2018离散数学网络课程形成性考核第6次形考任务0

离散数学数理逻辑部分形成性考核书面作业本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握．本次形考书面作业是第三次作业，大家要认真及时地完成数理逻辑部分的综合练习作业．

要求：学生提交作业有以下三种方式可供选择：

1. 可将此次作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，完成作业后交给辅导教师批阅．

2. 在线提交word文档

3. 自备答题纸张，将答题过程手工书写，并拍照上传．

一、填空题

1．命题公式()

P Q P

→∨的真值是 1 ．

2．设P：他生病了，Q：他出差了．R：我同意他不参加学习.则命题“如果他生病或出差了，我就同意他不参加学习”符号化的结果为(P∨Q )→R

．

3．含有三个命题变项P，Q，R的命题公式P∧Q的主析取范式是

(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧┐R) ．

4．设P(x)：x是人，Q(x)：x去上课，则命题“有人去上课．”可符号化为P

x

∃．

x∧

(

))

(

)

(x

Q

5．设个体域D＝{a, b},那么谓词公式)

∨

∃消去量词后的等值式为

)

xA∀

(

x

(y

yB

b

B

A

A∧

a

∨．

∨

a

(b

B

(

))

(

)

(

)

(

)

6．设个体域D＝{1, 2, 3}，A(x)为“x大于3”，则谓词公式(∃x)A(x) 的真值为0 ．

7．谓词命题公式(∀x)((A(x)∧B(x)) ∨C(y))中的自由变元为y ．8．谓词命题公式(∀x)(P(x) →Q(x) ∨R(x，y))中的约束变元为x ．

三、公式翻译题

1．请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式． 解：设P ：今天是晴天，

命题“今天是晴天”翻译成命题公式为P 。

2．请将语句“小王去旅游，小李也去旅游．”翻译成命题公式． 解：设P ：小王去旅游，Q ：小李去旅游．

命题“小王去旅游，小李也去旅游”翻译成命题公式为P ∧Q 。

3．请将语句“他去旅游，仅当他有时间．”翻译成命题公式． 解：设P ：明天天下雪，Q ：我就去滑雪．

命题“如果明天天下雪，我就去滑雪”翻译成命题公式为P →Q 。

4．将语句“41次列车下午五点开或者六点开．”翻译成命题公式． 解：设P ：他去旅游，Q ：他有时间．

命题“他去旅游，仅当他有时间”翻译成命题公式为P →Q 。

5．请将语句 “有人不去工作”翻译成谓词公式． 解：设P(x)：x 是人，Q(x)：x 去工作．

命题“有人不去工作”翻译成谓词公式为))()((x Q x P x ⌝∧∃。

6．请将语句“所有人都努力工作．”翻译成谓词公式．

解：设P(x)：x 是人，Q(x)：x 努力工作．

命题“所有人都努力工作．”翻译成谓词公式为))()((x Q x P x →∀

四、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）

1．命题公式⌝P ∧P 的真值是1．

答：不正确。因为当P 是真命题时，┐P 是假命题，当P 是假命题时，┐P 是真命题，所以┐P ∧P 是假命题，真值是0。

2．(∃x )(P (x )→Q (y )∧R (z ))中的约束变元为y ．

答：正确。因为┐P ∧（P →┐Q ）P Q P P ⌝⇔⌝∨⌝∧⌝⇔)(，┐P ∨P 1⇔，所以命题公式是永真式。

3．谓词公式),,()(),()(z y x Q z y x P x ∀→∃中∃x 量词的辖域为(,)()(,,)P x y z Q x y z →∀．

答：正确。因为))(),(()(x xP y x yG x xP ∀→∃→∀))(),(()(x xP y x yG x xP ∀∨⌝∃→∀⇔

)(),()())(),(()(x xP y x yG x xP x xP y x yG x xP ∀∨⌝∃∨⌝∀⇔∀∨⌝∃∨⌝∀⇔ 1),(1),())()((⇔⌝∃∨⇔⌝∃∨∀∨⌝∀⇔y x yG y x yG x xP x xP 。

所以命题公式是永真式。

4．下面的推理是否正确，请给予说明．

(1) (∀x )A (x )→ B (x ) 前提引入

(2) A (y ) →B (y ) US (1)

答：不正确。因为x ∀的辖域是)(x A ，不包含)(x B ，所以根据全称量词消去规则，只能得到)()(x B y A ∧，而不能得到)()(y B y A ∧。

四．计算题

1． 求P →Q ∨R 的析取范式，合取范式、主析取范式，主合取范式． 解：4M R Q P R Q P ⇔∨∨⌝⇔∨→

所以P →Q ∨R 的析取范式为R Q P ∨∨⌝， 合取范式为)(R Q P ∨∨⌝，

主合取范式为)(R Q P ∨∨⌝，即4M 。

则主析取范式为7653210m m m m m m m ∨∨∨∨∨∨，

2．求命题公式(P ∨Q )→(R ∨Q ) 的主析取范式、主合取范式．

解：)()()()()()(Q R Q P Q R Q P Q R Q P ∨∨⌝∧⌝⇔∨∨∨⌝⇔∨→∨