第九章 方差分析

变异 来源 组间变异 组内变异 总变异
平方和 SS 370 356 726
自由度 df 3 16 19
均方 MS 123.33 22.25
F 5.54**
p <0.01
第二节 完全随机设计的方差分析
二、各实验处理组样本容量不同
平方和 : SST X
2 2
X
N
2
2
X X SSB
丁
80 75 73 77 75 76
Xj
Xt
五、方差齐性检验（哈特莱法）
例1的数据为例 解：经计算得：
2 2 2 2 S甲 16, S乙 12.82, S丙 36.84, S丁 5.62 2 S最大 36.84 F 2 6.56 S最小 5.62
查附表5,当K 4, df n 1 4时, Fmax 20.6 6.56 20.6, p 0.05, 差异不显著. 故方差齐性
例1 从某班学生中随机抽取条件相仿的4组学生，每组5人， 由4位教师采用不同的教学方法（甲、乙、丙、丁）进行某 种技能的训练经过一段时间，其测验成绩如表所示。
教学方法 甲
被 试 者 78 72 69 66 70 71
乙
65 70 72 62 66 67 73
丙
72 82 80 86 70 78
表10-4 四种教学方法实验结果统计表
甲
78 72 69 66 70 5 355 71 25285 25205
乙
65 70 72 62 66 5 335 67 22509 22445
丙
72 82 80 86 70 5 390 78
丁
80 75 73 77 75 5 380 76
nj
i 1 2 X j
六 与方差分析有关的实验设计问题
• 被试间设计（between-subject design），（组间设计 独立 组设计 完全随机设计）是指要求每个被试（组）只接受 一个自变量水平的处理，对另一被试（组）进行另一种自 变量水平处理的实验设计。
• 被试间设计的优点：每一个人只接受一种处理方式，而一 种处理方式不可能影响或污染另一种处理方式，因此避免 了练习效应和疲劳效应等由实验顺序造成的误差。 • 被试间设计的缺点：⑴所需要的被试数量巨大：由于每一 个自变量的每一个水平都需要不同的被试，当实验因素增 加时，实验所需要的被试数量就会迅速增加。⑵由于接受 不同处理的总是不同的个体，因此被试间设计从根本上是 不能排除个体差异对实验结果的混淆的，而匹配和随机化 技术也只是尽可能地缓解而不是根治这一问题。
2 j 1i 1 k n 2
n X j Xt
j 1
k


2
令 : SST X ij X t SSW X ij X j


2


2
SSB n X j X t 则有 : SST SSW SSB


2
二、方差分析的基本原理
在方差分析中，比较组间变异与组内变异，要用 各自的均方（即方差）来比较，而不能用平方和 直接比较。则需用各平方和除以各自的自由度， 从而得到均方，以均方来比较。
k n 2 ij k n 2
nK
SSA SSB X ij j 1 n j 1 i 1 k n k X 2 j 2 SSe SSW X ij j 1 i 1 j 1 n
k
X
2 j
k
n
2
nK
自由度为: dfT nK 1; dfB K 1; dfW k ( n 1)
生的效果不可逆时，不宜使用被试内设计。
六 与方差分析有关的实验设计问题
• 混合设计：一般涉及到两个以上自变量，而
每个自变量的实验设计各不相同。如一个用
被试间设计，一个用被试内设计。
第二节 完全随机设计的方差分析
一、各实验处理组样本容量相等
平方和 : SST X X ij j 1 i 1 j 1 i 1
2 j k n
2
例1 的计算
②求自由度：
dfT nk 1 5 4 1 19 dfB K 1 4 1 3; dfW nK K 5 4 4 16
③求均方：
Baidu Nhomakorabea
SSB 370 MS B 123.33 dfB 3 SSW 356 MSW 22.25 dfW 16
ni N SSW X
2
X
ni
2
自由度 : dfT N 1; dfB K 1; dfW N K
例2：研究人员采用四种不同的心理治疗方案，
对每个志愿参加治疗的患者心理治疗，他们用
录音机记录了每个被试在一段时间中所讲的词
数。由于录音的困难，每种方案记录的人数各
练习的阶段性。④被试内设计消除了被试的个体差异对实验
的影响。
六 与方差分析有关的实验设计问题
• 在使用被试内设计时，应注意该设计的缺点及采用合适的方
法克服这些缺点。 • 被试内设计的缺点：①一种实验条件下的操作将会影响另一 种实验条件下的操作，也就是实验顺序造成了麻烦。②被试
内设计的方法不能用来研究某些被试特点自变量之间的差异。 ③如果实验中每一种实验条件需要较长时间的恢复期，就不 宜使用被试内设计。④当不同自变量或自变量的不同水平产
方差分析就是对引起方差变化的各种因素进行分析和
比较，从而找出形成各样本之间差异的主要因素。它所
依据的基本原理是变异的可加性，即把实验数据之间的 总的差异分解为若干个不同来源的分量，具体说，是将 总的离差平方和分解为n个不同来源的离差平方和，然后 根据每个离差平方和的大小来确定它们对总的离差平方
和的贡献大小，从而确定实验中的自变量是否对因变量
有重要影响。
• 探讨噪音对解决数学问题的影响作用。自变量噪音（强、
中、无），因变量解决问题时的错误频数。随机选择12名
被试，随机分到强、中、无中。
二、方差分析的基本原理
一般情况下：
可以证明:
X ij X t X ij X j X j X t
X ij X t X ij X j
④计算F值：
MS B 123.33 F 5.54 MSW 22.25
⑶判断结果：
查F值表 : dfB K 1 4 1 3; dfW nK K 5 4 4 16时, F0.01(3,16 ) 5.29. 5.54 5.29, P 0.01, 差异极显著 . 故这四种教学方法的效 果之间有非常显著的差 异.
2 SST X ij X ij j 1 i 1 j 1 i 1 107306 106580 726
k n k n k 2
例1 的计算(各实验水平的被试相等)
14602 nk 107306 5 4
SSB X ij nk 106950 106580 370 j 1 n j j 1 i 1 k n k X2 j 2 SSW X ij 107306 106950 356 j 1 i 1 j 1 n j X
MS B F MSW
三、方差分析的步骤
⑴建立假设: H 0 : 1 2 K
H1 : 至少有一对平均数差异 显著
⑵求F值: ①求平方和:即求组间平方和,组内平方和及总平方和 ②求自由度: dfB K 1; dfW K n 1; dft Kn 1 SS SS ③求方差(均方): MS B B ; MSW W df B dfW ④求F值:
方差分析
• 饮料销售，我们既关心饮料颜色，也关心销 售地区对销售量的影响，到底这两个因素是 否对销售量均有影响或是只有一个有影响或
是均没有影响，需要进行方差分析。
• 反馈对知觉判断的影响，设置三个水平：正
反馈、负反馈，无反馈。
第一节 方差分析的基本原理及步骤
一、几个基本术语（概念）
㈠因素：所谓因素是指实验因素，即在实验中准备 考察的刺激变量——自变量。 ㈡水平：所谓水平是指实验因素的水平，即每一个
不相同。原始数据见下表，问这几种方案是否
有差异？
解：原始数据与计算的中间数据见下表：
1 30 74 46 58 62 38 nj 6 308
X
治疗方案 2 3 50 18 38 56 66 34 62 24 44 66 58 52 80 7 6 398 250
第九章 方差分析
王荣
方差分析
方差分析又称做变异数分析（缩写ANOVA），
它是一种应用非常广泛的变量分析方法。其作 用就是对引起方差变化的各种因素进行分析和 比较，从而确定各个因素对因变量是有显著的 影响。
方差分析
方差分析可以像Z检验一样用来比较两个或两个以 上平均数的差异。但是，它与Z检验相比具有以 下优点：①功效高。Z检验一次只能比较两个平 均数，而方差分析一次可以比较多个平均数的差 异。②功能强。Z检验只能分析、比较单因素实 验结果，对于多因素实验的交互作用以及同时比 较各个因素作用的大小则无能为力。
因素所处的状态或等级。也就是实验因素这个变
量所取的“值”。 ㈢实验处理：所谓实验处理是指各种实验因素的不 同水平的组合。
第一节 方差分析的基本原理及步骤
二、方差分析的基本原理——综合的F检验
• 方差分析主要处理多于两个以上的平均数之间的差异。
• 综合虚无假设：H0：样本所归属的所有总体平均数都相等
组间自由度: dfB K 1;
组内自由度: dfW K n 1 总自由度: dfT dfB dfw nK 1
二、方差分析的基本原理
检验方差之间的差异要 用F检验。在方差齐性检验 时，利用F检验 比较两个样本方差的差 异要用双侧检验。在方 差分析中关心的是 组间均方是否显著大于 组内均方，如果组间均 方小于组内均方， 就无需检验其是否小到 显著性水平。因而总是 将组间均方放在 SSB dfB 分子位置，进行单侧检 验。即: F SSW dfW
㈡变异的可加性（变异的相互独立性）
㈢变异的同质性：即各组的变异是相等的，或者说各组的方
2 2 差彼此无显著差异。 12 2 K


变异的同质性（齐性） 检验常用哈特莱（ Hartley） 最大F比率法。即：Fmax
S S
2 max 2 min
查Fmax 临界值表，当算出的 Fmax 小于表中相应的临界值 ，就可认为 几个要比较的样本方差 两两之间均无显著差异 。如果各实验处理组 自由度不同，则可用其 中较大的一个作为查表 时所用的自由度。
六 与方差分析有关的实验设计问题
• 被试内设计是指每个或每组被试接受所有自变量水平的实验 处理，又称“重复测量设计”或“随机区组设计（被试样本 组代替单个被试）” 。 • 被试内设计的优点：①被试内设计需要的被试较少，实验设
计方便、有效。②被试内设计比组间设计更敏感。③心理学
的某些领域需要使用被试内设计，即被试内设计适用于研究
X j Xj n 2 X ij
j 1 i 1
X ij 1460
2
4
5
Kn=20
30604 28908 X 30420 28880
107306 106950
nj
j 1

4
X 2j nj
H 0 : 甲 乙 丙 丁 解：⑴建立假设： ⑵计算F值： ①求平方和：
• H0 ：μ1＝μ2＝μ3
• 部分虚无假设：H1：至少有一组平均数不相等。
• 即组间的虚无假设，如H0 ：μ1＝μ2
• 统计量落在拒绝域则拒绝H0（p<0.05）；落在接受域则接 受原假设，须用事后检验方法确定哪两组之间存在差异。
第一节 方差分析的基本原理及步骤
二、方差分析的基本原理——可分解性
MS B F MSW
⑶判断结果:查F值表，进行F检验并做出决断。
三、方差分析的步骤
⑷作出方差分析概要表
变异 来源 组间变异 平方和 SS SSB 自由度 df dfB 均方 MS MSB F MSB／MSW p
组内变异
总变异
SSW
SST
dfW
dfT
MSW
四、方差分析的基本假定
㈠总体服从正态分布