4.2表上作业法
表上作业法
调整：找到新的调运方案
方法：闭回路法
➢闭回路法
基本思想：确定换入、换出变量。在闭回路上 采用“奇加偶减”调整运量xij，闭回路以外xij
不变。
方法要点：
换入变量：最小负检验数对应的非基变量； 换出变量：以换入变量为起点找到相应的闭回路，回路 上其它顶点为基变量，偶数顶点上最小的xij所对应的基变 量就是换出变量，这个最小的xij的值就是调整量； 调整方法：闭回路上，奇数顶点上xij加上调整量，偶数顶 点上xij减去调整量；闭回路以外的点对应的xij不变。
产地 销 地 B 1
A1
-4
2
3
A2
13
A3
78
销量
3
B2 95
3 -1
43
8
B3 3 10 1 4
24 4
B4
产量
7 41 9
2 25 5
35
7
6
产地
销地
A1 A2 A3 销量
B1
23
1
8
3
B2 95 3
43
8
B3 10 4 24 4
B4
71
25
5
6
产量 9 5 7
4.2 表上作业法
▪算法思想
与单纯形法一样，最优解在基本可行解中产生。 但基于模型的特征，初始基本可行解是通过分析单位运价表， 首先满足局部最优，然后通过调整（迭代）使整体达到最优。
-------单纯形法的简化方法
▪算法流程及要点
初始调运方案
检验数ij0 ? N
Y 最优解
调整：找到新的调运方案
B3 3 10 24
24 4
4-02运输问题表上作业法
用最小元素法确定例3-2初始调运方案
调 销地
运 量
B1
B2
B3
产量
产地
100 90
70 100 100 200 100
A1
X11
X12
X13
80 150 65 100 75 250 100
A2
X21
X22
X23
100
150
200
销量
100 450
得到初始调运方案为： x11=100，x13=100，x22=150，x23=100
量为该闭回路的顶点；其中 i1 , i2 ,, is 互不
相同, j1 , j2 ,, js 互不相同。
例 设m=3，n=4，决策变量xij表示从产地Ai 到销地Bj的调运量，列表如下，给出闭回路
{x11, x13 , x33 , x34 , x24 , x21} 在表中的表示法——
用折线连接起来的顶点变量。
最小元素法实施步骤口诀
《运价表》上找最小，《平衡表》上定产销； 满足销量划去“列”，修改“行产”要记
牢； （满足产量划去“行”，修改“列销”要记 牢） 划去列(行)对《运价》， 修改“行产(列销)”在《产销》； 余表再来找最小，方案很快就找到。
用西北角法确定例3-2初始调运方案
调 销地
运 量
B1
（3-6）
位势法计算非基变量xij检验数的公式
σij=cij-（ui+vj）
（3-8）
思考：试解释位势变量的含义（提示：写出运输问 题的对偶问题）
四、方案调整
当至少有一个非基变量的检验数是负值时， 说明作业表上当前的调运方案不是最优的，应 进行调整。
若检验数σij小于零，则首先在作业表上以xij 为起始变量作出闭回路，并求出调整量ε：
第7章运输问题表上作业法
表4-14
甲 乙丙
A
3
11
3
B
1
9
2
C
7
4
10
两最小元素之差
25 1
丁
产量（ai）
7
4
9
6
丁
两最小元素之差
10
0
8
1
5
2
3
表4-15 甲
A
B
C 销量（bj）
表4-16
3 甲
A
3
B
1
C
7
两最小元素之差 2
乙
丙
6
6
5
乙
丙
丁
11
3
10
9
2
8
4
10
5
1
2
丁
产量（ai）
7
4
3
9
6
两最小元素之差
0 1
表4-17
最小运价之差值（行差值hi，列差值kj），优 先取最大差值的行或列中最小的格来确定 运输关系，直到求出初始方案。
8.伏格尔法
伏格尔法的基本步骤：
1.计算每行、列两个最小运价的差；
2.找出最大差所在的行或列；
3.找出该行或列的最小运价，确定供求关系，最大量的 供应 ；
4.划掉已满足要求的行或 (和) 列，如果需要同时划去行 和列，必须要在该行或列的任意位置填个“0”；
6
产量（ai）
7 4 9
表4-29
甲
A B C 销量（bj）
表4-30
11 = 1 3（-1） （+7）
3
甲
A
11 = 1
B
3
C
表上作业法演示课件
把第 i 季度生产的柴油机数目看作第 i 个生产厂的产量；把第 j 季 度交货的柴油机数目看作第 j 个销售点的销量；设cij是第i季度生 产的第j季度交货的每台柴油机的实际成本，应该等于该季度单位 成本加上储存、维护等费用。可构造下列产销平衡问题：
运输问题的应用
Page 19
解： 设 xij为第 i 季度生产的第 j 季度交货的柴油机数目，那 么应满足：
运输问题的应用
Page 17
3. 生产与储存问题
例3.5 某厂按合同规定须于当年每个季度末分别提供10、15、25、 20台同一规格的柴油机。已知该厂各季度的生产能力及生产每台 柴油机的成本如右表。如果生产出来的柴油机当季不交货，每台 每积压一个季度需储存、维护等费用0.15万元。试求在完成合同 的情况下，使该厂全年生产总费用为最小的决策方案。
3
11
3 5 10
1
9
2
8
7
4
10
5
表上作业法
B1 B2 B3 B4
A1
5
A2
×
A3
×
2
5
1
3
Page 9
7 1 1
表上作业法
B1 B2 B3 B4
A1
×
5
A2
3
×
A3
×
×
2
5
3
Page 10
7 7 1
表上作业法
Page 11
B1 B2 B3 B4
A1
×
×
5
2
1
A2
3
×
×
1
1
A3
×
6
×
3
1
5
管理运筹学 第七章 运输问题之表上作业法
最优解的判断与调整
最优解的判断
比较目标函数值，如果当前基础可行解 的目标函数值最优，则该解为最优解。
VS
最优解的调整
如果当前基础可行解不是最优解，需要对 其进行调整。通过比较不同运输路线的运 输费用，对运输量进行优化分配，以降低 总运输费用。
最优解的验证与
要点一
最优解的验证
对求得的最优解进行检验，确保其满足所有约束条件且目 标函数值最优。
01
将智能优化算法（如遗传算法、模拟退火算法等）与表上作业
法相结合，以提高求解效率和精度。
发展混合算法
02
结合多种算法的优势，发展混合算法以处理更复杂的运输问题。
拓展应用范围
03
在保持简单易行的基础上，拓展表上作业法的应用范围，使其
能够处理更多类型的运筹问题。
THANKS FOR WATCHING
果达到最优解，则确定最优解；如果未达到最优解，则确定次优解。
表上作业法的应用范围
总结词
表上作业法适用于解决供销平衡的运输问题，即供应量和需求量相等的情况。
详细描述
表上作业法适用于解决供销平衡的运输问题，即供应量和需求量相等的情况。在这种情况下，可以通过在运输表 格上填入数字来求解最小运输成本。此外，表上作业法还可以用于解决其他类型的线性规划问题，如资源分配问 题、生产计划问题等。
03 表上作业法的求解过程
初始基础可行解的求解
确定初始基础可行解
根据已知的发货地和收货地的供需关系，以及运输能力限制，通 过试算和调整，求得初始的基础可行解。
初始解的检验
检查初始解是否满足非负约束条件，即所有出发地到收货地的运输 量不能为负数。
初始解的调整
如果初始解不满足非负约束条件，需要对运输量进行调整，直到满 足所有约束条件。
表上作业法
第三章 运输问题主要内容 运输问题的模型、算法 讲授重点 运输问题的模型、算法 讲授方式讲授式、启发式第一节 运输问题及其数学模型一、运输问题的数学模型设某种物品有m 个产地A 1,A 2,…,A m ，各产地的产量分别是a 1,a 2,…,a m ；有n 个销地B l ,B 2,…,B n ,各销地的销量分别为b l ,b 2,…,b n 。
假定从产地A i (i ＝1,2,…,m)向销地B j (j ＝1,2,…,n)运输单位物品的运价是c ij ，问怎样调运这些物品才能使总运费最小?这是由多个产地供应多个销地的单品种物品运输问题。
为直观清楚起见，可列出该出该问题的运输表，如表3-1所示。
设ij表示从A i 运往B j 的物品数量，ij表示从A i 运往B j 的单位物品的运价。
则对于平衡运输问题（∑∑===nj jm i i ba 11），其数学模型的一般形式可表示为：∑∑===n j mi ijij x c s 11min()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==≥====∑∑==n j m i x n j b x m i a x ij j m i ij inj ij ,2,1;,2,10,,2,1,,2,111 (3.1)二、运输问题数学模型的特点对于平衡运输问题(∑∑===nj jm i iba 11)，可以证明其有如下两个特点： (1)矩阵A 的秩R(A)＝m+n-1。
(2)问题必有最优解，而且当ji b a ,皆为整数时，其最优解必为整数最优解。
第二节 表上作业法求解运输问题一、给出运输问题的初始可行解（初始调运方案） 1、最小元素法 解题步骤：⑴在运价表中找到最小运价c 1k ； ⑵将的A L 产品给B k ；①若a L>b k，则将a L改写为a L-b k，划掉b k，同时将运价表中K列的运价划掉；②若a L<b k，则将a L改写为b k-a L，划掉a L，同时将运价表中L列的运价划掉。
第二节运输问题求解表上作业法
即从 Ai 向 Bj 运最大量(使行或列在 允许的范围内尽量饱和，即使一个约 束方程得以满足),填入 xij 的相应位 置； (2) 从 ai 或 bj 中分别减去 xij 的值，即调整 Ai 的拥有量及 Bj 的需 求量；
3
(3) 若 ai = 0 ，则划去对应的行（把 拥有的量全部运走），若 bj = 0 则划去 对应的列（把需要的量全部运来），且每 次只划去一行或一列（即每次要去掉且只 去掉一个约束）；
—表上作业法
我们已经介绍过，可以通过增加虚 设产地或销地（加、减松弛变量）把问 题转换成产销平衡问题。
1.产量大于销量的情况
考虑 si > dj 的运输问题，得到的数学模 型为
i=1 j=1
39
m
n
2.运输问题求解
—表上作业法
Min f =
n m i=1 j=1
n
cij xij
s.t. xij si i = 1,2,…,m
10
应用西北角法、最小元素法和 Vogel法，每次填完数，都只划去一 行或一列，只有最后一个元例外（同 时划去一行和一列）。当填上一个数 后行、列同时饱和时，也应任意划去 一行（列），在保留的列（行）中没 被划去的格内标一个0。
11
表1
12
13
14
15
16
二、基本可行解的最优性检验
最优性检验就是检查所得到的方 案是不是最优方案。 检查的方法----计算检验数 由于目标要求极小，因此，当所 有的检验数都大于或等于零时该调运 方案就是最优方案；否则就不是最优， 需要进行调整。
第二节 运输问题求解 —表上作业法
运输问题的方法 —— 表上作业法： 1、确定一个初始基本可行解； 2 、根据最优性判别准则来检查这 个基本可行解是不是最优的。如果 是则计算结束；如果不是，则至3 3、换基，直至求出最优解为止。
表上作业法
第三章 运输问题的解法运输问题是一类特殊的线性规划问题，最早是从物质调运工作中提出的，后来又有许多其它问题也归结到这一类问题中。
正是由于它的特殊结构，我们不是采用线性规划的单纯方法求解，而是根据单纯形方法的基本原理结合运输问题的具体特性须用表上作业的方法求解。
§1 运输问题的数学模型及其特性1.1 运输问题的数学模型设有 个地点（称为产地或发地） 的某种物资调至 个地点（称为销地或收地），各个发点需要调出的物资量分别为个单位，各个收点需要调进的物资量分别为 个单位。
已知每个发点到每个收点的物资每单位运价为 ，现问如何调运，才能使总的运费最小。
我们把它列在一张表上（称为运价表）。
设 表示从产地运往销地的运价（ =1，2，…， ； =1，2，…， ）。
表3-1如果（总发量）（总收量），我们有如下线性规划问题：m mA A A ,,,21 n nB B B ,,,21 ma a a ,,,21 nb b b ,,,21 iA jB ijc ijx iA jB i m jn（3.1）（3.1）式称为产销平衡运输问题的数学模型。
当（总发量）（总收量）时。
即当产大于销（）时，其数学模型为（3.2）当销大于产（）时，其数学模型为（3.3）因为产销不平衡的运输问题可以转化为产销平衡的运输问题。
所以我们先讨论产销平衡的运输问题的求解。
运输问题有个未知量,个约束方程。
例如当≈40,=70时（3.1）式就有2800个未知量，110个方程,若用前面的单纯形法求解，计算工作量是相当大的。
我们必须寻找特殊解法。
1.2 运输问题的特性∑∑===m i nj ijij x c z 11min ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥====∑∑==),,2,1;,2,1(0),,2,1(),,2,1(11n j m i x n j b x m I a x ij j mi ij i nj ij ∑∑==≠nj jm i i ba 11∑∑==>nj jm i i ba 11∑∑===mi nj ijij x c z 11min ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥===≤∑∑==),,2,1;,2,1(0),,2,1(),,2,1(11n j m i x n j b x m I a x ij j mi ij i nj ij ∑∑==<nj jm i i ba 11∑∑===m i nj ijij x c z 11min ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥=≤==∑∑==),,2,1;,2,1(0),,2,1(),,2,1(11n j m i x n j b x m I a x ij j mi ij i nj ij mn n m +m n由于运输问题也是线性规划问题，根据线性规划的一般原理，如果它的最优解存在，一定可以在基可行解中找到。
表上作业法与图上作业法
第一节 表上作业法
三、确定初始基本可行解 1、西北角法 2、最小元素法 3、伏格尔法（vogel）
最小元素法
方法：列出供需平衡表和运价表。按运价表 依次挑选运费小的供需点尽量优先安排供应。 （安排供应后划去运价表中不起作用的运价 并标注，再在剩余未划去的运价中选取最小 的数值安排供应，以此类推。）
思考题
已知运输问题的产销平衡表、单位运价表，求 最优调运方案。并求（1）从A2到B2的单位运 价C22在什么范围变化时，上述最优调运方案 不变？（2）A2到B4的单位运价C24变为何值 时，有多解，至少再写出其它一个解。
销地
Cij 产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1 A2 A3 销量
10 12 2 50
运价 煤矿
电厂
B1
3 4
B2
5 2
煤产量
5000 11000
A1 A2
A3
需求量
6
10000
9
14000
8000
例4
用表上作业法求下表给出的运输问题的最优解， 并求最低运费为多少。
运价 销地
产地
甲
10 16
乙
6 10
丙
7 5
丁
12 9
1 2
产量 （ t） 400
900
3
销量 （ t）
5
500
4
B2
B3
400 100
B4
300
供应量 （ t） 700
400
300 600
900
伏格尔法（vogel）
1、计算出各行和各列的最小运费和次小运费 的差额； 2、从行和列差额中选出最 大 （选：大或小） 者，选择它所在行或列中的最小元素，满足 需要； 3、对未划去的再重复前两步，直到解出初始 方案为止。
汉谷学习方法之二：表上作业法
汉谷学习方法之二：表上作业法
将汉字分解为字母后，需要确定每个字母所对应的数字代码（简称数码），我们才能按照汉谷输入规则，在电脑或手机的数字键盘上输入汉字。
最简单的方法是：准备一张汉字字母表（可从网上下载），将汉字的每个字母与汉字字母表上的所列字母相对照，从汉字字母表上找到相同字母，该字母所在列标示的数字，即是该字母的数码。
例如：
按照国家语言文字规范，提归为横，点归为捺。
在汉字字母表两画字母中，仅标示了横、竖、撇、捺。
如果两画字母中含有提或点，需将其对应为横
或捺，再按上述方法进行作业。
例如：
表上作业法只是初学者入门的一根拐棍，经过多次作业后，汉字字母表已经烂熟于心，您就完全可以甩掉这根拐棍。
很熟练后，只要一看到字母，您根本用不着思考，脑子里条件反射式地跳出相应数码。
到那时，汉谷输入法好似您与生俱来的本能，时刻为您所用，永远不会忘记。
管理运筹学运输问题之表上作业法课件
扩展适用范围
进一步扩展表上作业法的适用范 围，使其能够处理更多类型的运 输问题，包括带有特殊约束条件 的运输问题。
引入现代信息技术
利用现代信息技术，如大数据和 云计算等，提高表上作业法的计 算效率和精度，以满足实际应用 的需求。
THANKS
感谢您的观看
的优化配置。
应用实例二：农产品运输问题
总结词
多约束优化问题
详细描述
农产品运输问题需要考虑时间、保鲜度、运 输量等多种约束条件，要求在满足需求的前 提下，实现运输成本和损耗的最小化。表上 作业法可以通过多目标优化算法，综合考虑 各种约束条件，制定最优的农产品运输方案
。
应用实例三：城市物流配送问题
要点一
在迭代过程中，需要有一个判断准则来确定何时停止迭代并输出最优解。常用的判断准则包括最大最 小准则和最小最大准则。
迭代求解
根据判断准则，通过不断调整运输方案，使目标函数（通常是总运输费用最小）逐渐逼近最优解。在 每次迭代中，需要检查运输方案的可行性，并更新基可行解。
终止阶段：确定最优解并输出结果
确定最优解
03
表上作业法原理
表上作业法的定义与步骤
在此添加您的文本17字
定义：表上作业法是一种求解运输问题的线性规划方法， 通过在运输表上逐行计算和调整，最终找到最优解。
在此添加您的文本16字
步骤
在此添加您的文本16字
1. 建立初始运输方案；
在此添加您的文本16字
2. 检查运输方案的可行性；
在此添加您的文本16字
确定单位运输成本
根据运输距离、运输方式等因素确定单位运输成本。
建立数学模型
根据供求关系、运输能力限制等因素建立线性规划模型。
表上作业法
精品课程《运筹学》
.
一、初始基本可行解的确定
根据上面的讨论，要求得运输问 题的初始基本可行解，必须保证找 到 m + n – 1 个不构成闭回路的基 变量。
一般的方法步骤如下：
精品课程《运筹学》
.
(1)在运输问题求解作业数据表中任选一个单 元格 xij ( Ai 行 Bj 列交叉位置上的格),令
mn
考虑 i=1si >j=1dj 的运输问题，得到的数学模 型为
精品课程《运筹学》
.
min
mn
f = cij xij
i=1 j=1
n
s.t. xij si i = 1,2,…,m
j=1
m
xij =dj j = 1,2,…,n
i=1
xij≥0(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)
精品课程《运筹学》
(3)若 ai = 0，则划去对应的行（已经把拥有 的量全部运走），若 bj = 0 则划去对应的 列（已经把需要的量全部运来），且每次 只划去一行或一列（即每次要去掉且只去 掉一个约束）；
精品课程《运筹学》
.
(4)当最终的运输量选定时，其所在行、列 同时满足，此时要同时划去一行和一列。 这样，运输平衡表中所有的行与列均被划 去，则得到了一个初始基本可行解。
x32 = 6, x34 = 3, 其余 xij = 0 ;
最优值：
精品课程f《*运=筹3学×》5+10×2+1×3+.8×1+4×6+5×3 = 85
四、产销不平衡问题的处理
在实际中遇到的运输问题常常不是产销
平衡的，而是下列的一般运输问题模型
min
mn
f
表上作业法
ai
m
bj
j 1
n
而在单位运价表中从各产地到假想销地的单位运为 c 转化成一个产销平衡的运输问题
' i , n 1
0 ，就
此时数学模型为：
所以这是一个产销平衡的运输问题。
2.当销大于产时，
可以在产销平衡表中增加一个假想的产地 i=m+1，该地产量为
j 1 i 1 在单位运价表上令从该假想产地到各销地的运价， ' cm 1, j 0 同样可以转化为一个产销平衡的运输问题.。
问该公司应如何调运产品，在满足各销点的需 要量的前提下，使总运费为最少。
P2
求解（P2）： 1.给出初始调运方案
在此介绍两种方法来确定初始方案
（1）最小元素法 方法的基本思想是按单位运价的大小决定供应 的先后，优先满足单价运价最小者的供销要求
2. 伏格尔法（Vogel法）
• 最小元素法的缺点是：为了节省一处的费用，有时造 成在其他处要多花几倍的运费。 • 伏格尔法考虑到，一产地的产品假如不能按最小运费 就近供应，就考虑次小运费，这就有一个差额。差额 越大，说明不能按最小运费调运时，运费增加越多。 因而对差额最大处，就应当采用最小运费调运。
3.若存在非基变量的检验数为零，则说明最优方案不唯一。
4.确定引入变量后，对其闭回路上各顶点的运量作尽 可能多的调整，使其中某个数字格的运量变为0，这 个格对应的变量就是退出变量。
4.当同时有几个变量为0时，就发生退化，选取其中一 个为退出变量，其余的需在对应格中填入0，以保持填 有数字的格的个数为m+n-1个。
( P 4) min z cij xij
i 1 j 1 m n
n xij ai , j 1 m s.t. xij b j , i 1 xij 0
用表上作业法求解指派问题的方法
用表上作业法求解指派问题的方法用表上作业法是解决指派问题的一种常见方法。
指派问题是一类优化问题，通过在有限资源和有限任务之间进行最佳匹配来实现最优解。
这种问题通常出现在任务分配、作业安排和人员调度等领域。
首先，表上作业法需要将指派问题转化为一个二维表格。
表格的行代表任务，列代表资源或人员。
在表格中，每个格子的值表示分配该任务给对应资源的成本、权重或距离。
接着，表上作业法通过一系列迭代的步骤逐渐优化问题的解。
第一步是初始化表格。
此时，每个格子的值可以是问题的初始状态，或根据问题的特定需求设置。
接着，表上作业法进入第一阶段迭代。
在这个过程中，表格的每一行以及每一列都需要进行相应的处理。
首先，从第一行开始，寻找该行中的最小值。
然后，将该行的每个格子的值减去对应行的最小值。
接下来，进行列的处理，寻找每列中的最小值，并将对应列的每个格子的值减去列的最小值。
接着，表上作业法进入第二阶段迭代。
在这个过程中，表格的每一行以及每一列都需要进行处理。
首先，对于每行，在该行中找出最小值，然后将该行的每个值减去最小值。
接下来，进行列的处理，找出每列中的最小值，并将每个格子的值减去列的最小值。
然后，表上作业法继续进行，直到表格中没有未处理的行和列。
在没有未处理的行和列之后，通过连接所有被指派的任务-资源对，得到最终的指派结果。
表上作业法的优点之一是它能够快速寻找最优解，并且在每次迭代过程中不会改变初始问题的最小化或最大化目标。
另外，该方法可以应用于具有任意数量任务和资源的指派问题，并且可以灵活地处理各种约束条件。
然而，需要注意的是，表上作业法只能找到局部最优解，而不能保证找到全局最优解。
因此，在具体问题中应用该方法时，需要根据问题的需求和约束条件进行一定的调整和优化。
总之，表上作业法是一种常见且有效的方法来求解指派问题。
通过将问题转化为一个二维表格，并通过一系列迭代的步骤逐渐优化问题的解，可以找到最优的任务-资源指派结果。
表上作业法
2 表上作业法表上作业法的思想和单纯形法类似，即首先确定一个初始方案，也就是找出一个基可行解，然后根据判别准则来检查这个初始方案是不是最优的，如果不是最优的，那么对该方案进行调整，直至求出最优方案止。
下面介绍它的计算步骤。
2.1 确定初始调运方案确定初始调运方案的方法很多，我们介绍两种：最小元素法和西北角法。
1.最小元素法这个方法的基本思想是就近供应，即从运价表中最小运价开始确定调运量，然后次小，一直到给出初始调运方案为止。
具体操作方法如下：1°找出运价表中最小元素，确定，若，则令，划掉运价表的第L行；反之，若，则令，划掉运价表的第K列。
2°在运价表剩余元素中重复1°，直至运价表中元素全被划掉止。
例1 某糖果公司下设三个工厂，每日产量分别为：A1—7吨，A2—4吨，A3—9吨。
该公司将这些产品运往四个门市部，各门市部每日销售量为：B1—3吨， B2—6吨， B3—5吨， B4—6吨。
各工厂到各门市部的单位运价见表3-1，试确定总运费最省的调运方案。
表3-1 单位运价表解：先用最小元素法确定初始调运方案。
画出产销平衡表：表3-2用最小元素法所得初始调运方案如表3-2红字所示。
称产销平衡表中填有数字的格为数字格，没填数字的格称为空格。
由最小元素法可知，在产销平衡表上每填一个数字，就划去一个行或列，表中共有m行n列，用m+n-1条线就可划去运价表所有元素，相应地在产销平衡表上就形成m+n-1个数字格。
前面已经论证了运输问题的约束系数矩阵A的秩恰为m+n-1，理论上可以证明，这些数字格所所对应的变量相当于基变量，而空格对应的变量相当于非基变量，用最小元素法得到的初始调运方案构成一个基可行解。
特别要注意的是：当最小运价对应的产量与销量相等时，在产销平衡表填上时，产销平衡表的第L行和第K列同时得到满足，为了保证基变量个数为m+n-1个，除了在表上填外，必须在表的第L行或第K列某空格（相应运价未被划掉）处填一个“0”，然后同时划去运价表的第L行与第K 列。
土石方调配-表上作业法
土石方调配--表上作业法一、土方调配原理土方调配是场地平整施工设计的一个重要内容。
土方调配的目的是在使土方总运输量最小或土方运输成本最小的条件下，确定填挖方区土方的调配方向和数量，从而达到缩短工期和降低成本的目的。
（一）土方调配区的划分，平均运距和土方施工单价的确定1、调配区的划分原则进行土方调配时，首先要划分调配区。
划分调配区应注意下列几点：（1）调配区的划分应该与工程建（构）筑物的平面位置相协调，并考虑它们的开工顺序、工程的分期施工顺序；（2）调配区的大小应该满足土方施工主导机械（铲运机、挖土机等）的技术要求；（3）调配区的范围应该和土方工程量计算用的方格网协调，通常可由若干方格组成一个调配区；（4）当土方运距较大或场地范围内土方不平衡时，可根据附近地形，考虑就近取土或就近弃土，这时一个取土区或弃土区都可作为一个独立的调配区。
2、平均运距的确定调配区的大小和位置确定之后，便可计算各填、挖方调配区之间的平均运距。
当用铲运机或推土机平土时，挖土调配区和填方调配区土方重心之间的距离，通常就是该填、挖方调配区之间的平均运距。
当填、挖方调配区之伺距离较远，采用汽车、自行式铲运机或其他运土工具沿工地道路或规定线路运土时，其运距应按实际情况进行计算。
3、土方施工单价的确定如果采用汽车或其他专用运土工具运土时，调配区之间的运土单价，可根据预算定额确定。
当采用多种机械施工时，确定土方的施工单价就比较复杂，因为不仅是单机核算问题，还要考虑运、填配套机械的施工单价，确定一个综合单价。
（二）用“线性规划”方法进行土方调配时的数学模型表是土方平衡与施工运距（单价）表。
此表格说明了整个场地划分为个挖方区，，…，，其挖方量应为，，…，；有个填方区，，，…，，其填方量相应为，，…，；用表示由挖方区到填方区的土方调配数，由填挖方平衡，即：（1-1-6）若从到的价格系数（平均运距，或单位土方运价、或单位土方施工费用）为，一般地，从到的价格系数为，于是土方调配问题可以用下列数学模型表达：求一组的值、使目标函数：（1-l-7）为最小值，并满足下列约束条件：（=1，2，…，）（=1，2，…，）据约束条件知道，未知量有X个，而方程数为+个。
4.2表上作业法解析
A1
A2 A3 销量
（ +1） 3
（-1） 1 7
4 3 （-1） 3 10
（+1） 2
7
4
3 6
1
8 5 6
10 5
3
9
§4.2 表上作业法
Page 22
可见调整的方案使运费增加 (+1)×3+(-1)×3+(+1)×2+(-1)×１=1(元)，“1”这个数这 就是(A1，B1)的检验数。 故检验数为闭回路上奇数顶点的运价之和减去 偶数顶点的运价之和。
§4.2 表上作业法
4.2.3 改进的方法-----闭回路调整法（基变换） 确定换入基的变量
Page 25
当在表中空格处出现负检验数时，表明未得最优解。 若有两个和两个以上的负检验数时，一般选其中最小的负检 验数，以它对应的空格为调入格。即以它对应的非基变量为 换入量。 确定换出基的变量 以进基变量xik为起点的闭回路中，标有负号的最小运量作 为调整量θ，θ对应的基变量为出基变量，并打上“×”以 示换出作为非基变量。
元素差额法对最小元素法进行了改进，考虑到产地到销地 的最小运价和次小运价之间的差额，如果差额很大，就选最小 运价先调运，否则会增加总运费。例如下面两种运输方案。
最小元素法： 8 2 总运费=10×8+5×2+15×1=105 15
10 5
5 1
15
10 20
15
§4.2 表上作业法
后一种方案考虑到C11与C21之间的 8 差额是8－2=6，如果不先调运x21， 2 15 就有可能x11≠0，这样会使总运费 增加较大，从而先调运x21，再是x22， 15 其次是x12 总运费=10×5+15×2+5×1=85
表上作业法课后试题答案
表上作业法课后试题答案一、选择题1. 表上作业法是一种（）。
A. 统计分析方法B. 预测技术C. 决策工具D. 质量管理手段答案：D2. 表上作业法最早应用于（）。
A. 制造业B. 服务业C. 农业D. 建筑业答案：A3. 在表上作业法中，数据的收集和记录是通过（）来完成的。
A. 检查表B. 流程图C. 散点图D. 控制图答案：A4. 表上作业法的主要目的是（）。
A. 提高生产效率B. 降低成本C. 优化产品质量D. 所有以上选项答案：D5. 表上作业法中的“五原则”包括（）。
A. 明确目标B. 量化分析C. 标准化操作D. 持续改进答案：ABCD二、填空题1. 表上作业法是一种通过________和________来实现质量控制的方法。
答案：检查表、控制图2. 在表上作业法中，数据的分析和解释需要依据________来进行。
答案：标准化流程3. 表上作业法强调的是在________中发现问题，并在________中解决问题。
答案：计划阶段、实施阶段4. 表上作业法的实施可以有效地提高工作效率，减少________的发生。
答案：不良品5. 表上作业法的“五原则”是质量管理中的一种________方法。
答案：基础性三、简答题1. 请简述表上作业法的基本原理和应用范围。
答：表上作业法是一种通过标准化检查表和控制图等工具来监控和改进生产过程的方法。
它适用于各种生产和服务领域，主要用于质量控制和过程改进，通过收集和分析数据来识别问题、分析原因，并采取相应的改进措施。
2. 表上作业法中的“五原则”具体包括哪些内容？答：表上作业法的“五原则”包括明确目标、量化分析、标准化操作、持续改进和团队合作。
明确目标是指在实施表上作业前要明确改进的目标和方向；量化分析是指通过收集数据并进行量化分析来理解问题的本质；标准化操作是指制定标准操作流程以确保一致性和可预测性；持续改进是指不断地对流程进行优化和改进；团队合作是指鼓励团队成员共同参与和贡献，以实现整体目标。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A1
A2 A3 销量
（ +1） 3
（-1） 1 7
4 3 （-1） 3 10
（+1） 2
7
4
3 6
1
8 5 6
10 5
3
9
§4.2 表上作业法
Page 22
可见调整的方案使运费增加 (+1)×3+(-1)×3+(+1)×2+(-1)×１=1(元)，“1”这个数这 就是(A1，B1)的检验数。 故检验数为闭回路上奇数顶点的运价之和减去 偶数顶点的运价之和。
§4.2 表上作业法
其中Pik,Plk,Pls,Pus,Puj∈B。这些向量构成了闭回路。
Page 20
Puj Plk Pij
Pus Pls
Pik
§4.2 表上作业法
Page 21
闭回路法计算检验数的经济解释：在已给出初始解的表 中，可从任一空格如(A1，B1)出发，若A1的产品调运1吨给 B1。为了保持产销平衡，就要依次调整：(A1，B3)处减少1 吨，(A2，B3)处增加1吨，(A2，B1)处减少1吨，即构成了以 空格为起点，其他为数字格的闭回路。 B1 B2 11 9 4 3 6 B3 B4 产量
§4.2 表上作业法
Page 24
B1 A1
B2
（ 1） 3
B3
（ 2） （ 1）
B4
4 1
Ui
3 （-1） 3 10
3
1
11
9
3
2
10
8 5
0 -1 -5
A2
A3 Vj
（10）
7
2
4
9
6
10
（12） 3
当存在非基 变量的检验 数kl ≥0，说 明现行方案 为最优方案， 否则目标成 本还可以进 一步减小。
Pij ei em j ei em k em k el el em s em s eu eu em j ( ei em k ) ( el em k ) ( el em s ) ( eu em s ) ( eu em j ) Pik Plk Pls Pus Puj
§4.2 表上作业法
4.2.3 改进的方法-----闭回路调整法（基变换） 确定换入基的变量
Page 25
当在表中空格处出现负检验数时，表明未得最优解。 若有两个和两个以上的负检验数时，一般选其中最小的负检 验数，以它对应的空格为调入格。即以它对应的非基变量为 换入量。 确定换出基的变量 以进基变量xik为起点的闭回路中，标有负号的最小运量作 为调整量θ，θ对应的基变量为出基变量，并打上“×”以 示换出作为非基变量。
空格 (11) (12) (22) (24) (31) (33) 闭 回 路 (11)-(13)-(23)-(21)-(11) (12)-(14)-(34)-(32)-(12) (22)-(23)-(13)-(14)-(34)-(32)-(22) (24)-(23)-(13)-(14)-(24) (31)-(34)-(14)-(13)-(23)-(21)-(31) (33)-(34)-(14)-(13)-(33) 检验数 1 2 1 -1 10 12
Page 8
5
1
10 5
10
20
15
伏格尔法给出的初始解比用最小元素法给出 的初始解更接近最优解。
§4.2 表上作业法
Page 9
（1）从运价表中分别计算出各行和各列的最小运费和次最小 运费的差额，并填入该表的最右列和最下行。
单位 销地 运价
A1 3 1 7 3
A2 11 9 4 6
A3 3 2 10 5
§4.2 表上作业法
• 表上作业法的计算步骤：
分析实际问题列出产销平 衡表及单位运价表 确定初始调运方案（最小 元素法或Vogel法）
Page 29
求检验数（位势法）
得到最优方案， 算出总运价
所有检验数≥0
找出绝对值最大的负检验数，用闭合 回路调整，得到新的调运方案
§4.2 表上作业法
4.2.4 表上作业法计算中的问题
B4 2 1
产量 7 4 9
6 6 5
3 6
§4.2 表上作业法
B1 A1
A2 A3 Vj 3 1
（ 9） （ 0） 3
Page 28
B2
11 9 4
3
9 （ 2） （ 2）
B3
3
5 （ 1）
B4
10 8 5
10
2 1 3
Ui
0 -2 -5
2
6
7
10
（12）
3
再用闭回路法或位势法求各空格的检验数，表中的所有检验 数都非负，则当前方案为最优方案，此时最小总运费： Z =(1×3)＋(4×6)＋(3×5)＋(2×10)＋(1×8)＋(3×5)＝85元
A4 10 8 5 6
产量 7 4 9
行差额 0 1 1
产地
B1 B2 B3 销量
列差额
2
5
1
3
§4.2 表上作业法
Page 10
（2）再从行或列差额中选出最大的行或列，找出最小运价 确定供需数量。当产地或销地中有一方数量供应完或得到 满足时，划去运价表中对应的行或列。重复（1)和（2)， 直到找出初始解为至。
2
产量 7 4
行差 额
0 1
A1 A2 A3
销量 列差额
3 2
10 8
7
4 6 10 6 5
1
5 3 6
3
9
2
§4.2 表上作业法
单位 销地 运价 产地
Page 13
B1 B2 B3 B4
3 11 3 2
6
产量 7 4
行差 额
0 1
A1 A2 A3
销量 列差额
10 8
1 3 9
7
3
2
4
6
10 5
1
Page 6
基本思想是就近供应，即从运价最小的地方开始调运， 然后次小，直到最后供完为止。 B1 A1 A2 A3 销量 3 11 B2 3 B3 B4 产量 7 4 8 5 5 6
4
10
3
3
1 7 3 9 4 6 2
1 6
10
3
9
§4.2 表上作业法
Page 7
总运输费＝(3×1)+(6×4)+(4×3)+(1×2)+(3×10)+(3×5) =86元 方法2：Vogel法(伏格尔法)或元素差额法
第一步
求初始基可行解（初始调运方案），即 最小元素法 在产销平衡表中给出m+n-1个数字格。 元素差额法
求非基变量（空格）的检验数并判断是 闭回路法 第二步 否得到最优解。若已得最优解，停止计 位势法 算，否则转第三步。 第三步 换基，对原运量进行调整得到新的基可 行解，转入第二步 闭回路法
§4.2 表上作业法
§4.2 表上作业法
Page 26
(2，4)为调入格。以此格为出发点，作一闭回路，(2，4) 格的调入量θ是选择闭回路上具有(-1)的数字格中的最小 者。即θ=min(1,3)=1(其原理与单纯形法中按θ规划来确 定换出变量相同)。 B1 A1 A2 A3 销量 3 3 6 6 5 B2 B3 B4 产量 7 4 9
求检验数的方法有两种： 1 闭回路法 2 位势法
§4.2 表上作业法
1. 闭回路法
Page 17
闭回路：它是以某空格为起点。用水平或垂直线向前划，当 碰到一数字格时可以转90°后，继续前进，直到回到起始空格 为止。闭回路如下图的(a),(b),(c)等所示。
为闭回路 ，集合中的变量称为回路的顶点，相邻两个顶点 的连线为闭回路的边。 一条回路中的顶点数一定是偶数，回路遇到顶点必须 转90°与另一顶点连接。
例4.2 某公司经销甲产品，运输资料如下表所示：
单位 销地 运价
产地
Page 5
B1 B2 B3 B4
3
1 7 3
产量
A1 A2 A3
销量
11
9 4 6
3
2 10 5
10
8 5 6
7
4 9
问：在满足各销售点的需要量的前提下，应如何调运可使总
运输费用最小？
§4.2 表上作业法
4.2.1 确定初始可行解 方法1：最小元素法
§4.2 表上作业法
方法3：西北角法
Page 15
从表的西北角（左上角）格开始，在格的右下角标上允许 取得的最大数；然后按行（列）标下一格的数；若某行（列） 的产量（销量）已满足，则把该行（列）的其他格划去；如 此进行下去，得到初始基可行解。 B1 B2 B3 B4 产量 A1 A2 A3 销量 7 3 1 7 3
4（+1） 3 （-1） 1（-1） （+1） 3 6
§4.2 表上作业法
Page 27
调整步骤为：在进基变量的闭回路中标有正号的变量加上调整量 θ，标有负号的变量减去调整量θ，其余变量不变，得到一组新的 基可行解。然后求所有非基变量的检验数重新检验。
B1 A1 A2 A3 销量 3 3
B2
B3 5
3 11
9 4 6
4
3
10 4
2 2
10 5
2 3
8 5 6
6
9
§4.2 表上作业法
4.2.2 最优解的判别（检验数的求法）
Page 16
求出一组基可行解后，判断是否为最优解，仍然是用检 验数来判断，记xij的检验数为σij由第一章知，求最小值的运 输问题的最优判别准则是：