2014年数学一轮复习试题_两角和与差及二倍角公式

第十八讲 两角和与差及二倍角公式

一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)

1．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝45

3，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是( ) A ．－235 B.235 C ．－45 D.45

解析：∵cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝453∴32cos α＋32sin α＝453，3⎝⎛⎭⎫12cos α＋32sin α＝45

3， 3⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝453，∴sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝45，∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋76π＝－sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝－45

. 答案：C

2．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫56π＋α－sin 2⎝⎛⎭

⎫α－π6的值是( ) A.2＋33 B ．－2＋33 C.2－33 D.－2＋33

解析：∵cos ⎝⎛⎭⎫56π＋α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33

. 而sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝1－13＝23，所以原式＝－33－23＝－2＋33

. 答案：B

3．若sin α＝55，sin β＝1010

，且α、β为锐角，则α＋β的值为( ) A ．－π4 B.π4 C ．±π4 D.π3

解析：解法一：依题意有cos α＝1－⎝⎛⎭⎫552＝255，cos β＝1－⎝⎛⎭⎫10102＝31010， ∴cos(α＋β)＝255×31010－55×1010＝22

＞0. ∵α，β都是锐角，∴0＜α＋β＜π，∴α＋β＝π4

. 解法二：∵α，β都是锐角，且sin α＝55＜22，sin β＝1010＜22， ∴0＜α，β＜π4，0＜α＋β＜π2

，∴cos α＝1－⎝⎛⎭⎫552＝255， cos β＝

1－⎝⎛⎭⎫10102＝31010，sin(α＋β)＝55×31010＋1010×255＝22.∴α＋β＝π4. 答案：B

4．在△ABC 中，若cos A ＝45，cos B ＝513

，则cos C 的值是( ) A.1665 B.5665 C.1665或5665 D ．－1665

解析：在△ABC 中，0＜A ＜π，0＜B ＜π，cos A ＝45＞0，cos B ＝513＞0，得0＜A ＜π2

，0＜B ＜π2，从而sin A ＝35，sin B ＝1213

，所以cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝sin A ·sin B －cos A ·cos B ＝35×1213－45×513＝1665，故选A. 答案：A

5．若cos2θ＋cos θ＝0，则sin2θ＋sin θ的值等于( )

A ．0

B ．±3

C ．0或 3

D ．0或±3

解析：由cos2θ＋cos θ＝0得2cos 2θ－1＋cos θ＝0，所以cos θ＝－1或12

.当cos θ＝－1时，有sin θ＝0；当co s θ＝12时，有sin θ＝±32

.于是sin2θ＋sin θ＝sin θ(2cos θ＋1)＝0或3或－ 3. 答案：D

评析：本题主要考查三角函数的基本运算，同角三角函数关系式以及倍角公式．解题关键是熟练掌握公式，并注意不能出现丢解错误．

6．(2011·海口质检)在△ABC 中，已知sin(A －B )cos B ＋cos(A －B )sin B ≥1，则△ABC 是( )

A ．直角三角形

B ．锐角三角形

C ．钝角三角形

D ．等边三角形

解析：sin(A －B )cos B ＋cos(A －B )sin B ＝sin[(A －B )＋B ]＝sin A ≥1，又sin A ≤1，∴sin A ＝1，A ＝90°，故△ABC 为直角三角形．

答案：A

二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)

7.2cos10°－sin20°sin70°

的值是________． 解析：原式＝2cos(30°－20°)－sin20°sin70°＝2(cos30°·cos20°＋sin30°·sin20°)－sin20°sin70°＝3cos20°cos20°

＝3.

答案： 3

8．已知cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1213，α∈⎝⎛⎭⎫0，π4则cos2αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α(α∈⎝⎛⎭⎫0，π4)＝________. 解析：∵cos2αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos 2α－sin 2α22(sin α＋cos α)＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)22

(sin α＋cos α)＝2(cos α－sin α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－α.

又α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，则π4－α∈⎝⎛⎭⎫0，π4.由cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1213，则sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝513.∴原式＝1013

. 答案：1013

9．(1＋3tan10°)·co s40°＝________.

解析：(1＋3tan10°)cos40°＝⎝⎛⎭

⎫1＋3sin10°cos10°cos40°＝3sin10°＋cos10°cos10°·cos40° ＝2sin(10°＋30°)cos10°·c os40°＝2sin40°cos40°cos10°＝sin80°cos10°

＝1. 答案：1

10．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则角α＝________.

解析：依题意有cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，即cos α(cos β＋sin β)＝sin α(sin β＋

cos β)．∵α、β均为锐角 ∴sin β＋cos β≠0，必有cos α＝sin α∴α＝π4

. 答案：π4

三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)

11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点．已知A 、B 的横坐标分别为210，255

.

(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．

解：由已知得cos α＝

210，cos β＝255.∵α，β为锐角， ∴sin α＝1－cos 2α＝7210，sin β＝1－cos 2β＝55.∴tan α＝7，tan β＝12

. (1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝7＋121－7×12

＝－3. (2)∵tan2β＝2tan β1－tan 2β＝2×121－⎝⎛⎭

⎫122＝43，∴tan(α＋2β)＝tan α＋tan2β1－tan α·tan2β＝7＋431－7×43＝－1.