霍尔定理最大匹配

最大基数匹配

• 最大基数匹配问题是多项式时间可解的，这里仅讨论二分图的最大基数匹配问题.
• 对于图G的任意一个顶点的子集X，定义X的邻域N(X)为
与X中的点相邻接的所有点的全体. • 定理2：设G为二分图，顶点集分划为S,T，则G有饱和S 的每个顶点的匹配当且仅当对一切
X S ，有 | N ( X ) || X | .
最大基数匹配
• 给定一个图G=(V,E)，设M是E的一个子集，
如果M不含环且其中任意两边均不是邻接的，
则称M是G的一个匹配.
• 如果某顶点和M的一条边关联，则称其为M饱和点，否则称为M-非饱和点. 如果G的每
一点都是M-饱和点，则称M是G的完美匹配.
• 若M是G的边数最多的匹配，则称M是G的最大基数匹配. 完美匹配是最大基数匹配.
其中某个 y j 是M-非饱和点，转3；否则对所有 y j ，把与 y j 在M中配
对的顶点 xi 给予标号“j”和未检查，并把.从得到标号T中的M-非饱和点 y j 开始反向搜索，一直找到S中标号为“0”的M-非饱和点 xi 为止，得到G中M-增广路P，置M
( 0,0) (0,1)
2
1
v2 v1
v2 v1
(0,1) ( 0,0)
(10,1)(10 ,0)
5 5
(8,1) (8,0) (7,1) ( 7,0)
5
M P ( M P) \ ( M P)
，去掉M中所有
顶点标号，转2.
• 4.M是G的最大基数匹配，结束.
• 求下图所示二分图的最大基数匹配.
v5
v4
v10 v9 v8 v7 v6
v5
v4
v10 v9 v8 v7 v6

二部图匹配

一、人员安排问题－－完备匹配
设M和M’是E(G)的两个不交的非空真子集.G中 (M，M’)交错路是指其边在M和M‘中交错出现的路. (M, M )交错路简称为M交错路，其中 M =E(G)\M. 设M是G的匹配，两端点不同且都是非M饱和的M交错路称为M增广路.
(a)匹配M(粗边)
(b)增广路
3 2 w 2 0 1 5 2 4 1 2 5 0 4 1 1 4 2 1 0 3 1 2 0 0 3
二、最优安排问题－－最大权完备匹配
定理1 设l是G的可行顶点标号.若l等于子图 G l 有完备匹配M*，则M*是G最大权完备匹配。证明
二、最优安排问题－－最大权完备匹配
例2 继例1 完全2部图K5,5, X={x1,x2,…,x5}, Y={y1,y2,…,y5}. 边权矩阵为
3 2 w 2 0 1 5 2 4 1 2 5 0 4 1 1 4 2 1 0 3 1 2 0 0 3
D是完全图的定向图—竞赛图竞赛图一定含Hamilton有向路.则任何一个加工排序一定是D中一条 Hamilton有向路. 反之，D中任何一条Hamilton有向路对应一个加工排序.
例 (J2，J3，J4，J5，J1，J6)是D中一条Hamilton有向路(图中粗边所示).按这条Hamilton有向路的顺序安排加工的总耗时为5分钟.
一、人员安排问题－－完备匹配匈牙利算法 1.任取G的匹配M.若M饱和X，则停止.若M不能饱和X，则取X的非M饱和点x. 令S={x}，T=N(S)\T 2.若N(S)=T，则停止，此时G中无完备匹配. 若N(S) ≠T，则取y∈N (S)\T. 3.若y是M饱和的，则存在z ∈X\S 使yz ∈ M.用S∪ {z}替代S， T ∪{y} 替代T，并转入第2步.若y是非 M饱和的，则G中存在以x为起点且以y为终点的M 增广路P.然后用M’ △E(P)替代M并转入第1步.

图论二分图最大匹配算法

二分图最大匹配算法令G = （X,*,Y）是一个二分图，其中，X = {x1,x2,...xm}, Y = {y1,y2,...yn}。

令M为G中的任一个匹配。

1）讲X的所有不与M的边关联的顶点标上（@），并称所有的顶点为未被扫描的。

转到2）。

2）如果在上一步没有新的标记加到X的顶点上，则停止。

否则转到3）。

3）当存在X被标记但未被扫描的顶点时，选择一个被标记但未被扫描的X的顶点，比如，xi,用(xi)标记Y的所有顶点，这些顶点被不属于M且尚未标记的边连到xi .现在，顶点xi 是被扫描的。

如果不存在被标记但未被扫描的顶点，则转到4）。

4）如果在步骤3）没有新的标记被标到Y的顶点上，则停止。

否则，转到5）。

5）当存在Y被标记但未被扫描的顶点时，选择Y的一个被标记但未被扫描的顶点，比如yi，用(yi)标记X的顶点，这些顶点被属于M且尚未标记的边连到yi.现在，顶点yi是被扫描的。

如果不存在被标记但未被扫描的顶点，则转到2）。

也可以叙述为：[ZZ]匈牙利算法关键在于匈牙利算法的递归过程中有很多重复计算的节点，而且这种重复无法避免，他不能向动态规划一样找到一个“序”将递归改为递推。

算法中的几个术语说明：1。

二部图：如果图G=(V,E)的顶点集何V可分为两个集合X,Y，且满足X∪Y = V, X∩Y=Φ，则G称为二部图；图G的边集用E(G)表示，点集用V(G)表示。

2。

匹配：设M是E(G)的一个子集，如果M中任意两条边在G中均不邻接，则称M是G的一个匹配。

M中的—条边的两个端点叫做在M是配对的。

3。

饱和与非饱和：若匹配M的某条边与顶点v关联，则称M饱和顶点v，并且称v是M-饱和的，否则称v 是M-不饱和的。

4。

交互道：若M是二分图G＝(V,E)的一个匹配。

设从图G中的一个顶点到另一个顶点存在一条道路，这条道路是由属于M的边和不属于M的边交替出现组成的，则称这条道路为交互道。

5。

可增广道路：若一交互道的两端点为关于M非饱和顶点时，则称这条交互道是可增广道路。

29-匹配

匹配
离散数学第29
上一讲内容的回顾
图的平面嵌入平面图和非平面图平面图的必要条件：欧拉公式适用于简单图的欧拉公式推论平面图的充分必要条件-Kuratowski定理图着色平面图着色与四色定理
匹配
支配集点覆盖集与独立集边覆盖集匹配最大匹配和完美匹配二部图中的匹配 Hull定理
支配集与支配数
最小边覆盖与最大匹配的关系
证明W是最小边覆盖，M1是最大匹配．
W显然是边覆盖，所以 |W|≥α1。注意：|M|=β1, 又因为M是最大 ≥α 匹配，N中不可能有一条边的两个端点都是M-非饱和点，∴ |N|=n-2β1，∴|W|=|M|+|N|=n-β1。 β 而M1=W1-N1显然是匹配, |M1|≤β1。W1是最小边覆盖, 所以，构 ≤β 造 M1 时，每移去一条边，恰好产生一个 M1- 非饱和点。而 |W1|=α1, M1-非饱和点数为n-2|M1|，∴|N1|=|W1|-|M1|=n-2|M1|, 即 α1= n-|M1|。综上所述可得： α 1= n-|M1|≥n-β1=|W|≥α1, 于是： |W|=α1 且 ≥ β ≥α |M1|=β1，即W是G中的最小边覆盖，且M1是G中的最大匹配。
注意：极小支配集未必是最大独立集 (甚至未必是独立集)
极小支配集不是独立集
点覆盖与点覆盖数
点覆盖边
点覆盖数 α0=3
点覆盖数 α0=4
最小点覆盖极小点覆盖
点覆盖与点独立集的关系
设G是无孤立点的简单无向图，VG的真子集V*是点覆盖当且仅当V-V*是点独立集。证明：令V’=V-V* ∈ ⇒ 假设 V' 不是独立集，则存在 u,v∈V', 满足 uv∈EG, 注意：V‘=VG-V*, 即u,v∉V*, ∴uv边不可能被 V*所覆盖，矛盾。 ⇐ ∀e∈EG, 假设e=uv, 因为V‘是点独立集，u,v中至少有一个不在 V' 中，不妨设 u∉V', 则 u∈V*, ∴V* 是点覆盖。

霍尔(Hall)效应

霍尔效应霍尔效应[1]是磁电效应的一种，这一现象是美国物理学家霍尔（A.H.Hall，1855—193 8）于1879年在研究金属的导电机构时发现的。

当电流垂直于外磁场通过导体时，在导体的垂直于磁场和电流方向的两个端面之间会出现电势差，这一现象便是霍尔效应。

这个电势差也被叫做霍尔电势差。

霍尔效应的原理导体中的电荷在电场作用下沿电流方向运动，由于存在垂直于电流方向的磁场，电荷受到洛伦兹力，产生偏转，偏转的方向垂直于电流方向和磁场方向，而且正电荷和负电荷偏转的方向相反，这样就产生了电势差。

补充上面的人：正电荷与负电荷偏转的方向是相同的，只是因为导体中导电的是电子，所以只有电子偏转，才会有在两面有电压。

在半导体中，有两种载流子（空穴与自由电子），而它们的偏转方向是相同的，产生的电压也只是多数载流子与少数载流子之差，即表现了多数载流子的效果。

正是因为这样，所以才能利用霍尔效应来判断N、P型半导体。

霍尔效应的发展霍尔效应此后在测量、自动化、计算机和信息技术等领域得到了广泛的应用，比如测量磁场的高斯计。

在霍尔效应发现约100年后，德国物理学家克利青(Klaus von Klitzing,1943-)等在研究极低温度和强磁场中的半导体时发现了量子霍耳效应（运动电荷受到了磁场的作用力，从而运动方向发生偏转，这个力通常叫做洛伦兹力[1]，它为荷兰物理学家H.A.洛伦兹首先提出，故得名。

），这是当代凝聚态物理学令人惊异的进展之一，克利青为此获得了1985年的诺贝尔物理学奖。

之后，美籍华裔物理学家崔琦(Daniel Chee Tsui,1939-)和美国物理学家劳克林(Robert ughlin，1950-)、施特默(Horst L.St rmer，1949-)在更强磁场下研究量子霍尔效应时发现了分数量子霍尔效应，这个发现使人们对量子现象的认识更进一步，他们为此获得了1998年的诺贝尔物理学奖。

最近，复旦校友、斯坦福教授张首晟与母校合作开展了“量子自旋霍尔效应”的研究。

基本概念匹配最大匹配完美匹配

基本概念匹配最大匹配完美匹配在我们探讨各种关系和系统时，经常会遇到“匹配”这个概念。

它在不同的领域和情境中有着不同的含义和重要性。

今天，咱们就来好好聊聊“基本概念匹配”“最大匹配”和“完美匹配”这几个概念。

先来说说基本概念匹配。

这可以理解为最基础、最初步的一种匹配形式。

就好像我们要把不同形状的积木放进对应的洞里，形状对得上，那就算是基本匹配成功了。

在更广泛的层面上，比如在信息检索中，如果我们输入一个关键词，系统返回的结果中包含了这个关键词，这在某种程度上就实现了基本概念匹配。

又比如在人际交往中，两个人因为有共同的兴趣爱好而走到一起，这也可以看作是一种基本概念的匹配。

但这种匹配往往只是一个起点，相对比较简单和表面。

接下来是最大匹配。

想象一下有一堆任务和一群能够完成这些任务的人。

最大匹配就是要在有限的资源和条件下，让尽可能多的任务找到合适的执行者。

这可不是一件容易的事，需要综合考虑各种因素，比如任务的难度、时间要求，以及人员的技能、经验和可用时间等等。

在图论中，最大匹配是指在一个二分图中，选取最多的边，使得每条边的两个端点分别属于不同的集合，并且任意两条边都没有公共端点。

这种最大匹配的思想在很多实际问题中都有应用，比如资源分配、工作排班等。

通过找到最大匹配，我们可以尽可能地提高效率，充分利用现有的资源。

最后是完美匹配。

如果说最大匹配是追求数量上的最大化，那么完美匹配则更注重质量和完整性。

还是拿前面的任务和人员的例子来说，完美匹配不仅要让所有的任务都有合适的人来完成，还要让每个人都能充分发挥自己的能力，并且对分配的任务感到满意。

在图论中，完美匹配是指一个二分图中，每个顶点都恰好与另一个集合中的一个顶点相连。

这种完美的状态在现实中可能比较难以达到，但却是我们努力追求的理想目标。

比如在婚姻关系中，我们常说的“灵魂伴侣”或许就是一种完美匹配的象征，两个人在性格、价值观、生活目标等方面高度契合，相互支持，共同成长。

匹配与最大匹配.

推论 3.2.1（ k − 1）边连通偶数阶 k 正则图有完美匹配
证明：设 G 是命题中所述的 k 正则图。
当 k = 1 时，结论显然。以下假定 k ≥ 2 。设 S 是 G 的任一个非空顶点集， G1, G2 ,L, Gn 是 G \ S 的奇分支。令
ν i = V (Gi ), mi =| {e | e 是 Gi 与 S 之间的连边} | 。
并设 M1 在 C 的 ywL z 段中的边集为 M1′ ， M 2 在 C 的 ywL z 段中的边集为 M 2′ ，于是 M1′ U {yz} U (M 2 \ M 2′ )
是 G* 的完美匹配，又与 G* 的选择矛盾。
综合(1)、(2)两种情形，便证明了 G* \ U 的每个连通分支都是完全图。证毕。
A = {v |u 到 v 有 M * 交错路}。
由于 M * 是最大匹配，故由 Berge 定理， u 是 A 中唯一的 M * 非饱和点。令 S = AI X ，T = AIY 。
uS
X
M*的边
T Y
注意 S − {u} 中的顶点在 M * 下与T 中的顶点一一配对（因 u ∈ S ，且对 ∀t ∈ T ，u 与 t 有 M * 交错路 Pt 相连，而且 t 是 M * 饱和的，故交错路 Pt 上最后一条边必是 M * 的边，它将 S 中一个顶点与 t 配对。而且不同的 t 会有 S 中不同的顶点相配，否则会有两条 M * 的边关联到 S 中同一
由（*）式， O(G* \ U ) ≤ U ，即 G* − U 的奇分支个数最多是 U 。但这样一来， G* 就
有一个完美匹配：
G* \ U 的各奇分支中的一个顶点和U 的一个顶点配对；U 中余下的顶点以及 G* \ U 的各

匈牙利算法解决二分图最大匹配

匈⽛利算法解决⼆分图最⼤匹配预备知识匈⽛利算法是由匈⽛利数学家Edmonds于1965年提出，因⽽得名。

匈⽛利算法是基于Hall定理中充分性证明的思想，它是⼆分图匹配最常见的算法，该算法的核⼼就是寻找增⼴路径，它是⼀种⽤增⼴路径求⼆分图最⼤匹配的算法。

⼆分图⼆分图⼜称作⼆部图，是图论中的⼀种特殊模型。

设G=(V,E)是⼀个⽆向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的⼦集(A，B)，并且图中的每条边（i，j）所关联的两个顶点 i 和 j 分别属于这两个不同的顶点集(i in A，j in B)，则称图G为⼀个⼆分图。

匹配在图论中，⼀个图是⼀个匹配（或称独⽴边集）是指这个图之中，任意两条边都没有公共的顶点。

这时每个顶点都⾄多连出⼀条边，⽽每⼀条边都将⼀对顶点相匹配。

例如，图3、图4中红⾊的边就是图2的匹配。

图3中1、4、5、7为匹配点，其他顶点为⾮匹配点，1-5、4-7为匹配边，其他边为⾮匹配边。

最⼤匹配⼀个图所有匹配中，所含匹配边数最多的匹配，称为这个图的最⼤匹配。

图 4 是⼀个最⼤匹配，它包含 4 条匹配边。

任意图中，极⼤匹配的边数不少于最⼤匹配的边数的⼀半。

完美匹配如果⼀个图的某个匹配中，所有的顶点都是匹配点，那么它就是⼀个完美匹配。

显然，完美匹配⼀定是最⼤匹配，但并⾮每个图都存在完美匹配。

最⼤匹配数：最⼤匹配的匹配边的数⽬。

最⼩点覆盖数：选取最少的点，使任意⼀条边⾄少有⼀个端点被选择。

最⼤独⽴数：选取最多的点，使任意所选两点均不相连。

最⼩路径覆盖数：对于⼀个DAG（有向⽆环图），选取最少条路径，使得每个顶点属于且仅属于⼀条路径，路径长可以为0（即单个点）定理1：Konig定理——最⼤匹配数 = 最⼩点覆盖数定理2：最⼤匹配数 = 最⼤独⽴数定理3：最⼩路径覆盖数 = 顶点数 - 最⼤匹配数匈⽛利算法例⼦为了便于理解，选取了dalao博客⾥找妹⼦的例⼦：通过数代⼈的努⼒，你终于赶上了剩男剩⼥的⼤潮，假设你是⼀位光荣的新世纪媒⼈，在你的⼿上有N个剩男，M个剩⼥，每个⼈都可能对多名异性有好感（惊讶，-_-||暂时不考虑特殊的性取向）如果⼀对男⼥互有好感，那么你就可以把这⼀对撮合在⼀起，现在让我们⽆视掉所有的单相思（好忧伤的感觉，快哭了），你拥有的⼤概就是下⾯这样⼀张关系图，每⼀条连线都表⽰互有好感。

匹配最大根不大于2的图

匹配最大根不大于2的图
马海成;夏恒
【期刊名称】《吉林化工学院学报》
【年(卷),期】2001(018)002
【摘要】完全刻画了匹配最大根M(G)≤2的图G.设G是有n个点的图，G的一个匹配是指G的一个生成子图，它的每个分支或是孤立点或是孤立边.
【总页数】3页(P67-68，80)
【作者】马海成;夏恒
【作者单位】青海民族学院数学系,;青海民族学院数学系,
【正文语种】中文
【中图分类】O157.5
【相关文献】
1.求二部图的最大匹配图的一种算法 [J], 李晶;王世英
2.最大度不大于5的Halin-图的点强全染色 [J], 刘林忠;张忠辅
3.匹配数为2的单圈图最大匹配根排序 [J], 郭强
4.最大度不大于5的图的2距离列表染色 [J], 李禄佳;孙明皓;孙磊
5.具有完美匹配且直径不大于7的强优美树 [J], 陶海霞;姚兵;周向前
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hall 定理

hall 定理霍尔定理霍尔定理，此定理用在组合数学中，又称霍尔婚配定理，由飞利浦·霍尔于1935年证明。

定理简述霍尔定理：此定理使用于组合问题中；二部图G中的两部分顶点组成的集合分别为X, Y, ，，G中有一组无公共点的边，一端恰好为组成X的点的充分必要条件是：X中的任意k个点至少与Y中的k个点相邻。

（1≤k≤m)本论还有一个重要推论：二部图G中的两部分顶点组成的集合分别为X,Y, 若∣X∣=∣Y∣,且G中有一组无公共端点的边，一端恰好组成X中的点，一端恰好组成Y中的点，则称二部图G中存在完美匹配。

若图G的每个点度数为t，则称二部图G为t---正则的二部图存在完美匹配。

本定理是二分图匹配问题中匈牙利算法的基础。

定理详解设给定任意集合S和S的子集的任意有限系(1):子集系(1)的相异代表元的一个完全集[complete set of distinet representatives，简记为C.D.R.——这是霍尔的原始用语，后来的文献一般称为相异代表系(system of distinetrepresentatives)，简记为SDR]是指S的m个相异元素的一个集合: ，使得对于每个，有英国数学家霍尔(P.Hall，1904——1982)在1935年发表的“论子集的代表元中指出：“为使(1)存在一个C.D.R.，则下面的条件是充分的，即对每个，任意选取(1)的k个集合，其中都将包含至少k个S的元素.”由于此前霍尔已经指出该条件的必要性是显然的，因此他给出的实际上是一个充要条件。

至于以图论术语表述的霍尔定理，则可以在贝尔热的《图的理论及其应用》(1955)中找到原型：“(设G是一个具有二分部(X，Y)的二部图，R(A)表示时Y中与A的至少一个点相邻接的点的集合，)X能被匹配到y当且仅当对于所有的集合有。

” [1]霍尔定理有时也被人们称为“婚配定理”，因为它对于美国数学家哈尔莫斯(P.R.Halmos，1916一2006)和法乌甘(H.E.vaughan)在“婚配问题”(1950)一文中所表述的如下问题：“假设一批小伙儿中的每一位都与一定数目的姑娘相识，问在什么条件下每位小伙儿都能与他认识的一位姑娘结婚？”提供了解答，即必须要使任意一组任意一个小伙儿认识至少k个姑娘.因此霍尔定理的条件有时也被称为“婚配条件”.然而“婚配问题”的提法最早却出自德国数学家外尔(H.Weyl，1885一1955)的一篇文章。

hall婚配定理证明

hall婚配定理证明hall婚配定理是图论中非常重要的一条定理，它描述了在一个二分图中是否存在一个完美匹配的条件。

具体来说，对于一个二分图G=(A,B,E)，如果对于所有A的子集S，它所相应的邻居集合N(S)的大小都大于等于|S|，那么G一定存在一个完美匹配。

下面是hall婚配定理的证明：我们采用归纳法来证明hall婚配定理。

设二分图G=(A,B,E)，其中|A|=n，|B|=m，n<=m。

当n=1时，结论显然成立，因为此时|N(S)|>=1，即存在一个可匹配的点。

假设当|A|=k-1时，hall婚配定理成立。

现在考虑当|A|=k时的情况。

取A中的一个点a，将其从A中去掉得到子图G'=(A',B',E')，其中A'=A-{a}，B'=N(a)，E'为E中连接A'和B'的边的子集。

由于|A'|=k-1，根据归纳假设，G'中存在一个完美匹配M'。

我们需要证明，如果G中存在一个完美匹配，那么一定可以通过M'来扩展。

为了证明这一点，我们考虑两种情况：1. a在某个匹配边中如果这样，那么我们可以将这条匹配边加入到M'中，从而得到了一个完美匹配M。

2. a不在任何一个匹配边中如果这样，那么由于N(A')=N(A)-{a}，根据hall条件，|N(A')|>=|A'|=k-1。

因此，一定存在一个点b∈B'，满足b不在M'中与N(b)中的点匹配。

我们可以将b与a匹配，从而得到了一个完美匹配M。

由此，我们证明了hall婚配定理在所有情况下都成立。

基本概念匹配最大匹配完美匹配 - 组合最优化.

令
，
。我们不妨先假设
是一个顶点覆盖。那显
然与
中的每个顶点相关联。既然是一个匹配，所以中不存在两端点都在
中的边。因为，给定一个被匹配的顶点
，设
为匹配边，那么由
的构建可知一定也在。
剩下的问题就是来证明
中，从而中每条边至少与
中的一个端点相交。综上，
是顶点覆盖。假设不是，那么必存在一条以
和
为两端点的边
□
要在一般图中找一条可增广路，我们可以修改一下二部图中的算法，使之可以发现花。发现了，就对其进行收缩，然后在新的图上重新开始。在新图上找到的任意增广路都可以很容易的对应到原图中的增广路，而且，由上面的引理可知，如果在新图中匹配是最大的，那么原图中对应的匹配也是最大的。
下面是算法的正式描述。令为图的一个匹配，为未被匹配顶点的一个子集（如果每个顶点都是被匹配的，那么这个匹配就是最大匹配），我们要构造一个森林，使中的每一个顶点在一个连通分支上。像以前那样交替的增加未匹配边和匹配边来扩展。那么被添加到中的的边与的距离为奇数。而且，与距离为奇数的顶点度数为 2（一条未匹配边，一条匹配边），我们把这样的顶点称为内顶点，而其余的称外顶点。中所有的顶点都是外顶点。
是 M 和 P 的对称差，记为
容易证也是一个匹配，而且所含边数比 M 多一条。
这样的交错路 P 称为一条可增广路。上述分析就产生了下面的“算法”。
匹配算法：
{ 1、从任意匹配开始。 2、找当前匹配的一条可增广路。 3、增广当前匹配。 4、尽可能地重复上面两步。
} 算法终止的时候，得到一个没有可增广路的匹配们此时一定是最大匹配。
完美匹配。如果 A 等于 0 或 1，显然结论成立。下面分两种情况考虑：

二部图中的匹配

Department of Computer Science and Technology, Nanjing University
稳定匹配（稳定的婚姻）
Example. Given men x, y, z, w, women a, b, c, d, and preferences listed below, the matching {xa, yb, zd, wc} is a stable matching.
据归纳假设,存在V1-A’到V2-B’的完备匹配. 合并上述两个匹配得到一个V1到V2的完备匹配. 得证
June. 2016
9
Department of Computer Science and Technology, Nanjing University
Hall定理的推论
设二部图G是一个k-正则的(k 1), 则G有完美匹配. 证明. 不妨设G = < A, B, E>, k|A| =k|B| , 所以|A| =|B|. 下证G有A到B的完备匹配. 对任一S A，S与N(S)之间总共有k|S| 条边，而与 N(S)相关的边总共有k|N(S)| 条边。
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Department of Computer Science and Technology, Nanjing University
稳定匹配（稳定的婚姻）
思路
男子向尚未拒绝他的最喜爱的女子求婚. 女子接受目前为止最如意的求婚提议，但是，倘若有更如意的求婚者，会改变主意。
June. 2016
18
June. 2016
13
Department of Computer Science and Technology, Nanjing University

python 最大匹配算法

python 最大匹配算法最大匹配算法是一种常用的中文分词算法，也被广泛应用于自然语言处理领域。

它的主要思想是从待分词的文本中寻找最长的词语，然后将其切分出来，再对剩余的文本进行同样的操作，直到所有的词语都被切分出来。

在中文分词中，最大匹配算法是一种基于词典的分词方法。

它通过比较待分词文本与词典中的词语，从而找到最长的匹配词语。

这种算法认为，较长的词语往往比较常见，因此能够提高分词的准确性。

最大匹配算法有两种常见的实现方式：正向最大匹配和逆向最大匹配。

正向最大匹配从待分词文本的左边开始，逐步向右匹配词语；逆向最大匹配则从待分词文本的右边开始，逐步向左匹配词语。

两种方式都会得到一个切分结果，我们可以根据一些标准进行评估和选择最佳的结果。

最大匹配算法的一个关键问题是词典的选择和构建。

一个好的词典应该覆盖尽可能多的常见词语，并且能够及时更新和维护。

常见的词典包括人工构建的词典、网络爬取的词典以及基于机器学习的词典等。

在实际应用中，最大匹配算法的性能和效果受到多种因素的影响。

首先，词典的质量和规模对算法的分词效果有很大影响。

其次，算法的匹配策略和优化方法也会对分词结果产生影响。

此外，一些特定的领域和文本类型可能需要针对性的优化和调整。

除了最大匹配算法，还有一些其他的中文分词算法，如正向最大匹配算法、逆向最大匹配算法、双向最大匹配算法、最短路径分词算法等。

每种算法都有其优缺点，适用于不同的场景和需求。

最大匹配算法作为一种简单而有效的中文分词方法，被广泛应用于各个领域的自然语言处理任务中，如机器翻译、信息检索、文本分类等。

它可以帮助我们更好地理解和处理中文文本，提高自然语言处理的效果和准确性。

最大匹配算法是一种常用的中文分词算法，通过寻找最长的匹配词语来实现分词。

它具有简单、高效的特点，并且在自然语言处理领域得到了广泛的应用。

通过合理选择词典和优化算法，我们可以获得更好的分词结果，提高文本处理的准确性和效果。

霍尔配级公式

霍尔配级公式1. 霍尔效应简介霍尔效应，也称为霍尔发现或霍尔效应发现，是研究电流在半导体或金属中流动时，可以通过椭圆形金属板产生一个横向电场的现象。

这是科学家爱德华·霍尔于1879年首次描述的。

霍尔效应可以用于测量材料的电导率、电子浓度、磁场强度等。

2. 霍尔配级公式的推导霍尔效应可以由下面的方程式表示：电功率P = UH*I其中，UH是跨越在两侧的霍尔电势，I是通过板的电流。

根据欧姆定律，电流I和电势差U之间具有线性关系：I = sigma * (UH / d)其中，sigma是材料的电导率，d是金属板的厚度。

如果我们通过磁场进行测量（在垂直于板的方向上），则可以使用下面的磁场方程：F = q * (v x B)其中，F是力，q是电荷，v是电荷的速度，B是磁场强度。

如果考虑到已知电导率和霍尔电势，则我们可以将电场与Lorentz 力相平衡：F = E * q = q * (VH / d) = q * (I / sigma d)现在我们可以对该方程进行求解。

我们知道，电流I = neAvd，其中n是电子浓度，e是电子电荷，A是板面积，vd是电子的漂移速度。

将上式代入我们得到：VH = B * (ne / sigma)这也就是霍尔配级公式。

3. 霍尔配级公式的应用霍尔配级公式可以应用于半导体设备制造，其中材料的电导率非常关键。

该公式使我们能够计算由于磁场引起的电势差，而不必进行直接的电流测量。

该公式也用于测量材料的电子浓度。

通过使用霍尔电势和已知的磁场强度，可以计算材料的电子浓度。

使用霍尔配级公式，可以将电子浓度计算为：n = B / (e * VH * R)其中，e是电子电荷，VH是霍尔电势，R是电阻。

4. 霍尔效应的局限性虽然霍尔效应在材料科学中具有很多实际应用，但它也存在一些限制。

例如，霍尔电压的计算通常需要测量非常小的电压（通常在毫伏级别以下）。

由于噪声的存在，这使得测量和精确计算变得困难。

828 霍尔定理

霍尔定理Hall's Theorem霍尔（Philip Hall）曾研究二部图中的匹配，并于1935年提出了著名的“霍尔婚配定理（Hall's marriage theorem）”，或简称“霍尔定理（Hall's theorem）”设G=(X, Y, E) 为二部图，G中存在饱和X 中每个结点的匹配M（即|M| = |X| ）当且仅当对任何非空集合S⊆X，|N(S)| ≥ |S|G该条件表示任意子集S都有足够多的相邻顶点定理设G = (X, Y, E) 为二部图，G中存在饱和X中每个顶点的匹配M当且仅当对任何非空集合S⊆X，|N G(S)| ≥ |S|证明（必要性）假设存在匹配M⊆E饱和X中每个结点，则|N G(S)|≥|N(X, Y, M)(S)|=|S|定理设G=(X, Y, E) 为二部图，G中存在饱和X 中每个顶点的匹配M当且仅当对任何非空集合S⊆X，|N(S)| ≥ |S|G证明（充分性）假设M是一个最大匹配，且存在M-非饱和顶点x∈X({x})|=0<1=|{x}|，如果x是孤立顶点，则|NG与条件矛盾否则，考虑所有从x开始的交错道路，记Y中所有x可以通过这些道路到达的顶点为集合T，记X中所有x可以通过这些道路到达的顶点为集合W（包括x本身）x由于所有从x开始的极长的（即不能再延长了）交错道路的终点都不能是Y中M-非饱和顶点（否则将产生M-可增广道路，与M是最大匹配矛盾），所以T中顶点都是M-饱和顶点x记R为从x开始的所有交错道路的边形成的集合，则R∩M中的边构成了W-{x} 和T中顶点的一一对应，|W-{x}|=|T |T ⊆N G(W)x下面证明 N G (W ) = T如果存在 y ∈N G (W )-T ，那么存在 z ∈W ，使得 zy ∈E 。

z 或者就是 x 本身；或者是 W -{x } 中元素，于是为 M -饱和顶点，因此 zy ∉M于是或者 x 就是 z ；或者 x 可以通过某条交错道路到达 z ，再经过边 zy 可以到达 y ，与 y ∉T 矛盾 x W T y z|W|=|W-{x}|+1>|W-{x}|=|T|=|N G(W)| 与条件产生矛盾x推论1设G=(X, Y, E)为二部图，若存在正整数k，使得对任意x∈X，有deg(x)≥k，对任意y∈Y，有deg(y)≤k，则G中存在饱和X中每个顶点的匹配证明假设非空集合S⊆X，则S中顶点关联的边至少k|S|条(S)中的顶点关联而这些边都与NG由于Y中顶点度数都不超过k，因此|N(S)|≥k|S|/k=|S|G所以存在饱和X中每个顶点的匹配推论2对任意正整数k，k-正则二部图中必定存在饱和X中每个顶点的匹配霍尔定理例如果一次集体相亲活动中有n个男孩和n个女孩，任意k名男孩在一起认识的女孩至少有k人（1≤k≤n），则一定可以安排得当，使每位都有认识的人约会——而这也是“婚配定理”得名由来11E nd。