图论(Graph Theory)学习笔记3

图论学习笔记（3）
基本概念
图G中的结点u与v相邻接当且仅当它们在图H中的相应结点也邻接，则称图G与图H是同构的（isomorphic），记作G≈H，否则，称两者为非同构的（nonisomorphic）。

用函数描述同构：
图G与图H同构，即存在一个一一映射函数 f : V(G) →V(H)，此时，图G中任何结点对u和v邻接当且仅当f(v)和f(u)在图H中邻接。

函数f 称作从G到H的同构函数（isomorphic function）。

相关推论：
令函数 f : V(G) →V(H)为图G与图H的同构函数，那么，对任意结点u∈V(G),都有deg(u)=deg(v)，换句话说，如果两个图同构，则对应的结点有相同的度数。

设图G与H同构，同构函数为 f : V(G) →H(G)。

若在图G中，结点v1与v2间的测地线为v1,v2,v3,...,vk，则在图H中，f(v1),f(v2),f(v3),...,f(vk)是结点f(v1)与f(vk)间的测地线。

含n个结点的图G的度序列（degree sequence）是指按照节点度数排列的n-元非递增序列。

若一个非负整数的非递增序列S可以表示某个图的度序列，则称序列S是可绘的。

注：非递增序列可绘⇒图的结点度数之和是非负偶数。

相关算法：
可绘图度序列的判定算法
从序列S中删除第一个数k。

如果S的第一个数后的k个数都大于等于1，则将这k个数分别都减去1得到新序列S'；否则，停止，得出元序列不可绘图的结论。

若S'全是0，停止，得原序列为可绘图。

将步骤2得到的序列S'重新排序，得到非递增序列S*。

令S=S*，转不骤1。

图常量是指根据图的某个性质定义的函数，即同构图将具有相同的函数值。

注：
如果f 是图常量，而f(G) ≠f(H)，则图G于图H不同构。

用来说明图是否同构的一些量：
结点个数
连通分量个数
边数
度序列
具有给定唯一度数结点对间的测地线长度
图中的最长路
具有唯一度数结点的邻接点的度
基本定理
定理3.1 设S是由以上算法得到的序列，那么当且仅当S'是可绘图序列时，S是可绘图序列。