对的有多少人？
2.某服装厂生产的一批衬衫大号和小号各占一半。
其中
25%是白色的，75%是蓝色的。
如果这批衬衫共有 100件， 其中大号白色衬衫有10件，小号蓝色衬衫有多少件？
些学生接受调查，这些学生中准备参加会计师考试的有 63
人，准备参加英语考
班参加无线电小组和航模小组的
共 26人，其中参加 3人，两组都参加的有 53、 4.六
无线电小组的比参加航模小组的多
人，请问参加航模小组的有几人？
5.某班统计考试成绩，数学得90分上的有25人；语文得90 分以上的有21 人;两科中至少有一科在90分以上的有38人。
问两科都在90分以上的有多少人？
6.某班同学中有39人打篮球，37人跑步，25人既打篮球又跑步，问全班参加篮球、跑步这两项体育活动的总人数是多
少？
7.有28人参加田径运动会，每人至少参加两项比赛。
已知有8人没参加跑的项目，参加投掷项目的人数与参加跑和跳两项的人数都是17人。
问：只参加跑和投掷两项的有多少人？
8.某车间有工人100 人，其中有5 个人只能干电工工作，有77 人能干车工工作，86 人能干焊工工作，既能干车工工作又能干焊工工作的有多少人?
9 、某次语文竞赛共有五道题(满分不是100 分) ，丁一只做对了(1) 、(3) 、(4) 三题得了25 分;于山只做对了(2) 、(4) 三题，得了16 分; 王水只做对了(2) 、(3) 、(5) 三题，得了28 分，张灿只做对了(1) 、(5) 三题，得了21 分，李明五个题都对了他得了多少分?
10. 某大学有外语教师120 名，其中教英语的有50 名，教日语的有45 名，教法语的有40 名，有15 名既教英语又教日语，有10 名既教英语又教法语，有8 名既教日语又教法语，有4 名教英语、日语和法语三门课，则不教三门课的外语教师有多少名?
小学奥数容斥原理专题训练（答案）
1. 现有 50 名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做 正确的有 40 人，化学实验做正确的有 31 人，两种实验都错 的有 4 人，则两种实验都做对的有多少人？ 40+31+4-50=25 （人）
2. 某服装厂生产的一批衬衫大号和小号各占一半
是白色的， 75％是蓝色的。
如果这批衬衫共有
10 件，小号蓝色衬衫有多少件？ 100 X 25%-
10=15 （ 件 ） 3. 一些学生接受调查，这些学生中准备参加会计师考试的有
63 人，准备参加英语考试的有 89 人，准备参加计算机考试 的有 47 人，三种都准备参加的有 24 人，只准备参加两种考 试的有 46 人，不参加其中任何一种考试的有 15 人。
请问有 多少学生接受调查？
5. 六 无线电小组的比参加航模小组的多 人，请问参加航模小组的有几人？
（26+5-3 ） - 2=14 （人）
5. 某班统计考试成绩， 数学得 90 分上的有 25 人; 语文得 90 分以上的有 21 人; 两科中至少有一科在 90分以上的有 38人。
问两科都在 90 分以上的有多少人 ?
（25+21-38 ） - 2=4 （人）
6、某班同学中有 39 人打篮球， 37 人跑步， 25 人既打 篮
其中 25％ 100 件，其中
大号白色衬衫有 100 X 50%-15=35 （ 件 ）
63+89+47-46-24 X 2+15=120 （名）
班参加无线电小组和航模小组的共 26 人，其中参加
3 人，两组都参加的有 5
球又跑步，问全班参加篮球、跑步这两项体育活动的总人数是多少?
39+37-25=51 (人)
7.有28 人参加田径运动会，每人至少参加两项比赛。
已知有8 人没参加跑的项目，参加投掷项目的人数与参加跑和跳两项的人数都是17 人。
问：只参加跑和投掷两项的有多少人？
28-17-8=3 (人)
8.某车间有工人100 人，其中有5 个人只能干电工工
作，有77 人能干车工工作，86 人能干焊工工作，既能干车工工作又能干焊工工作的有多少人?
86+77- (100-5 )=68(人)
9.某次语文竞赛共有五道题( 满分不是100 分) ，丁一只做对了(1) 、(3) 、(4) 三题得了25分;于山只做对了(2) 、(4) 三题，得了16分;王水只做对了(2) 、(3) 、(5) 三题，得了28 分，张灿只做对了(1) 、(5) 三题，得了21 分，李明五个题都对了他得了多少分?
解析：丁一、于山、王水、张灿四人作对的题目10 题，且这10 题正好是两张考卷，所以将四人的分数相加再除以2 即可得出一张考卷的总分。
(25+16+28+21)+ 2=45 (分)
10. 某大学有外语教师120 名，其中教英语的有50 名，教日语的有45 名，教法语的有40 名，有15 名既教英语又教日语，有10 名既教英语又教法语，有8 名既教日语又教法语，有4 名教英语、日语和法语三门课，则不教三门课的外语教师有多少名?
50+45+40-15-10-8+4=106( 人) 120-106=14( 人)。