高中数学复数练习题.
高中数学《复数》练习题(含答案解析)
高中数学《复数》练习题（含答案解析）一、单选题1．已知()21i 32i z -=+，则z =（ ） A ．31i 2--B ．31i 2-+C ．3i 2-+D ．3i 2--2．已知a ∈R ，若a –1+(a –2)i (i 为虚数单位)是实数，则a =（ ） A ．1B ．–1C ．2D ．–23．1545年，意大利数学家卡尔丹在其所著《重要的艺术》一书中提出“将实数10分成两部分，使其积为40”的问题，即“求方程()1040x x -=的根”，卡尔丹求得该方程的根分别为55后这两个根分别记为5和5．若()55z =，则复数z =（ ）A ．1B ．1C D 4．已知2i z =-，则()i z z +=（ ） A ．62i -B ．42i -C ．62i +D ．42i +5．已知 i 为虚数单位， 复数12iiz +=， 则z =（ ） A ．2i -- B ．2i -+C ．2i +D ．2i -6．复数113i-的虚部是（ ） A ．310-B ．110-C ．110D ．3107．设(1i)1i x y +=+，其中i 为虚数单位，,x y 是实数，则x yi +=（ ） A．1BC D ．28．若()()1i 11i z --=+，则z 的虚部为（ ） A ．1-B ．1C ．i -D ．i9．已知i 是虚数单位，复数z 的共轭复数为z ，下列说法正确的是（ ） A ．如果12z z +∈R ，则1z ，2z 互为共轭复数B ．如果复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z ⋅=C ．如果2z z =，则1z =D ．1212z z z z = 10．已知,a b 为实数，且2ii 1ib a +=++(i 为虚数单位)，则i a b +=（ ） A ．34i + B ．12i + C ．32i --D ．32i +二、填空题11．若z C ∈，且25i z =-，则()Re z =________. 12．i 的周期性：当n 是整数时，41i n +=______，42i n +=_______，43i n +=______，4i n =_______．13．复数34i2i+=+___________.14．设复数1z ，2z 满足11z =，22z =，121z z -=，则12z z +=________．三、解答题15．已知复数14i1im z +=-（,i m ∈R 是虚数单位）. (1)若z 是纯虚数，求实数m 的值；(2)设z 是z 的共轭复数，复数z 在复平面上对应的点在第四象限，求m 的取值范围. 16．在复数范围内分解因式： (1)4269++x x ； (2)4228--x x ．17．设虚数z 满足21510z +=． （1）求||z ；（2）若z aa z+是实数，求实数a 的值．18．（1）已知复数z 在复平面内对应的点在第二象限，2z =，且2z z +=-，求z ； （2）已知复数()()2212i 32i 1im z m =-+-+-为纯虚数，求实数m 的值.参考答案与解析：1．B【分析】由已知得32i2iz +=-，根据复数除法运算法则，即可求解. 【详解】()21i 2i 32i z z -=-=+， ()32i i 32i 23i 31i 2i 2i i 22z +⋅+-+====-+--⋅. 故选：B. 2．C【分析】根据复数为实数列式求解即可.【详解】因为(1)(2)a a i -+-为实数，所以202a a -=∴=，， 故选：C【点睛】本题考查复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题. 3．C【分析】利用复数除法运算求得z .【详解】由()55z =，得25z ==== 故选：C ． 4．C【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.【详解】因为2z i =-，故2z i =+，故()()()2222=4+42262z z i i i i i i i +=-+--=+故选：C. 5．D【分析】由复数的除法法则求解即可 【详解】()()()12i i 12i 2i i i i z +-+===-⨯-, 故选：D 6．D【分析】利用复数的除法运算求出z 即可.【详解】因为1131313(13)(13)1010i z i i i i +===+--+， 所以复数113z i =-的虚部为310. 故选：D.【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题. 7．B【分析】先利用复数相等求得x ，y ，再利用复数的模公式求解. 【详解】因为(1i)1i x y +=+，所以1x y x =⎧⎨=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，所以i x y +== 故选：B. 8．B【分析】根据复数除法的运算法则，结合共轭复数的定义、复数虚部的定义进行求解即可.【详解】因为()()1i 11i z --=+，所以()()()21i 12i 11i 1i 1i 2z ++--===-+，所以1i z =-，所以1i z =+， 所以z 的虚部为1． 故选：B 9．D【分析】对于A ，举反例11i z =+，22i z =-可判断；对于B ，设111i z a b =-，222i z a b =+代入验证可判断；对于C ，举反例0z =可判断；对于D ，设1i z a b =+，2i z c d =+，代入可验证.【详解】对于A ，设11i z =+，22i z =-，123z z +=∈R ，但1z ，2z 不互为共轭复数，故A 错误； 对于B ，设111i z a b =-（1a ，1b ∈R ），222i z a b =+（2a ，2b ∈R ）．由1212z z z z +=-，得()()()()222222121212121212z z a a b b z z a a b b +=+++=-=-+-，则12120a a b b +=，而()()()()()12112212121221121221i i i 2i z z a b a b a a bb a b a b a a a b a b ⋅=++=-++=++不一定等于0，故B 错误；对于C ，当0z =时，有2z z =，故C 错误；对于D ，设1i z a b =+，2i z c d =+，则1212z z z z ===，D 正确故选：D 10．A【分析】利用复数的乘除运算化简，再利用复数相等求得,a b ，进而得解. 【详解】()()2i 1i 2i 22i i 22i 1i 2222b b b b b b +-+-+++-===++ 由题意知222=12b a b +⎧=⎪⎪⎨-⎪⎪⎩，解得34a b =⎧⎨=⎩，所以i 34i a b +=+故选：A 11．5【分析】推导出()52z i -=，从而2552z i i=+=-，由此能求出()Re z . 【详解】解：∈z C ∈，且25i z =-， ∈()52z i -=， ∈2225552iz i i i=+=+=-， ∈()5Re z =. 故答案为：5.【点睛】本题考查复数的实部的求法，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.关键是利用复数的运算求出z 的标准形式，并注意准确掌握实部的概念. 12． i 1- i - 1【分析】由2i 1=-及指数幂的运算性质依次对41i n +，42i n +，43i n +，4i n 变形即可得到答案. 【详解】由2i 1=-及指数幂的运算性质得：3i i =-，41i =414i i i ()i n n +==∴，4242()i 1i i n n +==-，4334()i i i i n n +==-，44i (i )1n n ==.故答案为：i ；1-；i -；1. 13．2i +##i+2【分析】依据复数除法规则进行计算即可解决.【详解】()()()()2234i 2i 34i 65i 4i 105i2i 2i 2i 2i 4i 5+-++-+====+++-- 故答案为：2i +14【分析】由已知可得12z z -，进而由()2121212z z z z z z -=--可得12212z z z z +=，从而有22212121221z z z z z z z z +=+++，故而可得答案.【详解】解：因为121z z -=，所以12z z -==又11z =，22z =，所以()212121211221221121222213z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z -=--=+--=+--=， 所以12212z z z z +=，所以()2221212122121217z z z z z z z z z z z z +=++=+++=，所以12z z +=15．(1)14(2)1144m -<<【分析】（1）化简复数z ，根据纯虚数的概念可求出m ； （2）求出z ，根据复数的几何意义可求出结果. 【详解】（1）因为14i 1im z +=-(14i)(1i)(1i)(1i)m ++=-+14(14)i2m m -++=是纯虚数， 所以140140m m -=⎧⎨+≠⎩，得14m =.（2）由（1）知，1414i 22m mz -+=+，1414i 22m m z -+=-， 所以z 在复平面内对应的点为1414,22m m -+⎛⎫- ⎪⎝⎭，依题意可得14021402mm -⎧>⎪⎪⎨+⎪-<⎪⎩，解得1144m -<<.16．(1)22((x x(2)(2)(2)+-x x x x【分析】（1）（2）结合复数运算求得正确答案. （1）由于()()23x x x =+，所以()242222693((x x x x x ++=+=.（2）由于()()22x x x =+，所以()()42222824(2)(2)x x x x x x x x --=+-=+-.17．（1）（2）±【分析】（1）设(,,0)z x yi x y R y =+∈≠利用复数的模相等即得;（2）先化简z a a z+又因为是实数,故虚部为零,即得结果.【详解】设(,,0)z x yi x y R y =+∈≠ ，则z x yi =- 1010z x yi +=+- 则2152()15(215)2z x yi x yi +=++=++215z +=1010z x yi +=+-=21510z +=即：2275x y+=即||z == （2）222222()()()a a x yi ax ayi ax ayi x yi x yi x yi x y x y x y --===-++⋅-+++ 22222222()()ax ay ax ay i i x y x y x y z a x yi a x y x y i a z a x yi a a a y a x -=+-+++++==++++++若z aa z+是实数，则22220(01)ay a y x y x y y a a -=⇒-=++22100aa y x y≠∴-=+ 即22275a x y =+=即a =±18．（1）1z =-；（2）2-【分析】（1）根据模长公式以及复数的加法运算，结合对应的象限得出z ； （2）根据复数的四则运算以及纯虚数的定义得出m 的值.【详解】解：（1）设()i ,z a b a b R =+∈，由题意每224,22,a b a ⎧+=⎨=-⎩，解得1a =-，b =∈复数z 在复平面内对应的点在第二象限，∈b =∈1z =-.（2）()()()()()()()2221i 212i 32i 12i 32i 1i 1i 1i m m z m m +=-+-+=-+-+--+ ()()22623i m m m m =--+--，由题意得2260230m m m m ⎧--=⎨--≠⎩，解得2m =-。
高中复数经典练习题(含答案)
高中复数经典练习题(含答案)一、单选题1．如图，在复平面内，复数z 对应的点为P ，则复数i=z ⋅（ ）A ．2i -B ．12i -C ．1+2i -D ．2i --2．已知复数2ii+=a z （a R ∈，i 是虚数单位）的虚部是3-，则复数z 对应的点在复平面的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．设复数z 满足()1i 2i z -=，则z 在复平面内对应的点在第几象限.（ ） A ．一 B ．二C ．三D ．四4．已知复数113i z =+的实部与复数21i z a =--的虚部相等，则实数a 等于（ ） A ．-3 B ．3 C ．-1 D ．15．复数 21(1)i 1z a a =+--是实数，则实数a 的值为（ ） A ．1或-1 B ．1 C ．-1D ．0或-1 6．若0a <，则a 的三角形式为（ ） A ．()cos0isin0a + B ．()cos isin a ππ+ C ．()cos isin a ππ-+ D ．()cos isin a ππ-- 7．复数(sin 10°＋icos 10°)(sin 10°＋icos 10°)的三角形式是（ ）A ．sin 30°＋icos 30°B ．cos 160°＋isin 160°C ．cos 30°＋isin 30°D ．sin 160°＋icos 160°8．已知 i 是虚数单位，复数4132⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 9．复数z 满足：(2i)5z +=（i 是虚数单位），则复数z 的虚部为（ ） A ．2-B ．2C ．i -D ．1-10．下列命题正确的是（ ）①若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈； ②若复数z 满足i R z∈，则z 是纯虚数；③若复数12,z z 满足12=z z ，则12=±z z ； ④若复数12,z z 满足2121z z z =且10z ≠，则12=z z ．A ．①③B ．②④C ．①④D ．①③11．已知复数324i 1iz +=-，则z =（ ）AB C ．D ．12．若复数z 满足()13i 17i -=-z ，则z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限13．已知m 为实数，则“1m =”是“复数()211i z m m =-++为纯虚数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．复数1ii+（其中i 为虚数单位）在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限15．下列命题正确的是（ ） ①若复数z 满足2R z ∈，则R z ∈；②若复数z 满足i R z∈，则z 是纯虚数； ③若复数1z ，2z 满足12=z z ，则12=±z z ；④若复数1z ，2z 满足2121z z z =且10z ≠，则12=z z ．A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③16．2021i 1i-=（ ）A ．11i 22+ B ．11i 22-- C ．11i 22-+D ．11i 22-17．已知复数z 满足()21i 68i z -=+，其中i 为虚数单位，则z =（ ）A ．10B ．5 CD．18．已知复数z 满足()43i 5i z +=，则z =（ ） A ．1BC ．15D ．519．设复数1i z =-（i 是虚数单位），则复数22z z+=（ ） A ．1i - B ．1i + C ．2i + D ．2i -20．若复数(32)(1)i ai +-在复平面内对应的点位于第一象限，则实数a 的取值范围为（ ）A ．32,23⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．3,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．23,32⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭二、填空题21．已知复数z 满足()1i 42i -=+z ，则z =_________.22．设复数i 12z =+（i 是虚数单位），则在复平面内，复数2z 对应的点的坐标为________.23．已知复数z 满足()1i 42i z -=+，则z =_________（用代数式表示）. 24．已知复数z 满足211iz -=+，则z 的最小值为___________； 25．复数1i z =+（其中i 为虚数单位）的共轭复数z =______．26．设复数1z ，2z 满足11z =，22z =，121z z -=，则12z z +=________． 27．设i 是虚数单位，若复数z ＝1＋2i ，则复数z 的模为__________. 28．已知复数1i z =+，则2z z+=____________ 29．在复平面内，复数1z 和2z 对应的点分别是(21)A ，和(01)B ，，则12z z =_______. 30．定义12,C z z ∈，221212121(||||)4z z z z z z ⊕=+--，121212i(i )z z z z z z ⊗=⊕+⊕.若134i z =+，21z =+，则12||z z ⊗=___________.31．已知i 是虚数单位，复数z 满足322i z =+，则z =___________.32．已知复数2i -在复平面内对应的点为P ，复数z 满足|i |1z -=，则P 与z 对应的点Z 间的距离的最大值为________.33．已知复数z 满足()()1i 2i z t t +=∈R，若z =，则t 的值为___________. 34．设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则2zz-＝________．35．复数1077(cos isin )66ππ+表示成代数形式为________． 36．计算cos 40isin 40cos10isin10________．37．已知i 是虚数单位，则202220211()1+⎛⎫+= ⎪-⎝⎭i i i ___________．38．设复数()21(1)i m m -++为纯虚数，则实数m 的值为________．39．若复数z 满足|z －i|＝3，则复数z 对应的点Z 的轨迹所围成的图形的面积为________.40．已知2i +是关于x 的方程()20,R x ax b a b ++=∈的根，则b a -=________. 三、解答题41．在①z 为虚数，②z 为纯虚数，这两个条件中任选一个作为（1）中的已知条件.已知复数()22284i z m m m =--+-(1)若___________，求满足条件的实数m ；(2)若复数()21i 8z m -++的模为m 的值42．设()22112i z m m m =+++-，()224254i z m m m =++-+，若12z z <，求实数m 的取值范围．43．若复平面内单位圆上三点所对应的复数123,,z z z ，满足22z 13z z =且23i i 0z z +-=，求复数123,,z z z ．44．实数k 为何值时，复数()()223456i z k k k k =--+--是：(1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？ (4)0？45．（1）在复数集C 中解下列方程：2490x +=； （2）已知()12i 43i z +=+，求z .【参考答案】一、单选题 1．D 2．D3．B 4．C 5．C 6．C 7．B 8．C 9．D 10．B 11．B 12．D 13．C 14．D 15．B 16．C 17．B 18．A 19．A 20．A 二、填空题21．13i +22．()34-，23．13i +##3i+1 241##1-25．1i -##i+1-262728．29．12i -##2i+1- 30．35 3132．1##1+33．2或2- 34．－1＋2i##2i －135．－5i##－5i －3612i 3738．1 39．9π 40．9 三、解答题41．(1)若选择①，则 2.m ≠±；若选择②，则4m =. (2) 1.m =± 【解析】 【分析】（1）根据虚数和纯虚数的概念可求出结果； （2）根据复数的模长公式列式可求出结果. (1)若选择①，因为z 为虚数，则240m -≠，解得 2.m ≠±若选择②，因为z 为纯虚数，则2280m m --=且240m -≠，解得4m =. (2)因为()22284i z m m m =--+-，所以2222(1i)828(4)i (1i)824i,z m m m m m m -++=--+--++=--=，解得 1.m =± 42．{}1 【解析】 【分析】根据12z z <可知1z R ∈，2z R ∈，由实数定义可构造方程组求得m . 【详解】12z z <，1z R ∴∈，2z R ∈，2220540m m m m ⎧+-=∴⎨-+=⎩，解得：1m =；当1m =时，12z =，26z =，满足12z z <，m ∴的取值范围为{}1.43．答案见解析. 【解析】 【分析】根据复数的几何意义，结合复数的运算求得3z 和2z ，再结合复数的乘除运算，即可求得1z . 【详解】因为单位圆上三点所对应的复数为123,,z z z ，故可设z 1＝cos α＋isin α，z 2＝cos β＋isin β，z 3＝cos γ＋isin γ， 则由23i i 0z z +-=，可得cos sin 0sin cos 10βγβγ-=⎧⎨+-=⎩，利用cos 2β＋sin 2β＝1，解得1cos 2sin γγ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩z 3故当z 3时，z 2＝－i(z 3－1)，z 1＝223z z=1；当z 3时，z 2＝－i(z 3－1)z 1＝223z z =＝1．44．(1)6k =或1k =-； (2)6k ≠且1k ≠-； (3)4k =； (4)1k =-. 【解析】 【分析】（1）解方程2560k k --=即得解； （2）解不等式2560k k --≠即得解；（3）解不等式2560k k --≠，且2340k k --=即得解； （4）解方程2560k k --=，且2340k k --=即得解. (1)解：当2560k k --=，即6k =或1k =-时，z 是实数； (2)解：当2560k k --≠，即6k ≠且1k ≠-时，z 是虚数； (3)解：当2560k k --≠，且2340k k --=，z 是纯虚数，即4k =时为纯虚数； (4)解：当2560k k --=，且2340k k --=，即1k =-时，z 是0.45．（1）3i 2x =±；（2）2i z =+. 【解析】 【分析】（1）利用直接开平方法求解即可，（2）先由已知式子求出复数z ，从而可求出其共轭复数 【详解】（1）∵2490x +=， ∴294x =-，3i 2x =±.（2）()()()()243i 12i 43i 43i 8i 6i 105i2i 12i 12i 12i 55z +-++---=====-+-+， ∴2i z =+.。
高中数学复数练习题含答案
高中数学复数练习题含答案一、单选题1．已知复数z 满足(12i)43i z -=-（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．5B ．5C ．2D ．22．已知复数1i z =-，则2i z z -=（ ） A ．2B ．3C ．23D ．323．已知 i 是虚数单位，复数41322i ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．在复平面内，复数z 满足()1i 3i z -=-+，则复数z 对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5．设复数z 满足i 3i z z --=，则z 的虚部为（ ）A ．2i -B ．2iC ．2-D ．26．在复平面中，复数z 对应的点的坐标为()1,2，则()i z z -的对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限7．如图，在复平面内，复数z 对应的点为P ，则复数i=z ⋅（ ）A ．2i -B ．12i -C ．1+2i -D ．2i -- 8．设复数z 满足i 4i 0z ++=，则||z =（ ）A 17B ．4C 7D 59．设复数z 满足()1i 2i z -=，则z 在复平面内对应的点在第几象限.（ ）A ．一B ．二C ．三D ．四10．3i3i-+=+（ ）A ．43i 55+ B ．43i 55-+C ．43i 55D ．43i 55--11．复数1i1i+-（i 为虚数单位）的共轭复数的虚部等于（ ） A ．1 B ．1- C ．i D ．i - 12．复数2i z =-（i 为虚数单位）的虚部为（ ）A ．2B ．1C ．iD ．1- 13．若复数z 在复平面内对应的点为(1,1)，则其共轭复数z 的虚部是（ ）A ．iB ．i -C ．1D ．1-14．设复数53i--的实部与虚部分别为a ，b ，则a b -=（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2 15．复数z 满足：23i 3=+-z z ，则z =（ ）A ．5B C ．10D 16．已知34i z =+，则()i z z -=（ ） A ．1117i +B ．1917i +C ．1117i -D ．1923i +17．已知复数z 满足()21i 24i z -=-，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为（ ） A ．2 B ．1 C ．2- D ．i18．向量a ＝（－2，1）所对应的复数是（ ）A ．z ＝1＋2iB ．z ＝1－2iC ．z ＝－1＋2iD ．z ＝－2＋i19．设O 为原点，向量OA ，OB 对应的复数分别为2＋3i ，－3－2i ，那么向量BA 对应的复数为（ ）A ．－1＋iB ．1－iC ．－5－5iD ．5＋5i20．已知复数z 满足i 232i z z +=-（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题21．若复数2(1i)34iz +=+，则z =__________．22．若复数z 满足i 3i=iz -+，则z =________. 23．已知复数3i (2i)z =⋅-，则z 的虚部为__________．24．设复数1z ，2z 满足11z =，22z =，121z z -=，则12z z +=________．25．设m ∈R ，复数z ＝（2＋i ）m 2－3（1＋i ）m －2（1－i ），若z 为非零实数，则m ＝________．26．写出一个在复平面内对应的点在第二象限的复数z =__________． 27．已知2i +是关于x 的方程()20,R x ax b a b ++=∈的根，则b a -=________.28．若复数()2i m m m -+为纯虚数，则实数m 的值为________.29．若i(,)i+∈a b a b R 与3+4i 互为共轭复数，则a b -=___________. 30．若复数1z ，2z 满足112i z =-，234i z =+（i 是虚数单位），则12z z ⋅的虚部为___________． 31．已知复数2i4i ia b +=-，,R a b ∈，则a b +=______. 32．甲､乙､丙､丁四人对复数z 的陈述如下（i为虚数单位）：甲：z z +=；乙：2z z -=；丙：26;:4z z z z z ⋅==丁，在甲､乙､丙､丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则z =___________.33．已知复数z 满足()()1i 2i z t t +=∈R，若z =，则t 的值为___________.34．若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且12z z 为纯虚数，则实数a 的值为________．35．已知关于x 的方程，()()()221i i 0,,R x x ab a b a b ++++++=∈总有实数解，则a b +的取值范围是__________.36i 对应的向量绕原点按逆时针方向旋转90，则所得向量对应的复数为________． 37．计算cos 40isin 40cos10isin10________．38．下列命题：①若a R ∈，则()1i a +是纯虚数；②若()()()22132i x x x x R -+++∈是纯虚数，则1x =±；③两个虚数不能比较大小． 其中正确命题的序号是________． 39．设i是虚数单位，复数z =，则z =___________. 40．设复数z 满足()1i 22i z +=-（i 为虚数单位），则z =______． 三、解答题41．已知()122i z x =+-，()()2234i z y x =++-，其中,x y 均为实数，且12z z =，求,x y .42．（1）设复数z 满足24(1i)(12i)z --=-，求复数z ； （2）若复数z 满足(2i)(1i)1z z ⋅+=⋅-+，求复数z ；（3）已知复数()2256215i m m m m +++--z=，当实数m 为何值时，复数z 对应的点Z 在第四象限.43．复数cos isin 33ππ+经过n 次乘方后，所得的幂等于它的共轭复数，求n 的值．44．根据复数的几何意义证明：121212z z z z z z -≤+≤+． 45．设C z ∈，则满足条件34z <<的点Z 的集合是什么图形？【参考答案】一、单选题 1．A 2．D 3．C 4．C 5．C 6．D 7．D 8．A 9．B 10．B 11．B 12．D 13．D 14．A 15．D 16．B 17．B 18．D 19．D20．A 二、填空题 21．825i 625-2223．-224 25．126．1i -+（答案不唯一） 27．9 28．1 29．1 30．-2 31．6 32．2 33．2或2- 34．8335．[)2,+∞36．1-1-3712i 38．③39．40．2 三、解答题 41．21x y =⎧⎨=-⎩或11x y =-⎧⎨=-⎩【解析】 【分析】根据复数相等条件可构造方程组求得结果. 【详解】12z z =，23242y x x +=⎧∴⎨-=-⎩，解得：21x y =⎧⎨=-⎩或11x y =-⎧⎨=-⎩.42．（1）2；（2）21i 3z =-；（3）25m -<<. 【解析】 【分析】（1）根据复数的四则运算及复数的摸公式即可求解；（2）利用复数的四则运算、两个复数相等及共轭复数即可求解；（3）复数的几何意义得出点Z 的坐标，再根据点在第四象限的特点即可求解. 【详解】（1）()()()()242i 42i 12i 4(1i)10i2i 12i 12i 12i 12i 5z +++--=====---+，∴2z =（2）设i z a b =+()R a ∈、b ，则()()()i 2i i (1i)1a b a b +⋅+=-⋅-+， 化简得(2)(2)i (1)()i a b a b a b a b -++=-+-+，根据对应相等得：212a b a b a b a b-=-+⎧⎨+=--⎩，解得1a =，23b =-，所以21i 3z =-.（3）由()2256215i m m m m +++--z=，得()2256,215m m m m ++--Z ，因为Z 对应的点在第四象限，所以225602150m m m m ⎧++>⎨--<⎩，解得：25m -<<，故而当25m -<<时，复数Z 对应的点在第四象限. 43．()61Z k k -∈. 【解析】 【分析】用共轭复数的概念，以及复数的三角表示即可. 【详解】由题意：cos isin cos isin cos isin 333333nn n ππππππ⎛⎫+=+=- ⎪⎝⎭，可得cos cos ,sin sin 3333n n ππππ==-， ∴()2Z 33n k k πππ=-∈，()61Z n k k =-∈. 44．证明详见解析 【解析】【分析】结合三角形两边的和大于第三边、两边的差小于第三边来证得不等式成立. 【详解】当12,z z 方向相同时，121212z z z z z z -<+=+；当12,z z 方向相反时，121212z z z z z z -=+<+；当12,z z 不共线时，1212,,z z z z +满足三角形的三边，根据三角形两边的和大于第三边、两边的差小于第三边可知：121212z z z z z z -<+<+.综上所述，不等式121212z z z z z z -≤+≤+成立.45．是圆229x y +=与圆2216x y +=之间的圆环（不包括边界） 【解析】 【分析】根据复数模的几何意义得出结论. 【详解】设()i ,R z x y x y =+∈22223,9z x y x y =+=+=，表示圆心在原点，半径为3的圆， 22224,16z x y x y =+=+=，表示圆心在原点，半径为4的圆，所以满足条件34z <<的点Z 的集合是圆229x y +=与圆2216x y +=之间的圆环（不包括边界），如图所示.。
高中复数经典练习题(含答案)
高中复数经典练习题(含答案)一、单选题1．复数20222i 1iz =+（其中i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知复数1i z =-，则2i z z -=（ ）A ．2B ．3C ．D ．3．复数(sin 10°＋icos 10°)(sin 10°＋icos 10°)的三角形式是（ ） A ．sin 30°＋icos 30° B ．cos 160°＋isin 160° C ．cos 30°＋isin 30° D ．sin 160°＋icos 160°4．若复数(32)(1)i ai +-在复平面内对应的点位于第一象限，则实数a 的取值范围为（ ）A ．32,23⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．3,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．23,32⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭5．在复平面中，复数z 对应的点的坐标为()1,2，则()i z z -的对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限6．已知复数12i1iz -=+（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．筹四象限7．3i3i-+=+（ ） A ．43i 55+ B ．43i 55-+C ．43i 55D ．43i 55--8．设i 为虚数单位，则)10i 的展开式中含2x 的项为（ ）A ．6210C x - B ．6210C x C ．8210C x -D ．8210C x 9．设复数z 满足()1i 2i z -=，则z 在复平面内对应的点在第几象限.（ ） A ．一 B ．二 C ．三D ．四10．复数z 满足(1i)23i z -=-，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．在复平面内O 为坐标原点，复数()1i 43i z =-+，27i z =+对应的点分别为12,Z Z ，则12Z OZ ∠的大小为（ ）A ．3πB ．23π C ．34π D ．56π12．设i 为虚数单位，()1i 2i z -+=+，则复数z 的虚部是（ ） A ．12-B ．1i 2C ．32-D ．3i 2-13．复数2i z =-（i 为虚数单位）的虚部为（ ） A ．2 B ．1C ．iD ．1-14．设复数53i--的实部与虚部分别为a ，b ，则a b -=（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．215．已知复数()()31i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（ ）. A ．()3,1- B ．()1,3- C ．()1,+∞ D ．(),3-∞16．设复数z 满足i 1i(i z ⋅=+为虚数单位），则复数z 在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限17．若5i2iz =+，则||z =（ ）A ．2B C ．D ．318．已知复数z 满足(34i)5(1i)z +⋅=-，则z 的虚部是（ ） A ．15-B ．75-C ．1i 5-D ．7i 5-19．设a ，b ∈R ，i 为虚数单位，则“ab >0”是“复数a －b i 对应的点位于复平面上第二象限”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 20．已知i 是虚数单位，复数12iiz -=，则z 的共轭复数z =（ ） A ．2i -- B ．2i -+C ．2i -D ．2i +二、填空题21．甲､乙､丙､丁四人对复数z 的陈述如下（i 为虚数单位）：甲：z z +=；乙：2z z -=；丙：26;:4z z z z z ⋅==丁，在甲､乙､丙､丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则z =___________.22．设(3i)i 6i a a b +=-，其中a ，b 是实数，则i a b +=____________． 23．已知复数ππsin i cos 33z =+，则z =________．24．设复数1z ，2z 满足11z =，22z =，121z z -=，则12z z +=________． 25．设i 是虚数单位，若复数z ＝1＋2i ，则复数z 的模为__________. 26．设12z i =-，则z =___________ .27．若复数()2i m m m -+为纯虚数，则实数m 的值为________.28．若()i 1)（，x y x x y R +=-∈，则2x y +的值为__________. 29．已知复数z 满足()1i 42i z -=+，则z =_________（用代数式表示）. 30．已知复数z 满足1z =，则22z i +-的最大值为______. 31．已知i 是虚数单位，复数z 满足322i z =+，则z =___________.32．已知关于x 的方程，()()()221i i 0,,R x x ab a b a b ++++++=∈总有实数解，则a b +的取值范围是__________.33．已知复数cos isin i z θθ=+（为虚数单位），则1z -的最大值为___________ 34．把复数z 的共轭复数记作z ，已知()12i 43i z +=+（其中i 是虚数单位），则z =______．35．i 是虚数单位，则1i1i+-的值为__________.36．已知z =，则22022z z z ++⋅⋅⋅+=___________. 37．若z 1＝2－i ，z 2＝－12＋2i ，则z 1，z 2在复平面上所对应的点为Z 1，Z 2，这两点之间的距离为________. 38．已知i 为虚数单位，复数21iz =-的虚部为___________. 39．若复数()()32i z a a R =-+-∈为实数，则2021i 1ia a -+的值为______.40．若复数2(1i)34iz +=+，则z =__________．三、解答题41．已知z 是虚数，求证：4z z+是实数的充要条件是2z =．42．已知复数(2)(3)(2)i()z m m m m =++++∈R ． (1)若z 是纯虚数，求z ； (2)若i1,i(,)1z m a b a b z +=-=+∈+R ，求a ，b 的值． 43．已知复数()()211i z m m =-++，m R ∈．(1)若z 对应复平面上的点在第四象限，求m 的范围； (2)若z 是纯虚数，求m 的值．44．已知复数()224124i z m m m =--+-，其中m R ∈． (1)若z 为纯虚数，求m 的值；(2)若z 在复平面内对应的点关于虚轴对称得到的点在第一象限，求m 的取值范围．45．已知1z ，2z ∈C ，12z =，23z =，124z z +=，求12z z ．（提示：()1122cos isin z z z z θθ=+或()1122cos isin z zz z θθ=-，θ是1z ，2z 所表示的向量的夹角．）【参考答案】一、单选题 1．B 2．D 3．B 4．A 5．D 6．C 7．B 8．A 9．B 10．A 11．C 12．C 13．D 14．A15．A16．D17．B18．B19．B20．B二、填空题21．222．23．124252627．128．129．13i+##3i+1 30．13132．[)2,+∞33．234．2i+##i2+ 35．136．03738．139．i-40．825i 6 25 -三、解答题41．证明见解析【解析】【分析】设()i ,,0z x y x y R y =+∈≠，由复数运算化简得2222444i x y z x y z x y x y⎛⎫⎛⎫+=++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭；当2z =时，可得42z x R z +=∈，证得充分性；当4z z+是实数时，可得224x y +=，必要性得证；由此可得结论.【详解】设()i ,,0z x y x y R y =+∈≠， 则2222224444i 44i i i i x y x y z x y x y x y zx y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫-+=++=++=++- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭. 当2z =时，224x y +=，则2240y y x y -=+，2242xx x R x y +=∈+， 42z x R z ∴+=∈，即4z z+是实数，充分性成立； 当4z z+是实数时，2240yy x y-=+，又0y ≠，224x y ∴+=，即2z =，必要性成立；4z z ∴+是实数的充要条件是2z =. 42．(1)i z = (2)42,55a b == 【解析】 【分析】（1）由纯虚数的概念求解 （2）根据复数的运算法则化简 (1)因为(2)(3)(2)i z m m m =++++是纯虚数， 所以(2)(3)0,20,m m m ++=⎧⎨+≠⎩解得3m =-．所以i z =-，则i z =． (2)由1m =-，得2i z =+， 代入ii 1z a b z +=++， 得22i (22i)(3i)42i i 3i (3i)(3i)55a b ++-==+=+++-， 即42,55a b ==．43．(1)(),1m ∈-∞- (2)1m = 【解析】 【分析】（1）由题知21010m m ⎧->⎨+<⎩，再解不等式组即可；（2）由题知21010m m ⎧-=⎨+≠⎩，再解方程即可.(1)解：∵z 对应复平面上的点在第四象限，∴21010m m ⎧->⎨+<⎩，解得1m <-.∴(),1m ∈-∞- (2)解：∵z 是纯虚数，∴21010m m ⎧-=⎨+≠⎩，∴1m =44．(1)6 (2)()2,6 【解析】 【分析】（1）由z 为纯虚数，列方程组，求出m ； （2）由题意列不等式组，即可求出m 的范围． (1)因为复数()224124i z m m m =--+-，其中m R ∈，所以22412040m m m ⎧--=⎨-≠⎩，解得：m =6.(2)因为()224124i z m m m =--+-在复平面内对应的点为()22412,4m m m ---， 所以z 在复平面内对应的点关于虚轴对称得到的点()22412,4m m m -++-.由题意得：22412040m m m ⎧-++>⎨->⎩，解得：26m <<.即m 的取值范围为()2,6.45．16或16【解析】 【分析】算出1z ，2z 所表示的向量的夹角的正、余弦即可. 【详解】设复数1z 对应OA ，2z 对应OB ，OA OB OC +=，则22223431cos 223124OAC +-∠==-=-⨯⨯ 所以1cos 4AOB ∠=，所以15sin AOB ∠=所以122115115346z z ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭或121156z z =.。
高考数学《复数》真题练习含答案
高考数学《复数》真题练习含答案一、选择题1．[2024·新课标Ⅰ卷]若z z －1＝1＋i ，则z ＝( ) A ．－1－i B ．－1＋iC ．1－iD ．1＋i答案：C解析：由z z －1 ＝1＋i ，可得z －1＋1z －1 ＝1＋i ，即1＋1z －1 ＝1＋i ，所以1z －1＝i ，所以z －1＝1i＝－i ，所以z ＝1－i ，故选C. 2．[2024·新课标Ⅱ卷]已知z ＝－1－i ，则|z |＝( )A ．0B ．1C ．2D ．2答案：C解析：由z ＝－1－i ，得|z |＝（－1）2＋（－1）2 ＝2 .故选C.3．[2023·新课标Ⅱ卷]在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：A解析：因为(1＋3i)(3－i)＝3－i ＋9i －3i 2＝6＋8i ，所以该复数在复平面内对应的点为(6，8)，位于第一象限，故选A.4．[2023·新课标Ⅰ卷]已知z ＝1－i 2＋2i，则z －z － ＝( ) A ．－i B ．iC ．0D ．1答案：A解析：因为z ＝1－i 2＋2i ＝（1－i ）22（1＋i ）（1－i ） ＝－12 i ，所以z － ＝12 i ，所以z －z － ＝－12 i －12i ＝－i.故选A. 5．|2＋i 2＋2i 3|＝( )A ．1B ．2C ．5D ．5答案：C解析：|2＋i 2＋2i 3|＝|2－1－2i|＝|1－2i|＝5 .故选C.6．设z ＝2＋i 1＋i 2＋i5 ，则z － ＝( ) A ．1－2i B ．1＋2iC ．2－iD ．2＋i答案：B解析：z ＝2＋i 1＋i 2＋i 5 ＝2＋i 1－1＋i ＝－i ()2＋i －i 2 ＝1－2i ，所以z － ＝1＋2i.故选B.7．[2022·全国甲卷(理)，1]若z ＝－1＋3 i ，则z z z －－1＝( ) A ．－1＋3 i B ．－1－3 iC ．－13 ＋33 iD ．－13 －33i 答案：C解析：因为z ＝－1＋3 i ，所以z z z －－1＝－1＋3i （－1＋3i ）（－1－3i ）－1 ＝－1＋3i 1＋3－1 ＝－13 ＋33i.故选C. 8．[2023·全国甲卷(文)]5（1＋i 3）（2＋i ）（2－i ）＝( ) A ．－1 B ．1C ．1－iD ．1＋i答案：C解析：由题意知，5（1＋i 3）（2＋i ）（2－i ） ＝5（1－i ）22－i2 ＝5（1－i ）5 ＝1－i ，故选C. 9．(多选)[2024·山东菏泽期中]已知复数z ＝cos θ＋isin θ⎝⎛⎭⎫－π2<θ<π2 (其中i 为虚数单位)，下列说法正确的是( )A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．|z |＝cos θC ．z ·z － ＝1D ．z ＋1z为实数 答案：CD解析：复数z ＝cos θ＋isin θ⎝⎛⎭⎫－π2<θ<π2 (其中i 为虚数单位)， 复数z 在复平面上对应的点(cos θ，sin θ)不可能落在第二象限，所以A 不正确； |z |＝cos 2θ＋sin 2θ ＝1，所以B 不正确；z ·z － ＝(cos θ＋isin θ)(cos θ－isin θ)＝cos 2θ＋sin 2θ＝1，所以C 正确；z ＋1z ＝cos θ＋isin θ＋1cos θ＋isin θ＝cos θ＋isin θ＋cos θ－isin θ＝2cos θ为实数，所以D 正确.二、填空题10．若a ＋b i i(a ，b ∈R )与(2－i)2互为共轭复数，则a －b ＝________． 答案：－7解析：a ＋b i i ＝i （a ＋b i ）i 2 ＝b －a i ，(2－i)2＝3－4i ，因为这两个复数互为共轭复数，所以b ＝3，a ＝－4，所以a －b ＝－4－3＝－7.11．i 是虚数单位，复数6＋7i 1＋2i＝________． 答案：4－i解析：6＋7i 1＋2i ＝（6＋7i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝6－12i ＋7i ＋145 ＝20－5i 5＝4－i. 12．设复数z 1，z 2 满足|z 1|＝|z 2|＝2，z 1＋z 2＝3 ＋i ，则|z 1－z 2|＝________． 答案：23解析：设复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝4，又z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ＝3 ＋i ，∴a ＋c ＝3 ，b ＋d ＝1，则(a ＋c )2＋(b ＋d )2＝a 2＋c 2＋b 2＋d 2＋2ac ＋2bd ＝4，∴8＋2ac ＋2bd ＝4，即2ac ＋2bd ＝－4，∴|z 1－z 2|＝（a －c ）2＋（b －d ）2 ＝a 2＋b 2＋c 2＋d 2－（2ac ＋2bd ） ＝8－（－4） ＝23 .[能力提升] 13．(多选)[2024·九省联考]已知复数z ，w 均不为0，则( )A ．z 2＝|z |2B ．z z － ＝z 2|z |2C ．z －w ＝z － －w －D ．⎪⎪⎪⎪z w ＝||z ||w 答案：BCD解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，w ＝c ＋d i(c ，d ∈R )；对A ：z 2＝(a ＋b i)2＝a 2＋2ab i －b 2＝a 2－b 2＋2ab i ，|z |2＝(a 2＋b 2 )2＝a 2＋b 2，故A 错误；对B: z z － ＝z 2z －·z ，又z － ·z ＝||z 2，即有z z － ＝z 2|z |2 ，故B 正确； 对C ：z －w ＝a ＋b i －c －d i ＝a －c ＋(b －d )i ，则z －w ＝a －c －(b －d )i ，z － ＝a －b i ，w －＝c －d i ，则z － －w － ＝a －b i －c ＋d i ＝a －c －(b －d )i ，即有z －w ＝z － －w － ，故C 正确； 对D ：⎪⎪⎪⎪z w ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋b i c ＋d i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪（a ＋b i ）（c －d i ）（c ＋d i ）（c －d i ） ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ac ＋bd －（ad －bc ）i c 2＋d 2 ＝（ac ＋bd c 2＋d 2）2＋（ad －bc c 2＋d 2）2 ＝a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2＋a 2d 2－2abcd ＋b 2c 2（c 2＋d 2）2 ＝a 2c 2＋b 2d 2＋a 2d 2＋b 2c 2（c 2＋d 2）2 ＝a 2c 2＋b 2d 2＋a 2d 2＋b 2c 2c 2＋d 2 ，||z ||w ＝a 2＋b 2c 2＋d2 ＝a 2＋b 2×c 2＋d 2c 2＋d 2 ＝（a 2＋b 2）（c 2＋d 2）c 2＋d 2 ＝a 2c 2＋b 2c 2＋a 2d 2＋b 2d 2c 2＋d 2 ，故⎪⎪⎪⎪z w ＝||z ||w ，故D 正确．故选BCD. 14．[2022·全国乙卷(理)，2]已知z ＝1－2i ，且z ＋a z ＋b ＝0，其中a ，b 为实数，则( )A ．a ＝1，b ＝－2B ．a ＝－1，b ＝2C ．a ＝1，b ＝2D ．a ＝－1，b ＝－2答案：A解析：由z ＝1－2i 可知z － ＝1＋2i.由z ＋a z － ＋b ＝0，得1－2i ＋a (1＋2i)＋b ＝1＋a ＋b＋(2a －2)i ＝0.根据复数相等，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＋b ＝0，2a －2＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2.故选A. 15．[2023·全国甲卷(理)]设a ∈R ，(a ＋i)(1－a i)＝2，则a ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2答案：C解析：∵(a ＋i)(1－a i)＝a ＋i －a 2i －a i 2＝2a ＋(1－a 2)i ＝2，∴2a ＝2且1－a 2＝0，解得a ＝1，故选C.16．已知z (1＋i)＝1＋a i ，i 为虚数单位，若z 为纯虚数，则实数a ＝________． 答案：－1解析：方法一 因为z (1＋i)＝1＋a i ，所以z ＝1＋a i 1＋i ＝（1＋a i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝（1＋a ）＋（a －1）i 2，因为z 为纯虚数， 所以1＋a 2 ＝0且a －12≠0，解得a ＝－1. 方法二 因为z 为纯虚数，所以可设z ＝b i(b ∈R ，且b ≠0)，则z (1＋i)＝1＋a i ，即b i(1＋i)＝1＋a i ，所以－b ＋b i＝1＋a i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－b ＝1b ＝a ，解得a ＝b ＝－1.。
高中数学复数练习题附答案
高中数学复数练习题附答案一、单选题 1．复数1ii+（其中i 为虚数单位）在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．复数(2i 的虚部为（ ） A ．2 B．C．2-D ．03．已知a R ∈，“实系数一元二次方程2904x ax ++=的两根都是虚数”是“存在复数z 同时满足2z =且1z a +=”的（ ）条件. A ．充分非必要 B ．必要非充分 C ．充分必要D ．既非充分又非必要4．向量1OZ ，2OZ ，分别对应非零复数z 1，z 2，若1OZ ⊥2OZ ，则12Z Z 是（ ）A ．负实数B ．纯虚数C ．正实数D ．虚数a ＋b i(a ，b ∈R ，a ≠0) 5．设||(12i)34i z -=+，则z 的共轭复数对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 6．已知x ，R y ∈，i 为虚数单位，且()2i 2y y x ++=-，则x y +的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7．复数3i(43i )-在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．已知i 是虚数单位，复数12iiz -=，则z 的共轭复数z =（ ） A ．2i -- B ．2i -+ C ．2i - D ．2i + 9．复数z 满足：(2i)5z +=（i 是虚数单位），则复数z 的虚部为（ ） A ．2- B ．2C ．i -D ．1-10．若复数z 满足()13i 17i -=-z ，则z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．已知复数324i 1iz +=-，则z =（ ）ABC．D．12．集合M ={x |x =i n +1，n ∈N}（i 为虚数单位）的真子集的个数是（ ） A ．1B ．15C ．3D ．1613．已知复数z 满足()1i 2i z -=（其中i 为虚数单位），则z =（ ） ABC ．12D ．214．复数z 满足：23i 3=+-z z ，则z =（ ） A ．5BC ．10D15．已知34i z =+，则()i z z -=（ ） A ．1117i +B ．1917i +C ．1117i -D ．1923i +16．已知复数z 满足()21i 24i z -=-，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为（ ） A ．2 B ．1C ．2-D ．i17．若5i2iz =+，则||z =（ ） A ．2B．5C ．D ．318．设向量OP ，PQ ，OQ 对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，那么（ ）A ．z 1＋z 2＋z 3＝0B ．z 1－z 2－z 3＝0C ．z 1－z 2＋z 3＝0D ．z 1＋z 2－z 3＝0 19．若复数z 对应的点在直线y ＝2x 上，且|z |z ＝（ ）A ．1＋2iB ．－1－2iC ．±1±2iD ．1＋2i 或－1－2i20．复数z 满足(1i)23i z -=-，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题21．若复数()2i m m m -+为纯虚数，则实数m 的值为________.22．在复平面内，复数1z 和2z 对应的点分别是(21)A ，和(01)B ，，则12zz=_______. 23．设(3i)i 6i a a b +=-，其中a ，b 是实数，则i a b +=____________． 24．已知复数20202023i i z =+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于第________象限．25．已知i34i z =+，求|z |=___________26．复数1i z =+（其中i 为虚数单位）的共轭复数z =______． 27．设i 是虚数单位，若复数z ＝1＋2i ，则复数z 的模为__________. 28．设i是虚数单位，且12w =-，则21w w ++=______． 29．已知复数i 3i z =+（i 为虚数单位），则z =__________． 30．已知复数z =，则复数z 的虚部为__________. 31．若a ∈R ，且i2ia ++是纯虚数，则a =____． 32．已知复数z 满足1z =，则22z i +-的最大值为______. 33．复数121i,22i z z =+=-，则12_________.z z -=34．若存在复数z 同时满足i 1z -=，33i z t -+=，则实数t 的取值范围是_______．35i 对应的向量绕原点按逆时针方向旋转90，则所得向量对应的复数为________． 36．已知4cosisin1212z ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则1z 的辐角主值为________． 37．已知m R ∈，复平面内表示复数()3i m m --的点位于第三象限内，则m 的取值范围是____________ 38．下列命题：①若a R ∈，则()1i a +是纯虚数；②若()()()22132i x x x x R -+++∈是纯虚数，则1x =±；③两个虚数不能比较大小． 其中正确命题的序号是________．39．若复数22(9)(23)i z m m m =-++-是纯虚数，其中m ∈R ，则|z |＝________. 40．若复数(1i)+(2+3i)z =-（i 为虚数单位），则z =__________. 三、解答题41．设复数3cos isin z θθ=+.求函数()tan arg 02y z πθθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的最大值以及对应的θ值.42．已知复数13i z m =-，212i()z m R =+∈. (1)若12z z 是实数，求m 的值；(2)若复数12z z 在复平面内对应的点在第三象限，且15z ≥，求实数m 的取值范围.43．数列{}n a 满足1112,1n n n a a a a +-==+，试研究数列{}n a 的周期性. 44．复数cos isin 33ππ+经过n 次乘方后，所得的幂等于它的共轭复数，求n 的值．45．已知复平面内正方形的三个顶点所对应的复数分别是12i +，2i -+，12i --，求第四个顶点所对应的复数．【参考答案】一、单选题 1．D 2．C 3．D 4．B 5．D 6．B 7．B 8．B 9．D 10．D 11．B 12．B 13．A 14．D 15．B 16．B 17．B 18．D 19．D 20．A二、填空题 21．122．12i -##2i+1- 23．24．四 25．15##0.2 26．1i -##i+1- 2728．0 2930．31．12-##0.5- 32．1 3334．[]4,635．1-1- 36．2312π37．()0,3 38．③ 39．12 40三、解答题 41．3πθ=时，函数y【解析】 【分析】由3cos isin z θθ=+求得()1arg 3tg z tg θ=，再由两角差的正切建立关于tg θ的函数，()2arg 3y tg z tg tg θθθ=-=+，再由基本不等式法求解．【详解】 解：解：由02πθ<<得0tg θ>.由3cos isin z θθ=+得sin 1(arg )3cos 3tg z tg θθθ==. 故213(arg )113tg tg y tg z tg θθθθ-=-=+23tg tg θθ=+∵3tg tg θθ+≥∴23tg tg θθ≤+当且仅当302tg tg πθθθ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭时，即tg θ=时，上式取等号. 所以当3πθ=时，函数y42．(1)32m =- (2)46m ≤< 【解析】 【分析】（1）由复数的除法法则化简后根据复数的定义计算；（2）由对应点所在象限求得参数范围，再由模求得参数范围，两者结合可得． (1)123i (3i)(12i)6(23)i 12i (12i)(12i)5z m m m m z -----+===++-，它是实数，则(23)0m -+=，32m =-； (2)由（1）12z z 对应点坐标为623(,)55m m -+-，它在第三象限， 则6052305m m -⎧<⎪⎪⎨+⎪-<⎪⎩，解得362m -<<，又15z =，4m ≤-或4m ≥， 综上，46m ≤<． 43．周期为4 【解析】 【分析】根据通项公式，写出特征方程为210x +=，由方程根的情况求出数列{}n a 的周期. 【详解】数列{}n a 的递归函数为()11x f x x -=+，其特征方程为210x +=. 因为Δ=01440-⨯=-<，解得：i,i m k ==-()1i 36arg arg arg i 1i 24a mc a kc ππ--⎛⎫⎛⎫==-== ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭所以数列{}n a 是周期4T =的周期函数. 44．()61Z k k -∈. 【解析】 【分析】用共轭复数的概念，以及复数的三角表示即可. 【详解】由题意：cos isin cos isin cos isin 333333nn n ππππππ⎛⎫+=+=- ⎪⎝⎭，可得cos cos ,sin sin 3333n n ππππ==-， ∴()2Z 33n k k πππ=-∈，()61Z n k k =-∈. 45．2i - 【解析】 【分析】根据复数的几何意义以及正方形的性质进行求解即可． 【详解】设复数12i +，2i -+，12i --对应的点分别为,,A B C 则(1,2)A ，(2,1)B -，(1,2)C --，所以()()3,1,1,3AB BC =--=-，所以033·AB BC =-+=，所以90ABC ∠=︒ 设第四个点为(,)D x y ，则按照,,,A B C D 的顺序才能构成正方形， 所以AB DC =，即(3-，1)(1x -=--，2)y --即1321x y --=-⎧⎨--=-⎩，解得21x y =⎧⎨=-⎩，则(2,1)D -，对应的复数为2i -， 故答案为：2i -。
(完整word版)高中数学复数专项练习题(含答案)
高考复数练习题一、选择题1.设有下面四个命题：p1：若复数z满足1z∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p3：若复数z1，z2满足z1·z2∈R，则z1=z2−；p4：若复数z∈R，则z−∈R．其中的真命题为()A. p1，p3B. p1，p4C. p2，p3D. p2，p42.若z(1−i)=|1−i|+i(i为虚数单位)，则复数z的虚部为()A. √2−12B. √2−1 C. 1 D. √2+123.i为虚数单位，i607的共轭复数为()A. iB. −iC. 1D. −14.在复平面内，复数11−i的共轭复数对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5.若复数(1−i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是()A. (−∞,1)B. (−∞,−1)C. (1,+∞)D. (−1,+∞)6.复数z=2−i2+i(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为()．A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限7.若复数z满足(3−4i)z=|4+3i|，则z的虚部为()A. 45i B. 45C. 4iD. 48.若z=1+2i，则4iz⋅z−−1=()A. 1B. −1C. iD. −i9.设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a等于()A. −3B. −2C. 2D. 310.已知i是虚数单位，a，，得“a=b=1”是“”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件11.若复数z满足2z−z−=3+12i，其中i为虚数单位，z−是z的共轭复数，则复数|z|=()A. 3√5B. 2√5C. 4D. 512.设z=3−i1+2i，则|z|=()A. 2B. √3C. √2D. 113.复数21−i(i为虚数单位)的共轭复数是()A. 1+iB. 1−iC. −1+iD. −1−i14.设z=11+i+i，则|z|=()A. 12B. √22C. √32D. 2二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）15.已知a∈R，i为虚数单位，若a−i2+i为实数，则a的值为．16.i是虚数单位，复数z满足(1+i)z=2，则z的实部为．17.已知复数z=(5+2i)2(i为虚数单位)，则z的实部为______．18.若z l=a+2i，z2=3−4i，且z1z2为纯虚数，则实数a的值为______．19.设a∈R，若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a=．20.已知复数z满足z+3z=0，则|z|=．三、解答题（本大题共3小题，共36.0分）21.设z1=2x+1+(x2−3x+2)i，z2=x2−2+(x2+x−6)i(x∈R)，其中i是虚数单位．(1)若z1是纯虚数，求实数x的取值范围；(2)若z1>z2，求实数x的取值范围．22.当实数a为何值时z=a2−2a+(a2−3a+2)i．(1)为纯虚数；(2)为实数；23.已知复数z=bi(b∈R)，z−2是实数，i是虚数单位．1+i(1)求复数z；(2)若复数(m+z)2所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】B本题主要考查命题的真假判断，考查了复数的运算，复数的概念，共轭复数，属于基础题．【解答】解：设z=a+bi(a,b∈R)，则1z =1a+bi=a−bia2+b2，若复数z满足1z∈R，则b=0，则z∈R，故命题p1为真命题；p2：复数z=i满足z2=−1∈R，但z∉R，故命题p2为假命题；p3：复数z1=i，z2=2i满足z1·z2=−2∈R，但z1≠z2−，故命题p3为假命题；p4：若复数z∈R，则z−=z∈R，故命题p4为真命题．故选B．2【答案】D本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念及模，属于基础题．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z(1−i)=|1−i|+i=√2+i，∴z=√2+i1−i=(√2+i)(1+i)(1−i)(1+i)=√2−12+√2+12i，则z的虚部为√2+12，故选D．3.【答案】A本题考查复数的基本运算，复数单位的幂运算以及共轭复数的知识，基本知识的考查．【解答】解：i 607=i 604+3=i 3=−i ，它的共轭复数为：i ．故选：A ．4.【答案】D本题考查复数的四则运算，复数的代数表示及其几何意义，属于基础题． 可得复数11−i 的共轭复数为12−12i ，即可得解．【解答】解：复数11−i =1+i (1−i)(1+i)=12+12i ，则复数11−i 的共轭复数为12−12i ，在复平面内，复数11−i 的共轭复数对应点的坐标为(12,−12)，故在复平面内，复数11−i 的共轭复数对应的点位于在第四象限．故选D ．5.【答案】B本题考查了复数的运算法则，几何意义，属于基础题．根据条件可得{a +1<01−a >0，解得a 范围即可． 【解答】解：复数(1−i)(a +i)=a +1+(1−a)i 在复平面内对应的点在第二象限， ∴{a +1<01−a >0，解得a <−1． 则实数a 的取值范围是(−∞,−1)．故选B ．6.【答案】D先将复数z 进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理后得到代数形式，写出复数在复平面上对应的点的坐标，根据坐标的正负得到所在的象限． 判断复数对应的点所在的位置，只要看出实部和虚部与零的关系即可，把所给的式子展开变为复数的代数形式，得到实部和虚部的取值范围，得到结果．解：∵z=2−i2+i =(2−i)2(2+i)(2−i)=35−45i，∴复数在复平面对应的点的坐标是(35,−45)，∴它对应的点在第四象限，故选：D．7.【答案】B本题考查复数的运算，考查复数的概念，比较基础．由题意，z=53−4i =35−45i，可得z的虚部．【解答】解：由题意，z=53−4i =35+45i，∴z的虚部为45．故选B．8.【答案】C本题考查复数的代数形式的混合运算，共轭复数的概念，属于基础题．利用复数的四则运算法则化简求解即可．【解答】解：因为z=1+2i，所以z−=1−2i，则4iz·z−−1=4i(1+2i)(1−2i)−1=4i5−1=i，故选C．9.【答案】A本题考查复数的概念及复数的乘法的运算法则，考查计算能力，属于基础题．利用复数的乘法运算法则，根据复数的概念求解即可．【解答】解：(1+2i)(a+i)=a−2+(2a+1)i的实部与虚部相等，可得：a−2=2a+1，解得a=−3．10.【答案】A本题考查的知识点是充分、必要条件的判断，复数的相等，复数的运算，属于简单题．利用复数的运算性质，分别判断“a =b =1”⇒“(a +bi )2=2i ”与“(a +bi )2=2i ”⇒“a =b =1”的真假，进而根据充分条件和必要条件的判断得到结论．【解答】解：当a =b =1时，(a +bi )2=(1+i )2=2i 成立，故“a =b =1”是“(a +bi )2=2i ”的充分条件；当(a +bi )2=a 2−b 2+2abi =2i 时，a =b =1或a =b =−1，故“a =b =1”不是“(a +bi )2=2i ”的必要条件；综上所述，“a =b =1”是“(a +bi )2=2i ”的充分不必要条件．故选A ．11.【答案】D【解析】解：复数z =a +bi ，a 、b ∈R ，∵2z −z −=3+12i ，∴2(a +bi)−(a −bi)=3+12i ，即{2a −a =32b +b =12，解得a =3，b =4， ∴z =3+4i ，∴|z|=√32+42=5．故选：D ．根据复数的四则运算法则先求出复数z ，再计算它的模长．本题主要考查了复数的计算问题，要求熟练掌握复数的四则运算以及复数长度的计算公式，是基础题． 12.【答案】C本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．直接利用复数商的模等于模的商求解．【解答】解：由z=3−i1+2i，得|z|=|3−i1+2i |=|3−i||1+2i|=√10√5=√2．故选C．13.【答案】B本题考查复数的代数形式的运算，涉及共轭复数，属基础题．化简已知复数z，由共轭复数的定义可得．【解答】解：化简可得z=21−i=2(1+i)(1−i)(1+i)=1+i，∴z的共轭复数z−=1−i，故选：B．14.【答案】B【解答】解：z=11+i+i=1−i(1+i)(1−i)+i=12+12i．故|z|=√14+14=√22．故选B．15.【答案】BD本题主要考查随机事件中的互斥与对立事件的判断，属于基础题．根据互斥与对立事件的概念即可得解．【解答】解：将一个骰子抛掷1次，设事件A表示向上的一面出现奇数，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，由题意，事件A与事件B能同时发生，不是互斥事件，故A错误，B正确；事件B与事件C不能同时发生，也不能同时不发生，是对立事件，故C错误，D正确；16.【答案】−2本题考查复数的乘除运算，注意运用共轭复数，同时考查复数为实数的条件：虚部为0，考查运算能力，属于基础题．运用复数的除法法则，结合共轭复数，化简a−i2+i，再由复数为实数的条件：虚部为0，解方程即可得到所求值．【解答】解：a∈R，i为虚数单位，a−i 2+i =(a−i)(2−i)(2+i)(2−i)=2a−1−(2+a)i4+1=2a−15−2+a5i由a−i2+i为实数，可得−2+a5=0，解得a=−2．故答案为−2．17.【答案】1本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是中档题．把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由(1+i)z=2，得z=21+i =2(1−i)(1+i)(1−i)=2(1−i)2=1−i，∴z的实部为1．故答案为：1．18.【答案】21【解析】解：z=(5+2i)2=25+20i+4i2=25−4+20i=21+20i，故z的实部为21，故答案为：21根据复数的有关概念，即可得到结论．本题主要考查复数的有关概念，利用复数的基本运算是解决本题的关键，比较基础．19.【答案】83利用实部等于0，虚部不为0，求出a 即可．本题考查复数代数形式的乘除运算，复数的基本概念，是基础题．【解答】解：z 1z 2=a+2i 3−4i =(a+2i)(3+4i)(3−4i)(3+4i)=3a−8+(4a+6)i 25，它是纯虚数，所以3a −8=0，且4a +6≠0，解得a =83，故答案为：83． 20.【答案】−1本题考查的知识点是复数的运算及其几何意义，属基础题．可由(1+i)(a +i)=a −1+(a +1)i ，则a +1=0，解得答案．【解答】解：因为(1+i)(a +i)=a −1+(a +1)i ，若复数(1+i)(a +i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a +1=0，解得a =−1．故答案为−1．21.【答案】√3本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件以及复数模的求法，是基础题．设z =a +bi(a,b ∈R)，代入z 2=−3，由复数相等的条件列式求得a ，b 的值得答案．【解答】解：由z +3z =0，得z 2=−3，设z =a +bi(a,b ∈R)，由z 2=−3，得(a +bi)2=a 2−b 2+2abi =−3，即{a 2−b 2=−32ab =0，解得：{a =0b =±√3． ∴z =±√3i ．则|z|=√3．故答案为：√3．⇒{x =−12(x −1)(x −2)≠0⇒{x =−12x ≠1且x ≠2⇒x =−12所以实数x 的取值范围是{x|x =−12}；(2)依题意得{x 2−3x +2=0x 2+x −6=0⇒{(x −1)(x −2)=0(x +3)(x −2)=0⇒{x =1或x =2x =−3或x =2 所以x =2，检验：当x =2时，z 1=2×2+1=5,z 2=22−2=2，满足z 1>z 2符合题意． 所以实数x 的取值范围是{x|x =2}．【解析】本题考查复数的基本概念，是基础题．(1)利用复数的实部为0且虚部不为0，列出方程求解即可．(2)利用复数z 1，z 2是实数，虚部都为0求出x 的值，然后判断即可．23.【答案】解：(1)复数z 是纯虚数，则由{a 2−2a =0a 2−3a +2≠0，得{a =0或a =2a ≠1且a ≠2，即a =0．(2)若复数z 是实数，则a 2−3a +2=0，得a =1或a =2．(3)在复平面内对应的点位于对应的点在第一象限，则{a 2−2a >0a 2−3a +2>0， 即{a >2或a <0a <1或a >2，解得a <0或a >2．【解析】(1)复数为纯虚数，则实部为0，虚部不等于0．(2)复数为实数，则虚部等于0．(3)若复平面内对应的点位于第一象限，则实部大于0，虚部大于0．本题主要考查复数的有关概念，建立条件关系是解决本题的关键，比较基础． 24.【答案】解：(1)因为z =bi(b ∈R)，所以z−21+i =bi−21+i =(bi−2)(1−i)(1+i)(1−i)=(b−2)+(b+2)i 2=b−22+b+22i. 又因为z−21+i 是实数，所以b+22=0，所以b =−2，即z =−2i ．(2)因为z =−2i ，m ∈R ，所以(m +z)2=(m −2i)2=m 2−4mi +4i 2=(m 2−4)−4mi ， 又因为复数(m +z)2所表示的点在第一象限，所以{m 2−4>0,−4m >0,解得m <−2， 即m ∈(−∞,−2)．。
复数试题及答案高中数学
复数试题及答案高中数学一、选择题1. 复数z = 3 + 4i的模是（）A. 5B. √5C. √(3² + 4²)D. 42. 已知z₁ = 2 - i，z₂ = 1 + 3i，求z₁z₂的值是（）A. 5 - iB. 5 + iC. 2 + 5iD. 2 - 5i3. 复数z = 1/(1 - i)的共轭复数是（）A. -1 - iB. -1 + iC. 1 - iD. 1 + i二、填空题4. 复数3 - 4i的实部是______，虚部是______。
5. 若复数z满足|z| = 5，且z的实部为3，则z的虚部可以是______。
三、解答题6. 求复数z = 2 + 3i的共轭复数，并计算|z|。
7. 已知复数z₁ = 2 + i，z₂ = 1 - 2i，求z₁ + z₂，z₁ - z₂，z₁z₂。
8. 证明：对于任意复数z，都有|z|² = z * z的共轭复数。
答案一、选择题1. C. √(3² + 4²) = 52. A. 5 - i （(2 - i)(1 + 3i) = 2 + 6i - i - 3 = 5 - i）3. D. 1 + i （1/(1 - i) = (1 + i)/2）二、填空题4. 3，-45. ±4 （因为|z|² = 3² + 虚部²，所以虚部² = 25 - 9 = 16，虚部= ±4）三、解答题6. z的共轭复数是2 - 3i，|z| = √(2² + 3²) = √13。
7. z₁ + z₂ = (2 + i) + (1 - 2i) = 3 - iz₁ - z₂ = (2 + i) - (1 - 2i) = 1 + 3iz₁z₂ = (2 + i)(1 - 2i) = 2 - 4i + i - 2i² = 4 - i8. 证明：设z = a + bi，其中a和b是实数，i是虚数单位。
高中复数经典练习题(含答案)
高中复数经典练习题(含答案)一、单选题1．已知12z i =-，则(i)z z -的模长为（ ） A ．4 B ．10 C ．2 D ．10 2．已知复数12z i =-，则z 在复平面内对应的点关于虚轴对称的点是（ ） A ．(1,2)-B ．(1,2)C ．(2,1)-D ．(1,2)--3．已知复数z 满足()2i 32i +=+z 则||z =（ ） A ．65 B ．13 C ．3 D ．154．复数 21(1)i 1z a a =+--是实数，则实数a 的值为（ ） A ．1或-1 B ．1 C ．-1D ．0或-15．在复平面内，复数z 满足()()1i 1i ,z a b a b R +=++∈，且z 所对应的点在第一象限或坐标轴的非负半轴上，则2+a b 的最小值为（ ） A ．2- B ．1-C ．1D ．26．在复平面中，复数z 对应的点的坐标为()1,2，则()i z z -的对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限7．若复数i (2i)z m m =++在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(,0)-∞D ．(1,)-+∞8．如图，在复平面内，复数z 对应的点为P ，则复数i=z ⋅（ ）A ．2i -B ．12i -C ．1+2i -D ．2i --9．已知复数()1i z a a =-+（a ∈R ），则1a =是1z =的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．若复数2(1i)-的实部为a ，虚部为b ，则a b +=（ ） A ．3-B ．2-C ．2D ．311．已知复数324i 1iz +=-，则z =（ ）A B C ．D ．12．2021i 1i-=（ ）A ．11i 22+ B ．11i 22-- C ．11i 22-+D ．11i 22-13．已知复数z 满足()21i 68i z -=+，其中i 为虚数单位，则z =（ ）A ．10B ．5C D ．14．若复数z 满足1i 1i 2z +=+，则z 在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限15．已知复数z 满足()43i 5i z +=，则z =（ ）A ．1BC ．15D ．516．若5i2iz =+，则||z =（ ） A．2 B C ．D ．3 17．复数z 在复平面内对应点的坐标为（－2，4），则1z +=（ ）A ．3B ．4C D 18．“1x =”是“22(1)(32)i x x x -+++是纯虚数”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件19．设a ，b ∈R ，i 为虚数单位，则“ab >0”是“复数a －b i 对应的点位于复平面上第二象限”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件20．已知复数z 满足(12i)43i z -=-（i 为虚数单位），则z =（ ）A B ．5C D ．2二、填空题21．已知复数z 为纯虚数且满足1-3z =|z |+3i ，则z =________ 22．已知复数z 满足24(1i)(12i)z --=-，则||z =________. 23．已知复数z 满足211iz -=+，则z 的最小值为___________； 24．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，z OZ =，也即复数z 的模的几何意义为z 对应的点Z 到原点的距离，在复数平面内，复数02i1ia z +=+ (i 是虚数单位，)a R ∈是纯虚数，其对应的点为0Z ，Z 为曲线1z =上的动点，则0Z 与Z 之间的最小距离为________________.25．若复数z 满足i 2022i z ⋅=-（i 是虚数单位），则z 的虚部是___________.26．设复数1z ，2z 满足11z =，22z =，121z z -=，则12z z +=________． 27．计算：()()12i 34i 2i-+=+_________．28．化简：i 是虚数单位，复数()2021i 34i z =+=_________. 29．已知复数i 3i z =+（i 为虚数单位），则z =__________．30．已知2i +是关于x 的方程()20,R x ax b a b ++=∈的根，则b a -=________.31．若复数()()32i z a a R =-+-∈为实数，则2021i 1ia a -+的值为______.32．若复数2(1i)34iz +=+，则z =__________．33．复数121i,22i z z =+=-，则12_________.z z -=34．复数1077(cosisin )66ππ+表示成代数形式为________． 35．i 是虚数单位，则1i1i+-的值为__________. 36．方程()()2223256i 0x x x x --+-+=的实数解x =________.37．已知复数z 1＝a 2－3－i ，z 2＝－2a ＋a 2i ，若z 1＋z 2是纯虚数，则实数a ＝________.38．若z 1＝2－i ，z 2＝－12＋2i ，则z 1，z 2在复平面上所对应的点为Z 1，Z 2，这两点之间的距离为________. 39．已知复数2i4i ia b +=-，,R a b ∈，则a b +=______. 40．已知复数1i z =+，则2z z+=____________ 三、解答题41．实数x 取什么值时，复平面内表示复数z ＝x 2＋x －6＋（x 2－2x －15）i 的点Z ：(1)位于第三象限； (2)位于第四象限；(3)位于直线x －y －3＝0上．42．（1）若复数22(56)(3)i z m m m m =-++-表示实数，求实数m 的值 ；（2）若复数22(56)(3)i z m m m m =-++-表示纯虚数，求实数m 的值. 43．在复平面内，复数()22234i z a a a a =--+--（其中i 为虚数单位，R a ∈）．(1)若复数z 为纯虚数，求a 的值； (2)若复数z >0，求a 的值． 44．根据要求完成下列问题：(1)已知复数1z 在复平面内对应的点在第四象限，1||1z =，且111z z +=，求1z ；(2)已知复数225(15i)3(2i)12im z m =-+-+-为纯虚数，求实数m 的值. 45．判断下列命题的真假． (1)任何复数的模都是非负数； (2)x 轴是复平面的实轴，y 轴是虚轴；(3)若1z =，2z =，3z =42i z =-，则这些复数的对应点共圆； (4)cos isin θθ+，最小值为0．【参考答案】一、单选题 1．B 2．D 3．A 4．C 5．B 6．D 7．A 8．D 9．A10．B11．B12．C13．B14．D15．A16．B17．C18．A19．B20．A二、填空题21．i22．2231##1-24．1 25．2022-2627．43i-##3i4-+ 28．－4＋3i##3i-42930．931．i-32．825i 6 25 -3334．－5i##－5i－35．136．237．33839．640．三、解答题41．(1)－3<x <2 (2)2<x <5 (3)x ＝－2 【解析】 【分析】根据复数的几何意义即可求解. (1)当实数x 满足22602150x x x x ⎧+-<⎨--<⎩，即－3<x <2时，点Z 位于第三象限； (2)当实数x 满足22602150x x x x ⎧+->⎨--<⎩，即2<x <5时，点Z 位于第四象限； (3)当实数x 满足（x 2＋x －6）－（x 2－2x －15）－3＝0，即3x ＋6＝0，x ＝－2时，点Z 位于直线x －y －3＝0上；综上，（1）()3,2x ∈- ，（2）()2,5x ∈ ，（3）2x =- . 42．（1）0m =或3；（2）2m = 【解析】 【分析】（1）由虚部为0直接求解即可；（2）由实部为0，虚部不为0直接求解即可. 【详解】（1）由复数22(56)(3)i z m m m m =-++-表示实数，可得230m m -=，解得0m =或3；（2）由复数22(56)(3)i z m m m m =-++-表示纯虚数，可得2256030m m m m ⎧-+=⎨-≠⎩，解得2m =. 43．(1)2a = (2)4a = 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数的知识列式，从而求得a 的值. （2）根据复数能比较大小列式，从而求得a 的值.(1)由于z 为纯虚数，所以2220340a a a a ⎧--=⎨--≠⎩，可得2a =．(2)由于z 与0可以比较大小，所以z 为实数，且0z >，所以2220340a a a a ⎧-->⎨--=⎩，可得4a =．44．(1)112z = (2)2m =- 【解析】 【分析】（1）设1i z a b =+，由题设可得关于,a b 的方程组，求出其解后可得1z . （2）根据复数的四则运算可求2z ，根据其为纯虚数可求实数m 的值. (1)设1i z a b =+（a b R ∈、），由题意得22121a b a ⎧+=⎨=⎩，解得12a =，b =∵复数1z 在复平面内对应的点在第四象限，∴b =112z =； (2)()()()()2222515i 32i 6253i 12im z m m m m m =-+-+=--+---，依题意得260m m --=，解得3m =或2m =-， 又∵22530m m --≠，∴3m ≠且12m ≠-， ∴2m =-. 45．(1)真命题； (2)真命题； (3)真命题； (4)假命题； 【解析】 【分析】由复数模长公式判断（1），由复平面的定义判断（2），根据复数的模长判断（3），由模长计算公式求解cos isin θθ+，判断（4）. (1)真命题，若()i ,z a b a b R =+∈，则0z =≥，故该命题为真命题； (2)真命题，由复平面的定义可知，x 轴是实轴，y 轴是虚轴，故该命题为真命题； (3)真命题，因为3124z z z z ===(4)假命题，cos isin 1θθ+==为定值，所以其最大最小值均为1，故该命题为假命题.。
高中数学复数试卷专项训练11套含答案
一、选择题1、若Z,与Z2互为共轴虚数，则满足条件Z-Z1|2-|Z-Z2|2=Z-Z2|2的复数z在平面上表示的图形是(A)双曲线(B)平行于x轴的直线(C)平面于y轴的直线(D)一个点2、设z是纯虚数，则()(A)z2=z2(B)z12=-z2(C)，=-z2(D)z2=-z23、已知全集C=｛复数｝,Q=｛有理数｝,S=｛无理数｝,R=｛实数｝,P=｛虚数｝,那么&U产为()(A)S(B)C(C)R(D)Q4、已知M=｛1,2,m2-3m-l+(m2-5m-6)i｝,N=｛T,3｝,MClN=｛3｝,则实数m为(A)-l或6(B)-l或4(C)-l(D)4翰林5、若(m2-3m-4)+(m2-5tn-6)i是纯虚数，则实数m的值为()(A)-l(B)4(C)T或4(D)不存在6、设集合C=｛复数｝,R=｛实数｝，畛｛纯虚数｝,其中C为全集，则()(A)MUR=C(B)RU&=C(c)MnR=｛o｝(D)cn2?=m7、在复平面内，与复数z=-l-i的共轴复数对应的点位于()(A)第一象限(B)第二角限(C)第三象限(D)第四象限8、如果用C、R和I分别表示复数集、实数集和纯虚数集，其中C为全集，则(A)&=crn(B)Rni={o}(c)Rni=f(D)C=RUT19、复数(i-1)3的虚部是(A)-8(B)-8i(C)8(D)010、设z为复数，且(z-l)2=|z-H2那么z是()(A)纯虚数(B)实数(C)虚数(D)l11、在复平面内，复数z满足l<|z|<2,则z所对应的点P的集合构成的图形是(A)圆(B)直线(C)线段(D)圆环12、下列命题中正确的是()(A)每个复数都有唯一的模和唯一的辐角主值(B)复数与复平面内的点是一一对应的(C)共轴虚数的n次方仍是共轴复数(D)任何两个复数都不能比较大小113>设复数z=sin50°-icos50°则arg i等于(A)10°(B)80°(C)260°(D)350°14、已知7r<e<2,复数Z=|cos0|+i IsinO|的辐角主值是()(A)n-0(B)n+。
高中复数经典练习题(含答案)
高中复数经典练习题(含答案)一、单选题1．复数z 满足(1i)23i z -=-，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知复数z 满足()2i 32i +=+z 则||z =（ ）AB C D 3．设集合A 实数 ，{}B =纯虚数，{}C =复数，若全集SC ，则下列结论正确的是（ ） A ．AB C =B ．A B =C ．()S A B ⋂=∅D ．SSABC4．已知a R ∈，“实系数一元二次方程2904x ax ++=的两根都是虚数”是“存在复数z 同时满足2z =且1z a +=”的（ ）条件. A ．充分非必要 B ．必要非充分 C ．充分必要 D ．既非充分又非必要 5．复数(sin 10°＋icos 10°)(sin 10°＋icos 10°)的三角形式是（ ）A ．sin 30°＋icos 30°B ．cos 160°＋isin 160°C ．cos 30°＋isin 30°D ．sin 160°＋icos 160° 6．在复平面内，复数z 满足()1i 3i z -=-+，则复数z 对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．复数z 满足()12i z =，i 为虚数单位，则复数z 的虚部为（ ）A ．BC ．D 8．下列命题：①若i 0a b +=，则0a b ；②i 22i 2x y x y +=+⇔==；③若y R ∈，且()()211i 0y y ---=，则1y =.其中正确命题的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个9．已知复数13i z a =-，22i z =+（i 为虚数单位），若12z z 是纯虚数，则实数=a （ ）A ．32-B ．32C ．6-D ．610．已知i 是虚数单位，复数12iiz -=，则z 的共轭复数z =（ ） A ．2i --B ．2i -+C ．2i -D ．2i +11．设O 为原点，向量OA ，OB 对应的复数分别为2＋3i ，－3－2i ，那么向量BA 对应的复数为（ ）A ．－1＋iB ．1－iC ．－5－5iD ．5＋5i 12．已知复数z 满足(12i)43i z -=-（i 为虚数单位），则z =（ ）AB ．5CD ．213．设z 的共轭复数是z ，若4i z z -=，8z z ⋅=，则z =（ ）A ．22i --B ．22i +C ．22i -+D ．22i +或22i -+ 14．若复数z 在复平面内对应的点为(1,1)，则其共轭复数z 的虚部是（ ） A ．i B ．i - C ．1 D ．1- 15．若复数2(1i)-的实部为a ，虚部为b ，则a b +=（ ）A ．3-B ．2-C ．2D ．316．已知复数z 满足()21i 24i z -=-，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为（ ） A ．2 B ．1C ．2-D ．i17．若5i2iz =+，则||z =（ ）A．2 B C ．D ．318．“1x =”是“22(1)(32)i x x x -+++是纯虚数”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 19．已知复数z 满足z ＋2i －5＝7－i ，则|z |＝（ ）A ．12B ．3C ．D ．920．已知复数z 满足i 232i z z +=-（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题21．已知复数z 满足294i z z +=+，则z =___________. 22．已知复数z 满足24(1i)(12i)z --=-，则||z =________.23．设复数1z ，2z 是共轭复数，且12229i,-=-+z z ，则1z =___________. 24．设i 为虚数单位，若复数(1i)(i)a -+的实部与虚部相等，其中a 是实数，则|1i |-+=a ________.25．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，z OZ =，也即复数z 的模的几何意义为z 对应的点Z 到原点的距离，在复数平面内，复数02i1ia z +=+ (i 是虚数单位，)a R ∈是纯虚数，其对应的点为0Z ，Z 为曲线1z =上的动点，则0Z 与Z 之间的最小距离为________________. 26．复数2ii 1+-的共轭复数是_______． 27．已知复数3i (2i)z =⋅-，则z 的虚部为__________．28．若复数()2(2)9i()z m m m R =++-∈是正实数，则实数m 的值为________．29．在复平面内，复数1z 和2z 对应的点分别是(21)A ，和(01)B ，，则12zz=_______. 30．设复数1z ，2z 满足11z =，22z =，121z z -=，则12z z +=________．31．设i 为虚数单位，则复数2(1i)1i+-=____．32．设z C ∈，且1i 0z z +--=，则i z +的最小值为________. 33．已知复数z =(,a b ∈R 且0,0a b ≠≠)的模等于1，则12b a b++的最小值为______.34．已知复数z 满足()1i 42i -=+z ，则z =_________.35．设复数()21(1)i m m -++为纯虚数，则实数m 的值为________．36．已知m R ∈，复平面内表示复数()3i m m --的点位于第三象限内，则m 的取值范围是____________ 37．i 是虚数单位，则1i1i+-的值为__________. 38．若z 1＝2－i ，z 2＝－12＋2i ，则z 1，z 2在复平面上所对应的点为Z 1，Z 2，这两点之间的距离为________. 39．已知i 是虚数单位，复数12iiz -=，则z 的共轭复数z =___________. 40．若复数2iiz -=-，则z =_______． 三、解答题41．定义运算ab ad bc c d=-，如果()()32i 3i 1x y x y x y++++=-，求实数x ，y 的值．42．已知复数()2i z a =+，i 43w =-其中a 是实数，(1)若在复平面内表示复数z 的点位于第一象限，求a 的范围； (2)若zw是纯虚数，a 是正实数， ①求a ，②求232023z z z z w w w w ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭43．已知向量OZ 与实轴正向的夹角为45，向量OZ 对应的复数z 的模为1，求z .44．已知复数()()2224i z m m m =--+-（其中，m R ∈，i 为虚数单位）在①0z >；②z 为纯虚数；③z 的实部与虚部相等．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题． (1)若______，求实数m 的值；(2)若复数2(1i)1z m -++的模为5，求实数m 的值．45．设222215(6)i 4a a z a a a +-=--+-（R a ∈），试判断复数z 能否为纯虚数？并说明理由.【参考答案】一、单选题 1．A 2．A 3．D 4．D 5．B 6．C 7．D 8．B 9．A 10．B 11．D12．A13．D14．D15．B16．B17．B18．A19．C20．A二、填空题21．522．2232425．126．13i-+22 27．-228．329．12i-##2i+1-3031．1i-+32. 33．734．13i+35．10,3 36．() 37．13839．2i-+ 40．12i-三、解答题41．1x =-，2y = 【解析】 【分析】根据题意得到()()()3i 32i x y x x y y +++=++，列出方程组求解即可. 【详解】 由定义运算ab ad bc c d=-，得32i 32i 1x y x y y y+=++-，所以()()()3i 32i x y x x y y +++=++ 因为x ，y 为实数，所以有323x y x yx y+=+⎧⎨+=⎩，解得1x =-，2y =.42．(1)1a > (2)①2； ②1-. 【解析】 【分析】（1）化简复数212i z a a =-+，根据复数z 在第一象限，列出不等式组，即可求解；（2）化简复数()()22464383i25a a a a zω--++-=，由zw是纯虚数，求得2a =，化简得到i zω=，结合虚数单位的性质，即可求解.(1)解：由题意，复数()22i 12i z a a a =+=-+，因为复数z 在第一象限，可得21020a a ⎧->⎨>⎩，解得1a >．(2)解：由题意，复数()()()()()()()()2222222i i 43i i i 43i 43i43i 43i 43i a a a a zω++++++===--+- ()()()2222223464383i 48i 4i 3i 6i 3i 16925a a a a a a a a --++-+++++==--，因为zw 是纯虚数，则2246403830a a a a ⎧--=⎨+-≠⎩，解得2a =或12a =-，又因为a 是正实数，则2a =，当2a =时，复数224648i 3i 3i 16i 12i 3ii 2525za a a a ω--++-+-===， 因为41i i n +=，42i 1n +=-，43i i n +=-，4i 1n =，n N ∈，所2320232334202i i i i i zz z z ωωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+=++++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()4678202122352023022i i i i i i i i i i i =++++++++⋅⋅⋅+++()00i i 11=+++--=-．43．z =或z = 【解析】 【分析】由题，OZ 与实轴正向的夹角为45，故OZ 可能在第一象限或第四象限，设出Z 的坐标，结合OZ 对应的复数z 的模为1列式，即可求解. 【详解】由题，向量OZ 与实轴正向的夹角为45，故OZ 在第一象限或第四象限，设点Z 的坐标为(,)a b ，则0a >，b a =，又1z =，故可解得a b ==b =，所以z =+或z =. 44．(1)选①, 2m =-; 选②, 1m =-; 选③, 2m =; (2)2m =或4m =-. 【解析】 【分析】（1）选①根据题意知复数为正实数，由实部大于0，虚部等于0列出式子求解，选②根据纯虚数知实部为0，虚部不为0求解，选③由实部虚部相等列方程求解；（2）化简复数，根据复数的模列出方程求解. (1)若选①，因为0z >，则222040m m m ⎧-->⎨-=⎩，解得2m =-；若选②，因为z 为纯虚数，则222040m m m ⎧--=⎨-≠⎩，解得1m =-；若选③，因为z 的实部与虚部相等，则2224m m m --=-，解得2m =. (2)因为()()22222(1i)124i i+1=(1)4i z m m m m m m m -++=--+------，5=， 解得2m =或4m =-.45．不存在a 使复数z 为纯虚数，理由见解析 【解析】 【分析】先假设复数z能为纯虚数，则可得260a a--=且222154a aa+-≠-，然后求解，若a存在，则复数z能为纯虚数，否则不能【详解】假设复数z能为纯虚数，则222260215440a aa aaa⎧--=⎪+-⎪≠⎨-⎪-≠⎪⎩，所以325,3,2,2a aa a a a==-⎧⎨≠-≠≠≠-⎩或且且且，解得a∈∅，所以不存在a使复数z为纯虚数.。
高中数学复数练习题含答案
高中数学复数练习题含答案一、单选题1．若复数z 在复平面内对应的点为(1,1)，则其共轭复数z 的虚部是（ ） A ．i B ．i - C ．1 D ．1- 2．设复数z 满足()1i 2i z -=，则z 在复平面内对应的点在第几象限.（ ） A ．一 B ．二 C ．三 D ．四 3．已知复数12z i =-，则z 在复平面内对应的点关于虚轴对称的点是（ ） A ．(1,2)-B ．(1,2)C ．(2,1)-D ．(1,2)--4．已知复数z 满足()2i 32i +=+z 则||z =（ ） A ．655B ．13C ．3D ．155．复数3i(43i )-在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．如图，在复平面内，复数z 对应的点为P ，则复数i=z ⋅（ ）A ．2i -B ．12i -C ．1+2i -D ．2i --7．已知复数z 满足(1i)32i +=+z ，则z 的虚部为（ ） A ．12 B ．1i 2-C ．12-D ．1i 28．设复数z 1=1+i ，z 2=x +2i(x ∈R)，若z 1z 2∈R ，则x 等于（ ） A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．29．已知复数13i z a =-，22i z =+（i 为虚数单位），若12z z 是纯虚数，则实数=a （ ） A ．32-B ．32C ．6-D ．610．复数2i z =-（i 为虚数单位）的虚部为（ ） A ．2B ．1C ．iD ．1-11．向量a ＝（－2，1）所对应的复数是（ ）A ．z ＝1＋2iB ．z ＝1－2iC ．z ＝－1＋2iD ．z ＝－2＋i 12．复数z 满足(2)i z z =+，则z =（ ） A ．1i + B ．1i -C ．1i -+D ．1i --13．若复数z 满足()12i 10z -=，则（ ）A ．24i z =+B ．2z +是纯虚数C ．复数z 在复平面内对应的点在第三象限D ．若复数z 在复平面内对应的点在角α的终边上，则sin α=14．2021i 1i-=（ ）A ．11i 22+ B ．11i 22-- C ．11i 22-+D ．11i 22-15．设i 12z =+，则在复平面内z 的共轭复数z 对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限16．若复数z 满足1i 1i 2z +=+，则z 在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限17．已知复数z 满足()43i 5i z +=，则z =（ ）A ．1B C ．15D ．518．已知复数1i z a =+（a R ∈），则1a =是z = ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件19．复数z 在复平面内对应点的坐标为（－2，4），则1z +=（ ）A ．3B ．4CD 20．设z 的共轭复数是z ，若4i z z -=，8z z ⋅=，则z =（ ）A ．22i --B ．22i +C ．22i -+D ．22i +或22i -+二、填空题21．设复数1z ，2z 满足11z =，22z =，121z z -=，则12z z +=________．22．已知i 是虚数单位，则202220221i 1i ⎛+⎛⎫+= ⎪ -⎝⎭⎝⎭________.23．已知复数z 满足211iz -=+，则z 的最小值为___________； 24．若复数z 满足i 2022i z ⋅=-（i 是虚数单位），则z 的虚部是___________. 25．已知i34i z =+，求|z |=___________26．已知复数ππsin i cos 33z =+，则z =________． 27．复数2ii 1+-的共轭复数是_______． 28．复数1i z =+（其中i 为虚数单位）的共轭复数z =______．29．设复数i 12z =+（i 是虚数单位），则在复平面内，复数2z 对应的点的坐标为________.30．若复数()2(2)9i()z m m m R =++-∈是正实数，则实数m 的值为________．31．若z 1＝2－i ，z 2＝－12＋2i ，则z 1，z 2在复平面上所对应的点为Z 1，Z 2，这两点之间的距离为________.32．已知复数1i z =+，则2z z+=____________33．若复数()2i m m m -+为纯虚数，则实数m 的值为________.34．已知复数z 满足1z =，则22z i +-的最大值为______.35．若存在复数z 同时满足i 1z -=，33i z t -+=，则实数t 的取值范围是_______．36．若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且12z z 为纯虚数，则实数a 的值为________．37．若2z =，arg 3z π=，则复数z =________．38．复数1077(cosisin )66ππ+表示成代数形式为________． 39i 对应的向量绕原点按逆时针方向旋转90，则所得向量对应的复数为________．40．已知复数3i (2i)z =⋅-，则z 的虚部为__________． 三、解答题41．已知z 是虚数，求证：4z z+是实数的充要条件是2z =．42．实数k 为何值时，复数()()223456i z k k k k =--+--是：(1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？43．在复数集C 内方程610x -=有六个根分别为123456ωωωωωω，，，，， (1)解出这六个根；(2)在复平面内，这六个根对应的点分别为A ，B ，C ，D ，E ，F ；求多边形ABCDEF 的面积 ．44．（1）已知设方程α，β是方程220x x a ++=的两根，其中a R ∈，则||||αβ+的值；（2）关于x 的方程243i 0x ax +++=有实根，其中a C ∈，求||a 的最小值，并求取得最小值时方程的根．45．下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式． (1)1ππcos isin 244⎛⎫- ⎪⎝⎭； (2)1ππcos isin 233⎛⎫-+ ⎪⎝⎭； (3)13π3πsin isin 244⎛⎫+ ⎪⎝⎭； (4)7π7πcos isin 55+．【参考答案】一、单选题 1．D 2．B 3．D 4．A 5．B 6．D 7．A 8．A 9．A 10．D 11．D 12．C14．C 15．D 16．D 17．A 18．A 19．C 20．D 二、填空题21 22231##1-24．2022- 25．15##0.2 26．1 27．13i 22-+ 28．1i -##i+1-29．()34-，30．331 32．33．1 34．1 35．[]4,6 36．8337．11+ 38．－5i##－5i －39．1-1-40．-2 三、解答题41．证明见解析 【解析】 【分析】设()i ,,0z x y x y R y =+∈≠，由复数运算化简得2222444i xyz x y z x y x y⎛⎫⎛⎫+=++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭；当2z =时，可得42z x R z +=∈，证得充分性；当4z z+是实数时，可得224x y +=，必要性得证；由此可得结论.【详解】设()i ,,0z x y x y R y =+∈≠， 则2222224444i 44i i i i x y x y z x y x y x y zx y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫-+=++=++=++- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭. 当2z =时，224x y +=，则2240y y x y -=+，2242xx x R x y +=∈+， 42z x R z ∴+=∈，即4z z +是实数，充分性成立； 当4z z+是实数时，2240yy x y-=+，又0y ≠，224x y ∴+=，即2z =，必要性成立；4z z∴+是实数的充要条件是2z =. 42．(1)6k =或1k =-； (2)6k ≠且1k ≠-； (3)4k =； (4)1k =-. 【解析】 【分析】（1）解方程2560k k --=即得解； （2）解不等式2560k k --≠即得解；（3）解不等式2560k k --≠，且2340k k --=即得解； （4）解方程2560k k --=，且2340k k --=即得解. (1)解：当2560k k --=，即6k =或1k =-时，z 是实数； (2)解：当2560k k --≠，即6k ≠且1k ≠-时，z 是虚数； (3)解：当2560k k --≠，且2340k k --=，z 是纯虚数，即4k =时为纯虚数；(4)解：当2560k k --=，且2340k k --=，即1k =-时，z 是0.43．(1)12345611111,1,2222ωωωωωω==-=-=-=+=-【解析】 【分析】（1）原式可因式分解为22(1)(1)(1)(1)0x x x x x x -+++-+=，令21=0x x ++，设i,,x a b a b R =+∈可求解出21=0x x ++的两个虚根，同理可求解21=0x x -+的两个虚根，即得解；（2）六个点构成的图形为正六边形，边长为1，计算即可 (1)由题意，610x -=22(1)(1)(1)(1)0x x x x x x ∴-+++-+=当21=0x x ++时，设i,,x a b a b R =+∈故222(i)i 1=+1(2)i=0a b a b a b a ab b ++++-+++， 所以22+1=2=0a b a ab b -++解得：1,2a b =-=12x =- 当21=0x x -+时，设i,,x c d c d R =+∈ 故222(i)i 1=1(2)i=0c d c d c d c cd d +--+--++- 所以221=2=0c d c cd d --+-解得：1,2c d ==，即12x =±故：12345611111,1,2222ωωωωωω==-=-+=--=+=- (2)六个根对应的点分别为A ，B ，C ，D ，E ，F ，其中1111(1,0),(1,0),((,((,2222A B C D E F --- 在复平面中描出这六个点如图所示：六个点构成的图形为正六边形，边长为1 故233361S ==44．（1）()()()2102021a a a a a a αβ⎧-<⎪+=≤≤⎨⎪>⎩；（2）min ||32a =53i)+或53i)+．【解析】 【分析】（1）求出判别式4(1)a ∆=-，对a 分类讨论：当01a 时，当0a <时，当1a >时三种情况，分别求出||||αβ+；（2）设0x 为方程的实根，代入原方程，表示出a ，利用基本不等式求出||a 的最小值，并求取得最小值时方程的根． 【详解】（1）判别式444(1)a a ∆=-=-， ①若0∆，即1a ，则α，β是实根，则2αβ+=-，a αβ=，则2222(||||)2||()22||422||a a αβαβαβαβαβαβ+=++=+-+=-+， 故||||422||a a αβ+-+，当01a 时，||||2αβ+=， 当0a <时，||||1a αβ+=-②若∆<0，即1a >，则α，β是虚根，11i a α=--，11i a β=--，故||||2112a aαβ+=+-=综上：()()()0201a a a a αβ⎧<⎪+=≤≤⎨⎪>⎩.（2）设0x 为方程的实根，则20043i 0x ax +++=， 所以00043i a x x x =---， 则20020004325||2()2()2818a x x xx x =++=++， 当202025x x =即0x =||min a =当0x =3i)+，当0x =3i)+． 45．(1)不是三角形式，化为三角形式为17π7πcos isin244⎛⎫+ ⎪⎝⎭； (2)不是三角形式，化为三角形式为14π4πcos isin233⎛⎫+ ⎪⎝⎭； (3)不是三角形式，化为三角形式为1ππcos isin 244⎛⎫+ ⎪⎝⎭；(4)是三角形式. 【解析】 【分析】直接利用复数的三角形式求解即可. (1)1ππcos isin 244⎛⎫- ⎪⎝⎭不是三角形式， 1ππcos isin 244⎛⎫- ⎪⎝⎭12⎫=⎪⎪⎝⎭=，其中12r ==，故三角形式为12⎫⎪⎪⎝⎭17π7πcos isin 244⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； (2)1ππcos isin 233⎛⎫-+ ⎪⎝⎭不是三角形式， 1ππcos isin 233⎛⎫-+ ⎪⎝⎭1122⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭14=-，其中12r ==，故三角形式为1122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭14π4πcos isin 233⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； (3)13π3πsinisin 244⎛⎫+ ⎪⎝⎭不是三角形式，13π3πsin isin 244⎛⎫+ ⎪⎝⎭12⎫=⎪⎪⎝⎭，12r ==，故三角形式为12⎫⎪⎪⎝⎭1ππcos isin 244⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； (4)7π7πcosisin 55+是三角形式.。
高中复数测试题及答案
高中复数测试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 复数 \( z = 3 + 4i \) 的共轭复数是：A. \( 3 - 4i \)B. \( 4 + 3i \)C. \( -3 + 4i \)D. \( -3 - 4i \)2. 如果 \( z_1 = 2 - i \) 和 \( z_2 = 3 + 2i \)，那么 \( z_1 \cdot z_2 \) 等于：A. 5 - 4iB. 8 - 5iC. 5 + 4iD. 8 + 5i3. 复数 \( z = a + bi \) 在复平面上的对应点位于：A. 右半平面B. 左半平面C. 上半平面D. 下半平面4. 复数 \( z = 1 - i \) 的模长是：A. \( \sqrt{2} \)B. 2C. 1D. \( \sqrt{1} \)5. 如果 \( z_1 = 2 - i \) 和 \( z_2 = 1 + 3i \)，那么 \( z_1+ z_2 \) 等于：A. 3 + 2iB. 3 - 2iC. 2 + 2iD. 2 - 2i6. 复数 \( z = x + yi \) 的虚部是：A. \( x \)B. \( y \)C. \( x - y \)D. \( x + y \)7. 复数 \( z = 3 + 4i \) 的实部是：A. 3B. 4C. \( 3i \)D. \( 4i \)8. 复数 \( z = -2 - 2i \) 的共轭复数与 \( z \) 的模长之积等于：A. 8B. 4C. 16D. 329. 复数 \( z = 1 + i \) 的模长是：A. \( \sqrt{2} \)B. 2C. 1D. \( \sqrt{1} \)10. 复数 \( z = 2 - 3i \) 的共轭复数与 \( z \) 的模长之积等于：A. 13B. 10C. 5D. 13二、填空题（每题2分，共10分）11. 复数 \( z = 5 + 12i \) 的模长是 \( \sqrt{5^2 + 12^2} = \) __________。
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高中数学《复数》练习题
一．基本知识：复数的基本概念
（1）形如a + b i 的数叫做复数（其中R b a ∈，）；复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部
实数：当b = 0时复数a + b i 为实数
虚数：当0≠b 时的复数a + b i 为虚数；
纯虚数：当a = 0且0≠b 时的复数a + b i 为纯虚数
（2）两个复数相等的定义：
00==⇔=+∈==⇔+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且
（3）共轭复数：z a bi =+的共轭记作z a bi =-；
（4）复平面： z a bi =+，对应点坐标为(),p a b ；（象限的复习）
（5）复数的模：对于复数z a bi =+，把z =z 的模；
二．复数的基本运算：设111z a b i =+，222z a b i =+
（1） 加法：()()121212z z a a b b i +=+++；
（2） 减法：()()121212z z a a b b i -=-+-；
（3） 乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ⋅=-++ 特别22z z a b ⋅=+。
（4）幂运算：1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-⋅⋅⋅⋅⋅⋅
三．复数的化简
c di z a bi
+=+（,a b 是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：()()22
ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==⋅=++-+ 四．例题分析
【例1】已知()14z a b i =++-，求
（1）当,a b 为何值时z 为实数（2）当,a b 为何值时z 为纯虚数
（3）当,a b 为何值时z 为虚数（4）当,a b 满足什么条件时z 对应的点在复平面内的第二象限。
【变式1】若复数2(1)(1)z x x i =-+-为纯虚数，则实数x 的值为
A ．1-
B ．0
C 1
D ．1-或1
【例2】已知134z i =+；()()234z a b i =-+-，求当,a b 为何值时12=z z
【例3】已知1z i =-，求z ，z z ⋅；
【变式1】复数z 满足21i z i
-=-，则求z 的共轭z
【变式2】已知复数
z =
z z •= A. 14 B.12
C.1
D.2 【例4】已知12z i =-，232z i =-+
（1）求12z z +的值；（2）求12z z ⋅的值；（3）求12z z ⋅.
【变式1】已知复数z 满足()21z i i -=+，求z 的模.
【变式2】若复数()21ai +是纯虚数，求复数1ai +的模.
【例5】若复数()312a i z a R i
+=
∈-（i 为虚数单位）， （1） 若z 为实数，求a 的值
（2） 当z 为纯虚，求a 的值.
【变式1】设a 是实数，且112
a i i -++是实数，求a 的值.. 【变式2】若()3,1y i z x y R xi
+=∈+是实数，则实数xy 的值是 . 【变式3】i 是虚数单位,41i ()1-i +等于 ( ) A ．i
B ．-i
C ．1
D ．-1 【变式4】已知1i Z ＋=2+i,则复数z=（）
（A ）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i
【变式5】i 是虚数单位，若
17(,)2i a bi a b R i
+=+∈-，则乘积ab 的值是（A ）－15 （B ）－3 （C ）3 （D ）15【例6】复数73i z i
-=+= （ ） （A ）2i + （Ｂ）2i - （Ｃ）2i -+ （Ｄ）2i -- 【变式1】已知i 是虚数单位，3
2i 1i
=- （ ） Ａ1i + Ｂ1i -+ Ｃ1i - Ｄ．1i --
【变式2】.已知i 是虚数单位，复数131i i
--= （ ） A 2i + B 2i - C 12i -+ D 12i --
【变式3】已知i 是虚数单位，复数1312i i
-+=+（ ） (A)1＋i (B)5＋5i (C)-5-5i (D)-1－i
【变式4】.已知i 是虚数单位，则()=-+1
13i i i （ ） (A)1- (B)1 (C)i - (D)i
练习题
1.设复数),(R b a bi a z ∈+=，则z 为纯虚数的必要不充分条件是____________。
2.已知复数)()65(1
67222R a i a a a a a z ∈--+-+-=，那么当a=_______时，z 是实数；
当a ∈__________________时，z 是虚数；当a=___________时，z 是纯虚数。
3.已知0)2(622=-++-+i y x y x ，则实数.___________,__________==y x
4.若复数a 满足i ai a 4421+-=+-,则复数a=___________。
5.已知R a ∈，则复数i a a a a z )106()22(22--++-=必位于复平面的第_____象限。
6.复数2i i z +=在复平面对应的点在第_______象限。
7.设i 是虚数单位，计算=+++432i i i i ________.
8.复数i
i z 213--=的共轭复数是__________。
9. 如果复数2()(1)m i mi ++是实数，则实数m =____________.
10. 设,x y 为实数，且511213x y i i i
+=---，则x y += 。
11.已知复数i z +=1，求实数b a 、使2)2(2z a z b az +=+
答案：1. a=0 2. ∅∈+∞---∞∈=a a a ),6()6,1()1,1()1,(6 3. ⎪⎩⎪⎨⎧--=-=⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=2
1212121y x y x 或 4.1+2i 5. 第四 6. 第二 7.0 8. i -1 9.1+m 3=0，m=－1 10. x ＋y ＝4。
11. 【答案】⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧-=-=2412b a b a 或。