高中数学复数练习题.

高中数学《复数》练习题

一．基本知识：复数的基本概念

（1）形如a + b i 的数叫做复数（其中R b a ∈，）；复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部

实数：当b = 0时复数a + b i 为实数

虚数：当0≠b 时的复数a + b i 为虚数；

纯虚数：当a = 0且0≠b 时的复数a + b i 为纯虚数

（2）两个复数相等的定义：

00==⇔=+∈==⇔+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且

（3）共轭复数：z a bi =+的共轭记作z a bi =-；

（4）复平面： z a bi =+，对应点坐标为(),p a b ；（象限的复习）

（5）复数的模：对于复数z a bi =+，把z =z 的模；

二．复数的基本运算：设111z a b i =+，222z a b i =+

（1） 加法：()()121212z z a a b b i +=+++；

（2） 减法：()()121212z z a a b b i -=-+-；

（3） 乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ⋅=-++ 特别22z z a b ⋅=+。

（4）幂运算：1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-⋅⋅⋅⋅⋅⋅

三．复数的化简

c di z a bi

+=+（,a b 是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：()()22

ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==⋅=++-+ 四．例题分析

【例1】已知()14z a b i =++-，求

（1）当,a b 为何值时z 为实数（2）当,a b 为何值时z 为纯虚数

（3）当,a b 为何值时z 为虚数（4）当,a b 满足什么条件时z 对应的点在复平面内的第二象限。

【变式1】若复数2(1)(1)z x x i =-+-为纯虚数，则实数x 的值为

A ．1-

B ．0

C 1

D ．1-或1

【例2】已知134z i =+；()()234z a b i =-+-，求当,a b 为何值时12=z z

【例3】已知1z i =-，求z ，z z ⋅；

【变式1】复数z 满足21i z i

-=-，则求z 的共轭z

【变式2】已知复数

z =

z z •= A. 14 B.12

C.1

D.2 【例4】已知12z i =-，232z i =-+

（1）求12z z +的值；（2）求12z z ⋅的值；（3）求12z z ⋅.

【变式1】已知复数z 满足()21z i i -=+，求z 的模.

【变式2】若复数()21ai +是纯虚数，求复数1ai +的模.

【例5】若复数()312a i z a R i

+=

∈-（i 为虚数单位）， （1） 若z 为实数，求a 的值

（2） 当z 为纯虚，求a 的值.

【变式1】设a 是实数，且112

a i i -++是实数，求a 的值.. 【变式2】若()3,1y i z x y R xi

+=∈+是实数，则实数xy 的值是 . 【变式3】i 是虚数单位,41i ()1-i +等于 ( ) A ．i

B ．-i

C ．1

D ．-1 【变式4】已知1i Z ＋=2+i,则复数z=（）

（A ）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i

【变式5】i 是虚数单位，若

17(,)2i a bi a b R i

+=+∈-，则乘积ab 的值是（A ）－15 （B ）－3 （C ）3 （D ）15【例6】复数73i z i

-=+= （ ） （A ）2i + （Ｂ）2i - （Ｃ）2i -+ （Ｄ）2i -- 【变式1】已知i 是虚数单位，3

2i 1i

=- （ ） Ａ1i + Ｂ1i -+ Ｃ1i - Ｄ．1i --

【变式2】.已知i 是虚数单位，复数131i i

--= （ ） A 2i + B 2i - C 12i -+ D 12i --

【变式3】已知i 是虚数单位，复数1312i i

-+=+（ ） (A)1＋i (B)5＋5i (C)-5-5i (D)-1－i

【变式4】.已知i 是虚数单位，则()=-+1

13i i i （ ） (A)1- (B)1 (C)i - (D)i

练习题

1.设复数),(R b a bi a z ∈+=，则z 为纯虚数的必要不充分条件是____________。

2.已知复数)()65(1

67222R a i a a a a a z ∈--+-+-=，那么当a=_______时，z 是实数；

当a ∈__________________时，z 是虚数；当a=___________时，z 是纯虚数。

3.已知0)2(622=-++-+i y x y x ，则实数.___________,__________==y x

4.若复数a 满足i ai a 4421+-=+-,则复数a=___________。

5.已知R a ∈，则复数i a a a a z )106()22(22--++-=必位于复平面的第_____象限。

6.复数2i i z +=在复平面对应的点在第_______象限。

7.设i 是虚数单位，计算=+++432i i i i ________.

8.复数i

i z 213--=的共轭复数是__________。 9. 如果复数2()(1)m i mi ++是实数，则实数m =____________.

10. 设,x y 为实数，且511213x y i i i

+=---，则x y += 。 11.已知复数i z +=1，求实数b a 、使2)2(2z a z b az +=+

答案：1. a=0 2. ∅∈+∞---∞∈=a a a ),6()6,1()1,1()1,(6 3. ⎪⎩⎪⎨⎧--=-=⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=2

1212121y x y x 或 4.1+2i 5. 第四 6. 第二 7.0 8. i -1 9.1+m 3=0，m=－1 10. x ＋y ＝4。11. 【答案】⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧-=-=2412b a b a 或