人教版九年级数学《二次函数》知识点梳理与总结(超经典)

九年级《二次函数》知识梳理与总结

一、二次函数的概念

1、定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2

++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.

2、注意点：

（1）二次函数是关于自变量x 的二次式，二次项系数a 必须为非零实数，即a ≠0，而

b 、

c 为任意实数。 （2）当b=c=0时，二次函数2

ax y =是最简单的二次函数。

（3）二次函数c b a c bx ax y ,,(2

++=是常数，)0≠a 自变量的取值为全体实数

（c bx ax ++2

为整式）

3、三种函数解析式：

（1）一般式： y=ax2+bx+c （a ≠0），

对称轴：直线x=a

b

2- 顶点坐标：( a b ac a b 4422--， ) （2）顶点式：()k h x a y +-=2

（a ≠0），

对称轴：直线x=h 顶点坐标为（h ,k ）

（3）交点式：y=a （x-x 1）（x-x 2）（a ≠0）,

对称轴:直线x=

2

2

x1x + (其中x 1、x 2是二次函数与x 轴的两个交点的横坐标).

二、二次函数的图象

1、二次函数 c bx ax y ++=2

的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线. 2、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2

；

③()2

h x a y -=；④()k h x a y +-=2

；⑤c bx ax y ++=2

.

注：二次函数的图象可以通过抛物线的平移得到

3、二次函数c bx ax y ++=2

的图像的画法

因为二次函数的图像是抛物线，是轴对称图形，所以作图时常用简化的描点法和五点法，其步骤是：

(1)先找出顶点坐标，画出对称轴；

(2)找出抛物线上关于对称轴的四个点(如与坐标轴的交点等)； (3)把上述五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来.

注：常用性质：

1、开口方向：当a>0时，函数开口方向向上； 当a<0时，函数开口方向向下；

2、增减性：

当a>0时，在对称轴左侧，y 随着x 的增大而减少；在对称轴右侧，y 随着x 的增大而增大；

当a<0时，在对称轴左侧，y 随着x 的增大而增大；在对称轴右侧，y 随着x 的增大而减少；

3、最大或最小值：

当a>0时，函数有最小值，并且当x=a b

2- ， y 最小 ＝a b ac 442-

当a<0时，函数有最大值，并且当x=a

b

2- ， y 最大 ＝a b ac 442-

四、.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点坐标。

①a 的符号决定抛物线的开口方向

②对称轴平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .

③顶点决定抛物线的位置.

几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.

五、抛物线

c bx ax y ++=2

中a 、b 、c 的作用

1、a 决定抛物线的开口方向和开口大小

a 的符号决定抛物线的开口方向：当a>0时，函数开口方向向上；

当a<0时，函数开口方向向下；

a 的大小决定抛物线的开口大小：当a 越大时，开口越小；

当a 越小时，开口越大；

a 相等，抛物线的开口大小、形状相同. 2、a 和

b 共同决定抛物线的对称轴位置。（x=a

b

2-

） 左同右异：①如果对称轴在Y 轴左侧，则a 、b 符号相同。

②如果对称轴在Y 轴右侧，则a 、b 符号相反。 注意点：①0=b 时，对称轴为y 轴；

②

0>a b

（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧； ③0

b

（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧. 3、c 的大小决定抛物线于y 轴的交点位置。（于y=kx+b 中的b 作用相同）

当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2

与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： 注意点：①0=c ，抛物线经过原点;

②0>c ,与y 轴交于正半轴；

③0

以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则

0

b

.

六、抛物线的平移

方法：左加右减，上加下减

抛物线的平移实质是顶点的平移，因为顶点决定抛物线的位置，所以，抛物线平移时首先化为顶点式

――――――――――――――→

向上（k>0

）向下（k<0）平移︱k

↓ ↓

―――――――――――→

向上（k>0）向下（k<0）平移︱k

七、二次函数

c b a c bx ax y ,,(2

++=是常数，)0≠a 的最大值和最小值的求法

二次函数是否有最值，由a 的符号确定。 1、

当a>0时，抛物线有最低点，函数有最小值，当x=a b

2- ， y 最小 ＝a b ac 442-

2、

当a<时，抛物线有最高点，函数有最大值，当x=a

b

2- ， y 最大 ＝a b ac 442-

注：如果自变量x 有取值范围，则另当别论。