图论模型最短路
数学建模最短路问题
设链W=v0e1v1e2…eivi已选定，则从E\{e1,e2,…,ei}中选取一条与ei相邻的边ei+1，除非已无选择余地，否则不要选G\{e1,e2,…,ei}的桥。
直到(2)不能进行为止，算法终止时得到的是Euler回路。
欧拉图与Fleury算法
01
02
如果G不是连通的Euler图，则G中含有奇度顶点（但奇度顶点的个数为偶数），此时图G的一条邮递路线必定在某些街着上重复走了一次或多次，它等价于在这些边上加一条或多条重复边，使新图G' 不含奇度顶点，并且所加边的总权为最小。
01
Dijkstra Algorithm
02
Dijkstra算法所需时间与n2成正比。
最短路问题求解算法
用Dijkstra求解最短路问题
例 求从顶点u0到其余顶点的最短路。
解：先写出距离矩阵（实际应为对称矩阵）
Dijkstra算法的迭代步骤如下
u0 u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7
1 0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 2 2 1 8 ∞ ∞ ∞ ∞ 3 2 8 ∞ ∞ 10 ∞ 4 8 3 ∞ 10 ∞ 5 8 6 10 12 6 7 10 12 7 9 12 8 12
第11章 最短路问题
添加副标题
1 问题的提出
STEP2
STEP1
图论是离散数学的重要分支，在物理学、化学、系统控制、电力通讯、编码理论、可靠性理论、科学管理、电子计算机等各个领域都具有极其广泛的应用。
1
图论的历史可以追溯到1736年，这一年发表了图论的第一篇论文，解决了著名的哥尼斯堡（Königsberg）七桥问题。
02
1 匹配与覆盖
基本概念
定义1设若M的边互不相邻，则称M是G的一个匹配。M的边称为匹配边，E\M的边称为自由边，若(u, v)∈M，则称u（或v）是v（或u）的配偶。若顶点v与M的一条边关联，则称v是M-饱和的；否则称为M-非饱和的。若M使G中每个顶点都是M-饱和的，称M是G的完美（理想）匹配。设M是G的一个匹配，若不存在M' 使|M'|>|M|，则称M为G的最大匹配。
最短路问题的求解方法
最短路问题的求解方法最短路问题是图论中的一个经典问题，它在很多实际应用中都有着重要的作用。
在现实生活中，我们经常需要求解最短路径，比如在地图导航、网络通信、交通运输等领域。
因此，研究最短路问题的求解方法具有重要的理论意义和实际应用价值。
在图论中，最短路问题的求解方法有很多种，其中比较经典的有Dijkstra算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall算法等。
这些算法各有特点，适用于不同的场景和要求。
下面我们就逐一介绍这些算法的原理和求解方法。
Dijkstra算法是一种用于求解单源最短路径的算法，它采用贪心策略，每次找到当前距离最短的节点进行松弛操作，直到所有节点都被遍历。
Dijkstra算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V为节点的个数。
这种算法适用于边权值为正的图，可以求解从单个源点到其他所有点的最短路径。
Bellman-Ford算法是一种用于求解单源最短路径的算法，它可以处理边权值为负的图，并且可以检测负权回路。
Bellman-Ford算法的时间复杂度为O(VE)，其中V为节点的个数，E为边的个数。
这种算法适用于一般情况下的最短路径求解，但是由于其时间复杂度较高，不适用于大规模图的求解。
Floyd-Warshall算法是一种用于求解所有点对最短路径的算法，它可以处理边权值为正或负的图，但是不能检测负权回路。
Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(V^3)，其中V为节点的个数。
这种算法适用于求解图中所有点对之间的最短路径，可以同时求解多个源点到多个目标点的最短路径。
除了上述几种经典的最短路求解算法外，还有一些其他的方法，比如A算法、SPFA算法等。
这些算法在不同的场景和要求下有着各自的优势和局限性，需要根据具体情况进行选择和应用。
在实际应用中，最短路问题的求解方法需要根据具体的场景和要求进行选择，需要综合考虑图的规模、边权值的情况、时间效率等因素。
同时，对于大规模图的求解，还需要考虑算法的优化和并行化问题，以提高求解效率。
图论模型(最优连线问题最短路问题)PPT课件
（3）当（2）不能继续执行时停止。
（其思想是：在剩余边集中找边权最小的边添加到生成树中，同时又 不能产生回路即以局部的最优谋求全局的最优。）
上述的描述实际上是最小生成树的逐 步生长过程，上例的最小生成树如下：
A 5
1 3
D
8 E
水厂
9
B 7
6 10
著名数学家欧拉
七桥问题
图的基本概念
无 向 图
1 定义：由顶点和边组成的图形称为图。 有 向 图
赋
权
图
2 边e与顶点u、v相关联。顶点u与v相邻。
e
u
边e1与e2相邻。
e1
v
e2
u=v时，边e称为环。
3度
定义：与顶点v关联的边的数目称为顶点的度数， 记为d(v)。（注：环算2度。）
对于有向图的顶点的度数，还可分为出度 d ( v ) 和 入度 d ( v ) 。
u3
u6
0 8
1
6
u8
5
10
5
2
6
1
1
u4
10
u7
第五步：min{8,11,11,9,8,12,7,11,11}，u3。
u2
1
2
u5
3
2
7
5
3
9
u1
u3
u6
0
8
7
1
6
u8
5
10
5
2
6
1
1
u4
10
u7
第六步：min{11,12,11,11,9}，u7。
u2
1
2
最短路问题数学模型
最短路问题数学模型
最短路问题是指在带权有向图中，求两个顶点之间的最短路径。
这个问题在现实生活中有很多应用，如在交通规划、电信网络设计、人工智能等领域。
为了解决这个问题，需要建立一个数学模型。
数学模型是指用数学方法对实际问题进行抽象和描述，从而进行定量分析和求解的方法。
对于最短路问题，可以使用图论和运筹学的方法建立数学模型。
在图论中，最短路问题可以使用迪杰斯特拉算法或弗洛伊德算法求解。
这些算法基于图的边权和，采用动态规划的思想，逐步计算每个节点到源节点的最短距离，最终得到整个图中每对节点之间的最短路径。
在运筹学中，最短路问题可以被看作是一种线性规划问题。
可以将每个节点看作是一个决策变量，节点之间的边权看作是线性约束条件，目标函数则是从源节点到目标节点的路径长度。
通过对目标函数进行最小化，可以得到最短路径的解。
总之，最短路问题数学模型可以通过图论和运筹学的方法进行建立和求解。
建立好的数学模型可以为实际问题提供科学解决方案，优化效率和效果。
- 1 -。
图论模型：最短路
T (v3 ) min{ T (v3 ), P(v0 ) f 03 } min{ ,0 1} 1
(3)比较所有的T标号，T(v3 )最小，所以令： P(v3 ) 1;
V1 5 1 5 2 V5 1 V6 3 1 V2 5 1 V4 3 T 7 4
4 1 S 4 5
2 V3
解：狄克斯特拉（Dijkstra）算法列表如下：
V1
4 1 S 4 5
2 V3
5 1 5 2 V5 1 V6 3 1 V2 5 7
4
1 V4 3
T
迭代次数 T（S） T(V1) T(V2) T(V3) T（V4） T（V5） T（V6） T（T） P标号 1 2 3 4 0 +∞ 4 3 3 +∞ +∞ 2 +∞ 1 +∞ +∞ 6 6 +∞ 4 3 3 +∞ 5 5 5 +∞ +∞ +∞ 9 S V3 V2 V1
T (v6 ) 9
(9)比较所有T标号，T(v5 )最小，所以令P(v5 ) 6;
(10)v5为刚得到P标号的点，考察边v5 v2 , v5 v6 , v5 v7的端点 v2 , v6 , v7 :
T (v2 ) min{ T (v2 ), P(v5 ) f 52 } min{ 8,6 1} 7
5
6 7 8 最短路权 父点 0 S 3 V3 2 V3 1 S
6
6 6 6 V3
3
5
5
7
7 7 7
V5
V6 V4 D
3 V3
已知起点的最短路问题数学模型
一、概述已知起点的最短路问题是图论中的一个经典问题，它在实际生活中有着广泛的应用，如交通规划、通信网络设计、物流配送等领域。
本文将对已知起点的最短路问题进行数学建模，并探讨其求解方法。
二、问题描述已知起点的最短路问题可以描述为在一个加权有向图中，从给定的起点出发，求得到其他所有顶点的最短路径。
其中，图的顶点表示位置，边的权重表示移动的代价或者距离。
问题的输入包括图的结构和起点的位置，输出包括从起点到所有其他顶点的最短路径。
三、数学建模1. 图的表示为了进行数学建模，我们需要选取恰当的数据结构来表示图。
常用的数据结构包括邻接矩阵和邻接表。
邻接矩阵适用于稠密图，适合于求解任意两个顶点之间的最短路径；邻接表适用于稀疏图，适合于求解从一个起点到其他所有顶点的最短路径。
在实际应用中，根据具体问题的规模和特点选择合适的数据结构。
2. 最短路径的定义最短路径可以通过不同的度量标准来定义，比如长度最短、耗费最少等。
在已知起点的最短路问题中，最常见的度量标准是路径的长度。
我们的数学建模将以路径的长度为目标函数。
3. 数学模型我们可以使用图论中的单源最短路径算法来解决已知起点的最短路问题。
常见的算法包括Dijkstra算法和Bellman-Ford算法。
以下是这两种算法的数学模型：（1）Dijkstra算法Dijkstra算法通过维护一个距离集合来逐步求得起点到其他各顶点的最短路径。
具体流程如下：初始化距离集合，将起点到自身的距离设为0，其余顶点的距离设为无穷大。
选择一个顶点加入最短路径集合，更新起点到所有其他顶点的距离。
重复上述步骤，直到所有顶点都加入了最短路径集合。
（2）Bellman-Ford算法Bellman-Ford算法通过对边进行松弛操作来逐步求得起点到其他各顶点的最短路径。
具体流程如下：初始化距离数组，将起点到自身的距离设为0，其余顶点的距离设为无穷大。
在图的所有边上进行|V|-1次松弛操作，其中|V|表示图的顶点数。
图与网络分析-最短路
② 给 v2 标号（4）。
③ 划第二个弧。
v2 (4)
4
5
4
v4
7
9
5
v6
1
v1 (0)
①
②
5
v8
1
6
4
v3
7
v5
6
v7
表明走出 v1 后走向 v8 的最短路目前看是 (v1 , v2 ) ，最优距离 是4 。 现已考察完毕第二个圈内的路，或者说，已完成 v1 , v2 的标号。
v1 v3 v6
59 40 28 30
21
v1 (0)
①
12
19 13
v2 (12)
② ③
v3 (19)14 20
v4 (28) 15
29
④
15 v5 (40)
22
v6
41
⑤
最短路路长为49。 即：在第一年、第三年初各购买一台新设备为最优决策。 这时5年的总费用为49。
例3 (选址问题 ) 已知某地区的交通网络如图所示， 其中点代表居民小区，边代表公路，边权为小区间公路距离， 问区中心医院应建在哪个小区，可使离医院最远的小区居民就 诊时所走的路程最近？ 解 求中心的问题。 解决方法：先求出 vi 到 其它各点的最短路长 d j
min{ 24 , k34 , k56 , k57 } min{ ,10,13,14} 9 k 9
① 给 (v2 , v4 ) 划成粗线。 ② 给 v4 标号（9）。 ③ 划第5个弧。
v2 (4)
4
5
4
v4(9)
7
9
5
v6 (13)
1
v1 (0)
图_最短路_2
图论——单源最短路一、最短路两点之间的最短路：给定一个带权图，图中两点i与j的最短路是指从i到j的一条路径，这条路径经过的边的权值之和最小。
求单源最短路：给定一个带权图，求图以结点start为起点的单源最短路是指对每一个结点j<>start，求出start到j的最短路。
二、图的存储方式对于求最短路类问题的算法，图的不同存储方式会产生很大的影响，总的来说，图的存储方式有邻接矩阵，邻接表，前向星等几种。
邻接矩阵：这种存储方法需要开设一个V^2的二维数组edge，对于每两个顶点i和j，如果ij有边，则edge[i,j]=w[i,j]，否则edge[i,j]=-1，这里w[i,j]为边Eij的权。
邻接表：邻接表有链表与数组两种实现方式，如果用数组实现，同邻接矩阵一样需要一个V^2的二维数组edge，edge的每个元素包含两个信息：终点和权值。
另有一个数组a记录从指定顶点出发的边数。
对于每个顶点i，edge[i, j](j=1~a[i])表示从i出发的第j条边的终点与权值。
若用链表实现邻接表，我们可以将edge减成一维，在每个edge[i]后面连一条链表，链表上的每个结点都表示由i出发的一条边。
前向星：前向星的存法只需两个一维数组pos与edge，其中edge[i]存储了第i条边的信息，这些边是按照起点由小到大排好序的，而pos[i]则表示以i为起点的第一条边的位置。
这样在edge[pos[i]~pos[i+1]-1]中便可找到从i出发的所有边的信息。
以下的例子显示了这四种存储图的方法：2 4邻接矩阵：邻接表(数组)：邻接表(链表)：edge各种存储方法的比较：#对于稀疏图而言，复杂度约为常数。
*需要一个O(ElogE)的预处理(排序)。
总的来说，邻接矩阵比较好编写，存储方式简单明了，适合中小规模数据；用数组实现的邻接表与邻接矩阵相差不多；用链表实现的邻接表编程复杂度较高，但效率很好，适合各种各样的图论类题目；前向星只对数组进行操作，编写不是很难，同时效率也不错，在不需要修改边的最短路问题中，前向星是遇到大数据时的最佳选择。
浅谈图论（一）——最短路问题
浅谈图论（⼀）——最短路问题图论〔Graph Theory〕是数学的⼀个分⽀。
它以图为研究对象。
图论中的图是由若⼲给定的点及连接两点的线所构成的图形，这种图形通常⽤来描述某些事物之间的某种特定关系，⽤点代表事物，⽤连接两点的线表⽰相应两个事物间具有这种关系。
（摘⾃百度百科）1.Floyd 弗洛伊德算法这种算法解决的是多源最短路问题（求任意两点之间的最短路径）若我们⽤⼆维数组e[i][j]表⽰点i到点j当前的最短距离（程序运⾏完后数组中存的就是真正的最短距离）那么我们可以⽤e[i][j]=max(e[i][j],e[i][k],e[j][k]);来更新e数组。
也就是⽐较从i到j 和从i到k+从k到j 的距离重点来啦核⼼思想：能否找到第三点使得任意两点的距离变短，即能否找到 i->k->j ⽐ i->j 短，如果能找到，就更新。
下⾯呈上代码：//多元最短路 Floyd O(n^3)#include<iostream>#include<cstdlib>#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>#include<cmath>using namespace std;const int maxn=99999999;int n,m,e[1005][1005];int main(){int i,j,k,a,b,c;scanf("%d%d",&n,&m);for(i=1;i<=n;i++){for(j=1;j<=n;j++){if(i==j) e[i][j];else e[i][j]=maxn;}}for(i=1;i<=m;i++){scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);e[a][b]=c;}//Floyd核⼼部分for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=n;j++)for(k=1;k<=n;k++)if(e[j][k]>e[j][i]+e[i][k])e[j][k]=e[j][i]+e[i][k];for(i=1;i<=n;i++){for(j=1;j<=n;j++)printf("%d ",e[i][j]);printf("\n");}return0;}Floyd很容易发现Floyd算法的时间复杂度是O(N^3)。
数学建模_ 图论模型_
图论中最短路算法与程序实现图论中的最短路问题(包括无向图和有向图)是一个基本且常见的问题。
主要的算法有Dijkstra 算法和Floyd 算法。
Dijkstra 算法是求出指定两点之间的最短路，算法复杂度为 Floyd 算法是求出任意两点之间的最短路，算法复杂度为 2()O n 3()O n1.Dijkstra算法2. Floyd算法算法程序(Matlab)为：for k=1:nfor i=1 :nfor j=1:nt=B(i,k)+B(k,j);if t<B(i,j) B(i,j)=t; end endendend起点终点距离起点终点距离起点终点距离12400718160151725013450892001617140243008152851618130221230910180172724024714010111501819204346001015160182518045210111214019201404193101114130192417556230121320020211805720013344002024190673201415190212230068340142619021232707817015161702147350表1 各点距离(m)实例：已知50个点之间相互连接信息见表1及续表。
求最短距离矩阵续表1 各点距离(m)起点终点距离起点终点距离起点终点距离22441602229313640190 22452702230313738135 22481802230423839130 23242402330433941310 23292102331324041140 23302902331364050190 23441502331504250200 24251702432334344260 24281302432354345210 26271402632364546240 26343202633344648280 27281902735374849200 2829260283639n=50; %Matlab实现的Floyd算法A=zeros(n,n);for i=1:nfor j=1:nif(i==j) A(i,j)=0;else A(i,j)=100000;endendend %赋直接距离信息A(1,2)=400;A(1,3)=450; A(2,4)=300;A(2,21)=230; A(2,47)=140;A(3,4)=600;A(4,5)=210;A(4,19)=310;A(5,6)=230;A(5,7)=200; A(6,7)=320; A(6,8)=340;A(7,8)=170;A(7,18)=160;A(8,9)=200;A(8,15)=285; A(9,10)=180; A(10,11)=150; A(10,15)=160; A(11,12)=140; A(11,14)=130; A(12,13)=200; A(13,34)=400;A(14,15)=190;A(14,26)=190; A(15,16)=170; A(15,17)=250; A(16,17)=140;A(16,18)=130; A(17,27)=240; A(18,19)=204; A(18,25)=180; A(19,20)=140; A(19,24)=175; A(20,21)=180; A(20,24)=190; A(21,22)=300; A(21,23)=270; A(21,47)=350;A(22,44)=160;A(22,45)=270;A(22,48)=180;A(23,24)=240; A(23,29)=210;A(23,30)=290;A(23,44)=150;A(24,25)=170;A(24,28)=130; A(26,27)=140;A(26,34)=320;A(27,28)=190;A(28,29)=260;A(29,31)=190; A(30,31)=240;A(30,42)=130;A(30,43)=210;A(31,32)=230;A(31,36)=260; A(31,50)=210;A(32,33)=190;A(32,35)=140;A(32,36)=240;A(33,34)=210; A(35,37)=160;A(36,39)=180;A(36,40)=190;A(37,38)=135;A(38,39)=130; A(39,41)=310;A(40,41)=140;A(40,50)=190;A(42,50)=200;A(43,44)=260; A(43,45)=210;A(45,46)=240;A(46,48)=280;A(48,49)=200;for j=1:nfor i=1:j-1A(j,i)=A(i,j); %使矩阵对称endendB=A;%利用Floyd算法计算最短距离矩阵for k=1:nfor i=1 :nfor j=1:nt=B(i,k)+B(k,j);if t<B(i,j) B(i,j)=t; endendendend %输出距离矩阵到文件fid=fopen('distance.txt','w'); for i=1:nfor j=1:nfprintf(fid,'%4d ',B(i,j)); endfprintf(fid,'\n');endfclose(fid);。
python图论包networks（最短路,最小生成树带包）
python图论包networks（最短路,最⼩⽣成树带包）官⽅⽂档：最短路和最⼩⽣成树：import networkx as nximport matplotlib.pyplot as pltG = nx.Graph()#G.add_node(1) #添加⼀个节点1#G.add_edge(2,3,10) #添加⼀条边2-3（隐含着添加了两个节点2、3）#G.add_edge(3,2) #对于⽆向图，边3-2与边2-3被认为是⼀条边#G.add_weighted_edges_from([(1,2,8)])#G.add_weighted_edges_from([(1,3,10)])#G.add_weighted_edges_from([(2,3,6)])G.add_edge('A', 'B', weight=4)G.add_edge('B', 'D', weight=2)G.add_edge('A', 'C', weight=3)G.add_edge('C', 'D', weight=5)G.add_edge('A', 'D', weight=6)G.add_edge('C', 'F', weight=7)G.add_edge('A', 'G', weight=1)G.add_edge('H', 'B', weight=2)for u,v,d in G.edges(data=True):print(u,v,d['weight'])edge_labels=dict([((u,v,),d['weight']) for u,v,d in G.edges(data=True)])#fixed_position = {'A':[ 1., 2.],# 'B': [ 1., 0.],# 'D': [ 5., 5.],# 'C': [ 0.,6.]}#每个点在坐标轴中的位置#pos=nx.spring_layout(G,pos = fixed_position)#获取结点的位置,每次点的位置都是随机的pos = nx.spring_layout(G) #也可以不固定点nx.draw_networkx_edge_labels(G,pos,edge_labels=edge_labels,font_size=14)#绘制图中边的权重print(edge_labels)print("nodes:", G.nodes()) #输出全部的节点： [1, 2, 3]print("edges:", G.edges()) #输出全部的边：[(2, 3)]print("number of edges:", G.number_of_edges()) #输出边的数量nx.draw_networkx(G,pos,node_size=400)plt.savefig("wuxiangtu.png")plt.show()# ⽣成邻接矩阵mat = nx.to_numpy_matrix(G)print(mat)# 计算两点间的最短路# dijkstra_pathprint('dijkstra⽅法寻找最短路径：')path=nx.dijkstra_path(G, source='H', target='F')print('节点H到F的路径：', path)print('dijkstra⽅法寻找最短距离：')distance=nx.dijkstra_path_length(G, source='H', target='F')print('节点H到F的距离为：', distance)# ⼀点到所有点的最短路p=nx.shortest_path(G,source='H') # target not specifiedd=nx.shortest_path_length(G,source='H')for node in G.nodes():print("H 到",node,"的最短路径为:",p[node])print("H 到",node,"的最短距离为:",d[node])# 所有点到⼀点的最短距离p=nx.shortest_path(G,target='H') # target not specifiedd=nx.shortest_path_length(G,target='H')for node in G.nodes():print(node,"到 H 的最短路径为:",p[node])print(node,"到 H 的最短距离为:",d[node])# 任意两点间的最短距离p=nx.shortest_path_length(G)p=dict(p)d=nx.shortest_path_length(G)d=dict(d)for node1 in G.nodes():for node2 in G.nodes():print(node1,"到",node2,"的最短距离为:",d[node1][node2])# 最⼩⽣成树T=nx.minimum_spanning_tree(G) # 边有权重print(sorted(T.edges(data=True)))mst=nx.minimum_spanning_edges(G,data=False) # a generator of MST edges edgelist=list(mst) # make a list of the edgesprint(sorted(edgelist))# 使⽤A *算法的最短路径和路径长度p=nx.astar_path(G, source='H', target='F')print('节点H到F的路径：', path)d=nx.astar_path_length(G, source='H', target='F')print('节点H到F的距离为：', distance)# 找回路hl = nx.algorithms.find_cycle(G)print(hl)# ⼆分图匹配G = plete_bipartite_graph(2, 3)nx.draw_networkx(G)left, right = nx.bipartite.sets(G)list(left) #[0, 1]list(right) #[2, 3, 4]p = nx.bipartite.maximum_matching(G)print("输出匹配：",p)# 最⼤流# graph's maximum flow# flow is computed between vertex 0 and vertex n-1# expected input format:# n# m#g = nx.DiGraph()#n, m = int(input()), int(input())#for i in range(n):# g.add_node(i)#for _ in range(m):# a, b, c = [ int(i) for i in input().split(' ') ]# g.add_edge(a, b, capacity=c)#max_flow = nx.algorithms.flow.maxflow.maximum_flow(g, 0, n-1)[0]#print(max_flow)g = nx.DiGraph()n, m = 4, 5for i in range(n):g.add_node(i)edge=["0 1 3","1 3 2","0 2 2","2 3 3","0 3 1"]for x in edge:a, b, c = [ int(i) for i in x.split('') ]g.add_edge(a, b, capacity=c)nx.draw(g)max_flow = nx.algorithms.flow.maxflow.maximum_flow(g, 0, n-1)[0]print(max_flow)。
最短路模型的构建与求解方法方案
最短路模型的构建与求解方法教案课题：最短路模型的构建与求解方法重点：最短路问题的求解方法难点：最短路问题的模型构建方法过程：一、最短路问题的原型（1）单源最短路问题问题描述：用带权的有向图表示一个交通运输网，图中：顶点——表示城市边——表示城市间的交通联系权——表示此线路的长度或沿此线路运输所花的时间或费用等问题：从某顶点出发，沿图的边到达另一顶点所经过的路径中，各边上权值之和最小的一条路径—最短路径用n表示图中节点的个数，用g : [1..n,1..n]of integer储存个个顶点之间的距离，用vis : array[1..n]of boolean 储存个点的访问情况。
用disk : array[1..n]of integer储存起点到其他各点的最短距离，[初始化：disk[1..n]= +∞，disk[from]=0，vis[1..n]=false。
Repeat找到一个未访问（vis[i]=false）且在所有未访问的节点中最短距离最小（disk[i]≤disk[k] k∈vis[k]=false）的节点I;用找到的节点I更新其他节点的最短距离（if disk[i]+g[I,j]<disk[j] thendisk[j]=disk[i]+g[I,j]）Until 所有节点都扩张过了。
（2）任意顶点对之间的最短路问题求解方法：Floyed算法。
方法一：每次以一个顶点为源点，重复执行Dijkstra算法n次---T(n)=O(n³)方法二：弗洛伊德(Floyd)算法，其算法思想：逐个顶点试探法。
具体步骤：初始时设置一个n阶方阵，令其对角线元素为0，若存在弧<Vi,Vj>，则对应元素为权值；否则为µ 逐步试着在原直接路径中增加中间顶点，若加入中间点后路径变短，则修改之；否则，维持原值所有顶点试探完毕，算法结束二、模型构建方法与问题分析《过河问题》。
一个人带了一只狼、一只兔子和一棵白菜想要过河。
图论：最小树、最短路、最大流问题
（3，3）
（2）可增值链（增广链）
：中的正向弧集 D中由v 至v 的链，记 ， ：中的反向弧集 中弧皆未饱 若 ，则称为D中关于可行流f 的 中弧皆非零 一条可增值链。
v2 （3，3）
（4，3）
v4
（5，3） （1，1） （3，0） vs vt （1，1） （2，1） （5，1） v1 v3 （2，2）
例 2 求如图网络的最小部分树。
v2 2 v1 3 5 1 v4 5 v3 2 7 5 3 v5 v6 1 7 5 v7
2017/10/16
避圈法是一种选边的过程，其步骤如下：
1. 从网络D中任选一点vi，找出与vi相关联的 权最小的边[vi，vj]，得第二个顶点vj； 2. 把顶点集V分为互补的两部分V1, V1 ，其中 V， 与已选边相关联的点集， V， 不与已选边相关联的点集；
8
9 7 6
5
9
E 2 D 3 F
3
2017/10/16
4
二. 最短路问题
1. 问题：求网络D中一定点v1到其它点的最短路。 例3 求如图网络中v1至v7的最短路，图中数字 为两点间距离。
v2
2
v1 3 5 1
v3
2
7 5 3
v6 1 7
5
v7
v5 5 2. 方法：标号法（Dijkstra，1959）
1 1
挑选其中与v 距最短（mind c )的v 进行标号。
1
1
1
4. 重复3，直至终点（本例即v ）标上号[d ,v ]，则
7 7
d 即最短距，反向追踪可求出最短路。
7
2017/10/16
用标号法解例3
图论方法,最小树,最短路,邮路——【MBA 数据、模型与决策】
树图：某工厂的组织结构图
厂长
生产计划科
行 技术科 政 办 供销科 公 室 财务科
设计组 工艺组
行政科
铸造工段
生
一车间
锻压工段
产
二车间
办
公
三车间
室
四图T=(V,E’)是图G=(V,E)的支撑子图，如果图T=(V,E’)是一个 树，则称T是G的一个支撑树。
• 定理：图G有支撑树的充分必要条件是图G是连通的。
小学选址问题
从村庄1到村庄1234567的最短路
50
0
30
93 63
45 60
小学选址问题
各村庄之间一步直达的最短距离
村庄 V1 V2 V3 V4 V5 V6 v7
V1 v2 v3 0 30 M 30 0 20 M 20 0 M M 20 M M 60 M 15 25 MMM
v4 v5 v6 v7 M MM M M M 15 M 20 60 25 M 0 30 18 M 30 0 M M 18 M 0 15 M M 15 0
• 最小支撑树问题就是要求给定连通赋权图G的最小支撑树。 • 避圈法，破圈法
寻找图的最小支撑树
• 避圈法，破圈法
寻找图的最小支撑树
• 避圈法，破圈法
寻找图的最小支撑树
• 避圈法
寻找图的最小支撑树
• 破圈法
最短路问题
• 给定一个赋权有向图D=(V, A)，对每一个弧a=(vi, vj)， 相应地有权w(a)=wij, 又给定D中的2个顶点Vs, Vt。 设P是D中从Vs到Vt的一条路，定义路P的权是P中 所有弧的权之和，记为w(P)。最短路就是要在所有 从Vs到Vt的路中，求一条权最小的路P0，称为最短 路。路P0的权称为从Vs到Vt的距离。
第6讲 最短路问题
中国邮路问题或中国邮递员问题 (CPP－Chinese Postman Problem)
1962年中国数学家管梅谷提出：一个邮递员从 邮局出发递送邮件，要求对他所负责的辖区的每条 街至少走一次，问如何选取路程最短的路线？国际 上称之为中国邮递员问题。
旅行商问题
(TSP－Traveling Salesman Problem)
因此, 可采用树生长的过程来求指定顶点到其余顶点的最短路．
，
固定起点的最短路
Dijkstra (迪杰斯特拉) 算法: 求G中从顶点u0到其余顶点的最短路. （1）设G为赋权有向图或无向图，G边上的权均非负． （2）对每个顶点v，定义两个标记（l(v), z(v)）: l(v): 表示从顶点u0到v的一条路的权． z(v): v的父亲点，用以确定最短路的路线. （3）S表示具有永久标号的顶点集. （4）算法的输入是G的带权邻接矩阵 w(u,v) .
d (v4 ) 4
d (v4 ) 2 d (v4 ) 3 d (v4 ) 5
几个基本定理
1、对图G V，E，有 dv 2 E . vV
2、度为奇数的顶点有偶数个。
3、设G V，E是有向图，
则 d v d v E .
vV
vV
定义 设图 G=(V, E, ), G1=(V1, E1, 1 ) (1) 若 V1 V，E1 E, 且当 e E1 时，1 (e)= (e), 则称 G1 是 G 的子图．
u1
u6
3
6 9 12
u2
u5
u4
u5
u2
u5
u1
u4
u6
u8
u3
u7
每对顶点之间的最短路 （算法原理）
把带权邻接矩阵 W 作为距离矩阵的初值，即 D(0)=(di(j0) ) =W
图论4最短路问题
[带权路径长度] 对上述网络，路径 v1, v2 , … ,vk 的带权路径长度定义为
d wi ,i 1
i 1
返回 结束
k 1
7.4 最短路问题
最短路问题在实际工作中应用
1、通讯网络中最可靠问题 2、最大容量问题
4
3、统筹方法中求关键路线
4、背包问题 5、选址问题
6、工件加工顺序问题
7.4 .1 Dijkstra算法
15
Dijkstra算法(另外一种说明)
求有向网络 G=(V, A) 中结点v1 到其它结点的最短距离。 设D为G的距离矩阵，n=|V|，向量U=(u1, u2, …, un)的ui 标记结点v1到vi 的距离。 S为已取得最短路的结点集合，其中每个结点在U中有 固定标号标记取得的最短路的长度；S为未取得最短路的结 点集合，其中每个结点在U中有临时标号。
其中 D[2]＝D*D＝( d )n×n d(2)ij=min{di1+d1j，di2+d2j，…，din＋dnj} d(2)ij表示从vi出发两步可以到达vi的道路中距离最短者。 D[3]＝D[2]*D＝(d )n×n …… d(k)ij表示从vi出发k步可以到达vj的道路中距离最短者 D[n]＝D[n-1]*D＝(d )n×n S＝D D[2] D[3] … D[n]＝(Sij)n×n 由定义可知dij[k]表示从结点i到j经k边的路（在有向图中 即为有向路）中的长度最短者，而Sij为结点i到j的所 有路（若是有向图即为有向路）中的长度最短者。 Floyd算法的时间复杂性是O(n4)。
20
可以利用上面定义的运算求任意两点间的最短距离。
已知n阶加权简单图G，设D＝(dij)m×n 是图G的边权矩阵，
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§7.1 图论的基本概念
定义1 一个有序二元组（V,E）称为一个图，记为G= （V,E），其中① V称为G的顶点集，V≠Φ，V中的元 素称为顶点或结点，简称点；② E称为G的边集，其 元素称为边，它连接V中的两个点，如果这两个点是 无序的，则称该边为无向边；否则，称为有向边。
如果V＝｛v1,v2,…,vn}是有限非空点集，则称G为有 限图或n阶图。
根据上述定理，著名计算机专家狄克斯特拉 （Dijkstra）给出了求G中某一点到其他各点最短 路径的算法——标号法：T标号与P标号。T标号为 试探性标号，P标号为永久性标号。
给vi点一个P标号时，表示从v0（起点）到点vi的 最短路权，vi点的标号不再改变；给vi点一个T标 号时，表示从v0到vi的估计最短路权，是一种临时 标号。凡没有得到P标号的点都标有T标号。
（3）比较所有T标号的点，把最小者改为P标号，
即：P(vj* ) min{T (v j )}
当存在两个以上最小时，可同时改为P标号，若全部 点均为P标号，则停止；
否则，用vj*代替vi ,转回（2）.
例2 求下图中V0到其余各点的最短路。
解 ：(1)首 先 给v0以P标 号 ， P(v0 ) 0,其 余 各 点 为T标 号 ，
则称是G的一个通路。如果通路中没有相同的边，则称此 通路为道路；始点和终点相同的道路称为圈或回路；如果
通路中既没有相同的边，又没有相同的顶点，则称此通路
为路径，简称路。
定义4 任意两点都有通路的图称为连通图。
定义5 连通而无圈的图称为树，常用T表示树。
§7.2 最短路模型及其算法
最短路问题是网络理论中应用最为广泛的问题之一， 不少优化问题可化为这个模型。如管道的铺设、运 输网络的设计、线路安排、设备更新、厂区布局等。
T (v1) 2
f 36 } V0
8miVn2{
17
1,1
V5
2
96 }
4
3
9
V7
(5)比 较 所 有T标 号 ，T(v1 )最 小 ，V3 所9以 令P(vV16 ) 2
T (v2 ) min{T (v2 ), P(v0 ) f02} min{ ,0 8} 8
T (v3 ) min{T (v3 ), P(v0 ) f03} min{ ,0 1} 1
(3)比 较 所 有 的T标 号 ，T(v3 )最 小 ， 所 以 令 ：P(v3 ) 1;
（v）表示图G中所有与顶点v相邻的顶点的集合。
定义2 若将图G的每条边e都对应一个实数F(e)，则称F（e） 为该边的权，并称图G为赋权图，记为G=(V,E,F)。
定义3 设G=(V,E)是一个图，
，
v0 , v1, v2 ,, vk V ,且1 i k, vi1vi E
算法每一步是把某一点的T标号改为P标号，当终点 得到P标号时全部计算结束。其具体步骤如下：
（1）赋初值：给起点v0以P标号，P(v0)＝0，其余 各点vi均为T标号,T（vi）＝+∞；
（2）更新所有的T标号：若vi点为刚得到的P标号的 点,考虑这样的点vj，边vivj∈E，且vj为T标号，对 vj的T标号进行如下的更改： T(vj ) min{T(vj ), P(vi ) f i j}, fij 为边vi vj的权数.
(4)v3为 刚 得 到P标 号 的 点 ， 考 察 边v3v2 , v3v6的 端 点v2 , v3 :
V1
1
V4
T (v2 ) min{T (v2 ), P(v3 ) f32} min{8,1 7} 8
2
6
5
3
8
T (v6 ) min{T (v6 ), P(v3 )
称点vi,vj为边vivj的端点。在有向图中，称点vi,vj 分别为有向边vivj的始点和终点；称边vivj为点vi 的出边，为点vj入边。
由边连接的两个点称为相邻的点；有一个公共端点的边称 为相邻边；边和它的端点称为互相关联。常用d(v)表示图
G中与顶点v关联的边的数目，d(v)称为顶点v的度数；用N
例 如 设V＝v1, v2 , v3, v4}，E {v1v2 , v1v3, v1v4 , v2v3, v2v4 , v3v4}
则G＝（V,E）是一个有4个顶点、6条边的图，其图
解如下图： v3
v4
e6
v3
e2 e3
e6
v4
e4
e5
v1
e1
v2
e3 e2
e5
e4
v1
e1
v2
一个图会有许多外形不同的图解，如上图。
定义1 设P（u,v）是赋权图G=(V,E,F)中从点u到点
v的路径，用E(P)表示路径P(u,v)的全部边的集合，
记为，
，则称F(P)为路径P(u,v) 的
权或长度。 F(P) F(e) eE(P)
定义2 若P0(u,v)是G中连接u,v的路径，且对任意在 G中连接u,v的路径P(u,v)，都有F(P0)≤F(P),则称
V1Βιβλιοθήκη 268 V2
T(vi ) ,i 1,2,,7.
V0 17
(2)由于边v0v1 , v0v2 , v0v3 E,
V3
且v1 , v2 , v3为T标号，所以修正这些点的标号.
1
V4
5
3
1
6
V5 2
4
8
V7 3
9
V6
T (v1) min{T (v1), P(v0 ) f01} min{ ,0 2} 2
P0(u,v)是G中连接u,v的最短路径。
定 理若v0v1 v2 vk 是G中 从v0到vm的 最短 路 ， 则 对i, j,
1 i j m,
vi vi 1
v
必
j
为G中
从vi
到v
的
j
最
短
路.
定义3 设v0v1v2 vm是G中从v0到vm的最短路，则对k,
1 k m，称vk1为vk的父点.
如果G的每条边都是无向边，则称G为无向图；如果G 的每条边都是有向边，则称G为有向图。否则称G为混 合图。并且常记E＝{e1,e2,…,em},
(ek=vivj,i,j=1,2,…,n), 对于一个图G=（V,E），人们通常用一个图形来表示，
称其为图解。凡是有向图，在图解上用箭头标明其方 向。