43李雅普诺夫稳定判据
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李雅普诺夫稳定性的基本定理描述64页PPT
1
0
、
倚
南
窗
以
寄
傲
，
审
容
膝
之
易
安
。
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
李雅普诺夫稳定性的基本定理描述
6
、
露
凝
无
游
氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。
李雅普诺夫Lyapunov稳定性理论李雅普诺夫
表示向量 x 到x e的距离 n2 x xe ( x1 x1e ) 2 ( x2 x2e ) 2 c
表示状态空间中，以 x e为圆心，半径为c的圆
n3
x xe ( x1 x1e ) 2 ( x2 x2e ) 2 ( x3 x3e ) 2 c
0
方程的解（运动或状态轨线）为： x(t; x 初始状态向量
, t0 )
初始时刻
x(t0 ; x 0 , t0 ) x 0
f (x, t ) x
平衡状态：各分量相对于时间不再发生变化
e f (x e , t ) 0 x
所有状态的变化速度为零，即是静止状态 线性定常系统：
x2
S ( )
xe
S ( )
x1
近，直至到达平衡状态后
停止运动。
3、大范围渐近稳定 当初始条件扩展到整个状态空间，且平衡状态均具 有渐近稳定性时，称此平衡状态是大范围渐近稳定的。 几何意义：
系统不管在什么样的初始状态下，经过足够长的时间总
能回到平衡状态附近并且向平衡状态靠拢。 大范围渐近稳定的必要条件是状态空间中只能有一个平 衡状态。
1
1
极点位于s左半平面，s=2的极点被对消掉了。系统是有 界输入有界输出稳定的。
（2）求系统的特征方程：
6 det(I A) ( 2)( 3) 0 1 1
求得：1 2，2 3
系统不是渐近稳定的。
例 : 用间接法判断下列系统的稳定性 x1 x2 x1 x1 x2 x1 x1 x2 1 ） , 2） , 3） x2 x1 x2 x1 x2 x2 x1 x2
李雅普诺夫稳定判据.ppt
例4.13 非线性系统的状态方程为
x1 x 2
x2
x1 (x12
x
2 2
)
x1 x2 (x12 x22 )
分析其平衡状态的稳定性。
解：确定平衡点:
xxe2e1
xe2 xe1
xe1(xe21 xe22 ) 0 xe2 (xe21 xe22 ) 0
取Q=I，P
P11
P12
P12
P22
,代入
T
得
0 1
1 P11
1
P12
P12 P22
P11
P12
P12 0
P22
1
1 1
10
0 1
P12
P11
P12
P12
P22 P22
不恒等于0，V (x) 也不恒等于0，因此， 系统平衡状态是大范围渐进稳定的。
李雅普诺夫函数不是唯一的。本例也可
取 则
V ( x)
1 2
[( x1
x2 ) 2
2 x12
x
2 2
]
V (x) (x1 x2 )(x1 x 2 ) 2x1 x1 x2 x 2
根据上述定义容易检验下列标量函数的正定性
1） V (x) = x12 2x22 是正定的；
2） V (x) = (x1 x2 )2 是半正定的,因为当 x1 x2 时 ， V ( x) =0；
3）V (x) 0
李雅普诺夫稳定性的基本定理
李雅普诺夫稳定性定理的直观意义(2/5)
右图所示动力学系统的平衡态在 一定范围内为渐近稳定的平衡态。
对该平衡态的邻域,可定义其
能量(动能+势能)函数如下:
h
f
x
v
mg
V 1 mv2 mgh 2
1 mx2 mg(x cos ) 0
2
渐近稳定 平衡态
其中x为位移, x’为速度,两者且选为状态变量。
其中P称为二次型函数V(x)的权矩阵,它为如下nn维实对称矩阵:
a11 P a12/2
...
a12 / 2 a22 ...
... a1n/2 ... a2n/2 ... ...
a1n/2 a2n/2 ... ann
二次型函数和对称矩阵的正定性(3/4)
二次型函数与一般函数一样,具有正定、负定、非负定、非 正定和不定等定号性概念。 二次型函数V(x)和它的对称权矩阵P是一一对应的。 因此,由二次型函数的正定性同样可定义对称矩阵P的正 定性。
矩阵正定性的判别方法(4/5)—例5-2
例3-2 试用合同变换法判别下列实对称矩阵P的定号性:
1 -1 -1
P -1 3
2
-1 2 5
解 先对对称矩阵P作合同变换如下
矩阵正定性的判别方法(5/5)—例5-2
1 -1 -1
1 0 -1
P -1 3
矩阵正定性的判别方法(1/5)
(3) 矩阵正定性的判别方法
判别矩阵的正定性(定号性)的方法主要有 塞尔维斯特判别法、 矩阵特征值判别法和 合同变换法。
下面分别介绍。
矩阵正定性的判别方法(2/5)--塞尔维斯特定理
[工学]43 李雅普诺夫稳定判据
![[工学]43 李雅普诺夫稳定判据](https://img.taocdn.com/s3/m/fe106c5d7e21af45b307a889.png)
根据上述定义容易检验下列标量函数的正定性
1） V (x) = x12 2x22 是正定的；
2） V (x) = (x1 x2 )2 是半正定的,因为当 x1 x2 时 ， V ( x) =0；
3）V (x) 0
=－( x12
2
x
2 2
)是负定的；
4）V (x) = - (x1 x2 )2 是半负定的；
可见，V (x) 是负定的，因此，系统在坐标原点处的平 衡状态是渐进稳定的。又因为时 x ，V(x) ，所以 是大范围渐进稳定的。
例4.14 线性系统的状态方程为
x 2
x1 x2 x1 x2
判别系统稳定性。
解：(0,0) 是唯一的平衡点。取 V (x) x12 x22 ，则
(x1 x2 )(x1) 2x1x2 x2 (x1 x2 )
( x12 x22 )
因 此 ， 是 V (x) 负 定 的 。 又 因 为 当 x ,V (x) ，所以，系统是大范围渐 进稳定的。
例4.15 分析系统
x1 x1 x2
P11
2P12 1 P12 P22
0
2P12 2P22 1
解得 , , ，则 P11
3 2
P12
1 2
P22 1
P
3 / 1 /
2 2
1 / 2
1
验证正定性：因为
P11
3 2
0
P11
P12
3/ 2
P12 P22 1 / 2
1/ 2 5 0 14
离散条件下的李雅普诺夫稳定判据
离散条件下的李雅普诺夫稳定判据1. 概述在控制论与系统论中，稳定性是一个重要的概念。
在研究动态系统的稳定性时，我们常常需要使用稳定性判据来判断系统的稳定性。
而在离散条件下，李雅普诺夫稳定判据就是一个常用的方法。
2. 李雅普诺夫稳定判据的定义李雅普诺夫稳定判据是由俄罗斯数学家亚科夫•伊万诺维奇•李雅普诺夫在稳定性理论中提出的一种判据。
它用于判断差分方程系统在离散条件下的稳定性。
3. 离散条件下的稳定性在离散条件下，系统的状态是以离散的时间点进行更新的。
这种情况下，我们常常需要研究系统的稳定性，即系统在经过一定次数的状态更新后，是否能趋向于某一稳定状态，或者在一定范围内波动。
而李雅普诺夫稳定判据就是用来判断这种系统的稳定性的一种方法。
4. 李雅普诺夫稳定判据的原理李雅普诺夫稳定判据的核心思想是通过构造一个Lyapunov函数来判断系统的稳定性。
对于一个给定的系统，如果存在一个 Lyapunov 函数，满足对系统的任意状态进行更新后，Lyapunov 函数的值都会减小，那么系统就是稳定的。
5. Lyapunov 函数的选择在使用李雅普诺夫稳定判据时，选择合适的Lyapunov 函数是至关重要的。
一般来说，Lyapunov 函数的选择是根据系统的特点来确定的。
常见的 Lyapunov 函数包括二次型函数、指数型函数等。
不同的Lyapunov 函数对系统的稳定性判断有不同的适用条件和效果。
6. 李雅普诺夫稳定判据的应用李雅普诺夫稳定判据在控制论与系统论中有着广泛的应用。
通过使用李雅普诺夫稳定判据，我们可以对离散条件下的系统进行稳定性分析，为系统的设计与控制提供理论支持。
7. 结论离散条件下的李雅普诺夫稳定判据是系统稳定性分析中的重要工具，通过对系统的 Lyapunov 函数进行构造和分析，我们可以判断系统是否稳定，并为系统的设计与控制提供理论依据。
希望本文的介绍对您有所帮助。
基于离散条件下的李雅普诺夫稳定判据，我们将进一步探讨该方法的具体应用和细节，以及其对控制系统和动态系统的实际意义。
李亚普诺夫稳定性分析
等复杂系统的稳定性,这正是其优势所在。
李亚普诺夫稳定性分析
可是在相当长的一段时间里,李雅普诺夫第二法并没有 引起研究动态系统稳定性的人们的重视,这是因为当时 讨论系统输入输出间关系的经典控制理论占有绝对地 位。 ➢ 随着状态空间分析法引入动态系统研究和现代控制 理论的诞生,李雅普诺夫第二法又重新引起控制领域 人们的注意,成为近40年来研究系统稳定性的最主要 方法,并得到了进一步研究和发展。 ➢ 本章节将详细介绍李雅普诺夫稳定性的定义,李雅普 诺夫第一法和第二法的理论及应用。
定理2 设定常系统的状态方程为 x f (x)
其中xe=0为其平衡状态。 ➢ 若存在一个有连续一阶偏导数的正定函数V(x),满足 下述条件: 1) 若 V ( x ) 为负定的; 2) 当||x||→,有V(x)→, 则该系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳 定的。
李亚普诺夫稳定性分析
对上述李雅普诺夫稳定性定理的使用有如下说明:
况，则 V ( x ) 为正半定或负半定。不属以上所有情况的V ( x ) 不定。
李亚普诺夫稳定性分析
2. 李雅普诺夫第二法的主要定理
下面分别介绍李雅普诺夫稳定性分析的如下3个定理: ➢ 渐近稳定性定理 ➢ 稳定性定理 ➢ 不稳定性定理
李亚普诺夫稳定性分析
2. 李雅普诺夫第二法的主要定理
(1) 定常系统大范围渐近稳定性定理1
✓ 但对于时变系统来说,则这两者的意义很可能不同。
对于李雅普诺夫渐近稳定性，还有如下说明： ➢ 稳定和渐近稳定，两者有很大的不同。 ✓ 对于稳定而言，只要求状态轨迹永远不会跑出球域 S(xe,)，至于在球域内如何变化不作任何规定。 ✓ 而对渐近稳定，不仅要求状态的运动轨迹不能跑出 球域，而且还要求最终收效或无限趋近平衡状态xe。
李亚普诺夫稳定性分析
可是在相当长的一段时间里,李雅普诺夫第二法并没有 引起研究动态系统稳定性的人们的重视,这是因为当时 讨论系统输入输出间关系的经典控制理论占有绝对地 位。 ➢ 随着状态空间分析法引入动态系统研究和现代控制 理论的诞生,李雅普诺夫第二法又重新引起控制领域 人们的注意,成为近40年来研究系统稳定性的最主要 方法,并得到了进一步研究和发展。 ➢ 本章节将详细介绍李雅普诺夫稳定性的定义,李雅普 诺夫第一法和第二法的理论及应用。
定理2 设定常系统的状态方程为 x f (x)
其中xe=0为其平衡状态。 ➢ 若存在一个有连续一阶偏导数的正定函数V(x),满足 下述条件: 1) 若 V ( x ) 为负定的; 2) 当||x||→,有V(x)→, 则该系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳 定的。
李亚普诺夫稳定性分析
对上述李雅普诺夫稳定性定理的使用有如下说明:
况，则 V ( x ) 为正半定或负半定。不属以上所有情况的V ( x ) 不定。
李亚普诺夫稳定性分析
2. 李雅普诺夫第二法的主要定理
下面分别介绍李雅普诺夫稳定性分析的如下3个定理: ➢ 渐近稳定性定理 ➢ 稳定性定理 ➢ 不稳定性定理
李亚普诺夫稳定性分析
2. 李雅普诺夫第二法的主要定理
(1) 定常系统大范围渐近稳定性定理1
✓ 但对于时变系统来说,则这两者的意义很可能不同。
对于李雅普诺夫渐近稳定性，还有如下说明： ➢ 稳定和渐近稳定，两者有很大的不同。 ✓ 对于稳定而言，只要求状态轨迹永远不会跑出球域 S(xe,)，至于在球域内如何变化不作任何规定。 ✓ 而对渐近稳定，不仅要求状态的运动轨迹不能跑出 球域，而且还要求最终收效或无限趋近平衡状态xe。
稳定性与李雅普诺夫
1）V(x) ＞ 0，则称V(x)为正定。例如V(x)=x12 +x22； 2）V(x) ≥ 0，则称V(x)为半正定（或非负定）。例如
V(x)=(x1 +x2)2； 3）V(x) ＜ 0，则称V(x)为负定。例如V(x)=－(x12 +2x22)； 4）V(x) ≤ 0，则称V(x)为半负定（或非正定）。例如
p
Δ1
p11 ， Δ2
11
p
21
p
12
p
，…
， Δn P
22
矩阵 P（或 V(x)）定号性的充要条件是：
1）若 Δi 0, i (1,2,, n) ，则 P（或 V(x)）为正定；
2）若
Δi
0, 0,
i为偶数 i为奇数
，则
P（或
V(x)）为负定；
3）若
Δi
0, 0,
i i
(1,2,, n
需要根据舍弃旳髙 阶项再分析 采用李雅普诺夫第 二法
举例：用李雅普诺夫第一法判断下列系统旳稳定性
x1 x1 x1x2
x2
x2
x1x2
第一步：令 x1 0, x2 0
求得系统旳平衡状态 x1e (0,0)T , x1e (1,1)T
第二步：将系统在平衡状态x1e附近线性化
f1 f1
（1）V(x)是满足稳定性判据条件的一个正定的标量函数，且 对于 x 应具有连续的一阶偏导数； （2）对于一个给定系统，如果 V(x)可以找到，那么通常是非 唯一的，这并不影响结论的一致性。 （3）V(x)的最简单形式是二次型函数 V(x) = xTP x，其中 P 为 实对称方阵，它的元素可以是定常的或时变的。但 V(x)并不一 定都是简单的二次型。 （4）如果 V(x)为二次型，且可表示为：
V(x)=(x1 +x2)2； 3）V(x) ＜ 0，则称V(x)为负定。例如V(x)=－(x12 +2x22)； 4）V(x) ≤ 0，则称V(x)为半负定（或非正定）。例如
p
Δ1
p11 ， Δ2
11
p
21
p
12
p
，…
， Δn P
22
矩阵 P（或 V(x)）定号性的充要条件是：
1）若 Δi 0, i (1,2,, n) ，则 P（或 V(x)）为正定；
2）若
Δi
0, 0,
i为偶数 i为奇数
，则
P（或
V(x)）为负定；
3）若
Δi
0, 0,
i i
(1,2,, n
需要根据舍弃旳髙 阶项再分析 采用李雅普诺夫第 二法
举例：用李雅普诺夫第一法判断下列系统旳稳定性
x1 x1 x1x2
x2
x2
x1x2
第一步：令 x1 0, x2 0
求得系统旳平衡状态 x1e (0,0)T , x1e (1,1)T
第二步：将系统在平衡状态x1e附近线性化
f1 f1
（1）V(x)是满足稳定性判据条件的一个正定的标量函数，且 对于 x 应具有连续的一阶偏导数； （2）对于一个给定系统，如果 V(x)可以找到，那么通常是非 唯一的，这并不影响结论的一致性。 （3）V(x)的最简单形式是二次型函数 V(x) = xTP x，其中 P 为 实对称方阵，它的元素可以是定常的或时变的。但 V(x)并不一 定都是简单的二次型。 （4）如果 V(x)为二次型，且可表示为：
《现代控制理论》李雅普诺夫稳定性分析
向量和矩阵的范数
1、向量空间上的欧几里德范数（即向量长度）
其欧几里德范数定义为：
一般
一、向量和矩阵的范数
预备知识
矩阵范数
矩阵 的范数定义为：
【例】
Hale Waihona Puke ， 则即:矩阵每个元素平方和开根号
预备知识
2、矩阵范数
1．二次型函数：由n个变量
组成的二次齐次多项式，称（n元）二次型函数
2．二次型函数的矩阵表示
则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。
为唯一的平衡状态。
定理4：设系统状态方程为
李雅普诺夫主要的稳定性定理
例题
[例] 设系统状态方程为
试确定系统的稳定性。
解 xe=0
,
是该系统惟一的平衡状态。
由于当
时
,所以系统在原点处的平衡状态是
大范围渐近稳定的。
选取
李雅普诺夫主要的稳定性定理
例题
[例] 已知定常系统状态方程为
定义：若所有有界输入引起的零状态响应输出有界，则称系统为有界输入输出稳定。
李雅普诺夫第一方法—间接法
定理3：连续定常系统 传递函数为： 系统 BIBO 稳定的充要条件为：传递函数的所有极点均位于S左半平面。
【例】试分析系统渐近稳定和BIBO稳定。
李雅普诺夫主要的稳定性定理
讨论续
这是一个矛盾的结果,表明
也不是系统的
受扰运动解。综合以上分析可知,
当
时,显然有
根据定理9-12可判定系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。
李雅普诺夫主要的稳定性定理
线性系统稳定性分析
一.线性定常系统李雅普诺夫稳定性分析
线性定常连续系统
系统状态方程为
1、向量空间上的欧几里德范数（即向量长度）
其欧几里德范数定义为：
一般
一、向量和矩阵的范数
预备知识
矩阵范数
矩阵 的范数定义为：
【例】
Hale Waihona Puke ， 则即:矩阵每个元素平方和开根号
预备知识
2、矩阵范数
1．二次型函数：由n个变量
组成的二次齐次多项式，称（n元）二次型函数
2．二次型函数的矩阵表示
则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。
为唯一的平衡状态。
定理4：设系统状态方程为
李雅普诺夫主要的稳定性定理
例题
[例] 设系统状态方程为
试确定系统的稳定性。
解 xe=0
,
是该系统惟一的平衡状态。
由于当
时
,所以系统在原点处的平衡状态是
大范围渐近稳定的。
选取
李雅普诺夫主要的稳定性定理
例题
[例] 已知定常系统状态方程为
定义：若所有有界输入引起的零状态响应输出有界，则称系统为有界输入输出稳定。
李雅普诺夫第一方法—间接法
定理3：连续定常系统 传递函数为： 系统 BIBO 稳定的充要条件为：传递函数的所有极点均位于S左半平面。
【例】试分析系统渐近稳定和BIBO稳定。
李雅普诺夫主要的稳定性定理
讨论续
这是一个矛盾的结果,表明
也不是系统的
受扰运动解。综合以上分析可知,
当
时,显然有
根据定理9-12可判定系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。
李雅普诺夫主要的稳定性定理
线性系统稳定性分析
一.线性定常系统李雅普诺夫稳定性分析
线性定常连续系统
系统状态方程为
李雅普诺夫稳定性理论
❖推论. 1：当 V(x,t) 正定，V( x, t ) 半正定， 且 V[x(t; x0,t),t]在非零状态不恒为零时,则
原点不稳定。
.
❖推论2：V(x,t) 正定，V ( x , t ) 半正定，若
x0 ，V(x,t) 0 ，则原点是李雅普
诺夫意义下稳定(同定理3)。
几点说明：
1) V(x,t)选取不唯一，. 但没有通用办法，V(x,t)
其中是任选的微量，则称系统的平衡状态xe是 渐近稳定的。
定义三 对所有的状态(状态空间的所有点)，如 果由这些状态出发的轨迹都具有渐近稳定性，则 称平衡状态xe为大范围渐近稳定。
定义四 :如果从球域 S( )出发的轨迹，无论球
域选得多么小，只要其中有一条轨迹脱离球域， 则称平衡状态xe为不稳定。
❖线性系统：如果它是渐近稳定的，必是有大 范围渐近稳定性(线性系统稳定性与初始条件的 大小无关)。
例
xx21 kxx21 k 0
V (x ,t)x 1 2 k2 2x(k 0 )
V ( x , t ) 2 x 1 x 1 2 k 2 x 2 x 2 k 1 x 2 x 2 k 1 x 2 x 0
故系统是李雅普诺夫意义下的稳定
定理四 设系统的状态方程为 xf(x,t) f(0 ,t)0 (tt0) 如果存在一个标量函数V(x，t)，V(x，t)对向量x中 各分量具有连续的一阶偏导数，且满足条件：
矩阵P(或V(x))定号性的充要条件是:
(1) 若Δi >0 (i=1,2,…n),则P为正定;
(2) 若
0 i0
ii为 为奇 偶数 数 ，则 P为负定
(3) 若
0 i 0
i1,2,,n1 in
，P 则 为半正定
李雅普诺夫稳定性分析
李雅普诺夫稳定性分析常微分⼤作业--李雅普诺夫稳定性11091059洪⼀洲从19世纪末以来，李雅普诺夫稳定性理论⼀直指导着关于稳定性的研究和应⽤。
不少学者遵循李雅普诺夫所开辟的研究路线对第⼆⽅法作了⼀些新的发展。
⼀⽅⾯，李雅普诺夫第⼆⽅法被推⼴到研究⼀般系统的稳定性。
例如，1957年，В．И．祖博夫将李雅普诺夫⽅法⽤于研究度量空间中不变集合的稳定性。
随后，J.P.拉萨尔等⼜对各种形式抽象系统的李雅普诺夫稳定性进⾏了研究。
在这些研究中，系统的描述不限于微分⽅程或差分⽅程，运动平衡状态已采⽤不变集合表⽰，李雅普诺夫函数是在更⼀般意义下定义的。
1967年，D.布肖对表征在集合与映射⽔平上的系统建⽴了李雅普诺夫第⼆⽅法。
这时，李雅普诺夫函数已不在实数域上取值，⽽是在有序定义的半格上取值。
另⼀⽅⾯，李雅普诺夫第⼆⽅法被⽤于研究⼤系统或多级系统的稳定性。
此时，李雅普诺夫函数被推⼴为向量形式，称为向量李雅普诺夫函数。
⽤这种⽅法可建⽴⼤系统稳定性的充分条件。
1.李雅普诺夫稳定性概念忽略输⼊后，⾮线性时变系统的状态⽅程如下),(t x f x= （1）式中，x 为n 维状态向量；t 为时间变量；),(t x f 为n 维函数，其展开式为 12(,,,,)i i n x f x x x t = n i ,,1 =假定⽅程的解为 ),;(00t x t x ，x 0和t 0 分别为初始状态向量和初始时刻，0000),;(x t x t x =。
平衡状态如果对于所有t ，满⾜0),(==t x f xe e （2）的状态x e 称为平衡状态（⼜称为平衡点）。
平衡状态的各分量不再随时间变化。
若已知状态⽅程，令0=x所求得的解x ，便是平衡状态。
对于线性定常系统Ax x= ，其平衡状态满⾜0=e Ax ，如果A ⾮奇异，系统只有惟⼀的零解，即存在⼀个位于状态空间原点的平衡状态。
⾄于⾮线性系统，0),(=t x f e 的解可能有多个，由系统状态⽅程决定。
稳定性与李雅普诺夫方法
只在李雅普诺夫意义下稳定，但不是渐近稳定旳系统则称临界 稳定系统，这在工程上属于不稳定系统。
经典控制理论(线性系统）不稳定 (Re(s)>0) 临界情况 (Re(s)=0) 稳定 (Re(s)<0)
Lyapunov意义下
不稳定
稳定
渐近稳定
2024/10/11
25
4.3 李雅普诺夫第一法
2024/10/11
x描述了系统在n维状态空间中从初始条件(t0,x0)出发旳一条状 态运动旳轨线，称系统旳运动或状态轨线
2024/10/11
15
平衡状态
若系统存在状态向量xe，对全部t，都使： f (xe , t) 0
成立，则称xe为系统旳平衡状态。
对于一种任意系统，不一定都存在平衡状态，有时虽然存在也 未必是唯一旳。
早在1892年，俄国数学家李雅普诺夫就提出将鉴定系统稳定性 旳问题归纳为两种措施：李雅普诺夫第一法和李雅普诺夫第二 法。
前者是经过求解系统微分方程，然后根据解旳性质来鉴定系统 旳稳定性。它旳基本思想和分析措施与经典理论是一致旳。
2024/10/11
3
本章要点讨论李雅普诺夫第二法。
它旳特点是不求解系统方程，而是经过一种叫李雅普诺夫函数旳 标量函数来直接鉴定系统旳稳定性。
所以，它尤其合用于那些难以求解旳非线性系统和时变系统。
李雅普诺夫第二法除了用于对系统进行稳定性分析外，还可用于 对系统瞬态响应旳质量进行评价以及求解参数最优化问题。
另外，在当代控制理论旳许多方面，例如最优系统设计、最优 估值、最优滤波以及自适应控制系统设计等，李雅普诺夫理论 都有广泛旳应用。
2024/10/11
所以，怎样拟定渐近稳定旳最大区域，而且尽量扩大其范围是 尤其主要旳。
李雅普诺夫稳定性分析
第四章
李雅普诺夫稳定性分析
李雅普诺夫稳定性理论
李雅普诺夫理论在建立一系列关于稳定性概念的基础上，提出了判断 系统稳定性的两种方法： 间接法：利用线性系统微分方程的解来判断系统稳定性，又称之为李 雅普诺夫第一法； 直接法：首先利用经验和技巧来构造李雅普诺夫函数，进而利用李雅 普诺夫函数来判断系统稳定性，又称为李雅普诺夫第二法。
这表明， 当且仅当‖eAt‖≤ k ＜∞ 时，对任给的一个实数ε > 0，都对应存在和初始时 刻无关的一个实数 δ(ε)= ε /k，使得由满足不等式 ||x0 — xe|| ≤ δ(ε) (4-391) 的任一初态x0出发的受扰运动都满足不等式 xt; x0 ,0 xe e At x0 xe k , t 0 (4 392)
2)
证明 1) 设 xe 为线性定常系统(4-388+)的平衡状态，则由性质 e 0 和 Axe 0 x 可知，对于所有 t≥0 均有（可通过等式两边求微分证明下式）
xe e At xe (4 389) (4 390)
于是，考虑到 x(t; x0, 0) = eAtx0，有
x(t; x0 ,0) xe e At ( x0 xe ), t 0
2 李雅普诺夫意义下的稳定性
设系统初始状态位于以平衡状态xe为球心、δ为半径的闭球域S(δ)内，即 ||x0 - xe|| ≤ δ， t =t0 (4-385) 若能使系统方程的解x(t；x0，t0)在t→∞的过程中，都位于以xe为球心、任意规 定的半径为ε的闭球域S(ε)内，即 ||x(t；x0，t0)-xe|| ≤ ε，t≥t0 (4-386) 则称系统的平衡状态xe在李雅普诺夫意义下是稳定的。式中||· ||为欧几里德范 数，其几何意义是空间距离的尺度。 例如： ||x0 - xe||表示状态空间中， x0 点至 xe 点之间距离的尺度，数学表达式 为： ||x0 - xe|| = [(x10 – x1e)2+ (x20 – x2e)2+… +(xn0 – xne)2]1/2 (4-385)
李雅普诺夫稳定性分析
李雅普诺夫稳定性理论
李雅普诺夫理论在建立一系列关于稳定性概念的基础上，提出了判断 系统稳定性的两种方法： 间接法：利用线性系统微分方程的解来判断系统稳定性，又称之为李 雅普诺夫第一法； 直接法：首先利用经验和技巧来构造李雅普诺夫函数，进而利用李雅 普诺夫函数来判断系统稳定性，又称为李雅普诺夫第二法。
这表明， 当且仅当‖eAt‖≤ k ＜∞ 时，对任给的一个实数ε > 0，都对应存在和初始时 刻无关的一个实数 δ(ε)= ε /k，使得由满足不等式 ||x0 — xe|| ≤ δ(ε) (4-391) 的任一初态x0出发的受扰运动都满足不等式 xt; x0 ,0 xe e At x0 xe k , t 0 (4 392)
2)
证明 1) 设 xe 为线性定常系统(4-388+)的平衡状态，则由性质 e 0 和 Axe 0 x 可知，对于所有 t≥0 均有（可通过等式两边求微分证明下式）
xe e At xe (4 389) (4 390)
于是，考虑到 x(t; x0, 0) = eAtx0，有
x(t; x0 ,0) xe e At ( x0 xe ), t 0
2 李雅普诺夫意义下的稳定性
设系统初始状态位于以平衡状态xe为球心、δ为半径的闭球域S(δ)内，即 ||x0 - xe|| ≤ δ， t =t0 (4-385) 若能使系统方程的解x(t；x0，t0)在t→∞的过程中，都位于以xe为球心、任意规 定的半径为ε的闭球域S(ε)内，即 ||x(t；x0，t0)-xe|| ≤ ε，t≥t0 (4-386) 则称系统的平衡状态xe在李雅普诺夫意义下是稳定的。式中||· ||为欧几里德范 数，其几何意义是空间距离的尺度。 例如： ||x0 - xe||表示状态空间中， x0 点至 xe 点之间距离的尺度，数学表达式 为： ||x0 - xe|| = [(x10 – x1e)2+ (x20 – x2e)2+… +(xn0 – xne)2]1/2 (4-385)
李雅普诺夫稳定性的基本定理
试确定系统在原点处的稳定性。 试确定系统在原点处的稳定性。 解 1： 由状态方程知 原点为该系统的平衡态。 原点为该系统的平衡态。 ： 由状态方程知,原点为该系统的平衡态 将系统在原点处线性化,则系统矩阵为 将系统在原点处线性化 则系统矩阵为 0 ∂f (x) A= = τ ∂x x =xe − K 2 1 − K1
因此,系统的特征方程为 因此 系统的特征方程为 |λI-A|=λ2+K1λ+K2=0
李雅普诺夫第一法(8/7)
2. 由李雅普诺夫第一法知 原非线性系统的原点为渐近稳定的充 由李雅普诺夫第一法知,原非线性系统的原点为渐近稳定的充 分条件为: 分条件为 K1>0 和 K2>0.
参看课本P168 参看课本
李雅普诺夫第二法(2/3)
李雅普诺夫第二法又称为直接法。 李雅普诺夫第二法又称为直接法。 它是在用能量观点分析稳定性的基础上建立起来的。 它是在用能量观点分析稳定性的基础上建立起来的。 若系统平衡态渐近稳定,则系统经激励后 其储存的能 若系统平衡态渐近稳定 则系统经激励后,其储存的能 则系统经激励后 量将随着时间推移而衰减。当趋于平衡态时,其能量 量将随着时间推移而衰减。当趋于平衡态时 其能量 达到最小值。 达到最小值。 反之,若平衡态不稳定 则系统将不断地从外界吸收能 反之 若平衡态不稳定,则系统将不断地从外界吸收能 若平衡态不稳定 其储存的能量将越来越大。 量,其储存的能量将越来越大。 其储存的能量将越来越大 基于这样的观点,只要能找出一个能合理描述动态系统的 基于这样的观点 只要能找出一个能合理描述动态系统的 n维状态的某种形式的能量正性函数 通过考察该函数随 维状态的某种形式的能量正性函数,通过考察该函数随 维状态的某种形式的能量正性函数 时间推移是否衰减,就可判断系统平衡态的稳定性。 时间推移是否衰减 就可判断系统平衡态的稳定性。 就可判断系统平衡态的稳定性
第3章 李雅普诺夫稳定性
x2
ε
δ
x0
x1
x0 − xe ≤ δ (ε )
Lyapunov渐近稳定 线性系统平衡状态不稳定 →系统不稳定 非线性系统平衡状态不稳定 →系统不稳定 →或进入另一个稳定平衡状态
则称该平衡状态是大范围一致渐近稳定的
不稳定性
不论任意给定的 δ , ε 有多小，只要从 S (δ ) 出发 的轨迹，都将超出 S (ε ) 以外，则称此平衡状态是 不稳定的
第3章 李雅普诺夫稳定性理论
x2
ε
δ
x0
x1
线性定常系统的稳定性判定： ¾ 劳斯（1877）-霍尔维斯判据（1895） ¾ Nyquist判据（1932） 但对非线性或时变系统，难以判定
1892年苏联学者Lyapunov提出了两种方法： 第一法：通过解系统的微分方程，然后根据解的性质判定。非 线性系统在工作点附近线性化，判断特征根 第二法（直接法）：不求解微分方程直接判定，重点内容
& = Ax 的渐近稳定的充要条件 为：给定一正定实对称 矩阵 Q(t ) 定理：系统 x ，有 & (t ) = −Q (t ) 成立。 惟一正定实对称矩阵 P (t ) ，使 AT (t )P (t ) + P (t )A(t ) + P
• 定常离散系统 设系统 x(k + 1) = Ax(k ) x ∈ R n 线性系统的平衡状态 xe = 0 选取 Lyapunov函数 V ( x ) = xT (k )Px(k ) P为实对称矩阵 & ( x ) → ∆V ( x(k )) 用差分代替微分 V ∆V ( x(k )) = V ( x(k + 1)) − V ( x(k )) = xT (k + 1)Px(k + 1) − xT (k )Px(k ) = xT (k )[AT PA − P ]x(k ) 令 − Q = AT PA − P ⇒ ∆V ( x(k )) = − xT (k )Qx(k )
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V (x, t) xT (t)Q(t)x(t)
(4.42)
若Q是正定的，则 V ( x) 是负定的。
因此，满足式（4.41）的实对称矩阵所构成的正定二
次型函数 V (x, t) ，是线性连续系统的李雅普诺夫函 数。
线性连续系统的李雅普诺夫稳定判据：线
性系统稳定的充分必要条件是，给定一正定的实 对称阵Q(t)，存在一个正定实对称矩阵P(t)，使 得李雅普诺夫矩阵微分方程成立。
5）V (x) = x1x2 x22 是不定的，
因为当 x1 0 ， x2 0 时，V (x) 0 ，而 当 x1 x2 0 ， x2 0 时，V (x) 0 。
2．二次型标量函数及其正定性条件
若
P11 P12 P1n x1
V (x) xT Px x1
x2
xn P21
P22
将状态方程代入上式得
V(x) 2x1[x2 x1(x12 x22 )] 2x2[x1 x2 (x12 x22 )] 2(x12 x22 )
可见，V (x) 是负定的，因此，系统在坐标原点处的平 衡状态是渐进稳定的。又因为时 x ，V(x) ，所以 是大范围渐进稳定的。
例4.14 线性系统的状态方程为
对于线性系统，若A是非奇异矩阵，系统只有一 个平衡点 xe 0 ，所以，若系统是稳定的，则也 是大范围稳定的。
对于线性定常系统，A(t) A,P(t) P 为常量矩阵，李 雅普诺夫矩阵微分方程变为矩阵代数方程
AT P PA Q
（4.43）
按照以上的介绍，判断线性定常系统稳定性的
步骤，应是先取一个正定的实对称阵Q，然后 根据式（4.43）解出P，最后检验P的正定性， 即可确定系统的稳定性。由于Q阵可以任意指 定，而判断结果与Q阵的具体选择无关，为简 化计算通常取Q=I 。
因为 1 (xe21
x
2 e2
)
2
0
，所以 xe1 0 ， xe2 0 .
即系统 的平衡点为 :
xe [xe1 xe2 ]T [0 0]T
取李雅普诺夫函数为 :
V (x) x12 x22
则
V (x)
dV (x) V
dt
x1
dx1 dt
V
x2
dx2 dt
2x1 x1
2x2 x2
设线性时变连续系统的状态方程为:
x(t) A(t)x(t)
(4.39)
总可以用下列正定二次型函数作为李雅普诺夫函数：
V (x,t) xT (t)P(t)x(t)
(4.40)
式中，P(t) 为实对称正定矩阵。 V(x,t) xT (t)P(t)x(t) xT (t)P(t)x(t) xT (t)P(t)x(t)
试分析系统的稳定性。
解： 选Q=I，代入离散系统的李雅普诺夫代数方程
（4.47）得
0 1/ 2P11
1
0
P12
P12 0
P22
1
/
2
1 0
P11 P12
P12 P22
1
0
0 1
1
4
P22 1
2
P11 P12
1 2
P12
P11 P22
1
0
0 1
根据矩阵相等的定义，得到下列方程组：
i =
0 0
i为偶数 i为奇数
(4.35)
4.3.2 李雅普诺夫稳定判据
若非线性连续系统的状态方程为:
x f (x, t)
(4.36)
不 失 一 般 性 , 设 系 统 的 平 衡 状 态 为 xe 0。 如 果 xe 0，可以通过 X x xe 变换为零。
连续系统的李雅普诺夫稳定判据：若存在一个 标量函数 V (x) ，对所有 x(t) 的有连续的一阶 偏导数，且V (x) 是正定的，则
根据上述定义容易检验下列标量函数的正定性
1） V (x) = x12 2x22 是正定的；
2） V (x) = (x1 x2 )2 是半正定的,因为当 x1 x2 时 ， V ( x) =0；
3）V (x) 0
=－( x12
2
x
2 2
)是负定的；
4）V (x) = - (x1 x2 )2 是半负定的；
例4.16
系统的状态方程为
x
0 1
1 1 x
，分析系统
的稳定性。
A P PA Q 解
取Q=I，P
P11
P12
P12
P22
,代入
T
得
0 1
1 P11
1
P12
P12 P22
P11
P12
P12 0
P22
1
1 1
10
0 1
P12
P11
P12
P12
P22 P22
为负定时，它的平衡状态xe 0 是渐近稳定的，进一 步当 x ，V (x) 时,平衡状态则是大范围渐近稳定 的;当 V (x) 是正定时,平衡状态是不稳定的。标量函数 称为系统的李雅普诺夫函数。
例4.13 非线性系统的状态方程为
x1 x 2
x2
x1 (x12
x
2 2
)
x1 x2 (x12 x22 )
分析其平衡状态的稳定性。
解：确定平衡点:
xxe2e1
xe2 xe1
xe1(xe21 xe22 ) 0 xe2 (xe21 xe22 ) 0
xe2
xe1
xe1 (xe21 xe2 (xe21
xe22 ) xe22 )
0
xe1 xe1 (xe21 xe22 ) 2 0 xe1[1 (xe21 xe22 ) 2 ] 0
P2n
x2
(4.32)
Pn1
Pn2
Pnn xn
则称为二次型标量函数。其中P一般表示为实 对称矩阵，即 Pij Pji 。
若P表示为实对称矩阵，二次型标量函数的正定性可以 用塞尔维斯特(Sylvester)准则判别。该准则叙述如下：
塞尔维斯特准则：记P的主子行列式为
1 P11
2
3 2
P12
1 2
P22 1
P
3 / 1 /
2 2
1 / 2
1
验证正定性：因为
P11
3 2
0
P11
P12
3/ 2
P12 P22 1 / 2
1/ 2 5 0 14
所以，P是正定的。因此，系统是（大范围） 渐近稳定的，李氏函数为:
V (x)
xT
Px
3 2
x12
x1 x2
x22
4.3.4 线性离散系统的李雅普 诺夫稳定判据
xT (t)AT (t)P(t)x(t) xT (t)P(t)x(t) xT (t)P(t)A(t)x(t)
xT (t)[AT (t)P(t) P(t) P(t)A(t)]x(t)
令
AT (t)P(t) P(t) P(t)A(t) Q(t)
(4.41)
式（4.41）称为李雅普诺夫矩阵微分方程。于是
V(x) 2x1x1 2x2 x2 2x1(x1 x2 ) (x1 x2 ) 2(x12 x22 )
可见，V (x) 是正定的，所以，平衡点是不稳定的。
4.3.3 线性连续系统的李雅普 诺夫稳定判据
李雅普诺夫稳定判据是最一般的方法， 适用于线性和非线性系统。但其主要的问题是 难以寻找李雅普诺夫函数。事实上，李雅普诺 夫稳定性理论本身没有提供构造李雅普诺夫函 数的一般方法。但对线性系统，一定可以用二 次型来构造李雅普诺夫函数。下面介绍线性系 统的李雅普诺夫函数的构造方法与李雅普诺夫 稳定判据。
标量函数称为李雅普诺夫函数。
离散系统的李雅普诺夫稳定判据：对于非线
性离散系统
x(k 1) f (x(k)) f (0) 0
(4.37)
若存在一个连续的标量函数 V (x) , V (0) 0 ,对任
意 x(k) 0 , V (x) 是正定的,则当对任意 x 0 ，沿
轨线
V (x(k)) V (x(k 1)) V (x(k)) ( 4.38)
P12 P22
P11 P12
P12 P22
1
0
0 1
2P12
P11
P12
P22
P11 P12 P22 2P12 2P22
1
0
0 1
根据矩阵相等的定义，得到下列方程组:
P11
2P12 1 P12 P22
0
2P12 2P22 1
解得 , , ，则 P11
(x1 x2 )(x1) 2x1x2 x2 (x1 x2 )
( x12 x22 )
因 此 ， 是 V (x) 负 定 的 。 又 因 为 当 x ,V (x) ，所以，系统是大范围渐 进稳定的。
例4.15 分析系统
x1 x1 x2
x
2
x1 x2
的稳定性。
解 平衡点为 xe 0 0T ，取 V (x) x12 x22 则
P11 P21
P12 P22
P11
…… n
P21
Pn1
P12 P22
Pn 2
P1n
P2n
Pnn ( 4.33)
二次型标量函数 V (x) 为正定的充要条件是矩阵P的所 有主子行列式为正，即:
1 …0… 2 0
n 0
(4.34)
二次型标量函数 V (x) 为负定的充要条件是矩 阵P的各阶主子式满足：
当
V ( x)
dV (x) dt
为负定时,平衡状态是渐近稳定的；
当 V (x) 为负定，且 x ,V (x) 时，平衡状态 是大范围渐近稳定的；