变量之间的关系讲解

变量之间的关系讲解

【基础知识】

知识点一：有关变量的基本概念

1、变量：在某一过程中发生变化的量，其中包括自变量与因变量。

2、自变量是最初变动的量，它在研究对象反应形式、特征、目的上是独立的；

3、因变量是由于自变量变动而引起变动的量，它“依赖于” 自变量的改变。

4、常量：一个变化过程中数值始终保持不变的量叫做常量.

知识点二：变量的表示方法

1.列表法

采用数表相结合的形式，运用表格可以表示两个变量之间的关系。列表时一般第一行代表自变量，第二行代表因变量，选取能代表自变量的一些数据，并按从小到大的顺序列出，再分别求出对应的因变量的值。

优点：直观，可以直接从表中找出自变量与因变量的对应值，

缺点：具有局限性，只能表示因变量的一部分。

2.图象法

对于在某一变化过程中的两个变量，把自变量x与因变量y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出这些点，这些点所组成的图形就是它们的图象（这个图象就叫做平面直角坐标系）。它是我们所表示两个变量之间关系的另一种方法。

特点：非常直观。不足之处是所画的图象是近似的、局部的，通过观察或由图象所确定的因变量的值往往是不准确的。

表示的步骤是：

①列表：列表给出自变量与因变量的一些特殊的对应值。一般给出的数越多，画出的图象越精确。

②描点：在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（横轴或x轴）上的点来表示自变量，用竖直方向的数轴（纵轴或y轴）上的点来表示因变量。

③连线：按照自变量从小到大的顺序，用平滑的曲线把所描的各点连结起来。注意：a.认真理解图象的含义，注意选择一个能反映题意的图象；

b.从横轴和纵轴的实际意义理解图象上特殊点的含义（坐标）. 3.关系式法（解析法）

关系式（即解析式）是利用数学式子来表示变量之间关系的等式，利用关系式，可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值，也可以已知因变量的值求出相应的自变量的值。

注意：三种表示方法的关系

表格、图象与关系式都能表示两个变量之间的关系，已知关系式可以列出表格，画出图象，已知表格、图象却不一定有相应的关系式。但是，关系式的确定也是根据表格、图象所提供的信息，用从特殊到一般的数学思想，经过类比、比较和归纳，从而猜想得出结论进行验证后的结果。

知识点三：事物变化趋势的描述

对事物变化趋势的描述一般有两种：

1.随着自变量x的逐渐增加（大），因变量y逐渐增加（大）（或者用函数语言描述也可：因变量y随着自变量x的增加（大）而增加（大））；

2. 随着自变量x的逐渐增加（大），因变量y逐渐减小（或者用函数语言描述也可：因变量y随着自变量x的增加（大）而减小）

注意：如果在整个过程中事物的变化趋势不一样，可以采用分段描述.例如在什么范围内随着自变量x的逐渐增加（大），因变量y逐渐增加（大）等等.

知识点四：估计（或者估算）

对事物的估计（或者估算）有三种：

1.利用事物的变化规律进行估计（或者估算）.例如：自变量x每增加一定量，因变量y的变化情况；平均每次（年）的变化情况（平均每次的变化量=（尾数－首数）/次数或相差年数）等等；

2.利用图象：首先根据若干个对应组值，作出相应的图象，再在图象上找到对应的点对应的因变量y的值；

3.利用关系式：首先求出关系式，然后直接代入求值即可.

知识点五：两种图像的区别---平行于横轴的意义

1、v-t（速度与时间）

说明：线段OA

表示汽车正在加速行驶：

线段AB表示汽车正在匀速行驶，线段BC表示汽车正在减速行驶；线段CD表示汽车停止了行驶。

1、s-t（距离与时间）

说明：线段OA表示汽车正在离开出发地，线段AB表示汽车停止了行驶（V=0，S 不变）线段BC表示汽车正在返回出发地，线段CD表示汽车已经回到了出发地并停止了。（S=0，V=0）

注意：理解平行于横轴的线段的不同含义（在这段时间内因变量不变）、

知识点六：变化速度的比较

在相同时间内因变量变化速度的比较，哪一支图像更陡一些，这支图像代表的因变量的变化会更快一些。

1、增长速度

甲图像更陡，所以甲增长的更快。

2、下降速度

甲图像更陡，所以甲速度下降的更快。

【例题讲解】1.某校办工厂现在年产值是15万元，计划以后每年增加2万元.

（1）写出年产值y（万元）与年数x之间的关系式.

（2）用表格表示当x从0变化到6（每次增加1）y的对应值.

（3）求5年后的年产值.

2. 如图10，反映了小明从家到超市的时间与距离之间关系的一幅图.

（1）图中反映了哪两个变量之间的关系？⑵.超市离家多远？

（2）小明到达超市用了多少时间？⑸.小明往返花了多少时间？

（3）小明离家出发后20分钟到30分钟内可以在做什么？

（4）小明从家到超市时的平均速度是多少？返回时的平均速度是多少？

3.如图，它表示甲乙两人从同一个地点出发后的情况。到十点时，甲大约走了13千米。根据图象回答：

距离(米)

时间(分钟) o

900

5101530

202535404550

（1） 甲是几点钟出发？

（2） 乙是几点钟出发，到十点时，他大约走了多少千米？ （3） 到十点为止，哪个人的速度快？ （4） 两人最终在几点钟相遇？

（5） 你能将图象中得到信息，编个故事吗？

【随堂练习】 一、选择题

1. 下面的图表列出了一项试验的统计数据，表示将皮球从高处d 落下时，反弹

高度b 与下落高度d 的关系，则在下面的式子中能表示这种关系的是（ ）

d 50 80 100 150 b

25

40

50

75 A. b d =2

B. b=d

2

C. b d =+25

D. b d =-25

2. 已知皮球从空中落下时从地面弹起的高度y （米）与其下落的高度x （米）

存在一定的关系。下表是一组试验数据。下列能表示这种关系的是（ ） 下落的高度x （米） 50 100 150 200 弹起的高度y （米） 25

50

75 100

A. y=x 2

B. y=2x

C. y=x-25

D. y=1

2

x

3. 三峡大坝从6月1日开始下闸蓄水，如果平均每天流入库区的水量为am 3

，平均每天流出的水量控制为bm 3

，当蓄水水位低于135m 时，b a <；当蓄水水

位达到135m 时，b a =，设库区的蓄水量

y m ()3是随时间t （天）变化而变化的关系图像，那么这个图像大致是（ ）

4. 如图是反映两个变量关系的图,下列的四个情境比较合适该图的是( )

A.一杯热水放在桌子上,它的水温与时间的关系

B. 一辆汽车从起动到匀速行驶,速度与时间的关系

C. 一架飞机从起飞到降落的速度与时间的关系

D.踢出的足球的速度与时间的关系

5. 如图，射线l 甲、l 乙分别表示甲、乙两名运动员在自行车比赛中所走路程与

时间的关系，则他们行进的速度关系是（ ） A ．甲比乙快 B ．乙比甲快 C ．甲、乙同速

D ．不一定

6. 如图，下图是汽车行驶速度（千米／时） ，和时间（分）的关系图，下列

说法其中正确的个数为（ ）

（1）汽车行驶时间为40分钟；（2）AB 表示汽车匀速行驶；（3）在第30分

甲

乙

8:009:0011:00

10:0040302010

时间

路程（千米）