图论 第3章 连通度、匹配

第三章连通度、匹配⎧⎪⎨⎪⎩顶点连通度和边连通度门格尔定理匹配、霍尔定理本章的特点：（1）理论深；（2）本科基本用不上（计算机体系结构上用到一点），只有研究生才能用上；（3）只介绍这个领域最基本的概念和一些有用的结果。

一个图是否是连通的，这是图的一个重要性质。

内容：本章首先引入图的顶点连通度和边连通度，由此可以比较两个图中哪个“更加连通”；接着讨论了它们的一些简单性质；然后讨论偶图的匹配问题。

第一节顶点连通度和边连通度χγχλδ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩动机和目的顶点连通度（G)、边连通度（G)（G)、（G)、（G)关系n-顶点连通、n-边连通1.1 动机和目的一个图是否是连通的，是图的一个重要性质。

于是，我们就想来刻画两个图“连通程度”的大小，但是刻画两个图“连通程度”的大小方法很多，我们只介绍两个常用的方法：顶点连通度和边连通度例：树的每个度大于1的顶点都是割点。

一个具有割点的连通图，当去掉这个割点时，就产生了一个不连通图。

对于一个没有割点的连通图，必须去掉多于一个顶点才有可能得到一个不连通图。

于是，具有割点的连通图较之没有割点的连通图的“连通程度”要低。

类似地，树的每条边的都是桥。

有桥的连通图，当去掉桥时，就产生了一个不连通图。

对于无桥的连通图，要想去掉一些边得到不连通图，至少要去掉两条才有可能得到不连通图。

从去掉边来获得不连通图的角度看，有桥的连通图较之无桥的连通图的“连通程度”要低。

特别是，一个非平凡树是一个有最少边连通图。

图的顶点和边，在不同应用中有不同意义。

在通讯网络中，通讯站是顶点，通讯线路是边。

它们的失灵势必危机系统的通讯。

所以，网络图的“连通程度”越高，通讯网络越可靠。

这种直观的想法，启发我们建立以下的严格概念：1.2 顶点连通度（连通度）定义1 设G=(V，E)是一个无向图，要想从G中得到一个不连通图或平凡图所需要从G中去掉的最少顶点数称为G 的顶点连通度，简称连通度。

记为)(G χχ=。

说明：（1）对这个定义我们需要说明的是，希望每个图都有顶点连通度。

但对完全图Kp ，不论去掉哪些顶点，都不会得到不连通图，当去掉p-1个顶点时得到K 1-平凡图。

为了使这样的连通图也有顶点连通度，所以在定义中加入了“为得到平凡图所需要去掉的顶点的最少数”这一条件。

（2）对于特殊的图顶点连通度是知道的。

K1-平凡图0)(1=K χ； 有割点的图1)(=G χ；不连通的图0)(=G χ； 完全图K p )2(≥p 1)(-=p K p χ。

推论1：若G 连通，则1)(≥G χ；若1)(≥G χ，则G 连通或是非平凡图。

定义2设G=(V ，E)是一个无向图，要想从G 中得到一个不连通图或平凡图所需要从G 中去掉的最少边数称为G 的边连通度，简称连通度。

记为)(G λλ=。

对于特殊的图边连通度是知道的。

0)(1=K λ；当p ≥1时，1)(-=p K p λ；非平凡树T 1)(=T λ；有桥的图1)(=T λ。

说明：（1）对于连通图来说，边连通度就是割集中最小的那个。

（2）对于一个图来说，割集--可以有多个，但边连通度--却只有一个。

（3）对于非平凡图来说，割集--永远也不能为零（空集），但边连通度--在图不连通时却是零。

（4）连通度与割集的联系和区别？---自己综合。

1.3 顶点连通度)(G χ、边连通度)(G λ、最小度)(G δ之间有以下的关系：定理1 对任一图G ，有)()()(G G G δλχ≤≤证 先证λ(G)≤δ(G)，若δ(G)=0，则G 不连通，从而λ(G)=0。

所以，这时λ(G)≤δ(G)；若δ(G)>0，不妨设degu =δ(G)，从G 中去掉与v 关联的δ(G)条边后，得到的图中v 是弧立顶点。

所以，这时λ(G)≤δ(G)。

因此，对任何图G 有λ(G)≤δ(G)。

其次，证明对任何图G 有χ(G)≤λ(G)。

若G 是不连通的或平凡图，则显然有χ(G)≤λ(G)=0；今设G是连通的且非平凡的。

若G有桥x，则去掉x的某个端点就得到一个不连通图或平凡图，从而χ(G)=1=λ(G)。

所以，这时有χ(G)≤λ(G)；若G没有桥，则λ(G)≥2。

于是，从G中去掉某些λ(G)边得到一个不连通图。

这时从G中去掉这λ(G)条边的每一条的某个端点后，至少去掉了这λ(G)条边。

于是，产生了一个不连通图或平凡图，从而χ(G)≤λ(G)。

因此，对任何G，χ(G)≤λ(G)。

定理2 对任何整数a，b，c，0≤a≤b≤c，存在一个图G使得(λ,cG=))(δ。

G=G=a(χ,b)证若a=b=c，则图G=K a+1就是所要求的图。

若a=b<c，则所要求的图G的图解为图1(a)所示。

a条边K c+1 K c+1a-1条边(b)图1若a<b=c，则G=2K b-a+1+K a就是所要求的图。

其中G的图解是这样画出的：把完全图K b-a+1的图解在平面上画两次，再画出K a图解，然后在K a的每个顶点与K b-a+1的每个顶点间联一条边而得到的图。

若a<b<c，则所要的图G的图解见图1 (b)。

因为显然有：λ(G)=a，λ(G)=b，δ(G)=c。

说明：定理2的结果表明，不对图G加任何限制，定理1的结论不能再改进了。

但当对图G再加上某些限制，例如，当δ(G)充分大时，我们能证明λ(G)=δ(G)。

为此，先证明下面的引理：引理1 设G=(V ，E)是一个图且λ(G)>0，则存在V 的真子集A ，使得G 中联结A 中的一个顶点与V\A 中一个顶点的边的总数恰为λ(G).证 因为λ(G)>0，所以G 中有λ(G)条边，把它们去掉后得到一个恰有两个支的不连通图。

令其中一个支的顶点集为A ，则A 是V 的一个真子集。

由于λ(G)>0，那些被去掉的每一条边，其一个端点在A 中，另一个端点在V\A 。

这些边当然为λ(G)条。

定理3 设G=(V ，E)有p 个顶点且δ(G)≥[p/2]，则λ(G)=δ(G)。

证 因为δ(G)≥[P/2]，所以G 是连通的。

由定理3.1.1知，λ(G)≤δ(G)。

于是只要证明δ(G)≤λ(G)即可。

由于G 是连通的，所以λ(G)>0。

由引理3.1.1，存在V 的真子集A 使得G 中联结A 中的一个顶点与V\A 中的一个顶点的边恰有λ(G)条。

设|A|=m ，则G 中两个端点均属于A 的边的条数至少为(m δ(G)-λ(G))/2于是，假如λ(G)<δ(G)，则(m δ(G)-λ(G))/2>(m δ(G)-δ(G))/2=δ(G)(m-1)/2若m ≤δ(G)，则(m δ(G)-λ(G))/2>m(m-1)/2。

这是不可能的，所以δ(G)<m ，于是m≥δ(G)+1≥[p/2]+1≥(p+1)/2。

同理可证|V\A|=p-m≥(p+1)/2。

因此，|V |>p ，矛盾。

所以，λ(G)≥δ(G)。

于是，λ(G)=δ(G)。

定理4 设G 是一个(p ，q)图，则(1 )若q<p-1，则χ(G)=0；(2 )若q ≥p-1，则χ(G)≤[2q/p]证(1)若q<p-1，则G 不连通，故 χ(G)=0。

(1) 若q ≥p-1，则有握手定理可知：∑∈=Vv q v 2deg ，故q G p 2)(=δ，于是[]p q G /2)(≤δ。

由定理1便得到[]p q G G /2)()(≤≤δχ。

1.4 n-顶点连通、n-边连通定义3 设G 是一个图，则若)(G χ≥n ，则称G 是n-顶点连通的，简称n-连通；若)(G ≥n ，则称G 是n-边连通的。

显然，图G 是1-连通的，当且仅当是连通的。

定理5 设G =(V ，E)是p 个顶点的图，p ≥3，则G 是2-连通图，当且仅当G 的任两个不同顶点在G 的同一个回路上。

证 <=设G 的任意两个顶点在G 的同一个回路上，则G 是一个没有割点的连通图，所以G 是2-连通的。

=>设G 是2-连通的，u 和v 是G 的两个不同顶点。

施归纳于u 与v 的距离d(u ，v)来证明u 与v 在一个回路上。

当d(u ，v)=1，由于χ(G)≥2，所以uv 不是桥。

由定理2.3.3，边uv 必在G 的某个回路上，所以u 与v 在G 的某个回路上。

假设对d(u ，v)〈k 的任意两个不同顶点u 和v ，u 与v 必在G 的某个回路上。

今设 d(u ，v)=k ，往证u 和v 在G 的某个回路上。

考虑G 中u 与v 间的一条长为k 的路P ：uv 1v 2 …v k-1v 。

显然d(u ，v k-1)=k-1。

由归纳假设u 与v k-1在G 的某个回路上。

于是，u 与v k-1间有两条没有内部公共顶点(即除u 与v k-1外)的两条路W ，Q 。

由于χ(G)≥ 2，所以G 无割点，从而G-v k-1是连通图。

于是，G-v k-1中有u 到v 的路S 。

u 是W ，Q ，S 的公共顶点。

设w 是S 上从u 到v 且在Q 或W 上的最后一个顶点(见图3.1.2)。

不妨设w 在Q 上，则在G 中就有含u 与v 的回路：Q 上的u 与w 间一段后接S 上w 与v 间的那段，然后是边v k-1v ，最后是W 。

定理6 图G =(V ，E)是n-边连通的充分必要条件是不存在V 的真子集A ，使得G 的联结A 的一个顶点与V\A 的一个顶点的边的总数小于n 。

证 =>设G 是n-边连通的，则χ(G)≥n 。

若存在V 的真子集A ，使得G 的联结A 的一个顶点与V\A 的一个顶点的边的总数j<n ，则去掉这j 条边便得到一个不连通图，所以，λ(G)≤j 。

这与 χ(G)≥n 相矛盾。

因此，V 的这样的真子集A 是不存在的。

<=若λ(G)<n ，则由引理3.1.1，存在V 的真子集A ，使得G 的联结A 的一个顶点与V\A的一个顶点的总数为λ(G)<n ，这与假设不存在V 的这样真子集A 相矛盾。

所以， λ(G)≥n 。

第二节门格尔定理⎧⎨⎩顶点、边不相交路门格尔定理凭直观觉得，刻画连通图的“连通程度”，应该与图中任两个不同顶点的路的条数有关。

1927年，门格尔证明了一个图的连通度与联结图中两个不同顶点不相交路的条数有关。

2.1 顶点、边不相交路定义1设u与v是图G的两个不同顶点，则（1）若两条联结u和v的路，除了u与v外没有公共顶点，则称此两条路是联结u和v的不相交路。

（2）若联结u和v的两条路上没有公共边，则称这两条路是联结u和v的边不相交路。

定义2 设G=(V，E)是一个图，S⊆V，F⊆E，则（1）若u和v分别在G-S的两个不同支中，则称图G的顶点集S分离G的两个不邻接的顶点u和v。

（2）若u和v分在G-F的两个不同支中，则称图G的边集F分离G的两个不同顶点u 和v。