高中数学变式练习

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2022年全国新高考II卷数学试题变式题1-4题-(学生版)

2022年全国新高考II 卷数学试题变式题1-4题原题11．已知集合{}{}1,1,2,4,11A B x x =-=-≤,则A B = （）A ．{1,2}-B ．{1,2}C ．{1,4}D ．{1,4}-变式题1基础2．已知集合{}3,2,0,2,3=--A ,{}2B x x =<,则A B = （）A ．{}2,0,2-B ．{}1,0,1-C ．{}0D ．{}22x x -<<变式题2基础3．若集合{03},{||2}A yy B x x =<=>∣∣…,则A B = （）A ．{02}xx <∣…B ．{03}xx <∣…C ．{20}xx -<∣…D ．{23}xx <<∣变式题3基础4．已知集合{}12A x x =-<,{}0B x x =>,则A B = （）A ．{}2x x >B ．{}02x x <<C ．{}03x x <<D ．{}3x x >变式题4基础5．已知集合{}2|670A x x x =--≤,{}|31B x x =->,则A B = （）A ．[]1,2)(4,7-⋃B ．[—1,7]C ．()()1,24,7-⋃D ．（2,4）变式题5巩固6．已知集合{}{}2|4,,|4A x x x Z B y y =<∈=>,则A B = （）A ．()()4,22,4--B ．{}3,3-C ．()2,4D ．{}3变式题6巩固7．已知集合{A x y ==,{}2B x x =<,则A B = （）A ．RB ．∅C ．[]1,2D ．[)1,2变式题7巩固8．设集合{}2{|1N 9|}A x x B x x =>=∈<， ,则A B = （）A ．(13)，B ．(31)(13)--⋃，， C ．{2}D ．{-2,2}变式题8巩固9．已知集合(){}2lg 2A x y x x==-,{}21B xx =-<,则A B = （）A ．(0,2)B ．(1,2)C ．(1,3)D ．(0,3)变式题9提升10．已知集合61A x R x x ⎧⎫=∈-≤⎨⎬⎩⎭,{}233B x R x =∈-≤,A B = （）A ．φB ．(]0,2C ．(]0,3D ．{}3变式题10提升11．已知集合{}13M x x =-≤,4lg 1x N x y x ⎧⎫-==⎨⎬+⎩⎭,则M N = （）A ．[－2,4）B ．[－2,4]C ．()1,4-D ．（－1,4]变式题11提升12．已知集合(){}ln 42M x x =+≤,{}36N x x =-<,则M N = （）A ．(23,4e ⎤--⎦B ．()4,9-C ．(24,e ⎤-⎦D ．)2,9e ⎡⎣变式题12提升13．设集合{}12A x x =-<,[]{}2,0,2xB y y x ==∈,则A B = （）A ．[]0,2B ．()1,3C ．[)1,3D ．(]1,4-原题214．(22i)(12i)+-=（）A ．24i -+B ．24i --C ．62i +D ．62i-变式题1基础15．()()2i 36i +-=（）A ．129i +B ．129i -C ．129i -+D ．129i--变式题2基础16．复数()1i i +=（）A ．1i -B ．1i +C ．1i --D ．1i-+变式题3基础17．()i 1i -+=（）A ．i 1--B ．i 1-C ．i 1-+D ．i 1+变式题4基础18．复数()()12i -=（）A ．2i -B ．2iC ．2i -D ．2i变式题5巩固19．22(12i)(2i)+++=（）A ．8i B ．8C ．28i +D ．28i-变式题6巩固20．2(12i)-=（）A ．54i -B ．34i -+C ．34i --D ．34i-变式题7巩固21．已知复数12i z =-,21i =+z ,则12z z =（）A ．1i -+B ．12i -C ．2i +D ．3i+变式题8巩固22．若复数21iz =+,则2i z ⋅=（）A ．22i +B ．22i-C ．22i-+D ．22i--变式题9提升23．已知复数z 满足12i z =+,则()32i z ⋅-=（）A ．1＋8iB ．1－8iC ．－1－8iD ．－1＋8i变式题10提升24．已知复数12,z z 满足121225i,23i z z z z +=--=,则12z z ⋅=（）A ．2i -B ．2i +C ．3i +D ．3i-变式题11提升25．已知复数(1i)(3i 1)iz --=（i 为虚数单位）,则z =（）A ．3i -B ．42i -C ．3i +D ．42i+变式题12提升26．在复平面内,若复数z 对应地点为()1,1-,则()1i z +=（）A ．2B ．2iC ．2i-D ．2-原题327．图1是中国古代建筑中地举架结构,,,,AA BB CC DD ''''是桁,相邻桁地水平距离称为步,垂直距离称为举,图2是某古代建筑屋顶截面地示意图．其中1111,,,DD CC BB AA 是举,1111,,,OD DC CB BA 是相等地步,相邻桁地举步之比分别为11111231111,0.5,,DD CC BB AAk k k OD DC CB BA ====．已知123,,k k k 成公差为0.1地等差数列,且直线OA 地斜率为0.725,则3k =（）A ．0.75B ．0.8C ．0.85D ．0.9变式题1基础28．“人有悲欢离合,月有阴晴圆缺”,这里地圆缺就是指“月相变化”,即地球上所看到地月球被日光照亮部分地不同形象,随着月球与太阳地相对位置地不同,便会呈现出各种形状,如图所示：古代中国地天象监测人员发现并记录了月相变化地一个数列,记为{}n a ,其中115n ≤≤且*n N ∈,将满月分成240部分,从新月开始,每天地月相数据如下表所示(部分数据),15a =是指每月地第1天可见部分占满月地5240,8128a =是指每月地第8天可见部分占满月地128240,15240a =是指每月地第15天(即农历十五)会出现满月．已知在月相数列{}n a 中,前5项构成等比数列,第5项到第15项构成等差数列,则第3天可见部分占满月地( )12345678910111213141552a 3a 4a 5a 6a 7a 1289a 10a 11a 12a 13a 14a 240A ．124B ．112C ．16D ．13变式题2基础29．《九章算术》是中国古代张苍，耿寿昌所撰写地一部数学专著,全书总结了战国，秦，汉时期地数学成就,其中有如下问题：“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等,问各得几何?”其意思为：“今有5人分5钱,各人所得钱数依次为等差数列,其中前2人所得之和与后3人所得之和相等,问各得多少钱?”则第2人比第4人多得钱数为（）A ．16钱B ．13-钱C ．23钱D ．13钱变式题3基础30．我国古代,9是数字之极,代表尊贵之意,所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关地设计．例如,北京天坛圆丘地底面由扇环形地石板铺成（如图）,最高一层地中心是一块天心石,围绕它地第一圈有9块石板从第二圈开始,每一圈比前一圈多9块,共有9圈,则第六圈地石板块数是（）A．45B．54C．72D．81变式题4基础31．“中国剩余定理”又称“孙子定理”,可见于中国南北朝时期地数学著作《孙子算经》卷下中地“物不知数”问题,原文如下：今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二问物几何？现有一个相关地问题：将1到2022这2022个自然数中被3除余2且被5除余4地数按照从小到大地顺序排成一列,构成一个数列14,29,44,…,则该数列地项数为（）A．132B．133C．134D．135变式题5巩固32．一百零八塔,位于宁夏吴忠青铜峡市,是始建于西夏时期地喇嘛式实心塔群,是中国现存最大且排列最整齐地喇嘛塔群之一．一百零八塔,因塔群地塔数而得名,塔群随山势凿石分阶而建,由下而上逐层增高,依山势自上而下各层地塔数分别为1,3,3,5,5,7,…,该数列从第5项开始成等差数列,则该塔群最下面三层地塔数之和为（）A．39B．45C．48D．51变式题6巩固33．1852年,英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题地解法传至欧洲．1874年,英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到地有关同余式解法地一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲地是一个有关整除地问题,现有这样一个整除问题：将1到500这500个数中,能被3除余2,且被5除余2地数按从小到大地顺序排成一列,构成数列{}n a,则这个新数列各项之和为（）．A．6923B．6921C．8483D．8481变式题7巩固34．“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用地纪年方式,甲，乙，丙，丁，戊，已，庚，辛，壬，癸被称为“十天干”,子，丑，寅，卯，辰，巳，午，未，申，酉，戌，亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始,“地支”以“子”字开始,两者按照干支顺序相配,构成了“干支纪年法”,其相配顺序为：甲子，乙丑，丙寅，，癸酉，甲成，乙亥，丙子，，癸末，甲申,乙酉，丙成，，癸巳，，癸亥,60年为一个纪年周期,周而复始,循环记录按照“干支纪年法”,今年（公圆2021年）是辛丑年,则中华人民共和国成立100周年（公圆2049年）是（）A．己未年B．辛巳年C．庚午年D．己巳年变式题8巩固35．中国古代张苍，耿寿昌所撰写地《九章算术》总结了战国，秦，汉时期地数学成就,其中有如下问题：“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等,问各得几何？”其意思为：“今有5人分5钱,各人所得钱数依次为等差数列,其中前2人所得之和与后3人所得之和相等,问各得多少钱？”则中间三人所得钱数比第1与第5人所得钱数之和多（）A．13钱B．16钱C．23钱D．1钱变式题9提升36．中国古代数学名著《张邱建算经》中有如下问题：今有十等人,每等一人,宫赐金以等次差降之(等差数列),上三人先人,得金四斤,持出。

高一数学教材习题变式训练(数列)

数学教材习题变式训练（数列）一、有关通项问题1、利用11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求通项．（北师大版第20页习题5）数列{}n a 的前n 项和21n S n =+．（1）试写出数列的前5项；（2）数列{}n a 是等差数列吗？（3）你能写出数列{}n a 的通项公式吗？变式题1、设数列}{n a 的前n 项和为S n =2n 2，求数列}{n a 的通项公式；解：（1）：当;2,111===S a n 时 ,24)1(22,2221-=--=-=≥-n n n S S a n n n n 时当故{a n }的通项公式为4,2}{,241==-=d a a n a n n 公差是即的等差数列. 变式题2、数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，113n n a S +=，n =1，2，3，……，求a 2，a 3，a 4的值及数列{a n }的通项公式．解：（I ）由a 1=1，113n n a S +=，n=1，2，3，……，得 211111333a S a ===，3212114()339a S a a ==+=，431231116()3327a S a a a ==++=，由1111()33n n n n n a a S S a +--=-=（n ≥2），得143n n a a +=（n ≥2），又a 2=31，所以a n =214()33n -(n ≥2),∴ 数列{a n }的通项公式为21114()233n n n a n -=⎧⎪=⎨⎪⎩≥变式题3、已知数列{}n a 的首项15,a =前n 项和为n S ，且*15()n n S S n n N +=++∈，证明数列{}1n a +是等比数列．解：由已知*15()n n S S n n N +=++∈可得12,24n n n S S n -≥=++两式相减得()1121n n n n S S S S +--=-+即121n n a a +=+从而()1121n n a a ++=+当1n =时21215S S =++所以21126a a a +=+又15a =所以211a =从而()21121a a +=+故总有112(1)n n a a ++=+，*n N ∈又115,10a a =+≠从而1121n n a a ++=+即数列{}1n a +是等比数列；2、解方程求通项：（北师大版第17页习题3）在等差数列{}n a 中，（1）已知812148,168,S S a d ==求和；（2）已知658810,5,a S a S ==求和；(3)已知3151740,a a S +=求.变式题1、{}n a 是首项11a =，公差3d =的等差数列，如果2005n a =，则序号n 等于（A ）667 （B ）668 （C ）669 （D ）670 分析：本题考查等差数列的通项公式，运用公式直接求出. 解：1(1)13(1)2005n a a n d n =+-=+-=，解得669n =，选C点评：等差等比数列的通项公式和前n 项和的公式是数列中的基础知识，必须牢固掌握.而这些公式也可视作方程，利用方程思想解决问题. 3、待定系数求通项：写出下列数列{}n a 的前5项：（1）111,41(1).2n n a a a n -==+> 变式题1、已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈ 求数列{}n a 的通项公式；解：*121(),n n a a n N +=+∈ 112(1),n n a a +∴+=+{}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列． 12.n n a ∴+=即 *21().n n a n N =-∈ 4、由前几项猜想通项：（北师大版第8页习题1）根据下面的图形及相应的点数，在空格及括号中分别填上适当的图形和数，写出点数的通项公式.变式题1、如下图，第（1）个多边形是由正三角形“扩展“而来，第（2）个多边形是由正方形“扩展”而来，……，如此类推.设由正n 边形“扩展”而来的多边形的边数为n a ，（1）（4）（7）（）（）则6a = ；345991111a a a a +++⋅⋅⋅+＝.解：由图可得：22(1)n a n n n n n =+-=+，所以642a =；又211111(1)1n a n n n n n n ===-+++ 所以345991111a a a a +++⋅⋅⋅+=1111111197()()()3445991003100300-+-++-=-= 变式题2、（北师大版第9页习题2）观察下列各图，并阅读下面的文字，像这样，10条直线相交，交点的个数最多是（），其通项公式为 . A ．40个 B ．45个 C ．50个 D ．55个解：由题意可得：设{}n a 为n 条直线的交点个数，则21a =，1(1),(3)n n a a n n -=+-≥，因为11n n a a n --=-，由累加法可求得：(1)12(1)2n n n a n -=+++-=，所以10109452a ⨯==，选B.二、有关等差、等比数列性质问题1、（北师大版第31页习题3）一个等比数列前n 项的和为48，前2n 项的和为60，则前3n 项的和为（）A ．83B ．108C ．75D ．63变式题1、一个等差数列前n 项的和为48，前2n 项的和为60，则前3n 项的和为。

大题强化训练及变式训2024届高三数学二轮复习大题强化训练及变式训练(新高考九省联考题型)(解析版)

2024届大题强化训练及变式训练（13）4(1)求b 的值；(2)求ACD 的周长的取值范围.变式：已知条件：①23sin 32cos 2CC =-从三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.问题：在ABC 中，角(1)求角C 的大小；(2)若23c =，ABC ∠注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分大题强化训练及变式训练（13）-2024届高三数学二轮复习大题强化训练及变式训练（新高考九省联考题型）（解析版）2．如图，将边长为2的菱形ABDC沿其对角线BC对折，使得点A、D分别位于边长为2的等边PBC所在平面的两侧，且PA=，PD=．设E是PA的中点．（1）证明：平面PBC⊥平面ABC；（2）求平面EBD与平面ABC夹角的正弦值．变式：已知矩形ABCD中，点E在边CD上，且2AD DE CE===．现将ADEV沿AE向上翻折，使点D到点P的位置，构成如图所示的四棱锥P ABCE-．（1）若点F在线段AP上，且//EF平面PBC，求AFFP的值；（2）若2PB=，求锐二面角P EC A--的余弦值．3．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O 出发，随机移动n 次，每次等可能地向左或向右移动一个单位长度，n 次移动结束后，质点到达的位置的数字记为X .（1）若2n =，求()0P X =;（2）若6n =，求X 的分布列和()E X 的值.变式：一个质点在一条直线上“随机游走”，向左走一步和向右走一步的概率均为12，试探讨下列问题：（1）若质点进行了4次“随机游走”，在其中恰有2次向右游走的情况下，求第二次向左游走的概率；（2）记()P i 为()2,3,4,,2i i n =+ 次游走中恰有2次向右游走的概率，令()()()232Y P P P n =++++ .记()2,3,,n ξξ= 为不超过n 次游走的情况下，向右游走2次后停止游走（若向右游走一直不足2次，在游走到n 次时也停止游走），此时一共游走的次数，ξ的数学期望为()E ξ.请比较()E ξ与2Y 的大小，并说明理由.4．已知函数()()23ln 40f x x ax x a =+->．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当12a =时，若方程()f x b =有三个不相等的实数根123,,x x x ，且123x x x <<，证明：4x x -<．5．已知双曲线2212:1y C x b -=经过椭圆2222:1x C y a +=的左、右焦点12,F F ，设12,C C 的离心率分别为12,e e ，且1262e e =．（1）求12,C C 的方程；（2）设P 为1C 上一点，且在第一象限内，若直线1PF 与2C 交于,A B 两点，直线2PF 与2C 交于,C D两点，设,AB CD 的中点分别为,M N ，记直线MN 的斜率为k ，当k 取最小值时，求点P 的坐标．变式：已知抛物线21:44C y x =-与双曲线22222:1(0)4x y C a a a-=>-相交于两点,,A B F 是2C 的右焦点，直线AF 分别交12,C C 于,C D 两点（不同于,A B 点），直线,BC BD 分别交x 轴于,P Q 两点.（1）求a 的取值范围；（2）记AQF 的面积为1,S CQP 的面积为2S ，当123S S =时，求a 的值.2024届大题强化训练及变式训练（13）4(1)求b 的值；(2)求ACD 的周长的取值范围.【答案】(1)3(2)(2【解析】（1）若选①，因为()tan sin cos 0C b A A ⋅-⋅=，由正弦定理可得()sin sin sin cos 0cos CB C A C A C⋅⋅=，显然sin 0C >，所以sin sin cos 0B C A C A -+⋅=，即()sin 3cos 0B C A ++=，所以sin 0B B -=，所以tan B =()0,πB ∈，所以π3B =，因为ABC 外接圆的半径1R =，所以2sin b R B ==若选②，因为()2cos cos 2sin sin tan C A C A A +=-⋅，所以()sin 2cos cos 2sin sin cos AC A C A A+=-⋅，即222cos cos cos 2sin sin sin C A A C A A +=-，所以222cos cos 2sin sin sin cos C A C A A A -=--，所以()2cos 1C A +=-，所以1cos 2B =，又()0,πB ∈，所以π3B =，因为ABC 外接圆的半径1R =，所以2sin b R B ==若选③，ABC 的面积为)2224a c b +-，则)2221sin 24S ac B a c b ==+-，由余弦定理可得2222cos a c b ac B =+-，所以1sin cos 22ac B ac B =，所以tan B =，又()0,πB ∈，所以π3B =，因为ABC 外接圆的半径1R =，所以2sin b R B ==（2）由题知2π3ADC ∠=，设CAD α∠=，03α<<，由正弦定理22πsin sin sin sin3AC AD CD ADC ACD CAD ====∠∠∠，所以2sin CD α=，π2sin 3AD α⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以π2sin 2sin 3ACD C a =++)3(απ-ππ2sin 2sin cos 2cos sin 33a a a=+-sin 2sin a a a ==)3(απ-，因为π03α<<，所以ππ2π333α<+<，所以πsin 123α⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，所以ACD C Î∈2⎤+【答案】(1)条件选择见解析，3C =；(2)4+.【解析】（1）选择条件①，22cos a b c B =+，在ABC 中，由余弦定理得222222222a c b a c b a b c b ac a+-+-=+⋅=+，整理得222a bc ab +-=，则2221cos 22a b c C ab +-==，又()0,πC ∈，所以π3C =.选择条件②，2sin cos sin 2cos a A B bA C +=，于是sin cos sin cos cos a AB b A AC +=，在ABC 中，由正弦定理得，2sin cos sin sin coscos A B A B A A C +=，因为sin 0A ≠，则sin cossin cos cos A B B A C +，即()sin A B C +=，因为πA B C ++=，因此sin C C =，即tan C =()0,πC ∈，所以3C π=.232cos 2C C =-，在ABC 22(2cos 1)2cos 2C C C =--=-cos 2C C +=，则πsin 16C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又()0,πC ∈，即有ππ7π,666C ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则ππ62C +=，所以π3C =.（2）由（1）知，π3C =，有2π3ABC BAC ∠+∠=，而BAC ∠与ABC ∠的平分线交于点I ，即有π3ABI BAI ∠+∠=，于是2π3AIB ∠=，设ABI θ∠=，则π3BAI θ∠=-，且π03θ<<，在ABI △中，由正弦定理得，4π2πsin sin sin()sin33BI AI AB AIB θθ===∠-，所以)4sin π3(BI θ=-，4sin AI θ=，所以ABI △的周长为34sin(4si π)n θθ-+1sin )4sin 22θθθ=-+π2sin 4sin()3θθθ=++=++，由π03θ<<，得ππ2π333θ<+<，则当ππ32θ+=，即π6θ=时，ABI △的周长取得最大值4+，所以ABI △周长的最大值为4+2．如图，将边长为2的菱形ABDC 沿其对角线BC 对折，使得点A 、D 分别位于边长为2的等边PBC所在平面的两侧，且PA =，PD =．设E 是PA的中点．（1）证明：平面PBC ⊥平面ABC ；（2）求平面EBD 与平面ABC 夹角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）217【分析】（1）取BC 的中点O ，根据题意，分别证得OP BC ⊥和OP OA ⊥，利用线面垂直的判定定理，证得OP ⊥平面ABC ，进而证得平面PBC ⊥平面ABC ．（2）以O 为原点，建立空间直角坐标系，根据题意，分别求得平面ABC 和EBD 得到法向量(0,0,1)m =和()n = ，结合向量的夹角公式，即可求解.【解析】（1）证明：取BC 的中点O ，连接OA 、OP ，如图所示．因为四边形ABDC 是边长为2的菱形，PBC 是边长为2的等边三角形，所以ABC 也是边长为2的等边三角形，在等边PBC 中，O 是BC 的中点，可得OP BC ⊥且OA OP ==又因为PA =222PA OA OP =+，所以OP OA ⊥，因为⋂=OA BC O ，且,OA BC ⊂平面ABC ，所以OP ⊥平面ABC ；又因为OP ⊂平面PBC ，故平面PBC ⊥平面ABC ．（2）由（1）知，OP BC ⊥，OP OA ⊥．因为O 是等边ABC 的BC 边中点，可得OA BC ⊥．所以，以O 为原点，分别以,,OA OB OP 所在直线为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则,(0,1,0)(0,1,0),A B C -，可得33,0,22E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，因为DBC △是边长为2的等边三角形，故OD OP PD ===，所以60POD ∠=︒，且OD BC ⊥，又因为OP BC ⊥，OD OP O ⋂=，故BC ⊥平面DOP ，则D 在平面xOz 内，可得33,0,22D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以33,1,22BE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，33,1,22BD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ，设平面ABC 的法向量为(,,)m a b c = ，显然可令(0,0,1)m =；设平面EBD 的法向量为(,,)n x y z = ，则3302233022n BE x y z n BE x y z ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=--+=⎪⎩，令2z =，则0x =，y =，即()n =，所以27cos ,7m m m n m n⋅==，设平面EBD 与平面ABC 的夹角为θ，则21s in 7θ=，故平面EBD 与平面ABC的夹角的正弦值为7．变式：已知矩形ABCD 中，点E 在边CD 上，且22AD DE CE ===．现将ADE V 沿AE 向上翻折，使点D 到点P 的位置，构成如图所示的四棱锥P ABCE -．（1）若点F 在线段AP 上，且//EF 平面PBC ，求AFFP的值；（2）若142PB =，求锐二面角P EC A --的余弦值．【答案】（1）2（2）33【分析】1）点F 为线段AP 上靠近点P 的三等分点，过点F 作//FG AB 交PB 于点G ，连接CG ，可证//CE AB ，进而可证四边形FGCE 为平行四边形，可证//EF 平面PBC ．（2）取AE 中点O ，以O 为坐标原点建立空间直角坐标系，用向量法可求锐二面角P EC A --的余弦值．【解析】（1）点F 为线段AP 上靠近点P 的三等分点，满足//EF 平面PBC ，证明如下：如图，过点F 作//FG AB 交PB 于点G ，连接CG ，则13FG AB =，又2DE CE =，13CE AB =，所以13FG CE AB ==．因为//CE AB ，所以//CE FG ，所以四边形FGCE 为平行四边形，有//EF CG ，又EF ⊄平面PBC ，CG ⊂平面PBC ，所以//EF 平面PBC ．此时有2AFFP= .（2）2DE CE ==ADE V 为等腰直角三角形，322AB =，2AE =，135CEA ∠= ，45BAE ∠= ．取AE 的中点O ，以O 为坐标原点，OE 为x 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设()0,,P m n ，()1,0,0E ，31,,022⎛⎫- ⎪⎝⎭C ，13,,022B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()0,,OP m n = ，13,,22PB m n ⎛⎫=---⎪⎝⎭，因为1OP =，2PB =，所以22222211314222m n m n ⎧+=⎪⎪⎛⎫⎨⎛⎫⎛⎫+++= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭⎩，解得0,1m n ==，则(0,0,1)P ，(1,0,1)PE =-，11,,022EC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设平面PEC 的法向量为(),,m a b c =，则011022m PE a c m EC a b ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，不妨取1a =，则1,1b c ==，()1,1,1m =，设平面ECA 的一个法向量为()0,0,1n =，则cos ,||||3m n m n m n ⋅===⋅，则锐二面角P EC A --的的余弦值为33．3．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O 出发，随机移动n 次，每次等可能地向左或向右移动一个单位长度，n 次移动结束后，质点到达的位置的数字记为X .（1）若2n =，求()0P X =;（2）若6n =，求X 的分布列和()E X 的值.【答案】（1）12（2）分布列见解析，0【分析】（1）由()12022c P X ==⨯可直接得到结果；（2）首先求出X 的所有可能取值以及对应的概率，再结合离散型随机变量的期望公式求答案即可.【解析】（1）()1210222c P X ===⨯；（2）设Y 表示6次移动中向左移动的次数，则()1166322Y B E Y ⎛⎫~=⨯= ⎪⎝⎭，，，质点最后到达的数字62X Y =-，则：()()6061160264P X P Y C ⎛⎫===== ⎪⎝⎭，()()6161341232P X P Y C ⎛⎫=====⎪⎝⎭，()()62611522264P X P Y C ⎛⎫=====⎪⎝⎭，()()6361503216P X P Y C ⎛⎫===== ⎪⎝⎭，()()16664P X P X =-===，()()34432P X P X =-===，()()152264P X P X =-===，X ∴的分布列为：X6-4-2-0246P16433215645161564332164()()()62620E X E Y E Y =-=-=.变式：一个质点在一条直线上“随机游走”，向左走一步和向右走一步的概率均为12，试探讨下列问题：（1）若质点进行了4次“随机游走”，在其中恰有2次向右游走的情况下，求第二次向左游走的概率；（2）记()P i 为()2,3,4,,2i i n =+ 次游走中恰有2次向右游走的概率，令()()()232Y P P P n =++++ .记()2,3,,n ξξ= 为不超过n 次游走的情况下，向右游走2次后停止游走（若向右游走一直不足2次，在游走到n 次时也停止游走），此时一共游走的次数，ξ的数学期望为()E ξ.请比较()E ξ与2Y 的大小，并说明理由.【答案】（1）12（2）()2E Y ξ≥，理由见解析【分析】（1）设出事件，求出相应概率，利用条件概率公式求出答案；（2）先计算出()()112i i i P i +-=，进一步得求和式()22122n ii i i Y +=-=∑，另一方面若2,3,,1k n =- 时停止游走，最后一次必然向右游走，可以得出()12k k P k ξ-==，从而()2311221222n n P n ξ--⎛⎫==-+++ ⎝⎭ ，结合错位相减法、等比数列求和公式得()P n ξ=的表达式，进一步结合期望公式得()()2112122n kn k k k n E ξ--=-=+∑，将()E ξ与2Y 作差即可比较大小.【解析】（1）设事件n A 表示共有()0,1,2,3,4n n =次向右游走，事件B 表示第二次向左游走，则2BA 表示一共向右游走2次，且第二次向左游走，则从剩余的三次选择两次向右游走，故()22321113C 22216P BA =⨯⨯=，2A 表示一共向右游走2次，故()22422113C 228P A =⨯=，则()()()2223116328P BA P B A P A ===.（2）根据题意可知()()2212111C 222i i ii i P i -+-⎛⎫⎛⎫=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()()()22122112222322222n n i ii i i i i i Y P P P n +++==--=++++==∑∑ .若2,3,,1k n =- ，最后一次必然向右游走，故()2111111C 2222k k k k P k ξ---⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，()2311221222n n P n ξ--⎛⎫==-+++ ⎪⎝⎭ ，记231122222n n n S --=+++ ①.3411222222n n n S -=+++ ②.两式相减得2311111112214212222222212n n n n n n n n nS ----=+++-=-=-- ，112n n n S -∴=-，()111122n n n nP n ξ--∴==-+=.所以()()()()211122122n n kn k k k k n E kP k nP n ξξξ---==-==+==+∑∑；()()()()()()()221211122211112122222222n n i n i n n n n k i k k i i n n n n n n n n E Y ξ-+--++==---+++-=+-=--∑∑()()()()()()()()()1222121212112022222n n n n n n n n n n n n n n n ++++++++-+++-=-==≥，故()2E Y ξ≥.4．已知函数()()23ln 40f x x ax x a =+->．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当12a =时，若方程()f x b =有三个不相等的实数根123,,x x x ，且123x x x <<，证明：314x x -<．【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【分析】（1）求导，分0∆≤和0∆>两种情况，结合导数符号判断函数单调性；（2）根据题意分析可知：()f x 在()()0,1,3,+∞内单调递增，在()1,3内单调递减，123013x x x <<<<<，利用极值点偏离证明122x x +>和236x x +<，即可得结果.【解析】（1）由题意可知：()f x 的定义域为()0,∞+，()2324324ax x f x ax x x-+'=+-=，且0a >，令()0f x '=，可得22430ax x -+=，当01624a =-≤∆，即23a ≥时，可知22430ax x -+≥在()0,∞+内恒成立，即()0f x '≥在()0,∞+内恒成立，所以()f x 在()0,∞+内单调递增；当01624a =->∆，即023a <<时，由22430ax x -+=解得12462x a-=或222x a +=，由1212230,02x x x x a a+=>=>可知120x x <<，若()()120,,x x x ∞∈⋃+，()0f x ¢>；若()12,x x x ∈，()0f x '<；所以()f x 在()()120,,,x x +∞内单调递增，在()12,x x 内单调递减；综上所述：当23a ≥时，()f x 在()0,∞+内单调递增；当023a <<时，()f x 在2462460,,,22a a ⎛⎫⎛⎫++∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭内单调递增，在22,22a a ⎛+ ⎝⎭内单调递减.（2）当12a =时，可得()213ln 42f x x x x =+-，()34f x x x +'=-，由（1）可知：()f x 在()()0,1,3,+∞内单调递增，在()1,3内单调递减，由题意可得：123013x x x <<<<<，因为()()()123f x f x f x b ===，令()()()2,01g x f x f x x =--<<，则()()()()()233612024242x x x x g x f x f x x x x ⎛⎫+-+-- ⎪--⎛⎫'''=+-=+=> ⎪-⎝⎭⎭⎝，可知()g x 在()0,1内单调递增，则()()10g x g <=，可得()()2f x f x <-在()0,1内恒成立，因为101x <<，则()()()1212f x f x f x =<-，且12122,13x x <-<<<，()f x 在()1,3内单调递减，则122x x -<，即122x x +>；令()()()6,13h x f x f x x =--<<，则()()()()()233636064646x x x x g x f x f x x x x ⎛⎫+-+-- ⎪--⎛⎫'''=+-=+=> ⎪-⎝⎭⎭⎝，可知()h x 在()1,3内单调递增，则()()30h x h <=，可得()()6h x h x <-在()1,3内恒成立，因为213x <<，则()()()2326f x f x f x =<-，且23365,3x x <-<>，()f x 在()3,+∞内单调递增，则236x x ->，即236x x +<；由【解析】（1）函数()ln f x x ax =-的定义域为()0,∞+，导函数11()'-=-=axf x a x x，①当0a ≤时，()0f x '>，则()f x 在()0,+∞上单调递增；②当0a >时，令1()0f x a x ¢=-=，则1x a=，∴当10x a <<时，()0f x '>，函数()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，当1x a >时，()0f x '<，函数()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；（2）由（1）知，方程ln 0x ax -=的两个不等的正实根12,x x ，即1122ln ,ln x ax x ax ==，亦即()2121ln ln x x a x x -=-，从而2121ln ln x x a x x -=-，设21x t x =，又1202x x <<，即2t >，要证20x ->，即证2128x x <，只需证122ln x x <，即证123ln 22ax ax +<，即证()2123ln 2a x x ->，即证()212121ln ln 23ln2x x x x x x -->-，即证1222112ln 3ln 2x x x x x x -⋅>-，即证22121121ln 3ln21x x xx x x -⋅>-，即证21ln 3ln 21t t t -⋅>-，令()()21ln 21t g t t t t -=>-，则()()()212ln 3,21t t t g t t t +--=>-'设()()12ln 3,2F t t t t t =+-->，则()()()222111120t t F t t t t +-=--=>'则()F t 在()2,+∞上单调递增，有()()32ln 202F t F >=->，于是()0g t '>，即有()g t 在()2,+∞上单调递增，因此()()23ln2g t g >=，即21ln 3ln21t t t -⋅>，所以2128x x <成立，即20x ->．5．已知双曲线2212:1y C xb -=经过椭圆2222:1x C y a +=的左、右焦点12,F F ，设12,C C 的离心率分别为12,e e ，且122e e =．（1）求12,C C 的方程；（2）设P 为1C 上一点，且在第一象限内，若直线1PF 与2C 交于,A B 两点，直线2PF 与2C 交于,C D两点，设,AB CD 的中点分别为,M N ，记直线MN 的斜率为k ，当k 取最小值时，求点P 的坐标．【答案】（1）1C 的方程为2221,2y x C -=的方程为2212xy +=（2）)P 【解析】（1）依题意可得211a -=，得22a =，由1262e e =，得222212211312b a e e a +-=⋅=，解得22b =，故1C 的方程为2221,2y x C -=的方程为2212x y +=．（2）易知()()121,0,1,0F F -，设()00,P x y ，直线12,PF PF 的斜率分别为12,k k ，则200012122000,,111y y y k k k k x x x ===+--，()00,P x y在221:12y C x -=，即有220012y x -=，可得20122021y k k x ==-为定值．设直线1PF 的方程为：()11y k x =+，联立2212x y +=可得()()2222111214210,Δ0k x k x k +++-=>恒成立，设()()1122,,,A x y B x y ，则有211221421k x x k -+=+，可求得21122112,2121k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，设直线2PF 的方程为：()()()233441,,,,y k x C x y D x y =-，同理可得22222222,2121k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，则()()()()122222122112222222121221221221212121222212212121k k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++=-=-++++++()()()()()()1212121222222221212121212212182822k k k k k k k k k k k k k k k k k k ++++=-=-⎡⎤++++-⎣⎦由122k k =可得：()()122125242k k k k k +=-++，点P 在第一象限内，故210k k >>，()121255324242k k k k k =-≥=-+++当且仅当()1212242k k k k=++，即12k k+=时取等号，而12k k +>=，故等号可以取到．即当k 取最小值时，12k k +=122k k=，可解得121,1k k =-=+，故1PF 的方程为：)()211,y x PF =-+的方程为：)()11y x =+-，联立可解得2x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩)P．说明：第（2）问中未说明能取到最小值扣1分，另外可以分别设直线方程11x t y =-和21x t y =+求解，此时：121222221122221,,,,22222t t M N t t t t t t ⎛⎫⎛⎫--=⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭()()()()()12121222212122528412t t t t t t k t t t t +++=-=-++++也可以直接通过()00,P x y 的横纵坐标代换来求解，此时：()()()()()()2200000022222222000000001122,,,12121212y x y x y y M N x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+--- ⎪ ⎪⎪ ⎪++++-+-+⎝⎭⎝⎭()2222000000000022222200000000214114522422242243x x y x y x y x x y k y x y y x y x y -++=-⋅=-⋅=-⋅+++++都可以根据相应步骤给分．变式：已知抛物线21:44C y x =-与双曲线22222:1(0)4x y C a a a-=>-相交于两点,,A B F 是2C 的右焦点，直线AF 分别交12,C C 于,C D 两点（不同于,A B 点），直线,BC BD 分别交x 轴于,P Q 两点.（1）求a 的取值范围；（2）记AQF 的面积为1,S CQP 的面积为2S ，当123S S =时，求a 的值.【答案】（1）())11,2a ∈-⋃a =【解析】（1）由双曲线方程222214x y a a -=-，则22040a a ⎧>⎨->⎩，得到()0,2a ∈，联立㘯物线与双曲线方程222221444x y a a y x ⎧-=⎪-⎨⎪=-⎩，得到()2224440a x a x a --+=，，记()()()()2224224422f x a x a x a a x a a x a ⎡⎤⎡⎤=--+=+---⎣⎦⎣⎦，可知()0f x =有两个根22aa +和22a a -，其中212a a <+，则212a a>-，解得()1,2a ∈.又直线AF 分别交12,C C 于,C D （不同于,A B 点），即,,A B F 三点不共线，当2x =时，代入抛物线方程得到()2,2A ，将()2,2A 代入双曲线方程得到224414a a-=-，解得26a =-故1a =-.综上，())11,2a ∈⋃（2）由()()1122,,,A x y C x y 是直线AF 与抛物线21:44C y x =-的两个交点，显然直线AF 不垂直y 轴，点()2,0F ，故设直线AF 的方程为2x my =+，由2244x my y x =+⎧⎨=-⎩消去x 并整理得2440y my --=，所以124y y =-为定值.设()11,B x y -，直线BC 的斜率21212221212144444y y y y y y x x y y ++==++---，方程为()11214y y x x y y +=--，令0y =，得点P 的横坐标()2121112440444P y y y y y y x -++=+==，设()33,D x y ，由2222214x my x ya a =+⎧⎪⎨-=⎪-⎩消去x 得()()()2222222244440m m a a y m a y a --+-+-=，()()()()()2222222222222222240Δ1644444140m m a a m a am m a a a m a ⎧--≠⎪⎨=-----=+->⎪⎩，()()222131322222222444,44m a a y y y y m m a am m a a ---+==----，而直线BD 的方程为()311131y y y y x x x x ++=--，依题意0m ≠，令0y =，得点Q 的横坐标()()()13113113113131Q y x x y x x x y y x x y y y y --++=+=++133113y x y x y y +=+()()()1331131313132222y my y my my y y y y y y y +++++==++()()()2222222222222222248444444m a m a m m a a m m a a m a m m a a ---+----=----()2244122a a --==-，因此22112,22QF a PQ a =-=.联立抛物线与双曲线方程222221444x y a a y x ⎧-=⎪-⎨⎪=-⎩，得到()2224440a x a x a --+=，解得点A 的坐标2,2a a ⎛ -⎝，由122144,y y y y -=-==.根据123S S =，则1212312A CQF y S S PQ y⋅==⋅，代入得到2122122312a y a y ⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭=⋅，即()22121243a y a y y -⋅=⋅，化简得()()()222144122a a a a a+--⋅=-解得34a =，故a =。

2022年全国新高考Ⅰ卷数学试题变式题1-4题-(学生版)

2022年全国新高考Ⅰ卷数学试题变式题1-4题原题11．若集合{4},{31}M x N x x =<=≥∣,则M N = （）A ．{}02x x ≤<B ．123x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．{}316x x ≤<D ．1163x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭变式题1基础2．若集合{}22150A xx x =+-<∣,{4,2,0,2,4}B =--,则A B = （）A ．{2,0,2,4}-B ．{2,0,2}-C ．{0,2}D ．{0,2,4}变式题2基础3．已知集合{}13A x x =≤≤,{}2650B x Z x x =∈-+<,则A B = （）A ．∅B ．{1,2,3}C ．(1,3]D ．{2,3}变式题3基础4．已知集合{}2|2A x x x =-<,集合{}|0B x x =≤,则A B = （）A ．(1,0)-B ．(0,2)C ．(1,2)-D ．(1,0]-变式题4基础5．已知集合{}{}33,ln(1)A x x B x y x =∈-<<==+Z ,则A B = （）A ．{1,0,1,2}-B ．(1,3)-C ．{0,1,2}D ．(1,)-+∞变式题5巩固6．若集合{A y y ==,{}3log 2B x x =≤,则A B = （）A ．(]0,9B ．[)4,9C ．[]4,6D ．[]0,9变式题6巩固7．已知集合(){}lg 1A x y x ==-,{}2,xB y y x A ==∈,则A B = （）A ．(),1-∞B ．()0,1C ．()1,+∞D ．()2,+∞变式题7巩固8．已知集合{}2560,{01}A xx x B x x =--<=<<∣∣,则A B = （）A ．{11}x x -<<∣B ．{01}x x <<∣C ．{06}x x ≤<∣D ．{16}xx -<<∣变式题8提升9．已知集合}{A x x =->12,}{log B x x =<41,则A B = （）A ．()3,4B ．()(),,-∞-134 C ．()1,4D ．(),4-∞变式题9提升10．已知集合{}22A x x x =≤,集合{}cos B y y x ==,则A B = （）A ．[]0,2B ．[]0,1C ．[]1,1-D ．[]1,2-变式题10提升11．若集合2{|60}A x x x =--+>,5{|1}3B x x =≤--,则A B 等于（）A ．()3,3-B ．[2,3)-C ．(2,2)-D ．[2,2)-原题212．若i(1)1z -=,则z z +=（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2变式题1基础13．已知复数23i i i 1i z ++=+,z 是z 地共轭复数,则z z ⋅=（）A ．0B ．12C ．1D ．2变式题2基础14．已知i 是虚数单位,z 是复数z 地共轭复数,若()1i 2z -=,则i z 为（）A ．2i +B ．2i-C ．1i+D ．1i-变式题3基础15．在复平面内,复数z 对应地点地坐标是(1,3)-,则复数zz地虚部是（）A ．35B ．45C ．35iD ．4i5变式题4基础16．已知i2i iz z +=-（i 为虚数单位）,则z =（）A ．43i55+B ．34i55-C ．34i55+D ．43i55-变式题5巩固17．i 为虚数单位,复数2112iz i i+=++-,复数z 地共轭复数为z ,则z 地虚部为A ．i B ．2i-C ．2-D ．1变式题6巩固18．已知复数z 满足()20211z i i+=,则复数z 地共轭复数z =（）A ．1122-+iB ．iC ．i-D ．1122i-变式题7巩固19．已知2022i 1i 2iz +=-++,则2z z -=（）A ．5BCD ．6变式题8巩固20．若()1i z ⋅+=,则·z z 地值为（）AB ．2C D ．3变式题9提升21．已知复数232019i i i i 1i z ++++=+ ,z 是z 地共轭复数,则z z ⋅=（）A ．0B ．12C ．1D ．2变式题10提升22．若2z i =+,则z zz z-=（）A ．85iB ．2455i-C ．85i-D ．2455i+变式题11提升23．已知复数34z i =+,则5z z-（）A ．68i --B ．68i+C ．121655i -+D ．121655i -原题324．在ABC 中,点D 在边AB 上,2BD DA =．记CA m CD n == ，,则CB=（）A ．32m n- B ．23m n-+C ．32m n+ D ．23m n+ 变式题1基础25．在ABC 中,D 是AB 边上一点,3AD DB =,则（）A ．1344=+u u u r u u r u u r CD CA CBB ．2133CD CA CB =+C ．3144CD CA CB=+ D ．1233CD CA CB=+ 变式题2基础26．在ABC 中,点D 在线段BC 上,且2BD DC =,则AD =（）A ．2133AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r B ．1233AD AB AC =+ C ．2AD AB AC=+ D ．2AD AB AC=+ 变式题3基础27．在ABC 中,AD 为BC 边上地中线,E 在线段AD 上,2AE ED =,则EB =（）A ．3144AB AC - B ．2133AB AC -C ．2233AB AC-D ．3144AB AC+变式题4基础28．在等边ABC 中,O 为重心,D 是OB 地中点,则AD =（）A ．AB AC + B ．2132AB AC + C ．1124AB AC +D ．2136AB AC +变式题5巩固29．如图所示,在ABC 中,CE 是边AB 地中线,O 是CE 地中点,若→→=AB a ,→→=AC b ,则AO 等于（）A ．1122a b+ B ．1142a b+C ．1144a b+ D ．1124a b+r r 变式题6巩固30．在平行四边形ABCD 中,3DE EC = ,若AE 交BD 于点M ,则AM =（）A ．1233AM AB AD =+ B ．3477AM AB AD =+C ．2133AM AB AD=+ D ．2577AM AB AD=+变式题7巩固31．如图,ABC 是等边三角形,ADC 是等腰直角三角形,90ADC ∠=︒,线段,AC BD 交于点O ,设BC = a ,BA = b,用a ,b 表示OD 为（）A ．OD =B ．OD =C ．OD = D ．OD = 变式题8巩固32．如图,在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O ,且38AE AC = ,则BE =（）A ．5388AB AD-B ．3588AB AD-C ．5388AB AD-+D ．5388AB AD+变式题9提升33．如图所示,在由3个全等地三角形与中间地一个小等边三角形拼成地一个大等边三角形中,设3DF FA =,则（）A ．36246363AD AB AC =+B ．36126363AD AB AC =+C ．48246363AD AB AC =+ D ．48126363AD AB AC =+ 变式题10提升34．如图,在直角梯形ABCD 中,22AB AD DC ==,E 为BC 边上一点,BC3EC = ,F 为AE 地中点,则BF＝（）A ．2133AB AD - B ．1233AB AD -C ．2133AB AD-+D ．1233AB AD-+变式题11提升35．地砖是一种地面装饰材料,也叫地板砖,用黏土烧制而成,质坚，耐压，耐磨，防潮．地板砖品种非常多,图案也多种多样．如图是某公司大厅地地板砖铺设方式,地板砖有正方形与正三角形两种形状,且它们地边长都相同,若OA a = ,OB b = ,则AF =（）A ．5122a b-- B．2a ⎛-+ ⎝ C．2a ⎛- ⎝ D．2a ⎛- ⎝ 原题436．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔1485m ．时,相应水面地面积为21400km ．。

高中数学新教材变式题汇总1

一、集合与函数1．（人教版第14页B 组第1题）已知集合{}1,2A =，集合B 满足{}1,2AB =，则集合B 有个.变式1：已知集合{}1,2A =，集合B 满足A B A =，集合B 与集合A 之间满足的关系是解：B A ⊆变式2：已知集合A 有n 个元素，则集合A 的子集个数有个，真子集个数有个解：子集个数有2n 个，真子集个数有21n -个变式3：满足条件{}{}1,21,2,3A =的所有集合A 的个数是个解：3必须在集合A 里面，A 的个数相当于2元素集合的子集个数，所以有4个. 设计意图：考察集合的运算与集合之间的关系 2．（人教版第14页A 组第10题）已知集合{}|37A x x =≤<，{}|210B x x =<<，求()R C AB ，()RC A B ，()R C A B ，()R A C B变式1：已知全集,U R =且{}{}2|12,|680,A x x B x x x =->=-+<则()U C A B 等于A.[1,4)- B (2,3) C (2,3] D (1,4)- 解：答案为C ，集合{}{}||1|2|31A x x x x x =->=><-或，所以{}|13U C A x x =-≤≤，集合{}{}2|680|24B x x x x x =-+<=<<，所以()U C A B 为(2,3]变式2：设集合{}22,A x x x R =-≤∈，{}2|,12B y y x x ==--≤≤，则()R C A B 等于（）A ．RB ．{},0x x R x ∈≠ C ．{}0 D ．∅ 解：[0,4]A =，[4,0]B =-，所以(){0}R R C AB C =，故选B 。

变式3．已知集合{}|110,P x N x =∈≤≤集合{}2|60,Q x R x x =∈+-=则PQ 等于（A ）{}1,2,3 （B ）{}2,3 （C ）{}1,2 （D ）{}2 解：集合{}{}2|603,2Q x R x x =∈+-==-，所以答案为D.设计意图：结合不等式考察集合的运算3．（北师大版第21页B 组第2题）已知集合{}31,3,A a =-，{}1,2B a =+，是否存在实数a ，使得B A ⊆，若存在，求集合A 和B ，若不存在，请说明理由.变式1：已知集合A ＝{－1，3，2m －1}，集合B ＝{3，2m }．若B A ⊆，则实数m ＝．解：由已知22212101m m m m m =-⇒-+=⇒=变式2：{}2|60A x x x =+-=，{}|10B x mx =+=，且A B A =，则m 的取值范围是______ .解：{}{}2|603,2A x R x x =∈+-==-，当B =Φ时，0m =，当0m ≠时，1x m =-，所以12m-=或13m -=-，所以12m =-或13m =-，所以110,,23m ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭变式3：设{}2|40A x x x =+=，{}22|2(1)10B x x a x a =+++-=且A B B =，求实数a 的值.解：{}4,0A =-，因为AB B =，所以B A ⊆，所以B =Φ或{}4B =-或{}0B =或{}4,0B =-，当B =Φ时，224(1)4(1)01a a a ∆=+--<⇒<-，当{}4B =-或{}0B =时， 01a ∆=⇒=-，{}0B =符合题意，当{}4,0B =-时，2402(1)401a a -+=-+⎧⎨-⨯=-⎩1a ⇒= 所以1a ≤-或1a =设计意图：结合参数讨论考察集合运算4．（北师大版第38页B 组第1题）设函数3()32f x x =-，1()23g x x =-，求函数()()f x g x 的定义域.变式1：函数)13lg(13)(2++-=x xx x f 的定义域是A.),31(+∞- B. )1,31(- C. )31,31(- D. )31,(--∞解：由13101301<<-⇒⎩⎨⎧>+>-x x x ，故选B.变式2：设()x x x f -+=22lg，则⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为A. ()()4,00,4 -B. ()()4,11,4 --C. ()()2,11,2 --D. ()()4,22,4 --解：选 C.由202x x +>-得，()f x 的定义域为{}|22x x -<<。

高一数学第二章初等函数变式练习(2)

变式练习一、选择题1．如果函数f （x ）＝（a 2－1）x在R 上是减函数，那么实数a 的取值范围是（） A ．｜a ｜＞1 B ．｜a ｜＜2C ．｜a ｜＞3D ．1＜｜a ｜＜2解析：由函数f （x ）＝（a 2－1）x 的定义域是R 且是单调函数，可知底数必须大于零且不等于1，因此该函数是一个指数函数，由指数函数的性质可得0＜a 2－1＜1，解得1＜｜a ｜＜2．答案：D 2．函数y ＝a x －2＋1（a ＞0，a ≠1）的图象必经过点（）A ．（0，1）B ．（1，1）C ．（2，0）D ．（2，2）解析：由于函数y ＝a x经过定点（0，1），所以函数y ＝a x －2经过定点（2，1），于是函数y ＝ax －2＋1经过定点（2，2）．答案：D3．函数y ＝a x在［0，1］上的最大值与最小值和为3，则函数y ＝3ax －1在［0，1］上的最大值是（）A ．6B ．1C ．3D ．23解析：由于函数y ＝a x在［0，1］上是单调的，因此最大值与最小值都在端点处取到，故有a 0＋a 1＝3，解得a ＝2，因此函数y ＝3a x －1在［0，1］上是单调递增函数，最大值当x＝1时取到，即为3．答案：C4．设f （x ）＝x)21(，x ∈R ，那么f （x ）是（） A ．奇函数且在（0，＋∞）上是增函数 B ．偶函数且在（0，＋∞）上是增函数 C ．函数且在（0，＋∞）上是减函数D ．偶函数且在（0，＋∞）上是减函数解析：因为函数f （x ）＝x )21(＝⎪⎩⎪⎨⎧≥02)0()21(＜x x x x，图象如下图．由图象可知答案显然是D ．答案：D5．下列函数中值域为正实数的是（）A ．y ＝x-215B ．y ＝x-1)31(C ．y ＝1)21(－xD ．y ＝x21－解析：A 中指数取不到零，因此值域为（－0，1）∪（1，＋∞）；B 的指数可以取到所有实数，故值域是正实数；C 和D 的值域都是［0，＋∞）．因此答案是B ．答案：B 6．函数y ＝2－x ＋1＋2的图象可以由函数y ＝（21）x的图象经过怎样的平移得到（） A ．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B ．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C ．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位D ．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位解析：函数y ＝2－x ＋1＋2可变形为y ＝（21）x －1＋2．答案：C7．在图中，二次函数y ＝ax 2＋bx 与指数函数y ＝（ab ）x的图象只可为（）解析：本题是一个图形分析型综合题，重在寻找突破口，因为y ＝（ab ）x是一指数函数，故有a b ＞0，即a 、b 同号，于是二次函数y ＝ax 2＋bx 的对称轴x ＝－ab2＜0，故B 、D 均错；又由指数函数的图象，得0＜a b ＜1，则0＞－a b 2＞－21，即二次函数的顶点横坐标在区间（－21，0）内，显然C 错．因此答案为A ．答案：A8．若－1＜x ＜0，则不等式中成立的是（） A ．5－x＜5x ＜0.5x B ．5x ＜0.5x ＜5－xC ．5x＜5－x＜0.5xD ．0.5x＜5－x＜5x解析：根据指数函数图象可观察答案是B ．答案：B 二、填空题 9．函数y ＝－2－x的图象一定过____象限．解析：y ＝－2－x＝－（21）x ，它可以看作是指数函数y ＝（21）x的图象作关于x 轴对称的图象，因此一定过第三象限和第四象限．答案：三、四 10．函数f （x ）＝a x －1＋3的图象一定过定点P ，则P 点的坐标是___________．解析：f （x ）＝ax －1＋3的图象可以看作把f （x ）＝a x的图象向右平移一个单位再向上平移3个单位而得到，且f （x ）＝a x一定过点（0，1），则f （x ）＝a x －1＋3应过点（1，4）．答案：（1，4） 11．函数y ＝3－x与__________的图象关于y 轴对称．解析：图象与y ＝3－x关于y 轴对称的函数为y ＝3x．答案：y ＝3x12．已知函数f （x ）＝21)31(x -，其定义域是____________，值域是___________．解析：由1－x 2≥0解出定义域［－1，1］，由0≤21x －≤1及函数y ＝x)31(的单调性可知1)31(≤21)31(x -≤0)31(，即31≤y ≤1．答案：［－1，1］［31，1］。

高中数学新教材变式题汇总

一、集合与函数1．（人教版第14页B 组第1题）已知集合{}1,2A =，集合B 满足{}1,2AB =，则集合B 有个.变式1：已知集合{}1,2A =，集合B 满足A B A =，集合B 与集合A 之间满足的关系是解：B A ⊆变式2：已知集合A 有n 个元素，则集合A 的子集个数有个，真子集个数有个解：子集个数有2n 个，真子集个数有21n -个变式3：满足条件{}{}1,21,2,3A =的所有集合A 的个数是个解：3必须在集合A 里面，A 的个数相当于2元素集合的子集个数，所以有4个. 设计意图：考察集合的运算与集合之间的关系 2．（人教版第14页A 组第10题）已知集合{}|37A x x =≤<，{}|210B x x =<<，求()R C AB ，()RC A B ，()R C A B ，()R A C B变式1：已知全集,U R =且{}{}2|12,|680,A x x B x x x =->=-+<则()U C A B 等于A.[1,4)- B (2,3) C (2,3] D (1,4)- 解：答案为C ，集合{}{}||1|2|31A x x x x x =->=><-或，所以{}|13U C A x x =-≤≤，集合{}{}2|680|24B x x x x x =-+<=<<，所以()U C A B 为(2,3]变式2：设集合{}22,A x x x R =-≤∈，{}2|,12B y y x x ==--≤≤，则()R C AB 等于（）A ．RB ．{},0x x R x ∈≠ C ．{}0 D ．∅ 解：[0,4]A =，[4,0]B =-，所以(){0}R R C AB C =，故选B 。

变式3．已知集合{}|110,P x N x =∈≤≤集合{}2|60,Q x R x x =∈+-=则PQ 等于（A ）{}1,2,3 （B ）{}2,3 （C ）{}1,2 （D ）{}2 解：集合{}{}2|603,2Q x R x x =∈+-==-，所以答案为D.设计意图：结合不等式考察集合的运算3．（北师大版第21页B 组第2题）已知集合{}31,3,A a =-，{}1,2B a =+，是否存在实数a ，使得B A ⊆，若存在，求集合A 和B ，若不存在，请说明理由.变式1：已知集合A ＝{－1，3，2m －1}，集合B ＝{3，2m }．若B A ⊆，则实数m ＝．解：由已知22212101m m m m m =-⇒-+=⇒=变式2：{}2|60A x x x =+-=，{}|10B x mx =+=，且A B A =，则m 的取值范围是______ .解：{}{}2|603,2A x R x x =∈+-==-，当B =Φ时，0m =，当0m ≠时，1x m =-，所以12m-=或13m -=-，所以12m =-或13m =-，所以110,,23m ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭变式3：设{}2|40A x x x =+=，{}22|2(1)10B x x a x a =+++-=且A B B =，求实数a 的值.解：{}4,0A =-，因为AB B =，所以B A ⊆，所以B =Φ或{}4B =-或{}0B =或{}4,0B =-，当B =Φ时，224(1)4(1)01a a a ∆=+--<⇒<-，当{}4B =-或{}0B =时， 01a ∆=⇒=-，{}0B =符合题意，当{}4,0B =-时，2402(1)401a a -+=-+⎧⎨-⨯=-⎩1a ⇒= 所以1a ≤-或1a =设计意图：结合参数讨论考察集合运算4．（北师大版第38页B 组第1题）设函数()f x =()g x =，求函数()()f x g x 的定义域.变式1：函数)13lg(13)(2++-=x xx x f 的定义域是A.),31(+∞- B. )1,31(- C. )31,31(- D. )31,(--∞解：由1311301<<-⇒⎩⎨⎧>+>-x x x ，故选B.变式2：设()x x x f -+=22lg，则⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为A. ()()4,00,4 -B. ()()4,11,4 --C. ()()2,11,2 --D. ()()4,22,4 --解：选 C.由202x x +>-得，()f x 的定义域为{}|22x x -<<。

人教版高中数学必修一《基本初等函数》同步变式练习及解析

新课标人教版数学•必修高一(上)同步变式练习第二章基本初等函数(I)变式练习1一、选择题1. y= f (x)(x€ R)是奇函数，则它的图象必经过点( )A •(—a,—f(—a)) B.( a,— f (a))C.( a, f (丄)) D •(—a,—f (a)) 答案：Da2•设定义在R上的函数f (x)=| x I,则f (x)( )A •既是奇函数，又是增函数B.既是偶函数，又是增函数C.既是奇函数，又是减函数D.既是偶函数，又是减函数解析：本题可以作出函数图象，由图象可知该函数为偶函数，又是R上的增函数.答案：B3•设f (x)是R上的偶函数，且在(0,+^)上是减函数，若x i v 0且x i + x2 >0,贝U( )A • f ( —x i)> f (—x2) B. f ( —X1)= f ( —X2)C. f ( —X1)v f ( —x2)D. f ( —X i)与f ( —x2)大小不确疋解析：x2> —x i> 0, f (X)是R 上的偶函数，••• f ( —x i)= f (x i).又 f (x) 在(0,+x)上是减函数，• f ( —X2)= f (X2)V f ( —x i).答案：A二、填空题4. ______________________________________________________ 已知f(x)= x5+ ax3+ bx—8, f ( —2)= i0,贝U f (2)： __________________ .解析：f ( —2) = ( —2) 5+ a ( —2) 3—2b —8= i0, •(—2) 5+ a ( —2) 3—2b= i8, f (2)= 25+ 23a+ 2b —8=—i8—8= —26.答案：-265. 若f (x)是偶函数，其定义域为R且在［0, +^)上是减函数，贝U f (—3)与f (a2—a+ i)的大小关系是43解析：a2—a+ 1 > ，：f (x)在［0,+x ］上是减函数，4••• f (a2—a+ 1)< f ( - ) •又f (x)是偶函数，.f (— - )= f (-).4 4 4••• f (a2—a+ 1)< f (—-).4答案：f (a2一a+1 )< f ( 3)4三、解答题6. 已知函数f (x)= x+三，且f (1)= 2.(1)求m；(2)判断f (x)的奇偶性；(3)函数f (幻在(1,+x)上是增函数还是减函数？并证明.解：(1) f (1): 1 + m= 2, m= 1.1 1(2) f (x)= x+ —, f ( —x)二一x—— = —f (x),A f (x)是奇函数.x x(3)设X1、X2是(1,+x)上的任意两个实数，且X1V X2,贝U11 1 1f ( X1 ) —f ( X2)= X1 + —( x2+ )= X1 —X2+( —一——)x1X2X1x2、，X1—*2、、X1X2—1=X1 —X2 —=( X1 —X2)X1X2X1X2当1v X1V X2 时，X1X2> 1 , X1X2 —1> 0,从而 f ( X1)— f ( X2)V 0, 即 f (X1)V f ( X2).1•••函数f (x)=丄+ X在(1,+x)上为增函数.X变式练习2一、选择题1.如果函数f (x) = ( a2—1) x在R上是减函数，那么实数a的取值范围是( )A. | a |> 1B.| a |v2C.| a |>3D. 1v| a |v • 2a2- 1v 1,解得1v| a |v 2 .答案：D2. 函数y= a x-2+ 1 （a>0, a^ 1）的图象必经过点（）A. （0, 1）B.（1, 1）C.（2, 0）D.（2, 2）解析：由于函数y= a x经过定点（0, 1）,所以函数y= a x-2经过定点（2, 1）,于是函数y= a x-2+ 1经过定点（2, 2）.答案：D3. 函数y= a x在］0, 1］上的最大值与最小值和为3,则函数y= 3ax- 1在［0, 1］上的最大值是（）3A. 6B. 1C. 3D.-2解析：由于函数y= a x在］0, 1］上是单调的，因此最大值与最小值都在端点处取到，故有a0+ a1二3,解得a = 2,因此函数y= 3a x-1在］0, 1］上是单调递增函数，最大值当x= 1时取到，即为3.答案：C4. 设f （x）=, x€ R,那么f （乂）是（）A. 奇函数且在（0,+x）上是增函数B. 偶函数且在（0,+^）上是增函数C. 函数且在（0,+^）上是减函数D. 偶函数且在（0,+^）上是减函数解析: 因为函数f （x）/ 1\X /（2）0）图象如下图.由图象可知答案显然是D . 答案：D 5.下列函数中值域为正实数的是( )B. y =（1）1X答案是B .答案：B 6. 函数y = 2—x +1+ 2的图象可以由函数y =( 1) x 的图象经过怎样的平移2得到()答案：C解析：本题是一个图形分析型综合题，重在寻找突破口，因为y =( -) xa是一指数函数，故有b >0,即a 、b 同号，于是二次函数y = ax 2 + bx 的对称轴xa —v 0,故B 、D 均错；又由指数函数的图象，得0vb v 1,则0>—— >2aa2a1y = 52xC . y =D . y = . 1— 2X解析: A 中指数取不到零，因此值域为(一0, i )U( 1,+^); B 的指数可以取到所有实数，故值域是正实数;C 和D 的值域都是］0,+^).因此A .先向左平移 i 个单位, 再向上平移 2个单位B .先向左平移 i 个单位, 再向下平移 2个单位C .先向右平移 i 个单位, 再向上平移 2个单位D .先向右平移再向下平移解析：函数y = 2—x +1+ 2可变形为y =( 1)2i 个单位, 2个单位 x —1+ 2.7.在图中，二次函数y = ax 2+ bx 与指数函数 y = ( —)x 的图象只可为()1 1—1 2 ,即二次函数的顶点横坐标在区间(一丄，0)内，显然C 错.因此答案为 2 2 A .答案：A8.若一1v x v 0,则不等式中成立的是()A . 5—x v 5X v 0.5XB . 5X v 0.5X v 5—xC . 5X v 5 — x v 0.5XD . 0.5X v 5—x v 5X解析：根据指数函数图象可观察答案是 B . 答案：B 二、填空题9 .函数尸一2—x 的图象一定过 _______ 象限.解析：y = — 2—X =—( 1) x ，它可以看作是指数函数y =( - ) x 的图象作22 关于x 轴对称的图象，因此一定过第三象限和第四象限.答案：三、四10. ___________________________________________________________ 函数f(x ) = a x —1 + 3的图象一定过定点P,则P 点的坐标是 ________________ .解析：f (x )=a X —1 + 3的图象可以看作把f (x )=a X 的图象向右平移一个单位再向上平移3个单位而得到，且f (x )二a x 一定过点(0, 1),则f (x )二a x —1+ 3 应过点(1, 4).答案：(1, 4)11. ______________________ 函数y =3—x 与的图象关于y 轴对称. 解析：图象与y =3—x 关于y 轴对称的函数为y =3X .答案：y = 3X1212. ______________________________________________ 已知函数f(x )=(丄)山x ，其定义域是 _ 值域是3变式练习3[—1,1]，由 0W 1—x 2 < 1 及函数 y = Q)的单调性可知(新 <(》1 ” <(2)。

全等三角形中的变式训练题

全等三角形中的变式训练题一、基本图形例：已知如图，AB⊥DC于B，且BD=BA，BE=BC。

求证：⑴DE=AC ⑵DE⊥AC变式一、将上题中的△DBE沿DC方向平移至下图中的各种情况时，还有DE=AC、DE⊥AC吗？为什么？变式二：已知：如图，△ABC中，AC=BC，AC⊥BC，直线EF交AC于F，交AB于E，交BC的延长线于D，且CF=CD，连结AD、BF，则BF与AD有何关系？试证明你的结论。

变式三：如图所示，在正方形ABCD中，E是正方形边AD上一点，F是BA延长线上一点，并且AF=AE，已知△ABE≌△ADF。

⑴在图中，可以通过平移、翻折、旋转中的哪一种方法，使△ABE与△ADF完全重合；⑵指出图中线段BE与DF之间的关系。

变式四：已知：如图，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BE⊥AC，FD=CD，求证：BF=AC变式五：△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，CE⊥BD于E，若BD=m，EC=n，试探m、n之间的关系式。

二、基本图形例：△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线MN过点A，BD⊥MN于D，CE⊥MN于E，当MN在△ABC外部时，猜想并证明DE、DB、CE的等量关系。

变式一：原题其它条件不变，当MN与线段BC相交时，即变成下图⑴、⑵时，猜想并证明DE、BD、CE之间又各有怎样的等量关系。

变式二：如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，D是斜边AB上任一点，AE⊥CD于E，BF⊥CD于交线段CD延长线于F，CH⊥AB于H，交AE于G，CG与BD相等吗？为什么？变式三：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD是中线，AF⊥BD于F，过C作AB垢平行线交AF的延长线于点E，求证：⑴∠ABD=∠FAD ⑵AB=2CE三、基本图形例：已知：如图，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：DE=DF变式一：已知：如上图，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：AE=AF变式二：已知：如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BD=CD，求证：BE=CF变式三：如图，BD=CD，∠ABD+∠ACD=180°，求证：AD平分∠BAC。

2022年全国新高考Ⅰ卷数学试题变式题17-19题-(学生版)

2022年全国新高考Ⅰ卷数学试题变式题17-19题原题171．记n S 为数列{}n a 地前n 项和,已知11,n n S a a ⎧⎫=⎨⎩⎭是公差为13地等差数列．(1)求{}n a 地通项公式。

(2)证明：121112na a a +++< ．变式题1基础2．已知数列{}n a 满足：对任意*n N ∈,有()212333323314n n n n a a a n ⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=⋅-+.(1)求数列{}n a 地通项公式;(2)设14122n n n a n n n a b a a a ++++=⋅⋅⋅,证明：1214n b b b ++⋅⋅⋅+<.变式题2基础3．已知正项数列{}n a 地前n 项和n S 满足：22,(N )n n S a n +=-∈.(1)求数列{}n a 地通项公式。

(2)令()()()2221N log log n n n b n a a ++=∈⋅,求证：数列{}n b 地前n 项和34n T <.变式题3基础4．已知数列{}n a 地前n 项和为n S ,13a =,()()*112n n S n a n -=+∈N .(1)求数列{}n a 地通项公式n a 和前n 项和n S 。

(2)设()()*22111k k k b k S S +=∈+⋅N ,数列{}n b 地前n 项和记为n T ,证明：()*16n T n <∈N .变式题4基础5．已知数列{}n a 满足11a =,且11n n a a n +-=+,n S 是1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭地前n 项和．(1)求n S 。

(2)若n T 为数列2n S n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭地前n 项和,求证：259n T <．变式题5巩固6．已知等比数列{}n a 公比为正数,其前n 项和为n S ,且4244,30a a S ==.数列{}n b 满足：*1115,23,2n n n n b a b a b n n N ++==++∈.(1)求数列{}{},n n a b 地通项公式：(2)求证：()()3112..212233411n n b b b b b n n n n -+++⋯++<⨯⨯⨯-⨯⨯+.变式题6巩固7．已知等差数列{}n a 地前n 项和为n S ,且11a =,5212S S =+。

2021年高考全国数学高考真题变式题21-23题-(解析版)

设点、、，
直线的方程为，即，即，
同理可知，直线的方程为，
由于点为这两条直线的公共点，则，
所以，点A、的坐标满足方程，
所以，直线的方程为，
联立，可得，
由韦达定理可得，，
所以，，
点到直线的距离为，
所以，，
，
由已知可得，所以，当时，的面积取最大值 .
[方法二]【最优解】：切点弦法+分割转化求积+三角换元求最值
（1）求抛物线的方程；
（2）证明： .
变式题6提升
7．已知：抛物线，曲线，过上一点作的两条切线，切点分别为．
（1）若，求两条切线的方程；
（2）求面积的取值范围．
原题22
8．在直角坐标系中，的圆心为，半径为1．
（1）写出的一个参数方程;
（2）过点作的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．
2．（1）；（2）或 .
【分析】（1）设直线交抛物线于点、，将直线方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式可得出关于的等式，结合可求得实数的值；
（2）设点，求出点到直线的距离，利用三角形的面积公式可求得关于的等式，即可解得的值，即可得出点的坐标.
【详解】（1）设直线交抛物线于点、，
（2）
解：由（1）知：，
到直线的距离为：，
∴ ，
∴ 时，取得最小值，此时直线的方程为 .
【点睛】思路点睛：本题考查直线与抛物线的交点相关问题，涉及到抛物线的切线和三角形的面积的最值，直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．属中档题.

高中数学变式练习题及讲解

高中数学变式练习题及讲解### 高中数学变式练习题及讲解#### 练习题1：函数的性质题目：给定函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)，求该函数的最小值。

解答：首先，我们可以将函数 \( f(x) \) 进行配方，得到 \( f(x) = (x - 2)^2 - 1 \)。

由于 \( (x - 2)^2 \) 总是非负的，所以 \( f(x) \) 的最小值出现在 \( (x - 2)^2 = 0 \) 时，即 \( x = 2 \)。

此时，\( f(x) = -1 \)。

因此，函数 \( f(x) \) 的最小值为 \( -1 \)。

#### 练习题2：三角函数的恒等变换题目：证明 \( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \)。

解答：根据三角函数的倍角公式，我们知道 \( \sin(2x) = \sin(x + x) \)。

根据正弦的和角公式，我们有 \( \sin(x + x) = \sin(x)\cos(x) +\cos(x)\sin(x) \)。

将右边的两项合并，得到 \( \sin(2x) =2\sin(x)\cos(x) \)，从而证明了该恒等式。

#### 练习题3：立体几何题目：一个正四面体的边长为 \( a \)，求其体积。

解答：正四面体的体积 \( V \) 可以通过公式 \( V =\frac{\sqrt{2}}{12}a^3 \) 计算。

首先，我们需要计算正四面体的高。

正四面体的高可以通过勾股定理计算，设高为 \( h \)，则 \( h = \sqrt{a^2 - \left(\frac{\sqrt{3}}{3}a\right)^2} =\frac{\sqrt{6}}{3}a \)。

然后，使用体积公式 \( V = \frac{1}{3} \times \text{底面积} \times \text{高} \)，其中底面积为\( \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \)，代入高 \( h \)，得到 \( V =\frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \times\frac{\sqrt{6}}{3}a = \frac{\sqrt{2}}{12}a^3 \)。

高中数学教材变式题过关训练新人教A版选修2-2

《选修2-2》教材变式题过关训练第一章导数与积分1、已知2()(23)f x x =+，则'(1)f = 。

2、一个质量3m kg =的物体作直线运动，设运动距离s （单位：m ）与时间t （单位：s ）的关系可用函数2()1s t t =+表示，并且物体的动能212U mv =、则物体开始运动后第4 s 时的动能为。

3、函数ln y x x =在点(1,0)M 处的切线方程为。

4、函数()x f x e x =-的单调递增区间为，单调递减区间为。

5、曲线3y x =与1x =及x 轴所围成的封闭区域的面积为。

6、已知2()f x x bx c =++，当1x =时，()f x 有最小值4，则b = ，c = 。

7、右图是函数()f x 的导函数'()f x 的图象，由图可以看出，函数()f x 取极小值时x 的值为；函数()f x 单调递减区间为。

8、函数2()()f x x x m =-在2x =处有极大值，则m 的值为。

9、计算30|2|x dx -⎰= 。

10、已知函数2()(3)f x x x =-、（1）求()f x 的单调区间；（2）求()f x 的极值；（3）求()f x 在区间[0,2]的最大值与最小值。

11、已知某商品生产成本C 与产量x 的函数关系式为504C x =+，价格p 与产量x 的函数关系时为21002p x =-。

（1）写出利润y 与产量x 的函数关系式；（2）求产量x 为何值时，利润y 最大。

12、已知曲线21:2C y x =与221:2C y x =在第一象限内交点为P 。

（1）求过点P 且与曲线2C 相切的直线方程；（2）求两条曲线所围图形（如图所示阴影部分）的面积S 。

第二章推理与证明1、在数列{}n a 中，11a =，11n n na a a +=+，则2a = ，3a = ，4a = ，由此可猜想n a = 。

高一数学必修一 1。3。1变式练习

变式练习一、选择题1．函数y ＝x 2－6x ＋10在区间（2，4）上是（）A ．递减函数B ．递增函数C ．先递减再递增D ．选递增再递减．解析：本题可以作出函数y ＝x 2－6x ＋10的图象，根据图象可知函数在（2，4）上是先递减再递增．答案：C2．函数f （x ）＝－x 2＋2（a －1）x ＋2在（－∞，4）上是增函数，则a 的范围是（）A ．a ≥5B ．a ≥3C ．a ≤3D ．a ≤－5解析：本题作出函数f （x ）＝－x 2＋2（a －1）x ＋2的图象，可知此函数图象的对称轴是x ＝a －1，由图象可知，当a －1≥4，即当a ≥5时，函数f （x ）＝－x 2＋2（a －1）x ＋2在（－∞，4）上是增函数．答案：A二、填空题3．函数y ＝11＋x 的单调区间为___________．答案：（－∞，－1），（－1，＋∞）4．函数f （x ）＝2x 2－3｜x ｜的单调减区间是___________．答案：［0，43］，（－∞，－43）三、解答题5．确定函数y ＝x ＋x1（x ＞0）的单调区间，并用定义证明．解：本题可利用计算机作出该函数的图象，通过图象求得单调区间，最后用单调性的定义证明．答案：增区间（1，＋∞），减区间（0，1）．6．快艇和轮船分别从A 地和C 地同时开出，如右图，各沿箭头方向航行，快艇和轮船的速度分别是45千米/时和15千米/时，已知AC ＝150千米，经过多少时间后，快艇和轮船之间的距离最短？解：设经过x 小时后快艇和轮船之间的距离最短，距离设为y ，)3100()15()45150(22 x x x y ＜＋－＝，可求得当x ＝3时，y 有最小值．答案：3小时．7．设f （x ）是定义在R 上的增函数，f （xy ）＝f （x ）＋f （y ），f （3）＝1，求解不等式f （x ）＋f （x －2）＞1．解：由条件可得f （x ）＋f （x －2）＝f ［x （x －2）］，1＝f （3）．所以f ［x （x －2）］＞f （3），又f （x ）是定义在R 上的增函数，所以有x （x －2）＞3，可解得x ＞3或x ＜－1．答案：x ＞3或x ＜－1．。

人教A版数学必修一变式练习(9)

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）变式练习(9)一、选择题1．如果函数f（x）＝（a2－1）x在R上是减函数，那么实数a的取值范围是（）A．｜a｜＞1 B．｜a｜＜2C．｜a｜＞3 D．1＜｜a｜＜2解析：由函数f（x）＝（a2－1）x的定义域是R且是单调函数，可知底数必须大于零且不等于1，因此该函数是一个指数函数，由指数函数的性质可得0＜a2－1＜1，解得1＜｜a｜＜2．答案：D2．函数y＝a x－2＋1（a＞0，a≠1）的图象必经过点（）A．（0，1）B．（1，1）C．（2，0）D．（2，2）解析：由于函数y＝a x经过定点（0，1），所以函数y＝a x－2经过定点（2，1），于是函数y＝a x－2＋1经过定点（2，2）．答案：D3．函数y＝a x在［0，1］上的最大值与最小值和为3，则函数y＝3ax－1在［0，1］上的最大值是（）3A．6 B．1 C．3 D．2解析：由于函数y＝a x在［0，1］上是单调的，因此最大值与最小值都在端点处取到，故有a 0＋a 1＝3，解得a ＝2，因此函数y ＝3ax －1在［0，1］上是单调递增函数，最大值当x＝1时取到，即为3．答案：C4．设f （x ）＝x)21(，x ∈R ，那么f （x ）是（） A ．奇函数且在（0，＋∞）上是增函数 B ．偶函数且在（0，＋∞）上是增函数 C ．函数且在（0，＋∞）上是减函数D ．偶函数且在（0，＋∞）上是减函数解析：因为函数f （x ）＝x )21(＝⎪⎩⎪⎨⎧≥02)0()21(＜x x x x，图象如下图．由图象可知答案显然是D ．答案：D5．下列函数中值域为正实数的是（）A ．y ＝x-215B ．y ＝x-1)31(C ．y ＝1)21(－xD ．y ＝x21－解析：A 中指数取不到零，因此值域为（－0，1）∪（1，＋∞）；B 的指数可以取到所有实数，故值域是正实数；C 和D 的值域都是［0，＋∞）．因此答案是B ．答案：B 6．函数y ＝2－x ＋1＋2的图象可以由函数y ＝（21）x的图象经过怎样的平移得到（） A ．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B ．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C ．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位D ．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位解析：函数y ＝2－x ＋1＋2可变形为y ＝（21）x －1＋2．答案：C7．在图中，二次函数y ＝ax 2＋bx 与指数函数y ＝（ab ）x的图象只可为（）解析：本题是一个图形分析型综合题，重在寻找突破口，因为y ＝（ab ）x是一指数函数，故有a b ＞0，即a 、b 同号，于是二次函数y ＝ax 2＋bx 的对称轴x ＝－ab 2＜0，故B 、D 均错；又由指数函数的图象，得0＜a b ＜1，则0＞－a b 2＞－21，即二次函数的顶点横坐标在区间（－21，0）内，显然C 错．因此答案为A ．答案：A8．若－1＜x ＜0，则不等式中成立的是（） A ．5－x＜5x ＜0.5xB ．5x ＜0.5x ＜5－xC ．5x＜5－x＜0.5x D ．0.5x＜5－x＜5x解析：根据指数函数图象可观察答案是B ．答案：B 二、填空题9．函数y ＝－2－x的图象一定过____象限．解析：y ＝－2－x ＝－（21）x ，它可以看作是指数函数y ＝（21）x的图象作关于x 轴对称的图象，因此一定过第三象限和第四象限．答案：三、四 10．函数f （x ）＝a x －1＋3的图象一定过定点P ，则P 点的坐标是___________．解析：f （x ）＝ax －1＋3的图象可以看作把f （x ）＝a x的图象向右平移一个单位再向上平移3个单位而得到，且f （x ）＝a x一定过点（0，1），则f （x ）＝a x －1＋3应过点（1，4）．答案：（1，4） 11．函数y ＝3－x与__________的图象关于y 轴对称．解析：图象与y ＝3－x关于y 轴对称的函数为y ＝3x．答案：y ＝3x12．已知函数f （x ）＝21)31(x -，其定义域是____________，值域是___________．解析：由1－x 2≥0解出定义域［－1，1］，由0≤21x －≤1及函数y ＝x)31(的单调性可知1)31(≤21)31(x -≤0)31(，即31≤y ≤1．答案：［－1，1］［31，1］。

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变式练习(9)一、选择题1．如果函数f（x）＝（a2－1）x在R上是减函数，那么实数a的取值范围是（）A．｜a｜＞1 B．｜a｜＜2C．｜a｜＞3 D．1＜｜a｜＜2解析：由函数f（x）＝（a2－1）x的定义域是R且是单调函数，可知底数必须大于零且不等于1，因此该函数是一个指数函数，由指数函数的性质可得0＜a2－1＜1，解得1＜｜a｜＜2．答案：D2．函数y＝a x－2＋1（a＞0，a≠1）的图象必经过点（）A．（0，1）B．（1，1）C．（2，0）D．（2，2）解析：由于函数y＝a x经过定点（0，1），所以函数y＝a x－2经过定点（2，1），于是函数y＝a x－2＋1经过定点（2，2）．答案：D3．函数y＝a x在［0，1］上的最大值与最小值和为3，则函数y＝3ax－1在［0，1］上的最大值是（）3A．6 B．1 C．3 D．2解析：由于函数y ＝a x在［0，1］上是单调的，因此最大值与最小值都在端点处取到，故有a 0＋a 1＝3，解得a ＝2，因此函数y ＝3ax －1在［0，1］上是单调递增函数，最大值当x＝1时取到，即为3．答案：C4．设f （x ）＝x)21(，x ∈R ，那么f （x ）是（） A ．奇函数且在（0，＋∞）上是增函数 B ．偶函数且在（0，＋∞）上是增函数 C ．函数且在（0，＋∞）上是减函数D ．偶函数且在（0，＋∞）上是减函数解析：因为函数f （x ）＝x )21(＝⎪⎩⎪⎨⎧≥02)0()21(＜x x x x，图象如下图．由图象可知答案显然是D ．答案：D5．下列函数中值域为正实数的是（）A ．y ＝x-215B ．y ＝x-1)31(C ．y ＝1)21(－xD ．y ＝x21－解析：A 中指数取不到零，因此值域为（－0，1）∪（1，＋∞）；B 的指数可以取到所有实数，故值域是正实数；C 和D 的值域都是［0，＋∞）．因此答案是B ．答案：B 6．函数y ＝2－x ＋1＋2的图象可以由函数y ＝（21）x的图象经过怎样的平移得到（） A ．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B ．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位C ．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位D ．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位解析：函数y ＝2－x ＋1＋2可变形为y ＝（21）x －1＋2．答案：C7．在图中，二次函数y ＝ax 2＋bx 与指数函数y ＝（ab ）x的图象只可为（）解析：本题是一个图形分析型综合题，重在寻找突破口，因为y ＝（ab ）x是一指数函数，故有a b ＞0，即a 、b 同号，于是二次函数y ＝ax 2＋bx 的对称轴x ＝－ab 2＜0，故B 、D 均错；又由指数函数的图象，得0＜a b ＜1，则0＞－a b 2＞－21，即二次函数的顶点横坐标在区间（－21，0）内，显然C 错．因此答案为A ．答案：A8．若－1＜x ＜0，则不等式中成立的是（） A ．5－x＜5x ＜0.5xB ．5x ＜0.5x ＜5－xC ．5x＜5－x＜0.5x D ．0.5x＜5－x＜5x解析：根据指数函数图象可观察答案是B ．答案：B 二、填空题9．函数y ＝－2－x的图象一定过____象限．解析：y ＝－2－x ＝－（21）x ，它可以看作是指数函数y ＝（21）x的图象作关于x 轴对称的图象，因此一定过第三象限和第四象限．答案：三、四 10．函数f （x ）＝a x －1＋3的图象一定过定点P ，则P 点的坐标是___________．解析：f （x ）＝ax －1＋3的图象可以看作把f （x ）＝a x的图象向右平移一个单位再向上平移3个单位而得到，且f （x ）＝a x一定过点（0，1），则f （x ）＝a x －1＋3应过点（1，4）．答案：（1，4）11．函数y ＝3－x与__________的图象关于y 轴对称．解析：图象与y ＝3－x关于y 轴对称的函数为y ＝3x．答案：y ＝3x12．已知函数f （x ）＝21)31(x -，其定义域是____________，值域是___________．解析：由1－x 2≥0解出定义域［－1，1］，由0≤21x －≤1及函数y ＝x)31(的单调性可知1)31(≤21)31(x -≤0)31(，即31≤y ≤1．答案：［－1，1］［31，1］。