图论模型(最短路问题)

合集下载

数学建模最短路问题

设链W=v0e1v1e2…eivi已选定，则从E\{e1,e2,…,ei}中选取一条与ei相邻的边ei+1，除非已无选择余地，否则不要选G\{e1,e2,…,ei}的桥。
直到(2)不能进行为止，算法终止时得到的是Euler回路。
欧拉图与Fleury算法
01
02
如果G不是连通的Euler图，则G中含有奇度顶点（但奇度顶点的个数为偶数），此时图G的一条邮递路线必定在某些街着上重复走了一次或多次，它等价于在这些边上加一条或多条重复边，使新图G' 不含奇度顶点，并且所加边的总权为最小。
01
Dijkstra Algorithm
02
Dijkstra算法所需时间与n2成正比。
最短路问题求解算法
用Dijkstra求解最短路问题
例求从顶点u0到其余顶点的最短路。
解：先写出距离矩阵（实际应为对称矩阵）
Dijkstra算法的迭代步骤如下
u0 u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7
1 0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 2 2 1 8 ∞ ∞ ∞ ∞ 3 2 8 ∞ ∞ 10 ∞ 4 8 3 ∞ 10 ∞ 5 8 6 10 12 6 7 10 12 7 9 12 8 12
第11章最短路问题
添加副标题
1 问题的提出
STEP2
STEP1
图论是离散数学的重要分支，在物理学、化学、系统控制、电力通讯、编码理论、可靠性理论、科学管理、电子计算机等各个领域都具有极其广泛的应用。
1
图论的历史可以追溯到1736年，这一年发表了图论的第一篇论文，解决了著名的哥尼斯堡（Königsberg）七桥问题。
02
1 匹配与覆盖
基本概念
定义1设若M的边互不相邻，则称M是G的一个匹配。M的边称为匹配边，E\M的边称为自由边，若(u, v)∈M，则称u（或v）是v（或u）的配偶。若顶点v与M的一条边关联，则称v是M-饱和的；否则称为M-非饱和的。若M使G中每个顶点都是M-饱和的，称M是G的完美（理想）匹配。设M是G的一个匹配，若不存在M' 使|M'|>|M|，则称M为G的最大匹配。

《最短路问题》课件

3 最短路问题的历史
渊源
最短路问题最早由荷兰数学家 Edsger Dijkstra 在 1956 年提出。
最短路问题的定义
图论中的最短路问题指什么？
在无向连通图或有向连通图中，从某一起点到其余各顶点的最短路径。
什么是路径长度？
路径长度是指路径上边或弧的权值之和。
什么是无环图？
无环图指不存在环的图，可以用拓扑排序求解最短路。
《最短路问题》PPT课件
欢迎来到最短路问题的世界。在本课件中，我们将介绍四种最短路算法及其应用，并分析它们的优缺点。
问题背景
1 什么是最短路问题？ 2 为什么需要解决最
短路问题？
最短路问题是计算从源节点到目标节点的最短路径的问题。它是图论中的一个经典算法问题。
很多实际问题都涉及到最短路径的计算，比如电网、交通、通信等领域。
Floyd-Warshall算法解决的是所有点对之间的最短路径问题，可以处理有向图或负边权图。
Bellman-Ford算法
Bellman-Ford算法解决的是有向图中含有负权边的单源最短路径问题。
A*算法
A*算法综合了贪心和广度优先搜索，在启发函数的帮助下，可以高效解决带权图上的单源最短路径问题。
算法示例
1
Step 1
假设我们要求从 A 点到其他各点的最
Step 2
2
短路径。
首先初始化 A 点到其他各点的距离为
无穷大，A 点到自身的距离为 0。
3
Step 3
找到 A 点的直接邻居，更新其距离值。
Step 4
4
重复 Step 3，直到所有节点的距离值都已经更新。
总结

图论模型：最短路

T (v2 ) min{ T (v2 ), P(v0 ) f 02 } min{ ,0 8} 8
T (v3 ) min{ T (v3 ), P(v0 ) f 03 } min{ ,0 1} 1
(3)比较所有的T标号，T(v3 )最小，所以令： P(v3 ) 1;
V1 5 1 5 2 V5 1 V6 3 1 V2 5 1 V4 3 T 7 4
4 1 S 4 5
2 V3
解：狄克斯特拉（Dijkstra）算法列表如下：
V1
4 1 S 4 5
2 V3
5 1 5 2 V5 1 V6 3 1 V2 5 7
4
1 V4 3
T
迭代次数 T（S） T(V1) T(V2) T(V3) T（V4） T（V5） T（V6） T（T） P标号 1 2 3 4 0 +∞ 4 3 3 +∞ +∞ 2 +∞ 1 +∞ +∞ 6 6 +∞ 4 3 3 +∞ 5 5 5 +∞ +∞ +∞ 9 S V3 V2 V1
T (v6 ) 9
(9)比较所有T标号，T(v5 )最小，所以令P(v5 ) 6;
(10)v5为刚得到P标号的点，考察边v5 v2 , v5 v6 , v5 v7的端点 v2 , v6 , v7 :
T (v2 ) min{ T (v2 ), P(v5 ) f 52 } min{ 8,6 1} 7
5
6 7 8 最短路权父点 0 S 3 V3 2 V3 1 S
6
6 6 6 V3
3
5
5
7
7 7 7
V5
V6 V4 D
3 V3

第2讲最短路问题

u3
u4
u5
u6
u7
０

１2
7 4
8
2
4 7 4
8
37
4
8
69 4
8
69
6
9
6
9
012
3
u0
u0 u0
u2
6
9
46
u3
u3
u0
u6
u1
u2
u7
u0
u4
u3
u6
u5
Dijkstra算法：求G中从顶点u0到其余顶点的最短路
设G为赋权有向图或无向图，G边上的权均均非负.
对每个顶点，定义两个标记（l(v)，z(v)），其中: l(v) ：表从顶点u0到v的一条路的权．
W 3 1 0 3 6 7 5 3 0 4 3

6
4
0
6
4

4 3 6 0 2

8
7

4
2
0

因G是无向图，故W是对称阵．
迭代次数
1 2 3 4 5 6 7 8 最后标记 l (v)
z (v)
l(ui )
u0
u1
u2
3 1)
,
1
di(kk
3 1)
5

dk0(jk1)},
0 1 5 2

1
0
4 3
D(2)

5
4
0 2
2 0
1 3 3,
3 0 5

2 3 1 3 5 0
1 2 2 4 5 6

最短路模型

以引例为例，说明标号法的基本思想。
s =1,因所有wij0，故d(v1,v1)=0, 这时v1 是具有P 标号的点。考察从v1出发的三条弧(v1,v2), (v1,v3), (v1,v4) 。如果从v1出发沿(v1,v2)到达v2, 则需要d(v1,v1)+w12=6单位费用；如果 v1
v2
一、引例例1：已知如图所示的单行线交通网，每弧旁的数字表示通过这条单行线所需的费用。现在某人要从v1出发通过 v1 这个交通网到v8 ，求使总费用最小的旅行路线。
v2
6 3 2
1
v5
2 6 3
v9
3
v3
2
1
6 4 10
10
v4
v6
2
v7 4 v8
对于有向图G 或无向图G 的每一条边e ，附加一个实数w(e),则称 w(e)为边e 上的权，当e=(vi,vj)时，w(e)也可记为wij 。G 连同其各边上的权称为带权图，带权图常记为G=<V,E,W>。
例2 求右图所示带权图中从v1到 v8 的最短路解：这里只给出结果 P(v1)=0 , P(v4)=1 , P(v3)=3 , P(v2)=5 ,
6
v2
2 3 1
1
v5
2 6 3
v9
3
v1
v3
2
6 10
4
P(v5)=6 , P(v9)=8 , P(v7)=9 , P(v6)=10 ,
v4
v6
2
v7 4
6 3 2
1
v5
2 6 3
v9
3
v3
2
1
6 4 10
10
v4

最短路(图)

最短路最短路问题（short-path problem）：若网络中的每条边都有一个数值（长度、成本、时间等），则找出两节点（通常是源节点和阱节点）之间总权和最小的路径就是最短路问题。

最短路问题是网络理论解决的典型问题之一，可用来解决管路铺设、线路安装、厂区布局和设备更新等实际问题。

单源最短路径包括确定起点的最短路径问题，确定终点的最短路径问题（与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。

在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。

）算法可以采用Dijkstra 算法。

Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的最短路径路由算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。

主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。

Dijkstra 算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。

Dijkstra算法代码1#include <string.h>2#include<algorithm>3using namespace std;45const int maxnum = 100;6const int maxint = 99999999;78int dist[maxnum];9int prev[maxnum];//记录当前点的前一个结点10int c[maxnum][maxnum];11int n,line;1213void dijkstra(int n,int v,int *dist,int *prev,int c[maxnum][maxnum])//v代表源点14{15 bool s[maxnum];//判断是否已存入该点到S中16 for(int i = 1;i <= n;++i)17 {18 dist[i] = c[v][i];19 s[i] = 0;20 if(dist[i] == maxint)//代表当前点与源点没有直接相连21 prev[i] = 0;22 else23 prev[i] = v;//代表当前点的前一个节点是v，即源点24 }25 dist[v] = 0;//源点到源点的距离初始化为026 s[v] = 1;//源点已被遍历过，标记为12728 for(int i = 2;i <= n;++i)29 {30 int tmp = maxint;31 int u = v;32 for(int j = 1;j <= n;++j)33 {34 if((!s[j]) && dist[j] <tmp)//该点没有被遍历到并且源点到j点的距离小于记录的距离35 {36u = j;//记录下这一点37tmp = dist[j];//记录下这一点到源点的距离38 }39 }40 //找到距离最短的点退出循环41 s[u] = 1;//标记该点已经遍历过4243 for(int j = 1;j <= n;++j)44 {45 if((!s[j]) && c[u][j] <maxint)//j没有被遍历过并且从u到j还有这条路径46 {47 int newdist = dist[u] + c[u][j];//新的距离是从源点到u的距离加上从u到的距离48 if(newdist <dist[j])//如果新的距离比原来到j的距离要短49 {50 dist[j] = newdist;//则更新dist数组51 prev[j] = u;//标记j的前一个节点是u52 }53 }54 }55 }56}5758void searchpath(int *prev,int v,int u)//查找从v到u的最短路径59{60 int que[maxnum];//保存路径61 int tot = 1;62 que[tot] = u;//把终点存入路径数组63 tot++;64 int tmp = prev[u];65 while(tmp != v)66 {67 que[tot] = tmp;68 tot++;69tmp = prev[tmp];70 }71 que[tot] = v;72 for(int i = tot;i >= 1;--i)73 {74 if(i != 1)75 printf("%d->",que[i]);76 else77 printf("%d\n",que[i]);78 }79}808182int main()83{84 scanf("%d",&n);//输入结点数85 scanf("%d",&line);//输入路径数目86 int p,q,len;87 for(int i = 1;i <= n;++i)//初始化存储数组88 {89 for(int j = 1;j <= n;++j)90 {91 c[i][j] = maxint;92 }93 }94 for(int i = 1;i <= line;++i)//往存储数组里存放路径95 {96 scanf("%d%d%d",&p,&q,&len);97 if(len <c[p][q])//如果两个点之间有多条路，取路径较短的那一条98 c[p][q] = len;99 c[q][p] = len;//该语句根据实际情况写，用于无向路径中100 }101 for(int i = 1;i <= n;++i)//初始化标记数组102 dist[i] = maxint;//该数组记录从起点到该点的最短路径长度103104105 dijkstra(n,1,dist,prev,c);106 printf("从源点到最后一个顶点的最短路径长度为：%d\n",dist[n]);107 printf("从源点到最后一个顶点的路径为：");108 searchpath(prev,1,n);109}全局最短路求图中所有的最短路径。

最短路问题的三种算法模板

最短路问题的三种算法模板最短路算法&模板最短路问题是图论的基础问题。

本篇随笔就图论中最短路问题进⾏剖析，讲解常⽤的三种最短路算法：Floyd算法、Dijkstra算法及SPFA算法，并给出三种算法的模板。

流畅阅读本篇博客需要有图论的基础知识，了解什么是图，什么是最短路，以及⼀些基本语法知识和算法基础。

1、Floyd算法我个⼈认为，Floyd算法是三种最短路算法中最简单、最好理解的算法。

它的适⽤范围是任意两点之间的最短路。

这⼀点是其他两种算法（单源最短路）⽆法⽐拟的。

它的实现思路也很简单：⽤三重循环，枚举断点、起始点和终点（注意：顺序千万不能反！！），如果起始点到断点，断点到终点的距离和⼩于起始点到终点当前状态下的最短路（也就是说找到了⼀个⽐它还短的），那么就更新最短路。

它的优点就是简洁明了，易于理解，但是缺点也显⽽易见，通过它的实现途径，我们可以发现，使⽤Floyd算法的题⼀定要⽤邻接矩阵存图，这样的⼀个⼆维数组显然对空间有着要求，⼀般来讲，只能⽀持不超过500个点的图，假如更多，便⽆法⽀持。

同时，Floyd算法还对时间有着要求，因为是三重循环，所以它的时间复杂度是O(n3)的，这样的复杂度如果出现在⼀个复杂程序中，极其容易TLE，所以，请⼤家使⽤的时候，⼀定要读题读题，慎重慎重！模板：void Floyd(){memset(map,0x3f,sizeof(map));for(int i=1;i<=n;i++)map[i][i]=0;for(int k=1;k<=n;k++)//顺序不要反for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)map[i][j]=min(map[i][k]+map[k][j],map[i][j]);}2、Dijkstra算法Dijkstra算法，中⽂名是迪杰斯特拉算法，简写是DIJ算法。

DIJ算法是求解单源最短路，即从某⼀个源点到达其他所有点的最短路的⼀个经典算法。

图论模型(最优连线问题、最短路问题)

v3
8.1 最优连线问题（最小生成树）
例1 现需从自来水厂接自来水管道到各个城镇，自来水厂到各城镇之间铺设自来水管道价格如下，问如何铺设最经济。
A 8 B
5
E 1
7 6
水厂
3 10
D 9
C
分析： ①显然铺设的自来水管道要连通各个顶点； ②铺设的管道中如果有回路，则去掉一条边，仍可行。故所铺设的管道是连通各个顶点且没有回路的图形，称为图G的生成树。我们的目标是寻找一颗图G的生成树，其各条边的权之和最小，称为最小生成树。 1956年，Kruskal给出了一种求最小生成树的算法，称为避圈法。
e2 e5
e4
M
v2
v3
v4
v4
0 0 0 1
1 0 1 0
0 0 0 1
0 1 0 0
e3
v3
例3
v1 2 v2
v1 v1 v2 v3 v4
3 7
8
M
v2
v3
v4
v4
0 7
2 0 8
0 5
3 0
5
lv; v; s(k+1)=v; k=k+1; u=s(k); end l z 输出结果为： l=0 2 1 7 3 6 9 12 z=1 1 1 6 2 5 4 5
注：l输出的是u1到u1、u2、…、u8各个顶点的最短路径距离。 z输出的是最短路径中u1、u2、…、u8的父节点。
%求从u0到uj0的最短路径 disp('起点为u1.'); j=input('输入终点u'); disp('下面求从起点u1到终点'); j, disp('的最短路径。'); lj=[]; while j~=1 lj=[[j],lj]; j=z(j); end lj=[[1],lj]; lj 例如求u1到u8的最短路径，程序执行后输出为：1 2 5 6 8 各位有兴趣还可以考虑将图可视化，点击屏幕输入终点以及在图形上输出显示最短路径。

最短路算法题

最短路算法题最短路算法是用于解决图论中一类重要问题的算法，即寻找图中从一个顶点到另一个顶点的最短路径。

这里的最短路径可以是路径的长度（边的数量）或路径的权重之和（边的权重）。

以下是一些常见的最短路算法题目类型及其解法：1.单源最短路问题：给定一个图和一个起点，找到从起点到图中所有其他点的最短路径。

2.Dijkstra算法：适用于带权重的图，且权重非负。

该算法每次迭代都会选取当前距离起点最近的一个顶点，并更新该顶点与起点的最短距离。

所有顶点都被访问后，算法结束。

3.Bellman-Ford算法：适用于带权重的图，权重可以为负。

该算法通过对图中的所有边进行迭代松弛操作来找到最短路径。

此外，它还可以检测并处理负权重环。

4.Floyd-Warshall算法：适用于所有顶点对之间的最短路径问题。

它使用动态规划的思想，逐步构建中间点集合，并利用中间点来更新最短路径。

5.多源最短路问题：给定一个图和多个起点，找到从这些起点到图中所有其他点的最短路径。

一种常见的解决方法是对每个起点分别运行单源最短路算法。

但这种方法可能不够高效，特别是当起点数量较大时。

另一种方法是使用更高级的数据结构或算法，如优先队列优化的Dijkstra算法或基于矩阵乘法的Floyd-Warshall算法变种。

5.特定条件下的最短路问题：除了基本的最短路问题外，还有一些特定条件下的最短路问题，如有向无环图（DAG）中的最短路径、边权重受限制的最短路径等。

这些问题通常需要结合特定的图论知识和技巧来解决。

6.在解决最短路问题时，需要注意以下几点：确保理解问题的具体要求，如路径的长度是按边的数量还是按边的权重计算。

根据问题的特点选择合适的算法和数据结构。

例如，对于稠密图，邻接矩阵可能是更好的选择；而对于稀疏图，邻接表可能更合适。

注意处理特殊情况，如负权重环、不连通图等。

这些情况可能导致最短路径不存在或无穷大。

在实现算法时，注意优化性能和减少不必要的计算。

5.最短路问题

1）写出赋权图G 的带权邻接矩阵W ，把它作为距离矩阵的
( 初值，即 D (0) = (dij0) )ν ×ν = ( wij )ν ×ν = W .
2）对 k = 1,2,…,ν ，计算
( ( ( ( ( D ( k ) = ( dijk ) )ν ×ν , 其中 dijk ) = min{dijk −1) , dikk −1) + d kjk −1) }, (k dij ) 表示从 vi 到 v j 且中间点仅为 v1, v2 ,…, vk 的 k 个点的所有
d(i,j)：i 到 j 的距离．：的距离． r(i,j)：i 到 j 之间的插入点．：之间的插入点．输入: 输入带权邻接矩阵W = ( w(i, j ))v×v .
(1) 赋初值：赋初值：对所有 i,j, d(i,j) ← w(i,j), r(i,j) ← j, k ← 1.
(2) 更新 d(i,j), r(i,j): 对所有 i,j，若 d(i,k)+d(k,j)<d(i,j)，，，则 d(i,j) ← d(i,k)+d(k,j), r(i,j) ← k
∞ 2 ∞ 4 ∞ 1 , 3 3 0 5 5 0 ( k −1) + d kj },
D (1)
1 2 3 0 1 ∞ ∞ ∞ 2 1 2 3 1 0 4 ∞ ∞ 3 1 2 3 ∞ 4 0 2 ∞ 1 (1) = , R = ∞ ∞ 2 0 3 3 1 2 3 ∞ ∞ ∞ 3 0 5 1 2 3 2 3 1 3 5 0 1 1 3
最短路问题及算法
最短路问题是图论应用的基本问题，最短路问题是图论应用的基本问题，很多实际问题，如线路的布设、运输安排、问题，如线路的布设、运输安排、运输网络最小费用流等问题,都可通过建立最短路问题模型来求解用流等问题都可通过建立最短路问题模型来求解. 都可通过建立最短路问题模型来求解 •最短路的定义最短路的定义 •最短路问题的两种方法：Dijkstra和Floyd算法 . 最短路问题的两种方法：最短路问题的两种方法和算法 1) 求赋权图中从给定点到其余顶点的最短路. 求赋权图中从给定点到其余顶点的最短路. 2) 求赋权图中任意两点间的最短路求赋权图中任意两点间的最短路.

图与网络分析-最短路

① 给 (v1 , v2 ) 划成粗线。
② 给 v2 标号（4）。
③ 划第二个弧。
v2 (4)
4
5
4
v4
7
9
5
v6
1
v1 (0)
①
②
5
v8
1
6
4
v3
7
v5
6
v7
表明走出 v1 后走向 v8 的最短路目前看是 (v1 , v2 ) ，最优距离是4 。现已考察完毕第二个圈内的路，或者说，已完成 v1 , v2 的标号。
v1 v3 v6
59 40 28 30
21
v1 (0)
①
12
19 13
v2 (12)
② ③
v3 (19)14 20
v4 (28) 15
29
④
15 v5 (40)
22
v6
41
⑤
最短路路长为49。即：在第一年、第三年初各购买一台新设备为最优决策。这时5年的总费用为49。
例3 (选址问题 ) 已知某地区的交通网络如图所示，其中点代表居民小区，边代表公路，边权为小区间公路距离，问区中心医院应建在哪个小区，可使离医院最远的小区居民就诊时所走的路程最近？解求中心的问题。解决方法：先求出 vi 到其它各点的最短路长 d j
min{ 24 , k34 , k56 , k57 } min{ ,10,13,14} 9 k 9
① 给 (v2 , v4 ) 划成粗线。 ② 给 v4 标号（9）。 ③ 划第5个弧。
v2 (4)
4
5
4
v4(9)
7
9
5
v6 (13)
1
v1 (0)

图_最短路_2

图论——单源最短路一、最短路两点之间的最短路：给定一个带权图，图中两点i与j的最短路是指从i到j的一条路径，这条路径经过的边的权值之和最小。

求单源最短路：给定一个带权图，求图以结点start为起点的单源最短路是指对每一个结点j<>start，求出start到j的最短路。

二、图的存储方式对于求最短路类问题的算法，图的不同存储方式会产生很大的影响，总的来说，图的存储方式有邻接矩阵，邻接表，前向星等几种。

邻接矩阵：这种存储方法需要开设一个V^2的二维数组edge，对于每两个顶点i和j，如果ij有边，则edge[i,j]=w[i,j]，否则edge[i,j]=-1，这里w[i,j]为边Eij的权。

邻接表：邻接表有链表与数组两种实现方式，如果用数组实现，同邻接矩阵一样需要一个V^2的二维数组edge，edge的每个元素包含两个信息：终点和权值。

另有一个数组a记录从指定顶点出发的边数。

对于每个顶点i，edge[i, j](j=1~a[i])表示从i出发的第j条边的终点与权值。

若用链表实现邻接表，我们可以将edge减成一维，在每个edge[i]后面连一条链表，链表上的每个结点都表示由i出发的一条边。

前向星：前向星的存法只需两个一维数组pos与edge，其中edge[i]存储了第i条边的信息，这些边是按照起点由小到大排好序的，而pos[i]则表示以i为起点的第一条边的位置。

这样在edge[pos[i]~pos[i+1]-1]中便可找到从i出发的所有边的信息。

以下的例子显示了这四种存储图的方法：2 4邻接矩阵：邻接表(数组)：邻接表(链表)：edge各种存储方法的比较：#对于稀疏图而言，复杂度约为常数。

*需要一个O(ElogE)的预处理(排序)。

总的来说，邻接矩阵比较好编写，存储方式简单明了，适合中小规模数据；用数组实现的邻接表与邻接矩阵相差不多；用链表实现的邻接表编程复杂度较高，但效率很好，适合各种各样的图论类题目；前向星只对数组进行操作，编写不是很难，同时效率也不错，在不需要修改边的最短路问题中，前向星是遇到大数据时的最佳选择。

浅谈图论（一）——最短路问题

浅谈图论（⼀）——最短路问题图论〔Graph Theory〕是数学的⼀个分⽀。

它以图为研究对象。

图论中的图是由若⼲给定的点及连接两点的线所构成的图形，这种图形通常⽤来描述某些事物之间的某种特定关系，⽤点代表事物，⽤连接两点的线表⽰相应两个事物间具有这种关系。

（摘⾃百度百科）1.Floyd 弗洛伊德算法这种算法解决的是多源最短路问题（求任意两点之间的最短路径）若我们⽤⼆维数组e[i][j]表⽰点i到点j当前的最短距离（程序运⾏完后数组中存的就是真正的最短距离）那么我们可以⽤e[i][j]=max(e[i][j],e[i][k],e[j][k]);来更新e数组。

也就是⽐较从i到j 和从i到k+从k到j 的距离重点来啦核⼼思想：能否找到第三点使得任意两点的距离变短，即能否找到 i->k->j ⽐ i->j 短，如果能找到，就更新。

下⾯呈上代码：//多元最短路 Floyd O(n^3)#include<iostream>#include<cstdlib>#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>#include<cmath>using namespace std;const int maxn=99999999;int n,m,e[1005][1005];int main(){int i,j,k,a,b,c;scanf("%d%d",&n,&m);for(i=1;i<=n;i++){for(j=1;j<=n;j++){if(i==j) e[i][j];else e[i][j]=maxn;}}for(i=1;i<=m;i++){scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);e[a][b]=c;}//Floyd核⼼部分for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=n;j++)for(k=1;k<=n;k++)if(e[j][k]>e[j][i]+e[i][k])e[j][k]=e[j][i]+e[i][k];for(i=1;i<=n;i++){for(j=1;j<=n;j++)printf("%d ",e[i][j]);printf("\n");}return0;}Floyd很容易发现Floyd算法的时间复杂度是O(N^3)。

数学建模_ 图论模型_

图论中最短路算法与程序实现图论中的最短路问题(包括无向图和有向图)是一个基本且常见的问题。

主要的算法有Dijkstra 算法和Floyd 算法。

Dijkstra 算法是求出指定两点之间的最短路，算法复杂度为 Floyd 算法是求出任意两点之间的最短路，算法复杂度为 2()O n 3()O n1.Dijkstra算法2. Floyd算法算法程序(Matlab)为：for k=1:nfor i=1 :nfor j=1:nt=B(i,k)+B(k,j);if t<B(i,j) B(i,j)=t; end endendend起点终点距离起点终点距离起点终点距离12400718160151725013450892001617140243008152851618130221230910180172724024714010111501819204346001015160182518045210111214019201404193101114130192417556230121320020211805720013344002024190673201415190212230068340142619021232707817015161702147350表1 各点距离(m)实例：已知50个点之间相互连接信息见表1及续表。

求最短距离矩阵续表1 各点距离(m)起点终点距离起点终点距离起点终点距离22441602229313640190 22452702230313738135 22481802230423839130 23242402330433941310 23292102331324041140 23302902331364050190 23441502331504250200 24251702432334344260 24281302432354345210 26271402632364546240 26343202633344648280 27281902735374849200 2829260283639n=50; %Matlab实现的Floyd算法A=zeros(n,n);for i=1:nfor j=1:nif(i==j) A(i,j)=0;else A(i,j)=100000;endendend %赋直接距离信息A(1,2)=400;A(1,3)=450; A(2,4)=300;A(2,21)=230; A(2,47)=140;A(3,4)=600;A(4,5)=210;A(4,19)=310;A(5,6)=230;A(5,7)=200; A(6,7)=320; A(6,8)=340;A(7,8)=170;A(7,18)=160;A(8,9)=200;A(8,15)=285; A(9,10)=180; A(10,11)=150; A(10,15)=160; A(11,12)=140; A(11,14)=130; A(12,13)=200; A(13,34)=400;A(14,15)=190;A(14,26)=190; A(15,16)=170; A(15,17)=250; A(16,17)=140;A(16,18)=130; A(17,27)=240; A(18,19)=204; A(18,25)=180; A(19,20)=140; A(19,24)=175; A(20,21)=180; A(20,24)=190; A(21,22)=300; A(21,23)=270; A(21,47)=350;A(22,44)=160;A(22,45)=270;A(22,48)=180;A(23,24)=240; A(23,29)=210;A(23,30)=290;A(23,44)=150;A(24,25)=170;A(24,28)=130; A(26,27)=140;A(26,34)=320;A(27,28)=190;A(28,29)=260;A(29,31)=190; A(30,31)=240;A(30,42)=130;A(30,43)=210;A(31,32)=230;A(31,36)=260; A(31,50)=210;A(32,33)=190;A(32,35)=140;A(32,36)=240;A(33,34)=210; A(35,37)=160;A(36,39)=180;A(36,40)=190;A(37,38)=135;A(38,39)=130; A(39,41)=310;A(40,41)=140;A(40,50)=190;A(42,50)=200;A(43,44)=260; A(43,45)=210;A(45,46)=240;A(46,48)=280;A(48,49)=200;for j=1:nfor i=1:j-1A(j,i)=A(i,j); %使矩阵对称endendB=A;%利用Floyd算法计算最短距离矩阵for k=1:nfor i=1 :nfor j=1:nt=B(i,k)+B(k,j);if t<B(i,j) B(i,j)=t; endendendend %输出距离矩阵到文件fid=fopen('distance.txt','w'); for i=1:nfor j=1:nfprintf(fid,'%4d ',B(i,j)); endfprintf(fid,'\n');endfclose(fid);。

第1讲_最短路问题

(1) 若 V1 V， E1 E,且当 e E1 时，特 1 (e)= (e),则称 G1 是 G 的子图．别的，若 V1=V，则 G1 称为 G 的生成子图．
(2)
设 V1 V，且 V1 ，以 V1 为顶点集、两个端点都在 V1 中的图 G 的边为边集的图 G 的子图，称为 G 的由 V1 导出的子图，记为 G[V1].
1 mij 1 0
若vi 是e j的起点若vi 是e j的终点若vi 与e j 不关联
邻接矩阵
对无向图Ｇ，其邻接矩阵 A (aij )nn ，其中：
1 aij 0
若vi 与v j 相邻若vi 与v j 不相邻
注：假设图为简单图
v4 v1 v2 v 3 v 4
若vi 与e j 相关联若vi 与e j 不关联
e1 1 M= 1 0 0
注：假设图为简单图
e2 e3 e4 e5 0 0 0 1 v1 1 0 1 0 v2 0 1 1 0 v3 1 1 0 1 v4
对有向图Ｇ，其关联矩阵Ｍ＝ (mij )nm ，其中：
公路连接问题某一地区有若干个主要城市，现准备修建高速公路把这些城市连接起来，使得从其中任何一个城市都可以经高速公路直接或间接到达另一个城市。假定已经知道了任意两个城市之间修建高速公路的成本，那么应如何决定在哪些城市间修建高速公路，使得总成本最小？指派问题（assignment problem）一家公司经理准备安排名员工去完成项任务，每人一项。由于各员工的特点不同，不同的员工去完成同一项任务时所获得的回报是不同的。如何分配工作方案可以使总回报最大？中国邮递员问题（CPP－chinese postman problem）一名邮递员负责投递某个街区的邮件。如何为他（她）设计一条最短的投递路线（从邮局出发，经过投递区内每条街道至少一次，最后返回邮局）？由于这一问题是我国管梅谷教授1960年首先提出的，所以国际上称之为中国邮递员问题。

图论

（3） P(v2 ) 3
（4）
T (v3 ) min[ T (v3 ) , P(v2 ) l23 ] min[5 , 3 1] 4 T (v4 ) min[ T (v4 ) , P(v2 ) l24 ] min[ , 3 2] 5 T (v5 ) min[ T (v5 ) , P(v2 ) l25 ] min[ , 3 2] 5
v5
5 6 8.5 2.5 2 v9
v2 3 0 2 v1
3 v6 5 v3 3 1
7
4 v7 3 2 v8 9 4
4
v4
二、最大流问题
（一）基本概念 1、设一个赋权有向图G=（V, E）, V：发点vs、收点vt 、中间点 G：弧（vi , vj）∈E , 有非负数cij，弧的容量 G——容量网络，简称网络，记做： G (V , E, C ) 网络G上的流，是指定义在弧集合E上的一个函数
v2
13 (5)
5 (3) 6(3) 5 (2)
v5
4 (2) 4 (1)
9 (5)
v1
9 (3)
4 (1) 5 (2)
v4
5 (0)
v7
10 (1)
v3
v6
截集1
13 (11)
v2
4 (0)
5 (5) 6(6) 5 (4)
v5
4 (4)
9 (9)
v1
9 (9)
5 (5)
v4
4 (3)
5 (4)
v7
L( )
最小。
( vi , v j )
l
ij
(一) 狄克斯屈拉(Dijkstra)算法适用于wij≥0，给出了从vs到任意一个点vj的最短路。