高中数学复数训练题含答案
高中复数练习题及答案
高中复数练习题及答案精品文档高中复数练习题及答案1(已知z1,a,bi,z2,c,di,若z1,z2是纯虚数,则有A(a,c,0且b,d?0B(a,c,0且b,d?0C(a,c,0且b,d?0 D(a,c,0且b,d?02([,i],[,i]等于A(,2b,2bi B(,2b,2bi的值为,下列结论正确的是A(a,0?a,bi为纯虚数 B(b,0?a,bi为实数C(a,i,3,2i?a,3,b,,D(,1的平方等于i8,若复数,i不是纯虚数,则A(a,,1 B(a?,1且a?2C(a?,1 D(a?29,已知|z|,3,且z,3i是纯虚数,则z,A(,3i B(3iC(?3i D(4i10,若sin2θ,1,i是纯虚数,则θ的值为ππA(2kπ, B(2kπ44πkππC(2kπ?D.,以上k?Z) 12131415虚[答案]1,A ,A3,C ,B ,C ,D ,B ,B ,B 10,1 / 18精品文档B 11, 16i 12, 13,— 14, 1 15, ,11i16, [解析] 所以当a,6时,z为实数(所以当a????时,z为虚数(所以不存在实数a使得z为纯虚数(一、选择题3,i1(复数等于1,iA(1,2iB(1,2iC(2,iD(2,i 答案:C3,i4,2i解析:,2,i.故选C.21,i3,2i3,2i2(复数,2,3i2,3iA(0 B( C(,2iD(2i 答案:D3,2i3,2i13i,13i解析:,,,i,i,2i.132,3i2,3i13z,23(已知z是纯虚数,z等于1,iA(2i B(i C(,iD(,2i 答案:D解析:由题意得z,ai.( z,22,a,i?,2 / 18精品文档21,i则a,2,0,?a,,2.有z,,2i,故选D.(若f,x3,x2,x,1,则f, A(2i B(0 C(,2iD(,答案:B解析:依题意,f,i3,i2,i,1,,i,1,i,1,0,选择B.2,i5(复数z,在复平面内对应的点位于1,iA(第一象限 B(第二象限 C(第三象限 D(第四象限答案:D2,i13解析:zi,它对应的点在第四象限,故选D.1,i222,ib6(表示为a,biia11A(,B(, C(D.22答案:A3 / 18精品文档2,ib解析:,1,2i,把它表示为a,bi的形式,则2,故选A.ia27(设i是虚数单位,复数z,tan45?,i?sin60?,则z等于 13i B.,3i471,D.,44答案:B31解析:z,tan45?,i?sin60?,1,i,z2,,3i,故选B.248(3,i在复平面内对应的直线的倾斜角为ππA. B(,625π D.π6答案:D353,i对应的点为,所求直线的斜率为,,则倾斜角为,故选D.36a,bi9(设a、b、c、d?R,若c,diA(bc,ad?0B(bc,ad?0 C(bc,ad,0D(bc,ad,0 答案:Ca,biac,bdbc,adbc,ad4 / 18精品文档解析:因为i,所以由题意有,0?bc,ad,0. c,dic,dc,dc,dc,d110(已知复数z,1,2i,那么z55,i5512,55答案:D525512D.,i5B.11,2i121,i.故选D. z1,2i1,455解析:由z,1,2i知z,1,2i,于是z11(已知复数z1,3,bi,z2,1,2i是实数,则实数b的值为z21A( B(,C(0 D.6答案:Az13,bi,i解析:是实数,则实数b的值为6,故选A.z21,2i512(设z是复数,α表示满足zn,1的最小正整数n,则对虚数单位i,α, A( B( C(D(答案:B解析:α表示in,1的最小正整数n,因i4k,1,显5 / 18精品文档然n,4,即α,4.故选B.1313(若z,且4,a0x4,a1x3,a2x2,a3x,a4,则a2等于2213A(,,iB(,3,33i22C(6,33iD(,3,33i 答案:B4,r解析:?Tr,1,Crr,x由4,r,2得r,2,1322?a2,C2i),6?,i对应的点位于 A(第一象限B(第二象限 C(第三象限D(第四象限答案:B解析:??ABC为锐角三角形, ?A,B,90?,B,90?,A, ?cosB,sinA,sinB,cosA,?cosB,sinA,0,sinB,cosA,0, ?z对应的点在第二象限(2,bi15(如果复数的实部和虚部互为相反数,那么b等于1,2i22C(, D(26 / 18精品文档33答案:C2,bi解析:51,2i552,2b,4,b2由,,b553,1316(设函数f,,x5,5x4,10x3,10x2,5x,1,则f的值为221331A(,,i B.,i2222131,iD(,222答案:C解析:?f,,51313?f,),,5222213,,ω5221313,,ω,,,i.222217(若i是虚数单位,则满足2,q,pi的实数p,q7 / 18精品文档一共有 A(1对 B(2对 C(3对 D(4对答案:D22???p,q,q,??p,0,?p,0,222解析:由,q,pi得,2pqi,q,pi,所以?解得?或??2pq,p.?q,0,?q,,1,????p,2或?1q,?2,?p2,或?1q,?2因此满足条件的实数p,q一共有4对(总结评述:本题主要考查复数的基本运算,解答复数问题的基本策略是将复数问题转化为实数问题来解决,解答中要特1别注意不要出现漏解现象,如由2pq,p应得到p,0或q22x2018(已知,6的展开式中,不含x的项是,那么正数p的值是xp27A(1 B( C( D(答案:C204128 / 18精品文档解析:由题意得:C62,,求得p,3.故选C.p27总结评述:本题考查二项式定理的展开式,注意搭配展开式中不含x的项,即找常数项(,19(复数z,,lg,i在复平面内对应的点位于 A(第一象限 B(第二象限 C(第三象限 D(第四象限答案:C解析:本题考查复数与复平面上的点之间的关系,复数与复平面上的点是一一对应的关系,即z,a,bi,与复平面上的,点Z对应,由z,,lg,i知:,,a,,lg,0,又2x,2x,1?2?2,1,1,0;,?,,0,即b,0.?应为第三象限的点,故选C.20(设复数z,i在映射f下的象为复数z的共轭复数与i的积,若复数ω在映射f下的象为,1,2i,则相应的ω为A(B(2,2i C(,2,i D(2,i 答案:A9 / 18精品文档解析:令ω,a,bi,a,b?R,则ω,[a,i],i, ?映射f下ω的象为[a,i]?i,,ai,,1,2i. ???b,1,,1,?b,0,??解得??ω,2. ?a,2.?a,2.??第?卷二、填空题1(已知z是复数,i是虚数单位,若z,2i,则z,________. 答案:,1,i2i解析:z,2i,z,,,1,i.1,i22(若复数z满足z,1,i,则其共轭复数z,________. 答案:i1,i2解析:zi,1,i?z,i.23(若复数z1,4,29i,z2,6,9i,其中i是虚数单位,则复数i的实部为________( 答案:,20解析:i,i,,20,2i,故i的实部为,20.1,ai24(在复平面内,复数对应的点位于虚轴上,则a,________.i答案:01,ai解析:a,i,由于它对应的点在虚轴上,则a,0.10 / 18精品文档i223344556625(i是虚数单位,则1,C16i,C6i,C6i,C6i,C6i,C6i,________. 答案:,8i22334455666233解析:1,C16i,C6i,C6i,C6i,C6i,C6i,,[],,,8i.三、解答题6(计算下列问题: 773;1,i1,i4,3i2,2i83112,.221,3i分析:对于复数运算,除了应用四则运算法则之外,对于一些简单算式是知道其结果,这样起点高,方便计算,达到迅1,i1,ia,bi11313速简捷、少出错的效果(比如2,?2i,,,i,i,i,,b,ai,3,1,)3,,1等等( ii22221,i1,i28?2i231,i231,i8解析:原式,[],[],3?i,3?,11 / 18精品文档i1,i1,ii,8,8,16,16i,,16i.2,2i83112,221,3i?1,i?133?,i12?12,?122???22?13[2]42213,[3]4,221333[]2213,1,422,1,8,83i,,7,83i.27(求同时满足下列两个条件的所有复数z;101,z,6;z12 / 18精品文档z的实部和虚部都是整数( 解析:设z,x,yi,222210xy则z,,i.zx,yx,yy,0,???10?1,z6,??xz1,6. ??x,y?1010由?得y,0或x2,y2,10,将y,0代入?得1,,x?6x?210,6矛盾,xx1?y?0.将x2,y2,10代入?得,x?3.2?x,1,?x,3,??又x,y为整数,??或???y,?3.y,?1.??故z,1?3i或z,3?i.3228(已知z1,,i,z2,,b,i且3z21,z2,0,求z1和z2.213 / 18精品文档解析:?3z21,z2,0, zz?2,,3,即3i. z1z1?z2,3iz1.当z2,3iz1时,得33,33b,i,3i[a,i],,3,ai.22由复数相等的条件,知b,a,1,????a,2,????b,1.b,2,,??2?22?z1,,3i,z2,,33,3i.3当z2,,3iz1时,得,3b,i3,2,3b,a,1,??由复数相等的条件,知?b,2.?2??a,,7,??1b,?7.10?已知a,b?,?此时适合条件的a,b不存在( ?z1,3,3i,z2,,33,3i.14 / 18精品文档高三复习:复数一、选择题1( [2014?重庆卷] 实部为,2,虚部为1的复数所对应的点位于复平面的A(第一象限 B(第二象限 C(第三象限 D(第四象限7,i2( [2014?天津卷] i是虚数单位,复数,,4i17311725A(1,i B(,1,Ii D(,,2525772i3( [2014?安徽卷] 设i是虚数单位,复数i3,, 1,iA(,i B(i C(,1 D(14( [2014?福建卷] 复数i等于A(,2,3i B(,2,3i C(2,3i D(2,3i5( [2014?广东卷] 已知复数z满足z,25,则z,A(,3,4i B(,3,4i C(3,4i D(3,4i6( [2014?广东卷] 对任意复数ω1,ω2,定义ω1*ω2,ω1ω2,其中ω2是ω2的共轭复数,对任意复数z1,z2,z3有如下四个命题:?*z3,,;?z1*,,;?*z3,z1*;?z1*z2,z2*z1. 则真命题的个数是A(1 B( C( D(41,i2?7( [2014?湖北卷] i为虚数单位,?, ?115 / 18精品文档,i?A(1 B(,1 C(i D(,i8( [2014?江西卷] 若复数z满足z,2i,则|z|,A(1 B( D.39( [2014?辽宁卷] 设复数z满足,5,则z,A(2,3i B(2,3i C(3,2i D(3,2i1,3i10( [2014?新课标全国卷?] 1,iA(1,2i B(,1,2iC(1,2i D(,1,2i111( [2014?全国新课标卷?] 设zi,则|z|, 1,i123A. B.D(22212( [2014?山东卷] 已知a,b?R,i是虚数单位,若a,i,2,bi,则2,A(3,4i B(3,4i C(4,3i D(4,3i,13( [2014?陕西卷] 已知复数z,2,i,则z?z的值为A( B. C( D.二、填空题2,2i14( [2014?四川卷] 复数,________( 1,i1,i15( [2014?浙江卷] 已知i是虚数单位,计算,________( 16( [2014?北京卷] 若i,,1,2i,则x,________(3,i17( [2014?湖南卷] 复数的实部等于16 / 18精品文档________( i18( [2014?江苏卷] 已知复数z,2,则z的实部为________(复数答案:一、选择题1(B2(A3(D4(B5(D6(B7(B8(C9(A10(B11(B12(A13(A二、填空题14(,2i1115(,i 216(2 17(,18(2117 / 18精品文档18 / 18。
高中数学《复数》练习题(含答案解析)
高中数学《复数》练习题(含答案解析)一、单选题1.已知()21i 32i z -=+,则z =( ) A .31i 2--B .31i 2-+C .3i 2-+D .3i 2--2.已知a ∈R ,若a –1+(a –2)i (i 为虚数单位)是实数,则a =( ) A .1B .–1C .2D .–23.1545年,意大利数学家卡尔丹在其所著《重要的艺术》一书中提出“将实数10分成两部分,使其积为40”的问题,即“求方程()1040x x -=的根”,卡尔丹求得该方程的根分别为55后这两个根分别记为5和5.若()55z =,则复数z =( )A .1B .1C D 4.已知2i z =-,则()i z z +=( ) A .62i -B .42i -C .62i +D .42i +5.已知 i 为虚数单位, 复数12iiz +=, 则z =( ) A .2i -- B .2i -+C .2i +D .2i -6.复数113i-的虚部是( ) A .310-B .110-C .110D .3107.设(1i)1i x y +=+,其中i 为虚数单位,,x y 是实数,则x yi +=( ) A.1BC D .28.若()()1i 11i z --=+,则z 的虚部为( ) A .1-B .1C .i -D .i9.已知i 是虚数单位,复数z 的共轭复数为z ,下列说法正确的是( ) A .如果12z z +∈R ,则1z ,2z 互为共轭复数B .如果复数1z ,2z 满足1212z z z z +=-,则120z z ⋅=C .如果2z z =,则1z =D .1212z z z z = 10.已知,a b 为实数,且2ii 1ib a +=++(i 为虚数单位),则i a b +=( ) A .34i + B .12i + C .32i --D .32i +二、填空题11.若z C ∈,且25i z =-,则()Re z =________. 12.i 的周期性:当n 是整数时,41i n +=______,42i n +=_______,43i n +=______,4i n =_______.13.复数34i2i+=+___________.14.设复数1z ,2z 满足11z =,22z =,121z z -=,则12z z +=________.三、解答题15.已知复数14i1im z +=-(,i m ∈R 是虚数单位). (1)若z 是纯虚数,求实数m 的值;(2)设z 是z 的共轭复数,复数z 在复平面上对应的点在第四象限,求m 的取值范围. 16.在复数范围内分解因式: (1)4269++x x ; (2)4228--x x .17.设虚数z 满足21510z +=. (1)求||z ;(2)若z aa z+是实数,求实数a 的值.18.(1)已知复数z 在复平面内对应的点在第二象限,2z =,且2z z +=-,求z ; (2)已知复数()()2212i 32i 1im z m =-+-+-为纯虚数,求实数m 的值.参考答案与解析:1.B【分析】由已知得32i2iz +=-,根据复数除法运算法则,即可求解. 【详解】()21i 2i 32i z z -=-=+, ()32i i 32i 23i 31i 2i 2i i 22z +⋅+-+====-+--⋅. 故选:B. 2.C【分析】根据复数为实数列式求解即可.【详解】因为(1)(2)a a i -+-为实数,所以202a a -=∴=,, 故选:C【点睛】本题考查复数概念,考查基本分析求解能力,属基础题. 3.C【分析】利用复数除法运算求得z .【详解】由()55z =,得25z ==== 故选:C . 4.C【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.【详解】因为2z i =-,故2z i =+,故()()()2222=4+42262z z i i i i i i i +=-+--=+故选:C. 5.D【分析】由复数的除法法则求解即可 【详解】()()()12i i 12i 2i i i i z +-+===-⨯-, 故选:D 6.D【分析】利用复数的除法运算求出z 即可.【详解】因为1131313(13)(13)1010i z i i i i +===+--+, 所以复数113z i =-的虚部为310. 故选:D.【点晴】本题主要考查复数的除法运算,涉及到复数的虚部的定义,是一道基础题. 7.B【分析】先利用复数相等求得x ,y ,再利用复数的模公式求解. 【详解】因为(1i)1i x y +=+,所以1x y x =⎧⎨=⎩,解得11x y =⎧⎨=⎩,所以i x y +== 故选:B. 8.B【分析】根据复数除法的运算法则,结合共轭复数的定义、复数虚部的定义进行求解即可.【详解】因为()()1i 11i z --=+,所以()()()21i 12i 11i 1i 1i 2z ++--===-+,所以1i z =-,所以1i z =+, 所以z 的虚部为1. 故选:B 9.D【分析】对于A ,举反例11i z =+,22i z =-可判断;对于B ,设111i z a b =-,222i z a b =+代入验证可判断;对于C ,举反例0z =可判断;对于D ,设1i z a b =+,2i z c d =+,代入可验证.【详解】对于A ,设11i z =+,22i z =-,123z z +=∈R ,但1z ,2z 不互为共轭复数,故A 错误; 对于B ,设111i z a b =-(1a ,1b ∈R ),222i z a b =+(2a ,2b ∈R ).由1212z z z z +=-,得()()()()222222121212121212z z a a b b z z a a b b +=+++=-=-+-,则12120a a b b +=,而()()()()()12112212121221121221i i i 2i z z a b a b a a bb a b a b a a a b a b ⋅=++=-++=++不一定等于0,故B 错误;对于C ,当0z =时,有2z z =,故C 错误;对于D ,设1i z a b =+,2i z c d =+,则1212z z z z ===,D 正确故选:D 10.A【分析】利用复数的乘除运算化简,再利用复数相等求得,a b ,进而得解. 【详解】()()2i 1i 2i 22i i 22i 1i 2222b b b b b b +-+-+++-===++ 由题意知222=12b a b +⎧=⎪⎪⎨-⎪⎪⎩,解得34a b =⎧⎨=⎩,所以i 34i a b +=+故选:A 11.5【分析】推导出()52z i -=,从而2552z i i=+=-,由此能求出()Re z . 【详解】解:∈z C ∈,且25i z =-, ∈()52z i -=, ∈2225552iz i i i=+=+=-, ∈()5Re z =. 故答案为:5.【点睛】本题考查复数的实部的求法,考查复数的运算法则等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.关键是利用复数的运算求出z 的标准形式,并注意准确掌握实部的概念. 12. i 1- i - 1【分析】由2i 1=-及指数幂的运算性质依次对41i n +,42i n +,43i n +,4i n 变形即可得到答案. 【详解】由2i 1=-及指数幂的运算性质得:3i i =-,41i =414i i i ()i n n +==∴,4242()i 1i i n n +==-,4334()i i i i n n +==-,44i (i )1n n ==.故答案为:i ;1-;i -;1. 13.2i +##i+2【分析】依据复数除法规则进行计算即可解决.【详解】()()()()2234i 2i 34i 65i 4i 105i2i 2i 2i 2i 4i 5+-++-+====+++-- 故答案为:2i +14【分析】由已知可得12z z -,进而由()2121212z z z z z z -=--可得12212z z z z +=,从而有22212121221z z z z z z z z +=+++,故而可得答案.【详解】解:因为121z z -=,所以12z z -==又11z =,22z =,所以()212121211221221121222213z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z -=--=+--=+--=, 所以12212z z z z +=,所以()2221212122121217z z z z z z z z z z z z +=++=+++=,所以12z z +=15.(1)14(2)1144m -<<【分析】(1)化简复数z ,根据纯虚数的概念可求出m ; (2)求出z ,根据复数的几何意义可求出结果. 【详解】(1)因为14i 1im z +=-(14i)(1i)(1i)(1i)m ++=-+14(14)i2m m -++=是纯虚数, 所以140140m m -=⎧⎨+≠⎩,得14m =.(2)由(1)知,1414i 22m mz -+=+,1414i 22m m z -+=-, 所以z 在复平面内对应的点为1414,22m m -+⎛⎫- ⎪⎝⎭,依题意可得14021402mm -⎧>⎪⎪⎨+⎪-<⎪⎩,解得1144m -<<.16.(1)22((x x(2)(2)(2)+-x x x x【分析】(1)(2)结合复数运算求得正确答案. (1)由于()()23x x x =+,所以()242222693((x x x x x ++=+=.(2)由于()()22x x x =+,所以()()42222824(2)(2)x x x x x x x x --=+-=+-.17.(1)(2)±【分析】(1)设(,,0)z x yi x y R y =+∈≠利用复数的模相等即得;(2)先化简z a a z+又因为是实数,故虚部为零,即得结果.【详解】设(,,0)z x yi x y R y =+∈≠ ,则z x yi =- 1010z x yi +=+- 则2152()15(215)2z x yi x yi +=++=++215z +=1010z x yi +=+-=21510z +=即:2275x y+=即||z == (2)222222()()()a a x yi ax ayi ax ayi x yi x yi x yi x y x y x y --===-++⋅-+++ 22222222()()ax ay ax ay i i x y x y x y z a x yi a x y x y i a z a x yi a a a y a x -=+-+++++==++++++若z aa z+是实数,则22220(01)ay a y x y x y y a a -=⇒-=++22100aa y x y≠∴-=+ 即22275a x y =+=即a =±18.(1)1z =-;(2)2-【分析】(1)根据模长公式以及复数的加法运算,结合对应的象限得出z ; (2)根据复数的四则运算以及纯虚数的定义得出m 的值.【详解】解:(1)设()i ,z a b a b R =+∈,由题意每224,22,a b a ⎧+=⎨=-⎩,解得1a =-,b =∈复数z 在复平面内对应的点在第二象限,∈b =∈1z =-.(2)()()()()()()()2221i 212i 32i 12i 32i 1i 1i 1i m m z m m +=-+-+=-+-+--+ ()()22623i m m m m =--+--,由题意得2260230m m m m ⎧--=⎨--≠⎩,解得2m =-。
高考数学《复数》专项练习(含答案)
【复数】专项练习参考答案1.〔2021全国Ⅰ卷,文2,5分〕设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等,其中a 为实数,那么a =( )〔A 〕−3 〔B 〕−2 〔C 〕2 〔D 〕3 【答案】A【解析】(12i)(i)2(12)i a a a ++=-++,由,得a a 212+=-,解得3-=a ,选A .2.〔2021全国Ⅰ卷,理2,5分〕设(1i)1i x y +=+,其中x ,y 是实数,那么i =x y +( )〔A 〕1 〔B 〔C 〔D 〕2 【答案】B【解析】因为(1i)=1+i,x y +所以i=1+i,=1,1,|i |=|1+i |x x y x y x x y +==+=所以故应选B .3.〔2021全国Ⅱ卷,文2,5分〕设复数z 满足i 3i z +=-,那么z =( ) 〔A 〕12i -+ 〔B 〕12i - 〔C 〕32i + 〔D 〕32i - 【答案】C【解析】由i 3i z +=-得32i z =-,所以32i z =+,应选C .4.〔2021全国Ⅱ卷,理1,5分〕(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限,那么实数m 的取值范围是( )〔A 〕(31)-, 〔B 〕(13)-, 〔C 〕(1,)∞+ 〔D 〕(3)∞--,5.〔2021全国Ⅲ卷,文2,5分〕假设43i z =+,那么||zz =( ) 〔A 〕1 〔B 〕1- 〔C 〕43i 55+ 〔D 〕43i 55-【答案】D【解析】∵43i z =+,∴z =4-3i ,|z |=2234+.那么43i ||55z z ==-,应选D .6.〔2021全国Ⅲ卷,理2,5分〕假设z =1+2i ,那么4i1zz =-( ) (A)1 (B)−1 (C)i (D)−i 【答案】C【解析】∵z =1+2i ,∴z =1-2i ,那么4i 4ii (12i)(12i)11zz ==+---,应选C . 7.〔2021全国Ⅰ卷,文3,5分〕复数z 满足(z -1)i =1+i ,那么z =( )A .-2-iB .-2+iC .2-iD .2+i【答案】C【解析一】(z -1)i =1+i ⇒ zi -i =1+i ⇒ zi =1+2i ⇒ z =1+2i i=(1+2i)i i 2=2-i .应选C .【解析二】(z -1)i =1+i ⇒ z -1=1+i i⇒ z =1+i i+1 ⇒z =(1+i)i i 2+1=2-i .应选C .8.〔2021全国Ⅰ卷,理1,5分〕设复数z 满足1+z1z-=i ,那么|z|=( )〔A 〕1 〔B 〔C 〔D 〕2 【答案】A 【解析一】1+z1z-=i ⇒ 1+z =i(1-z) ⇒ 1+z =i -zi ⇒ z +zi =-1+i ⇒ (1+i)z =-1+i ⇒9.〔2021全国Ⅱ卷,文2,5分〕假设a 为实数,且2+ai 1+i=3+i ,那么a =( )A .-4B .-3C .3D .4 【答案】D【解析】由得2+ai =(1+i)(3+i)=2+4i ,所以a =4,应选D .10.〔2021全国Ⅱ卷,理2,5分〕假设a 为实数,且(2+ai)(a -2i)=-4i ,那么a =( )A .-1B .0C .1D .2 【答案】B【解析】(2+ai)(a -2i)=-4i ⇒ 2a -4i +a 2i +2a =-4i ⇒ 2a -4i +a 2i +2a +4i =0⇒ 4a +a 2i =0 ⇒ a =0.11.〔2021全国Ⅰ卷,文3,5分〕设z =11+i+i ,那么|z|=( )A .12 B .√22 C .√32 D .2 【答案】B 【解析】z =11+i+i =1-i 2+i =12+12i ,因此|z|=√(12)2+(12)2=√12=√22,应选B .12.(1+i )3(1-i )2=( )A .1+iB .1-iC .-1+iD .-1-i 【答案】D 【解析】(1+i )3(1-i )2=(1+i )2(1+i)(1-i )2·=(1+i 2+2i)(1+i)1+i 2-2i==2i(1+i)-2i=-(1+i)=-1-i ,应选D .13.〔2021全国Ⅱ卷,文2,5分〕1+3i 1-i=( )A .1+2iB .-1+2iC .1-2iD .-1-2i【答案】B 【解析】1+3i 1-i=(1+3i )(1+i )(1-i )(1+i )=-2+4i 2=-1+2i ,应选B .14.〔2021全国Ⅱ卷,理2,5分〕设复数z 1,z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z 1=2+i ,那么z 1z 2=( )A .-5B .5C .-4+iD .-4-i【答案】A【解析】由题意得z 2=-2+i ,∴z 1z 2=(2+i)(-2+i)=-5,应选A .15.〔2021全国Ⅰ卷,文2,5分〕1+2i (1-i )2=( )A .-1-12i B .-1+12i C .1+12i D .1-12i 【答案】B 【解析】1+2i(1-i )2=1+2i -2i=(1+2i )i (-2i )i=-2+i 2=-1+12i ,应选B .16.〔2021全国Ⅰ卷,理2,5分〕假设复数z 满足(3-4i)z =|4+3i|,那么z 的虚部为( )A .-4B .-45 C .4 D .45 【答案】D【解析】∵|4+3i|=√42+32=5,∴(3-4i)z =5,∴z=53-4i=5(3+4i )25=35+45i ,虚部为45,应选D .17.〔2021全国Ⅱ卷,文2,5分〕|21+i|=( )A .2√2B .2C .√2D .1【答案】C 【解析】|21+i|=|2(1-i )2|=|1-i|=22)1(1-+=√2.选C .18〔2021全国Ⅱ卷,理2,5分〕设复数z 满足(1-i)z =2i ,那么z =( )A .-1+iB .-1-iC .1+iD .1-i 【答案】A【解析】由题意得z =2i1-i=2i ·(1+i )(1−i )(1+i)=2i +2i 22=2i−22=-1+i ,应选A .19.〔2021全国卷,文2,5分〕复数z =-3+i 2+i的共轭复数是( ) A .2+i B .2-I C .-1+iD .-1-i【答案】D【解析】z =-3+i 2+i=(-3+i )(2-i )(2+i )(2-i )=-5+5i 5=-1+i ,∴z =-1-i ,应选D .20.〔2021全国卷,文2,5分〕复数5i1-2i=( )A .2-iB .1-2iC .-2+iD .-1+2i【答案】C 【解析】5i 1-2i=5i (1+2i )(1-2i )(1+2i )=5(i -2)5=-2+i ,应选C .21.〔2021北京,文2,5分〕复数( ) 〔A 〕i 〔B 〕1+i 〔C 〕 〔D 〕【答案】A 【解析】,应选A .22.〔2021北京,理9,5分〕设,假设复数在复平面内对应的点位于实轴上,那么_____________. 【答案】-1【解析】(1+i)(a +i)=a +i +ai +i 2=a +i +ai -1=(a -1)+(1+a)i ,由题意得虚部为0,即(1+a)=0,解得a =-1. 23.〔2021江苏,文/理2,5分〕复数其中i 为虚数单位,那么z 的实部是____.【答案】524.〔2021山东,文2,5分〕假设复数21iz =-,其中i 为虚数单位,那么z =( ) 〔A 〕1+i〔B 〕1−i〔C 〕−1+i 〔D 〕−1−i【答案】B25.〔2021山东,理1,5分〕假设复数z 满足232i,z z +=- 其中i 为虚数单位,那么z =( )〔A 〕1+2i 〔B 〕1-2i 〔C 〕12i -+ 〔D 〕12i --【答案】B26.〔2021上海,文/理2,5分〕设32iiz +=,其中i 为虚数单位,那么z 的虚部等于_______. 【答案】-312i=2i+-i -1i -12i (12i)(2i)2i 4i 2i 2i (2i)(2i)5+++++-===--+a ∈R (1i)(i)a ++a =(12i)(3i),z =+-【解析】32i 23i,iz +==-故z 的虚部等于−3.27.〔2021四川,文1,5分〕设i 为虚数单位,那么复数(1+i)2=( )(A) 0 (B)2 (C)2i (D)2+2i 【答案】C【解析】22(1i)12i i 2i +=++=,应选C .28.〔2021天津,文9,5分〕i 是虚数单位,复数z 满足(1i)2z +=,那么z 的实部为_______.【答案】1【解析】2(1)211i i iz z +=⇒==-+,所以z 的实部为1.29.〔2021天津,理9,5分〕,a b ∈R ,i 是虚数单位,假设(1+i)(1-b i)=a ,那么ab的值为____.【答案】2【解析】由(1i)(1i)1(1)i b b b a +-=++-=,可得110b a b +=⎧⎨-=⎩,所以21a b =⎧⎨=⎩,2ab=,故答案为2.。
高中数学复数练习题含答案
高中数学复数练习题含答案一、单选题1.已知复数z 满足(12i)43i z -=-(i 为虚数单位),则z =( ) A .5B .5C .2D .22.已知复数1i z =-,则2i z z -=( ) A .2B .3C .23D .323.已知 i 是虚数单位,复数41322i ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭在复平面内对应的点位于( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 4.在复平面内,复数z 满足()1i 3i z -=-+,则复数z 对应的点位于( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 5.设复数z 满足i 3i z z --=,则z 的虚部为( )A .2i -B .2iC .2-D .26.在复平面中,复数z 对应的点的坐标为()1,2,则()i z z -的对应的点位于( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限D .第四象限7.如图,在复平面内,复数z 对应的点为P ,则复数i=z ⋅( )A .2i -B .12i -C .1+2i -D .2i -- 8.设复数z 满足i 4i 0z ++=,则||z =( )A 17B .4C 7D 59.设复数z 满足()1i 2i z -=,则z 在复平面内对应的点在第几象限.( )A .一B .二C .三D .四10.3i3i-+=+( )A .43i 55+ B .43i 55-+C .43i 55D .43i 55--11.复数1i1i+-(i 为虚数单位)的共轭复数的虚部等于( ) A .1 B .1- C .i D .i - 12.复数2i z =-(i 为虚数单位)的虚部为( )A .2B .1C .iD .1- 13.若复数z 在复平面内对应的点为(1,1),则其共轭复数z 的虚部是( )A .iB .i -C .1D .1-14.设复数53i--的实部与虚部分别为a ,b ,则a b -=( ) A .2- B .1- C .1 D .2 15.复数z 满足:23i 3=+-z z ,则z =( )A .5B C .10D 16.已知34i z =+,则()i z z -=( ) A .1117i +B .1917i +C .1117i -D .1923i +17.已知复数z 满足()21i 24i z -=-,其中i 为虚数单位,则复数z 的虚部为( ) A .2 B .1 C .2- D .i18.向量a =(-2,1)所对应的复数是( )A .z =1+2iB .z =1-2iC .z =-1+2iD .z =-2+i19.设O 为原点,向量OA ,OB 对应的复数分别为2+3i ,-3-2i ,那么向量BA 对应的复数为( )A .-1+iB .1-iC .-5-5iD .5+5i20.已知复数z 满足i 232i z z +=-(i 为虚数单位),则z 在复平面内对应的点位于( ) A .第一象限 B .第二象限C .第三象限D .第四象限二、填空题21.若复数2(1i)34iz +=+,则z =__________.22.若复数z 满足i 3i=iz -+,则z =________. 23.已知复数3i (2i)z =⋅-,则z 的虚部为__________.24.设复数1z ,2z 满足11z =,22z =,121z z -=,则12z z +=________.25.设m ∈R ,复数z =(2+i )m 2-3(1+i )m -2(1-i ),若z 为非零实数,则m =________.26.写出一个在复平面内对应的点在第二象限的复数z =__________. 27.已知2i +是关于x 的方程()20,R x ax b a b ++=∈的根,则b a -=________.28.若复数()2i m m m -+为纯虚数,则实数m 的值为________.29.若i(,)i+∈a b a b R 与3+4i 互为共轭复数,则a b -=___________. 30.若复数1z ,2z 满足112i z =-,234i z =+(i 是虚数单位),则12z z ⋅的虚部为___________. 31.已知复数2i4i ia b +=-,,R a b ∈,则a b +=______. 32.甲、乙、丙、丁四人对复数z 的陈述如下(i为虚数单位):甲:z z +=;乙:2z z -=;丙:26;:4z z z z z ⋅==丁,在甲、乙、丙、丁四人陈述中,有且只有两个人的陈述正确,则z =___________.33.已知复数z 满足()()1i 2i z t t +=∈R,若z =,则t 的值为___________.34.若z 1=a +2i ,z 2=3-4i ,且12z z 为纯虚数,则实数a 的值为________.35.已知关于x 的方程,()()()221i i 0,,R x x ab a b a b ++++++=∈总有实数解,则a b +的取值范围是__________.36i 对应的向量绕原点按逆时针方向旋转90,则所得向量对应的复数为________. 37.计算cos 40isin 40cos10isin10________.38.下列命题:①若a R ∈,则()1i a +是纯虚数;②若()()()22132i x x x x R -+++∈是纯虚数,则1x =±;③两个虚数不能比较大小. 其中正确命题的序号是________. 39.设i是虚数单位,复数z =,则z =___________. 40.设复数z 满足()1i 22i z +=-(i 为虚数单位),则z =______. 三、解答题41.已知()122i z x =+-,()()2234i z y x =++-,其中,x y 均为实数,且12z z =,求,x y .42.(1)设复数z 满足24(1i)(12i)z --=-,求复数z ; (2)若复数z 满足(2i)(1i)1z z ⋅+=⋅-+,求复数z ;(3)已知复数()2256215i m m m m +++--z=,当实数m 为何值时,复数z 对应的点Z 在第四象限.43.复数cos isin 33ππ+经过n 次乘方后,所得的幂等于它的共轭复数,求n 的值.44.根据复数的几何意义证明:121212z z z z z z -≤+≤+. 45.设C z ∈,则满足条件34z <<的点Z 的集合是什么图形?【参考答案】一、单选题 1.A 2.D 3.C 4.C 5.C 6.D 7.D 8.A 9.B 10.B 11.B 12.D 13.D 14.A 15.D 16.B 17.B 18.D 19.D20.A 二、填空题 21.825i 625-2223.-224 25.126.1i -+(答案不唯一) 27.9 28.1 29.1 30.-2 31.6 32.2 33.2或2- 34.8335.[)2,+∞36.1-1-3712i 38.③39.40.2 三、解答题 41.21x y =⎧⎨=-⎩或11x y =-⎧⎨=-⎩【解析】 【分析】根据复数相等条件可构造方程组求得结果. 【详解】12z z =,23242y x x +=⎧∴⎨-=-⎩,解得:21x y =⎧⎨=-⎩或11x y =-⎧⎨=-⎩.42.(1)2;(2)21i 3z =-;(3)25m -<<. 【解析】 【分析】(1)根据复数的四则运算及复数的摸公式即可求解;(2)利用复数的四则运算、两个复数相等及共轭复数即可求解;(3)复数的几何意义得出点Z 的坐标,再根据点在第四象限的特点即可求解. 【详解】(1)()()()()242i 42i 12i 4(1i)10i2i 12i 12i 12i 12i 5z +++--=====---+,∴2z =(2)设i z a b =+()R a ∈、b ,则()()()i 2i i (1i)1a b a b +⋅+=-⋅-+, 化简得(2)(2)i (1)()i a b a b a b a b -++=-+-+,根据对应相等得:212a b a b a b a b-=-+⎧⎨+=--⎩,解得1a =,23b =-,所以21i 3z =-.(3)由()2256215i m m m m +++--z=,得()2256,215m m m m ++--Z ,因为Z 对应的点在第四象限,所以225602150m m m m ⎧++>⎨--<⎩,解得:25m -<<,故而当25m -<<时,复数Z 对应的点在第四象限. 43.()61Z k k -∈. 【解析】 【分析】用共轭复数的概念,以及复数的三角表示即可. 【详解】由题意:cos isin cos isin cos isin 333333nn n ππππππ⎛⎫+=+=- ⎪⎝⎭,可得cos cos ,sin sin 3333n n ππππ==-, ∴()2Z 33n k k πππ=-∈,()61Z n k k =-∈. 44.证明详见解析 【解析】【分析】结合三角形两边的和大于第三边、两边的差小于第三边来证得不等式成立. 【详解】当12,z z 方向相同时,121212z z z z z z -<+=+;当12,z z 方向相反时,121212z z z z z z -=+<+;当12,z z 不共线时,1212,,z z z z +满足三角形的三边,根据三角形两边的和大于第三边、两边的差小于第三边可知:121212z z z z z z -<+<+.综上所述,不等式121212z z z z z z -≤+≤+成立.45.是圆229x y +=与圆2216x y +=之间的圆环(不包括边界) 【解析】 【分析】根据复数模的几何意义得出结论. 【详解】设()i ,R z x y x y =+∈22223,9z x y x y =+=+=,表示圆心在原点,半径为3的圆, 22224,16z x y x y =+=+=,表示圆心在原点,半径为4的圆,所以满足条件34z <<的点Z 的集合是圆229x y +=与圆2216x y +=之间的圆环(不包括边界),如图所示.。
高考数学《复数》真题练习含答案
高考数学《复数》真题练习含答案一、选择题1.[2024·新课标Ⅰ卷]若z z -1=1+i ,则z =( ) A .-1-i B .-1+iC .1-iD .1+i答案:C解析:由z z -1 =1+i ,可得z -1+1z -1 =1+i ,即1+1z -1 =1+i ,所以1z -1=i ,所以z -1=1i=-i ,所以z =1-i ,故选C. 2.[2024·新课标Ⅱ卷]已知z =-1-i ,则|z |=( )A .0B .1C .2D .2答案:C解析:由z =-1-i ,得|z |=(-1)2+(-1)2 =2 .故选C.3.[2023·新课标Ⅱ卷]在复平面内,(1+3i)(3-i)对应的点位于( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限答案:A解析:因为(1+3i)(3-i)=3-i +9i -3i 2=6+8i ,所以该复数在复平面内对应的点为(6,8),位于第一象限,故选A.4.[2023·新课标Ⅰ卷]已知z =1-i 2+2i,则z -z - =( ) A .-i B .iC .0D .1答案:A解析:因为z =1-i 2+2i =(1-i )22(1+i )(1-i ) =-12 i ,所以z - =12 i ,所以z -z - =-12 i -12i =-i.故选A. 5.|2+i 2+2i 3|=( )A .1B .2C .5D .5答案:C解析:|2+i 2+2i 3|=|2-1-2i|=|1-2i|=5 .故选C.6.设z =2+i 1+i 2+i5 ,则z - =( ) A .1-2i B .1+2iC .2-iD .2+i答案:B解析:z =2+i 1+i 2+i 5 =2+i 1-1+i =-i ()2+i -i 2 =1-2i ,所以z - =1+2i.故选B.7.[2022·全国甲卷(理),1]若z =-1+3 i ,则z z z --1=( ) A .-1+3 i B .-1-3 iC .-13 +33 iD .-13 -33i 答案:C解析:因为z =-1+3 i ,所以z z z --1=-1+3i (-1+3i )(-1-3i )-1 =-1+3i 1+3-1 =-13 +33i.故选C. 8.[2023·全国甲卷(文)]5(1+i 3)(2+i )(2-i )=( ) A .-1 B .1C .1-iD .1+i答案:C解析:由题意知,5(1+i 3)(2+i )(2-i ) =5(1-i )22-i2 =5(1-i )5 =1-i ,故选C. 9.(多选)[2024·山东菏泽期中]已知复数z =cos θ+isin θ⎝⎛⎭⎫-π2<θ<π2 (其中i 为虚数单位),下列说法正确的是( )A .复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B .|z |=cos θC .z ·z - =1D .z +1z为实数 答案:CD解析:复数z =cos θ+isin θ⎝⎛⎭⎫-π2<θ<π2 (其中i 为虚数单位), 复数z 在复平面上对应的点(cos θ,sin θ)不可能落在第二象限,所以A 不正确; |z |=cos 2θ+sin 2θ =1,所以B 不正确;z ·z - =(cos θ+isin θ)(cos θ-isin θ)=cos 2θ+sin 2θ=1,所以C 正确;z +1z =cos θ+isin θ+1cos θ+isin θ=cos θ+isin θ+cos θ-isin θ=2cos θ为实数,所以D 正确.二、填空题10.若a +b i i(a ,b ∈R )与(2-i)2互为共轭复数,则a -b =________. 答案:-7解析:a +b i i =i (a +b i )i 2 =b -a i ,(2-i)2=3-4i ,因为这两个复数互为共轭复数,所以b =3,a =-4,所以a -b =-4-3=-7.11.i 是虚数单位,复数6+7i 1+2i=________. 答案:4-i解析:6+7i 1+2i =(6+7i )(1-2i )(1+2i )(1-2i )=6-12i +7i +145 =20-5i 5=4-i. 12.设复数z 1,z 2 满足|z 1|=|z 2|=2,z 1+z 2=3 +i ,则|z 1-z 2|=________. 答案:23解析:设复数z 1=a +b i ,z 2=c +d i(a ,b ,c ,d ∈R ),则a 2+b 2=4,c 2+d 2=4,又z 1+z 2=(a +c )+(b +d )i =3 +i ,∴a +c =3 ,b +d =1,则(a +c )2+(b +d )2=a 2+c 2+b 2+d 2+2ac +2bd =4,∴8+2ac +2bd =4,即2ac +2bd =-4,∴|z 1-z 2|=(a -c )2+(b -d )2 =a 2+b 2+c 2+d 2-(2ac +2bd ) =8-(-4) =23 .[能力提升] 13.(多选)[2024·九省联考]已知复数z ,w 均不为0,则( )A .z 2=|z |2B .z z - =z 2|z |2C .z -w =z - -w -D .⎪⎪⎪⎪z w =||z ||w 答案:BCD解析:设z =a +b i(a ,b ∈R ),w =c +d i(c ,d ∈R );对A :z 2=(a +b i)2=a 2+2ab i -b 2=a 2-b 2+2ab i ,|z |2=(a 2+b 2 )2=a 2+b 2,故A 错误;对B: z z - =z 2z -·z ,又z - ·z =||z 2,即有z z - =z 2|z |2 ,故B 正确; 对C :z -w =a +b i -c -d i =a -c +(b -d )i ,则z -w =a -c -(b -d )i ,z - =a -b i ,w -=c -d i ,则z - -w - =a -b i -c +d i =a -c -(b -d )i ,即有z -w =z - -w - ,故C 正确; 对D :⎪⎪⎪⎪z w =⎪⎪⎪⎪⎪⎪a +b i c +d i =⎪⎪⎪⎪⎪⎪(a +b i )(c -d i )(c +d i )(c -d i ) =⎪⎪⎪⎪⎪⎪ac +bd -(ad -bc )i c 2+d 2 =(ac +bd c 2+d 2)2+(ad -bc c 2+d 2)2 =a 2c 2+2abcd +b 2d 2+a 2d 2-2abcd +b 2c 2(c 2+d 2)2 =a 2c 2+b 2d 2+a 2d 2+b 2c 2(c 2+d 2)2 =a 2c 2+b 2d 2+a 2d 2+b 2c 2c 2+d 2 ,||z ||w =a 2+b 2c 2+d2 =a 2+b 2×c 2+d 2c 2+d 2 =(a 2+b 2)(c 2+d 2)c 2+d 2 =a 2c 2+b 2c 2+a 2d 2+b 2d 2c 2+d 2 ,故⎪⎪⎪⎪z w =||z ||w ,故D 正确.故选BCD. 14.[2022·全国乙卷(理),2]已知z =1-2i ,且z +a z +b =0,其中a ,b 为实数,则( )A .a =1,b =-2B .a =-1,b =2C .a =1,b =2D .a =-1,b =-2答案:A解析:由z =1-2i 可知z - =1+2i.由z +a z - +b =0,得1-2i +a (1+2i)+b =1+a +b+(2a -2)i =0.根据复数相等,得⎩⎪⎨⎪⎧1+a +b =0,2a -2=0, 解得⎩⎪⎨⎪⎧a =1,b =-2.故选A. 15.[2023·全国甲卷(理)]设a ∈R ,(a +i)(1-a i)=2,则a =( )A .-2B .-1C .1D .2答案:C解析:∵(a +i)(1-a i)=a +i -a 2i -a i 2=2a +(1-a 2)i =2,∴2a =2且1-a 2=0,解得a =1,故选C.16.已知z (1+i)=1+a i ,i 为虚数单位,若z 为纯虚数,则实数a =________. 答案:-1解析:方法一 因为z (1+i)=1+a i ,所以z =1+a i 1+i =(1+a i )(1-i )(1+i )(1-i )=(1+a )+(a -1)i 2,因为z 为纯虚数, 所以1+a 2 =0且a -12≠0,解得a =-1. 方法二 因为z 为纯虚数,所以可设z =b i(b ∈R ,且b ≠0),则z (1+i)=1+a i ,即b i(1+i)=1+a i ,所以-b +b i=1+a i ,所以⎩⎪⎨⎪⎧-b =1b =a ,解得a =b =-1.。
高中数学复数练习题附答案
高中数学复数练习题附答案一、单选题 1.复数1ii+(其中i 为虚数单位)在复平面内所对应的点位于( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限2.复数(2i 的虚部为( ) A .2 B.C.2-D .03.已知a R ∈,“实系数一元二次方程2904x ax ++=的两根都是虚数”是“存在复数z 同时满足2z =且1z a +=”的( )条件. A .充分非必要 B .必要非充分 C .充分必要D .既非充分又非必要4.向量1OZ ,2OZ ,分别对应非零复数z 1,z 2,若1OZ ⊥2OZ ,则12Z Z 是( )A .负实数B .纯虚数C .正实数D .虚数a +b i(a ,b ∈R ,a ≠0) 5.设||(12i)34i z -=+,则z 的共轭复数对应的点在( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 6.已知x ,R y ∈,i 为虚数单位,且()2i 2y y x ++=-,则x y +的值为( ) A .1 B .2 C .3 D .4 7.复数3i(43i )-在复平面内对应的点位于( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限8.已知i 是虚数单位,复数12iiz -=,则z 的共轭复数z =( ) A .2i -- B .2i -+ C .2i - D .2i + 9.复数z 满足:(2i)5z +=(i 是虚数单位),则复数z 的虚部为( ) A .2- B .2C .i -D .1-10.若复数z 满足()13i 17i -=-z ,则z 在复平面内对应的点位于( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限11.已知复数324i 1iz +=-,则z =( )ABC.D.12.集合M ={x |x =i n +1,n ∈N}(i 为虚数单位)的真子集的个数是( ) A .1B .15C .3D .1613.已知复数z 满足()1i 2i z -=(其中i 为虚数单位),则z =( ) ABC .12D .214.复数z 满足:23i 3=+-z z ,则z =( ) A .5BC .10D15.已知34i z =+,则()i z z -=( ) A .1117i +B .1917i +C .1117i -D .1923i +16.已知复数z 满足()21i 24i z -=-,其中i 为虚数单位,则复数z 的虚部为( ) A .2 B .1C .2-D .i17.若5i2iz =+,则||z =( ) A .2B.5C .D .318.设向量OP ,PQ ,OQ 对应的复数分别为z 1,z 2,z 3,那么( )A .z 1+z 2+z 3=0B .z 1-z 2-z 3=0C .z 1-z 2+z 3=0D .z 1+z 2-z 3=0 19.若复数z 对应的点在直线y =2x 上,且|z |z =( )A .1+2iB .-1-2iC .±1±2iD .1+2i 或-1-2i20.复数z 满足(1i)23i z -=-,则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于( ) A .第一象限 B .第二象限C .第三象限D .第四象限二、填空题21.若复数()2i m m m -+为纯虚数,则实数m 的值为________.22.在复平面内,复数1z 和2z 对应的点分别是(21)A ,和(01)B ,,则12zz=_______. 23.设(3i)i 6i a a b +=-,其中a ,b 是实数,则i a b +=____________. 24.已知复数20202023i i z =+(i 为虚数单位),则z 在复平面内对应的点位于第________象限.25.已知i34i z =+,求|z |=___________26.复数1i z =+(其中i 为虚数单位)的共轭复数z =______. 27.设i 是虚数单位,若复数z =1+2i ,则复数z 的模为__________. 28.设i是虚数单位,且12w =-,则21w w ++=______. 29.已知复数i 3i z =+(i 为虚数单位),则z =__________. 30.已知复数z =,则复数z 的虚部为__________. 31.若a ∈R ,且i2ia ++是纯虚数,则a =____. 32.已知复数z 满足1z =,则22z i +-的最大值为______. 33.复数121i,22i z z =+=-,则12_________.z z -=34.若存在复数z 同时满足i 1z -=,33i z t -+=,则实数t 的取值范围是_______.35i 对应的向量绕原点按逆时针方向旋转90,则所得向量对应的复数为________. 36.已知4cosisin1212z ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则1z 的辐角主值为________. 37.已知m R ∈,复平面内表示复数()3i m m --的点位于第三象限内,则m 的取值范围是____________ 38.下列命题:①若a R ∈,则()1i a +是纯虚数;②若()()()22132i x x x x R -+++∈是纯虚数,则1x =±;③两个虚数不能比较大小. 其中正确命题的序号是________.39.若复数22(9)(23)i z m m m =-++-是纯虚数,其中m ∈R ,则|z |=________. 40.若复数(1i)+(2+3i)z =-(i 为虚数单位),则z =__________. 三、解答题41.设复数3cos isin z θθ=+.求函数()tan arg 02y z πθθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的最大值以及对应的θ值.42.已知复数13i z m =-,212i()z m R =+∈. (1)若12z z 是实数,求m 的值;(2)若复数12z z 在复平面内对应的点在第三象限,且15z ≥,求实数m 的取值范围.43.数列{}n a 满足1112,1n n n a a a a +-==+,试研究数列{}n a 的周期性. 44.复数cos isin 33ππ+经过n 次乘方后,所得的幂等于它的共轭复数,求n 的值.45.已知复平面内正方形的三个顶点所对应的复数分别是12i +,2i -+,12i --,求第四个顶点所对应的复数.【参考答案】一、单选题 1.D 2.C 3.D 4.B 5.D 6.B 7.B 8.B 9.D 10.D 11.B 12.B 13.A 14.D 15.B 16.B 17.B 18.D 19.D 20.A二、填空题 21.122.12i -##2i+1- 23.24.四 25.15##0.2 26.1i -##i+1- 2728.0 2930.31.12-##0.5- 32.1 3334.[]4,635.1-1- 36.2312π37.()0,3 38.③ 39.12 40三、解答题 41.3πθ=时,函数y【解析】 【分析】由3cos isin z θθ=+求得()1arg 3tg z tg θ=,再由两角差的正切建立关于tg θ的函数,()2arg 3y tg z tg tg θθθ=-=+,再由基本不等式法求解.【详解】 解:解:由02πθ<<得0tg θ>.由3cos isin z θθ=+得sin 1(arg )3cos 3tg z tg θθθ==. 故213(arg )113tg tg y tg z tg θθθθ-=-=+23tg tg θθ=+∵3tg tg θθ+≥∴23tg tg θθ≤+当且仅当302tg tg πθθθ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭时,即tg θ=时,上式取等号. 所以当3πθ=时,函数y42.(1)32m =- (2)46m ≤< 【解析】 【分析】(1)由复数的除法法则化简后根据复数的定义计算;(2)由对应点所在象限求得参数范围,再由模求得参数范围,两者结合可得. (1)123i (3i)(12i)6(23)i 12i (12i)(12i)5z m m m m z -----+===++-,它是实数,则(23)0m -+=,32m =-; (2)由(1)12z z 对应点坐标为623(,)55m m -+-,它在第三象限, 则6052305m m -⎧<⎪⎪⎨+⎪-<⎪⎩,解得362m -<<,又15z =,4m ≤-或4m ≥, 综上,46m ≤<. 43.周期为4 【解析】 【分析】根据通项公式,写出特征方程为210x +=,由方程根的情况求出数列{}n a 的周期. 【详解】数列{}n a 的递归函数为()11x f x x -=+,其特征方程为210x +=. 因为Δ=01440-⨯=-<,解得:i,i m k ==-()1i 36arg arg arg i 1i 24a mc a kc ππ--⎛⎫⎛⎫==-== ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭所以数列{}n a 是周期4T =的周期函数. 44.()61Z k k -∈. 【解析】 【分析】用共轭复数的概念,以及复数的三角表示即可. 【详解】由题意:cos isin cos isin cos isin 333333nn n ππππππ⎛⎫+=+=- ⎪⎝⎭,可得cos cos ,sin sin 3333n n ππππ==-, ∴()2Z 33n k k πππ=-∈,()61Z n k k =-∈. 45.2i - 【解析】 【分析】根据复数的几何意义以及正方形的性质进行求解即可. 【详解】设复数12i +,2i -+,12i --对应的点分别为,,A B C 则(1,2)A ,(2,1)B -,(1,2)C --,所以()()3,1,1,3AB BC =--=-,所以033·AB BC =-+=,所以90ABC ∠=︒ 设第四个点为(,)D x y ,则按照,,,A B C D 的顺序才能构成正方形, 所以AB DC =,即(3-,1)(1x -=--,2)y --即1321x y --=-⎧⎨--=-⎩,解得21x y =⎧⎨=-⎩,则(2,1)D -,对应的复数为2i -, 故答案为:2i -。
高中数学复数练习题附答案
高中数学复数练习题附答案一、单选题 1.已知复数12i1iz -=+(i 是虚数单位),则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .筹四象限2.已知复数113i z =+的实部与复数21i z a =--的虚部相等,则实数a 等于( ) A .-3 B .3 C .-1 D .13.设集合A 实数 ,{}B =纯虚数,{}C =复数,若全集SC ,则下列结论正确的是( ) A .AB C =B .A B =C .()S A B ⋂=∅D .SSABC4.复数 21(1)i 1z a a =+--是实数,则实数a 的值为( ) A .1或-1 B .1 C .-1D .0或-15.已知a R ∈,“实系数一元二次方程2904x ax ++=的两根都是虚数”是“存在复数z 同时满足2z =且1z a +=”的( )条件. A .充分非必要 B .必要非充分 C .充分必要 D .既非充分又非必要 6.设||(12i)34i z -=+,则z 的共轭复数对应的点在( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 7.已知x ,R y ∈,i 为虚数单位,且()2i 2y y x ++=-,则x y +的值为( ) A .1B .2C .3D .48.复数z 满足()12i z =,i 为虚数单位,则复数z 的虚部为( )A .BC .D 9.设复数z 满足()1i 2i z -=,则z 在复平面内对应的点在第几象限.( ) A .一B .二C .三D .四10.在复平面中,复数z 对应的点的坐标为(1,2),则复数iz 对应的点位于( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限11.已知z 1,z 2∈C ,|z 1+z 2|=|z 1|=2,|z 2|=2,则|z 1-z 2|等于( ) A .1 B .12 C.2D .12.已知m 为实数,则“1m =”是“复数()211i z m m =-++为纯虚数”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件 13.复数z 满足(2)i z z =+,则z =( ) A .1i + B .1i - C .1i -+ D .1i -- 14.已知12z i =-,则(i)z z -的模长为( )A .4B C .2D .1015.已知复数()()31i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限,则实数m 的取值范围是( ). A .()3,1- B .()1,3- C .()1,+∞D .(),3-∞16.下列关于复数的命题中(其中i 为虚数单位),说法正确的是( ) A .若复数1z ,2z 的模相等,则1z ,2z 是共轭复数B .已知复数1z ,2z ,3z ,若()()2212230z z z z -+-=,则123z z z ==C .若关于x 的方程()21i 14i 0x ax +++-=(a ∈R )有实根,则52a =-D .12i +是关于x 的方程20x px q ++=的一个根,其中,p q 为实数,则5q = 17.若5i2iz =+,则||z =( )A .2B C .D .318.已知复数z 满足(34i)5(1i)z +⋅=-,则z 的虚部是( ) A .15-B .75-C .1i 5-D .7i 5-19.设向量OP ,PQ ,OQ 对应的复数分别为z 1,z 2,z 3,那么( ) A .z 1+z 2+z 3=0 B .z 1-z 2-z 3=0 C .z 1-z 2+z 3=0D .z 1+z 2-z 3=020.下列命题:①若i 0a b +=,则0a b ;②i 22i 2x y x y +=+⇔==;③若y R ∈,且()()211i 0y y ---=,则1y =.其中正确命题的个数为( )A .0个B .1个C .2个D .3个二、填空题21.已知复数z 满足()()1i 2i z t t +=∈R,若z =,则t 的值为___________. 22.已知复数2z =+i ,其中i 为虚数单位,那么复数()2z ·z 所对应的复平面内的点在第________象限23.若复数z 满足i 2022i z ⋅=-(i 是虚数单位),则z 的虚部是___________. 24.已知复数ππsin i cos 33z =+,则z =________.25.设m ∈R ,复数z =(2+i )m 2-3(1+i )m -2(1-i ),若z 为非零实数,则m =________.26.若()1i 1i z +=-,则z =_______27.已知复数z 为纯虚数且满足1-3z =|z |+3i ,则z =________ 28.复数121i,22i z z =+=-,则12_________.z z -=29.设(3i)i 6i a a b +=-,其中a ,b 是实数,则i a b +=____________.30.甲、乙、丙、丁四人对复数z 的陈述如下(i为虚数单位):甲:z z +=;乙:2z z -=;丙:26;:4z z z z z ⋅==丁,在甲、乙、丙、丁四人陈述中,有且只有两个人的陈述正确,则z =___________. 31.若a ∈R ,且i2ia ++是纯虚数,则a =____. 32.若z 1=a +2i ,z 2=3-4i ,且12z z 为纯虚数,则实数a 的值为________.33.将复数1+i 对应的向量顺时针旋转45°,则所得向量对应的复数为________.34.已知复数12,z z ,满足121z z ==,且12z z +=,则12z z =________.35.已知i 是虚数单位,则202220211()1+⎛⎫+= ⎪-⎝⎭i i i ___________.36.设复数()21(1)i m m -++为纯虚数,则实数m 的值为________.37.i 是虚数单位,则1i1i+-的值为__________.38.已知复数21ii z +=,则z =______. 39.若复数22(9)(23)i z m m m =-++-是纯虚数,其中m ∈R ,则|z |=________.40.已知复数2i -在复平面内对应的点为P ,复数z 满足|i |1z -=,则P 与z 对应的点Z 间的距离的最大值为________. 三、解答题41.已知z 是虚数,求证:4z z+是实数的充要条件是2z =.42.(1)若复数22(56)(3)i z m m m m =-++-表示实数,求实数m 的值 ;(2)若复数22(56)(3)i z m m m m =-++-表示纯虚数,求实数m 的值. 43.已知复数2(1i)3(1i)2iz -++=-.(1)求复数z 的实部、虚部、模长及表示复平面上的点的坐标; (2)若21i z az b ++=-,试求实数a 、b 的值.44.复数cos isin 33ππ+经过n 次乘方后,所得的幂等于它的共轭复数,求n 的值.45.求满足条件1z R z+∈且22z -=的复数z .【参考答案】一、单选题 1.C 2.C 3.D 4.C 5.D 6.D 7.B 8.D 9.B 10.B 11.D 12.C 13.C 14.B15.A 16.D 17.B 18.B 19.D 20.B 二、填空题21.2或2- 22.四 23.2022- 24.1 25.1 26.i 27.i2829.30.2 31.12-##0.5- 32.833334.12- 3536.1 37.1 3839.1240.1##1+三、解答题41.证明见解析 【解析】 【分析】设()i ,,0z x y x y R y =+∈≠,由复数运算化简得2222444i x y z x y z x y x y⎛⎫⎛⎫+=++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭;当2z =时,可得42z x R z +=∈,证得充分性;当4z z+是实数时,可得224x y +=,必要性得证;由此可得结论.【详解】设()i ,,0z x y x y R y =+∈≠, 则2222224444i 44i i i i x y x y z x y x y x y zx y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫-+=++=++=++- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭. 当2z =时,224x y +=,则2240y y x y -=+,2242xx x R x y +=∈+, 42z x R z ∴+=∈,即4z z+是实数,充分性成立; 当4z z+是实数时,2240yy x y-=+,又0y ≠,224x y ∴+=,即2z =,必要性成立;4z z∴+是实数的充要条件是2z =. 42.(1)0m =或3;(2)2m = 【解析】 【分析】(1)由虚部为0直接求解即可;(2)由实部为0,虚部不为0直接求解即可. 【详解】(1)由复数22(56)(3)i z m m m m =-++-表示实数,可得230m m -=,解得0m =或3;(2)由复数22(56)(3)i z m m m m =-++-表示纯虚数,可得2256030m m m m ⎧-+=⎨-≠⎩,解得2m =.43.(1)复数z 的实部为1、虚部为1(11), (2)34a b =-⎧⎨=⎩【解析】 【分析】(1)先化简复数1i z =+.直接求出实部、虚部、模长及表示复平面上的点的坐标;(2)将1i z =+代入方程,利用复数相等的条件即可求解.(1)因为()()()()23i 2i (1i)3(1i)3i 1i 2i 2i 2i 2i z ++-+++====+---+.则复数z 的实部为1,虚部为1,模长为||z =表示复平面上的点的坐标为(11),. (2)将1i z =+代入方程21i z az b ++=-得:i 1i (2)a b a ++=+-, ∴121a b a +=⎧⎨+=-⎩,∴34a b =-⎧⎨=⎩. 44.()61Z k k -∈. 【解析】 【分析】用共轭复数的概念,以及复数的三角表示即可. 【详解】由题意:cos isin cos isin cos isin 333333nn n ππππππ⎛⎫+=+=- ⎪⎝⎭,可得cos cos ,sin sin 3333n n ππππ==-, ∴()2Z 33n k k πππ=-∈,()61Z n k k =-∈.45.4z =或14z = 【解析】 【分析】利用i z a b =+,根据复数的性质进行化简,又由1z R z+∈可知虚部为0,结合已知条件表可求得z . 【详解】解:设i z a b =+(,R)a b ∈且220a b +≠ 又2222221i i i ()i i 1a b a ba b a b a b a b a z b b za ab -++=++=++-=+++++ 1z R z +∈ 220bb a b ∴-=+,即0b =或221a b += 又i 22a b +-=()2224a b ∴-+=当0b =时,代入()2224a b -+=得:4a =或0a =(舍去);当221a b +=时,代入()2224a b -+=得:1,4a b ==综上:4z =或14z =。
高中数学复数练习题及答案
高中数学复数练习题及答案一、单选题1.若复数z 满足()12i 10z -=,则( ) A .24i z =+ B .2z +是纯虚数C .复数z 在复平面内对应的点在第三象限D .若复数z 在复平面内对应的点在角α的终边上,则sin α=2.下列说法正确的是( )A .若复数()i ,z a b a b R =+∈,则z 为纯虚数的充要条件是0a =且0b =.B .若()()21i 0,x y x y R -+->∈,则2x >且1y >.C .若()()2212230Z Z Z Z -++=,则123Z Z Z ==.D .若复数z 满足i 2z -=,则复数z 对应点的集合是以()0,1为圆心,以2为半径的圆.3.已知复数113i z =+的实部与复数21i z a =--的虚部相等,则实数a 等于( ) A .-3 B .3 C .-1 D .14.设复数z 满足i 3i z z --=,则z 的虚部为( )A .2i -B .2iC .2-D .25.若复数(32)(1)i ai +-在复平面内对应的点位于第一象限,则实数a 的取值范围为( )A .32,23⎛⎫- ⎪⎝⎭B .3,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C .23,32⎛⎫- ⎪⎝⎭D .2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭6.在复平面中,复数z 对应的点的坐标为(1,2),则复数iz 对应的点位于( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 7.已知复数z 满足(12i)43i z -=-(i 为虚数单位),则z =( )A B .5C D .28.已知复数23i z =-,则()1i z +=( ) A .3i -B .3+3i -C .3i +D .3i -+9.已知复数1i z =-,则2i z z -=( )A .2B .3C .D .10.复数z 满足(2)i z z =+,则z =( )A .1i +B .1i -C .1i -+D .1i --11.在复平面内O 为坐标原点,复数()1i 43i z =-+,27i z =+对应的点分别为12,Z Z ,则12Z OZ ∠的大小为( )A .3πB .23π C .34π D .56π12.已知12z i =-,则(i)z z -的模长为( )A .4B C .2 D .1013.2021i 1i-=( )A .11i 22+ B .11i 22-- C .11i 22-+D .11i 22-14.已知复数z 满足()21i 68i z -=+,其中i 为虚数单位,则z =( )A .10B .5CD .15.设i 12z =+,则在复平面内z 的共轭复数z 对应的点位于( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限16.已知复数()()31i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限,则实数m 的取值范围是( ). A .()3,1- B .()1,3- C .()1,+∞ D .(),3-∞17.设复数z 满足i 1i(i z ⋅=+为虚数单位),则复数z 在复平面内所对应的点位于( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限18.已知复数z 满足z +2i -5=7-i ,则|z |=( )A .12B .3 C.D .919.复数1i1i+-(i 为虚数单位)的共轭复数的虚部等于( ) A .1B .1-C .iD .i -20.设i 为虚数单位,()1i 2i z -+=+,则复数z 的虚部是( ) A .12-B .1i 2C .32-D .3i 2-二、填空题21.定义12,C z z ∈,221212121(||||)4z z z z z z ⊕=+--,121212i(i )z z z z z z ⊗=⊕+⊕.若134i z =+,21z =+,则12||z z ⊗=___________.22.在复平面内,复数1z 和2z 对应的点分别是(21)A ,和(01)B ,,则12zz=_______. 23.设复数i 12z =+(i 是虚数单位),则在复平面内,复数2z 对应的点的坐标为________.24.已知复数z 满足24(1i)(12i)z --=-,则||z =________. 25.复数2ii 1+-的共轭复数是_______. 26.复数1i z =+(其中i 为虚数单位)的共轭复数z =______.27.设复数1z ,2z 满足11z =,22z =,121z z -=,则12z z +=________. 28.设i 是虚数单位,若复数z =1+2i ,则复数z 的模为__________. 29.已知复数i 3i z =+(i 为虚数单位),则z =__________. 30.已知复数()3iR ib z b -=∈的实部和虚部相等,则z =___________. 31.已知i 是虚数单位,复数z 满足322i z =+,则z =___________.32.甲、乙、丙、丁四人对复数z 的陈述如下(i为虚数单位):甲:z z +=;乙:2z z -=;丙:26;:4z z z z z ⋅==丁,在甲、乙、丙、丁四人陈述中,有且只有两个人的陈述正确,则z =___________.33.已知关于x 的方程,()()()221i i 0,,R x x ab a b a b ++++++=∈总有实数解,则a b +的取值范围是__________.34.将复数1+i 对应的向量顺时针旋转45°,则所得向量对应的复数为________.35i 对应的向量绕原点按逆时针方向旋转90,则所得向量对应的复数为________.36.已知m R ∈,复平面内表示复数()3i m m --的点位于第三象限内,则m 的取值范围是____________ 37.下列命题:①若a R ∈,则()1i a +是纯虚数;②若()()()22132i x x x x R -+++∈是纯虚数,则1x =±;③两个虚数不能比较大小.其中正确命题的序号是________.38.已知复数z 1=a 2-3-i ,z 2=-2a +a 2i ,若z 1+z 2是纯虚数,则实数a =________.39.若i 是虚数单位,则复数310i3i =-________.(写成最简结果)40.设i 是虚数单位,且12w =-,则21w w ++=______. 三、解答题41.在复平面内,若复数()()22232i z m m m m -+-=-+对应的点满足下列条件.分别求实数m 的取值范围. (1)在虚轴上; (2)在第二象限; (3)在直线y =x 上.42.在复平面内,复数()22234i z a a a a =--+--(其中i 为虚数单位,R a ∈).(1)若复数z 为纯虚数,求a 的值; (2)若复数z >0,求a 的值.43.由方程()31cos2πisin 2πz k k k ==+∈Z 得310z -=的三个根为()2π2πcosisin 02,33k k k k k ω=+≤≤∈Z ,则()()()321111z z z z ωω-=---.将上式右边的各个一次因子适当分组相乘,则可变成有理系数多项式,就得到了31z -的有理分解式.请你仿此将151z -进行有理分解.44.求实数m 取何值时,复数()()22232i z m m m m =--+-在复平面内对应的点Z ;(1)位于第二象限; (2)位于第一或第三象限; (3)在直线10x y --=上. 45.判断下列命题的真假. (1)任何复数的模都是非负数; (2)x 轴是复平面的实轴,y 轴是虚轴;(3)若1z =,2z =,3z =42i z =-,则这些复数的对应点共圆; (4)cos isin θθ+,最小值为0.【参考答案】一、单选题 1.D 2.D 3.C 4.C 5.A 6.B 7.A 8.B 9.D 10.C 11.C 12.B 13.C 14.B 15.D 16.A 17.D 18.C 19.B 20.C 二、填空题 21.3522.12i -##2i+1-23.()34-,24.2 25.13i 22-+ 26.1i -##i+1-27282930.3132.2 33.[)2,+∞ 3435.1-1- 36.()0,3 37.③ 38.339.13i +##3i 1+ 40.0 三、解答题41.(1)m =2或m =-1; (2)-1<m <1; (3)m =2. 【解析】 【分析】(1)由题可得220m m --=,即求;(2)由题可知2220320m m m m ⎧--<⎨-+>⎩,进而即得;(3)由题可得222=32m m m m --+-,即得. (1)∵复数()()22232i z m m m m -+-=-+对应的点为()222,32m m m m ---+,由题意得220m m --=, 解得m =2或m =-1. (2)由题意得2220320m m m m ⎧--<⎨-+>⎩ ∴1212m m m -<<⎧⎨⎩或, ∴-1<m <1. (3)由题得222=32m m m m --+-, ∴m =2.42.(1)2a = (2)4a = 【解析】 【分析】(1)根据纯虚数的知识列式,从而求得a 的值. (2)根据复数能比较大小列式,从而求得a 的值. (1)由于z 为纯虚数,所以2220340a a a a ⎧--=⎨--≠⎩,可得2a =.(2)由于z 与0可以比较大小,所以z 为实数,且0z >,所以2220340a a a a ⎧-->⎨--=⎩,可得4a =.43.()()()()()231411111z z z z z ωωωω----⋅⋅⋅-【解析】 【分析】根据题目所给的信息即可求解. 【详解】根据题目有理分解式原理可知151=0z -的15个根为()2π2πcosisin 0151514,k k k k k ω=+≤≤∈Z , 则151z -()()()()()231411111z z z z z ωωωω=----⋅⋅⋅-.44.(1)102m -<<或12m <<; (2)12m <-或01m <<或2m >; (3)1m =-或3. 【解析】 【分析】(1)可得点Z 的坐标为()22232,m m m m ---,然后可得222320m m m m ⎧--<⎪⎨->⎪⎩,解出即可;(2)可得2223200m m m m ⎧-->⎪⎨->⎪⎩或2223200m m m m ⎧--<⎪⎨-<⎪⎩,解出即可;(3)将点Z 的坐标代入直线的方程求解即可.(1)复数()()22232i z m m m m =--+-在复平面内对应的点Z 的坐标为()22232,mm m m ---若点Z 位于第二象限,则222320m m m m ⎧--<⎪⎨->⎪⎩,解得102m -<<或12m <<(2)若点Z 位于第一或第三象限,则2223200m m m m ⎧-->⎪⎨->⎪⎩或2223200m m m m ⎧--<⎪⎨-<⎪⎩解得12m <-或01m <<或2m > (3)若点Z 在直线10x y --=上,则2223210m m m m ---+-= 解得1m =-或3 45.(1)真命题; (2)真命题; (3)真命题; (4)假命题; 【解析】 【分析】由复数模长公式判断(1),由复平面的定义判断(2),根据复数的模长判断(3),由模长计算公式求解cos isin θθ+,判断(4). (1)真命题,若()i ,z a b a b R =+∈,则0z =≥,故该命题为真命题; (2)真命题,由复平面的定义可知,x 轴是实轴,y 轴是虚轴,故该命题为真命题; (3)真命题,因为3124z z z z ===(4)假命题,cos isin 1θθ+==为定值,所以其最大最小值均为1,故该命题为假命题.。
复数试题及答案高中数学
复数试题及答案高中数学一、选择题1. 复数z = 3 + 4i的模是()A. 5B. √5C. √(3² + 4²)D. 42. 已知z₁ = 2 - i,z₂ = 1 + 3i,求z₁z₂的值是()A. 5 - iB. 5 + iC. 2 + 5iD. 2 - 5i3. 复数z = 1/(1 - i)的共轭复数是()A. -1 - iB. -1 + iC. 1 - iD. 1 + i二、填空题4. 复数3 - 4i的实部是______,虚部是______。
5. 若复数z满足|z| = 5,且z的实部为3,则z的虚部可以是______。
三、解答题6. 求复数z = 2 + 3i的共轭复数,并计算|z|。
7. 已知复数z₁ = 2 + i,z₂ = 1 - 2i,求z₁ + z₂,z₁ - z₂,z₁z₂。
8. 证明:对于任意复数z,都有|z|² = z * z的共轭复数。
答案一、选择题1. C. √(3² + 4²) = 52. A. 5 - i ((2 - i)(1 + 3i) = 2 + 6i - i - 3 = 5 - i)3. D. 1 + i (1/(1 - i) = (1 + i)/2)二、填空题4. 3,-45. ±4 (因为|z|² = 3² + 虚部²,所以虚部² = 25 - 9 = 16,虚部= ±4)三、解答题6. z的共轭复数是2 - 3i,|z| = √(2² + 3²) = √13。
7. z₁ + z₂ = (2 + i) + (1 - 2i) = 3 - iz₁ - z₂ = (2 + i) - (1 - 2i) = 1 + 3iz₁z₂ = (2 + i)(1 - 2i) = 2 - 4i + i - 2i² = 4 - i8. 证明:设z = a + bi,其中a和b是实数,i是虚数单位。
高中数学复数选择题专项训练100及答案
高中数学复数选择题专项训练100及答案一、复数选择题1.在复平面内,复数534i i -(i 为虚数单位)对应的点的坐标为( ) A .()3,4 B .()4,3- C .43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ D .43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ 答案:D【分析】运用复数除法的运算法则化简复数的表示,最后选出答案即可.【详解】因为,所以在复平面内,复数(为虚数单位)对应的点的坐标为.故选:D解析:D【分析】 运用复数除法的运算法则化简复数534i i-的表示,最后选出答案即可. 【详解】 因为55(34)15204334(34)(34)2555i i i i i i i i ⋅+-===-+--+, 所以在复平面内,复数534i i -(i 为虚数单位)对应的点的坐标为43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故选:D2.若复数(1)()(i a i i -+是虚数单位)为纯虚数,则实数a 的值为( )A .2B .1C .0D .1- 答案:D【分析】由复数乘法化复数为代数形式,然后根据复数的分类求解.【详解】,它为纯虚数,则,解得.故选:D .解析:D【分析】由复数乘法化复数为代数形式,然后根据复数的分类求解.2(1)()1(1)i a i a i ai i a a i -+=+--=++-,它为纯虚数,则1010a a +=⎧⎨-≠⎩,解得1a =-. 故选:D .3.在复平面内复数Z=i (1﹣2i )对应的点位于( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 答案:A【解析】试题分析:根据复数乘法的运算法则,我们可以将复数Z 化为a=bi (a ,b ∈R )的形式,分析实部和虚部的符号,即可得到答案.解:∵复数Z=i (1﹣2i )=2+i∵复数Z 的实部2>0,虚解析:A【解析】试题分析:根据复数乘法的运算法则,我们可以将复数Z 化为a=bi (a ,b ∈R )的形式,分析实部和虚部的符号,即可得到答案.解:∵复数Z=i (1﹣2i )=2+i∵复数Z 的实部2>0,虚部1>0∴复数Z 在复平面内对应的点位于第一象限故选A点评:本题考查的知识是复数的代数表示法及其几何意义,其中根据复数乘法的运算法则,将复数Z 化为a=bi (a ,b ∈R )的形式,是解答本题的关键.4.已知复数z 满足()311z i i +=-,则复数z 对应的点在( )上A .直线12y x =-B .直线12y x =C .直线12x =-D .直线12y 答案:C【分析】利用复数的乘法和除法运算求得复数z 的标准形式,得到对应点的坐标,然后验证即可.【详解】解:因为,所以复数对应的点是,所以在直线上.故选:C.【点睛】本题考查复数的乘方和除法运解析:C利用复数的乘法和除法运算求得复数z 的标准形式,得到对应点的坐标,然后验证即可.【详解】 解:因为33111(1)1(1)2(1)2i i z i i z i i --+=-⇔===-+-,所以复数z 对应的点是1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭,所以在直线12x =-上. 故选:C.【点睛】本题考查复数的乘方和除法运算,复数的坐标表示,属基础题.注意:()()()()()3211i 12121i i i i i +=++=-+=-. 5.若复数z 满足()322i z i i -+=+,则复数z 的虚部为( ) A .35 B .35i - C .35 D .35i 答案:A【分析】由复数的除法法则和乘法法则计算出,再由复数的定义得结论.【详解】由题意,得,其虚部为,故选:A.解析:A【分析】由复数的除法法则和乘法法则计算出z ,再由复数的定义得结论.【详解】由题意,得()()()()()23343313343434552i i ii z i i i i i ----====-++-+, 其虚部为35, 故选:A.6.设2i z i +=,则||z =( )A B C .2 D .5答案:B【分析】利用复数的除法运算先求出,再求出模即可.,.故选:B .解析:B【分析】利用复数的除法运算先求出z ,再求出模即可.【详解】()22212i i i z i i i++===-,∴z =故选:B .7.设复数z 满足方程4z z z z ⋅+⋅=,其中z 为复数z 的共轭复数,若z 则z 为( )A .1BC .2D .4答案:B【分析】由题意,设复数,根据共轭复数的概念,以及题中条件,即可得出结果.【详解】因为的实部为,所以可设复数,则其共轭复数为,又,所以由,可得,即,因此.故选:B.解析:B【分析】由题意,设复数(),z yi x R y R =∈∈,根据共轭复数的概念,以及题中条件,即可得出结果.【详解】因为z (),z yi x R y R =∈∈,则其共轭复数为z yi =,又z z =,所以由4z z z z ⋅+⋅=,可得()4z z z ⋅+=,即4z ⋅=,因此z =故选:B.8.复数()()212z i i =-+在复平面内对应的点位于( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限答案:A【分析】利用复数的乘法化简复数,利用复数的乘法可得出结论.【详解】,因此,复数在复平面内对应的点位于第一象限.故选:A.解析:A【分析】利用复数的乘法化简复数z ,利用复数的乘法可得出结论.【详解】()()221223243z i i i i i =-+=+-=+,因此,复数z 在复平面内对应的点位于第一象限.故选:A.9.复数()()212z i i =-+,则z 的共轭复数z =( )A .43i +B .34i -C .34i +D .43i - 答案:D【分析】由复数的四则运算求出,即可写出其共轭复数.【详解】∴,故选:D解析:D【分析】由复数的四则运算求出z ,即可写出其共轭复数z .【详解】2(2)(12)24243z i i i i i i =-+=-+-=+ ∴43z i =-,故选:D10.已知i 是虚数单位,设复数22ia bi i -+=+,其中,ab ∈R ,则+a b 的值为()A .75 B .75- C .15 D .15-答案:D【分析】先化简,求出的值即得解.【详解】,所以.故选:D解析:D【分析】 先化简345ia bi -+=,求出,ab 的值即得解.【详解】22(2)342(2)(2)5i i ia bi i i i ---+===++-, 所以341,,555a b a b ==-∴+=-.故选:D11.若i 为虚数单位,,a b ∈R ,且2a ib i i +=+,则复数a bi -的模等于( )A B C D 答案:C【分析】首先根据复数相等得到,,再求的模即可.【详解】因为,所以,.所以.故选:C解析:C【分析】首先根据复数相等得到1a =-,2b =,再求a bi -的模即可.【详解】因为()21a i b i i bi +=+=-+,所以1a =-,2b =.所以12a bi i -=--=故选:C12.若复数()()1i 3i a +-(i 为虚数单位)的实部和虚部互为相反数,则实数a =( )A .1-B .12-C .13 D .1答案:B利用复数代数形式的乘法运算化简,再由实部加虚部为0求解.【详解】解:,所以复数的实部为,虚部为,因为实部和虚部互为相反数,所以,解得 故选:B解析:B【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简,再由实部加虚部为0求解.【详解】解:()()()()21i 3i 33331a i ai ai a a i +-=-+-=++-,所以复数()()1i 3i a +-的实部为3a +,虚部为31a -,因为实部和虚部互为相反数,所以3310a a ++-=,解得12a =- 故选:B13.若复数11i z i ,i 是虚数单位,则z =( ) A .0 B .12 C .1 D .2答案:C【分析】由复数除法求出,再由模计算.【详解】由已知,所以.故选:C .解析:C【分析】 由复数除法求出z ,再由模计算.【详解】由已知21(1)21(1)(1)2i i i z i i i i ---====-++-, 所以1z i =-=.故选:C .14.设复数满足(12)i z i +=,则||z =( )A .15BCD .5答案:B利用复数除法运算求得,再求得.【详解】依题意,所以.故选:B解析:B【分析】利用复数除法运算求得z ,再求得z .【详解】 依题意()()()12221121212555i i i i z i i i i -+====+++-,所以5z == 故选:B 15.题目文件丢失!二、复数多选题16.i 是虚数单位,下列说法中正确的有( )A .若复数z 满足0z z ⋅=,则0z =B .若复数1z ,2z 满足1212z z z z +=-,则120z z =C .若复数()z a ai a R =+∈,则z 可能是纯虚数D .若复数z 满足234z i =+,则z 对应的点在第一象限或第三象限答案:AD【分析】A 选项,设出复数,根据共轭复数的相关计算,即可求出结果;B 选项,举出反例,根据复数模的计算公式,即可判断出结果;C 选项,根据纯虚数的定义,可判断出结果;D 选项,设出复数,根据题解析:AD【分析】A 选项,设出复数,根据共轭复数的相关计算,即可求出结果;B 选项,举出反例,根据复数模的计算公式,即可判断出结果;C 选项,根据纯虚数的定义,可判断出结果;D 选项,设出复数,根据题中条件,求出复数,由几何意义,即可判断出结果.【详解】A 选项,设(),z a bi a b R =+∈,则其共轭复数为(),z a bi a b R =-∈, 则220z z a b ⋅=+=,所以0a b ,即0z =;A 正确;B 选项,若11z =,2z i =,满足1212z z z z +=-,但12z z i =不为0;B 错;C 选项,若复数()z a ai a R =+∈表示纯虚数,需要实部为0,即0a =,但此时复数0z =表示实数,故C 错;D 选项,设(),z a bi a b R =+∈,则()2222234z a bi a abi b i =+=+-=+, 所以22324a b ab ⎧-=⎨=⎩,解得21a b =⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=-⎩,则2z i =+或2z i =--, 所以其对应的点分别为()2,1或()2,1--,所以对应点的在第一象限或第三象限;D 正确. 故选:AD.17.已知复数z 满足220z z +=,则z 可能为( ).A .0B .2-C .2iD .2i+1- 答案:AC【分析】令,代入原式,解出的值,结合选项得出答案.【详解】令,代入,得,解得,或,或,所以,或,或.故选:AC【点睛】本题考查复数的运算,考查学生计算能力,属于基础题.解析:AC【分析】令()i ,z a b a b R =+∈,代入原式,解出,a b 的值,结合选项得出答案.【详解】令()i ,z a b a b R =+∈,代入220z z +=,得222i 0a b ab -+=,解得00a b =⎧⎨=⎩,或02a b =⎧⎨=⎩,或02a b =⎧⎨=-⎩, 所以0z =,或2i z =,或2i z =-.故选:AC【点睛】本题考查复数的运算,考查学生计算能力,属于基础题.18.下面是关于复数21i z =-+的四个命题,其中真命题是( )A .||z =B .22z i =C .z 的共轭复数为1i -+D .z 的虚部为1- 答案:ABCD【分析】先根据复数的除法运算计算出,再依次判断各选项.【详解】,,故A 正确;,故B 正确;的共轭复数为,故C 正确;的虚部为,故D 正确; 故选:ABCD.【点睛】本题考查复数的除法解析:ABCD【分析】先根据复数的除法运算计算出z ,再依次判断各选项.【详解】()()()2121111i z i i i i --===---+-+--,z ∴==,故A 正确;()2212z i i =--=,故B 正确;z 的共轭复数为1i -+,故C 正确;z 的虚部为1-,故D 正确;故选:ABCD.【点睛】本题考查复数的除法运算,以及对复数概念的理解,属于基础题.19.下列四个命题中,真命题为( )A .若复数z 满足z R ∈,则z R ∈B .若复数z 满足1R z ∈,则z R ∈C .若复数z 满足2z ∈R ,则z R ∈D .若复数1z ,2z 满足12z z R ⋅∈,则12z z = 答案:AB【分析】利用特值法依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A ,若复数满足,设,其中,则,则选项A 正确;对选项B ,若复数满足,设,其中,且,则,则选项B 正确;对选项C ,若复数满足,设解析:AB【分析】利用特值法依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A ,若复数z 满足z R ∈,设z a =,其中a R ∈,则z R ∈,则选项A 正确; 对选项B ,若复数z 满足1R z ∈,设1a z =,其中a R ∈,且0a ≠, 则1z R a=∈,则选项B 正确; 对选项C ,若复数z 满足2z ∈R ,设z i ,则21z R =-∈,但z i R =∉,则选项C 错误; 对选项D ,若复数1z ,2z 满足12z z R ⋅∈,设1z i =,2z i =,则121z z ⋅=-∈R , 而21z i z =-≠,则选项D 错误;故答案选:AB【点睛】本题主要考查复数的运算,同时考查复数的定义和共轭复数,特值法为解决本题的关键,属于简单题.20.已知复数012z i =+(i 为虚数单位)在复平面内对应的点为0P ,复数z 满足|1|||z z i -=-,下列结论正确的是( )A .0P 点的坐标为(1,2)B .复数0z 的共轭复数对应的点与点0P 关于虚轴对称C .复数z 对应的点Z 在一条直线上D .0P 与z 对应的点Z 间的距离的最小值为答案:ACD【分析】根据复数对应的坐标,判断A 选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系,判断B 选项的正确性.设出,利用,结合复数模的运算进行化简,由此判断出点的轨迹,由此判读C 选项的正确解析:ACD【分析】根据复数对应的坐标,判断A 选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系,判断B 选项的正确性.设出z ,利用|1|||z z i -=-,结合复数模的运算进行化简,由此判断出Z 点的轨迹,由此判读C 选项的正确性.结合C 选项的分析,由点到直线的距离公式判断D 选项的正确性.【详解】复数012z i =+在复平面内对应的点为0(1,2)P ,A 正确;复数0z 的共轭复数对应的点与点0P 关于实轴对称,B 错误;设(,)z x yi x y R =+∈,代入|1|||z z i -=-,得|(1)(1)i|x yi x y -+=+-,即=y x =;即Z 点在直线y x =上,C 正确;易知点0P 到直线y x =的垂线段的长度即为0P 、Z 之间距离的最小值,结合点到直线的距2=,故D 正确. 故选:ACD【点睛】本小题主要考查复数对应的坐标,考查共轭复数,考查复数模的运算,属于基础题.21.已知i 为虚数单位,以下四个说法中正确的是( ).A .234i i i i 0+++=B .3i 1i +>+C .若()2z=12i +,则复平面内z 对应的点位于第四象限D .已知复数z 满足11z z -=+,则z 在复平面内对应的点的轨迹为直线 答案:AD【分析】根据复数的运算判断A ;由虚数不能比较大小判断B ;由复数的运算以及共轭复数的定义判断C ;由模长公式化简,得出,从而判断D.【详解】,则A 正确;虚数不能比较大小,则B 错误;,则,解析:AD【分析】根据复数的运算判断A ;由虚数不能比较大小判断B ;由复数的运算以及共轭复数的定义判断C ;由模长公式化简11z z -=+,得出0x =,从而判断D.【详解】234110i i i i i i +++=--+=,则A 正确;虚数不能比较大小,则B 错误;()221424341z i i i i =++=+-+=,则34z i =--,其对应复平面的点的坐标为(3,4)--,位于第三象限,则C 错误; 令,,z x yi x y R =+∈,|1||1z z -=+∣,=,解得0x =则z 在复平面内对应的点的轨迹为直线,D 正确;故选:AD【点睛】本题主要考查了判断复数对应的点所在的象限,与复数模相关的轨迹(图形)问题,属于中档题.22.已知复数122,2z i z i =-=则( )A .2z 是纯虚数B .12z z -对应的点位于第二象限C .123z z +=D .12z z =答案:AD【分析】利用复数的概念及几何有意义判断A 、B 选项是否正确,利用利用复数的四则运算法则计算及,并计算出模长,判断C 、D 是否正确.【详解】利用复数的相关概念可判断A 正确;对于B 选项,对应的解析:AD【分析】利用复数的概念及几何有意义判断A 、B 选项是否正确,利用利用复数的四则运算法则计算12z z +及12z z ,并计算出模长,判断C 、D 是否正确.【详解】利用复数的相关概念可判断A 正确;对于B 选项,1223z z i -=-对应的点位于第四象限,故B 错;对于C 选项,122+=+z z i ,则12z z +==,故C 错;对于D 选项,()122224z z i i i ⋅=-⋅=+,则12z z ==D 正确.故选:AD【点睛】本题考查复数的相关概念及复数的计算,较简单. 23.已知复数z 满足(1﹣i )z =2i ,则下列关于复数z 的结论正确的是( )A .||z =B .复数z 的共轭复数为z =﹣1﹣iC .复平面内表示复数z 的点位于第二象限D .复数z 是方程x 2+2x +2=0的一个根答案:ABCD【分析】利用复数的除法运算求出,再根据复数的模长公式求出,可知正确;根据共轭复数的概念求出,可知正确;根据复数的几何意义可知正确;将代入方程成立,可知正确.【详解】因为(1﹣i )z =解析:ABCD【分析】利用复数的除法运算求出1z i =-+,再根据复数的模长公式求出||z ,可知A 正确;根据共轭复数的概念求出z ,可知B 正确;根据复数的几何意义可知C 正确;将z 代入方程成立,可知D 正确.【详解】因为(1﹣i )z =2i ,所以21i z i =-2(1)221(1)(1)2i i i i i i +-+===-+-+,所以||z =A 正确; 所以1i z =--,故B 正确;由1z i =-+知,复数z 对应的点为(1,1)-,它在第二象限,故C 正确;因为2(1)2(1)2i i -++-++22220i i =--++=,所以D 正确.故选:ABCD.【点睛】本题考查了复数的除法运算,考查了复数的模长公式,考查了复数的几何意义,属于基础题.24.以下为真命题的是( )A .纯虚数z 的共轭复数等于z -B .若120z z +=,则12z z =C .若12z z +∈R ,则1z 与2z 互为共轭复数D .若120z z -=,则1z 与2z 互为共轭复数 答案:AD【分析】根据纯虚数的概念即可判断A 选项;根据实数、复数的运算、以及共轭复数的定义即可判断BCD 选项.【详解】解:对于A ,若为纯虚数,可设,则,即纯虚数的共轭复数等于,故A 正确;对于B解析:AD【分析】根据纯虚数的概念即可判断A 选项;根据实数、复数的运算、以及共轭复数的定义即可判断BCD 选项.【详解】解:对于A ,若z 为纯虚数,可设()0z bi b =≠,则z bi z =-=-,即纯虚数z 的共轭复数等于z -,故A 正确;对于B ,由120z z +=,得出12z z =-,可设11z i =+,则21z i =--, 则21z i =-+,此时12z z ≠,故B 错误;对于C ,设12,z a bi z c di =+=+,则()()12a c b d i R z z =++++∈,则0b d +=, 但,a c 不一定相等,所以1z 与2z 不一定互为共轭复数,故C 错误;对于D ,120z z -=,则12z z =,则1z 与2z 互为共轭复数,故D 正确.故选:AD.【点睛】本题考查与复数有关的命题的真假性,考查复数的基本概念和运算,涉及实数、纯虚数和共轭复数的定义,属于基础题.25.已知复数z a =+在复平面内对应的点位于第二象限,且2z = 则下列结论正确的是( ).A .38z =B .zC .z 的共轭复数为1+D .24z = 答案:AB【分析】利用复数的模长运算及在复平面内对应的点位于第二象限求出 ,再验算每个选项得解.【详解】解:,且,复数在复平面内对应的点位于第二象限选项A:选项B: 的虚部是选项C:解析:AB【分析】利用复数2z =的模长运算及z a =+在复平面内对应的点位于第二象限求出a ,再验算每个选项得解.【详解】解:z a =+,且2z =224a +∴=,=1a ±复数z a =+在复平面内对应的点位于第二象限1a ∴=-选项A : 3323(1(1)+3(1)+3(1)8-=---+=选项B : 1z =-选项C : 1z =-的共轭复数为1z =-选项D : 222(1)(1)+2()2-=--=--故选:AB .【点睛】本题考查复数的四则运算及共轭复数,考查运算求解能力.求解与复数概念相关问题的技巧:复数的分类、复数的相等、复数的模及共轭复数的概念都与复数的实部、虚部有关,所以解答与复数相关概念有关的问题时,需把所给复数化为代数形式,即()a bi a b R ∈+,的形式,再根据题意求解.26.以下命题正确的是( )A .0a =是z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件B .满足210x +=的x 有且仅有iC .“在区间(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在区间(),a b 内单调递增”的充分不必要条件D .已知()f x =()1878f x x '= 答案:AC【分析】利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A 选项的正误;解方程可判断B 选项的正误;利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C 选项的正误;利用基本初等函数的导数公式解析:AC【分析】利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A 选项的正误;解方程210x +=可判断B 选项的正误;利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C 选项的正误;利用基本初等函数的导数公式可判断D 选项的正误.综合可得出结论.【详解】对于A 选项,若复数z a bi =+为纯虚数,则0a =且0b ≠,所以,0a =是z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件,A 选项正确;对于B 选项,解方程210x +=得x i =±,B 选项错误;对于C 选项,当(),x a b ∈时,若()0f x '>,则函数()f x 在区间(),a b 内单调递增, 即“在区间(),a b 内()0f x '>”⇒“()f x 在区间(),a b 内单调递增”.反之,取()3f x x =,()23f x x '=,当()1,1x ∈-时,()0f x '≥, 此时,函数()y f x =在区间()1,1-上单调递增,即“在区间(),a b 内()0f x '>”⇐/“()f x 在区间(),a b 内单调递增”.所以,“在区间(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在区间(),a b 内单调递增”的充分不必要条件.C 选项正确;对于D 选项,()11172488f x x x ++===,()1878f x x -'∴=,D 选项错误. 故选:AC.【点睛】本题考查命题真假的判断,涉及充分条件与必要条件的判断、实系数方程的根以及导数的计算,考查推理能力与计算能力,属于中等题.27.已知复数z ,下列结论正确的是( )A .“0z z +=”是“z 为纯虚数”的充分不必要条件B .“0z z +=”是“z 为纯虚数”的必要不充分条件C .“z z =”是“z 为实数”的充要条件D .“z z ⋅∈R ”是“z 为实数”的充分不必要条件 答案:BC【分析】设,可得出,利用复数的运算、复数的概念结合充分条件、必要条件的定义进行判断,从而可得出结论.【详解】设,则,则,若,则,,若,则不为纯虚数,所以,“”是“为纯虚数”必要不充分解析:BC【分析】设(),z a bi a b R =+∈,可得出z a bi =-,利用复数的运算、复数的概念结合充分条件、必要条件的定义进行判断,从而可得出结论.【详解】设(),z a bi a b R =+∈,则z a bi =-, 则2z z a +=,若0z z +=,则0a =,b R ∈,若0b =,则z 不为纯虚数, 所以,“0z z +=”是“z 为纯虚数”必要不充分条件; 若z z =,即a bi a bi +=-,可得0b =,则z 为实数,“z z =”是“z 为实数”的充要条件;22z z a b ⋅=+∈R ,z ∴为虚数或实数,“z z ⋅∈R ”是“z 为实数”的必要不充分条件.故选:BC.【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断,同时也考查了共轭复数、复数的基本概念的应用,考查推理能力,属于基础题.28.已知复数i z a b =+(a ,b ∈R ,i 为虚数单位),且1a b +=,下列命题正确的是( ) A .z 不可能为纯虚数B .若z 的共轭复数为z ,且z z =,则z 是实数C .若||z z =,则z 是实数D .||z 可以等于12答案:BC【分析】根据纯虚数、共轭复数、复数的模、复数为实数等知识,选出正确选项.【详解】当时,,此时为纯虚数,A 错误;若z 的共轭复数为,且,则,因此,B 正确;由是实数,且知,z 是实数,C 正确;由解析:BC【分析】根据纯虚数、共轭复数、复数的模、复数为实数等知识,选出正确选项.【详解】当0a =时,1b =,此时z i 为纯虚数,A 错误;若z 的共轭复数为z ,且z z =,则a bi a bi +=-,因此0b =,B 正确;由||z 是实数,且||z z =知,z 是实数,C 正确;由1||2z =得2214a b +=,又1a b +=,因此28830a a -+=,64483320∆=-⨯⨯=-<,无解,即||z 不可以等于12,D 错误. 故选:BC【点睛】本小题主要考查复数的有关知识,属于基础题.29.已知复数202011i z i+=-(i 为虚数单位),则下列说法错误的是( )A .z 的实部为2B .z 的虚部为1C .z i =D .||z =答案:AC【分析】根据复数的运算及复数的概念即可求解.【详解】因为复数,所以z 的虚部为1,,故AC 错误,BD 正确.故选:AC解析:AC【分析】根据复数的运算及复数的概念即可求解.【详解】 因为复数2020450511()22(1)11112i i i z i i i i +++=====+---,所以z 的虚部为1,||z =故AC 错误,BD 正确.故选:AC30.已知i 为虚数单位,则下列选项中正确的是( )A .复数34z i =+的模5z =B .若复数34z i =+,则z (即复数z 的共轭复数)在复平面内对应的点在第四象限C .若复数()()2234224m m m m +-+--i 是纯虚数,则1m =或4m =-D .对任意的复数z ,都有20z答案:AB【分析】求解复数的模判断;由共轭复数的概念判断;由实部为0且虚部不为0求得值判断;举例说明错误.【详解】解:对于,复数的模,故正确;对于,若复数,则,在复平面内对应的点的坐标为,在第四解析:AB【分析】求解复数的模判断A ;由共轭复数的概念判断B ;由实部为0且虚部不为0求得m 值判断C ;举例说明D 错误.【详解】解:对于A ,复数34z i =+的模||5z ==,故A 正确;对于B ,若复数34z i =+,则34z i =-,在复平面内对应的点的坐标为(3,4)-,在第四象限,故B 正确;对于C ,若复数22(34)(224)m m m m i +-+--是纯虚数,则223402240m m m m ⎧+-=⎨--≠⎩,解得1m =,故C 错误; 对于D ,当z i 时,210z =-<,故D 错误.故选:AB .【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,考查复数模的求法,属于基础题.。
高中数学复数练习题含答案
高中数学复数练习题含答案一、单选题1.若复数z 在复平面内对应的点为(1,1),则其共轭复数z 的虚部是( ) A .i B .i - C .1 D .1- 2.设复数z 满足()1i 2i z -=,则z 在复平面内对应的点在第几象限.( ) A .一 B .二 C .三 D .四 3.已知复数12z i =-,则z 在复平面内对应的点关于虚轴对称的点是( ) A .(1,2)-B .(1,2)C .(2,1)-D .(1,2)--4.已知复数z 满足()2i 32i +=+z 则||z =( ) A .655B .13C .3D .155.复数3i(43i )-在复平面内对应的点位于( ) A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限6.如图,在复平面内,复数z 对应的点为P ,则复数i=z ⋅( )A .2i -B .12i -C .1+2i -D .2i --7.已知复数z 满足(1i)32i +=+z ,则z 的虚部为( ) A .12 B .1i 2-C .12-D .1i 28.设复数z 1=1+i ,z 2=x +2i(x ∈R),若z 1z 2∈R ,则x 等于( ) A .-2 B .-1 C .1 D .29.已知复数13i z a =-,22i z =+(i 为虚数单位),若12z z 是纯虚数,则实数=a ( ) A .32-B .32C .6-D .610.复数2i z =-(i 为虚数单位)的虚部为( ) A .2B .1C .iD .1-11.向量a =(-2,1)所对应的复数是( )A .z =1+2iB .z =1-2iC .z =-1+2iD .z =-2+i 12.复数z 满足(2)i z z =+,则z =( ) A .1i + B .1i -C .1i -+D .1i --13.若复数z 满足()12i 10z -=,则( )A .24i z =+B .2z +是纯虚数C .复数z 在复平面内对应的点在第三象限D .若复数z 在复平面内对应的点在角α的终边上,则sin α=14.2021i 1i-=( )A .11i 22+ B .11i 22-- C .11i 22-+D .11i 22-15.设i 12z =+,则在复平面内z 的共轭复数z 对应的点位于( ) A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限16.若复数z 满足1i 1i 2z +=+,则z 在复平面内所对应的点位于( ) A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限17.已知复数z 满足()43i 5i z +=,则z =( )A .1B C .15D .518.已知复数1i z a =+(a R ∈),则1a =是z = ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件19.复数z 在复平面内对应点的坐标为(-2,4),则1z +=( )A .3B .4CD 20.设z 的共轭复数是z ,若4i z z -=,8z z ⋅=,则z =( )A .22i --B .22i +C .22i -+D .22i +或22i -+二、填空题21.设复数1z ,2z 满足11z =,22z =,121z z -=,则12z z +=________.22.已知i 是虚数单位,则202220221i 1i ⎛+⎛⎫+= ⎪ -⎝⎭⎝⎭________.23.已知复数z 满足211iz -=+,则z 的最小值为___________; 24.若复数z 满足i 2022i z ⋅=-(i 是虚数单位),则z 的虚部是___________. 25.已知i34i z =+,求|z |=___________26.已知复数ππsin i cos 33z =+,则z =________. 27.复数2ii 1+-的共轭复数是_______. 28.复数1i z =+(其中i 为虚数单位)的共轭复数z =______.29.设复数i 12z =+(i 是虚数单位),则在复平面内,复数2z 对应的点的坐标为________.30.若复数()2(2)9i()z m m m R =++-∈是正实数,则实数m 的值为________.31.若z 1=2-i ,z 2=-12+2i ,则z 1,z 2在复平面上所对应的点为Z 1,Z 2,这两点之间的距离为________.32.已知复数1i z =+,则2z z+=____________33.若复数()2i m m m -+为纯虚数,则实数m 的值为________.34.已知复数z 满足1z =,则22z i +-的最大值为______.35.若存在复数z 同时满足i 1z -=,33i z t -+=,则实数t 的取值范围是_______.36.若z 1=a +2i ,z 2=3-4i ,且12z z 为纯虚数,则实数a 的值为________.37.若2z =,arg 3z π=,则复数z =________.38.复数1077(cosisin )66ππ+表示成代数形式为________. 39i 对应的向量绕原点按逆时针方向旋转90,则所得向量对应的复数为________.40.已知复数3i (2i)z =⋅-,则z 的虚部为__________. 三、解答题41.已知z 是虚数,求证:4z z+是实数的充要条件是2z =.42.实数k 为何值时,复数()()223456i z k k k k =--+--是:(1)实数? (2)虚数? (3)纯虚数?43.在复数集C 内方程610x -=有六个根分别为123456ωωωωωω,,,,, (1)解出这六个根;(2)在复平面内,这六个根对应的点分别为A ,B ,C ,D ,E ,F ;求多边形ABCDEF 的面积 .44.(1)已知设方程α,β是方程220x x a ++=的两根,其中a R ∈,则||||αβ+的值;(2)关于x 的方程243i 0x ax +++=有实根,其中a C ∈,求||a 的最小值,并求取得最小值时方程的根.45.下列复数是不是三角形式?如果不是,把它们表示成三角形式. (1)1ππcos isin 244⎛⎫- ⎪⎝⎭; (2)1ππcos isin 233⎛⎫-+ ⎪⎝⎭; (3)13π3πsin isin 244⎛⎫+ ⎪⎝⎭; (4)7π7πcos isin 55+.【参考答案】一、单选题 1.D 2.B 3.D 4.A 5.B 6.D 7.A 8.A 9.A 10.D 11.D 12.C14.C 15.D 16.D 17.A 18.A 19.C 20.D 二、填空题21 22231##1-24.2022- 25.15##0.2 26.1 27.13i 22-+ 28.1i -##i+1-29.()34-,30.331 32.33.1 34.1 35.[]4,6 36.8337.11+ 38.-5i##-5i -39.1-1-40.-2 三、解答题41.证明见解析 【解析】 【分析】设()i ,,0z x y x y R y =+∈≠,由复数运算化简得2222444i xyz x y z x y x y⎛⎫⎛⎫+=++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭;当2z =时,可得42z x R z +=∈,证得充分性;当4z z+是实数时,可得224x y +=,必要性得证;由此可得结论.【详解】设()i ,,0z x y x y R y =+∈≠, 则2222224444i 44i i i i x y x y z x y x y x y zx y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫-+=++=++=++- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭. 当2z =时,224x y +=,则2240y y x y -=+,2242xx x R x y +=∈+, 42z x R z ∴+=∈,即4z z +是实数,充分性成立; 当4z z+是实数时,2240yy x y-=+,又0y ≠,224x y ∴+=,即2z =,必要性成立;4z z∴+是实数的充要条件是2z =. 42.(1)6k =或1k =-; (2)6k ≠且1k ≠-; (3)4k =; (4)1k =-. 【解析】 【分析】(1)解方程2560k k --=即得解; (2)解不等式2560k k --≠即得解;(3)解不等式2560k k --≠,且2340k k --=即得解; (4)解方程2560k k --=,且2340k k --=即得解. (1)解:当2560k k --=,即6k =或1k =-时,z 是实数; (2)解:当2560k k --≠,即6k ≠且1k ≠-时,z 是虚数; (3)解:当2560k k --≠,且2340k k --=,z 是纯虚数,即4k =时为纯虚数;(4)解:当2560k k --=,且2340k k --=,即1k =-时,z 是0.43.(1)12345611111,1,2222ωωωωωω==-=-=-=+=-【解析】 【分析】(1)原式可因式分解为22(1)(1)(1)(1)0x x x x x x -+++-+=,令21=0x x ++,设i,,x a b a b R =+∈可求解出21=0x x ++的两个虚根,同理可求解21=0x x -+的两个虚根,即得解;(2)六个点构成的图形为正六边形,边长为1,计算即可 (1)由题意,610x -=22(1)(1)(1)(1)0x x x x x x ∴-+++-+=当21=0x x ++时,设i,,x a b a b R =+∈故222(i)i 1=+1(2)i=0a b a b a b a ab b ++++-+++, 所以22+1=2=0a b a ab b -++解得:1,2a b =-=12x =- 当21=0x x -+时,设i,,x c d c d R =+∈ 故222(i)i 1=1(2)i=0c d c d c d c cd d +--+--++- 所以221=2=0c d c cd d --+-解得:1,2c d ==,即12x =±故:12345611111,1,2222ωωωωωω==-=-+=--=+=- (2)六个根对应的点分别为A ,B ,C ,D ,E ,F ,其中1111(1,0),(1,0),((,((,2222A B C D E F --- 在复平面中描出这六个点如图所示:六个点构成的图形为正六边形,边长为1 故233361S ==44.(1)()()()2102021a a a a a a αβ⎧-<⎪+=≤≤⎨⎪>⎩;(2)min ||32a =53i)+或53i)+.【解析】 【分析】(1)求出判别式4(1)a ∆=-,对a 分类讨论:当01a 时,当0a <时,当1a >时三种情况,分别求出||||αβ+;(2)设0x 为方程的实根,代入原方程,表示出a ,利用基本不等式求出||a 的最小值,并求取得最小值时方程的根. 【详解】(1)判别式444(1)a a ∆=-=-, ①若0∆,即1a ,则α,β是实根,则2αβ+=-,a αβ=,则2222(||||)2||()22||422||a a αβαβαβαβαβαβ+=++=+-+=-+, 故||||422||a a αβ+-+,当01a 时,||||2αβ+=, 当0a <时,||||1a αβ+=-②若∆<0,即1a >,则α,β是虚根,11i a α=--,11i a β=--,故||||2112a aαβ+=+-=综上:()()()0201a a a a αβ⎧<⎪+=≤≤⎨⎪>⎩.(2)设0x 为方程的实根,则20043i 0x ax +++=, 所以00043i a x x x =---, 则20020004325||2()2()2818a x x xx x =++=++, 当202025x x =即0x =||min a =当0x =3i)+,当0x =3i)+. 45.(1)不是三角形式,化为三角形式为17π7πcos isin244⎛⎫+ ⎪⎝⎭; (2)不是三角形式,化为三角形式为14π4πcos isin233⎛⎫+ ⎪⎝⎭; (3)不是三角形式,化为三角形式为1ππcos isin 244⎛⎫+ ⎪⎝⎭;(4)是三角形式. 【解析】 【分析】直接利用复数的三角形式求解即可. (1)1ππcos isin 244⎛⎫- ⎪⎝⎭不是三角形式, 1ππcos isin 244⎛⎫- ⎪⎝⎭12⎫=⎪⎪⎝⎭=,其中12r ==,故三角形式为12⎫⎪⎪⎝⎭17π7πcos isin 244⎛⎫=+ ⎪⎝⎭; (2)1ππcos isin 233⎛⎫-+ ⎪⎝⎭不是三角形式, 1ππcos isin 233⎛⎫-+ ⎪⎝⎭1122⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭14=-,其中12r ==,故三角形式为1122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭14π4πcos isin 233⎛⎫=+ ⎪⎝⎭; (3)13π3πsinisin 244⎛⎫+ ⎪⎝⎭不是三角形式,13π3πsin isin 244⎛⎫+ ⎪⎝⎭12⎫=⎪⎪⎝⎭,12r ==,故三角形式为12⎫⎪⎪⎝⎭1ππcos isin 244⎛⎫=+ ⎪⎝⎭; (4)7π7πcosisin 55+是三角形式.。
高中数学第七章复数考点专题训练(带答案)
高中数学第七章复数考点专题训练单选题1、若复数z =21+i ,其中i 为虚数单位,则z =( )A .1+iB .1−iC .−1+iD .−1−i答案:B分析:复数的除法运算,分子分母同时乘以分母的共轭复数,化简即可.z =21+i =2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i 故选:B.2、设i 为虚数单位,a ∈R ,“复数z =a 22−i 20201−i 不是纯虚数“是“a ≠1”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件答案:A分析:先化简z ,求出a ,再判断即可.z =a 22−i 20201−i =a 22−11−i =a 22−1+i (1−i )(1+i )=a 22−12−12i , z 不是纯虚数,则a 22−12≠0,所以a 2≠1,即a ≠±1,所以a ≠±1是a ≠1的充分而不必要条件.故选:A .小提示:本题主要考查根据复数的类型求参数,考查充分条件和必要条件的判断,考查逻辑思维能力和计算能力,属于常考题.3、z 1、z 2是复数,则下列结论中正确的是( )A .若z 12+z 22>0,则z 12>−z 22B .|z 1−z 2|=√(z 1+z 2)2−4z 1⋅z 2C .z 12+z 22=0⇔z 1=z 2=0D .|z 12|=|z 1|2答案:D解析:举反例z 1=2+i ,z 2=2−i 可判断选项A 、B ,举反例,z 2=i 可判断选项C ,设z 1=a +bi ,11z(a,b∈R),分别计算|z12|、|z1|2即可判断选项D,进而可得正确选项.对于选项A:取z1=2+i,z2=2−i,z12=(2+i)2=3+2i,z22=(2−i)2=3−2i,满足z12+z22=6>0,但z12与z22是两个复数,不能比较大小,故选项A不正确;对于选项B:取z1=2+i,z2=2−i,|z1−z2|=|2i|=2,而√(z1+z2)2−4z1⋅z2=√42−4(2+i)(2−i)=√16−20无意义,故选项B不正确;对于选项C:取,z2=i,则z12+z22=0,但是z1≠0,z2≠0,故选项C不正确;对于选项D:设z1=a+bi,(a,b∈R),则z12=(a+bi)2=a2−b2+2abi|z12|=√(a2−b2)2+4a2b2=√(a2+b2)2=a2+b2,z1=a−bi,|z1|=√a2+b2,所以|z1|2=a2+b2,所以|z12|=|z1|2,故选项D正确.故选:D.4、已知i为虚数单位,则i+i2+i3+⋅⋅⋅+i2021=()A.i B.−i C.1D.-1答案:A分析:根据虚数的运算性质,得到i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0,得到i+i2+i3+⋅⋅⋅+i2021=i2021,即可求解.根据虚数的性质知i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=1+i−1−i=0,所以i+i2+i3+⋅⋅⋅+i2021=505×0+i2021=i.故选:A.5、已知复数z=1+i,z是z的共轭复数,若z·a=2+bi,其中a,b均为实数,则b的值为()A.-2B.-1C.1D.2答案:A分析:根据共轭复数的定义,结合复数的运算性质和复数相等的性质进行求解即可.因为z=1+i,所以z=1−i,因此z=2+bia =2a+bai=1−i,所以2a =1且ba=−1,则a=2,b=−2.11z故选:A6、在复平面内,复数z对应的点的坐标是(1,−2),则zi的共轭复数为()A.1−2i B.1+2i C.2+i D.2−i答案:D分析:依题意根据复数的几何意义得到z=1−2i,再根据复数代数形式的乘法运算及共轭复数的概念计算可得.解:由题知,z=1−2i,则zi=(1−2i)i=2+i,所以zi=2−i,故选:D.7、若i(1−z)=1,则z+z=()A.−2B.−1C.1D.2答案:D分析:利用复数的除法可求z,从而可求z+z.由题设有1−z=1i =ii2=−i,故z=1+i,故z+z=(1+i)+(1−i)=2,故选:D8、若z=1+i.则|iz+3z|=()A.4√5B.4√2C.2√5D.2√2答案:D分析:根据复数代数形式的运算法则,共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出.因为z=1+i,所以iz+3z=i(1+i)+3(1−i)=2−2i,所以|iz+3z|=√4+4=2√2.故选:D.多选题9、已知复数z满足(1+i3)z=2,则下列说法中正确的有()A.z的虚部是iB.|z|=√2C.z⋅z=2D.z2=2答案:BC分析:根据复数的除法运算求出z,结合相关概念以及复数乘法运算即可得结果.z=21+i3=21−i=1+i,其虚部为1,|z|=√2,z⋅z=(1+i)(1−i)=2,z2=(1+i)2=2i≠2.故选:BC.10、欧拉公式e xi=cosx+isinx(其中i为虚数单位,x∈R)是由瑞士著名数学家欧拉创立的,该公式将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数与指数函数之间的关系,在复变函数论里面占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”,依据欧拉公式,下列选项正确的是()A.复数e2i对应的点位于第三象限B.eπ2i为纯虚数C.复数xi√3+i 的模等于12D.eπ6i的共轭复数为12−√32i答案:BC分析:根据欧拉公式写出e2i=cos2+isin2、eπ2i=cosπ2+isinπ2、eπ6i=cosπ6+isinπ6,再判断复数所在象限、类型及求模长、共轭复数.由题知e2i=cos2+isin2,而cos2<0,sin2>0,则复数e2i对应的点位于第二象限,故A错误;eπ2i=cosπ2+isinπ2=i,则eπ2i为纯虚数,故B正确;xi √3+i =√3+i=√3−i)(√3+i)(√3−i)=√3cosx+sinx4+√3sinx−cosx4i,则xi√3+i的模为√(√3cosx+sinx4)2+(√3sinx−cosx4)2=√3cos2x+sin2x+3sin2x+cos2x16=12,故C正确;eπ6i=cosπ6+isinπ6=√32+12i,其共轭复数为√32−12i,故D错误.故选:BC11、设复数z1,z2满足z1+z2=0,则()A.z1=z2B.|z1|=|z2|C.若z1(2−i)=3+i,则z1z2=−2i D.若|z1−(1+√3i)|=1,则1≤|z2|≤3答案:BCD分析:由待定系数法先假设z1=a+bi,则z2=−a−bi,根据共轭复数的概念判断A选项,根据模长的公式判断B选项,根据复数的运算法则判断C选项,根据复数的几何意义判断D选项.设复数z1=a+bi,由z1+z2=0,所以z2=−a−bi,因此:z1=a−bi≠z2,故A选项错误;因为|z1|=√a2+b2,|z2|=√(−a)2+(−b)2=√a2+b2,所以B选项正确;因为z1(2−i)=3+i,所以z1=3+i2−i=1+i,则z2=−1−i所以z1z2=(1+i)(−1−i)=−2i,所以C选项正确;因为|z1−(1+√3i)|=1,根据复数的几何意义可知,复数z1=a+bi所表示的点(a,b)的轨迹是以(1,√3)为圆心,1为半径的圆,则由对称性可知,复数z2=−a−bi所表示的点(−a,−b)的轨迹是以(−1,−√3)为圆心,1为半径的圆,由|z2|的几何意义表示点(−a,−b)与(0,0)间的距离,由图可知:1≤|z2|≤3,故D选项正确;故选:BCD.小提示:本题主要考查了复数的几何意义以及复数的乘除运算,在求解过程中始终利用i2=−1对式子进行化简,而复数的几何意义有两个,一个是点对应,一个是向量对应,在解题中要清楚.12、对任意复数z=a+bi(a,b∈R),i为虚数单位,则下列结论中正确的是()A.z−z=2a B.|z|=|z|C.z+z=2a D.z+z=2bi答案:BC分析:写出共轭复数,然后计算判断各选项.由已知z=a−bi,因此z−z=2bi,z+z=2a,|z|=√a2+b2=|z|.故选:BC.13、欧拉公式e xi=cosx+isinx(其中i为虚数单位,x∈R),是由瑞士著名数学家欧拉创立的,公式将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数与指数的数的关联,在复变函数论里面占有非常重要的地位,被誉为数学中的天桥,依据欧拉公式,下列选项能确的是()A.复数e2i对应的点位于第三象限B.eπi2为纯虚数C.eπi3的共轭复数为12−√32i;D.复数xi√3+i的模长等于12答案:BCD分析:对于A,e2i=cos2+isin2,根据2∈(π2,π),即可判断出;对于BCD,根据欧拉公式e xi=cosx+ isinx逐项计算,然后判断正误即可.解:对于A,由于e2i=cos2+isin2,∵2∈(π2,π),∴cos2∈(−1,0),sin2∈(0,1),∴e2i表示的复数在复平面中位于第二象限,故A错误;对于B,e π2i=cosπ2+isinπ2=i,可得eπ2i为纯虚数,故B正确;对于C,e π3i=cosπ3+isinπ3=12+√32i,∴eπ3i的共轭复数为12−√32i,故C正确.对于D,xi√3+i =√3+i=√3−i)(√3+i)(√3−i)=√3cosx+sinx4+√3sinx−cosx4i,可得其模的长为√(√3cosx+sinx4)2+(√3sinx−cosx4)2=√3cos2x+2√3sinxcosx+sin2x16+3sin2x−2√3sinxcosx+cos2x16=12,故D正确;故选:BCD.填空题14、已知复数z=√3+i(1−√3i)2,则z·z=________.答案:14分析:化简z,计算z·z即可.z=√3+i(1−√3i)2=√3i2(1−√3i)2=√3i)(1−√3i)2=1−√3i=√3i)(1−√3i)(1+√3i)=−√34+i4z=−√34−i4z⋅z=316+116=14所以答案是:1415、若非零复数x,y满足x2+xy+y2=0,则(xx+y )2020+(yx+y)2020的值是___________.答案:−1分析:由题设有xy =−1±√3i2、xy+1=−(xy)2易得(xy)3n=1,同理(yx)3n=1,n∈N∗,而xx+y=−yx,yx+y=−xy,由此可知(xx+y )2020+(yx+y)2020=yx+xy,即可求值.由题设有:(xy )2+xy+1=0,解得xy=−1±√3i2,且xy+1=−(xy)2,∴(xy )3=1,即(xy)3n=1,同理有(yx)3n=1,n∈N∗,x x+y =x(x+y)(x+y)2=x2+xyx2+2xy+y2,yx+y=y(x+y)(x+y)2=y2+xyx2+2xy+y2,又x2+xy+y2=0,∴xx+y =−y2xy=−yx,yx+y=−x2xy=−xy,∴(xx+y )2020+(yx+y)2020=(yx)2020+(xy)2020=(yx)3×673+1+(xy)3×673+1=yx+xy=−1,所以答案是:−1.16、若复数z1=sinπ3−icosπ6,z2=2+3i,则|z1|________|z2|(填“>”“<”或“=”).答案:<分析:由复数模的计算公式,分别计算出|z1|和|z2|,即可比较大小.|z1|=√sin2π3+cos2π6=√34+34=√62,|z2|=√22+32=√13.因为√62=√32<√13,所以|z1|<|z2|.所以答案是:<解答题17、已知复数z1=4-m2+(m-2)i,z2=λ+2sin θ+(cos θ-2)i(其中i是虚数单位,m,λ,θ∈R).(1)若z1为纯虚数,求实数m的值;(2)若z1=z2,求实数λ的取值范围.答案:(1)-2;(2)[2,6]分析:(1)z 1为纯虚数,则其实部为0,虚部不为0,解得参数值;(2)由z 1=z 2,实部、虚部分别相等,求得λ关于θ的函数表达式,根据sinθ的范围求得参数取值范围.(1)由z 1为纯虚数,则{4−m 2=0,m −2≠0,解得m =-2. (2)由z 1=z 2,得{4−m 2=λ+2sinθ,m −2=cosθ−2,∴λ=4-cos 2θ-2sin θ=sin 2θ-2sin θ+3=(sinθ−1)2+2. ∵-1≤sin θ≤1,∴当sin θ=1时,λmin =2,当sin θ=-1时,λmax =6,∴实数λ的取值范围是[2,6].18、已知m ∈R ,α、β是关于x 的方程x 2+2x +m =0的两根.(1)若|α−β|=2√2,求m 的值;(2)用m 表示|α|+|β|.答案:(1)−1或3;(2)|α|+|β|={2√m,m >12,0≤m ≤12√1−m,m <0.分析:(1)由α、β是关于x 的方程x 2+2x +m =0的两根.可得α+β=−2,αβ=m ,对α,β分为实数,与一对共轭虚根即可得出.(2)不妨设α⩽β,对m 及其判别式分类讨论,利用根与系数的关系即可得出.解:(1)∵α、β是关于x 的方程x 2+2x +m =0的两根.∴α+β=−2,αβ=m ,若α,β为实数,即Δ=4−4m ≥0,解得m ≤1时;则2√2=|α−β|=√(α+β)2−4αβ=√4−4m ,解得m =−1.若α,β为一对共轭复数,即Δ=4−4m<0,解得m>1时;则2√2=|α−β|=√(α+β)2−4αβ=|√4m−4i|,解得m=3.综上可得:m=−1或3.(2)因为x2+2x+m=0,不妨设α⩽β.Δ=4−4m⩾0,即m⩽1时,方程有两个实数根.α+β=−2,αβ=m,0⩽m⩽1时,|α|+|β|=|α+β|=2.m<0时,α与β必然一正一负,则|α|+|β|=−α+β=√(α+β)2−4αβ=2√1−m.Δ=4−4m<0,即m>1时,方程有一对共轭虚根.|α|+|β|=2|α|=2√α2=2√m综上可得:|α|+|β|={2√m,m>1 2,0⩽m⩽12√1−m,m<0.。
高中数学复数试题及答案
高中数学复数试题及答案一、选择题(每题5分,共30分)1. 若复数z满足\( z^2 + z + 1 = 0 \),则\( z^3 \)的值为:A. 1B. -1C. iD. -i答案:A2. 复数\( \frac{1+i}{1-i} \)的实部是:A. 1B. 0C. -1D. 2答案:A3. 复数\( z = a + bi \)(其中a, b为实数)在复平面上的对应点位于:A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限答案:B4. 若复数\( z \)的模为1,则\( z \)在复平面上对应的点位于:A. 原点B. 单位圆上C. 虚轴上D. 实轴上答案:B5. 复数\( z = 3 - 4i \)的共轭复数是:A. 3 + 4iB. -3 + 4iC. 3 - 4iD. -3 - 4i答案:A6. 复数\( z = 2 + 3i \)的模是:A. \( \sqrt{13} \)B. 5C. 13D. \( \sqrt{5} \)答案:A二、填空题(每题5分,共20分)1. 复数\( z = 4 - 3i \)的共轭复数是______。
答案:4 + 3i2. 若复数\( z \)满足\( z^2 = -4 \),则\( z \)的值为______。
答案:2i 或 -2i3. 复数\( z = 1 + 2i \)的模是______。
答案:\( \sqrt{5} \)4. 复数\( z = a + bi \)(其中a, b为实数)在复平面上的对应点位于第一象限,则a和b的符号分别为______。
答案:正,正三、解答题(每题10分,共50分)1. 已知复数\( z_1 = 2 + 3i \),\( z_2 = 1 - 4i \),求\( z_1 \)和\( z_2 \)的和。
答案:\( z_1 + z_2 = (2 + 1) + (3 - 4)i = 3 - i \)2. 已知复数\( z = 3 - 4i \),求\( z \)的模。
高中复数经典练习题(含答案)
高中复数经典练习题(含答案)一、单选题1.已知m 为实数,则“1m =”是“复数()211i z m m =-++为纯虚数”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件2.设集合A 实数 ,{}B =纯虚数,{}C =复数,若全集SC ,则下列结论正确的是( ) A .AB C =B .A B =C .()S A B ⋂=∅D .SSABC3.复数 21(1)i 1z a a =+--是实数,则实数a 的值为( ) A .1或-1 B .1 C .-1D .0或-14.已知复数5i1iz -=+(i 为虚数单位),则z 的共轭复数z =( ) A .23i +B .24i -C .33i +D .24i +5.已知 i 是虚数单位,复数412⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭在复平面内对应的点位于( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 6.在复平面内,复数z 满足()1i 3i z -=-+,则复数z 对应的点位于( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 7.复数3i(43i )-在复平面内对应的点位于( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 8.2243i 4i a a a a --=+,则实数a 的值为( )A .1B .1或4-C .4-D .0或4- 9.已知复数12z i =-,则z 在复平面内对应的点关于虚轴对称的点是( )A .(1,2)-B .(1,2)C .(2,1)-D .(1,2)--10.复数20222i 1iz =+(其中i 为虚数单位),则z 在复平面内对应的点位于( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限11.在复平面内O 为坐标原点,复数()1i 43i z =-+,27i z =+对应的点分别为12,Z Z ,则12Z OZ ∠的大小为( )A .3πB .23π C .34π D .56π12.已知复数z 满足(12i)43i z -=-(i 为虚数单位),则z =( ) AB .5C D .213.已知复数23i z =-,则()1i z +=( ) A .3i - B .3+3i - C .3i + D .3i -+ 14.复数2i z =-(i 为虚数单位)的虚部为( ) A .2 B .1C .iD .1-15.若复数z 满足()12i 10z -=,则( )A .24i z =+B .2z +是纯虚数C .复数z 在复平面内对应的点在第三象限D .若复数z 在复平面内对应的点在角α的终边上,则sin α=16.已知34i z =+,则()i z z -=( ) A .1117i + B .1917i + C .1117i - D .1923i +17.已知z1,z 2∈C ,|z 1+z 2|=|z 1|=2,|z 2|=2,则|z 1-z 2|等于( ) A .1 B .12 C .2 D .18.向量a =(-2,1)所对应的复数是( )A .z =1+2iB .z =1-2iC .z =-1+2iD .z =-2+i19.复数1i1i+-(i 为虚数单位)的共轭复数的虚部等于( ) A .1B .1-C .iD .i -20.设i 为虚数单位,则)10i 的展开式中含2x 的项为( )A .6210C x - B .6210C x C .8210C x -D .8210C x 二、填空题21.若i 为虚数单位,复数z 满足42ii 12iz --=+,则z =___________.22.若复数z 满足i 2022i z ⋅=-(i 是虚数单位),则z 的虚部是___________. 23.已知复数ππsin i cos 33z =+,则z =________. 24.复数2ii 1+-的共轭复数是_______. 25.若复数2iiz -=-,则z =_______. 26.设m ∈R ,复数z =(2+i )m 2-3(1+i )m -2(1-i ),若z 为非零实数,则m =________.27.若复数(1i)+(2+3i)z =-(i 为虚数单位),则z =__________.28.已知复数1i z =+,则2z z+=____________29.在复平面内,复数1z 和2z 对应的点分别是(21)A ,和(01)B ,,则12z z =_______. 30.若()i 1)(,x y x x y R +=-∈,则2x y +的值为__________. 31.设i 为虚数单位,则复数2(1i)1i+-=____.32.若复数1z ,2z 满足112i z =-,234i z =+(i 是虚数单位),则12z z ⋅的虚部为___________.33.已知复数z 满足()1i 42i -=+z ,则z =_________.34.若存在复数z 同时满足i 1z -=,33i z t -+=,则实数t 的取值范围是_______. 35.复数1515cos77isin ππ+的辐角主值是________. 36.已知m R ∈,复平面内表示复数()3i m m --的点位于第三象限内,则m 的取值范围是____________37.i 是虚数单位,则1i1i+-的值为__________.38.方程()()2223256i 0x x x x --+-+=的实数解x =________.39.设i是虚数单位,复数z =,则z =___________. 40.已知复数z =,则复数z 的虚部为__________. 三、解答题41.设复数z满足:()2i z 在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上,且1z -是z 和2z -的等比中项,求z .42.已知复数2(2)()i z m m m =-+-,其中i 是虚数单位,m 为实数. (1)当复数z 为纯虚数时,求m 的值;(2)当复数z 在复平面内对应的点位于第三象限时,求m 的取值范围.43.已知O 为坐标原点,向量12,OZ OZ 分别对应复数12z z ,,且12i z +和12iz-均为实数,211iz z =+,(z 为z 的共轭复数). (1)求复数1z 和2z ;(2)求以12,OZ OZ 为邻边的平行四边形的面积.44.已知复数()()2224i z m m m =--+-(其中,m R ∈,i 为虚数单位)在①0z >;②z 为纯虚数;③z 的实部与虚部相等.这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答问题. (1)若______,求实数m 的值;(2)若复数2(1i)1z m -++的模为5,求实数m 的值.45.已知ABC 中,AB ,AC 对应的复数分别为12i -+,23i --,通过几何作图求出这两个复数和与差对应的向量.【参考答案】一、单选题 1.C 2.D 3.C 4.A 5.C 6.C 7.B 8.C 9.D 10.B 11.C 12.A 13.B14.D15.D16.B17.D18.D19.B20.A二、填空题21.1 22.2022-23.124.13i-+22 25.12i-26.12728.29.12i--##2i+1 30.131.1i-+ 32.-233.13i+4,6 34.[]π35.70,3 36.() 37.138.239.40.三、解答题41.1z【解析】 【分析】设()i ,z x y x y R =+∈,化简()2i z ,根据该复数对应的点在第二、四象限的角平分线上,得到x ,y 的关系,然后由2|1||||2|z z z -=⋅-,2||z z z =求解. 【详解】解:设()i ,z x y x y R =+∈,则()((2i 22i z x y y x ⎡⎤=-++⎣⎦, 因为该复数对应的点在第二、四象限的角平分线上,所以((220x y y x ⎡⎤-++=⎣⎦即y =则()i ,z x x R =∈, ∵2|1||||2|z z z -=⋅-,2||z z z =∴()()11z z --=()1z z z -++=()22212z x =-228441x x x =-+12x -=∴1z , 42.(1)2 (2)()0,1 【解析】 【分析】(1)由复数z 为纯虚数,得到220m m m -=⎧⎨-≠⎩,即可求解; (2)由复数z 在复平面内对应的点位于第三象限,得出不等式组2200m m m -<⎧⎨-<⎩,即可求解. (1)解:由题意,复数2(2)()i z m m m =-+-, 因为复数z 为纯虚数,则满足2200m m m -=⎧⎨-≠⎩,解得2m =. (2)解:由复数2(2)()i z m m m =-+-,因为复数z 在复平面内对应的点位于第三象限,可得2200m m m -<⎧⎨-<⎩,解得01m <<, 所以m 的取值范围为()0,1.43.(1)142i z =-,2z =(2)12 【解析】 【分析】(1)设()1i ,z a b a b =+∈R ,根据复数代数形式的加法、除法运算法则化简12i z + 、12iz -,再根据复数的类型求出参数a 、b ,即可求出1z ,再化简2z ,从而求出其模;(2)首先根据复数的几何意义求出1Z 、2Z 的坐标,即可求出12OZ Z S ,从而求出平行四边形的面积; (1)解:设()1i ,z a b a b =+∈R ,则由()12i 2i z a b +=++为实数,20b ∴+=b 20∴+=,2b ∴=-.则由()()()()1i 2i i 22i 2i 2i 2i 2i 55a b z a b a b a b +++-+===+---+为实数,可得205a b+=, 4a ∴=,所以142i z =-,211142i 42i i 4i i iz z =+=++=+-=+,所以2z =(2)解:因为142i z =- ,24i z =+,所以()14,2Z -、()24,1Z ,所以1214362OZ Z S =⨯⨯=, 所以以1OZ ,2OZ 为邻边的平行四边形的面积12212OZ Z S S ==.44.(1)选①, 2m =-; 选②, 1m =-; 选③, 2m =; (2)2m =或4m =-. 【解析】 【分析】(1)选①根据题意知复数为正实数,由实部大于0,虚部等于0列出式子求解,选②根据纯虚数知实部为0,虚部不为0求解,选③由实部虚部相等列方程求解;(2)化简复数,根据复数的模列出方程求解. (1)若选①,因为0z >,则222040m m m ⎧-->⎨-=⎩,解得2m =-;若选②,因为z 为纯虚数,则222040m m m ⎧--=⎨-≠⎩,解得1m =-;若选③,因为z 的实部与虚部相等,则2224m m m --=-,解得2m =. (2)因为()()22222(1i)124i i+1=(1)4i z m m m m m m m -++=--+------,所以22(1)(4)5m --+-=, 解得2m =或4m =-. 45.见解析 【解析】 【分析】分别表示出复数对应的向量,结合向量的运算求解. 【详解】以A 为复平面的坐标原点,以,AB AC 为邻边作平行四边形,如图,所以12i -+,23i --的和对应的向量为AD .()()12i 23i -+---对应的向量为CB ,如图,()()23i 12i ----+对应的向量为BC ,如图,。
高中数学复数选择题专项训练100含解析
高中数学复数选择题专项训练100含解析一、复数选择题1.已知复数1=-i z i,其中i 为虚数单位,则||z =( )A .12B .2CD .2答案:B【分析】先利用复数的除法运算将化简,再利用模长公式即可求解.【详解】由于,则.故选:B解析:B【分析】 先利用复数的除法运算将1=-i z i 化简,再利用模长公式即可求解. 【详解】 由于()(1i)(1i)111(1i)222i i i i z i i ++====-+--+,则||2z === 故选:B2.若20212zi i =+,则z =( )A .12i -+B .12i --C .12i -D .12i + 答案:C【分析】根据复数单位的幂的周期性和复数除法的运算法则进行求解即可.【详解】由已知可得,所以.故选:C解析:C【分析】根据复数单位i 的幂的周期性和复数除法的运算法则进行求解即可.【详解】由已知可得202150541222(2)21121i i i i i i z i i i i i i ⨯+++++⋅-======-⋅-,所以12z i =-. 故选:C3.若复数()()24z i i =--,则z =( )A .76i --B .76-+iC .76i -D .76i + 答案:D【分析】由复数乘法运算求得,根据共轭复数定义可求得结果.【详解】,.故选:.解析:D【分析】由复数乘法运算求得z ,根据共轭复数定义可求得结果.【详解】()()2248676z i i i i i =--=-+=-,76z i ∴=+.故选:D .4.复数312iz i =-的虚部是( )A .65i -B .35i C .35D .65-答案:C【分析】由复数除法法则计算出后可得其虚部.【详解】因为,所以复数z 的虚部是.故选:C .解析:C【分析】由复数除法法则计算出z 后可得其虚部.【详解】 因为33(12)366312(12)(12)555ii i i i i i i +-===-+--+,所以复数z 的虚部是35.故选:C .5.已知复数1z i i =+-(i 为虚数单位),则z =( )A.1 B .i C i D i答案:D【分析】先对化简,求出,从而可求出【详解】解:因为,所以,故选:D解析:D【分析】 先对1z i i =+-化简,求出z ,从而可求出z【详解】解:因为1z i i i i =+-==,所以z i =, 故选:D6.复数z 的共轭复数记为z ,则下列运算:①z z +;②z z -;③z z ⋅④z z,其结果一定是实数的是( )A .①②B .②④C .②③D .①③ 答案:D【分析】设,则,利用复数的运算判断.【详解】设,则,故,,,.故选:D.解析:D【分析】设(),z a bi a b R =+∈,则z a bi =-,利用复数的运算判断.【详解】设(),z a bi a b R =+∈,则z a bi =-, 故2z z a R +=∈,2z z bi -=,22222z a bi a b abi z a bi a b+-+==-+,22z z a b ⋅=+∈R . 故选:D.7.设复数z 满足方程4z z z z ⋅+⋅=,其中z 为复数z 的共轭复数,若z 则z 为( )A .1BC .2D .4答案:B【分析】由题意,设复数,根据共轭复数的概念,以及题中条件,即可得出结果.【详解】因为的实部为,所以可设复数,则其共轭复数为,又,所以由,可得,即,因此.故选:B.解析:B【分析】由题意,设复数(),z yi x R y R =∈∈,根据共轭复数的概念,以及题中条件,即可得出结果.【详解】因为z (),z yi x R y R =∈∈,则其共轭复数为z yi =,又z z =,所以由4z z z z ⋅+⋅=,可得()4z z z ⋅+=,即4z ⋅=,因此z = 故选:B.8.复数2i i -的实部与虚部之和为( ) A .35 B .15- C .15 D .35答案:C【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.【详解】,的实部与虚部之和为.故选:C【点睛】易错点睛:复数的虚部是,不是.【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.【详解】()()()2+1212222+555i i i i i i i i -+===-+--,2i i ∴-的实部与虚部之和为121555-+=. 故选:C【点睛】易错点睛:复数z a bi =+的虚部是b ,不是bi .9.已知i 为虚数单位,则43i i =-( ) A .2655i + B .2655i - C .2655i -+ D .2655i -- 答案:C【分析】 对的分子分母同乘以,再化简整理即可求解. 【详解】,故选:C解析:C【分析】对43i i-的分子分母同乘以3i +,再化简整理即可求解. 【详解】()()()434412263331055i i i i i i i i +-+===-+--+, 故选:C 10.已知i 是虚数单位,2i z i ⋅=+,则复数z 的共轭复数的模是( )A .5BCD .3答案:C【分析】首先求出复数的共轭复数,再求模长即可.【详解】据题意,得,所以的共轭复数是,所以.故选:C.解析:C首先求出复数z 的共轭复数,再求模长即可.【详解】 据题意,得22(2)12121i i i i z i i i ++-+====--,所以z 的共轭复数是12i +,所以z =.故选:C.11.在复平面内,复数z 对应的点的坐标是(1,1),则z i =( ) A .1i -B .1i --C .1i -+D .1i + 答案:A【分析】根据复数对应的点的坐标是,得到,再利用复数的除法求解.【详解】因为在复平面内,复数对应的点的坐标是,所以,所以,故选:A解析:A【分析】根据复数z 对应的点的坐标是(1,1),得到1z i =+,再利用复数的除法求解.【详解】因为在复平面内,复数z 对应的点的坐标是(1,1),所以1z i =+, 所以11i i i z i+==-, 故选:A12.设复数202011i z i+=-(其中i 为虚数单位),则z 在复平面内对应的点所在象限为( )A .第四象限B .第三象限C .第二象限D .第一象限 答案:A【分析】根据复数的运算,先将化简,求出,再由复数的几何意义,即可得出结果.【详解】所以,其在复平面内对应的点为,位于第四象限.故选:A.解析:A【分析】根据复数的运算,先将z 化简,求出z ,再由复数的几何意义,即可得出结果.【详解】 因为()()()()4202050550512111121111111i i i z i i i i i i i ++++======+-----+, 所以1z i =-,其在复平面内对应的点为()1,1-,位于第四象限.故选:A.13.212i i+=-( ) A .1B .−1C .i -D .i 答案:D【分析】利用复数的除法运算即可求解.【详解】,故选:D解析:D【分析】利用复数的除法运算即可求解.【详解】()()()()2221222255121212145i i i i i i i i i i i +++++====--+-, 故选:D14.已知i 是虚数单位,a 为实数,且3i 1i 2i a -=-+,则a =( ) A .2 B .1 C .-2 D .-1答案:B【分析】可得,即得.【详解】由,得a =1.故选:B .解析:B可得3(2)(1)3ai i i i -=+-=-,即得1a =.【详解】由23(2)(1)223ai i i i i i i -=+-=-+-=-,得a =1.故选:B .15.已知复数z 满足()1+243i z i =+,则z 的虚部是( )A .-1B .1C .i -D .i答案:B【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,再由共轭复数的概念求得,则答案可求.【详解】由,得,,则的虚部是1.故选:.解析:B【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简,再由共轭复数的概念求得z ,则答案可求.【详解】由(12)43i z i +=+, 得43(43)(12)105212(12)(12)5i i i i z i i i i ++--====-++-, ∴2z i =+, 则z 的虚部是1.故选:B .二、复数多选题16.已知复数cos sin 22z i ππθθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭(其中i 为虚数单位)下列说法正确的是( )A .复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B .z 可能为实数C .1z =D .1z的虚部为sin θ 答案:BC分、、三种情况讨论,可判断AB 选项的正误;利用复数的模长公式可判断C 选项的正误;化简复数,利用复数的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于AB 选项,当时,,,此时复数在复平面内的点解析:BC【分析】 分02θπ-<<、0θ=、02πθ<<三种情况讨论,可判断AB 选项的正误;利用复数的模长公式可判断C 选项的正误;化简复数1z ,利用复数的概念可判断D 选项的正误. 【详解】对于AB 选项,当02θπ-<<时,cos 0θ>,sin 0θ<,此时复数z 在复平面内的点在第四象限;当0θ=时,1z R =-∈; 当02πθ<<时,cos 0θ>,sin 0θ>,此时复数z 在复平面内的点在第一象限.A 选项错误,B 选项正确;对于C 选项,1z ==,C 选项正确;对于D 选项,()()11cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin i i z i i i θθθθθθθθθθ-===-++⋅-, 所以,复数1z 的虚部为sin θ-,D 选项错误. 故选:BC.17.下面是关于复数21i z =-+的四个命题,其中真命题是( )A .||z =B .22z i =C .z 的共轭复数为1i -+D .z 的虚部为1- 答案:ABCD【分析】先根据复数的除法运算计算出,再依次判断各选项.【详解】,,故A 正确;,故B 正确;的共轭复数为,故C 正确;的虚部为,故D 正确; 故选:ABCD.【点睛】本题考查复数的除法【分析】先根据复数的除法运算计算出z ,再依次判断各选项.【详解】()()()2121111i z i i i i --===---+-+--,z ∴==,故A 正确;()2212z i i =--=,故B 正确;z 的共轭复数为1i -+,故C 正确;z 的虚部为1-,故D 正确;故选:ABCD.【点睛】本题考查复数的除法运算,以及对复数概念的理解,属于基础题. 18.已知复数(),z x yi x y R =+∈,则( )A .20zB .z 的虚部是yiC .若12z i =+,则1x =,2y =D .z =答案:CD【分析】取特殊值可判断A 选项的正误;由复数的概念可判断B 、C 选项的正误;由复数模的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项,取,则,A 选项错误;对于B 选项,复数的虚部为,B 选项错误; 解析:CD【分析】取特殊值可判断A 选项的正误;由复数的概念可判断B 、C 选项的正误;由复数模的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项,取z i ,则210z =-<,A 选项错误;对于B 选项,复数z 的虚部为y ,B 选项错误; 对于C 选项,若12z i =+,则1x =,2y =,C 选项正确;对于D 选项,z =D 选项正确. 故选:CD.【点睛】本题考查复数相关命题真假的判断,涉及复数的计算、复数的概念以及复数的模,属于基础题.19.已知复数012z i =+(i 为虚数单位)在复平面内对应的点为0P ,复数z 满足|1|||z z i -=-,下列结论正确的是( )A .0P 点的坐标为(1,2)B .复数0z 的共轭复数对应的点与点0P 关于虚轴对称C .复数z 对应的点Z 在一条直线上D .0P 与z 对应的点Z 间的距离的最小值为答案:ACD【分析】根据复数对应的坐标,判断A 选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系,判断B 选项的正确性.设出,利用,结合复数模的运算进行化简,由此判断出点的轨迹,由此判读C 选项的正确解析:ACD【分析】根据复数对应的坐标,判断A 选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系,判断B 选项的正确性.设出z ,利用|1|||z z i -=-,结合复数模的运算进行化简,由此判断出Z 点的轨迹,由此判读C 选项的正确性.结合C 选项的分析,由点到直线的距离公式判断D 选项的正确性.【详解】复数012z i =+在复平面内对应的点为0(1,2)P ,A 正确;复数0z 的共轭复数对应的点与点0P 关于实轴对称,B 错误;设(,)z x yi x y R =+∈,代入|1|||z z i -=-,得|(1)(1)i|x yi x y -+=+-,即=y x =;即Z 点在直线y x =上,C 正确;易知点0P 到直线y x =的垂线段的长度即为0P 、Z 之间距离的最小值,结合点到直线的距2=,故D 正确. 故选:ACD【点睛】本小题主要考查复数对应的坐标,考查共轭复数,考查复数模的运算,属于基础题.20.已知i 为虚数单位,复数322i z i +=-,则以下真命题的是( ) A .z 的共轭复数为4755i - B .z 的虚部为75i C .3z = D .z 在复平面内对应的点在第一象限 答案:AD【分析】先利用复数的除法、乘法计算出,再逐项判断后可得正确的选项.【详解】,故,故A 正确.的虚部为,故B 错,,故C 错,在复平面内对应的点为,故D 正确.故选:AD.【点睛】本题考解析:AD【分析】先利用复数的除法、乘法计算出z ,再逐项判断后可得正确的选项.【详解】()()32232474725555i i i i i z i ++++====+-,故4755i z =-,故A 正确.z 的虚部为75,故B 错,355z ==≠,故C 错, z 在复平面内对应的点为47,55⎛⎫ ⎪⎝⎭,故D 正确. 故选:AD.【点睛】本题考查复数的概念、复数的运算以及复数的几何意义,注意复数(),z a bi a b R =+∈的虚部为b ,不是bi ,另外复数的除法运算是分子分母同乘以分母的共轭复数.21.已知复数1z =-(i 为虚数单位),z 为z 的共轭复数,若复数z w z =,则下列结论正确的有( )A .w 在复平面内对应的点位于第二象限B .1w =C .w 的实部为12-D .w 的虚部为2答案:ABC【分析】对选项求出,再判断得解;对选项,求出再判断得解;对选项复数的实部为,判断得解;对选项,的虚部为,判断得解.【详解】对选项由题得.所以复数对应的点为,在第二象限,所以选项正确解析:ABC【分析】对选项,A 求出1=22w -+,再判断得解;对选项B ,求出1w =再判断得解;对选项,C 复数w 的实部为12-,判断得解;对选项D ,w 的虚部为2判断得解. 【详解】对选项,A 由题得1,z =-12w ∴===-+.所以复数w 对应的点为1(2-,在第二象限,所以选项A 正确;对选项B ,因为1w ==,所以选项B 正确; 对选项,C 复数w 的实部为12-,所以选项C 正确;对选项D ,w 所以选项D 错误. 故选:ABC【点睛】 本题主要考查复数的运算和共轭复数,考查复数的模的计算,考查复数的几何意义,考查复数的实部和虚部的概念,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.22.已知复数z 满足(1﹣i )z =2i ,则下列关于复数z 的结论正确的是( )A .||z =B .复数z 的共轭复数为z =﹣1﹣iC .复平面内表示复数z 的点位于第二象限D .复数z 是方程x 2+2x +2=0的一个根答案:ABCD【分析】利用复数的除法运算求出,再根据复数的模长公式求出,可知正确;根据共轭复数的概念求出,可知正确;根据复数的几何意义可知正确;将代入方程成立,可知正确.【详解】因为(1﹣i )z =解析:ABCD【分析】利用复数的除法运算求出1z i =-+,再根据复数的模长公式求出||z ,可知A 正确;根据共轭复数的概念求出z ,可知B 正确;根据复数的几何意义可知C 正确;将z 代入方程成立,可知D 正确.【详解】因为(1﹣i )z =2i ,所以21i z i =-2(1)221(1)(1)2i i i i i i +-+===-+-+,所以||z =A 正确; 所以1i z =--,故B 正确;由1z i =-+知,复数z 对应的点为(1,1)-,它在第二象限,故C 正确;因为2(1)2(1)2i i -++-++22220i i =--++=,所以D 正确.故选:ABCD.【点睛】本题考查了复数的除法运算,考查了复数的模长公式,考查了复数的几何意义,属于基础题.23.已知复数z 满足(2i)i z -=(i 为虚数单位),复数z 的共轭复数为z ,则( )A .3||5z = B .12i 5z +=- C .复数z 的实部为1- D .复数z 对应复平面上的点在第二象限 答案:BD【分析】因为复数满足,利用复数的除法运算化简为,再逐项验证判断.【详解】因为复数满足,所以所以,故A 错误;,故B 正确;复数的实部为 ,故C 错误;复数对应复平面上的点在第二象限解析:BD【分析】因为复数z 满足(2i)i z -=,利用复数的除法运算化简为1255z i =-+,再逐项验证判断. 【详解】因为复数z 满足(2i)i z -=, 所以()(2)1222(2)55i i i z i i i i +===-+--+所以z ==A 错误; 1255z i =--,故B 正确; 复数z 的实部为15-,故C 错误; 复数z 对应复平面上的点12,55⎛⎫- ⎪⎝⎭在第二象限,故D 正确. 故选:BD【点睛】 本题主要考查复数的概念,代数运算以及几何意义,还考查分析运算求解的能力,属于基础题.24.下面四个命题,其中错误的命题是( )A .0比i -大B .两个复数当且仅当其和为实数时互为共轭复数C .1x yi i +=+的充要条件为1x y ==D .任何纯虚数的平方都是负实数 答案:ABC【分析】根据虚数不能比大小可判断A 选项的正误;利用特殊值法可判断B 选项的正误;利用特殊值法可判断C 选项的正误;利用复数的运算可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项,由于虚数不能比大小,解析:ABC【分析】根据虚数不能比大小可判断A 选项的正误;利用特殊值法可判断B 选项的正误;利用特殊值法可判断C 选项的正误;利用复数的运算可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项,由于虚数不能比大小,A 选项错误;对于B 选项,()()123i i ++-=,但1i +与2i -不互为共轭复数,B 选项错误; 对于C 选项,由于1x yi i +=+,且x 、y 不一定是实数,若取x i =,y i =-,则1x yi i +=+,C 选项错误;对于D 选项,任取纯虚数()0,ai a a R ≠∈,则()220ai a =-<,D 选项正确. 故选:ABC.【点睛】本题考查复数相关命题真假的判断,涉及共轭复数的概念、复数相等以及复数的计算,属于基础题.25.以下命题正确的是( )A .0a =是z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件B .满足210x +=的x 有且仅有iC .“在区间(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在区间(),a b 内单调递增”的充分不必要条件D .已知()f x =()1878f x x '= 答案:AC【分析】利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A 选项的正误;解方程可判断B 选项的正误;利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C 选项的正误;利用基本初等函数的导数公式解析:AC【分析】利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A 选项的正误;解方程210x +=可判断B 选项的正误;利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C 选项的正误;利用基本初等函数的导数公式可判断D 选项的正误.综合可得出结论.【详解】对于A 选项,若复数z a bi =+为纯虚数,则0a =且0b ≠,所以,0a =是z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件,A 选项正确;对于B 选项,解方程210x +=得x i =±,B 选项错误;对于C 选项,当(),x a b ∈时,若()0f x '>,则函数()f x 在区间(),a b 内单调递增, 即“在区间(),a b 内()0f x '>”⇒“()f x 在区间(),a b 内单调递增”.反之,取()3f x x =,()23f x x '=,当()1,1x ∈-时,()0f x '≥, 此时,函数()y f x =在区间()1,1-上单调递增,即“在区间(),a b 内()0f x '>”⇐/“()f x 在区间(),a b 内单调递增”. 所以,“在区间(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在区间(),a b 内单调递增”的充分不必要条件.C 选项正确;对于D 选项,()11172488f x x x ++===,()1878f x x -'∴=,D 选项错误. 故选:AC.【点睛】本题考查命题真假的判断,涉及充分条件与必要条件的判断、实系数方程的根以及导数的计算,考查推理能力与计算能力,属于中等题.26.已知复数z ,下列结论正确的是( )A .“0z z +=”是“z 为纯虚数”的充分不必要条件B .“0z z +=”是“z 为纯虚数”的必要不充分条件C .“z z =”是“z 为实数”的充要条件D .“z z ⋅∈R ”是“z 为实数”的充分不必要条件答案:BC【分析】设,可得出,利用复数的运算、复数的概念结合充分条件、必要条件的定义进行判断,从而可得出结论.【详解】设,则,则,若,则,,若,则不为纯虚数,所以,“”是“为纯虚数”必要不充分解析:BC【分析】设(),z a bi a b R =+∈,可得出z a bi =-,利用复数的运算、复数的概念结合充分条件、必要条件的定义进行判断,从而可得出结论.【详解】设(),z a bi a b R =+∈,则z a bi =-, 则2z z a +=,若0z z +=,则0a =,b R ∈,若0b =,则z 不为纯虚数, 所以,“0z z +=”是“z 为纯虚数”必要不充分条件; 若z z =,即a bi a bi +=-,可得0b =,则z 为实数,“z z =”是“z 为实数”的充要条件;22z z a b ⋅=+∈R ,z ∴为虚数或实数,“z z ⋅∈R ”是“z 为实数”的必要不充分条件.故选:BC.【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断,同时也考查了共轭复数、复数的基本概念的应用,考查推理能力,属于基础题.27.设复数z 满足12z i =--,i 为虚数单位,则下列命题正确的是( )A .|z |=B .复数z 在复平面内对应的点在第四象限C .z 的共轭复数为12i -+D .复数z 在复平面内对应的点在直线2y x =-上答案:AC【分析】根据复数的模、复数对应点的坐标、共轭复数等知识,选出正确选项.【详解】,A 正确;复数z 在复平面内对应的点的坐标为,在第三象限,B 不正确;z 的共轭复数为,C 正确;复数z 在复平面内对解析:AC【分析】根据复数的模、复数对应点的坐标、共轭复数等知识,选出正确选项.【详解】||z ==A 正确;复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)--,在第三象限,B 不正确;z 的共轭复数为12i -+,C 正确;复数z 在复平面内对应的点(1,2)--不在直线2y x =-上,D 不正确.故选:AC【点睛】本小题主要考查复数的有关知识,属于基础题.28.(多选题)已知集合{},n M m m i n N ==∈,其中i 为虚数单位,则下列元素属于集合M 的是( )A .()()11i i -+B .11i i -+C .11i i +-D .()21i - 答案:BC【分析】根据集合求出集合内部的元素,再对四个选项依次化简即可得出选项.【详解】根据题意,中,时,;时,;时,;时,,.选项A 中,;选项B 中,;选项C 中,;选项D 中,.解析:BC【分析】根据集合求出集合内部的元素,再对四个选项依次化简即可得出选项.【详解】 根据题意,{},n M m m i n N ==∈中, ()4n k k N =∈时,1n i =;()41n k k N =+∈时,n i i =;()42n k k N =+∈时,1n i =-;()43n k k N =+∈时,n i i =-,{}1,1,,M i i ∴=--.选项A 中,()()112i i M -+=∉;选项B 中,()()()211111i i i i i i M --==-+-∈+; 选项C 中,()()()211111i i i i i i M ++==-+∈-; 选项D 中,()212i i M -=-∉.故选:BC.【点睛】此题考查复数的基本运算,涉及复数的乘方和乘法除法运算,准确计算才能得解.29.已知i 为虚数单位,下列说法正确的是( )A .若,x y R ∈,且1x yi i +=+,则1x y ==B .任意两个虚数都不能比较大小C .若复数1z ,2z 满足22120z z +=,则120z z ==D .i -的平方等于1答案:AB【分析】利用复数相等可选A ,利用虚数不能比较大小可选B ,利用特值法可判断C 错误,利用复数的运算性质可判断D 错误.【详解】对于选项A ,∵,且,根据复数相等的性质,则,故正确;对于选项B ,解析:AB【分析】利用复数相等可选A ,利用虚数不能比较大小可选B ,利用特值法可判断C 错误,利用复数的运算性质可判断D 错误.【详解】对于选项A ,∵,x y R ∈,且1x yi i +=+,根据复数相等的性质,则1x y ==,故正确;对于选项B ,∵虚数不能比较大小,故正确;对于选项C ,∵若复数1=z i ,2=1z 满足22120z z +=,则120z z ≠≠,故不正确; 对于选项D ,∵复数()2=1i --,故不正确;故选:AB .【点睛】本题考查复数的相关概念,涉及复数的概念、复数相等、复数计算等知识,属于基础题.30.设()()2225322z t t t t i =+-+++,t ∈R ,i 为虚数单位,则以下结论正确的是( )A .z 对应的点在第一象限B .z 一定不为纯虚数C .z 一定不为实数D .z 对应的点在实轴的下方答案:CD【分析】利用配方法得出复数的实部和虚部的取值范围,结合复数的概念和几何意义可判断出各选项的正误,由此可得出结论.【详解】,,所以,复数对应的点可能在第一象限,也可能在第二象限,故A 错误 解析:CD【分析】利用配方法得出复数z 的实部和虚部的取值范围,结合复数的概念和几何意义可判断出各选项的正误,由此可得出结论.【详解】22549492532488t t t ⎛+⎫= ⎪⎝⎭+-->-,()2222110t t t ++=++>, 所以,复数z 对应的点可能在第一象限,也可能在第二象限,故A 错误;当222530220t t t t ⎧+-=⎨++≠⎩,即3t =-或12t =时,z 为纯虚数,故B 错误; 因为2220t t ++>恒成立,所以z 一定不为实数,故C 正确;由选项A 的分析知,z 对应的点在实轴的上方,所以z 对应的点在实轴的下方,故D 正确. 故选:CD.【点睛】本题考查复数的几何意义与复数的概念相关命题真假的判断,解题的关键就是求出复数虚部和实部的取值范围,考查计算能力与推理能力,属于中等题.。
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复数一、复数的概念 1. 虚数单位i(1) 它的平方等于1-,即 2i 1=-;(2) 实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有的加、乘法运算仍然成立,即满足交换律与结合律.(3)i 的乘方: 4414243*i 1,i i,i 1,i i,N n n n n n +++===-=-∈,它们不超出i b 的形式. 2. 复数的定义(1)形如i(,)R a b a b +∈的数叫做复数, ,a b 分别叫做复数的实部与虚部(2) 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系:对于复数(,)a bi a b R +∈,当且仅当b =0时,复数a +bi (a 、b ∈R)是实数a ;当b ≠0时,复数z =a +bi 叫做虚数;当a =0且b ≠0时,z =bi 叫做纯虚数;当且仅当a =b =0时,z 就是实数0.3. 复数相等 i i a b c d +=+,即,a c b d ==,那么这两个复数相等4. 共轭复数i z a b =+时,i z a b =-.性质:z z =;2121z z z z ±=±;1121z z z z ⋅=⋅;);0()(22121≠=z z z z z二、复平面及复数的坐标表示 1. 复平面在直角坐标系里,点z 的横坐标是a ,纵坐标是b ,复数i z a b =+可用点(,)Z a b 来表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x 轴为实轴,y 轴出去原点的部分称为虚轴.2. 复数的坐标表示 点(,)Z a b3. 复数的向量表示 向量OZ .4. 复数的模在复平面内,复数i z a b =+对应点(,)Z a b ,点Z 到原点的距离OZ 叫做复数z 的模,记作z .由定义知,z =三、复数的运算1. 加法 (i)(i)()()i a b c d a c b d +++=+++.几何意义: 设1i z a b =+对应向量1(,)OZ a b =,2i z c d =+对应向量2(,)OZ c d =,则12z z +对应的向量为12(,)OZ OZ a c b d +=++.因此复数的和可以在复平面上用平行四边形法则解释.2. 减法 (i)(i)()()i a b c d a c b d +-+=-+-.几何意义: 设1i z a b =+对应向量1(,)OZ a b =,2i z c d =+对应向量2(,)OZ c d =,则12z z -对应的向量为1221(,)OZ OZ Z Z a c b d -==--.12()()i z z a c b d -=-+-=1Z 、2Z 两点之间的距离,也等于向量12Z Z 的模.3. 乘法 ()()()()a bi c di a c b d i +±+=±+±.4. 乘方 m n m n z z z +⋅= ()m n mn z z = 1212()n n n z z z z ⋅=⋅5. 除法()()()()()()()()22a bi c di ac bd bc ad ia bi a bi c di c di c di c di c d+-++-++÷+===++-+. 6. 复数运算的常用结论(1) 222(i)2i a b a b ab +=-+, 22(i)(i)a b a b a b +-=+ (2) 2(1i)2i +=, 2(1i)2i -=- (3) 1ii1i+=-, 1ii1i-=-+(4)1212z z z z ±=±,1212z z z z ⋅=⋅,1122z z z z ⎛⎫= ⎪⎝⎭,z z =.(5)2z z z⋅=,z z=(6) 121212z z z z z z -≤+≤+(7)1212z z z z ⋅=⋅,1212z z z z ⋅=⋅,n n z z=四、复数的平方根平方根若2(i)i a b c d +=+,则i a b +是i c d +的一个平方根,(i)a b -+也是i c d +的平方根. (1的平方根是i ±.)五、复数方程1. 常见图形的复数方程(1) 圆:0z z r-=(0r >,0z 为常数),表示以0z 对应的点0Z 为圆心,r 为半径的圆(2) 线段12Z Z 的中垂线:12z z z z -=-(其中12,z z 分别对应点12,Z Z ) (3) 椭圆:122z z z z a-+-=(其中0a >且122z z a-<),表示以12,z z 对应的点F1、F2为焦点,长轴长为2a 的椭圆 (4) 双曲线:122z z z z a---=(其中0a >且122z z a->),表示以12,z z 对应的点F1、F2为焦点,实轴长为2a 的双曲线2. 实系数方程在复数范围内求根(1)求根公式:1,21,21,20 0 20 x b x a x ⎧∆>=⎪⎪⎪-∆==⎨⎪⎪∆<=⎪⎩一对实根一对相等的实根一对共轭虚根(2) 韦达定理:1212b x x a c x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩复数训练一、直接计算二、复平面一、单选题(共21题;共42分)1.( ) A.B.C. D.2.在复平面内,复数 是虚数单位)对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 3.已知i 是虚数单位,复数( )A. i ﹣2B. i+2C. ﹣2D. 2 4.已知 为虚数单位,复数 ,则( )A.B. 2C.D.5.设复数 满足 ,则复平面内 表示的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 6.当复数 的实部与虚部的差最小时, ( )A. B. C.D.7.已知,, 的实部与虚部相等,则( )A. -2B.C. 2D.8.若复数 满足 为虚数单位),则 ( )A. B.C. D.9.若复数 ,则( )A.B.C. D.10.已知 是虚数单位,则( )A. B. C. D.11.若复数满足,则在复数平面上对应的点( )A. 关于轴对称B. 关于轴对称C. 关于原点对称D. 关于直线对称12.复数在复平面内对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限13.已知复数z满足(i为虚数单位),则复数z在复平面内对应的点在()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限14.已知复数满足,则( )A. B. C. D.15.复数( 为虚数单位)的共轭复数是()A. B. C. D.16.在复平面内,复数对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限17.已知复数( 是虚数单位),则的虚部为()A. B. C. D.18.已知复数,则其共轭复数对应的点在复平面上位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限19.已知复数,,则在复平面内对应的点在()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限20.已知复数,则复数z的共轭复数的虚部为()A. B. C. D.21.已知,是虚数单位,若,则()A. 1或B. 或C.D.二、填空题(共14题;共14分)22.表示虚数单位,则________.23.是虚数单位,则的值为________.24.复数(为虚数单位)在复平面内对应的点位于第________象限.25.设复数,则复数的共轭复数为________.26.若复数为纯虚数,则________.27.已知,则实数________.28.若(其中i是虚数单位),则实数________.29.若复数( )为纯虚数,则________.30.已知复数,(其中为虚数单位),若为实数,则实数的值为________.31.若复数是纯虚数,则实数的值为________.32.复数的实部为________.33.如果是方程()的一个根,则________.34.已知是虚数单位,复数的实部与虚部互为相反数,则实数的值为________.35.复数满足( 为虚数单位),则________三、解答题(共5题;共40分)36.已知复数,.(1)求及并比较大小;(2)求及并比较大小;(3)设,满足条件的点的轨迹是什么图形?(4)设,满足条件的点的轨迹是什么图形?37.已知复数z满足,z的实部、虚部均为整数,且z在复平面内对应的点位于第四象限.(1)若,求实数m,n的值.(2)求复数z;(3)若,求实数m,n的值.38.已知复数(i是虚数单位)是关于x的实系数方程根.(1)求的值;(2)复数满足是实数,且,求复数的值.39.设复数,复数.(Ⅰ)若,求实数的值.(Ⅱ)若,求实数的值.40.已知为复数,均为实数(其中为虚数单位),且复数在复平面上对应的点在第二象限,求实数的取值范围.答案解析部分一、单选题1.【答案】C【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】,故答案为:C.【分析】利用复数的乘法运算法则,从而化简求出所求复数。
2.【答案】D【考点】复数的代数表示法及其几何意义,复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】解:,复数在复平面内对应的点的坐标为:,位于第四象限.故答案为:.【分析】直接由复数代数形式的除法运算化简复数,求出复数在复平面内对应的点的坐标,则答案可求.3.【答案】B【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】解:,故答案为:B.【分析】直接利用复数代数形式的运算法则化简求值.4.【答案】A【考点】复数代数形式的混合运算【解析】【解答】复数,∴,故答案为:A.【分析】对复数进行化简计算,然后根据复数的模长公式,得到答案.5.【答案】D【考点】复数的代数表示法及其几何意义,复数代数形式的混合运算【解析】【解答】因为,所以,则复平面内表示的点位于第四象限.故答案为:D.【分析】先由已知利用复数的乘除运算得到,再利用复数的几何意义,即可判断表示的点所在的象限.6.【答案】C【考点】二次函数在闭区间上的最值,复数的基本概念,复数代数形式的混合运算【解析】【解答】复数z的实部与虚部的差为,当时,差值最小,此时,∴.故答案为:C【分析】实部与虚部的差为。
利用二次函数性质求得最值,再利用复数除法运算即可.7.【答案】C【考点】复数相等的充要条件【解析】【解答】设(),则即.故答案为:C.【分析】利用待定系数法设复数z,再运用复数的相等求得b.8.【答案】A【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】由题意得:故答案为:【分析】根据复数的除法运算可求得;根据共轭复数的定义可得到结果.9.【答案】D【考点】复数代数形式的混合运算【解析】【解答】因为.故答案为:D.【分析】由复数代数形式的运算法则求出,利用共轭复数的定义即可求出.10.【答案】B【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】.故答案为:B【分析】利用复数的乘法运算法则求出复数的代数式。