图论 第3章 连通度、匹配

第三章连通度、匹配⎧

⎪

⎨

⎪⎩

顶点连通度和边连通度门格尔定理

匹配、霍尔定理

本章的特点：（1）理论深；（2）本科基本用不上（计算机体系结构上用到一点），只有研究生才能用上；（3）只介绍这个领域最基本的概念和一些有用的结果。

一个图是否是连通的，这是图的一个重要性质。

内容：本章首先引入图的顶点连通度和边连通度，由此可以比较两个图中哪个“更加连通”；

接着讨论了它们的一些简单性质；

然后讨论偶图的匹配问题。

第一节顶点连通度和边连通度

χγ

χλδ

⎧

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪⎩

动机和目的

顶点连通度（G)、边连通度（G)（G)、（G)、（G)关系

n-顶点连通、n-边连通

1.1 动机和目的

一个图是否是连通的，是图的一个重要性质。于是，我们就想来刻画两个图“连通程度”的大小，但是刻画两个图“连通程度”的大小方法很多，我们只介绍两个常用的方法：顶点连通度和边连通度

例：树的每个度大于1的顶点都是割点。一个具有割点的连通图，当去掉这个割点时，就产生了一个不连通图。对于一个没有割点的连通图，必须去掉多于一个顶点才有可能得到一个不连通图。于是，具有割点的连通图较之没有割点的连通图的“连通程度”要低。

类似地，树的每条边的都是桥。有桥的连通图，当去掉桥时，就产生了一个不连通图。对于无桥的连通图，要想去掉一些边得到不连通图，至少要去掉两条才有可能得到不连通图。从去掉边来获得不连通图的角度看，有桥的连通图较之无桥的连通图的“连通程度”要低。特别是，一个非平凡树是一个有最少边连通图。

图的顶点和边，在不同应用中有不同意义。在通讯网络中，通讯站是顶点，通讯线路是边。它们的失灵势必危机系统的通讯。所以，网络图的“连通程度”越高，通讯网络越可靠。

这种直观的想法，启发我们建立以下的严格概念：

1.2 顶点连通度（连通度）

定义1 设G=(V，E)是一个无向图，要想从G中得到一个不连通图或平凡图所需要从G

中去掉的最少顶点数称为G 的顶点连通度，简称连通度。记为)(G χχ=。

说明：（1）对这个定义我们需要说明的是，希望每个图都有顶点连通度。但对完全图

Kp ，不论去掉哪些顶点，都不会得到不连通图，当去掉p-1个顶点时得到K 1-平凡图。为了使这样的连通图也有顶点连通度，所以在定义中加入了“为得到平凡图所需要去掉的顶点的最少数”这一条件。

（2）对于特殊的图顶点连通度是知道的。

K1-平凡图0)(1=K χ； 有割点的图1)(=G χ；

不连通的图0)(=G χ； 完全图K p )2(≥p 1)(-=p K p χ。

推论1：若G 连通，则1)(≥G χ；若1)(≥G χ，则G 连通或是非平凡图。

定义2设G=(V ，E)是一个无向图，要想从G 中得到一个不连通图或平凡图所需要从G 中去掉的最少边数称为G 的边连通度，简称连通度。记为)(G λλ=。

对于特殊的图边连通度是知道的。

0)(1=K λ；当p ≥1时，1)(-=p K p λ；

非平凡树T 1)(=T λ；有桥的图1)(=T λ。

说明：（1）对于连通图来说，边连通度就是割集中最小的那个。

（2）对于一个图来说，割集--可以有多个，但边连通度--却只有一个。

（3）对于非平凡图来说，割集--永远也不能为零（空集），但边连通度--在图不连通时却是零。

（4）连通度与割集的联系和区别？---自己综合。

1.3 顶点连通度)(G χ、边连通度)(G λ、最小度)(G δ之间有以下的关系：

定理1 对任一图G ，有

)()()(G G G δλχ≤≤

证 先证λ(G)≤δ(G)，若δ(G)=0，则G 不连通，从而λ(G)=0。所以，这时λ(G)≤δ(G)；若δ(G)>0，不妨设degu =δ(G)，从G 中去掉与v 关联的δ(G)条边后，得到的图中v 是弧立顶点。所以，这时λ(G)≤δ(G)。因此，对任何图G 有λ(G)≤δ(G)。

其次，证明对任何图G 有χ(G)≤λ(G)。若G 是不连通的或平凡图，则显然有

χ(G)≤λ(G)=0；

今设G是连通的且非平凡的。若G有桥x，则去掉x的某个端点就得到一个不连通图或平凡图，从而χ(G)=1=λ(G)。所以，这时有χ(G)≤λ(G)；若G没有桥，则λ(G)≥2。于是，从G中去掉某些λ(G)边得到一个不连通图。这时从G中去掉这λ(G)条边的每一条的某个端点后，至少去掉了这λ(G)条边。于是，产生了一个不连通图或平凡图，从而χ(G)≤λ(G)。因此，对任何G，χ(G)≤λ(G)。

定理2 对任何整数a，b，c，0≤a≤b≤c，存在一个图G使得

(λ,c

G=

)

)

(δ。

G=

G=

a

(χ,b

)

证若a=b=c，则图G=K a+1就是所要求的图。

若a=b

a条边

K c+1 K c+1

a-1条边

(b)

图1

若a

若a

说明：定理2的结果表明，不对图G加任何限制，定理1的结论不能再改进了。但当对图G再加上某些限制，例如，当δ(G)充分大时，我们能证明λ(G)=δ(G)。为此，先证明